sơ lược về lý thuyết xác suất

GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
1
Chương Hai
SƠ LƯC VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1. Thí nghiệm ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố:

1.1. Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random experiment)

Một TN ngẫu nhiên thỏa 2 đặc tính:
• Không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra
• Nhưng biết được các kết quả sẽ xảy ra

1.2. Không gian mẫu (Sample space)

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên, ký
hiệu là S

Ví dụ:

Tung một con xúc sắc:
Tung một đồng xu:
Tuổi thọ hoạt động của một chiếc xe:

1.3. Biến cố (Event)

Biến cố:
Tập hợp con của không gian mẫu, ký hiệu là E
Biến cố sơ đẳng:
Biến cố chỉ chứa một phần tử của S

Ví dụ:

Tung một con xúc sắc
Biến cố mặt chẵn:
Biến cố mặt lẻ:
Biến cố sơ đẳng:
GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
2
Ghi chú:
Biến cố không: Tập hợp rỗng ∅, (∅⊂ S)
Biến cố chắc chắn: Tập hợp S, (S⊂ S)

1.4. Các phép tính về biến cố

Cho 2 biến cố E và F, E ⊂ S, F ⊂ S

a. Biến cố hội (Uninon event)

Ký hiệu: E∪F
E ∪ F xảy ra ⇔ E xảy ra HAY F xảy ra




b. Biến cố giao (Intersection event)

Ký hiệu: E∩F hoặc EF
E ∩ F xảy ra ⇔ E xảy ra VÀ F xảy ra

Lưu ý:
Các đònh nghóa về hội và giao của 2 biến cố có thể mở rộng
cho nhiều biến cố: E
1
, E
2
, E
3
…E
n
.

c. Phần bù của một biến cố (Complement)

Ký hiệu: E
C
hoặc E
E
C
xảy ra ⇔ E không xảy ra

Lưu ý
: S
C
= ∅
S

F
E
S
F
E
S


E
C


E
GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
3
d. Sự xung khắc tương hỗ (Mutually exclusive)

E xung khắc F ⇔ E ∩ F = ∅





Lưu ý:
• Một biến cố và phần bù của nó là xung khắc
• Sự xung khắc không có tính kéo theo
• Tập hợp các biến cố gọi là xung khắc nếu từng cặp

trong đó xung khắc nhau

e. Tập hợp đầy đủ các biến cố (Collectively exhaustive)

Tập hợp các biến cố F
1
, F
2
, F
3
, … F
k
được gọi là tập đầy đủ nếu:

• F1, F2, F3, … F
k
là các biến cố xung khắc
• F
1
∪F
2
∪F
3
∪…∪F
k
= S

Ví dụ:

Thí nghiệm tung xúc sắc: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Gọi: A = {1, 3, 5} (biến cố mặt lẻ xuất hiện)
B = {3, 6} (biến cố mặt là bội số của 3)
C = {4}

Thì: A
C
= {2, 4, 6}
A∩B = {3}
A∪B = {1, 3, 5, 6}
A∩C = ∅


S
F
E
GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
4
2. Xác suất (Probability):

Xét N lần thử một thí nghiệm ngẫu nhiên trong đó biến cố E xảy ra
N
E
lần, ta có

Tỷ lệ xuất hiện biến cố E trong N lần thử =
N
E
N

Khi N tăng đủ lớn ⇒ tỷ lệ này gần như không đổi ⇒ khái niệm tần
suất tương đối của xác suất (relative frequency of probability)

2.1 Đònh nghóa

Gọi N
E
là số lần xuất hiện của biến cố E trong N phép thử lặp lại,
theo khái niệm tần suất tương đối của xác suất, xác suất để E xảy ra
là tỷ số N
E
/N khi số lần thử N lớn vô hạn.

Các đònh đề:


1. Nếu E là biến cố bất kỳ trong không gian mẫu S, và ký hiệu P(E)
là xác suất của biến cố E thì
0 ≤ P(E) ≤ 1
2. Gọi E là một biến cố trong không gian mẫu S, gọi O
i
là các biến
cố sơ đẳng
P(E) =
∑
E
i
)P(O
3. P(S) = 1

2.2 Các tính chất mang tính hệ quả

1. Nếu không gian mẫu S có n biến cố sơ đẳng O
1
, O
2
, O
n
thì
P(O
i
) = 1/n (i = 1, 2, , n)



GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
5
2. Nếu không gian mẫu S có n biến cố sơ đẳng, biến cố E có n
E
biến
cố sơ đẳng, E⊂S thì
P(E) =
n
E
n


3. Với bất kỳ một tập hợp biến cố xung khắc E
1

, E
2
, E
3
, …, E
N
thì
P(
∑
=
=
=∪
N
1i
ii
N
1i
)P(E)E
4. P(E) + P(E
C
) = 1

5. P(∅) = 0

6. P(E∪F) = P(E) + P(F) – P(EF)

Trường hợp 3 biến cố:
P(E∪F∪G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) +
P(EFG)

Trường hợp n biến cố: Xem tài liệu

Ví dụ:

1. Tìm xác suất của biến cố các mặt xuất hiện giống nhau trong thí
nghiệm tung 3 đồng tiền.
3. Lấy 2 viên bi từ 1 bình gồm 4 bi đỏ và 3 bi vàng, tính xác suất để
được 2 viên bi này cùng màu.
2. Trong 1 lớp học có 25% học sinh đã học môn toán, 15% học sinh
đã học thống kê và 10% đã học cả thống kê và toán. Nếu chọn
ngẫu nhiên 1 học sinh, tìm xác suất để học sinh này không học gì
cả.

GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
6
2.3 Xác suất có điều kiện

2.3.1 Đònh nghóa, công thức

Xác suất của biến cố E khi biến cố F đã xảy ra:

P(E/F) =
P(E∩F)
P(F)

Ví dụ:

1. Trong 1 bình đựng 3 bi xanh và 4 bi vàng, lấy lần lượt 2 viên bi.
Tính xác suất để viên bi sau màu vàng biết rằng viên bi đầu

màu xanh.

2. Tung lần lượt 2 con xúc sắc, tìm xác suất để tổng 2 mặt bằng 6
biết rằng mặt đầu tiên là 4.

3. Một sinh viên chọn học hoặc môn máy tính hoặc môn hóa học
dựa trên kết quả tung 1 đồng tiền đồng nhất. Nếu SV học máy
tính, xác suất đạt điểm A là 1/2. Ngược lại, nếu SV học hóa thì
xác suất này là 1/3. Tìm xác suất để SV đạt điểm A trong môn
hóa học.

2.3.2 Biến cố độc lập
Biến cố E và F là độc lập thống kê nếu
P(EF) = P(E)P(F)

• Nói khác đi, biến cố E được gọi là độc lập với biến cố F nếu P(E)
không thay đổi cho dù biến cố F đã xảy ra và ngược lại
P(E/F) = P(E)
P(F/E) = P(F)

• E và F không độc lập thì gọi là 2 biến cố phụ thuộc
GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
7
• Tổng quát, các biến cố E
1
, E
2
, , E
n

được gọi là các biến cố độc
lập nếu với mọi r≤ n, ta có:
P(E
1
E
2
E
r
) = P(E
1
)P(E
2
) P(E
r
)

Ví dụ:

Trong những người có bằng cử nhân có 48% là nữ, và 17,5% là cử
nhân thuộc lónh vực kinh doanh. Số liệu thống kê cũng cho biết có
4,7% cử nhân vừa thuộc lónh vực kinh doanh vừa là nữ. Biến cố “Cử
nhân thuộc lónh vực kinh doanh” và biến cố “Cử nhân là nữ” có phải
là 2 biến cố độc lập?

2.3.3 Công thức xác suất đầy đủ – công thức Bayes

a. Công thức xác suất đầy đủ

Cho không gian mẫu S và tập hợp đầy đủ biến cố F
i

(i=1, 2, , n)
xung khắc từng đôi một.

Gọi E là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu S. Biến cố E
được biểu diễn như sau










F
1
F
2
F
i

F
n
S
EF
i
E

GV. Nguyen Vu Quang

Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
8
E = EF
1
∪EF
2
∪ ∪EF
i
∪ ∪EF
n

P(E) = P(EF
1
) + P(EF
2
) + + P(EF
n
) =
)EFP(
i
n
1i
∑
=


Mặt khác: P(E/F
i
) =
P(EF

i
)
P(F
i
)


⇒ P(E) =
)P(F)E/FP(
i
n
1i
i
∑
=


Lưu ý: ở đây biết P(F
i
) và P(E/F
i
)
⇒
tìm P(E)

Ví dụ:

Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm
PX I sản xuất 1/3 tổng sản lượng của nhà máy
PX II sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy

PX III sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy
PX IV sản xuất 1/6 tổng sản lượng của nhà máy

Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II, III và IV lần lượt là 15%,
8%, 5% và 1%.

Nếu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy, tính xác
suất để sản phẩm đó là phế phẩm.


b. Công thức Bayes

Ta có: P(F
j
E) = P(F
j
/E)P(E)

và P(F
j
E) = P(E/F
j
)P(F
j
)

⇒ công thức Bayes: P(F
j
/E) =
P(E/F

j
)P(F
j
)
P(E)

GV. Nguyen Vu Quang
Thống kê Kinh doanh – Sơ lược về Xác suất
9
Lưu ý: ở đây biết P(F
i
), P(E/F
i
) và P(E)
⇒
tìm P(F
i
/E)

Ví dụ:

Lấy lại ví dụ các phân xưởng sản xuất của một nhà máy.

Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy và thấy nó là
phế phẩm, tìm xác suất để sản phẩm này thuộc phân xưởng I.