BÀI tập ĐỘNG học các môi TRƯỜNG LIÊN tục

CHƯƠNG 2
ĐỘNG HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
LT 2. Câu hỏi lý thuyết:
LT 2.3.1. Trình bày quan điểm nghiên cứu chuyển động theo Lagrange và Euler.
LT 2.3.2. Trường vận tốc và gia tốc của môi trường liên tục theo biến Lagrange và Euler.
LT 2.3.3. Biểu thức của tenxơ biến dạng hữu hạng Green và tenxơ biến dạng hữu hạn
Almansi.
LT 2.3.4. Biểu thức của tenxơ biến dạng nhỏ qua các thành phần chuyển vị.
LT 2.3.5. Nêu bất biến của tenxơ biến dạng, trục chính và biến dạng chính của nó.
LT 2.3.6. Trình bày khái niệm tenxơ quay tuyến tính, vectơ quay tuyến tính.
LT 2.3.8. Trình bày khái niệm tenxơ tốc độ biến dạng, vectơ xoáy vận tốc.
BT 2. Bài tập:
BT 2.4.1 Cho quy luật chuyển động của môi trường:

1 1
2 2 3 2 3
3 2 3 2 3
( )/ 2 ( )/2
( )/ 2 ( )/ 2
t t
t t
x
x e e
x e e
ξ
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
−
−
=
= + + −

= + − −

Xác định các thành phần vận tốc theo biến Lagrange và biến Euler.
BT 2.4.2 Cho trường vận tốc của môi trường:
1 1
2 2
3 3
/(1 )
2 /(1 )
3 /(1 )
v x t
v x t
v x t
= +
= +
= +
Tìm các thành phần gia tốc theo biến Lagrange và biến Euler.
BT 2.4.3 Cho quy luật chuyển động của môi trường:
1 1 2
2 2 1
3 3
( 1)
( 1)
t
t
x e
x e
x
ξ ξ
ξ ξ

ξ
−
= + −
= + −
=
Hãy xác định trường vận tốc và gia tốc theo biến Lagrange và biến Euler.
BT 2.5.4 Cho trường vận tốc của môi trường:
1 2 2 1 3
, , 0, 0v kx v kx v k= − = = >
Hãy xác định quy luật chuyển động của môi trường , các thành phần chuyển vị,
vận tốc và gia tốc theo biến Lagrange và biến Euler.
BT 2.4.5 Cho trường vận tốc của môi trường:
1 2 2 1 3
, , 0, 0v kx v kx v k= − = = >
Hãy xác định quỹ đạo chuyển động và đường dòng. Chỉ ra rằng chúng trùng
nhau.
BT 2.6.6 Cho trường vận tốc của môi trường:
1 3 2 2 1 3 1
4 3 , 3 , 4v x x v x v x= − = = −
Hãy xác định các thành phần gia tốc tại điểm P(b,0,0) và điểm Q(0,4b,3b) và
chứng minh rằng trường vận tốc tương ứng với sự quay của cố thể với vận tốc góc bằng 5
quanh trục hướng theo vectơ e = (4e
2
+ 3e
1
)/5.
BT 2.4.7 Cho vectơ chuyển vị u
i
trong biến Lagrange có dạng:

3
1 2
1 1 2 2 3 3
( 1), ( 1), ( 1)
k t
k t k t
u e u e u e
ξ ξ ξ
= − = − = −
Hãy xác định vận tốc theo biến Euler, giả thiết rằng khi t = 0 thì
j j
x
ξ
=
.
BT 2.4.8 Vectơ chuyển vị trong biến Lagrange có dạng:
1 1 2
2 1 2
3
(1 cos ) sin
sin (1 cos )
0
u kt kt
u kt kt
u
ξ ξ
ξ ξ
= − − −
= − −
=

Tìm trường vận tốc và gia tốc trong biến Euler.
BT 2.4.9 Cho vectơ chuyển vị
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 3
4 , ,u u u
ξ ξ ξ ξ ξ
= = =
. Xác định vị trí mới của
phần tử mà ban đầu nó nằm tại điểm (1,0,2).
BT 2.4.10 Môi trương thực hiện chuyển vị:
1 2 3 2 1 3 3 2 1
3 4 , 2 , 4u u u
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= − = − = −
Hãy xác định vị trí mới của vectơ nối phần tử A(1, 0, 3) và B(3,6,6).
BT 2.5.11 Cho quy luật chuyển động của môi trường:

1 1 2
2 2 3
3 3
( 1)
( )
t t
t t
x e e
x e e
x
ξ ξ
ξ ξ

ξ
−
= + −
= + −
=
Hãy tính các tenxơ biến dạng hữu hạn Green và Almansi.
BT 2.5.12 Cho quy luật chuyển động của môi trường:
1 1
2
2 2 1
3
3 3 1
( 1)
( 1)
t
t
x
x e
x e
ξ
ξ ξ
ξ ξ
−
−
=
= + −
= + −
Hãy tính các thành phần của tenxơ biến dạng hữu hạn Green và Almansi theo
chuyển vị.
BT 2.5.13 Cho trường chuyển vị:

1 1 2 2 2 3 3 3 1
, ,x A x A x A
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= + = + = +
, với A = const.
Tính tenxơ biến dạng nhỏ theo biến Lagrange và biến Euler. So sánh hai tenxơ này khi A
rất nhỏ.
BT 2.5.14 Cho trường vận tốc của môi trường:
3 2
1 1 1 2
v x x x= −
;
2
2 1 2
v x x=
;
2
3 1 3
v x x=
Hãy xác định tenxơ tốc độ biến dạng, tenxơ xoáy vận tốc và tenxơ xoáy vận
tốc tại điểm P(1,1,3).
BT 2.5.15 Cho trường chuyển vị của môi trường:
( )
2
1 1 3
u x x= −
;
( )
2
2 2 3

u x x= +
;
3 1 2
u x x= −
Hãy tính tenxơ biến dạng nhỏ, tenxơ quay tuyến tính và tenxơ quay tuyến
tính tại điểm P(0,2,-1).
BT 2.5.16 Từ biểu thức của tenxơ biến dạng nhỏ, hãy thiết lập các phương trình tương
thích biến dạng. Xét thí dụ: trạng thái biến dạng của môi trường cho bởi tenxơ:
2 2
3 2 1 3
2 2
2 3 3
2
1 3 3
5
x x x x
x x x
x x x
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
phương trình tương thích có thỏa mãn hay không?
CHƯƠNG 3
ĐỘNG LỰC HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
LT 3. Câu hỏi lý thuyết:
LT 3.3.1 Trình bày khái niệm mật độ khối lượng, lực khối và lực mặt của môi trường liên
tục.
LT 3.3.2 Trình bày khái niệm vectơ ứng suất và trạng thái ứng suất tại một điểm của môi

trường liên tục.
LT 3.4.3 Từ điều kiện cân bằng lực và mô men hãy chứng minh tính đối xứng của tenxơ
ứng suất.
LT 3.4.4 Trình bày khái niệm ứng suất tiếp chính, ứng suất tiếp cực đại.
LT 3.4.5 Phát biểu định luật bảo toàn khối lượng, từ đó thiết lập phương trình liên tục.
LT 3.4.6 Phát biểu định lý biến thiên động lượng, từ đó thiết lập phương trình chuyển
động và phương trình cân bằng.
LT 3.4.7 Trình bày định lý biến thiên mô men động lượng.
LT 3.4.8 Trình bày định luật bảo toàn năng lượng cơ học.
LT 3.4.9 Trình bày định luật thứ nhất của nhiệt động lực học, phương trình năng lượng.
LT 3.4.10 Trình bày định luật thứ hai của nhiệt động lực học, bất đẳng thức Clausius.
LT 3.4.11 Trình bày hệ kín các phương trình của Cơ học môi trường liên tục và một số
tính chất của chúng.
LT 3.4.12 Trình bày cách đặt bài toán của Cơ học môi trường liên tục và điều kiện biên.
BT 3. Bài tập:
BT 3.4.1 Cho tenxơ ứng suất tại điểm P có dạng:
7 0 2
0 5 0
2 0 4
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
Hãy xác định vectơ ứng suất tại điểm P trên tiết diện có hướng: n = 2/3e
1
-
2/3e

2
+1/3e
3
.
BT 3.4.2 Trạng thái ứng suất tại điểm bất kỳ của môi trường cho bởi tenxơ:
2
1 2 2
2
2 3
3
3 5 0
5 0 2
0 2 0
x x x
x x
x
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Hãy xác định vectơ ứng suất tại điểm
P(2,1, 3)
trên tiết diện tiếp xúc tại
điểm đó với mặt trụ
2 2
2 3
4x x+ =
.
BT 3.4.3 Cho tenxơ ứng suất tại một điểm:

22
0 1 2
1 1
2 1 0
σ
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Trong đó đại lượng
22
σ
chưa biết. Hãy xác định
22
σ
sao cho vectơ ứng suất
trên tiết diện nào đấy qua điểm này bằng không. Tìm vectơ pháp tuyến đơn vị của tiết diện
ấy.
BT 3.4.4 Xác định ứng suất chính và trục chính của tenxơ ứng suất:
τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
BT 3.7.5 Trạng thái ứng suất tại mọi điểm vật thể cho bởi tenxơ ứng suất:

3
3 1
1
0 0
0
0 0
Cx
Cx Cx
Cx
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 
trong đó C = const.
a) Hãy chỉ ra rằng nếu lực khối bằng không, thì các thành phần của tenxơ ứng suất
này thỏa mãn phương trình cân bằng.
b) Tính vectơ ứng suất tại điểm P(4,-4,7) trên mặt phẳng 2x
1
+2x
2
- x
3
= - 7 và trên
mặt cầu
2 2 2
1 2 3
81x x x+ + =

.
c) Hãy xác định ứng suất chính, ứng suất tiếp cực đại tại điểm P.
BT 3.6.6 Hãy xác định ứng suất chính của hai tenxơ:

0 1 1
1 0 1
1 1 0
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
và
2 1 1
1 2 1
1 1 2
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Và chỉ ra rằng các trục chính của hai tenxơ này trùng nhau.
BT 3.4.7 Cho các thành phần của tenxơ ứng suất trong hệ tọa độ Đề Các vuông góc x
i
như
sau: σ
13
= a, σ
23
= - a, σ

11
= σ
22
= σ
33
= σ
12
= 0,
Hãy xác định ứng suất chính và trục chính của tenxơ ứng suất đó.
BT 3.6.8 Cho tenxơ ứng suất có các thành phần:
a) σ
11
= a, σ
22
= - a, σ
31
= σ
23
= σ
33
= σ
12
= 0.
b) σ
11
= a, σ
23
= a, σ
31
= σ

23
= σ
33
= σ
12
= 0.
Hãy tìm ứng suất tiếp cực đại và tiết diện trên đó tác dụng ứng suất tiếp cực đại.
BT 3.7.9 Trường ứng suất của môi trường xác định bởi tenxơ:

( )
( ) ( )
2 2
1 2 2 1
2 3
2 1 2 2
2
3
1 0
1 3 /3 0
0 0 2
x x x x
x x x x
x
 
−
 ÷
 ÷
− −
 ÷
 ÷

 
Hãy xác định:
a) Sự phân bố lực khối, nếu như phương trình cân bằng thỏa mãn.
b) Ứng suất tiếp chính tại điểm
P(a,0,2 a)
.
c) Ứng suất tiếp cực đại tại điểm P.
CHƯƠNG 4
MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
LT 4. Câu hỏi lý thuyết:
LT 4.4.1 Trình bày khái niệm áp suất chất lỏng, tenxơ ứng suất nhớt.
LT 4.4.2 Từ các phương trình cơ bản của chất lỏng Newton, thiết lập phương trình Navier
– Stoke.
LT 4.4.3 Trình bày khái niệm vật thể đàn hồi.
LT 4.4.4 Trình bày định luật Hooke tổng quát.
LT 4.4.5 Cách đặt bài toán của lý thuyết đàn hồi: Bài toán tĩnh, bài toán động.