bài tập lũy thừa và logarit ôn thi đại học

Phạm Ngọc Chuyên trường thpt quỳnh lưu 2 - Lũy thừa- logarit
1


Baøi 1. Thực hiện các phép tính sau::
A=
2:4
– 2
+ (3
– 2
)
3
.(
1
9
)
– 3
5
– 3
.25
2
+ (0,7)
0
.(
1
2
)
– 2
B=
2
3

.2
– 1
+ 5
– 3
.5
4
10
– 3
:10
– 2
– (0,2)
0


   
32
3
7 2 7
1 . . 7 .
8 7 14
A
     
     
     
     
B= (
1
3
)
– 10

.27
– 3
+ (0,2)
– 4
.25
– 2

e)
   
     
73
4
4 5 2
18 .2 . 50
25 . 4 . 27
E


  
f)
   
 
33
6
4
2
3
125 . 16 . 2
25 5
F








g)
 
   
2
3 1 3 4 2
03
3 2 2
2 .2 5 .5 0,01 .10
10 :10 0,25 10 0,01
G

  

  




   
   
26
4
64

2
3 . 15 .8
9 . 5 . 6
B




h)
1
51
3 7 1 1
2
33
2 4 4 2
A= 3 .5 :2 : 16: 5 .2 .3


   
   

   

   
   
   

   

( đáp số : A= 15/2 )

A= (a
– 4
– b
– 4
):(a
– 2
– b
– 2
) d)B = (x
3
+ y
– 6
):(x +
1
y
2
)
c)
32
23
48C 
d)
 
2
3
5
2
32D



A= (
1
16
)
– 0,75
+ (
1
8
)
– 4/3

   
1
1
2
43
0,25
1
0,5 625 2 19. 3
4
B



    



  
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
4 10 25 2 5H    
B=
   
1 2 2 1 2 4
3 3 3 3 3 3
a b a a b b  


D=
     
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
a b a b a b  
C=
)aa)(aa)(aa(
5
1
5
2
5
4
5
2
5
2
5

1




E =
)1aa)(1aa)(1aa(
44


F =
1
2
1
2
1
23)23()23(23





















5
3
. 2 2 2aA
=
3
10
2
. b.
 
11
1
16
4
:0B a a a a a a a  

c.
 
2
4
3
0C x x x
d.
 

5
3
0
ba
D ab
ab


a)
2:22.2
5
3
b)
3
3
8.2.4

c)
16
11
a:aaaa
d)
2
1
3
3
a:a.a.a

e)
5

4
3
2
x.x.x
f)
5
3
b
a
.
a
b




Baøi 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a)
 
4
2
3
,0x x x 
b)
 
5
3
, , 0
ba

ab
ab

c)
5
3
222

d)
3
3
2 3 2
3 2 3
e)
4
3
8
a
f)
5
2
3
bb
bb

Baøi 3. Đơn giản các biểu thức sau:
d)
a1
)a1)(a1(
aa

2
1
2
1
2
1





e)
)aa(a
)aa(a
4
1
4
3
4
1
3
2
3
1
3
4





f)
66
3
1
3
1
ba
abba



g)
)abba)(ba(
3
3
2
3
2
33

h)










33
3
1
3
1
a
b
b
a
2:)ba(

a)
1,5 1,5
0,5 0,5
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
2
ab
ab
b
ab
ab
ab







b)
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2 2 1
.
1
21
a a a
a
a a a

  







c)
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
.
x y x y x y y
x y x y
xy x y xy x y










d)
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
2
11
22
33
.
2
x y x y x y
xy
xy


  












g)
 
 
 
1
1
2 2 2
2
1
1
. 1 .
2
a b c
b c a
a b c
bc
a b c








  





h)
1 1 1
2 2 2
11
22
2 2 ( 1)
.
1
21
a a a
a
a a a


  








5.Rút gọn các biểu thức sau:
a)A =
)52)(25104(

3
1
3
1
3
1
3
1
3
1

b) B =
2
1
2
1
2
1
2
1
yx
x.yy.x



c) C =
ab
ba
)ba)(ba(
2

1
2
1
4
3
4
3
4
3
4
3



d) D =
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3

ax
ax
.)ax(
ax
ax


























e) E =
)ba(:
ba
ba
b.aa
ba
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
3

















f) F =
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
aa
a34a
a3a2
a9a4



















g) G =


























1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3

2
3
)ba(ba:
ba
b
ba
a
ba
ba

h) H =




























2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
1
2
1
2
1
ba
ba
baa
ba
.

a3
aba2
i) I =
3
5
2
44
2
44
3
aa.
aba
)ba()ba(
a









j)J =
3
23
3
2
3
2

2
223
3
2
3
2
3
2
642246
2
b2)ab(a
ba2)ab(
)bba3ba3a(
a
1















Phạm Ngọc Chuyên trường thpt quỳnh lưu 2 - Lũy thừa- logarit
3



9**.Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
aa
a23a
a2a
a4a










b)
3
2
3
4
3
4
3
2
2
3
2
3
2
3
4
3
4
aa
a2a23a3
a2a5
a4a25











c)
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
a2a
a25a2
aa
aa









d)
2
1

2
1
1
2
1
2
1
1
a3a
a9a
a5a
a103a










e)
2
1
2
1
1
2
1

2
1
1
a3a
a152a
a5a
a25a









f)
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
a3a
a121a
a4a3

a16a9











Baøi 4. So sánh các cặp số sau:
a)
 
 
2
2
0,01 vaø10


b)
26
vaø
44
   
   
   

c)

2 3 3 2
5 vaø5


d)
300 200
5 vaø8
e)
 
0,3
3
0,001 vaø 100

f)
 
2
2
4 vaø 0,125


g)
   
35
22vaø

h)
45
45
54
vaø


   
   
   
i)
10 11
0,02 50vaø


k)
   
12
42
3 1 3 1vaø
l)
22
32
vaø
52

   
   
   
m)
5 10
23
vaø
22
   
   

   


15.So sánh các cặp số sau:
a)
2/5
2







và
3/10
2







b)
2
2








và
3
5







c)
4/10
5
3






và
2/5
7
4








d)
3
7
6






và
2
8
7






e)
5
6








và
2
5







f)
2
5
2






và
3
5
3









Baøi 5. So sánh hai số m, n nếu:
a)
3,2 3,2
mn

b)
   
22
mn

c)
11
99
mn
   

   
   

d)
33
22
mn

   

   
   
e)
   
5 1 5 1
mn
  
f)
   
2 1 2 1
mn
  

Baøi 6. Có thể kết luận gì về số a nếu:
a)
   
21
33
11aa

  
b)
   
31
2 1 2 1aa

  
c)

0,2
2
1
a
a






d)
   
11
32
11aa

  
e)
   
3
2
4
22aa  
f)
11
22
11
aa


   

   
   

g)
37
aa
h)
11
17 8
aa


i)
0,25 3
aa












Baøi 7. Giải các phương trình sau:

a)
5
4 1024
x

b)
1
5 2 8
2 5 125
x




c)
13
1
8
32
x


d)
 
2
2
1
33
9
x

x





e)
2 8 27
.
9 27 64
xx
   





f)
2
56
3
1
2
xx





g)

28
1 0,25
.32
0,125
8
x
x






h)
0,2 0,008
x

i)
3 7 7 3
97
49 3
xx
   






k)

5 .2 0,001
xx

l)
   
1
12 . 3
6
xx

m)
11
1
7 .4
28
xx


Baøi 8. Giải các bất phương trình sau:
a)
0,1 100
x

b)
3
1
0,04
5
x





c)
100
0,3
9
x


d)
2
7 . 49 343
x

e)
2
11
9
3 27
x




f)
1
3
93
x



g)
 
1
3 .3
27
x

h)
1
1
27 .3
3
xx

i)
3
1
. 2 1
64
x





Baøi 9. Giải các phương trình sau:
a)
2

2 2 20
xx

b)
1
3 3 12
xx

c)
1
5 5 30
xx


d)
11
4 4 4 84
x x x
  
e)
2
4 24.4 128 0
xx
  
f)
1 2 1
4 2 48
xx


g)
3.9 2.9 5 0
xx
  
h)
2
56
31
xx

i)
1
4 2 24 0
xx
  

Phạm Ngọc Chuyên trường thpt quỳnh lưu 2 - Lũy thừa- logarit
5






Baøi 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
3
2

164log
b)
3
3
1
327log
c)
5
2
328log

d)
3
a
aalog
e) log
3
(log
2
8) e)
22
log 8


a)
21
4
log 4.log 2
b)
5 27

1
log .log 9
25
c)
3
log
a
a

a.
3
5
log
a
A a a a
b.
2
3
5
log
a
B a a a a
c.
53
32
1
4
log
a
a a a

aa


a)
3log
8
2
b)
2log
7
49
c)
10log3
5
25
d)
7log2
2
64
e)
3log2
2
4

f)
8log3
10
10

d)
3
2
log 2
log 3
49
f)
9
8
log 2
log 27
27 4
i)
3 81
2log 2 4log 5
9


k)
99
3
log 36 4log 7
log 5
81 27 3
l)
57
log 6 log 8
25 49
m)
5

3 2log 4
5



a.
9
125 7
11
log 4
log 8 log 2
42
81 25 .49





b.
25
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4




c.
77
3
1
log 9 log 6
log 4
2
72 49 5






d.
69
log 5 log 36
1 lg2
36 10 3



o)
9
2 125
1 log 4
2 log 3 log 27
3 4 5




p)
3
6
log 3.log 36


a.
9 9 9
log 15 log 18 log 10A   
b.
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B   

a.
22
log 2sin log os
12 12
Ac





b.

   
3
3 3 3 3
44
log 7 3 log 49 21 9B     

c.
10 10
log tan4 log cot4
d. D
4 4 4
1
log 216 2log 10 4log 3
3
  

d.
0 0 0 0
logtan1 logtan2 logtan3 logtan89   

c.
36 1
6
1
log 2 log 3
2
C 
d.
 
1 3 2

4
log log 4.log 3D 


















n)
68
11
log 3 log 2
94
h)
7log
1
5log
1

68
4925 


e.
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15A 


r)
8 4 2 2 3 4
log log (log 16) .log log (log 64)
   
   


Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho
2
log 14 a
. Tính
49
log 32
theo a.
b) Cho
15
log 3 a
. Tính
25
log 15

theo a.
c) Cho
lg3 0,477
. Tính
lg9000
;
lg0,000027
;
81
1
log 100
.
d) Cho
7
log 2 a
. Tính
1
2
log 28
theo a.
Baøi 2. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho
25
log 7 a
;
2
log 5 b
. Tính
3
5

49
log
8
theo a, b.
b) Cho
30
log 3 a
;
30
log 5 b
. Tính
30
log 1350
theo a, b.
c) Cho
14
log 7 a
;
14
log 5 b
. Tính
35
log 28
theo a, b.
d) Cho
2
log 3 a
;
3
log 5 b

;
7
log 2 c
. Tính
140
log 63
theo a, b, c.
8.Cho log
6
15 = a ,log
12
18 = b , tính log
25
24
9.Cho log
25
7 = a ,log
2
5 = b hãy tính
8
49
log
3
5

10. Chứng minh rằng log
18
6 + log
2
6 = 2log

18
6.log
2
6
11. Cho lg5 = a ,lg3 = b tính log
30
8
12. Cho log
6
15 = a ,log
12
18 = b tính biểu thức A = log
25
24
13. Cho log
45
147 = a ,log
21
75 = b , tính biểu thức A = log
49
75
12. Cho log
27
5 = a , log
8
7 = b , log
2
3 = c .Tính log
6
35 theo a,b,c

13.Cho log
2
3 = a , log
3
5 = b , log
7
2 = c .Tính log
140
63 theo a,b,c

a.
6
log 16A
. Biết :
12
log 27 x
A =
12 4
3
x
x



b.
125
log 30B 
. Biết :
log3 ;log2ab

c.
3
log 135C 
. Biết:
22
log 5 ;log 3ab
C =
3ab
b


d.
6
log 35D 
. Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c  
D =
 
31
1
ba
b



e. Tính :
49
log 32
. Biết :

2
log 14 a
E =
 
5
21a




Phạm Ngọc Chuyên trường thpt quỳnh lưu 2 - Lũy thừa- logarit
7








Baøi 3. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):
a)
log log
aa
cb
bc
b)
log log
log ( )
1 log

aa
ax
a
bx
bx
x



c)
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c


d)
1 – (log
a
b)
3
(log
a
b + log
b

a + 1)log
a
(
a
b
)
e) lgtg1
o
+ lgtg2
o
+ …+ lgtg89
o
c) log
a
d.log
b
d + log
b
d.log
c
d + log
c
d.log
a
d =
log
a
d.log
b
d.log

c
d
log
abc
d

a.
  
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a    

`b.
 
 
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x
x
B x x x x

  

c.
 

log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p   


d)
1
log (log log )
32
c c c
ab
ab


, với
22
7a b ab
.
e)
1
log ( 2 ) 2log 2 (log log )
2
a a a a
x y x y   
, với
22
4 12x y xy
.
k, log
c

2a + 3b
4
=
log
c
a + log
c
b
2
Với 4a
2
+ 9b
2
= 4ab
f)
log log 2log .log
b c c b c b c b
a a a a
   

, với
2 2 2
a b c
.
g)
234
1 1 1 1 1 ( 1)

log log log log log 2log
k

aa
a a a a
kk
x x x x x x

     
.
h)
log .log .log
log .log log .log log .log
log
a b c
a b b c c a
abc
N N N
N N N N N N
N
  
.
i)
1
1 lg
10
z
x


, nếu
11
1 lg 1 lg

10 10
xy
y vaøz


.
k)
2 3 2009 2009!
1 1 1 1

log log log logN N N N
   
.
l)
log log log
log log log
a b a
b c c
N N N
N N N



, với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.


Baøi 4. Cho a > 0, a

1. Chứng minh:
1

log ( 1) log ( 2)
aa
aa

  

HD: Xét A =
1 1 1
11
log ( 2) log log ( 2)
log .log ( 2)
log ( 1) 2
a a a
aa
a
a a a
aa
a
  

  
  

=
=
2
11
log ( 2) log ( 1)
1
22

aa
a a a








Baøi 1. Tính các giới hạn sau:
a)
lim
1
x
x
x
x





b)
1
1
lim 1
x
x
x

x






c)
21
1
lim
2
x
x
x
x








d)
1
3
34
lim
32

x
x
x
x







e)
1
lim
21
x
x
x
x






f)
21
lim
1
x

x
x
x







g)
ln 1
lim
xe
x
xe



h)
2
0
1
lim
3
x
x
e
x



i)
1
lim
1
x
x
ee
x




k)
0
lim
sin
xx
x
ee
x



l)
sin2 sin
0
lim
xx
x

ee
x


m)
 
1
lim 1
x
x
xe



Baøi 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3
2
1y x x  
b)
4
1
1
x
y
x



c)

2
5
2
2
1
xx
y
x




d)
3
sin(2 1)yx
e)
3
2
cot 1yx
f)
3
3
12
12
x
y
x




g)
3
3
sin
4
x
y


h)
11
5
9
96yx
i)
2
4
2
1
1
xx
y
xx




Baøi 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

x
y x x e
2
( 2 2)  
b)
x
y x x e
2
( 2 )


c)
2
.sin
x
y e x



d)
2
2xx
ye


e)
1
3
.
xx

y x e


f)
2
2
xx
xx
ee
y
ee




g)
cos
2.
xx
ye
h)
2
3
1
x
y
xx


i)

x
y xe
cot
cos .

Baøi 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
2
ln(2 3)  
b)
yx
2
log (cos )
c)
x
y e x.ln(cos )

d)
y x x x
2
(2 1)ln(3 )  
e)
y x x
3
1
2
log ( cos )
f)
yx

3
log (cos )

g)
x
y
x
ln(2 1)
21



h)
x
y
x
ln(2 1)
1



i)
 
2
ln 1y x x  

Baøi 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
a)
x
y xe xy x y

2
2
2
. ; (1 )

   
b)
xx
y x e y y e( 1) ;   

c)
4
2 ; 13 12 0
xx
y e e y y y


    
d)
2
. . ; 3 2 0
xx
y ae be y y y


    

g)
.sin ; 2 2 0
x

y e x y y y

 
   
h)
 
4
.cos ; 4 0
x
y e x y y

  

i)
sin
; cos sin
x
y e y x y x y      
k)
2
.sin5 ; 4 29 0
x
y e x y y y   

l)
2
1
. ; 2
2
xx

y x e y y y e     
m)
4
2 ; 13 12 0
xx
y e e y y y


    

n)
xx
xy
y x e y e x
x
22
2
2
( 1)( 2010); ( 1)
1
      





Phạm Ngọc Chuyên trường thpt quỳnh lưu 2 - Lũy thừa- logarit
9

Baøi 6. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
a)
1
ln ; 1
1
y
y xy e
x

  



b)
1
; ln 1
1 ln
y xy y y x
xx

   



c)
y x x y xy x y
2

sin(ln ) cos(ln ); 0     
d)
x
y x y x y
xx
2 2 2
1 ln
; 2 ( 1)
(1 ln )

   


e)
2
22
1
1 ln 1; 2 ln
22
x
y x x x x y xy y        

Baøi 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:
a)
x
f x f x f x e x x
2
'( ) 2 ( ); ( ) ( 3 1)   

b)

3
1
'( ) ( ) 0; ( ) lnf x f x f x x x
x
  

c)
2 1 1 2
'( ) 0; ( ) 2. 7 5
xx
f x f x e e x

    

d)
'( ) '( ); ( ) ln( 5); ( ) ln( 1)f x g x f x x x g x x     

e)
21
1
'( ) '( ); ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln5
2
xx
f x g x f x g x x

   