tích phân fourier và một số tính chất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (511.72 KB, 66 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
ĐỖ THẾ HẢI
TÍCH PHÂN FOURIER
VÀ MỘT SỐ TÍCH CHẤT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Sơn La, năm 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
ĐỖ THẾ HẢI
TÍCH PHÂN FOURIER
VÀ MỘT SỐ TÍCH CHẤT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Giải Tích
Giáo viên hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG
Sơn La, năm 2014
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng, người
đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình, giúp đỡ em về tài liệu
nghiên cứu cũng như động viên em có thêm nghị lực hoàn thành khóa
luận này.
Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của
các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là thầy giáo: Thạc sĩ
Vũ Việt Hùng và các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH
& QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K51
ĐHSP Toán - Lí. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý
thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận
này.
Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo cùng với sự nỗ lực của bản thân,
mặc dù đã rất cố gắng, song do trình độ nghiên cứu khoa học còn hạn
chế, thiếu kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót và kết
quả còn chưa được như mong muốn. Em rất mong nhận được sự chỉ
bảo, đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên Khoa
Toán - Lý - Tin để khóa luận này được hoàn thiện hơn. Nhân dịp này,
cho phép em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu
nói trên.
Em xin trân t hành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2014.
Người thực hiện
ĐỖ THẾ HẢI
Tích phân Fourier và một số tính chất i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến t hức chuẩn bị 3
1.1 Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân . . . 3
1.1.2 Không gian L
p
,1 ≤ p ≤∞ . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Một vài định lí về không gian Banach và không gian Hilbert 6
1.3 Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert . . . . . 8
1.4 Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Chuỗi Fourier 13
2.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Các hệ số Fouirer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Hệ trực giao của các hàm. . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Sự hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier . . . . . 24
2.4 Tính đầy đủ của các hệ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Tính chất của các hệ số Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Đạo hàm, tích phân, và tính hội tụ của chuỗi Fourier . . . . 34
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất ii
2.7 Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Biến đổi Fourier 40
3.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier . . . . . . . . . . 40
3.2 Dạng khác của công thức Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Tích chập và biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Kết luận 59
Tài liệu tham khảo 60
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Có thể nói trong số những biến đổi tích phân phổ biến nhất thì biến
đổi Fourier ra đời trước tiên, mặc dù trước Fourier, Euler đã đưa ra khái
niệm khai triển một hàm số theo chuỗi lượng giác, song lý thuyết này
chưa được hoàn chỉnh. Fourier viết xong công trình về biến đổi Fourier
vào năm 1807, nhưng do sự hoài nghi của các nhà toán học thời bấy giờ
như Lagrange, Laplace, Poisson v.v nên phải chờ đến năm 1815 công
trình của Fourier mới được công bố. Lí thuyết của ông được hình thành
và phát triển trong quá trình tìm hiểu về truyền nhiệt.
Từ khi ra đời cho đến nay, lý thuyết chuỗi đóng vai trò quan trọng
trong giải tích toán học. Có nhiều bài toán trong toán học và trong thực
tiễn dẫn đến việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Fourier
có nhiều ứng dụng trong khoa học hiện nay. Đặc biệt được sử dụng
nhiều trong toán học và trong vật lý kỹ thuật, áp dụng phương pháp
này vào các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, biến các phương
trình này thành các phương trình đại số, hoặc phương trình đạo hàm
riêng có số biến ít hơn. Vì vậy, việc tiếp cận và tìm hiểu về phép biến đổi
Fourier, tích phân Fourier và tính chất của nó là điều bổ ích và cần thiết.
Do đó em chọn đề tài: “Tích phân Fourier và một số tính chất” làm khóa
luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là trình bày về phép biến đổi Fourier,
tích phân Fourier và một số tính chất. Từ đó cung cấp tài liệu tham khảo
cho các bạn sinh viên ngành toán trường Đại học Tây Bắc.
Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về tích phân Fourier và một số tích chất.
Trình bày một số phép biến đổi Fourier, các tính chất.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 2
2.3. Phạm vi nghiên cứu
Khóa luận sẽ trình bày về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier và
các tính chất cơ bản.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, đọc tài liệu, phân tích tổng hợp các ý kiến.
Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như
seminar với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn từ đó tổng hợp kiến thức và
trình bày theo đề cương ngiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoàn
thành đề tài.
4. Những đóng góp của khóa luận
Đề tài trình bày đầy đủ, có hệ thống kèm theo chứng minh chi tiết các
định lý, các tính chất. Sẽ là tài liệu tham khảo có giá trị cho các bạn sinh
viên quan tâm phép biến đổi Fourier và tích phân Fourier.
5. Cấu trúc khóa luận
Với mục đích như trên đề tài được chia thành 3 chương với những nội
dung chính sau đây:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, và các
kiến thức có liên quan khác.
Chương 2: Trình bày các kiến thức về chuỗi Fourier, các tính chất của
chuỗi Fourier.
Chương 3: Trình bày kiến thức về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier
và các tính chất.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này chủ yếu nhắc lại các kết quả của giải tích và giải tích hàm
để làm kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. Các kết quả này phần lớn
là không chứng minh và có thể tham khảo trong [1], [3].
1.1 Không gian L
p
1.1.1 Các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân
Dưới đây là các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân.
Định lý 1.1. (Định lí hội tụ đơn điệu của Beppo Levi). Cho {f
n
} là dãy
tăng các hàm khả tích (Lesbesgue) trên tập Ω ⊂ R
N
sao cho sup
n
f
n
< ∞. Khi
đó f
n
hội tụ hầu hết trên Ω về một hàm f khả tích trên Ω và
f
n
− f
1
=
Ω
|f
n
(x) − f (x)|dx → 0 khi n → ∞.
Định lý 1.2. (Định lí hội tụ bị chặn Lesbesgue). Cho {f
n
} là một dãy các
hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω. Giả sử
a, f
n
(x) → f (x) hầu hết trên Ω.
b, Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n,|f
n
(x)| ≤ g(x) hầu hết trên Ω.
Khi đó f khả tích và f
n
− f
1
=
Ω
|f
n
(x) − f (x)|dx → 0 khi n → ∞.
Hệ quả 1.3. Cho f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω. Nếu |f (x)| ≤
g(x) hầu hết trên Ω thì f khả tích trên Ω.
Suy ra, nếu |f | khả tích thì f khả tích (điều ngược lại cũng đúng).
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 4
Bổ đề 1.4. (Bổ đề Fatou). Giả sử {f
n
} là một dãy các hàm khả tích sao cho
a, f
n
≥ 0 hầu hết trên Ω, ∀n.
b, sup
f
n
< +∞.
Với mỗi x ∈ Ω, ta đặt f (x) = liminf f
n
(x). Khi đó f khả tích trên Ω và
f ≤ lim
n→∞
inf
f
n
.
Giả sử Ω
1
⊂ R
d
1
,Ω
2
⊂ R
d
2
là hai tập mở và F : Ω
1
× Ω
2
−→ R (hoặc C)
là hàm đo được.
Định lý 1.5. (Tonelli). Giả sử
Ω
2
|F(x,y)|dy < +∞,∀x ∈ Ω
1
và
Ω
1
dx
Ω
2
|F(x,y)|dy < +∞.
Khi đó F khả tích trên Ω
1
×Ω
2
.
Định lý 1.6. (Fubini). Cho F là hàm khả tích trên Ω
1
×Ω
2
. Khi đó, ∀x ∈ Ω
1
,
ta có F(x, ·) :→ F(x,y) khả tích trên Ω
2
và x →
Ω
2
F(x,y)dy khả tích trên Ω
1
.
Ta có kết quả tương tự khi đổi vai trò x cho y, Ω
1
cho Ω
2
. Hơn nữa ta có
Ω
1
dx
Ω
2
F(x,y)dy =
Ω
2
dy
Ω
1
F(x,y)dx =
Ω
1
×Ω
2
F(x,y)dxdy.
1.1.2 Không gian L
p
,1 ≤ p ≤ ∞
Định nghĩa 1.7. Cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa L
p
(Ω) = {f :
Ω → R (hoặc C); do f đo được và |f |
p
khả tích }, L
∞
(Ω) = {f : Ω → R
(hoặc C); f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C}, và ký hiệu
f
p
=
Ω
|f (x)|
p
dx
1/p
, f
∞
= inf
{
C;|f (x)| ≤ C
}
.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 5
Nhận xét 1.8. Nếu f ∈ L
∞
(Ω) t hì
|f (x)| ≤ f
∞
,∀x ∈ Ω.
Thật vậy, có dãy {C
n
} hội tụ về f
∞
sao cho ∀n,|f (x)| ≤ C
n
hầu hết trên
Ω. Vì vậy với mỗi n,|f (x)| ≤ C
n
,∀x ∈ Ω \ E
n
, trong đó E
n
là tập không
đáng kể (có độ đo 0). Đặt E = ∪
n
E
n
thì E là tập không đáng kể và với
mỗi n,|f ( x)| ≤ C
n
,∀x ∈ Ω \ E, suy ra |f (x)| ≤ f
∞
,∀x ∈ Ω \ E.
Ta kí hiệu q là số liên hợp của p,1 ≤ p ≤ ∞ nghĩa là
1
p
+
1
q
= 1.
Định lý 1.9. (Bất đẳng thức Holder). Giả sử p, q > 1 sao cho
1
p
+
1
q
= 1. Khi
đó với mọi f ∈ L
p
(X), g ∈ L
p
(X), ta có
X
|f .g|dµ ≤
X
|f |
p
dµ
1
p
X
|g|
q
dµ
1
q
.
Hay f .g
1
≤ f
p
g
q
.
Định lý 1.10. (Riemann- Lesbegue). Cho f ∈ L
1
(a,b), với (a, b) là khoảng
hữu hạn hoặc vô hạn của R thì ta có
lim
n→∞
b
a
f (x)cosnxdx = 0, lim
n→∞
b
a
f (x)sinnxdx = 0,
khi n → ∞.
1.1.3 Tích chập
Cho hai hàm số ϕ,ψ xác định trên R
N
thì hàm số ϕ ∗ψ, xác định như
sau:
(ϕ ∗ ψ)(x) =
+∞
−∞
ϕ(t)ψ(x −t)dt.
với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, gọi là tích chập của ϕ và ψ. Ta có
định lí sau.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 6
Định lý 1.11. Giả sử ϕ ∈ L
1
(R
N
) và ψ ∈ L
p
(R
N
) với 1 ≤ ∞. Khi đó, với mỗi
x ∈R
N
, hàm số y → ϕ(t)ψ(x −t) khả tích trên R
N
và ϕ ∗ψ ∈ L
p
(R
N
). Hơn
nữa,
ϕ ∗ ψ
p
≤ ϕ
1
ψ
p
.
1.2 Một vài định lí về không gian Banach và không gian Hilbert
Định nghĩa 1.12. Cho E và F là hai không gian định chuẩn và f là ánh
xạ tuyến tính từ E vào F. Ta định nghĩa
f = sup{ f : x ∈ E, x ≤ 1}.
Ánh xạ f được gọi là bị chặn nếu f < +∞.
Định lý 1.13. Giả sử f : E → F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian định
chuẩn E và F. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
a, f liên tục đều trên E;
b, f liên tục trên E;
c, f liên tục tại 0 ∈ E;
d, f bị chặn trên hình cầu đóng đơn vị, tức là
sup{ f (x) : x ≤ 1} < +∞;
e, Tồn tại hằng số C ≥ 0 để f (x) ≤ C x với mọi x ∈ E.
Định nghĩa 1.14. Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian metric
X và Y. Ta nói f là ánh xạ mở nếu ảnh f (G) của mọi tập mở trong X là
tập mở trong Y.
Nhận xét 1.15. f : X → Y là ánh xạ mở nếu và chỉ nếu f (B
(x, r)
) là lân cận
của f (x) với mọi x ∈ X và với mọi r > 0.
Nhận xét 1.16. Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian
định chuẩn E và F thì f là mở nếu và chỉ nếu f (B
(0,r)
) là lân cận của 0 ∈ F
với mọi r > 0.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 7
Định lý 1.17. (Định lí ánh xạ mở). Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f : E →
F từ không gian Banch E lên không gian Banach F đều là ánh xạ mở.
Định nghĩa 1.18. Dạng hermite trên không gian vector phức E là ánh xạ
ϕ :E × E → C
(x, y) −→ ϕ(x,y)
thỏa mãn các tính chất sau:
a, ϕ(x
1
+ x
2
,y) = ϕ(x
1
,y) + ϕ(x
2
,y) với mọi x
1
, x
2
,y ∈ E.
b, ϕ( λx, y) = λϕ(x,y) với mọi x,y ∈ E, với mọi λ ∈ C.
c, ϕ(x,y) = ϕ(y, x) với mọi x, y ∈ E, dấu gạch kí hiệu cho liên hợp
phức.
d, ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E.
e, ϕ(x, x) = 0 nếu và chỉ nếu x = 0.
Mệnh đề 1.19. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz.) Giả sử ϕ là dạng her-
mite dương trên không gian vector E. Khi đó
|ϕ(x, y)|
2
≤ ϕ(x,y).ϕ(y, y) với mọi x,y ∈ E.
Chứng minh. Đặt a = φ(x, x), b = φ(x,y), c = φ(y,y). Chú ý rằng a, c là
các số t hực không âm và bất đẳng thức cần chứng minh là: |b|
2
≤ ac. Với
mọi λ ∈ C ta có.
0 ≤ φ(x + λy , x + λy) = φ(x, x) + λφ(x, y) + λφ(y, x) + λλφ(y, y).
Hay
a + λb + λb + λλc ≥ 0 với mọi λ ∈ C. (1.1)
Nếu một trong các số a hoặc c dương, chẳng hạn c > 0 ta thay λ = −
b
c
vào bất đẳng thức (1.1) ta được
0 ≤ a −
b
c
b −
b
c
b +
bb
c
2
c = a −
bb
c
hay |b|
2
≤ a.c.
Nếu a = c = 0 ta thay λ = −b, a = c = 0 vào bất đẳng thức (1.1) ta được
−2|b|
2
≥ 0 do đó b = 0 và ta vẫn thu được |b|
2
≤ ac. Tóm lại trong mọi
trường hợp ta đều có |b|
2
≤ ac.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 8
Mệnh đề 1.20. (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu ϕ là dạng hermite dương
trên không gian vector E thì
ϕ(x + y, x + y) ≤
ϕ(x, x) +
ϕ(y, y) với mọi x,y ∈ E.
Chứng minh. Để chứng minh bất đẳng thức trên dựa vào bất đẳng thức
Cauchy-Schwartz. Xem tài liệu [3].
Định nghĩa 1.21. Ta gọi dạng hermite ϕ xác định dương trên không gian
vector E là tích vô hướng trên E.
Nếu E là tích vô hướng trên E thì chúng ta ký hiệu ϕ(x, y) bởi x, y
và gọi x,y là tích vô hướng của hai vector x và y.
Định nghĩa 1.22. Không gian vector E cùng với tích vô hướng x,y đã
cho trên E được gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.23. Không gian tiền Hilbert E được gọi là không gian
Hilbert nếu E cùng với chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên E là một không
gian Banach.
1.3 Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.24. Giả sử E là không gian Hilbert. Hệ các vector {x
α
}
α∈I
gọi là hệ vector trực giao nếu x
α
⊥ x
β
với mọi α = β và x
α
= 0 với mọi α .
Ngoài ra, nếu x
α
= 1, ∀α ∈ I thì {x
α
}
α∈I
gọi là hệ vector trực chuẩn.
Như vậy {x
α
}
α∈I
là hệ trực chuẩn nếu và chỉ nếu
{x
α
, x
β
} = δ
αβ
=
0 nếu α = β
1 nếu α = β
với mọi α, β ∈ I.
Chú ý rằng nếu {x
α
}
α∈I
là hệ trực giao thì hệ
x
α
x
α
α∈I
là hệ trực chuẩn.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 9
Định lý 1.25. Nếu {x
n
}
∞
n=1
là hệ trực giao trong không gian Hilbert E thì
chuỗi
∞
∑
n=1
x
n
hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số
∞
∑
n=1
x
n
2
hội tụ. Đồng thời ta có,
∞
∑
n=1
x
n
2
≤
∞
∑
n=1
x
n
2
.
Trường hợp đặc biệt khi dãy {e
n
}
n∈N
∗
là một hệ trực chuẩn trong E thì với mọi
dãy số {λ
n
}
n∈N
∗
, chuỗi
∞
∑
n=1
λ
n
x
n
hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số
∞
∑
n=1
|λ
n
|
n
hội tụ.
Khi đó,
∞
∑
n=1
x
n
2
=
∞
∑
n=1
|λ
n
|
2
.
Chứng minh. Trước hết, với mỗi n ∈N
∗
hệ {x
1
;. . .; x
2
} là hệ trực giao nên
theo đẳng thức Pythagore ta có:
n
∑
k=1
x
k
2
=
∞
∑
n=1
x
k
2
do đó, nếu chuỗi
∞
∑
n=1
x
n
hội tụ thì chuỗi
∞
∑
n=1
|λ
n
|
2
hội tụ.
Ngược lại, giả sử chuỗi
∞
∑
n=1
x
n
2
hội tụ, gọi
{
s
n
}
n∈N
∗
là dãy tổng riêng
của chuỗi
∞
∑
n=1
λ
n
x
n
: s
n
=
n
∑
k=1
x
k
, n ∈ N
∗
. Khi đó, với mọi n, p ∈ N
∗
ta có
s
n+p
−s
n
2
=
n+p
∑
k=n+1
x
k
2
=
n+p
∑
k=n+1
x
k
2
,
suy ra dãy
{
s
n
}
n∈N
∗
là dãy Cauchy trong E, vì E là không gian Hilbert
nên dãy đó hội tụ, chuỗi
∞
∑
n=1
x
n
hội tụ trong E.
Phần thứ hai của định lý là trường hợp đặc biệt của trường hợp vừa
chứng minh.
Định nghĩa 1.26. Giả sử {e
i
}
i∈I
là hệ các vector trong E. Ta nói {e
i
}
i∈I
là
hệ đầy đủ nếu từ điều kiện x⊥e
i
với mọi i ∈ I suy ra x = 0.
Định nghĩa 1.27. Hệ {e
i
}
i∈I
gọi là cơ sở trực giao nếu nó là hệ trực giao
và đầy đủ. Ngoài ra nếu e
i
= 1 với mọi i ∈ I thì cơ sở trực giao này gọi
là cơ sở trực chuẩn.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 10
Định lý 1.28. (Bất đẳng thức Bessel). Giả sử {e
n
}
n≥1
là hệ trực chuẩn trong
E. Khi đó, với mọi vector x ∈ E ta có:
∞
∑
n=1
|x, e
n
|
2
≤ x
2
.
Chứng minh. Cho x ∈ E tùy ý, do dãy {e
n
}
n≥1
là hệ trực chuẩn nên với
mỗi n ∈ N
∗
, áp dụng đẳng thức Pythagore cho hệ {e
1
;. . .;e
n
} ta được
0 ≤
x −
n
∑
k=1
x, e
k
e
k
2
=
x −
n
∑
k=1
x, e
k
e
k
, x −
n
∑
j=1
x, e
j
e
j
≤ x
2
−
n
∑
j=1
x, e
j
x, e
j
−
n
∑
k=1
x, e
k
e
k
, x +
n
∑
k=1
n
∑
j=1
x, e
k
x, e
j
e
k
,e
j
= x
2
−
n
∑
k=1
x, e
k
x, e
k
−
n
∑
k=1
x, e
k
x, e
k
+
n
∑
k=1
x, e
k
x, e
k
= x
2
−
n
∑
k=1
|x, e
k
|
2
hay
n
∑
k=1
|x, e
k
|
2
≤ x
2
với mọi n ∈ N
∗
.
Chuyển qua giới hạn hai vế bất đẳng thức trên khi n → ∞ ta được:
∞
∑
k=1
|x, e
k
|
2
≤ x
2
với mọi x ∈ E.
Bất đẳng thức được chứng minh.
Định lý 1.29. Cho {e
n
}
n≥1
là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E. Khi
đó các khẳng định sau là tương đương:
a, {e
n
}
n≥1
là cơ sở trực chuẩn của E.
b, x =
∞
∑
n=1
x, e
n
e
n
với mọi x ∈ E.
c, x,y =
∞
∑
n=1
x, e
n
y, e
n
với mọi x, y ∈ E.
d, x
2
=
∞
∑
n=1
|x, e
n
|
2
với mọi x ∈ E.
Chứng minh. Xem tài liệu [3].
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 11
1.4 Tích phân Dirichlet
Trong mục này sẽ phát biểu một bổ để về tích phân Dirichlet, công cụ
để khảo sát tính chất hội tụ của chuỗi Fourier và tích phân Fourier trong
các chương sau. Trước hết ta có định nghĩa sau đây về các hàm có biến
phân bị chặn.
Định nghĩa 1.30. Cho f là hàm số (thức hoặc phức) xác định trên
[
a, b
]
.
Giả sử P = {x
0
, x
1
, , x
n
} là một phân hoạch của
[
a, b
]
, nghĩa là a = x
0
<
x
1
< < x
n
= b. Đặt
V( f ) = V( f ; a, b) = sup
P
n
∑
i=1
|∆ f
i
|,
trong đó ∆ f
i
= f (x
i
− f (x
i−1
), sup lấy trên tất cả các phân hoạch của
[
a, b
]
. Ta gọi V( f ) là biến phân toàn phần của f trên
[
a, b
]
. Hàm f được
gọi là có biến phân bị chặn trên
[
a, b
]
nếu V( f ) < +∞.
Ví dụ 1.31. a, Nếu f là hàm số thực đơn điệu trên
[
a, b
]
thì f có biến phân
bị chặn trên
[
a, b
]
và V( f ) = |f (b) − f (a)|.
b, Nếu f là hàm số thực với f
tồn tại và bị chặn trên
[
a, b
]
, nghĩa là
|f
| ≤ M trên
[
a, b
]
, thì f có biến phân bị chặn trên
[
a, b
]
. Thật vậy, do
định lí Lagrange về giá trị trung bình của phép tính vi phân, ta có
n
∑
i=1
|f (x
i
) − f (x
i−1
)| ≤
n
∑
i−1
M(x
i
− x
i−1
) = M(b − a),
đúng cho mọi phân hoạch.
Tính chất 1.32. Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên
[
a, b
]
.
Khi đó
a, f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu Re( f ) và Im( f ), kí hiệu phần
thực và phần ảo của f , có biến phân bị chặn.
b, Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể
|f (x)| ≤ |f (a)|+ V( f ; a,b), ∀x ∈
[
a, b
]
.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 12
c, Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p
và q đơn điệu tăng trên
[
a, b
]
sao cho
f (x) = p(x) − q(x),∀x ∈
[
a, b
]
.
Hơn nữa, nếu f liên tục thì p, q cũng liên tục.
Nhận xét 1.33. Từ ví dụ a và tính chất c, ta thấy rằng có mối liên hệ chặt
chẽ giữa hàm đơn điệu và hàm có biến phân bị chặn. Tính chất c cũng
cho ta thấy f khả tích trên
[
a, b
]
nếu f có biến phân bị chặn trên
[
a, b
]
.
Bổ đề 1.34. (Tích phân Dirichlet). Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định
trên (a,b) thỏa mãn một trong hai điều kiện Dirichlet sau đây
i, Tồn tại f (a
+
), f (b
−
) và f có biến phân bị chặn trên đoạn
[
a, b
]
, (ta xem
như f xác định trên
[
a, b
]
với giá trị tại biên là f (a
+
) và f (b
−
)).
ii, Có hữu hạn điểm thuộc đoạn
[
a, b
]
sao cho khi bỏ đi các điểm lân cận bé
tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của
đoạn
[
a, b
]
; hơn nữa f ∈ L
1
(a,b).
Khi đó, nếu 0 < a < b thì
lim
n→∞
b
a
f (x)
sinnx
x
dx = 0
Nếu 0 = a < b, ∃f (0
+
) và f có biến phân bị chặn trên một lân cận
[
0,δ
]
của 0
(δ > 0) thì
lim
n→∞
b
0
f (x)
sinnx
x
dx =
π
n
f (0
+
).
Chứng minh. Xem tài liệu [1].
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 13
Chương 2
Chuỗi Fourier
Trong chương này, ta khảo sát vấn đề biểu diễn một hàm tuần hoàn
chu kỳ T = 2π thành tổng vô hạn các hàm điều hòa đơn giản dạng
a
k
coskx + b
k
sinkx. Ta sẽ thấy một biểu diễn như thế có thể thực hiện
với một lớp hàm khá rộng. Ý nghĩa của vấn đề này là dao động phức tạp
có thể biểu diễn thành tổng các dao động điều hòa đơn giản. Ngoài ra,
khái niệm chuỗi hàm lượng giác không chỉ ứng dụng cho các dao động
tuần hoàn mà còn rất có ích trong việc nghiên cứu nhiều hiện tượng tự
nhiên khác.
2.1 Một số khái niệm
2.1.1 Hàm tuần hoàn
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số ϕ(t) xác định trên R, ϕ(t) được gọi là hàm
tuần hoàn với chu kỳ T, nếu tồn tại T > 0 nhỏ nhất sao cho
ϕ(t + T) = ϕ(t).
2.1.2 Hàm điều hòa
Xét hàm số
ϕ(t) = A
0
+ A
1
sin(ωt + α
1
+ A
2
sin(2ωt + α
2
) + . . .
= A
0
+
∞
∑
n=1
A
n
sin(nωt + α
n
)
(2.1)
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 14
Trong đó A
0
, A
1
,. . .,α
1
,α
2
. . . là các hằng số có giá trị đặc biệt với mỗi hàm
như trên, ω =
2π
T
gọi là thành phần điều hòa của hàm ϕ(t).
Quá trình khai triển các hàm tuần hoàn thành các thành phần điều hòa
gọi là giải tích điều hòa.
Nếu ta chọn làm biến độc lập x = ωt =
2πt
T
thì ta thu được hàm đối với
x, f (x) = ϕ
x
ω
cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π, khi đó khai
triển công thức (2.1) có dạng
f (x) = A
0
+ A
1
sin(x + α
1
) + A
2
sin(2x + α
2
+ . . .
= A
0
+
∞
∑
n=1
A
n
sin(nt + αn).
(2.2)
Khai triển các số hạng của chuỗi (2.2) theo công thức sin của tổng và đặt
a
0
= A
0
, a
n
= A
n
sinα
n
, b
n
= A
n
cosα
n
, (n = 1,2,. . .), khi đó ta được
f (x) = a
0
+ (a
1
cos x + b
1
sin x) + (a
2
cos2x + b
2
sin2x) + .
= a
0
+
∞
∑
n=1
(a
n
cosnx + b
n
sinnx).
(2.3)
Hàm tuần hoàn f (x) có chu kỳ T = 2π được khai triển theo công thức
(2.3) được gọi là hàm điều hòa.
2.1.3 Các hệ số Fouirer
Xét hàm f (x) = a
0
+
∞
∑
n=1
(a
n
cosnx + b
n
sinnx). f (x) là hàm tuần hoàn
với chu kỳ T = 2π khi khai triển lượng giác hàm T = 2π ta xác định các
hệ số a
0
, a
1
. . ., a
n
, b
0
, b
1
. . ., b
n
như sau:
Hệ số a
0
.
Ta giả sử f (x) liên tục từng khúc trên đoạn [−π; π]. Lấy tích phân hai
vế của (2.3) trên [−π; π] ta có:
π
−π
f (x)dx =
π
−π
a
0
+
∞
∑
n=1
(a
n
cosnx + b
n
sinnx)
dx
= 2πa
0
+
∞
∑
n=1
a
n
π
−π
cosnxdx + b
n
π
−π
sinnxdx
.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 15
Ta có :
π
−π
cosnxdx =
sinnx
n
π
−π
= 0,
π
−π
sinnxdx = −
cosnx
n
π
−π
= 0.
Do đó ta có
∞
∑
n=1
a
n
π
−π
cosnxdx + b
n
π
−π
sin xdx
= 0.
Suy ra
π
−π
f (x)dx = 2πa
0
⇒ a
0
=
1
2π
π
−π
f (x)dx. (2.4)
Hệ số a
m
.
Ta nhân cả hai vế của (2.3) với cos mx rồi lấy tích phân trên đoạn
[
−π; π
]
, cosmx = 0. Khi đó ta có
π
−π
f (x)cosmxdx = a
0
π
−π
cosmxdx +
∞
∑
n=1
a
n
π
−π
cosnx cos mxdx
+b
n
π
−π
sinnx cos mxdx
.
Ta có
π
−π
cosmxdx =
sinmx
m
π
−π
= 0.
* Trường hợp m = n.
Vì
π
−π
sinnx cos mxdx =
1
2
π
−π
[
s in(m + n)x + sin(n −m)x
]
dx = 0
π
−π
cosnx cos mxdx =
1
2
π
−π
[
cos(m + n)x + cos(n − m)x
]
dx = 0.
*Trường hợp m = n.
Ta có
π
−π
cos
2
mxdx =
π
−π
1+cos 2mx
2
dx = π khi đó
a
n
= a
m
⇒
π
−π
f (x)cosmxdx =
∞
∑
m=1
a
m
π.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 16
Do vậy
a
m
=
1
π
π
−π
f (x)cosmxdx; m = 1, 2, . . . (2.5)
Hệ số b
m
.
Ta nhân hai vế của (2.3) với sinmx, sinmx = 0, rồi lấy tích phân trên
đoạn
[
−π; π
]
, ta được
π
−π
sinmxdx = a
0
π
−π
sinmxdx +
∞
∑
n=1
a
n
π
−π
cosnx sin mxdx
+b
n
π
−π
sinnx sin mxdx
.
Ta có
π
−π
a
0
sinmxdx = 0.
*Trường hợp m = n.
π
−π
sinmx cos nxdx =
1
2
π
−π
[
sin(m + n)x + sin(n − m)x
]
dx = 0
π
−π
sinnx sin mxdx = −
1
2
π
−π
[
cos(m + n)x −cos(m − n)x
]
dx = 0,
với mọi m = n.
*Trường hợp n = m.
Vì
π
−π
sin
2
mxdx =
π
−π
1 −cos2mx
2
dx =
1
2
π
−π
(1 −cos2mx)dx
=
1
2
x
π
−π
−
1
2
π
−π
cos2mxdx = π.
Khi đó ta có
π
−π
f (x)sinmxdx = b
m
π
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 17
⇒ b
m
=
1
π
π
−π
f (x)sinmxdx, m = 1, 2, . . . (2.6)
Các công thức (2.4), (2.5), (2.6) được biết với tên gọi là công thức Euler-
Fouirer các hệ số được tính từ các công thức đó là các hệ số Fourier của
chuỗi hàm đã cho bởi (2.3).
Nếu hàm f (x) được khai triển dạng
f (x) = a
0
+
∞
∑
n=1
(a
n
cosnx + b
n
sinnx)
mà chuỗi này hội tụ thì chuỗi
∞
∑
n=1
(a
n
cosnx + b
n
sinnx) + a
0
được gọi là
chuỗi Fourier của hàm f (x).
2.1.4 Hệ trực giao của các hàm.
Ta gọi hai hàm ϕ(x) và ψ(x) được xác định trong khoảng (a; b) là trực
giao trong khoảng đó nếu tích các hàm đó có tích phân bằng 0. Tức là
b
a
ϕ(x)ψ(x)dx = 0
Ta xét hệ các hàm
{
ϕ
n
(x)
}
n=1,2,
, được xác định trong khoảng (a; b) và
liên tục trên khoảng đó hoặc liên tục trên từng đoạn, nếu các hàm của
hệ đã cho trực giao từng đôi một. Tức là
b
a
ϕ
n
(x)ψ
m
(x)dx = 0,(m, n = 1,2,. . .,m = n),
thì ta gọi hệ đó là hệ trực giao của các hàm.
Khi đó ta luôn giả thiết rằng
b
a
ϕ
2
n
(x)dx = λ
n
> 0.
Nếu λ
n
= 1,n = 1,2, . . . , thì hệ được gọi là trực chuẩn.
Nếu λ
n
= 1,n = 1,2,. . . , thì nếu cần chuyển qua hệ
ϕ
n
(x)
√
λ
n
, hệ này là hệ
trực chuẩn.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 18
2.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier
Trong mục này, ta xét sự hội tụ của chuỗi Fourier với công cụ là bổ đề
về tích phân Dirichlet đã phát biểu trong chương 1.
2.2.1 Sự hội tụ
Định lý 2.2. Cho f ∈ L
1
[
−π; π
]
. Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong
(−π; π), thì chuỗi Fourier của hàm f sẽ hội tụ về f (x) tại những điểm x ∈
(−π; π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về
1
2
[
f (x
+
) + f (x
−
)
]
, nếu x là
điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về
1
2
[
(−π
+
) + f (π
−
)
]
tại x = ±π nếu
f (−π
+
) và f (π
−
) tồn tại.
Chứng minh. Đặt
S
n
(x) =
a
0
2
+
n
∑
k=1
(a
k
coskx + b
k
sinkx).
Ta có
S
n
=
1
2π
π
−π
f (x
)
[
1 + 2(cos x
cos x + sin x
sin x) + . . .
+2(cos nx
cosnx + sinnx
sinnx)
]
=
1
2π
π
−π
f (x
)
[
1 + 2cos(x
− x) + . + 2cos n(x
− x)
]
dx
=
1
2π
π
−π
f (x
)
sin
1
2
(2n + 1)(x
− x)
sin
1
2
(x
− x)
dx
,
do công thức
1 + 2
n
∑
k=1
cosku =
sin
1
2
(2n + 1)u
sin
1
2
u
.
Suy ra
S
n
=
1
2π
x
−π
f (x
)
sin
1
2
(2n + 1)(x
− x)
sin
1
2
(x
− x)
dx
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 19
+
1
2π
π
x
f (x
)
sin
1
2
(2n + 1)(x
− x)
sin
1
2
(x
− x)
dx
.
Đổi biến α =
x−x
2
và α =
x
−x
2
lần lượt trong tích phân thứ nhất và tích
phân thứ hai của đẳng thức trên, ta được:
S
n
=
1
2π
(x+π) /2
0
f (x −2 α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα
+
1
π
(x−π) /2
0
f (x + 2 α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα.
(2.7)
Với x ∈ (−π; π) cố định, ta có các hàm theo biến α là f (x ±2α) thảo mãn
điều kiện Dirichlet trong các khoảng tướng ứng (0;
π−x
2
) và (0;
π+x
2
). Do
đó, nếu f (x
+
) và f (x
−
) tồn tại, theo bổ đề tích phân Dirichlet ta có
lim
n→∞
S
n
=
1
π
π
2
f (x
−
) +
π
2
f (x
+
)
=
1
2
f (x
−
) + f (x
+
)
.
Với x = π do (2.7) ta có:
S
n
(x) =
1
π
π
0
f (π −2α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα
=
1
π
π−ε
0
f (π −2α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα +
1
π
π
π−ε
f (π −2α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα
=
1
π
π−ε
0
f (π −2α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα +
1
π
ε
0
f (2x
−π)
sin(2n + 1)x
sin x
dx
.
Trong đó, ta biến đổi x
= π − α ở tích phân thứ hai. Áp dụng bổ đề tích
phân Dirichlet, ta suy ra
lim
n→∞
S
n
(x) =
1
2
f (π
−
) + f (π
+
)
.
Với x = −π, chứng minh tương tự.
Chú thích: Có những hàm f liên tục trên
[
−π; π
]
mà tại một điểm nào
đó thuộc đoạn
[
−π; π
]
, chuỗi Fourier của f không hội tụ.
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
Tích phân Fourier và một số tính chất 20
2.2.2 Sự hội tụ đều
Định lý 2.3. Cho f ∈ L
1
[
−π; π
]
. Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều kiện
Dirichlet trên
[
−π; π
]
. Giả sử f liên tục trên khoảng (u;v) ⊂ (−π;π). Khi
đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất kỳ
[
a, b
]
⊂ (u; v).
Chứng minh. Trước hết ta thác triển f thành hàm xác định trên R, tuần
hoàn với chu kỳ 2π bằng công thức
f (x + 2 π) = f (x).
Khi đó, trong bất kỳ đoạn nào, ví dụ đoạn
[
−2π;2π
]
, f được biểu diễn
dưới dạng
f = F −G,
với F và G là các hàm bị chặn, không âm và đơn điệu tăng. Ngoài ra, F
và G liên tục tại các điểm mà f liên tục.
Để chứng minh sự hội tụ đều, cho trước số ε > 0 bất kỳ, ta sẽ tìm được số
n
0
∈ N sao cho với mỗi n > n
0
, bất đẳng thức "|S
n
(x) − f (x)| < ε" đúng
cho ∀x ∈
[
a; b
]
. Thật vậy, với mỗi x ∈
[
a; b
]
, ta có
S
n
(x) =
1
2π
π
−π
f (x
)
sin
1
2
(2n + 1)
sin
1
2
(x − x
)
dx
=
1
π
(π−x) /2
(−π−x)/2
f (x + 2 α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα
=
1
π
π/2
−π/2
f (x + 2 α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα,
trong đó, ta đã sử dụng phép biến đổi x
= x + 2α trong tích phân thứ
hai và tính tuần hoàn chu kỳ 2π của f trong tích phân thứ ba.
Do f = F −G, tách cận tích phân và biến đổi ta được
S
n
(x) =
1
π
π/2
−π/2
F(x + 2α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα −
1
π
π/2
−π/2
G(x + 2α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα
=
1
π
π/2
0
F(x + 2α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα +
1
π
π/2
0
F(x −2α)
sin(2n + 1)α
sinα
dα
Đỗ Thế Hải - K51 ĐHSP Toán Lí Trường Đại Học Tây Bắc
