sách ôn thi cao học xstk chương 1

ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

1/ 23 * Chương 1

Sách ÔN THI CAO HỌC XÁC SUẤT THỐNG KÊ – ĐH KINH TẾ TP.HCM 2013
Bộ môn TOÁN KINH TẾ – ThS. Hoàng Ngọc Nhậm
(Cuối sách có đề thi Cao học năm 2012)
CHƯƠNG 1

Bài 1.1
a) Sai. 2 biến cố độc lập thì có thể xảy ra cùng lúc được  không xung khắc
b) Sai. 2 biến cố A, B xung khắc nếu có thêm điều kiện A+B =

thì mới đối lập
c) Sai.
Ví dụ: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , A= {5, 6} , B= {2, 4, 6}
P(A)= 1/3 , P(B)= ½ , P(AB)= 1/6 , P(A/B)= 1/3 , P(B/A)= 1/2
Ta có P(A.B)= P(A).P(B) nên A, B độc lập, nhưng P(A/B) ≠ P(B/A)
d) Đúng. P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) ≤ P(A)+P(B)
P(A+{B+C})≤ P(A)+P(B+C) ≤ P(A)+P(B)+P(C)
Bài 1.2
P(A+
A
B) = P(A)+P(
A
B) = P(A)+{P(B)-P(AB)}= 0,3+0,2-0,1 = 0,4
Cách khác:
Có thể chứng minh được: A+
A
B = A+B
P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) = 0,3+0,2-0,1 = 0,4

Bài 1.3
P(AB)= P(A)+P(B)-P(A+B)= 0,3+0,4-0,6 = 0,1
a) P(A
B
)= P(A)-P(AB) = 0,3-0,1 = 0,2
b) P(
A
B)= P(B)-P(AB) = 0,4-0,1 = 0,3
c) P(
A
+
B
)= P(
AB
)= 1-P(AB)= 1-0,1 = 0,9
d) P(
A
.
B
)= P(
AB
)= 1-P(A+B)= 1-0,6 = 0,4

ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

2/ 23 * Chương 1

Bài 1.4
Ta có các vò trí rút lần lượt là:
[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] (11 12)

[A A A A A A A B A A] (B B)
Nhóm a Nhóm b
Ta phải có 2 sản phẩm B ở vò trí 11 và 12, 1 sản phẩm B còn lại ở vò trí từ 1 đến 10
Lấy 1 sản phẩm B bỏ vào nhóm a, có 3 cách
Trong nhóm b ta hoán vò 2 phần tử, có 2! cách
Trong nhóm a hoán vò 10 phần tử, có 10! cách
Vậy xác suất là 10!.3.2! / 12! = 10!3! / 12! = 1/22
Cách 2:
Xác suất là C(2,3)/ C(2,12) = 1/22
Cách 3:
Ai= biến cố lần i lấy được sản phẩm A
Bi= biến cố lần i lấy được sản phẩm B
Ta có các trường hợp:
A1A2A3A4A5A6A7A8A9B10 + B1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 +…
= (9/12) (8/11) (7/10) (6/9) (5/8) (4/7) (3/6) (2/5) (1/4) (1)
+ (3/12) (9/11) (8/10) (7/9) (6/8) (5/7) (4/6) (3/5) (2/4) (1/3) + … (tổng có 10 số hạng)
* Mỗi số hạng trên tử có dạng 9!
Vậy tổng tử số của 10 số hạng là 10.9! = 10!
* Mỗi số hạng dưới mẫu có dạng 12! / 3!
Vậy xác suất là 10! / (12!/3!) = 10!3! / 12! = 1/22
Bài 1.5
a) A+AB = A+AB = A(+B) = A = A
Hoặc nhận xét:
AB  A nên A+AB = A
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

3/ 23 * Chương 1

b) A+B = A+B = A+B(
A

+A) = (A+AB)+
A
B = A+
A
B (theo câu a)
Hoặc:
A+
A
B = A+
A
B = A(B+
B
)+
A
B = {AB+A
B
}+{
A
B+AB}
= A(B+
B
)+B(
A
+A) = A+B = A+B
c) A(A+B) = A+AB = A+AB = A(+B) = A = A
Hoặc nhận xét:
A  A+B nên A.(A+B) = A
Bài 1.6
a) Sai.
Ví dụ: = {1, 2, 3, 4} , A= {1, 2} , B= {3, 4}

P(A) = P(B) = ½ nhưng A≠B
b) Sai.
Ví dụ: = {1, 2, 3, 4} , A= {1} , B= {3, 4}
P(A) = ¼ < P(B) = ½ nhưng A

B
c) Sai.
Ví dụ: = {1, 2, 3, 4} , A= {1, 2} , B= {1, 3} , C= {1, 4}
 P(A)= 2/4 , P(B)= 2/4 , P(AB)= P({1})= ¼
Vậy: P(AB) = P(A).P(B) nên A, B độc lập.
 P(AB/C)= P(ABC) /P(C) = (1/4) / (2/4) = 1/2
P(A/C) = P(AC) / P(C)= (¼) / (2/4) = ½
P(B/C) = P(BC) / P(C)= (¼) / (2/4) = ½
P(A/C).P(B/C) = (½).(½) = 1/4
 Vậy P(AB/C) ≠ P(A/C).P(B/C)
d) Ta có
AB
=
A
.
B

* Ta có A,
A
B,
A
.
B
xung khắc từng đôi
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

4/ 23 * Chương 1

* A+
A
B+
A
.
B
= A+
A
(B+
B
) = A+
A
 = A+
A
= 
Bài 1.7
Lấy ngẫu nhiên ra 3 chữ số khác nhau.
Trường hợp 1: Chẳn chẳn lẻ, số cách là C(2,5).C(1,5)
Trường hợp 2: Lẻ lẻ lẻ, số cách là C(3,5)
Vậy xác suất là { C(2,5).C(1,5)+ C(3,5)} / C(3,10) = 60/120 = 0,5
Lưu ý:
Bảng số xe có 3 chữ số. Chọn ngẫu nhiên 1 bảng số xe. Tính xác suất chọn được bảng số xe có
tổng 3 chữ số cộng lại là một số lẻ? (Bảng số xe thì chữ số 0 đầu tiên vẫn có nghóa)
Hướng dẫn:
* 3 chữ số đều là số lẻ: có 5
3
= 125 cách

* có 2 chữ số chẳn và 1 chữ số lẻ: có 3.(5
2
.5) = 375 cách
Xác suất là (125+375) / 1000 = 0,5
Bài 1.8
A, B là biến cố công ty A, B bò thua lỗ
P(A
B
+
A
B) = P(A)+P(B)-2P(AB) = 0,3+0,4-2(0,15) = 0,4
Bài 1.9
P(AB)= P(A)+P(B)-P(A+B) = 0,6+0,5-0,9 = 0,2
P(A/
B
) = P(A
B
) /P(
B
) = {P(A)-P(AB)}/{1-P(B)} = {0,6-0,2}/{1-0,5} = 0,8
Bài 1.10
A: biến cố hs giỏi Toán
B: biến cố hs giỏi Anh Văn
P(A
B
+
A
B) = P(A)+P(B)-2P(AB) = 0,4+0,3-2(0,15) = 0,4
Bài 1.11
Nếu 1 chữ số nào đó bò chọn sai thì sẽ không được chọn ở lần sau.

Ai= biến cố chọn đúng chữ số cuối cùng ở lần thứ i
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

5/ 23 * Chương 1

P(A1+
1
A
A2+
1
A
2
A
A3) = (1/10)+(9/10)(1/9)+(9/10)(8/9)(1/8) = 0,3
Bài 1.12
a) Sai. Đối lập thì xung khắc (có ảnh hưởng nhau) nên không độc lập.
b) Sai. 2 biến cố A, B xung khắc nếu có thêm điều kiện A+B =

thì mới đối lập.
d) Sai. A, B đối lập thì A, B xung khắc.
Bài 1.13
c)
.A B AB
: bia không trúng đạn
Bài 1.14
2 sản phẩm thì có các trường hợp 0T, 1T, 2T = AB 
AB
= 0T+1T
c) Có không quá 1 sản phẩm tốt
Bài 1.15

a) Sai. Độc lập thì không ảnh hưởng nhau nên có thể xảy ra cùng lúc được  không xung khắc
b) Sai.
Ví dụ: = {1, 2, 3, 4} , A= {1, 2, 4} , B= {1, 3, 4}
* P(A/B)= 2/3 = P(B/A)
* P(A)= ¾ , P(B)= ¾ , P(AB)= ½
P(AB) ≠ P(A).P(B) nên A, B không độc lập
c) Sai. A, B xung khắc thì không thể xảy ra cùng lúc, vậy A có ảnh hưởng B nên A, B không
độc lập
Bài 1.16
3 sản phẩm thì có các trường hợp: 0 L1, 1 L1, 2 L1, 3L1 = A
1
A
2
A
3

1 2 3
AA A
= 0 L1+1 L1+2 L1
b) Có không quá 2 sản phẩm loại I
Bài 1.17
a) Đúng. Lấy từ 2 hộp khác nhau nên không ảnh hưởng nhau
b) Đúng. T1, T2 không xung khắc nên không đối lập
c) Đúng. T1, T2 có thể xảy ra cùng lúc được nên không xung khắc
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

6/ 23 * Chương 1

d) Sai. A, B đầy đủ  A, B xung khắc và A+B = 
Bài 1.18

Số sv chỉ giỏi AV là 8-3 = 5
Số sv chỉ giỏi Toán là 5-3 = 2
Số sv giỏi ít nhất 1 môn là 5+2+3 = 10
Số sv không giỏi môn nào hết là 50-10 = 40
Xác suất là C(1,5).C(2,40)/ C(3,50) = 39/196 = 0,19898
Bài 1.19
Ta có A
B
+
A
B+AB = A+B
A
B
+
A
B nghóa là chỉ có 1 người giỏi ; AB nghóa là cả 2 đều giỏi
d) Có ít nhất 1 sv đạt loại giỏi
Bài 1.20
a) Đúng. Các Bj không thể xảy ra cùng lúc được
b) Đúng. Các Bj xung khắc từng đôi và B0+B1+B2+B3 = 
c) Đúng. (B0+B2) và (B1+B3) xung khắc và (B0+B2)+(B1+B3) = 
c) Sai. B0 và (B1+B2) xung khắc nhưng B0+(B1+B2) ≠ 
Bài 1.21
A, B, C lần lượt là biến cố người này thắng trò câu cá, gắp thú bông, tìm điểm giống nhau
F= biến cố người này thắng ít nhất 1 trò
( ) ( . . )P F P ABC
= (0,6)(0,9)(0,2) = 0,108
P(F)= 1-P(
F
) = 1-0,108 = 0,892

Bài 1.22
* A, B lên cùng 1 toa, có 3 cách
8 người còn lại có 3
8
cách
* Xếp 10 người lên 3 toa có 3
10
cách
Vậy xác suất là 3.3
8
/ 3
10
= 1/3
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

7/ 23 * Chương 1

Bài 1.27
Ai = biến cố sinh viên đạt yêu cầu môn thứ i
a) P(A1A2)= P(A2/A1).P(A1) = (0,6)(0,8) = 0,48
b) P(A2)= P(A2/A1)P(A1)+P(A2/A1*)P(A1*)= (0,6)(0,8)+(0,3)(0,2) = 0,54
c) P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)-P(A1A2)= 0,8+0,54-0,48= 0,86
hoặc P(A1*A2*)= P(A2*/A1*)P(A1*)= (0,7)(0,2) = 0,14
P(A1+A2)= 1-P(A1*A2*)= 1-0,14 = 0,86
d) P(A1*A2*)= 0,14
Bài 1.28
Ai= biến cố sản phẩm lấy ra lần i là loại A
P(A2)= P(A2/A1)P(A1)+P(A2/A1*)P(A1*) = (6/9)(7/10)+(7/9)(3/10) = 63/90
P(A1/A2)= P(A1A2)/P(A2)= P(A2/A1)P(A1) / P(A2)= (42/90) / (63/90) = 2/3
Bài 1.29

A= biến cố đồng xu công bằng được chọn
F= biến cố cả 2 lần gieo đều xuất hiện mặt hình
P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/A*)P(A*)= (1/4)(2/3)+(1)(1/3) = ½
Bài 1.30
Ai= biến cố lần thử thứ i mở được khóa
P(A1*A2)= P(A2/A1*)P(A1*)= (2/4)(3/5)= 3/10
Bài 1.31
Ai= biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng bia
P(A1A2A3*+A1A2*A3+A1*A2A3)=
= P(A1)P(A2)P(A3*)+P(A1)P(A2*)P(A3)+P(A1*)P(A2)P(A3)
= (0,6)(0,7)(0,2)+(0,6)(0,3)(0,8)+(0,4)(0,7)(0,8)= 0,452
Bài 1.32
Ai= biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng bia
F= biến cố chỉ có 1 viên trúng bia
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

8/ 23 * Chương 1

P(F)= P(A1A2*A3*+A1*A2A3*+A1*A2*A3)=
= P(A1)P(A2*)P(A3*)+P(A1*)P(A2)P(A3*)+P(A1*)P(A2*)P(A3)
= (0,7)(0,2)(0,1)+(0,3)(0,8)(0,1)+(0,3)(0,2)(0,9)= 0,092
P(A1/F)= P(A1F) / P(F)= P(A1A2*A3*) / P(F)= 0,014 / 0,092 = 7/46
Bài 1.34
Ai= biến cố sinh viên thứ i rút được thăm có dấu x
P(A1/A2)= P(A2A1)/P(A2)= P(A2/A1)P(A1) / P(A2) = (1/2)(2/3) / (2/3) = ½
Với P(A2)= P(A2/A1)P(A1)+P(A2/A1*)P(A1*)= (1/2)(2/3)+(1)(1/3)= 2/3
Câu hỏi thêm:
1) Có 5 sinh viên và 5 lá thăm, trong đó chỉ có 1 lá thăm có dấu x. Lần lượt từng người rút 1 lá
thăm.
Xác suất để mỗi người rút được lá thăm có dấu x là 1/5?

2) Có 5 sinh viên và 5 lá thăm, trong đó có 2 lá thăm có dấu x. Lần lượt từng người rút 1 lá
thăm.
Xác suất để mỗi người rút được lá thăm có dấu x là 2/5?
3) Có 5 sinh viên và 5 lá thăm, trong đó có 3 lá thăm có dấu x. Lần lượt từng người rút 1 lá
thăm.
Xác suất để mỗi người rút được lá thăm có dấu x là 3/5?
Bài 1.35
A= biến cố lấy được chai thuốc tốt từ hộp 1
B= biến cố lấy được chai thuốc tốt từ hộp 2
P(AB)= P(A)P(B)= (5/8)(3/5)= 3/8 = 0,375
Bài 1.36
A= biến cố lấy được chai thuốc tốt từ hộp 1
B= biến cố lấy được chai thuốc tốt từ hộp 2
P(AB*+A*B)= P(A)P(B*)+P(A*)P(B)= (5/8)(2/5)+(3/8)(3/5)= 19/40 = 0,475

ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

9/ 23 * Chương 1

Bài 1.37
A= biến cố lấy được chai thuốc tốt từ hộp 1
B= biến cố lấy được chai thuốc tốt từ hộp 2
F= biến cố lấy được 1 chai tốt và 1 chai xấu
P(F)= P(AB*+A*B)= P(A)P(B*)+P(A*)P(B)= (5/8)(2/5)+(3/8)(3/5)= 19/40 = 0,475
P(A*/F)= P(A*F) / P(F)= P(A*B) / P(F)= (9/40) / (19/40)= 9/19
Bài 1.38
Ai= biến cố chọn được hộp thứ i
F= biến cố lấy được 2 chai tốt
P(F)= P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2)= [C(2,5) / C(2,8)](1/2)+[C(2,3) / C(2,5)](1/2)= 23/70
Bài 1.39

Ai= biến cố chọn được hộp thứ i
F= biến cố lấy được 1 chai tốt và 1 chai xấu
P(F)= P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2)=
= [C(1,5)C(1,3) / C(2,8)](1/2)+[C(1,2)C(1,3) / C(2,5)](1/2)= 318/560
P(A1/F)= P(F/A1)P(A1) / P(F)= (15/28)(1/2) / (318/560) = 25/53
Bài 1.40
A= biến cố lấy được sản phẩm tốt ở hộp 1
F= biến cố lấy được phế phẩm ở hộp 2
P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/A*)P(A*)= (1/13)(13/14)+(2/13)(1/14)= 15/182
Bài 1.42
Ai= biến cố lấy được bóng thứ i không hỏng
P(A1A2A3)= P(A3/A2A1)P(A2/A1)P(A1)= (7/10)(8/11)(9/12)= 21/55
Bài 1.43
Ai= biến cố lấy được sản phẩm loại A ở lô i
Bj= biến cố trong 3 sản phẩm lấy ra có j sản phẩm loại A
P(A1)= 0,9 ; P(A2)= 0,8 ; P(A3)= 0,7
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

10/ 23 * Chương 1

P(B0)= P(A1*A2*A3*)= (0,1)(0,2)(0,3)= 0,006
P(B1)= P(A1A2*A3*+A1*A2A3*+A1*A2*A3)
= (0,9)(0,2)(0,3)+(0,1)(0,8)(0,3)+(0,1)(0,2)(0,7)= 0,092
P(B2)= P(A1A2A3*+A1A2*A3+A1*A2A3)
= (0,9)(0,8)(0,3)+(0,9)(0,2)(0,7)+(0,1)(0,8)(0,7)= 0,398
P(B3)= P(A1A2A3)= (0,9)(0,8)(0,7)= 0,504
F= biến cố lấy được sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra
P(F)= P(F/B0)P(B0)+ … +P(F/B3)P(B3)
= (0)(0,006)+(1/3)(0,092)+(2/3)(0,398)+(1)(0,504)= 0,8
Bài 1.44

A= biến cố lấy được sản phẩm loại A từ kiện để trưng bày
F= biến cố khánh hàng chọn được 2 sản phẩm loại A
P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/A*)P(A*)= [C(2,6) / C(2,9)](7/10)+[C(2,7) / C(2,9)](3/10)= 7/15
Bài 1.46
Ai= biến cố lấy được lô thứ i
B= biến cố lấy được sản phẩm loại 1 ở lần 1
F= biến cố lấy được sản phẩm loại 1 ở lần 2
P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = (0,9)(1/2)+(0,7)(1/2)= 0,8
P(A1/B)= P(B/A1)P(A1) / P(B)= (0,9)(1/2) / (0,8)= 0,5625
P(A2/B)= 0,4375
P(F/B)= P(F/A1B)P(A1/B)+P(F/A2B)P(A2/B)= (0,9)(0,5625)+(0,7)(0,4375)= 0,8125
Bài 1.47
Bi= biến cố lấy được sản phẩm loại B ở hộp thứ i
F= biến cố có 1 sản phẩm loại B trong 3 sản phẩm lấy ra
P(F)= P(B1B2*B3*+B1*B2B3*+B1*B2*B3)
= (1/5)(3/5)(2/5)+(4/5)(2/5)(2/5)+(4/5)(3/5)(3/5)= 58/125
P(B1/F)= P(B1F) / P(F)= P(B1B2*B3*) / P(F)= (6/125) / (58/125)= 3/29
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

11/ 23 * Chương 1

Bài 1.48
Ai= biến cố chọn được hộp thứ i
F= biến cố lấy được 3 sản phẩm loại B
P(F)= P(F/A1)P(A1)+ …+ P(F/A3)P(A3)
= [0 / C(3,5)](1/3)+[C(3,3) / C(3,5)](1/3)+[C(3,4) / C(3,5)](1/3)= 1/6
Bài 1.49 (bổ sung cho chương 2)
X= số sản phẩm tốt còn lại trong hộp
X
0

1
2
3
P
P(A2/B)= 4/35
P(A3/B)= 9/35
P(A4/B)= 12/35
P(A5/B)= 10/35
Bài 1.50
Ai= biến cố trong hộp có i sản phẩm tốt, i= 0,1,…,5 ; P(Ai)= 1/6
F= biến cố lấy được 2 sản phẩm tốt
P(F)= P(F/A0)P(A0)+ …+P(F/A5)P(A5)
= (1/6){0+0+[C(2,2) / C(2,5)]+[C(2,3) / C(2,5)]+[C(2,4) / C(2,5)]+[C(2,5) / C(2,5)]} = 1/3
Lý luận cách khác:
Lấy 2 sản phẩm thì có 3 trường hợp xảy ra: 0 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm tốt nên
P(F)= 1/3
P(A2/F)= P(F/A2)P(A2) / P(F)= [C(2,2) / C(2,5)](1/6) / (1/3)= 1/20
P(A3/F)= [C(2,3) / C(2,5)](1/6) / (1/3)= 3/20
P(A4/F)= 6/20 ; P(A5/F)= 10/20 ; P(A0/F)= P(A1/F)= 0
H= biến cố lấy được sản phẩm tốt ở lần sau
P(H/F)= P(H/A2F)P(A2/F)+…+ P(H/A5F)P(A5/F)
= (0)(1/20)+(1/3)(3/20)+(2/3)(6/20)+(3/3)(10/20)= ¾ = 0,75
Bài 1.51
Ai= biến cố sản phẩm lấy ra do phân xưởng i sản xuất
F= biến cố lấy được sản phẩm tốt
P(F)= P(F/A1)P(A1)+…+ P(F/A3)P(A3) = (0,99)(0,25)+(0,95)(0,25)+(0,9)(0,5)= 0,935
P(A3/F)= P(F/A3)P(A3) / P(F)= (0,9)(0,5) / 0,935 = 90/187
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

12/ 23 * Chương 1

Bài 1.52
Ki= biến cố lấy được i sản phẩm loại A từ hộp 1
Hi= biến cố lấy được i sản phẩm loại A từ hộp 2
P(K2H1+K1H2)= P(K2)P(H1)+P(K1)P(H2)
= [C(2,8) / C(2,10)][C(1,5)C(1,3) / C(2,8)]+[C(1,8)C(1,2) / C(2,10)][C(2,5) / C(2,8)]= 29/63
Bài 1.53
A= biến cố khách hàng biết thông tin quảng cáo qua Ti vi
B= biến cố khách hàng biết thông tin quảng cáo qua Đài phát thanh
P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB)= 0,25+0,34-0,1 = 0,49
Cách khác:
Tỷ lệ khách hàng biết thông tin quảng cáo là (0,25-0,1)+(0,34-0,1)+0,1 = 0,49
Bài 1.54
Ai= biến cố sản phẩm do máy i sản xuất là loại A
P(A1A2A3*+A1A2*A3+A1*A2A3)+P(A1A2A3)
= (0,7)(0,8)(0,1)+(0,7)(0,2)(0,9)+(0,3)(0,8)(0,9)= 0,902
Bài 1.55
A= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại A
B= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại B
F= biến cố sản phẩm được máy phân loại cho là loại B
P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)= (0,1)(0,85)+(0,8)(0,15)= 0,205






MÁY
PHÂN
LOẠI

B (0,15)
A (0,85)
Nguyên
liệu
Ma1ay
A (0,9)
B (0,1)
A (0,2)
B (0,8)
MÁY
SẢN
XUẤT
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

13/ 23 * Chương 1

Bài 1.56
A= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại A
B= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại B
F= biến cố sản phẩm bò máy phân loại sai
P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)= (0,1)(0,85)+(0,2)(0,15)= 0,115
Bài 1.57
Ki = biến cố chọn được kiện thứ i
B= biến cố lấy được 2 sản phẩm A lần 1
F= biến cố lấy được sản phẩm A lần 2
P(B)= P(B/K1)P(K1)+P(B/K2)P(K2)= [C(2,8) / C(2,10)](1/2)+[C(2,6) / C(2,10)](1/2) = 43/90
P(K1/B)= P(B/K1)P(K1) / P(B)= (28/90) / (43/90)= 28/43
P(K2/B)= 15/43
P(F/B)= P(F/K1B)P(K1/B)+P(F/K2B)P(K2/B)= (6/8)(28/43)+(4/8)(15/43)= 57/86
Bài 1.58

Bi = biến cố sản phẩm kiểm tra lần i là sản phẩm loại B
F= biến cố việc kiểm tra dừng lại ở lần 4
P(F)= P(B1B2*B3*B4+B1*B2B3*B4+B1*B2*B3B4)
= P(B4/B3*B2*B1)P(B3*/B2*B1)P(B2*/B1)P(B1)+
= (1/47)(47/48)(48/49)(2/50)+(1/47)(47/48)(2/49)(48/50)+(1/47)(2/48)(47/49)(48/50)
= 3/1225
Bài 1.59
Số sinh viên của 3 lớp là 45+47+50= 142
Số sinh viên nữ của 3 lớp là 10+15+20= 45
A = biến cố chọn được sinh viên ở lớp A
C = biến cố chọn được sinh viên ở lớp C
F= biến cố chọn được sinh viên nữ
P([A+C]/F)= P([A+C]F) / P(F)= [P(AF)+P(CF)] / P(F) = [(10/142)+(20/142)] / (45/142)= 2/3
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

14/ 23 * Chương 1

Cách khác:
Nếu đã biết đó là sinh viên nữ thì ta giới hạn không gian mẫu lại, chỉ xét có 10+15+20= 45 sinh
viên nữ.
Xác suất cần tìm sẽ là (10+20)/45 = 2/3
Bài 1.60
Ai = biến cố người thứ i ném trúng rổ
F= biến cố có ít nhất 1 người ném trúng rổ
P(F*)= P(A1*A2*A3*)= (0,5)(0,4)(0,3)= 0,06
P(F)= 1-P(F*)= 1-0,06= 0,94
Bài 1.61
Ai = biến cố người thứ i ném trúng rổ
F= biến cố có 2 người ném trúng rổ
P(F)= P(A1A2A3*+A1A2*A3+A1*A2A3)= (0,5)(0,6)(0,3)+(0,5)(0,4)(0,7)+(0,5)(0,6)(0,7)= 0,44

P(A3*/F)= P(A1A2A3*) / P(F)= 0,09 / 0,44 = 9/44
Bài 1.62
Dùng phân phối nhò thức ở chương 3 cho nhanh gọn, cái chính là kết quả đúng, không quan tâm
cách làm!
X= số con gái trong gia đình có 3 con. X~B(3; ½)
P(X=2) = C(2,3)(1/2)
2
(1/2)
1
= 0,375
Bài 1.63
P(A*B*C*)= P([A+B+C]*)= 1-P(A+B+C)= 1-0,79= 0,21
 0,21= P(A*)P(B*)P(C*) = (0,6)(0,5)P(C*)  P(C*)= 0,21 / 0,3 = 0,7
 P(C)= 1-P(C*)= 1-0,7= 0,3
Lưu ý:
Chứng minh kết quả sau:
A, B, C độc lập (toàn thể) thì A*, B*, C* cũng độc lập
Hướng dẫn:
1) A, B độc lập thì A, B* ; A*, B ; A*, B* cũng độc lập
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

15/ 23 * Chương 1

2) A, B, C độc lập thì A, B+C độc lập
3) A*, (B+C)* độc lập
Cách khác:
P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
= (0,4)+(0,5)+P(C)-(0,4)(0,5)-(0,4)P(C)-(0,5)P(C)+(0,4)(0,5)P(C)
= 0,7+(0,3)P(C) = 0,79  P(C)= 0,3
Bài 1.64

Ai = biến cố khách hàng thứ 1 chọn được i bóng đèn loại 1
F= biến cố khách hàng thứ 2 mua được 3 bóng loại 1
P(F)= P(F/A0)P(A0)+ +P(F/A2)P(A2)
= [C(3,7) / C(3,10)][C(2,5) / C(2,12)]+[C(3,6) / C(3,10)][C(1,7)C(1,5) / C(2,12)]
+[C(3,5) / C(3,10)][C(2,7) / C(2,12)]= 7/44
Bài 1.65
Giả thiết 1 năm có 365 ngày, không xét trường hợp có năm nhuận.
Xác suất cần tìm là [(365)(364)(363)] / [(365)(365)(365)]= 132132 / 133225 = 0,9918
Bài 1.66 (xem 1.55, 1.56)
A = biến cố sản phẩm mang đi kiểm tra là chính phẩm
F= biến cố máy kiểm tra kết luận là chính phẩm
P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/A*)P(A*)= (0,96)(0,95)+(0,01)(0,05)= 0,9125
P(A*/F)= P(F/A*)P(A*) / P(F)= 0,0005 / 0,9125 = 1/1825
Bài 1.67
A = biến cố sản phẩm mang đi kiểm tra là chính phẩm
F= biến cố máy kiểm tra kết luận là phế phẩm
P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/A*)P(A*)= (0,04)(0,95)+(0,99)(0,05)= 0,0875
P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F)= 0,038 / 0,0875 = 38/875

ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

16/ 23 * Chương 1

Bài 1.68 (xem 1.66, 1.67)
A = biến cố sản phẩm mang đi kiểm tra là chính phẩm
F= biến cố máy kiểm tra kết luận nhầm
P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/A*)P(A*)= (0,04)(0,95)+(0,01)(0,05)= 0,0385
Bài 1.70
Xem bài 1.3
Bài 1.71

Ai= biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng
F= biến cố có không quá 2 viên trúng bia
P(F)= 1-P(A1A2A3)= 1-0,9*0,8*0,7 = 1-0,504 = 0,496
Bài 1.72
Theo đònh nghóa thống kê thì xác suất chọn được chi tiết đạt tiêu chuẩn là (600-12)/600 = 0,98
Bài 1.73
Ai= biến cố lấy được sản phẩm loại I từ kiện thứ i
P(A1*A2*A3*)+P(A1A2*A3*+A1*A2A3*+A1*A2*A3) =
= (0,4)(0,3)(0,1)+(0,6)(0,3)(0,1)+(0,4)(0,7)(0,1)+(0,4)(0,3)(0,9)= 0,166
Bài 1.74
X, Đ là biến cố lấy được bi Xanh, Đỏ ở hộp 1
F= biến cố lấy được 2X1Đ ở hộp 2
P(F)= P(F/X)P(X)+P(F/Đ)P(Đ)
= C(2,6)C(1,4)/C(3,10) (8/10)+C(2,5)C(1,5)/C(3,10) (2/10) = 29/60
Bài 1.75
3 sản phẩm thì có các trường hợp: 0T, 1T, 2T, 3T = A
1
A
2
A
3
.
Ta có
1 2 3 1 2 3
A A A AA A  
= 0T+1T+2T
b) Có không quá 2 sản phẩm tốt

ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

17/ 23 * Chương 1

Bài 1.76
a) Sai. Độc lập thì có thể xảy ra cùng lúc được  không xung khắc
b) Sai. A, B không xung khắc nên không đối lập
c) Sai. A,
B
độc lập
Bài 1.77
Ai= biến cố phần thứ i có 2 sản phẩm loại I
P(A1A2A3)= C(2,6)C(2,6)/C(4,12) C(2,4)C(2,4)/C(4,8) C(2,2)C(2,2)/C(4,4) = 18/77
Bài 1.78
A, B là biến cố sinh viên thứ 1, thứ 2 làm được bài
F= biến cố chỉ có 1 sinh viên làm được bài
P(F)= P(A
B
+
A
B)= P(A)+P(B)-2P(AB) = 0,8+0,7-2(0,8)(0,7) = 0,38
P(A/F) = P(AF)/P(F) = P(A
B
)/P(F) = (0,8)(0,3)/ 0,38 = 12/19

Học viên luôn có TÂM NGUYỆN sẽ không gặp lại GV ở đợt luyện thi năm tới!
Muốn như vậy thì học viên phải PHÁT TÂM TỰ MÌNH làm nhiều bài tập!
Có thực hiện được thì những ước mơ, khát khao mới thành hiện thực!
Nếu học viên chỉ nghe/ xem GV giảng trên lớp mà không chòu TỰ MÌNH làm bài tập thì
những khát khao cháy bổng chỉ như ngôi sao băng xẹt qua bầu trời rồi tắt lòm! Cho dù học
viên có xếp tỷ tỷ con hạc giấy thì chúng cũng không thể đưa học viên bay lên cao cùng
những ước mơ!

Diễn giải lời Phật dạy: Có đi mới có đường, có làm bài tập … mới có đậu!

Sống trong đời sống cần có 1 tấm bằng …
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi …

(Xin cố nhạc só TCS tha lỗi)






ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

18/ 23 * Chương 1

BÀI TẬP BỔ SUNG

Bài 1
Xếp ngẫu nhiên 10 người thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai người A và B:

a) Đứng cạnh nhau; b) Không đứng cạnh nhau;

c) Đứng cách nhau 1 người; d) Đứng cách nhau 5 người.

Hướng dẫn:
|| = 10!
a) (AB)
Xem AB là 1 “người”

Số trường hợp thuận lợi là 9! 2!
b) Số trường hợp thuận lợi là 10! - 9! 2!
c) (AB)
Xem AB là 1 “người”
Số trường hợp thuận lợi là 8! 2! C(1,8)
d) (AB)
Xem AB là 1 “người”
Có C(5,8) cách bỏ  vào giữa (A B)
Có 5! hoán vò của  trong (A B)
Có 4! hoán vò của 4 “người”
Có 2! hoán vò của A, B
Số trường hợp thuận lợi là 4! 2! [C(5,8) 5!]
Bài 2
Xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa. Tính các xác suất:

a) 8 người ở cùng một toa; b) 8 người ở 8 toa khác nhau;

c) A, B ở cùng toa đầu; d) A, B ở cùng một toa;

e) A, B ở cùng một toa, ngoài ra không có ai khác.
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

19/ 23 * Chương 1

Hướng dẫn:
|| = 10
8

a) Số trường hợp thuận lợi là 10
b) Số trường hợp thuận lợi là A(8,10)

c) Số trường hợp thuận lợi là (1) 10
6

d) Số trường hợp thuận lợi là (10) 10
6

e) Số trường hợp thuận lợi là (10) 9
6

Bài 3
Bảng số xe có 3 chữ số. Chọn ngẫu nhiên 1 bảng số xe. Tính xác suất chọn được bảng số xe có
tổng 3 chữ số cộng lại lớn hơn 24? (Bảng số xe thì chữ số 0 đầu tiên vẫn có nghóa)
Hướng dẫn:
999 có tổng là 27 : 1 cách
998 có tổng là 26 : 3 cách
997 có tổng là 25 : 3 cách
988 có tổng là 25 : 3 cách
Xác suất là 10/ 10
3
= 0,01
Bài 4
Bảng số xe có 3 chữ số. Chọn ngẫu nhiên 1 bảng số xe. Tính xác suất chọn được bảng số xe có
tổng 3 chữ số cộng lại bé hơn 25? (Bảng số xe thì chữ số 0 đầu tiên vẫn có nghóa)
Hướng dẫn: (xem bài 3)
Xác suất là 1-0,01 = 0,99
Bài 5
Bảng số xe có 3 chữ số. Chọn ngẫu nhiên 1 bảng số xe. Tính xác suất chọn được bảng số xe có
tổng 3 chữ số cộng lại là một số lẻ? (Bảng số xe thì chữ số 0 đầu tiên vẫn có nghóa)
Hướng dẫn:
* 3 chữ số đều là số lẻ: có 5

3
= 125 cách
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

20/ 23 * Chương 1

* có 2 chữ số chẳn và 1 chữ số lẻ: có 3.(5
2
.5) = 375 cách
Xác suất là (125+375) / 1000 = 0,5
Bài 6
Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số không chia hết cho 5, và mỗi số
gồm có 4 chữ số khác nhau? (Con số thì chữ số 0 đầu tiên không có ý nghóa)
Hướng dẫn:
abcd
d có 3 cách (d khác 0 và 5)
a có 3 cách (a khác 0)
b có 3 cách
c có 2 cách
Vậy có 2.3.3.3 = 54 số
Bài 7
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số là số chẳn, và mỗi số gồm có
4 chữ số khác nhau? (Con số thì chữ số 0 đầu tiên không có ý nghóa)
Hướng dẫn:
abcd
* d: có 3 cách chọn (d là 0 hoặc 2 hoặc 4)
Có A(3,5) cách chọn cho abc (kể cả số 0 ở đầu)
Vậy có 3.A(3,5)= 180 cách chọn (kể cả số 0 ở đầu)
* Có 1.A(2,4).2 = 24 cách chọn cho abcd (a=0, d là 2 hoặc 4)
Vậy có 180-24 = 156 số

Bài 8
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số chia hết cho 5, và mỗi số gồm
có 3 chữ số khác nhau? (Con số thì chữ số 0 đầu tiên không có ý nghóa)

ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

21/ 23 * Chương 1

Hướng dẫn:
abc
* c có 2 cách (c là 0 hoặc 5)
ab có A(2,5) cách (kể cả chữ số 0 đứng đầu)
vậy có 2.A(2,5)= 40 cách
* Có 1.A(1,4).1 = 4 cách chọn abc (a=0 và c=5)
Vậy có 40-4 = 36 số
Bài 9
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số là số chẳn, và mỗi số gồm có 3
chữ số khác nhau? (Con số thì chữ số 0 đầu tiên không có ý nghóa)
Hướng dẫn:
abc
c có 2 cách chọn (c là 2 hoặc 4)
ab có A(2,4) cách chọn
vậy có 2.A(2,4) = 24 số
Bài 10
Từ các chữ số 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm có 4 chữ số khác nhau
và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? (Con số thì chữ số 0 đầu tiên không có ý nghóa)
Hướng dẫn:
abcd
Trong đó có 1 chữ số 5
* d=5

Có A(3,6) cách chọn abc từ 6 số còn lại (kể cả chữ số 0 đứng đầu)
Tương tự cho c=5, b=5, a=5
Vậy có 4.A(3,6) số (kể cả chữ số 0 đứng đầu)
* 0bcd
ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

22/ 23 * Chương 1

d=5: có A(2,5) cách chọn cho bc
Tương tự cho c= 5, b=5
Vậy có 3.A(2,5) số (chữ số 0 đứng đầu)
Vậy có 4.A(3,6)-3.A(2,5) = 420 số
Bài 11
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm có 8 chữ số, và trong đó
chữ số 5 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần? (Con số thì chữ số 0 đầu tiên không
có ý nghóa)
Hướng dẫn:
Có 8! số trong đó chữ số 5 có mặt 3 lần
Có 1.7! số trong đó chữ số 5 có mặt 3 lần, chữ số 0 đứng đầu
Vậy có (8!-7!)/ 3! = (40320-4040)/6 = 5880 số
Bài 12
Có 9 người đònh cư vào 3 nước. Nước Nhật nhận 3 người, nước Nga nhận 2 người, nước Đức
nhận 4 người (Không quan tâm trật tự của những người vào cùng 1 nước). Có bao nhiêu cách sắp
xếp 9 người vào 3 nước?
Hướng dẫn:
Số cách là 9! / (3!2!4!) = 1260
Bài 13
Một nhóm học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành 1 hàng dọc. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho
không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau?
Hướng dẫn:

Xếp nhóm học sinh nam có 5! cách
Xếp nhóm học sinh nữ có 5! cách
Xếp 2 nhóm học sinh nam và nữ có 2! cách
Vậy có 5!5!2! = 28800 cách

ThS. Phạm Trí Cao * Bài giải một số bài tập trong sách ÔN THI CAO HỌC XSTK 2013

23/ 23 * Chương 1

Bài 14
Một nhóm học sinh có 4 nam và 3 nữ xếp thành 1 hàng dọc. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho
nam và nữ xen kẽ nhau?
Hướng dẫn:
Có 4! cách xếp nam
Có 3! cách xếp nữ
Vậy có 4!3! = 144 cách
Bài 15
Một nhóm học sinh có 7 nam và 3 nữ xếp thành 1 hàng dọc. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho
các học sinh nam phải đứng liền nhau?
Hướng dẫn:
Xem nhóm 7 học sinh nam là 1 “người” nam, kết hợp với 3 nữ ta có 4 người, có 4! cách xếp
Có 7! cách sắp xếp 7 nam trong 1 “người” nam
Vậy có 4!7! = 120960
Bài 16
Cho P(A)= 0,2 ; P(B)= 0,4 ; P(AB)= 0,3. Tính xác suất P(A+
B
)
Hướng dẫn:
P(A+
B

) = P(A)+P(
B
)-P(A
B
) = P(A)+P(
B
)-{P(A)-P(AB)} = P(
B
)+P(AB)= (1-0,4)+0,3 = 0,9