giải một bài toán quỹ tích như thế nào

Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
GII MT BI TON QU TCH NH TH NO?
PHầN I: Đặt vấn đề
Trong chơng trình sách giáo khoa chỉnh lí của môn hình học, không những
chỉ có từ quỹ tích đợc sử dụng trở lại mà các kiến thức về quỹ tích cũng đã đợc
trả về vị trí xứng đáng của nó. Điều này cũng có lí do chính đáng. Không thể phủ
nhận đợc ý nghĩa và tác dụng to lớn của quỹ tích trong việc rèn luyện t duy toán
học nói riêng và đối với việc rèn luyện t duy linh hoạt nói chung, một phẩm chất
rất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con ngời. Tuy vậy, cũng phải nhận
rằng đây cũng là phần khó, nếu không muốn nói là khó nhất của chơng trình,
khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phơng pháp, và càng
khó hơn trong việc vận dụng các phơng pháp ấy vào việc giải bài tập. Đối với các
thầy, cô giáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải để
giúp cho học sinh hiểu đợc một cách rõ ràng, nắm chắc chắn những gì mà thầy
cô giáo muốn truyền đạt cho họ.
Bài toán quỹ tích đợc chính thức giới thiệu ở chơng III- Góc với đờng tròn -
trong phần hình học lớp 9, còn gọi là bài toán tìm tập hợp điểm mà các học sinh
khá giỏi đã đợc làm quen ở lớp 8 với các kiến thức thuộc chơng trình hình học
lớp 7 và lớp 8. Khi gặp dạng toán quỹ tích học sinh giải toán rất kém, nhiều học
sinh khá cũng không biết bắt đầu giải bài toán nh thế nào?
Học sinh giải các bài toán quỹ tích còn nhiều hạn chế. Vì:
- Nhiều giáo viên quen với việc sử dụng các phơng pháp truyền thống, thiên
về diễn giải lý thuyết mà ít chú ý tới việc phải đa học sinh vào các tình
huống có vấn đề, phù hợp với nội dung bài toán để đa các em vào hoạt
động rèn luyện kỹ năng t duy không gian.
- Một số giáo viên có áp dụng phơng pháp mới, đa ra các tình huống có vấn
đề để hớng học sinh giải quyết nhng không giúp học sinh hình thành kỹ
năng phân tích và giải bài toán quỹ tích.
Trong chơng trình hình học lớp 7 và 8 học sinh đã đợc làm quen với một số
bài toán quỹ tích cơ bản. Việc giải bài toán quỹ tích chỉ dừng lại ở phần tìm quỹ
tích các điểm thoả mãn một điều kiện nào đó (phần thuận), nhng việc giải bài

toán quỹ tích ở lớp 9 đợc trình bày theo ba phần: Phần thuận (và tìm giới hạn
quỹ tích), phần đảo, phần kết luận. Xuất phát từ thực tế dạy học, tôi thấy cần
thiết phải nghiên cứu dạng toán này. Trớc hết là để xây dựng cho mình một ph-
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 1 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
ơng pháp dạy học đạt kết quả tốt. Sau nữa, tôi mong rằng sau bài viết này, các
giáo viên đang giảng dạy môn toán ở chơng trình THCS có thể tham khảo và áp
dụng. Trong bài viết này, tôi cố gắng trong phạm vi có thể trình bày việc giải các
bài toán quỹ tích trên cơ sở phân tích các thao tác t duy để đi đến lời giải. bằng
cách này, tôi hy vọng sẽ giúp học sinh tự mình xây dựng đợc các kĩ năng, tích
luỹ đợc các kinh nghiệm giải toán, và trong một chừng mực có thể nêu nên các
phơng pháp giải toán.
PHầN II- Nội dung nghiên cứu
1. Định nghĩa quỹ tích.
Một hình (H) đợc gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất

(hay tập hợp của những điểm M có tính chất

) khi nó chứa và chỉ chứa những
điểm có tính chất

.
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất

là
một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất

đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất

.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất

là hình H.
2. Những thao tác t duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ
tích.
Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên
tiếp các mệnh đề toán học. Nhng khác với các bài toán chứng minh hình học,
trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho đợc cái ta cần
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 2 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
phải chứng minh. Những thao tác t duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hớng đợc suy
nghĩ, hình dung ra đợc quỹ tích cần tìm là một hình nh thế nào và trong một
chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới
hạn v.v nh thế nào? Dới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác t duy chuẩn bị
cơ bản nhất.
2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán
Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc đợc những yếu tố đặc trng cho bài toán.
Trong một bài toán quỹ tích thờng có 3 loại yếu tố đặc trng:
a) Loại yếu tố cố định: thông thờng là các điểm.
b) Loại yếu tố không đổi: nh độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích
hình v.v
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thờng đợc cho đi kèm theo các nhóm từ
cố định, cho trớc, không đổi.
c) Loại yếu tố thay đổi: thông thờng là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc

các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các
yếu tố thay đổi thờng cho kèm theo nhóm từ: di động, di chuyển,
chạy, thay đổi v.v
Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho
trớc; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp
các trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Trong bài toán này thì:
+ Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy.
+ Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB.
+ Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của
AB cũng thay đổi.
Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu
tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố
nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi.
Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc
nào cũng đợc cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải đợc hiểu một cách linh
hoạt. Chẳng hạn khi nói: Cho một đờng tròn cố định thì ta hiểu rằng tâm của
đờng tròn là một điểm cố định và bán kính của đờng tròn là một độ dài không
đổi, hay nh trong ví dụ 2 sau đây.
Ví dụ 2: Cho một đờng thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đờng thẳng
b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đờng thẳng b sao cho nó luôn
luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 3 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:
+ Yếu tố cố định: đỉnh A, đờng thẳng b.
+ Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C.
Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng

lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể
giải đợc bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng
dạng ra nh sau:
- Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn
AB
AC
là một số
không đổi.
Nh vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để
tìm đợc những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp
cho việc tìm ra cách giải bài toán.
2.2 Đoán nhận quỹ tích
Thao tác t duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung đợc hình dạng
của quỹ tích (đờng thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đờng tròn), nhiều khi còn cho
HS biết cả vị trí và kích thớc của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tích ta thờng
tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng
các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình
dung đợc hình dạng quỹ tích.
- Nếu 3 điểm ta vẽ đợc là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đ-
ờng thẳng.
- Nếu 3 điểm ta vẽ đợc là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đờng
tròn.
Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB=2R. Một điểm M di chuyển
trên nửa đờng tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp
các điểm N.
Đoán nhận quỹ tích
- Khi M

B thì BM

O
do vậy AN

O hay N

A.
Vậy A là một điểm của quỹ tích.
- Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N

I.
Vậy I là một điểm của quỹ tích.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 4 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
A
BO
I
N
M
B'
t'
- Khi M

A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đờng tròn tại điểm
A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B trên tiếp tuyến At sao cho
AB=AB=2R; B là một điểm của quỹ tích.
Do 3 điểm A, I, B không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên
đờng tròn đi qua 3 điểm A, I, B , tức là đ ờng tròn đờng kính AB .

Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên
Oy. Ngời ta dựng hình chữ nhật OAMB. Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi
hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trớc.
Đoán nhận quỹ tích
Dễ thấy MA +MB = p
Khi A

O thì B

D trên Oy, mà
OD = p
Khi B

O thì A

C trên Ox,
mà OC = p.
Dự đoán tập hợp của M là đoạn
thẳng CD.
B
M
A
D
C
o
y
x
Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Một
góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và Az cắt
Oy ở C.

Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC.
Dự đoán quỹ tích

- Khi B

O thì điểm C sẽ
dần đến vị trí điểm C
1
thuộc
Oy và điểm M đến vị trí M
1

sao cho M
1
O=M
1
C
1
=M
1
A

M
1
nằm trên đờng trung
trực của OA.
O
B
C
A

M
1
M
2
M
x
y
z
t
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 5 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
- Khi C

O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B
1
thuộc Ox và điểm M đến vị trí M
2

sao cho M
2
O=M
2
B
1
=M
2
A

M
2
nằm trên đờng trung trực của OA.
Dự đoán quỹ tích là đoạn M
2
M
1
thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA,
phần nằm trong góc xOy.
3. Giải bài toán quỹ tích nh thế nào?
Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng
minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.
Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này.
3.1 Chứng minh phần thuận
Một trong những phơng hớng để chứng minh phần thuận là đa việc tìm quỹ
tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chơng trình học ở trờng Phổ thông cơ sở, học
sinh đã đợc giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:
1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đờng trung trực của
đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của
góc ấy.
3) Tập hợp tất cả những điểm cách đờng thẳng b một khoảng l cho trớc là
hai đờng thẳng song song với đờng thẳng b và cách đờng thẳng b một
khoảng l.
4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không
đổi r là đờng tròn tâm O, bán kính r.
5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trớc
một góc AMB có số đo bằng

(

không đổi) là hai cung tròn đối xứng
nhau qua AB (gọi là cung chứa góc

vẽ trên đoạn AB).
Trờng hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B
dới một góc vuông là đờng tròn đờng kính AB.
Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất

bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất

và quỹ tích của những điểm
thoả tính chất

là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (nh vậy


có thể là cách đều hai điểm cố định; cách một điểm cố định một đoạn không
đổi; cách một đờng thẳng cố định một đoạn không đổi v.v ). Nh vậy ta thay
việc xét mệnh đề M(

) bằng việc xét mệnh đề M(

) mà M(

)

M(

)

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Tìm quỹ
tích trung điểm M của đoạn thẳng AD.
Đoán nhận quỹ tích
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 6 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
Nếu D

B thì M

P, mà AP=BP. P là một điểm thuộc quỹ tích.
Nếu D

C thì M

Q, mà AQ=QC. Q là một điểm thuộc quỹ tích.
Nếu D

H (với AH

BC tại H) thì M

I, mà IH=AH. H là một điểm
thuộc quỹ tích.
Do 3 điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M là đoạn thẳng
PQ, là đờng trung bình của tam giác ABC.
Phân tích phần thuận
Từ M kẻ MK

BC và kẻ đờng
cao AH của

ABC.
Dễ thấy MK=
2
AH
.

ABC cố định nên AH không
đổi suy ra MK không đổi.
B
A
CH
D
M
P
Q
K
- Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng
2
AH
. Ta có thể thấy
ở đây là:
M(

): M là trung điểm của AD.
M(

): M cách BC một đoạn không đổi.

Nh vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN,
bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi bằng
2
AH
, mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài toán quỹ tích cơ bản thứ 3.
Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy
BC. Qua D ngời ta kẻ đờng thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E và đ-
ờng thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F. Tìm quỹ tích trung điểm M
của đoạn thẳng EF.
Phân tích phần thuận
A
B
C
D
E
F
M
P
Q
Vì DF//AE và DE//AF nên tứ giác
AEDF là hình bình hành, hai đờng
chéo EF và AD giao nhau tại trung
điểm, vậy M là trung điểm của EF
cũng là trung điểm của AD. Bài toán
đợc đa về việc tìm quỹ tích của
trung điểm M của đoạn thẳng AD.
- Tính chất

ở đây là: M(

)

M là trung điểm của EF.
- Tính chất

ở đây là: M(

)

M là trung điểm của AD.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 7 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích
trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đa về quỹ tích cơ bản trong
ví dụ 6.
Cần lu ý là khi thay các điểm M(

) bằng các điểm M(

) mà M(

)

M(

) thì tập hợp các điểm M(

) chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của tập hợp

các điểm M(

), nh trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M(

) là hai đờng thẳng
song song và cách đờng thẳng BC một đoạn
2
AH
, còn tập hợp các điểm M(

) là
đờng trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC mà thôi.
Trong nhiều trờng hợp ta không thành công trong việc đa về các quỹ tích cơ
bản mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một đờng cố
định nào đó. Trong trờng hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa các điểm
của quỹ tích là một hình cố định.
Ví dụ 8: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và một điểm P di động trên nửa đờng
tròn. Tiếp tuyến tại P cắt đờng thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O của nửa đờng
tròn, tại điểm M. Tìm tập hợp các điểm M.
Phân tích phần thuận
Nối MB; do OM//AP nên
AO =
1
(đồng vị)
12
PO =
(so le trong)
Mặt khác
1
PA =

(vì
OA=OP)
P
O
M
A B
1
1
2
t
Vậy
21
OO =

OBMOPM
OM
OBOP
OO
=





=
=
chung
21

OPMOBM =

mà
0
90=OPM
(góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp
điểm). Vậy
ABBMOMB =
0
90
AB cố định, điểm B cố định mà MB

AB

M luôn chạy trên tia At vuông góc
với AB tại B.
Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận,
ta cần tìm ra cho đợc mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố
định, tìm cách sử dụng các yếu tố không đổi và việc biểu diễn các liên hệ đó.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 8 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
- Nếu trong đầu bài có một điểm cố định, ta có thể nghĩ đến tập hợp điểm
cần tìm là một đờng tròn.
- Nếu trong đầu bài có hai điểm cố định A, B thì ta nối điểm cần tìm tập
hợp M với A, B và thử tính góc AMB hoặc thử chứng minh MA=MB.
- Nếu trong đầu bài xuất hiện một đờng thẳng cố định thì ta thử tính
khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đờng thẳng cố định ấy.
- Nếu trong đầu bài xuất hiện hai đờng thẳng song song thì hãy liên tởng
đến tập hợp các điểm cách đều hai đờng thẳng song song
Ví dụ 9: Cho một đờng tròn tâm O, bán kính R và một điểm P ở ngoài đờng tròn,

một điểm N di chuyển trên đờng tròn. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng
PN.
Phân tích phần thuận
P cố định, O cố định, suy ra
trung điểm I của OP cũng cố
định. Nối IM. Trong tam giác
PON thì
IM=
RON
2
1
2
1
=
=không đổi.
- Vậy M thuộc đờng tròn tâm
I bán kính
R
2
1
.
O
N
P
I
M
Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm đợc hình (H)
chứa các điểm M có tính chất

, nhng do những điều kiện hạn chế khác của bài

toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình (H).
Trong trờng hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn quỹ
tích.
Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích. Ta có thể coi
phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận. Ta cũng có thể
đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng
biệt, ngang với phần thuận và phần đảo.
Trong quá trình dạy học sinh, tôi đặt giới hạn vào trong phần thuận. Làm nh
vậy sẽ tránh đợc việc chọn nhầm phải những điểm không thuộc quỹ tích khi tiến
hành chứng minh phần đảo. Thông thờng, ta tìm các điểm giới hạn của quỹ tích
bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trờng hợp giới hạn, nh trong ví dụ
sau:
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 9 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
Ví dụ 10: Cho một góc vuông xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có một điểm A cố định
và trên cạnh Oy có một điểm B cố định. Một điểm C thay đổi di chuyển trên
đoạn thẳng OB. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC. Tìm tập hợp các
điểm H.
Giải
1) Phần thuận.
Vì H là hình chiếu của B trên
AC nên
ACBH

0
90= BHA
Hai điểm A, B cố định. Điểm H
luôn luôn nhìn hai điểm A, B dới

một góc vuông nên H nằm trên đ-
ờng tròn đờng kính AB.
Chú ý: Đờng tròn này cũng đi qua
đỉnh O của góc vuông xOy.
O
B
A
C
H
y
x
Giới hạn: Vì điểm C di chuyển trong đoạn OB nên điểm H không thể di
chuyển trên cả đờng tròn đờng kính AB. Ta phải tìm giới hạn.
Khi điểm C đến vị trí điểm B thì điểm H cũng đến vị trí điểm B.
Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút của đoạn thẳng OB, thì điểm H
cũng đến vị trí điểm O.
- Vậy khi điểm C di chuyển trên đoạn OB thì điểm H di chuyển trên cung
OHB của đờng tròn đờng kính AB.
Nh vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, vì điểm C chỉ di chuyển trong đoạn
thẳng OB nên ta xét các điểm của quỹ tích khi điểm C dần đến các đầu nút của
đoạn thẳng OB, tức là khi C

B và khi C

O.
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
.PCBMAB
=
Tìm tập hợp các điểm M.

Phần thuận
Ta có:
PCBMAB
=
21
PP =
(đối đỉnh)
0
12
90=+=+ PPCBPMAB
0
90= AMP
hay
0
90=AMC
D
A
B
C
M
P
1
2
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 10 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C dới một góc vuông nên M nằm trên đờng
tròn đờng kính AC (cũng là đờng tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD).
Giới hạn. Khi P

B thì M

B
Khi P

A thì M

A
Vậy M chỉ di chuyển trên cung nhỏ AB thuộc đờng tròn đờng kính AC.
Qua các ví dụ trên đây, nh ví dụ 10, ta thấy hình (H) tìm đợc trong khi
chứng minh phần thuận (đờng tròn đờng kính AB) chứa tất cả những điểm nhìn
hai điểm cố định A, B dới một góc vuông nhng chỉ có những điểm thuộc cung
OHB mới là hình chiếu của điểm B trên tia AC mà thôi. Việc tìm giới hạn giúp
chúng ta loại bỏ đợc những điểm không thuộc về quỹ tích cần tìm.
3.2 Chứng minh phần đảo
Thông thờng điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của
một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm nh sau: Lấy một vị trí
P khác của P và ứng với nó ta đợc điểm M trên hình H mà trong phần thuận ta
đã chứng minh đợc đó là hình chứa những điểm M có tính chất

. Ta sẽ phải
chứng minh M cũng có tính chất

.
Ví dụ 10:
2) Phần đảo.
Lấy một điểm C bất kì trên đoạn OB.
Nối AC và tia AC cắt cung OHB tại
một điểm H. Nối BH góc BHA là

góc nội tiếp trong nửa đờng tròn nên
'''90'
0
HACBHABH =
là hình
chiếu của điểm B trên tia AC.
O
B
A
C
H
C'
H'
y
x
Kết luận: Tập hợp các hình chiếu H của điểm B trên tia AC là cung OB
thuộc đờng tròn đờng kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng không chứa tia
Ox, bờ là đờng thẳng Oy).
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
.PCBMAB =
Tìm tập hợp các điểm M.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 11 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
Phần đảo
Lấy một điểm P bất kì thuộc cạnh
AB của hình vuông. Tia CP cắt
cung nhỏ AB của đờng tròn đờng

kính AC tại điểm M.
D
A
B
C
M'
P'
1
2
Ta có
0
90' = CAM
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) và
21
'' PP =

suy ra
CBPABM '' =
Kết luận: Tập hợp các điểm M là cung AB (không chứa đỉnh C) của đờng
tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Lu ý: Tuy vậy, trong nhiều bài toán, ta chứng minh phần đảo bằng cách
lấy một điểm M thuộc hình (H), ứng với nó ta có một vị trí khác của các
yếu tố chuyển động mà M phụ thuộc, sau đó ta chứng minh trong những
điều kiện ấy M có tính chất

. Chúng ta sẽ xét ví dụ cụ thể sau đây.
Ví dụ 12: Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B
chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l cho trớc.
Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Giải

Phần thuận: Nối OI. Tam giác AOB
vuông mà OI là trung tuyến nên
22
1 l
ABOI ==
= không đổi. Điểm O cố
định, điểm I cách điểm O một đoạn
không đổi
2
l
nên I nằm trên đờng tròn
tâm O bán kính
2
l
.
O
I
0
I
1
A
B
A'
B'
I'
I
A
0
B
0

y
x
Giới hạn: Vì điểm A chỉ chạy trên Ox, điểm B chỉ chạy trên Oy và đoạn thẳng
AB chỉ di chuyển trong góc xOy nên ta phải giới hạn quỹ tích.
- Khi điểm A đến trùng với điểm O thì điểm B đến vị trí B
o
và điểm I đến vị
trí I
1
trung điểm của đoạn thẳng OB
0
.
- Khi điểm B đến trùng với điểm O thì điểm A đến vị trí A
o
và điểm I đến vị
trí I
0
trung điểm của đoạn thẳng OA
0
.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 12 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
- Vậy khi đoạn thẳng AB di chuyển trong góc xOy thì điểm I nằm trên cung tròn
I
0
I
1
thuộc đờng tròn tâm O bán kính

2
l
, tức là cung phần t đờng tròn nằm trong
góc xOy.
Phần đảo: Lấy điểm I thuộc cung phần t I
0
I
1
. Quay cung tròn tâm I, Bán kính
2
l
, cắt Ox ở A và Oy ở B.
Ta có
'' AO I
cân nên
OAIOAI '''' =
Do vậy
''2180''
0
OAIAOI =
Tơng tự
''2180''
0
OBIBOI =

000
18090.2360'''' ==+ BOIAOI

Suy ra ba điểm A, I, B thẳng hàng. Ta lại có
lBA

l
AIAI === ''
2
''''
và I là
trung điểm của AB.
Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là cung I
0
I
1
thuộc đ-
ờng tròn tâm O, bán kính
2
l
(phần nằm trong góc xOy).
Ví dụ 13: Cho một góc vuông xOy, hai điểm A, B cố định trên cạnh Ox và một
điểm M di động trên cạnh Oy. Đờng thẳng vuông góc với MA kẻ từ A cắt đờng
thẳng vuông góc với MB kẻ từ B tại điểm N. Tìm tập hợp các điểm N.
Giải
Phần thuận.
- Kẻ NH

Ox.
Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MN.
Do IA=IB(=
2
1
MN) nên I nằm trên
trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu
gọi K là trung điểm của AB thì IK

AB.
O
M
A
B
N
I
K
H
y
x
z
Ta lại có IK//OM//NH mà I là trung điểm của MN nên K là trung điểm của
OH

OH=2OK=không đổi. Vậy điểm N di chuyển trên tia Hz vuông góc với
cạnh Ox tại điểm H sao cho OH=2OK.
Phần đảo.
Lấy điểm M trên Oy, nối MA. Đờng vuông góc với MA kẻ từ A cắt tia Hz tại
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 13 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
N. Nối NB và Mb.
Ta cần chứng minh: NB

MB
Gọi I là trung điểm của MN.
Ta có:

''
2
1
' NMAI =
(1) (IA là trung tuyến ứng với cạnh huyền MN của tam
giác vuông MAN)
Mặt khác I là trung điểm của MN, K là trung điểm của OH nên IK//MO

IK

AB mà K là trung điểm của AB nên IK là đờng trung trực của AB, cho ta
IA=IB (2)
Từ (1) và (2) suy ra
''
2
1
' NMBI =
=IM=IN
Hay tam giác MBN vuông góc tại
B. Vậy NB

MB
O
M'
A
B
N'
I'
K
H

y
x
z
Kết luận: Tập hợp các điểm N là tia Hz nằm trong góc xOy, vuông góc
với cạnh Ox tại điểm H, sao cho OH=2OK (K là trung điểm của đoạn
thẳng AB).
Lu ý: Trong bài toán này, liên hệ giữa hai điểm M và N phải thông qua các
giả thiết:
vMBNvMANOyM 1,1, ==
và N là giao điểm của hai đờng
vuông góc kẻ từ A với MA, kẻ từ B với MB. Do vậy ta phải chọn một trong
ba phơng hớng sau đây để chứng minh phần đảo:
Chứng minh M
Oy
Chứng minh
0
90'' = ANM
Chứng minh
0
90'' = ANM
- Nếu chú ý rằng cách dựng các điểm M, N là nh nhau thì ngay từ đầu ta đã
có thể dự đoán tập hợp của N phải là một tia tơng tự nh Oy và trong khi chứng
minh phần đảo, sau khi lấy một điểm N

Hz, và dựng lại điểm M, giao điểm
của các đờng vuông góc với NA kẻ từ A với đờng vuông góc với NB kẻ từ B, thì
việc chứng minh M

Oy có thể đợc lặp lại y hệt nh phần thuận.
Nh vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng kế hoạch chứng minh phần đảo

là rất quan trọng. Nếu khéo chọn, nhiều khi sẽ giảm bớt đợc các khó khăn trong
việc chứng minh và có thể cho ta những lời giải hay.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 14 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy
điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm đợc, ta phải chứng minh rằng điểm M
có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thờng đợc tách làm hai
nhóm tính chất T
1
và T
2
. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn
tính chất T
1
rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T
2
. Nh
thế, tuỳ theo cách chia nhóm T
1
và T
2
mà có nhiều cách chứng minh đảo
đối với cùng một bài toán.
4. Thực nghiệm dạy toán quỹ tích.
4.1 Lớp khảo sát
- Sau khi nghiên cứu chơng III hình học 9 và tìm hiểu tình hình dạy toán
quỹ tích ở trờng THCS Giao Thanh, tôi đã chọn dạy thực nghiệm dạng toán quỹ
tích ở lớp 9B, tôi chia lớp thành 2 nhóm, nhóm 1 dạy các em phân tích dạng toán

quỹ tích theo hớng nghiên cứu và dạy đối chứng ở nhóm 2 giữ nguyên phơng
pháp cũ mà các em vẫn đợc học.
- Trớc khi dạy thực nghiệm, để biết đợc trình độ thức tế của học sinh, tôi
đã cho cả lớp làm bài 50 (trang 87 SGK toán 9). Kết quả nh sau:
Bảng 1:
Loại điểm
Nhóm, số HS
Điểm tốt
Điểm
khá
Điểm
T. Bình
Điểm
yếu kém
Nhóm 1
Số lợng: 22 HS
Số HS 1 3 13 5
TL% 4,54 13,63 59,09 22,72
Nhóm 2
Số lợng: 22 HS
Số HS 1 3 13 5
TL% 4,54 13,63 59,09 22,72
4.2 Tiến trình dạy thực nghiệm và kết quả
- Sau khi khảo sát và chia lớp thành 2 nhóm tôi đã tiến hành dạy thực
nghiệm áp dụng phơng pháp phân tích, dẫn giải học sinh đi giải các bài toán quỹ
tích dới dạng chuyên đề ở nhóm 1 nh sau:
- Tên bài tập: VD 3; VD5; VD7; VD8; VD10; VD11; VD12.
- Mục đích, yếu cầu: Sau khi giải xong các bài tập, HS nắm đợc yếu tố cố
định, yếu tố di động, yếu tố không đổi, biết dự đoán quỹ tích là hình gì,
biết dựng bài toán ở phần đảo, biết tìm giới hạn quỹ tích.

- Phơng pháp: Phân tích, nêu vấn đề.
- Phơng tiện: Máy chiếu, dùng phần mền vẽ hình GeoGebra chay trên nền
java, compa, thớc, eke, thớc đo góc, phấn màu).
Sau khi dạy thực nghiệm và dạy đối chứng ở hai nhóm. Để đánh giá kết quả, tôi
đã tiến hành:
- Lập phiếu điều tra cả hai nhóm. Kết quả nh bảng 2.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 15 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên
- Ra bài tập kiểm tra học sinh cả hai nhóm. Kết quả nh bảng 3.
Bảng 2
Nội dung điều tra
Kết quả nhóm 1 Kết quả nhóm 2
Số HS TL% Số HS TL%
1. Đợc GV hớng dẫn vẽ hình, phân tích bài
toán.
22 100 22 100
2. Sau khi học xong bài, hiểu bài và nhớ lâu
hơn.
20 90.90 14 63,63
3. Tự xây dựng đợc phần đảo và chứng
minh tốt bài toán quỹ tích.
15 68,18 10 45,45
Bảng 3
Loại điểm
Điểm tốt
(9, 10)
Điểm khá
(7, 8)

Điểm TB
(5,6)
Điểm yếu kém
(dới 5)
Nhóm 1
Số HS 2 6 13 1
TL% 9,09 27,27 59,09 4,54
Nhóm 2 Số HS 1 3 13 5
TL% 4,54 13,63 59,09 22,72
4.3 Nhận xét đánh giá kết quả thực nghiệm
Thông qua kết quả phiếu điều tra và kết quả bài kiểm tra cho thấy sau khi tôi
áp dụng phơng pháp dạy toán qũy tích theo chuyên đề, phân tích để rút ra hớng
giải, đã làm cho học sinh lắm đợc bài tốt hơn, hiểu sâu hơn, nhớ bài lâu hơn so
với nhóm đối chứng. Tỉ lệ học sinh biết dựng lại mệnh đề đảo cao hơn nhóm đối
chứng, yêu thích dạng toán quỹ tích hơn, kết quả các bài kiểm tra toán cũng cao
hơn so với nhóm đối chứng.
Phần III: kết luận chung
Sau khi tìm hiểu, nghiên cứu sâu về các bài toán quỹ tích, dạy dạng toán
quỹ tích ở trờng THCS, tôi xin nêu ra những điểm cần lu ý khi dạy dạng toán quỹ
tích nh sau:
1. Lựa chọn phơng pháp cho phù hợp với từng nhóm đối tợng học sinh, lựa
chọn từng đơn vị kiến thức phù hợp với trình độ học sinh.
2. Các bài toán đa ra phải đi từ dễ đến khó, phải phân tích cho học sinh tất cả
các tình huống xảy ra của bài toán, hớng dẫn học sinh vẽ hình theo yêu
cầu bài toán, và dự đoán quỹ tích các điểm cần tìm để giải bài toán nhanh
chóng chính xác.
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 16 -
Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên

3. Cần làm cho học sinh hiểu, khi chứng minh phần đảo là đi đặt ra bài toán
dựng hình, và chứng minh bài toán đó.
4. Đa ra các bài toán tơng tự để học sinh vận dụng và rèn kỹ năng trình bày,
phân tích.
5. Nên sử dụng phơng tiện dạy học hiện đại vào việc dạy dạng toán này sẽ
đạt hiệu quả cao hơn (vì khi minh hoạ các điểm di động học sinh sẽ nhìn
thấy ngay những yếu tố cố định, những yếu tố thay đổi, và quỹ tích các
điểm cần tìm một cách trực quan, sinh động).
Trên đây là những tìm hiểu, nghiên cứu của tôi về dạng toán quỹ tích, hớng
phân tích bài toán quỹ tích để tìm lời giải ngắn gọn, chính xác, nhanh chóng. Tôi
tin rằng với cách dạy này học sinh sẽ đạt kết quả tốt, và yêu thích dạng toán quỹ
tích. Mong rằng các giáo viên dạy toán bậc THCS có thể tham khảo và đóng góp
ý kiến để việc giảng dạy của tôi ngày càng đạt kết quả cao.
Giao Thanh: Ngày 20 tháng 3 năm 2008
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ
- 17 -