phương trình song phi tuyến tính với điều kiện biến chứa phương tích phân phi tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ



PHẠM GIA KHÁNH




PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN PHI TUYẾN



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC







Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01

THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005



BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ



PHẠM GIA KHÁNH




PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN PHI TUYẾN



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC





Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60. 46. 01
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long

Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

Học viên cao học: Phạm Gia Khánh
Bộ môn Toán, Khoa Sư Phạm, Đại học Cần Thơ.




Thành phố Cần Thơ
2005


LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ



Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long

Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.



Người nhận xét 1: TS. Nguyễn Công Tâm

Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.



Người nhận xét 2: TS. Nguyễn Văn Nhân

Khoa Thống kê-Toán-Tin học, Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh.



Học viên cao học: Phạm Gia Khánh

Bộ môn Toán, Khoa Sư Phạm, Đại học Cần Thơ.



Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án tại Trường Đại học Cần
Thơ, vào lúc ……giờ……ngày 10 tháng 09 năm 2005.

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Cần
Thơ.


THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005


LÔØI CAÛM ÔN

MỤC LỤC
Trang

Chương 0. Phần mở đầu 3
Chương 1. Các công cụ chuẩn bò 7
1.1 Các không gian hàm 7
1.2 Không gian hàm .1),;,0( ∞≤≤ pXTL
p
9
1.3 Phân bố có giá trò vectơ 10
1.4 Bổ đề về tính compact của Lions 14
1.5 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ).(QL
p
14
Chương 2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 15
Đònh lý 2.1 16
Đònh lý 2.2 35
Đònh lý 2.3 35
Chương 3. Sự ổn đònh của nghiệm 36
Đònh lý 3.1 36
Chương 4. Xét một trường hợp cụ thể 41
Phần kết luận 50
Tài liệu tham khảo 51

3
CHƯƠNG 0. PHẦN MỞ ĐẦU

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm

(, )uP

thỏa:

(,) (, ) (,), (0,1), 0 ,

tt xx t
uu bxtfuu Fxtx tT−+ = ∈Ω= << (0.1)

),(),0( tPtu
x
= (0.2)

(1, ) 0,ut= (0.3)

0
(,0) (),ux u x=
1
(,0) (),
t
ux ux
=
(0.4)
trong đó
01
,,,,uubfF là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Hàm chưa biết
(,)uxt và giá trị biên chưa biết ()Pt thỏa một phương trình tích
phân phi tuyến sau đây

0
() () ( (0,)) ( ) (0, ) ,
t
Pt gt Hu t kt su sds=+ −−
∫
(0.5)
trong đó
,,

k
gH là các hàm cho trước.
Trong [2], Đặng Đình Áng và Alain Phạm Ngọc Định đã thiết lập định lý
tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho bài toán giá trị biên và ban đầu (0.1)-(0.4)
với
01
,,uuP là các hàm cho trước và

1
(,) 0, (,) 1,
(, ) | |
tt t
Fxt bxt
fuu u u
α
α
−
==
⎧
⎨
=<<

⎩

, (0 1).
(0.6)
Bằng sự tổng quát hóa của [2], Long và Alain Phạm [7, 10, 11], Long và Thuyết
[13], Long và Dũng [14], Long, Tâm và Trúc [15], Hóa và Ngọc [8] đã xét bài
toán (0.1), (0.3), (0.4) với
1b
≡
và liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại
x = 0 có dạng

0
(0, ) ( ) ( (0, )) ( , (0, )) .
t
x
utgtHut ktsusds=+ −−
∫
(0.7)
Các tác giả trên đã lần lượt cứu xét nó trong [10] với
0k ≡ , H(s)=hs, trong
đó
0h > ; trong [7] với 0;k
≡
trong [10, 15] với () ,Hs hs
=
trong đó h>0. Một số

4
tính chất về compact và liên thông của tập nghiệm của bài toán (0.1)-(0.5) ứng với

1b ≡ cũng được xét trong [8].
Trong trường hợp
1b
≡
, H(s)=hs, trong đó h>0, bài toán (0.1)-(0.5) được
thành lập từ bài toán (0.1)-(0.4), trong đó, hàm chưa biết u(x,t) và giá trị biên chưa
biết
()Pt thỏa một bài toán Cauchy sau đây cho một phương trình vi phân thường

// 2
() () (0,), 0 ,
tt
Pt Pt hu t t T
ω
+= << (0.8)

/
01
(0) , (0) ,PPP P== (0.9)
trong đó
0,
ω
> 0,h ≥
01
,

PP là các hằng số dương cho trước [11].
Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu một
trường hợp riêng của bài toán (0.1)-(0.4), (0.8), (0.9) với
1b ≡ , u

0
=u
1
=P
0
=0 và
với b(x,t)f(u,u
t
)-F(x,t)=f
1
(u,u
t
) tuyến tính, nghĩa là, f
1
(u,u
t
)=Ku+λu
t
, trong đó
,

K
λ
là các hằng số cho trước. Trong trường hợp sau, bài toán (0.1)-(0.4), (0.8) và
(0.9) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và thanh đàn hồi nhớt
tuyến tính tựa trên một nền cứng([1,19]). Như vậy bài toán nghiên cứu trong luận
văn này là phi tuyến tương tự bài toán được xét trong [1,19].
Trong trường hợp mà
(,) (, ) (,)
t

bxt f uu Fxt
−
= || (),
tt
usignu
α
01,
α
<< bài
toán (0.1)-(0.4), (0.8) và (0.9) mô tả sự va chạm của một vật rắn và thanh đàn hồi
nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở mặt bên, ràng buộc liên kết với
lực cản ma sát nhớt.
Từ (0.8), (0.9) ta biểu diễn P(t) theo
01
,,,, (0,)

tt
PP hu t
ω
và sau đó tích
phân từng phần ta thu được

0
() () (0,) ( ) (0, ) ,
t
P t g t hu t k t s u s ds=+ −−
∫
(0.10)
trong đó
ω

ω
ω
t
huPthuPtg
sin
))0((cos))0(()(
1100
−+−= , (0.11)
() sin .kt h t
ω
ω
= (0.12)
Bằng cách khử ẩn hàm P(t), ta thay thế điều kiện biên (0.2) bởi

5
0
(0, ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) .
t
x
u t g t hu t k t s u s ds=+ −−
∫
(0.13)
Khi đó, chúng ta đưa bài toán (0.1)-(0.4), (0.8), (0.9) về (0.1)-(0.4), (0.10)-
(0.12) hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.11)-(0.13).
Cũng cùng loại với bài toán trên, Long, Út và Trúc [16] đã cứu xét bài toán
biên thuộc dạng
01
11
0
() ( ,), 0 1, 0 ,

(0, ) 0,
() (1,) (),
( ,0) ( ), ( ,0) ( ),
( ) ( ) (1, ) ( ) (1, ) ( ) ( ) (1, ) ,
tt xx t
x
t
t
t
utuKuufxt x tT
ut
tu t Qt
ux ux ux ux
Qt K tu t tu t gt kt su sds
μλ
μ
λ
⎧
⎪
−++= <<<<
⎪
⎪
=
⎪
⎪
−=
⎨
⎪
==
⎪

⎪
=+−−−
⎪
⎪
⎩
∫
(0.14)
trong đó,
01 11
, , , , , , , uufgk K
μ
λ
là các hàm cho trước, ,K
λ
là các hằng số không
âm cho trước. Cũng vậy, Long, Định và Diễm [17] nghiên cứu bài toán biên phi
tuyến dưới đây
11
01
0
|| | | (,), 0 1, 0 ,
(0, ) ( ),
(1, ) (1, ) (1, ) 0,
(,0) (), (,0) (),
( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) ,
tt xx t t
x
xt
t
t

uu Kuu uu fxt x tT
utPt
utKut ut
ux ux ux ux
P t g t hu t k t s u s ds
αβ
λ
λ
⎧
⎪
−+ + = << <<
⎪
⎪
−=
⎪
⎪
++=
⎨
⎪
==
⎪
⎪
=+ −−
⎪
⎪
⎩
∫
(0.15)
trong đó,
01

, , , , uufgk là các hàm cho trước,
11
, , , , , hKK
λ
λα
và
β
là các hằng
số không âm cho trước
Luận văn được trình bày theo các chương mục sau
Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các
kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn.


6
Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc
lại một số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không
gian hàm quan trọng.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục
của bài toán (0.1)-(0.5). Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên kết
với các đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu và về tính compact. Trong phần này, định
lý Schauder được sử dụng trong vi
ệc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin.
Một điều chú ý rằng, phương pháp xấp xỉ tuyến tính trong các bài báo [6,12,15,
18] không sử dụng được trong luận văn này và trong các bài báo [2, 4, 5 ,7, 10, 11,
13, 14].
Chương 3, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm (u,P) của bài toán (0.1)-(0.5)
là ổn định đối với các hàm g, H và k.
Chương 4, chúng tôi xét bài toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm
nghiệm của bài toán trên.

Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo.
Nhìn chung các kết quả trình bày trong các chương 2, 3, 4 là một nới rộng
nhỏ kết quả trong [13] như là một đóng góp khá khiêm tốn của tác giả.

7
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1. Các không gian hàm
Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu sau
(0,1), (0, ),
T
QT
Ω
==Ω× T>0, và bỏ qua
định nghĩa các không gian hàm thông dụng: (),
m
C
Ω
(),
p
L
Ω
(),
m
H Ω
,
().
mp
W Ω
Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau

() ,
pp
LLΩ= () ,
mm
HHΩ=
,,
() .
mp mp
WWΩ=
Ta định nghĩa
)(
2
Ω= LH là không gian Hilbert đối với tích vô hướng

1
0
,()()uv uxvxdx=
∫
,
2
,.uv L∈ (1.1)
Ký hiệu ||.|| để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là

1/2
1
2
0
|| || , ( )uuu uxdx
⎛⎞
==

⎜⎟
⎝⎠
∫
,
2
.uL∈
(1.2)
Ta định nghĩa

1
{:(1)0},VvHv=∈ = (1.3)
và

1
0
,',''()'().
V
uv u v u xv xdx==
∫
(1.4)
V là không gian con đóng của
1
,H do đó, V là không gian Hilbert đối với tích vô
hướng của
1
.H
Mặt khác trên V thì
1
||||
H

v và || || ', '
V
vvv= là hai chuẩn tương
đương. Điều này cho bởi bổ đề sau
Bổ đề 1.1. Phép nhúng
0
()VC
Ω
 là compact và

0
()
|| || || ||

V
C
vv
Ω
≤ với mọi
.vV
∈
(1.5)
Chứng minh bổ đề 1.1 không khó khăn.
Bổ đề 1.2. Đồng nhất H với H’ ( đối ngẫu của H). Khi đó, ta có ''VH H V
≡

với các nhúng liên tục và nằm trù mật.


8

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng H nhúng trong V’. Vì HV ⊂ , với
mọi
,wH∈ ánh xạ:
1
0
:
() , ()()
w
w
TV IR
vTv wv wxvxdx
→
==
∫
a
(1.6)
là tuyến tính liên tục trên V, tức là
'.
w
TV
∈

Ta xét ánh xạ:
:'
() .
w
TH V
w T w T
→
=a

(1.7)
Khi đó ta có:

',
,,,,.
w
VV
Tv wv vV w H=∀∈∀∈ (1.8)
Ta sẽ chứng minh rằng toán tử T thỏa các tính chất sau:
(i)
':
V
H
T
→ là đơn ánh,
(ii)
'
,
w
V
TwwH≤∀∈,
(iii)
{
}
HwTHT
w
∈
=
:)( là trù mật trong V’.
Chứng minh.

(i)
Dễ thấy rằng T tuyến tính. Nếu T
w
= 0 thì

',
,,0, .
w
VV
wv T v v V==∀∈
Do V trù mật trong H, nên ta có
,0, .wv v H=∀∈ Do đó
0.w
=

Vậy T là đơn ánh, nghĩa là, một phép nhúng từ H vào V’.
(ii) Ta có, với mọi
,wH∈


'
,1 ,1
sup , sup ,
vv
ww
V
vV v vV v
TTvwv
∈= ∈=
==

,1
,1
sup .
sup . .
v
v
vV v
v
vV v
wv
wv w
∈=
∈=
≤
≤=


9
(iii) Ta chứng minh rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V’ và triệt tiêu
trên T(H) thì cũng triệt tiêu trên V’. Coi L
(
)
''V
∈
, với
// /
,
,0,().

ww
VV
LT T T H=∀∈
Ta chứng minh rằng
0.L =
Thật vậy, do V phản xạ, tức là
//
()VV
≡
, theo nghĩa

// / /
// /
,,
(), :, , .
VV VV
LV lVLz zl zV∀∈ ∃∈ = ∀∈ , (1.9)
Lấy
'
w
zT V=∈, ta có:

'', ' ',
0, , ,, .
ww
VV VV
LT T l wl w V===∀∈
Do V trù mật trong H, nên ta có:
,0, .wl w H=∀∈

Vậy l = 0. Theo (1.9) ta có:

'', ' ',
,,0,'.
VV VV
Lz zl z V==∀∈
Vậy L triệt tiêu trên V’.
Chú thích 1.1. Từ bổ đề 1.2 ta dùng ký hiệu tích vô hướng
,⋅⋅
trong L
2
để chỉ
cặp tích đối ngẫu giữa V và V’.
Chuẩn trong L
2
được ký hiệu bởi ||.||. Ta cũng ký hiệu ||.||
X
để chỉ chuẩn
trong một không gian Banach X và gọi X’ là không gian đối ngẫu của X.
1.2. Không gian hàm
()
0, ; , 1 .
p
LTX p
≤
≤∞
Cho X là không gian Banach thực đối với chuẩn ||
.||
X
. Ta ký hiệu

()
0, ; , 1 ,
p
LTX p
≤
≤∞ là không gian các lớp tương đương chứa hàm
()
:0,uT X→
đo được, sao cho

()
,
0
∞<
∫
dttu
T
p
X
với 1,p
≤
<∞
hay
()
(
)
0: , . ., 0,
X
M
u t M a e t T∃> ≤ ∈

với
.
p
=
∞

Ta trang bị
()
∞≤≤ pXTL
p
1 , ;,0 bởi chuẩn như sau:

10

()
()
p
T
p
XXTL
dttuu
p
/1
0
;,0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
=
∫
với
1,p
≤
<∞

hay
()
X
Tt
XTL
tuessu )(sup
0
;,0
<<
=
∞


() ()
{
}
inf 0 : , . ., 0,
X
M
ut M ae t T≡> ≤ ∈ với .

p
=∞
Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy
trong Lions[9].
Bổ đề 1.3. (Lions[9]).
()
∞≤≤ pXTL
p
1 , ;,0 là không gian Banach.
Bổ đề 1.4.
(Lions[9]). Gọi X’ là đối ngẫu của X. Khi đó
()
'
0, ; '
p
LTX với
11
1, 1 ,
'
p
pp
+= <<∞
là đối ngẫu của
(
)
0, ; .
p
LTX Hơn nữa, nếu X phản xạ thì
()
0, ;

p
L
TX
cũng phản xạ.
Bổ đề 1.5.
(Lions[9]).
(
)
(
)
(
)
1
0, ; ' 0, ; ' .LTX L TX
∞
= Hơn nữa các không gian
()( )
1
0, ; , 0, ; '
L
TX L TX
∞
không phản xạ.
Chú thích 1.2.
Nếu
(
)
p
XL=Ω
thì

(
)
(
)
(
)
0, .
pp
L0,T;X L T=Ω×
1.3. Phân bố có giá trị vectơ
Định nghĩa 1.1
. Cho X là một không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên
tục từ D((0, T)) vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong X. Tập
các phân bố có giá trị trong X, ký hiệu là:

() )
()
()
'0, ; 0, ;DTXLDTX= ={
(
)
| ,0: XTDf → f tuyến tính liên tục}.
Chú thích 1.3. Ta ký hiệu D(0,T) thay cho
(
)
(
)
0,DT
hoặc
()()

TC
c
,0
∞
để chỉ
không gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong (0,T).
Định nghĩa 1.2. Cho ∈f
(
)
'0, ; .DTX Ta định nghĩa đạo hàm
dt
df
theo nghĩa phân
bố của f bởi công thức:

11

()
,, 0,.
df d
f
, D T
dt dt
ϕ
ϕϕ
=− ∀ ∈ (1.10)
Các tính chất:
i/ Cho
()
0, ;

p
vL TX∈ ta làm tương ứng với nó bởi ánh xạ
()
XTDT
v
→,0: như
sau:

()
0
,()(), 0,.
T
v
Tvttdt DT
ϕϕϕ
=∀∈
∫
(1.11)
Ta có thể nghiệm lại rằng
(
)
XTDT
v
;,0'
∈
. Thật vậy:
j) Ánh xạ
()
XTDT
v

→,0: là tuyến tính.
jj) Ta nghiệm lại ánh xạ
(
)
XTDT
v
→,0: là liên tục.
Giả sử
{
}
()
TD
j
,0⊂
ϕ
sao cho
0
j
ϕ
→
trong
(
)
0,DT. Ta có:
0
0
1/ 1/ '
'
00
,()()

() ()
() | ()| 0.
T
vj j
X
X
T
j
X
pp
TT
p
j
p
j
X
Tvttdt
v t t dt
v t dt t dt
ϕϕ
ϕ
ϕ
→+∞
=
≤
⎛⎞⎛ ⎞
≤⎯⎯⎯→
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
∫

∫
∫∫
(1.12)
Do đó,
,0
vj
T
ϕ
→ trong X khi .
j
→+∞ Vậy ).;,0(' XTDT
v
∈

ii/ Ánh xạ
v
vTa là một đơn ánh, tuyến tính từ
(
)
XTL
p
;,0 vào
).;,0(' XTD
Do đó,
ta có thể đồng nhất
.
v
Tv= Khi đó ta có kết quả sau
Bổ đề 1.6. (Lions[9])
()

XTL
p
;,0 ⊂
(
)
XTD ;,0' với phép nhúng liên tục.
Đạo hàm trong
()
0, ; .
p
LTX
Do bổ đề 1.6, phần tử
∈
f
(
)
XTL
p
;,0 ta có thể coi f và do đó
dt
df
là phần tử
của
()
XTD ;,0'
. Ta có kết quả sau


12
Bổ đề 1.7.(Lions[9]) Nếu

∈
f
(
)
XTL ;,0
1
và
/
f
∈
(
)
XTL ;,0
1
thì f bằng hầu hết với
một hàm liên tục từ
[0, ] .TX→
Chứng minh bổ đề 1.7 bằng nhiều bước
Bước 1: Đặt
()
0
() ' .
t
Ht f sds=
∫
Khi đó
[
]
XTH →,0: liên tục, vì ∈'f
()

XTL ;,0
1
.
Trước hết, ta chứng minh rằng
'f
dt
df
dt
dH
== theo nghĩa phân bố. Thật vậy:
()
TD ,0∈∀
ϕ
ta có
()
()
() () ()
()
0
00 0
0
,, ()
''
'() ',.
T
Tt T T
s
T
dH d d
HHttdt

dt dt dt
dd
f s ds t dt f s t dt ds
dt dt
f s s ds f
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
=− =−
⎛⎞ ⎛ ⎞
=− =−
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
==
∫
∫∫ ∫ ∫
∫
(1.13)
Vậy

'f
dt
df
dt
dH
== trong
(
)
'0, ; .DTX

Bước 2: Ta suy ra rằng ,
f
HC
=
+ theo nghĩa phân bố (C là hằng).
Thật vậy, giả sử v = H – f. Ta có v’ = 0 theo nghĩa phân bố (do bước 1). Ta
sẽ chứng minh rằng v = C, theo nghĩa phân bố. Thật vậy v’=0 tương đương với

() () ( )
0
'0, 0,.
T
vs sds D T
ϕϕ
=∀∈
∫
(1.14)
Coi
ϕ

()
TD ,0∈ ta có thể viết
ϕ
dưới dạng '
0
ψ
λϕ
ϕ
+
=

, trong đó
()
0, ,DT
ψ
∈
0
ϕ

thoả
()
0
0
1
T
sds
ϕ
=
∫
và
()
0
.
T
tdt
λϕ
=
∫

Thật vậy, vì
() ()()

0
0
0
=−
∫
dttt
T
λϕϕ
nên nguyên hàm của
()
tt
0
)(
λϕ
ϕ
− triệt tiêu tại
0t = sẽ thuộc
()
0, .DT

13
Chọn
()
=t
ψ
()
0
0
() ()
t

ssds
ϕλϕ
−
∫
và trong (1.14), thay '
ϕ
bởi '
ψ
, ta thu được
()
0
() '() 0, 0,
T
vs sds D T
ψϕ
=∀∈
∫

hay

[]
()
0
0
() () () 0, 0,
T
vs s s ds D T
ϕλϕ ϕ
−=∀∈
∫

hay

()
0
00
0
00
()() () ()
() () () , 0, .
TT
TT
vs sds vs sds
t dt v t t dt D T
ϕλϕ
ϕϕϕ
=
=∀∈
∫∫
∫∫
(1.15)
Đặt C =
0
0
() () ,
T
vt tdt
ϕ
∫
ta suy ra từ (1.15) rằng

() ()
0
() () 0, 0, .
T
vs C sds D T
ϕϕ
−=∀∈
∫

Vậy v(t) = C trong
()
'0, ; .DTX
Bước 3: Ta sử dụng tính chất sau
Nếu
()
1
0, ;wL TX∈ và
()
0
() () 0, 0,
T
wt tdt D T
ϕϕ
=∀∈
∫
thì
()
0≡tw với hầu
hết
()

Tt ,0∈
. Điều này có được là do ánh xạ
w
Tw a từ
(
)
XTL ;,0
1
vào
(
)
XTD ;,0'

là đơn ánh (tính chất ii/ ở trên).
Từ các bước 1, 2, 3 ở trên ta suy ra rằng f = H + C, theo nghĩa phân bố.
Tương tự ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.8. (Lions[9]) Nếu
∈
f
(
)
XTL
p
;,0 và
/
f
∈
(
)
XTL

p
;,0 thì f bằng hầu hết với
một hàm liên tục từ
[
]
0, .TX→



14
1.4. Bổ đề về tính compact của Lions[9].
Cho ba không gian Banach X
0
,

X
1
, X với X
0

1
XX ⊂⊂ với các phép nhúng
liên tục sao cho:
X
0
, X
1
là phản xạ, (1.16)
Phép nhúng
0

X
X là compact. (1.17)
Với 0 < T <
∞ , ∞≤≤
i
p1 , 0,1,i
=
ta đặt
() ( )
(
)
{
}
0
1
01
0, 0, ; : ' 0, ; .
p
p
W T v L TX v L TX=∈ ∈ (1.18)
Ta trang bị W(0,T) bởi chuẩn:
()
0
1
01
0, (0, ; ) (0, ; )
'.
p
p
wT L TX L TX

vv v=+ (1.19)
Khi đó,
W(0,T) là một không gian Banach. Hiển nhiên W(0,T)
⊂
()
0
0, ; .
p
LTX Ta
cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.
Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[9])
Với giả thiết (1.16), (1.17) và nếu
1,0,1,
i
p i
<
<∞ = thì phép nhúng
() ( )
0
0, 0, ;
p
WTL TX là compact.
Chứng minh bổ đề 1.9 có thể tìm thấy trong Lions[9], trang 57.
1.5. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong L
q
(Q).
Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong L
q
(Q)
Bổ đề 1.10. Cho Q là tập mở bị chặn của

(
)
,,1
Nq
m
IR và G G L Q q
∈
<<∞ sao cho
()
,
q
m
LQ
GC≤
trong đó C là hằng số độc lập với m và
m
GG a.e. → trong Q.
Khi đó
GG
m
→ yếu trong L
q
(Q).
Ta cũng dùng các ký hiệu u(t),
.
/
() () (),
t
ut ut ut==
()

//
() ()
tt
ut ut ut==,
() ()
,
x
ut ut=∇
()
()
xx
ut ut=Δ để lần lượt chỉ:
() () () ()
22
22
(,), , , , , , .
uuuu
uxt xt , xt xt , xt
tx
tx
∂∂ ∂∂
∂∂
∂
∂



15
CHƯƠNG 2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương này, chúng tôi trình bày định lý tồn tại và duy nhất của
nghiệm yếu toàn cục cho bài toán: Tìm một cặp các hàm
((,), ())uxt Pt thỏa

()
(
)
(
)
(,) , , , 0,1,0 ,
tt xx t
uu bxtfuu Fxt x tT−+ = ∈Ω= << (2.1)

(0, ) ( ),
x
utPt
=
(2.2)

(1, ) 0,ut= (2.3)

() () ()
01
,0 , ,0 ( ),
t
ux u x u x u x== (2.4)

0
() () ( (0,)) ( ) (0, ) ,

t
Pt gt Hu t kt su sds=+ −−
∫
(2.5)
trong đó
01
,,,,,,, uubfFgHk là các hàm cho trước thỏa các điều kiện nào đó
mà chúng ta sẽ đặt ra sau.
Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá
tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian hàm thích
hợp nhờ một số các phép nhúng compact. Trong phần này, định lý Schauder
được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin. Kết quả thu
được trong chương này đã tổng quát hóa kết quả trong [13] chứa đựng trường h
ợp
(,) 1, (,) 0

bxt Fxt== như là một trường hợp riêng.
Trước hết ta thành lập các giả thiết sau
() ( )
()
0
1
12
20 1
1
3
1
4
2
5

(A ) ( [0, )), 0;
(A ) , ;
(A ) (0, ) T 0;
(A ) (0, ) T 0 và (0) 0;
A 0, T0;
bC b
uHuL
gH T
kH T k
FL T
∈Ω×+∞ ≥
∈∈
∈∀>
∈∀>=
∈Ω× ∀>

(A
6
) Hàm số
()
1
HCIR∈ thoả (0) 0H
=
và tồn tại một hằng số
0
0h > sao cho
0
0
ˆ
() () ,HHsdsh

η
η
=≥−
∫
với mọi
I
R;
η
∈


16
(F) Hàm số f:
2
IR IR→ thoả (0,0) 0f
=
và các điều kiện
(F
1
) f là đơn điệu không giảm đối với biến thứ hai, tức là

()
( , ( , ))( ) 0, , ,
f
uv f uv v v u v v IR.−−≥∀∈
%% %

Tồn tại hai hằng số
(
]

,0,1
αβ
∈ và hai hàm số liên tục B
1
,

B
2
:
I
RIR
+
+
→
sao cho
(F
2
)
()
()
1
,(,)
f
uv f uv B u v v u, v, v IR,
α
−≤ −∀∈
%%%

(F
3

)
()
%
()
% %
2
,(,)
f
uv f uv B v u u u, u, v IR.
β
−≤ −∀∈
Khi đó ta có định lý sau.
Định lý 2.1. Giả sử (A
1
)-(A
6
) và (F
1
)-(F
3
) đúng. Khi đó với mọi 0,T > tồn tại một
nghiệm yếu
(, )uP của bài toán (2.1)-(2.5) sao cho
()
(
)
(
)
22
0, ; , 0, ; , (0, ) 0, ,

tt
uL TV u L TL u t L T
∞∞
∈∈ ∈ (2.6)
(
)
1
0, .PH T∈ (2.7)
Hơn nữa, nếu
1=
β
trong (F
3
) và các hàm số H, B
2
thoả thêm các điều kiện,
(
/
6
A )
2
(), '() 1H C IR H s s IR,∈>−∀∈
(F
4
)
2
2
(| |) ( )
T
B

vLQ∈
(), 0.
T
vLQ T
∀
∈∀>
Khi đó nghiệm bài toán là duy nhất.

Chú thích 2.1.
Kết quả này mạnh hơn kết quả trong [10]. Thật vậy, tương ứng với
cùng bài toán (2.1) – (2.5) với k(t)
0
≡
và H(s) = hs, 0,h > các giả thiết sau đây
đã dùng trong [10] mà không cần thiết sử dụng ở đây:
0<
1<
α
, B
1
(|u|)
(
)
(
)
2/(1 )
0, ; , 0,
a
T
L Q u L T V T

−∞
∈∀∈∀> (2.8)
B
1
,

B
2
là các hàm không giảm. (2.9)
Chứng minh. Gồm nhiều bước
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin.
Xét một cơ sở trực chuẩn đặc biệt trong V như sau:

17
j
2
2
( ) cos( ), (2 1) , j 1,2,
12
jj
j
wx x j
π
λλ
λ
==−=
+

được thành lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace
2

2
x
∂
∂
−
. Đặt

1
() () ,
m
mmjj
j
ut c tw
=
=
∑
(2.10)
trong đó
)(tc
mj
thoả một hệ phương trình vi phân phi tuyến sau đây

// /
(), ( (), ) () (0) () ( (), ()),
(), ,
mj mjmj mm j
j
utw autw Ptw btfutut w
F t w 1 j m,
+++

=≤≤
(2.11)

0
() () ( (0,)) ( ) (0, ) ,
t
mm m
Pt gt Hu t kt su sds=+ −−
∫
(2.12)

0
1
11
1
(0)
'(0)
m
mmmjjo
j
m
mmmjj
j
uu wu
uu wu
α
β
=
=
⎧

== →
⎪
⎪
⎨
⎪
== →
⎪
⎩
∑
∑
(2.13)
Hệ phương trình (2.11)-(2.13) được viết lại dưới dạng
// 2 /
2
1
() () () (0) () ( (), ()), (), ,
|| ||
mj j mj m j m m j j
j
ct ct Ptw btfututw Ftw
w
λ
−
⎡⎤
+= + −
⎣⎦
(2.14)
0
() () ( (0,)) ( ) (0, ) ,
t

mm m
Pt gt Hu t kt su sds=+ −−
∫
(2.15)
(0) , (0) 1 .
/
mj mj mj mj
c c, jm
αβ
==≤≤ (2.16)
Bổ đề 2.1. Nghiệm của bài toán Cauchy sau đây

// 2
/
() () (), 0,
(0) , (0) ,
ct ct qt t
c c
λ
αβ
⎧
+= >
⎪
⎨
==
⎪
⎩
(2.17)
cho bởi công thức

0
sin( ) sin[ ( )]
() cos( ) ( ) .
t
tt
ct t q d
λλτ
α
λβ ττ
λλ
−
=++
∫
(2.18)
Chứng minh. Chứng minh công thức (2.18) không khó khăn, ta bỏ qua.
mạnh trong
1
,H

mạnh trong
2
.L

18
Áp dụng bổ đề 2.1 cho hệ (2.14)-(2.16) với:

/
2
() (), , , ,
1

() () (0) () ( (), ()), (), ,
|| ||
mj j mj mj
mj mm j j
j
ct c t
qt Ptw btfutut w Ftw
w
λλαα ββ
====
⎧
⎪
−
⎨
⎡⎤
=+ −
⎪
⎣⎦
⎩

ta được hệ (2.14)-(2.16) là tương đương với hệ phương trình vi tích phân sau
0
sin( ) sin[ ( )]
() cos( ) ( )
sin( )
cos( )
t
jj
mj mj j mj
jj

j
mj j mj
j
tt
ct t q d
t
t
λ
λτ
α
λβ ττ
λλ
λ
αλβ
λ
−
=++
=+
∫

[
/
2
0
2
00
sin[ ( )]
1
() (0) () ( (), ()), (),
|| ||

sin( )
cos( )
sin[ ( )]
1
() ( (0,)) ( ) (0,) (0)
|| ||
t
j
mj m m j j
j
j
j
mj j mj
j
t
j
mmj
j
j
t
P w b f u u w F w d
w
t
t
t
g H u k s u s ds w
w
τ
λ
τ

τ
τττ τ τ
λ
λ
αλβ
λ
λτ
τττ
λ
−
⎡⎤
−+−
⎣⎦
=+
−
⎛⎞
−+−−
⎜⎟
⎝⎠
∫
∫∫
]
/
() ( (), ()), (),
mm j j
b f u u w F w d
τττ τ τ
+−

2
0
/
2
0
sin( ) sin[ ( )]
1
cos( ) ( ) (0) ( ),
|| ||
sin[ ( )]
1
( (0, )) (0) ( ) ( ( ), ( )),
|| ||
t
jj
mj j mj j j
jj
j
t
j
mj mmj
j
j
tt
tgwFwd
w
t
H u w b f u u w d
w

λλτ
α
λβ τ τ τ
λλ
λτ
τ
τττ τ
λ
−
⎡⎤
=+− −
⎣⎦
−
⎡
⎤
−+
⎣
⎦
∫
∫


2
00
(0) sin[ ( )]
()(0,) .
|| ||
t
jj
m

j
j
wt
ksusdsd
w
τ
λτ
τ
τ
λ
−
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.19)
Ta viết lại (2.19) như sau

/
2
0
() ()
1
()((0,))(0)()((),()),
|| ||
mj mj
t
jmj mmj
j

ct Gt
N t H u w b f u u w d
w

τ
τττττ
=
⎡
⎤
−− +
⎣
⎦
∫


2
00
(0)
()()(0,) ,
|| ||
t
j
jm
j
w
Nt k su sdsd
w
τ
τ
ττ

⎛⎞
+−−
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.20)

19
trong đó
/
2
0
sin( )
() ,
1
() () () ( ) ( ), ( ) (0) .
|| ||
j
j
j
t
mj mj j mj j j j j
j
t
Nt
G t Nt Nt Nt F w g w d
w
λ
λ
α

βττττ
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
⎡
⎤
=++ − −
⎣
⎦
⎪
⎩
∫
(2.21)
Khi đó, ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.2. Giả sử (A
1
)-(A
6
) và (F
1
)-(F
3
) là đúng. Với 0T > cố định, khi đó, hệ
(2.20)-(2.21) có nghiệm c
m
=(c
m1

,c
m2
,…,c
mm
) trên một khoảng [][0,].
m
0,T T⊂
Chứng minh. Ta bỏ qua chỉ số m, hệ (2.20)-(2.21) viết lại dưới dạng:
c=Uc, (2.22)
trong đó
c=(c
1
,c
2
,…,c
m
), Uc=((Uc)
1
,(Uc)
2
,…,(Uc)
m
),

0
()() () ( )()(),
t
jj j j
Uc t G t N t Vc d
τ

ττ
=+ −
∫
(2.23)

12
0
( ) () (, (), '()) ( ) ( ()) ,
t
jj j
Vc t f t c t c t k t s f c s ds=+−
∫
(2.24)

/
2
0
1
() () () ( ) ( ), ( ) (0) ,
|| ||
t
jmjjmjj j j j
j
Gt Nt Nt Nt F w g w d
w
α
βττττ
⎡
⎤
=++ − −

⎣
⎦
∫
(2.25)
với
IRIR
2m
→:
1 j
f , IRIR
m
→:
2 j
f xác định bởi công thức

1
111
1
( , , ) ( (0)) (0) ( ) ( , ), ,
|| ||
mmm
j ii j ii ii j
iii
j
ftcd H cw w btf cw dww
w
===
⎛⎞
−
=+

⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑
(2.26)

2
1
(0)
() (0), 1 .
|| ||
m
j
jii
i
j
w
f
c c w j m
w
=
=≤≤
∑
(2.27)
Với mỗi
0, 0,
m
T M>> ta đặt

1
1

{([0,];):||||},
m
m
ScC TIR c M=∈ ≤

10 0
|| || || || || ' || ,cc c=+

01
0
|| || sup | ( ) | ,
m
tT
cct
≤≤
=

1
1
| ()| | ()|.
m
i
i
ct c t
=
=
∑


20

Dễ thấy rằng S là tập con lồi đóng và bị chặn của
1
([0, ]; ).
m
m
YC TIR= Dùng định lý
điểm bất động Schauder ta sẽ chứng minh rằng toán tử
YSU →:
xác định bởi
(2.23)-(2.27) có điểm bất động. Điểm bất động này là nghiệm của hệ (2.20).
Đầu tiên ta sẽ chứng minh rằng U biến tập S vào chính nó.
i/ Chú ý rằng
0
( ) ([0, ]; )
jm
Vc C T IR∈ với mọi
1
([0, ]; ),
m
m
cC T IR∈
do đó ta suy ra từ
(2.23) và đẳng thức

∫
−+=
t
jjjj
dVctNtGtUc
0

///
)())(()()()(
τττ
(2.28)
rằng
:.UY Y→
Cho
,cS∈
ta suy ra từ (2.23), (2.28) rằng

11 0
1
1
|( )()| | ( )| || || ,
m
Uc t G t T Vc
λ
≤+ (2.29)

//
11 0
|( ) ()| | ()| || ||
m
Uc t G t T Vc≤+ . (2.30)
Mặt khác, ta suy ra từ (A
4
), (A
5
), (F
2

), (F
3
) và (2.24) rằng

1
011 22
((0, ))
1
|| || [ ( , , ) || || ( , )] ( , ),
m
jj
LT
j
Vc N f MT k N f M MT
β
=
≤+ ≡
∑
(2.31)
với mọi
,cS∈ trong đó

11 1
( , , ) sup{| ( , , ) |:|| || ,|| || ,0 }
mm
jj
RR
Nf MT ftyz y M z M tT=≤≤≤≤, (2.32)

22 2

( , ) sup{| ( ) |:|| || }.
m
jj
R
Nf M f y y M=≤ (2.33)
Do đó, từ (2.29)-(2.31) ta thu được

11*
1
1
|| || || || (1 ) ( , ),
m
Uc G T M T
β
λ
≤++ (2.34)
trong đó

//
1* 0* 0* 1 1
00
|| || || || || || sup | ( ) | sup | ( ) |
tT tT
GG G Gt Gt
≤≤ ≤≤
=+ = + .
Chọn M và sau đó chọn T
m
>0 sao cho
M>2||G||

1*
và
1
1
(1 ) ( , ) .
2
m
M
TMT
β
λ
+≤
(2.35)
Do đó,
MUc ≤
1
|||| với mọi .cS
∈
Nghĩa là, toán tử U biến tập S vào chính nó.

21
ii/ Tiếp theo, ta chứng minh rằng toán tử này là liên tục trên S. Cho Sdc
∈
,
ta có

0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( )] .
t
jjj jj

Uc t Ud t N t Vc Vd d
τ
τττ
−=− −
∫
(2.36)
Do đó

00
1
1
|| || || || .
m
Uc Ud T Vc Vd
λ
−≤ − (2.37)
Tương tự, ta cũng thu được từ đẳng thức

∫
−−=−
t
jjjjj
dVdVctNtUdtUc
0
///
)]()()())[(()()()()(
ττττ
(2.38)
rằng

//
00
|| ( ) ( ) || || || .
m
Uc Ud T Vc Vd−≤−
(2.39)
Bây giờ, ta đánh giá số hạng ||Vc-Vd||
0
. Ta có:

11
22
0
( )() ( ) () (, (), '()) (, (), '())
()[(()) (())].
jjj j
t
jj
Vc t Vd t ftctct ftdtdt
k t s f c s f d s ds
−= −
+− −
∫
(2.40)
Từ các giả thiết (A
4
), (A
5
), (F
2

), (F
3
) và (2.40), ta suy ra tồn tại một hằng số K
M
>0
sao cho

1
000 0
(0, )
|| || || || || ' ' || (1 || || ) || ||
M
LT
Vc Vd K c d c d k c d
βα
⎡⎤
−≤ −+−++ −
⎣⎦
(2.41)
với mọi
,.cd S∈
Từ (2.37), (2.39) và (2.41) chứng tỏ rằng
YSU →: là liên tục.
iii/ Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng tập
US là một tập compact của Y. Cho
,,' [0, ]
m
cS tt T∈∈. Từ (2.23) ta có

()()()(') () (')

jjjj
Uc t Uc t Gt Gt−=−

0
() (')()()
t
jj j
Nt Nt Vc d
τ
τττ
⎡⎤
+−−−
⎣⎦
∫
(2.42)

'
(' )( )() .
t
jj
t
Nt Vc d
τ
ττ
−−
∫


22
Chú ý rằng, từ bất đẳng thức

|||)()(| stsNtN
jj
−≤− với mọi ,[0,],
m
ts T
∈
(2.43)
kết hợp với (2.31) ta thu được

11 0
1
1
1
1
| ( ) ( ') | | ( ) ( ') | ( ) | ' | . || ||
1
| ( ) ( ')| ( , )( )| '|.
m
m
Uct Uct Gt Gt T t t Vc
G t G t M T T t t
λ
β
λ
−≤−++−
≤−+ +−
(2.44)
Tương tự, từ (2.28), (2.31) và (2.43), ta cũng thu được

////
111
|( )() ( )(')| | () (')| ( , )( 1)| '|.
m
Uc t Uc t G t G t M T T t t
βλ
−≤−+ +−
(2.45)
Do
SUS ⊂ và từ các đánh giá (2.44) và (2.45) ta suy ra rằng họ các hàm
},{ ScUcUS ∈= là bị chặn và liên tục đồng bậc đối với chuẩn ||.||
1
của không gian
Y. Áp dụng định lý Arzela-Ascoli vào không gian Y, ta suy ra rằng
US
là compact
trong Y. Do định lý điểm bất động Schauder, ta có
Sc
∈
sao cho c=Uc, mà điểm
bất động này là nghiệm của hệ (2.20)
Bổ đề 2.2 chứng minh hoàn tất.


Dùng bổ đề 2.2, với
T>0 cố định, hệ (2.14)-(2.16) có nghiệm
((),())
mm
utPttrên một khoảng [0,T
m

]. Các đánh giá tiên nghiệm dưới đây cho phép
ta lấy
T
m
=T với mọi m.
Bước 2. Các đánh giá tiên nghiệm
Thay (2.15) vào (2.14), khi đó nhân phương trình thứ j của (2.14) bởi
)(
/
tc
mj

và lấy tổng theo j, sau đó, tích phân từng phần theo biến thời gian từ 0 đến t, nhờ
các giả thiết (A
2
), (F
1
), ta có

00
//
00
//
000
( ) 2 ( (0, )) 2 ( (0)) (0) 2 (0) (0)
2 () (0,) 2 () (0,) 2 () ( (),0), ()
2(),() 2(0,) ( )(0,),
mm mm m
tt
mm mm

tts
mm m
St Hu t Hu S g u
g t u t g s u s ds b s f u s u s ds
F s u s ds u s ds k s u d
τττ
ΛΛ
≤− + + +
−+ −
++−
∫∫
∫∫∫
(2.46)
trong đó