hệ phương trình hàm phương pháp lặp cấp hai và triển khai tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
o0o




ĐẶNG THỤC HIỀN




HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM:
PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI
VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC






THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2003

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH




ĐẶNG THỤC HIỀN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM:
PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI
VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN




Luận văn Thạc sỹ Toán học


Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 1. 01. 01
Người hướng dẫn:

TS. Nguyễn Thành Long
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2003




Luận văn được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh.



Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long
Khoa Toán- tin học,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.



Người nhận xét 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy
Khoa Toán- tin học,
Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết
Khoa Thống kê-Toán- tin học,

Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh.


Học viên cao học: Đặng Thục Hiền
Trường Cao đẳng Giao thông khu vực 3.



Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học
Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh
vào lúc ……giờ……ngày … tháng… năm 2003

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Sư Phạm
TP. Hồ Chí Minh.




THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2003






LÔØI CAÛM ÔN

MỤC LỤC

Mục lục:…………………………………….………………………………………trang 0
Chương 1: Phần tổng quan…………………………………………….…… ….…trang 1
Chương 2: Các ký hiệu và không gian hàm…………………………… ….… …trang 4

Chương 3: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm………….…………………………… ….trang 6
Bổ đề 3.1………… ……………………….………………………… ….trang 6
Bổ đề 3.2……… ……………………………….…………………… ….trang 6
Đònh lý 3.1……….……………………………………….…………… … trang 9
Chú thích 3.1………………………………… ……………………… trang 10
Chú thích 3.2………………………………………………………………trang 10
Chương 4: Thuật giải hội tụ cấp hai…………………………………… ….……trang 11
4.1. Thuật giải lặpï cấp hai………………….…………….…………… …….trang 11
Đònh lý 4.1……………………………… …………………… … …….trang 12
Đònh lý 4.2………………… …………………………………………….trang 13
4.2. Sự hội tụ của thuật giải lặpï cấp hai………………………… …….……trang 16
Đònh lý 4.3……………………………… …………………………… ….trang16
Chú thích 4.1……………………….………………………………… ….trang 19
Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé……………………… trang 20
Bổ đề 5.1……………………………………………… …………………trang 21
Bổ đề 5.2……………………………………………………… …………trang 22
Bổ đề 5.3…………………………………… ……………………………trang 23
Đònh lý 5.1……………………………………………… ……………… trang 25
Chú thích 5.1…….………………………………………………… …….trang 26
Đònh lý 5.2……………………… ……………………………………….trang 26
Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể……………… …………………trang 28
6.1. Khảo sát thuật giải lặp cấp hai………………………………………… trang 28
6.2. Khai triển tiệm cận của nghiệm……………………………… …… trang 33
Phần kết luận. ………………………………… ………………………… ….trang 39
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….…… trang 40

1
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN


Trong luận văn nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây


()
∑∑
==
Φ=
m
k
n
j
ijkjijki
xRfaxf
11
))(()(
ε
),())((
11
xgxSfb
i
m
k
n
j
ijkjijk

++
∑∑
==
(1.1)

,, ,1; nix =Ω∈∀ trong đó ],[ ba
=
Ω
hoặc
Ω
là một khoảng không bò chận của ,IR
ijkijk
ba , là các hằng số thực cho trước; ,: IRg
i
→
Ω
,:,
Ω
→Ω
ijkijk
SR và
IRIR →Φ : là các hàm số liên tục cho trước thoả một số điều kiện nào đó mà ta sẽ
chỉ rõ sau đó. Các hàm IRf
i
→Ω: là các ẩn hàm,
ε
là một tham số bé.
Trong trường hợp riêng ,)(
2
yy =Φ

ijkijk
SR
=
, hệ (1.1) được nghiên cứu bởi các
tác giả N.T. Long, N.H. Nghóa, T.N. Diễm[6]; L.T. Vân [11].
Trong [12], các tác giả C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1)
sau đây ứng với ],,[ bb−=Ω ,2
=
=
nm 0
=
ijk
a và
ijk
S là các nhò thức bậc nhất.


⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+++
+++=
+++
+++=
),()(
)()()(

),()(
)()()(
22323223
222222221211212
11313113
121221211111111
xgcxbfa
cxbfacxbfaxf
xgcxbfa
cxbfacxbfaxf
(1.2)

với mọi ],,[ bbx −=Ω∈ trong đó, các hằng số bcba
ijijij
,,, cho trước thỏa các điều
kiện:

,1)(max],
1
[max,1
3
1
,
<
−
≥<
∑
=j
ij
i

ij
ij
ji
ij
a
b
c
bb
(1.3)
các hàm số
21
, gg
liên tục cho trước và
21
, ff
là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc
này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn đònh đối với các
i
g .
Trong [9], các tác giả Nghóa, Khôi đã xét hệ phương trình hàm cụ thể sau đây
để làm kiểm tra một thuật toán số


2

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
++++++=
+++++++=
),()
4
3
4
(
200
1
)
2
(
100
1
)
3
1
2
(
200
1
)
4
(
100
1
)(
),()

4
1
3
(
100
1
)
4
1
4
(
100
1
)
2
1
3
(
200
1
)
2
(
100
1
)(
222112
122111
xg
x

f
x
f
x
f
x
fxf
xg
x
f
x
f
x
f
x
fxf
(1.4)

với mọi
]1,1[−∈x , trong đó
21
, gg được chọn sao cho hệ (1.4) có nghiệm chính xác biết
trước.
Trong [3], các tác giả Long, Nghóa, Ruy, Khôi đã nghiên cứu một trường hợp
riêng của (1.1) với
0=
ijk
a
và
],[ bb

−
=
Ω
hay
Ω
là khoảng không bò chận của .IR
Bằng cách sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, trong [3] đã thu được kết quả về sự
tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm
i
g . Trong trường
hợp
0=
ijk
a
và
ijk
S
là các nhò thức bậc nhất, );(
nr
IRCg Ω∈ và
],,[ bb−=Ω
trong [3]
đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp .
r
Hơn
nữa, nếu
i
g là các đa thức bậc ,
r
thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc

.
r
Kế
đó, nếu
i
g là các hàm liên tục, nghiệm
f
của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa
thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng bởi các tác giả Long,
Nghóa[4] cho miền
⊂Ω
p
I
R nhiều chiều và
ijk
S
là các hàm affine. Hơn nữa, trong [4]
cũng cho một điều kiện đủ về sự hội tụ cấp hai. Một số kết quả liên quan đến khai
triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé
ε
cũng được xem xét
trong bài báo của Long, Nghóa, Diễm [6] và Long [8].
Gần đây, N.T. Long, P.H. Danh, N.K. Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phương trình
tích phân-hàm

),()()()(
2
1
0
xgdttfcxbfaxf

i
j
x
jijijijjiji
ijij
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
∑
∫
=
+
γβ
α
,2,1
=
i ].,[ bbx −∈ (1.7)

Sau đó P.H. Danh, H.T.H. Dung, N.T. Long[1] đã xét hệ

),()()()(

11
0
xgdttfcxbfaxf
i
m
k
n
j
x
jikjijkijkjijki
ijkijk
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
∑∑
∫
==
+
γβ
α
(1.8)

,, ,2,1 ni = ],,[ bbx −=Ω∈ trong đó IRg
i
→
Ω
: là các hàm liên tục cho trước,
Rcba
ijkijkijkijkijkijk
∈
γ
β
α
,,,,, là các hằng số thực cho trước thỏa thêm một số điều
kiện phụ. Các tác giả trong [1, 5] đã thiết lập nghiệm
), ,(
1 n
fff
=
bởi một dãy các
đa thức hội tụ đều.

3
Luận văn nầy được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là
phần tài liệu tham khảo.
Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã
có trước đó và một số nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn.
Trong chương 2, là phần trình bày công cụ chủ yếu để sử dụng cho các chương
sau.
Trong chương 3, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh
sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1).

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải
lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Điều nầy cho phép gia tăng tốc độ hội tụ của thuật giải
lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp của ánh xạ co.
Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò
nhiễu bởi một tham số bé .
ε
Chúng tôi thu được trong chương nầy một khai triển tiệm
cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp 1
+
N theo

,
ε
với
ε
đủ nhỏ theo nghóa

)(
1
0
][ +
=
+=
∑
N
N
r
rr
Off
εε

ε

tức là
,)()(sup
1
10
][
+
==
Ω∈
≤−
∑∑
N
n
i
N
r
r
i
r
i
x
Cxfxf
εε


trong đó C là một hằng số độc lập với .
ε

Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể

với thuộc dạng (1.1) ứng với ,2,1
=
=
nm ],1,1[
−
=
Ω
,2,)( ≥=Φ pyy
p
ở đó một thuật
giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho
hệ được khảo sát.

Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý
kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo.












4
CHƯƠNG 2

CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM

Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một
số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn.

2.1. Các ký hiệu

Ta ký hiệu ],[ ba=Ω hay
Ω
là khoảng không bò chặn trong .IR
Với ],[ ba=Ω , ta ký hiệu );(
n
IRCX Ω= là không gian Banach của các hàm số
), ,(
1 n
fff =
n
IR→Ω:
liên tục trên
Ω
đối với chuẩn

∑
=
Ω∈
=
n
i
i
x

X
xff
1
)(sup
. (2.1)
Khi Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu
);(
n
b
IRCX Ω=
là không gian Banach của
các hàm số
n
IRf →Ω: liên tục, bò chận trên
Ω
đối với chuẩn (2.1).

Tương tự, với số nguyên không âm ,m ta đặt

}.1,0),;(:);(), ,({);(
)(
1
nimkIRCfIRCfffIRC
k
i
n
n
nm
≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω

Với Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu

}.1,0),;(:);(), ,({);(
)(
1
nimkIRCfIRCfffIRC
b
k
i
n
bn
nm
b
≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω

Mặt khác, );(
nm
IRC Ω và );(
nm
b
IRC Ω cũng là các không gian Banach đối với chuẩn

.)(supmax
1
)(
1
∑
=
Ω∈
≤≤

=
n
i
k
i
x
mk
m
xff (2.2)

2.2. Đònh lý điểm bất động Banach

Đònh lý điểm bất động sau đây được sử dụng nhiều lần trong các chương sau.

Đònh lý 2.1.( Đònh lý điểm bất động Banach)
Cho
X
là không gian Banach với chuẩn
XK ⊂⋅ ,
là tập

đóng. Cho
KKT →:
là ánh xạ thỏa mãn: Tồn tại số thực
10, <≤
σ
σ
sao cho

5

,gfTgTf −≤−
σ
., Kgf
∈
∀

(2.3)


Khi đó ta có

(i)
Tồn tại duy nhất
Kf ∈
sao cho
.Tff
=



(ii)
Với mỗi
,
)0(
Kf ∈
xét dãy
}{
)(
ν

f
cho bởi
, 2,1,
)1()(
==
−
νTff
νν
ta có


(j)

,0lim
)(
=−
∞→
ff
ν
ν



(jj)

,
1
)0()0()(
σ
σ

ν
ν
−
−≤− Tffff , 2,1
=
ν



(jjj)

)1()()(
1
−
−
−
≤−
ννν
σ
σ
ffff
,
, 2,1
=
ν


Chứng minh đònh lý 2.1 có thể tìm thấy trong các sách về nhập môn giải tích.

6
CHƯƠNG 3

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương nầy, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng
minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1).

Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong

);(
n
IRCX Ω≡
( hoặc trong );(
n
b
IRCX Ω= ) như sau

gBfAff
+
+=
ε
(3.1)
trong đó
),, ,(
1 n
fff =
),)(, ,)((
1 n
AfAfAf
=

),)(, ,)((
1 n
BfBfBf
=

với

()

,))(()()(
11
∑∑
==
Φ=
m
k
n
j
ijkjijki
xRfaxAf

∑∑
==
=
m
k
n
j
ijkjijki
xSfbxBf
11
,))(()()( ( ni
≤
≤
1 ) với mọi Ω∈x .
Ta ký hiệu: ][
ijk
b =
ijk

n
i
m
k
nj
b
∑∑
==
≤≤
11
1
max
.

Đầu tiên, ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 3.1.
Giả sử
1][ <
ijk
b
và
Ω
→
Ω
:
ijk
S
liên tục. Khi đó:

i)

X
ijk
X
fbBf ][≤

Xf
∈
∀
.


ii)
Toán tử tuyến tính

B
I
− XX →:
là khả đảo và
][1
1
)(
1
ijk
b
BI
−
≤−
−

.

Chứng minh
:
i) Ta có:

7

∑∑∑∑
===
Ω∈
=
Ω∈
≤=
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
x
n
i
i
x
X
xSfbxBfBf
1111
))((sup)()(sup

∑∑∑
===
Ω∈
≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
x
xSfb
111
))((sup

∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
≤
n
i
m
k
n
j
ijkj

x
ijk
nj
xSfb
11 1
1
))((supmax .][
X
ijk
fb≤

ii) Trước hết, ta nghiệm lại rằng .1<B Thật vậy, do (i) và ,1][ <
ijk
b

ta chú ý
rằng ,1][sup
0
<≤=
∈≠
ijk
X
X
Xf
b
f
Bf
B do đó, .1<B
Tiếp theo, ta chứng minh rằng
B

I
−
khả đảo, tức là, với mỗi ,Xg ∈ phương trình
gBff += có nghiệm duy nhất .Xf
∈
Thật vậy, xét ánh xạ

gBfff
XX
+=
→
δ
δ
a
:

Khi đó,
δ
là ánh xạ co.
Ta có:

XXXX
gfBgBff +≤+= hay .
1 B
g
f
X
X
−
≤

Vì gBIf
1
)(
−
−= nên .
1
)(
1
B
g
gBI
X
X
−
≤−
−


Vậy

,
][1
1
1
1
)(
sup)(
1
0

1
ijk
X
X
Xg
b
Bg
gBI
BI
−
≤
−
≤
−
=−
−
∈≠
−


và Bổ đề 3.1 được chứng minh.

Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.1) như sau:


)()(
1
gAfBIf +−=
−
ε

Tf
≡
. (3.2)

Ta thành lập các giả thiết sau:


)(
1
H
Ω→Ω:,
ijkijk
SR
liên tục;


8


)(
2
H Xggg
n
∈= ), ,(
1
;

)(
3
H

1][ <
ijk
b
;

)(
4
H RR →Φ : thỏa điều kiện


].,[,)()()(:0)(,0
11
MMzyzyMCzyMCM −∈∀−≤Φ−Φ>∃>∀
)(
5
H
][1
2
ijk
X
b
g
M
−
>
và
(
)
()
.

][)0()(2
][1
0
1
0
ijk
ijk
anMMC
bM
Φ+
−
<<
ε


Với mỗi
,0>M
ta đặt }:{ MfXfK
X
M
≤∈= .
Khi đó, ta có bổ đề sau đây.

Bổ đề 3.2.
Giả sử
)(
1
H
-
)(

4
H
đúng. Khi đó, ta có

i)
(
)
)0()(][
1
Φ+≤ nfMCaAf
X
ijk
X
,
M
Kf
∈
∀


ii)
X
ijk
X
ffaMCfAAf
~
][)(
~
1
−≤−

.
~
,
M
Kff ∈∀

Chứng minh
.
(i)
,
M
Kf ∈∀

()
∑∑∑∑
====
Φ≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
n
i
i
xRfaxAf
1111
))(()()(

()
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
Φ≤
n
i
m
k
n
j
ijkj
x
ijk
nj
xRfa
11 1
1
))((supmax
()
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
Φ≤
n
i
m

k
n
j
j
x
ijk
nj
xfa
11 1
1
)(supmax
(
)
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
Φ+≤
n
i
m
k
n
j
j
x
ijk
nj
xfMCa
11 1

1
1
)0()()(supmax

(
)
.)0()(][
1
Φ+≤ nfMCa
X
ijk


Vậy:
(
)
)0()(][
1
Φ+≤ nfMCaAf
X
ijk
X
.

(ii) ,
~
,
M
Kff ∈∀ ta có

9
()
()
∑∑∑∑
====
Φ−Φ≤−
n
i
m
k
n
j
ijkjijkjijk
n
i
ii
xRfxRfaxfAxAf
1111
))((
~
))(()()
~
()()(
()
()
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤

Φ−Φ≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijkj
x
ijk
nj
xRfxRfa
11 1
1
))((
~
))((supmax
()
()
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
Φ−Φ≤
n
i
m
k
n
j

jj
x
ijk
nj
xfxfa
11 1
1
)(
~
)(supmax
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
−≤
n
i
m
k
n
j
jj
x
ijk
nj
xfxfaMC
11 1
1
1
)(

~
)(supmax)(
.
~
][)(
1
X
ijk
ffaMC −≤

Vậy:

.
~
][)(
~
1
X
ijk
X
ffaMCfAAf −≤−


Khi đó, ta có đònh lý sau đây.

Đònh lý 3.1.
Giả sử
)(
1
H - )(

5
H
đúng. Khi đó, với mỗi
,
ε

với
0
εε
≤
, hệ
(3.2)
có một
nghiệm duy nhất
.
M
Kf ∈
Chứng minh. Hiển nhiên rằng ,XTf
∈
với mọi .Xf
∈
Xét ,
~
,
M
Kff ∈ ta dễ dàng
nghiệm lại rằng, do bổ đề 3.1 và 3.2, rằng

)()()()(
11

XX
X
X
gAfBIgAfBITf +−≤+−=
−−
εε


≤
()
[]
X
ijk
ijk
gnMMCa
b
+Φ+
−
)0()(][
][1
1
10
ε
, (3.3)

X
X
X
fAAfBIfAAfBIfTTf
~

)()
~
()(
~
1
0
1
−−≤−−=−
−−
εε

X
ijk
ijk
ff
b
aMC
~
][1
][)(
10
−
−
≤
ε
. (3.4)
Chú ý rằng, từ )(
5
H ta có

()
(
)
][1
2
)0()(][
10 ijk
X
ijk
b
M
gnMMCa −≤+Φ+
ε
.

Từ đây ta suy ra


10
()
M
b
gnMMCa
ijk
X
ijk
≤
−
+Φ+

][1
)0()(][
10
ε
và
1
][1
][)(
10
<
−
ijk
ijk
b
aMC
ε
. (3.5)

Ta suy từ (3.3), (3.4), (3.5) rằng
M
M
KKT →: là ánh xạ co. Khi đó, sử dụng đònh lý
điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm
M
Kf
∈
sao cho .Tff = 

Chú thích 3.1.

Nhờ đònh lý điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) được xấp xỉ bởi
thuật giải sau:

),()(
)1(1)1()(
gAfBITff +−≡=
−−−
ννν
ε
(3.6)
M
Kf ∈
)0(
cho trước.
Khi đó

ff →
)(
ν
trong
X
khi
+
∞→
ν
(3.7)
Và

,
1

)0()0(
)(
νν
σ
σ
−
−
≤−
X
X
Tff
ff

, 2,1
=
∀
ν
,
(3.8)

với
.1
][1
][)(
10
<
−
=
ijk
ijk

b
aMC
ε
σ


Chú thích 3.2.

Trong trường hợp riêng ,)(
2
yy =Φ
ijkijk
SR
=
, hệ (1.1) được chứng minh tồn tại
và duy nhất nghiệm bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghóa, T.N. Diễm [6]; L.T. Vân
[11].








11
CHƯƠNG 4
THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Trong đònh lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc

ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1. Trong phần này chúng ta nghiên cứu
một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1). Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ
đặt sau.
4.1. THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI
Xét hệ phương trình hàm

()
∑∑
==
Φ=
m
k
n
j
ijkjijki
xRfaxf
11
))(()(
ε
),())((
11
xgxSfb
i
m
k
n
j
ijkjijk
++
∑∑

==

,, ,1; nix =Ω∈∀
(1.1)
Ta giả sử rằng ).;(
1
IRIRC∈Φ Dựa vào xấp xỉ sau đây:

))(()()(
)1()()1(
/
)1()( −−−
−Φ+Φ≅Φ
ννννν
jjjjj
fffff . (4.1)
Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1)
i) Cho trước
(
)
., ,
)0()0(
1
)0(
Xfff
n
∈=
ii) Giả sử biết ,), ,(
)1()1(
1

)1(
Xfff
n
∈=
−−−
ννν
ta xác đònh Xfff
n
∈= ), ,(
)()(
1
)(
ννν
bởi

∑∑
==
−
Φ=
m
k
n
j
ijk
j
ijk
i
xRfaxf
11
)1()(

)))((()(
νν
ε


(
)
[]
∑∑
==
−−
−Φ+
m
k
n
j
ijk
j
ijk
j
ijk
j
ijk
xRfxRfxRfa
11
)1()()1(
/
))(())(()))(((
ννν
ε

),())((
11
)(
xgxSfb
i
m
k
n
j
ijk
j
ijk
++
∑∑
==
ν

, 2,1,1, =
≤
≤
Ω
∈
ν
nix
(4.2)
Ta viết lại (4.2) dưới dạng

),())(())(()()(
)(

11
)(
11
)()()(
xgxSfbxRfxxf
i
n
j
m
k
ijk
j
ijk
n
j
m
k
ijk
j
ijk
i
ννννν
α
++=
∑∑∑∑
====
, 2,1,1, =≤≤Ω∈
ν
nix (4.3)
trong đó

,
)(
ν
α
ijk

)(
ν
i
g phụ thuộc vào
)1( −
ν
f
cho bởi:

12
))),((()(
)1(
/
)(
xRfax
ijk
j
ijk
ijk
−
Φ=
νν
εα
(4.4)

)()(
)(
xgxg
i
i
=
ν


[]
.))(()))((()))(((
11
)1()1(/)1(
∑∑
==
−−−
Φ−Φ+
m
k
n
j
ijkjijkjijkjijk
xRfxRfxRfa
ννν
ε
(4.5)
Khi đó ta có đònh lý sau:


Đònh lý 4.1.

Giả sử
)(
1
H
- )(
3
H
là đúng
.
Nếu
Xf ∈
− )1(
ν
thỏa

.1][)(supmax
11
)(
1
<+≡
∑∑
==
Ω∈
≤≤
ijk
n
i
m
k
ijk

x
nj
bx
ν
ν
αα
(4.6)
Khi đó tồn tại duy nhất
Xf ∈
)(
ν
là nghiệm của (4.3)
−
(4.5) .
Chứng minh.
Hệ (4.3) được viết lại như sau:

,
)()(
ν
ν
ν
fTf =
(4.7)
Với

),())(())(()()()(
)(
1111
)(

xgxSfbxRfxxfT
i
n
j
m
k
ijkjijk
n
j
m
k
ijkj
ijk
i
νν
ν
α
++=
∑∑∑∑
====

, 2,11 =≤≤Ω∈
ν
, , nix , Xfff
n
∈
=
), ,(
1
. (4.8)

Hiển nhiên rằng
.: XXT →
ν
Ta chỉ cần nghiệm lại rằng

XX
hfhTfT −≤−
ννν
α
, Xhf
∈
∀
, . (4.9)
Thật vậy, với
,, Xhf ∈
đặt
,
~
hff −=
ta có
∑∑∑∑∑
∑
=====
=
+=
−
n
i
n
j

m
k
ijkjijk
n
j
m
k
ijkjijk
n
i
ii
xSfbxRfx
xhTxfT
11111
)(
1
))((
~
))((
~
)(
)()()()(
ν
νν
α


∑∑∑∑∑∑
======
+≤

n
i
n
j
m
k
ijkjijk
n
i
n
j
m
k
ijkjijk
xSfbxRfx
111111
)(
))((
~
))((
~
)(
ν
α


∑∑ ∑∑∑ ∑
== =
≤≤
== =

≤≤
+≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
nj
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
nj
xSfbxRfx
11 1
1
11 1
)(
1
))((
~
max))((
~
)(max
ν

α


13

X
n
i
m
k
ijk
njX
n
i
m
k
ijk
x
nj
fbfx
~
max
~
)(supmax
11
1
11
)(
1
∑∑∑∑

==
≤≤
==
Ω∈
≤≤
+≤
ν
α

X
n
i
m
k
ijk
nj
n
i
m
k
ijk
x
nj
fbx
~
max)(supmax
11
1
11
)(

1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
∑∑∑∑
==
≤≤
==
Ω∈
≤≤
ν
α
.
~
][)(supmax
11
)(
1
X
X
ijk
n
i
m
k
ijk

x
nj
hffbx −=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
∑∑
==
Ω∈
≤≤
ν
ν
αα

Vậy

.)()()()(sup.
1
X
n
i
ii
x
X
hfxhTxfThTfT −≤−≤−
∑

=
Ω∈
ννννν
α

Sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, đònh lý 4.1 được chứng minh.


Đònh lý 4.2.
Giả sử
)()(
31
HH −
đúng. Cho
.IRa
ijk
∈
Khi đó, tồn tại hai hằng số
,,
ε
M
sao cho: Với
M
Kf ∈
)0(
cho trước, hệ
(4.3)−(4.5)
tồn tại duy nhất nghiệm
)(
ν

f
thỏa điều kiện

M
Kf ∈
)(
ν
,
, 2,1,0
=
∀
ν

(4.10)
Chứng minh. Giả sử
,
)0(
M
Kf ∈ với hai hằng số ,,
ε
M mà ta sẽ chọn sau.
Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

.
)1(
M
Kf ∈
−
ν
(4.11)

Ta sẽ chứng minh rằng
.
)(
M
Kf ∈
ν
Với mọi ,
Ω
∈
x ta có từ (4.3) rằng:
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
++
≤
n
i
i
n
i
n
j
m
k
ijk
j
ijk
n
i

n
j
m
k
ijk
j
ijk
n
i
i
xgxSfb
xRfxxf
1
)(
111
)(
111
)()(
1
)(
)())((
))(()()(
νν
ννν
α


X
n
i

m
k
n
j
ijk
j
ijk
nj
n
i
m
k
n
j
ijk
j
ijk
nj
gxSfb
xRfx
)(
11 1
)(
1
11 1
)()(
1
))((max
))(()(max
ν

ν
νν
α
++
≤
∑∑ ∑
∑∑ ∑
== =
≤≤
== =
≤≤


XX
n
i
m
k
ijk
nj
X
n
i
m
k
ijk
x
nj
gfb
fx

)()(
11
1
)(
11
)(
1
max
)(supmax
νν
ν
ν
α
++
≤
∑∑
∑∑
==
≤≤
==
Ω∈
≤≤


14
.][)(supmax
)()(
11
)(
1

XX
ijk
n
i
m
k
ijk
x
nj
gfbx
νν
ν
α
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤
∑∑
==
Ω∈
≤≤
(4.12)
Do đó

XX
ijk
n
i
m
k
ijk
x
nj
X
gfbxf
)()(
11
)(
1
)(
][)(supmax
νν
ν
ν
α
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

+≤
∑∑
==
Ω∈
≤≤
. (4.13)
Mặt khác, với mọi
,Ω∈x ta có từ (4.4), (4.11), rằng:

(
)
))(()(
)1(
/
)(
xRfax
ijk
j
ijk
ijk
−
Φ≤
νν
εα
ijk
My
ijk
aMya
1
/

)(sup
εε
≡Φ≤
≤
, (4.14)
trong đó
.)(sup
/
1
yM
My
Φ=
≤

Ta suy từ (4.14) rằng:

.][)(supmax
1
11
)(
1
ijk
n
j
m
k
ijk
x
nj
aMx

εα
ν
≤
∑∑
==
Ω∈
≤≤
(4.15)
Mặt khác, ta cũng có từ (4.5) rằng:
)()(
)(
xgxg
i
i
=
ν

[]
∑∑
==
−−−
Φ−Φ−
m
k
n
j
ijk
j
ijk
j

ijk
j
ijk
xRfxRfxRfa
11
)1()1(
/
)1(
))(()))((()))(((
ννν
ε
.
Chú ý rằng số hạng trong dấu móc […] được đánh giá như sau


))(()))((()))(((
)1()1(/)1(
xRfxRfxRf
ijkjijkjijkj
−−−
Φ−Φ
ννν
)0())(()))((()0()))(((
)1()1(/)1(
Φ+Φ−Φ−Φ=
−−−
xRfxRfxRf
ijkjijkjijkj
ννν

)0())(()))((())(()))(((
)1()1(/)1()1(/
Φ+Φ−Φ=
−−−−
xRfxRfxRfxRf
ijkjijkjijkjijkj
νννν
θ

(
)
)0())(()))((()))(((
)1()1(/)1(/
Φ+Φ+Φ≤
−−−
xRfxRfxRf
ijkjijkjijkj
ννν
θ

,)0())((2
)1(
1
Φ+≤
−
xRfM
ijkj
ν

trong đó số thực

10, <<
θ
θ
xuất hiện do việc áp dụng đònh lý Lagrange cho hàm :
Φ

)()0()(
/
zzz
θ
Φ=Φ−Φ với )).((
)1(
xRfz
ijkj
−
=
ν

Do đó ta suy ra từ (4.11) rằng

15
∑∑
==
≤
n
i
i
n
i
i

xgxg
11
)(
)()(
ν

∑∑∑
===
−−−
Φ−Φ+
n
i
m
k
n
j
ijk
j
ijk
j
ijk
j
ijk
xRfxRfxRfa
111
)1()1(
/
)1(
))(()))((()))(((
ννν

ε

(
)
∑∑ ∑
== =
−
≤≤
+Φ+≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
nj
X
xRfMag
11 1
)1(
1
1
))((2)0(max
ν
ε

(
)
∑∑

==
−
≤≤
+Φ+≤
n
i
m
k
X
ijk
nj
X
fMnag
11
)1(
1
1
2)0(max
ν
ε

(
)
1
2)0(][ MMnag
ijk
X
+Φ+≤
ε
.

Vậy
(
)
1
)(
2)0(][ MMnagg
ijk
X
X
+Φ+≤
ε
ν
. (4.16)
Từ (4.13), (4.15) và (4.16), ta được:


(
)
()
.2)0(][
][][
1
)(
1
)(
MMnag
fbaMf
ijk
X
X

ijkijk
X
+Φ++
+≤
ε
ε
νν
(4.17)
hay
()
(
)
.2)0(][][][1
1
)(
1
MMnagfaMb
ijk
X
X
ijkijk
+Φ+≤−−
εε
ν

Với
0>M đã chọn như trong ),(
5
H ta chọn
ε

sao cho hai điều kiện sau được thỏa:

,1][][
1
<+
ijkijk
aMb
ε
(4.18)

.)][1())0(3(][
1
MbnMMag
ijkijk
X
−≤Φ++
ε
(4.19)
Khi đó, ta suy ra từ (4.17), (4.18) và (4.19) rằng:

(
)
.
][][1
2)0(][
1
1
)(
M
aMb

MMnag
f
ijkijk
ijk
X
X
≤
−−
+Φ+
≤
ε
ε
ν
(4.20)
Điều nầy khẳng đònh (4.10).
Ta chú ý rằng (4.19) dẫn đến (4.18), bởi vì (4.19) tương đương với:


()
(
)
.][][1)0(2][
11
MaMbnMMag
ijkijkijk
X
εε
−−≤Φ++
(4.21)
Như vậy, ta chỉ cần chọn

ε
thỏa (4.19).

16
Đònh lý 4.2 được chứng minh hoàn tất.

4.2. SỰ HỘI TỤ CỦA THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI
Đònh lý 4.1. và 4.2 đã khẳng đònh sự tồn tại của một dãy lặp cấp hai trong
M
K
xác đònh bởi (4.3)
−(4.5). Kết quả sau đây cho ta kết luận dãy nầy là dãy lặp cấp hai và
cho một điều kiện đủ để thuật giải nầy hội tụ.

Đònh lý 4.3.
Giả sử
),(
1
H ),(
2
H )(
3
H
đúng. Cho
.IRa
ijk
∈

Khi đó, tồn tại hai hằng số
0>M

và
,
ε
sao cho:

(i)
Với
M
Kf ∈
)0(
cho trước, dãy
}{
)(
ν
f
xác đònh bởi hệ
(4.3)−(4.5)
là dãy lặp cấp
hai. Chính xác hơn, ta có

, 2,1 ,
2
)1()(
=∀−≤−
−
νβ
νν
X
M
X

ffff

(4.22)

trong đó
,
][][1
][
2
1
2
ijkijk
ijk
M
aMb
aM
ε
ε
β
−−
=
,)(sup
//
2
yM
My
Φ=
≤

(4.23)

và f là nghiệm của hệ
(1.1).

(ii)
Nếu
)0(
f
được chọn đủ gần
f
sao cho

,1
)0(
<−
X
M
ff
β

(4.24)
thì dãy
}{
)(
ν
f
hội tụ cấp
2
về
f

và thỏa một đánh giá sai số

, 2,1
1
)0()(
=∀
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−≤−
νβ
β
ν
ν
,
2
X
M
M
X
ffff (4.25)

Chứng minh.

i) Ta có:
),()()()(
))](()))((()))((([

)()()(
)(
)(
11
)()1(
/
)()(
xgxgxBe
xRfxRfxRfa
xfxfxe
i
ii
n
j
m
k
ijk
i
ijk
j
ijkjijk
i
i
i
ν
ν
νν
νν
ε
−++

Φ−Φ=
−=
∑∑
==
−


)()())](()))((()))((([
)(
11
)()1(
/
xBexRfxRfxRfa
i
n
j
m
k
ijk
j
ijk
j
ijkjijk
ν
νν
ε
+Φ−Φ=
∑∑
==
−

17
[]
∑∑
==
−−−
Φ−Φ−
m
k
n
j
ijk
j
ijk
j
ijk
j
ijk
xRfxRfxRfa
11
)1()1(
/
)1(
))(()))((()))(((
ννν
ε


∑∑

==
−
Φ−Φ+=
n
j
m
k
ijk
j
ijkjijki
xRfxRfaxBe
11
)1(
)(
)))]((()))((([)()(
ν
ν
ε


[
]
∑∑
==
−−
−Φ+
m
k
n
j

ijk
j
ijk
j
ijk
j
ijk
xRexRexRfa
11
)1()()1(
/
))(())(()))(((
ννν
ε
. (4.26)
Mặt khác, ta có


,)())((
2
1
))(())(())(())((
2
)1()(//)1()1(/)1(
yeyhyeyfyfyf
jjjjjj
−−−−
Φ+Φ=Φ−Φ
ννννν

với
),(xRy
ijk
= ),()()(
)1()1()(
yeyfyh
j
j
jj
−−
+=
ννν
θ
.10
<
<
j
θ

Vậy:

.]))(()))((([
2
))](()))((([
)()()(
11
2
)1()(
//
11

)()1(
/
)(
)(
∑∑
∑∑
==
−
==
−
Φ+
Φ+
=
n
j
m
k
ijk
j
ijk
j
ijk
n
j
m
k
ijk
j
ijk
j

ijk
i
i
xRexRha
xRexRfa
xBexe
νν
νν
ν
ν
ε
ε
(4.27)

Với mọi
,Ω∈x
ta có từ (4.27) rằng:

∑∑ ∑∑
== =
Ω∈
≤≤
=
+≤
n
i
m
k
n
j

ijkj
x
ijk
nj
X
n
i
i
xReaMBexe
11 1
)(
1
1
)(
1
)(
))((supmax)(
ννν
ε

∑∑ ∑
== =
−
Ω∈
≤≤
+
n
i
m
k

n
j
ijkj
x
ijk
nj
xReaM
11 1
2
)1(
1
2
]))((supmax
2
ν
ε


∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
+≤
n
i
m
k
n
j
j

x
ijk
nj
X
ijk
xeaMeb
11 1
)(
1
1
)(
)(supmax][
νν
ε


18
∑∑ ∑
== =
−
Ω∈
≤≤
+
n
i
m
k
n
j
j

x
ijk
nj
xeaM
11 1
2
)1(
1
2
])(supmax
2
ν
ε


X
ijk
X
ijk
eaMeb
)(
1
)(
][][
νν
ε
+≤
.][
2
2

)1(
2
X
ijk
eaM
−
+
ν
ε
(4.28)

Điều nầy dẫn đến


()
2
)1(
2
)(
1
][
2
][][1
X
ijk
X
ijkijk
eaMeaMb
−
≤−−

νν
ε
ε
.
suy ra

2
)1(
2
)1(
1
2
)(
][][1
][
2
X
M
X
ijkijk
ijk
X
ee
aMb
aM
e
−−
≡
−−
≤

ννν
β
ε
ε
,

hay
, 2,1
2
)1()(
=∀−≤−
−
νβ
νν
,
X
M
X
ffff (4.29)

với
.
][][1
][
2
1
2
ijkijk
ijk
M

aMb
aM
ε
ε
β
−−
=


(ii) Từ (4.29) ta suy ra

2
2
)2(
2
)1()(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤
−−
X
MM
X
M
X
eee

ννν
βββ


() ()
2
2
2
2
)3(
21
2
)2(
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤=
−
+
−
+
X
MM
X
M
ee

νν
βββ


()
3
2
2
)3(
221
X
M
e
−
++
=
ν
β
()
ν
ν
β
2
)0(
2 221
12

X
M
e

−
++++
≤≤

()
(
)
.
1
2)0(
2
)0(
21
21
ν
ν
ν
β
β
β
X
M
M
X
M
ee ==
−
−
(4.30)

Bất đẳng thức đánh giá nầy cho phép ta kết luận dãy
}{
)(
ν
f
hội tụ cấp 2 đến
nghiệm
f của hệ (1.1) nếu
)0(
f được chọn thỏa (4.24).

19
Chú thích 4.1:
Về việc chọn bước lặp ban đầu
M
Kf ∈
)0(
thỏa (4.24) ta cần qua một công đoạn phụ
như sau:
- Trước hết ta lấy
,
)0(
Xz ∈

- Xây dựng dãy lặp đơn
}{
)(
η
z liên kết với ánh xạ co
M

M
KKT →: (như trong đònh
lý 3.1, chương 3):


),()(
)1(1)1()(
gAzBITzz +−≡=
−−−
ηηη
ε
, 2,1
=
η
. (4.31)

- Khi đó dãy
}{
)(
η
z hội tụ trong
X
về nghiệm f của (1.1) và ta có một đánh giá sai
số


, 2,1 ,
1
)0()0()(
=∀

−
×−≤−
η
σ
σ
η
η
XX
Tzzzf (4.32)
với

.1
][1
][2
<
−
=
ijk
ijk
b
aM
ε
σ
(4.33)

- Từ (4.32), (4.33), ta chọn
0
η
N
∈

đủ lớn sao cho:


1.
1
0
0
)0()0(
)(
<
−
×−≤−
σ
σ
ββ
η
η
X
M
X
M
Tzzzf (4.34)

Vậy ta chọn bước lặp ban đầu
.
)(
)0(
0
η
zf = 

20
CHƯƠNG 5
KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM

Trong chương nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò nhiễu bởi
một tham số bé
.
ε
Với các giả thiết trên các hàm gS
ijk
, và các số thực ,
ijk
a ,
ijk
b ,
0

ε

M
chúng tôi sẽ chứng minh rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển tiệm cận đến
cấp
1+N theo
ε
thu được, với
ε
đủ nhỏ theo nghóa

)(
1
0
][ +
=
+=
∑
N
N
r
rr
Off
εε
ε

tức là

,
1

0
][
+
=
≤−
∑
N
X
N
r
rr
Cff
εε
ε

trong đó
C là một hằng số độc lập với .
ε

Trong phần nầy, ta giả sử rằng các hàm
gS
ijk
, và các số thực ,
ijk
a ,
ijk
b ,
0
ε

M
thỏa
các giả thiết
)(
1
H
- ),(
5
H lần lượt.

Giả thiết
)(
6
H ).;( IRIRC
N
∈Φ

Ta xét hệ bò nhiễu (3.2), trong đó
ε
là một tham số bé, .
0
εε
≤ Đặt
B
I
L
−
=
.
Ta hãy xét dãy hàm

},{
][r
f
,, ,2,1,0 Nr
=
M
r
Kf ∈
][
( với hằng số thích hợp 0>M )
được xác đònh bởi các hệ sau:

,
]0[]0[
PgLf ≡= (5.1)

,
]0[]1[]1[
AfPLf ≡= (5.2)

,
][][ rr
PLf =
,, ,3,2 Nr = (5.3)
trong đó

),, ,,(
][
][
2

][
1
][ r
n
rr
r
PPPP = ,, ,1,0 Nr
=


,)))((()()()(
11
]0[
]0[
]1[
∑∑
==
Φ==
m
k
n
j
ijk
j
ijki
i
xRfaxAfxP (5.4)

,))(()))((()(
11

]1[]0[
/
]2[
∑∑
==
Φ=
m
k
n
j
ijk
j
ijk
j
ijk
i
xRfxRfaxP (5.5)
với
,, ,4,3 Np =

,))((
!
1
)))((()(
1)(,11
1
1
]0[
)(
][

∑∑∑ ∑
−====
−
=
Φ=
pr
ijk
j
m
k
n
j
p
r
ijk
j
r
ijk
p
i
xRfxRfaxP
γηγ
γ
γ
r
(5.6)
ở trên, ta đã sử dụng các ký hiệu sau:
Với một đa chỉ số
,), ,(
1

N
N
Z
+
∈=
γγγ
ta đặt