tài liệu bài toán vận tải

Ch ơng 3 . Bài toán vận tải
Bài 1. Mô hình toán học và các tính chất cơ bản
I. Phát biểu bài toán (dạng cổ điển)
Bảng kế hoạch và chi phí vận tải hàng hoá
T
P
B
1
B
2
. B
n
b
1
b
2
. b
n
A
1
A
2

A
m
a
1
a
2

a

m
c
11
c
12
. c
1n
c
21
c
22
. c
2n
.
c
m1
c
m2
. c
mn
P =

=
m
i 1
a
i
=

=

n
j 1
b
j
= T (bài toán cân bằng thu phát).
Cớc phí vận chuyển một đv hàng từ
A
i
B
j
là c
ij
0 (i =
m,1
; j =
n,1
).
Yêu cầu: Hãy lập kh vận chuyển hàng sao cho:
(i) Các trạm phát, phát hết hàng; các trạm thu, thu đủ hàng.
(ii) Tổng c ớc phí vận chuyển là nhỏ nhất.
II. Dạng toán học
1. Dạng toán học
Đặt x
ij
là lợng hàng chuyển từ A
i
tới B
j
T
P

B
1
B
2
. B
n
b
1
b
2
. b
n
Ma trận phân phối hàng:
1
A
1
A
2
…
A
m
a
1
a
2
…
a
m
c
11

c
12
. c…
1n
c
21
c
22
. c…
2n
… … …. …
c
m1
c
m2
. c…
mn
X =
11 12 1
21 22 2
1 2




n
n
m m mn
x x x
x x x

x x x
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
f(X) = c
11
x
11
+ c
12
x
12
+ + c…
mn
x
mn
→ Min
Rµng buéc ph¸t:
x
11
+ x
12
+ + x…
1n
= a
1
x

21
+ x
22
+ + x…
2n
= a
2
… … …
x
m1
+ x
m2
+ + x…
mn
= a
m
Rµng buéc thu:
x
11
+ x
21
+ + x…
m1
= b
1
x
12
+ x
22
+ + x…

m2
= b
2
… … …
x
1n
+ x
2n
+ + x…
mn
= b
n
Rµng buéc dÊu: x
ij
≥ 0, ∀ i =
1,m
; j =
1,n
.
D¹ng rót gän:
f(X) =
1
n
j=
∑
1
m
i=
∑
c

ij
x
ij
→ Min
Rµng buéc ph¸t:
1
n
j=
∑
x
ij
= a
i
(i =
1,m
)
Rµng buéc thu:
1
m
i=
∑
x
ij
= b
j
( j =
1,n
)
Rµng buéc dÊu: x
ij

≥ 0 ∀ i =
1,m
; j =
1,n
.
D¹ng ma trËn:
2
Ký hiệu A
ij
là cột hệ số của ẩn x
ij
trong hệ ràng buộc T, P
và là cột thứ ij của ma trận hệ số A. C, X là các véc tơ theo
thứ tự : 11, 12, , 1n, 21, 22, , 2n, , m1, m2, , mn. B
= (a
1
, a
2
, , a
m
, b
1
, b
2
, , b
n
).
f(X) = CX Min
AX = B
X 0

2. Tính chất của ma trận hệ số A
A có m + n dòng và mìn cột;
A
ij
= E
i
+ E
m+j
(E là véc tơ đơn vị m + n chiều);
h(A) = m + n - 1.
Xét trờng hợp m = 3, n = 4:
A =

100010001000
010001000100
001000100010
000100010001
111100000000
000011110000
000000001111
x
11
x
12
x
13
x
14
x
21
x
22
x
23
x
24
x
31
x

32
x
33
x
34
Chú ý. Bài toán vận tải chỉ có 1 trạm phát hoặc 1 trạm thu là bài
toán tầm thờng (chỉ có 1 p.á duy nhất). Vì thế ta chỉ xét bài toán
có ít nhất 2 trạm phát và 2 trạm thu.
III. Dạng bảng của bài toán vận tải
1. Bảng vận tải (Kích th ớc m x n)
T
P
b
1
b
2
b
n
a
1
c
11
x
11
c
12
x
12
c
1n

x
1n
a
2
c
21
c
22
c
2n
3
x
21
x
22
x
2n


a
m
c
m1
x
m1
c
m2
x
m2
c

mn
x
mn
Trên mỗi ô (i, j): c
ij
là cớc phí vận chuyển, x
ij
là lợng hàng vận
chuyển từ trạm phát A
i
tới trạm thu B
j
(Lợng hàng của ô (i, j))
2. Khái niệm ô chọn và ô loại
Giả sử X = (x
ij
)
mxn
là một phơng án phân phối hàng. x
ij
là lợng
hàng phân vào ô (i, j).
Nếu x
ij
> 0 thì (i, j) đợc gọi là ô chọn:
Nếu x
ij
= 0 thì (i, j) đợc gọi là ô loại:
Ô chọn giả:
3. Khái niệm vòng trên bảng vận tải

a) Định nghĩa.
[1] [2]
[6] [5]
[3] [4]
Các ô của một vòng V bất kỳ có dạng sau:
V = {(i
0
, j
0
), (i
0
, j
1
), (i
1
, j
1
), , (i
k
, j
k
), (i
k
, j
0
)} hoặc
V = {(i
0
, j
0

), (i
1
, j
0
), (i
1
, j
1
), , (i
k
, j
k
), (i
0
, j
k
)}.
4
c
ij
x
ij
c
ij
c
ij
0
V
C
là các ô trên V có tt chẵn; V

L
là các ô trên V có tt lẻ.
b)Tập hợp ô có chứa vòng
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[1] [ ] [2]
[3] [4]
[ ]
[8] [7]
[6] [5]
c)Tính chất của vòng.
Tính chất 1. Số ô của vòng V bất kỳ là một số chẵn.
Tính chất 2. Cho S là một tập hợp các ô trên bảng vận tải. Mỗi ô
5
(i, j) S tơng ứng với một cột A
ij
của ma trận A. Ký hiệu tập hợp
các véc tơ cột của A tơng ứng với S là W = {A
ij
: (i, j) S}. Khi đó
ta có:
S chứa vòng khi và chỉ khi W là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh. + S chứa V = {(i
0
, j
0
), (i

0
, j
1
), (i
1
, j
1
), , (i
k
, j
k
), (i
k
, j
0
)}.
Từ A
ij
= E
i
+ E
m+j
ta có:
A
i0j0
- A
i0j1
+ A
i1j1
- + A

ikjk
- A
ikj0
= 0 (*)
(*) chứng tỏ {A
ij
: (i, j) V} phụ thuộc tuyến tính. Mà {A
ij
: (i, j)
V} là một hệ con của W. Vậy W là pttt.
+ Giả sử W phụ thuộc tuyến tính. Theo định nghĩa ta có:
( , )
0
ij ij
i j W
A


=

(**).
+ Chọn đợc ô (i
0
, j
0
) do
i0j0
0.
+ Chọn ô (i
0

, j
1
) do
i0j1
0.
+ Chọn ô (i
1
, j
1
) do
i1j1
0.
.
+ Chọn ô (i
k
, j
k
).
+ Chọn ô (i
k
, j
0
).
V = {(i
0
, j
0
), (i
0
, j

1
), (i
1
, j
1
), , (i
k
, j
k
), (i
k
, j
0
)}.
IV. Các tính chất của bài toán vận tải
1. Tính giải đ ợc . Bài toán vận tải luôn có p.á tối u.
Chứng minh.
f(X) =

=
n
j 1

=
m
i 1
c
ij
x
ij

Min
Ràng buộc phát:

=
n
j 1
x
ij
= a
i
(i =
m,1
)
Ràng buộc thu:

=
m
i 1
x
ij
= b
j
( j =
n,1
)
Ràng buộc dấu: x
ij
0 i =
m,1
; j =

n,1
.
+ Bài toán có p.á. x
0
ij
= a
i
b
j
/K (K = P = T)
6
+ Hàm mục tiêu f(X) bị chặn trên tập các p.á.
2. Ph ơng án cực biên (cơ bản) của bài toán vận tải
a) Tiêu chuẩn. P.á X = (x
ij
)
mxn
là p.á cực biên (cơ bản) khi và chỉ
khi tập hợp các ô chọn của X là {ô (i, j) : x
ij
> 0} không chứa vòng.
Chứng minh. Dựa vào tiêu chuẩn p.á cực biên của bài toán chính
tắc và tính chất 2 của vòng.
Ví dụ: P.á không cực biên
T
P
50 100 70 80
X =

407000
4002010
008040
120 6
[40]
8
[80]
11 4
70 9
[10]
12
[20]
7 10
[40]
110 5 13 9
[70]
11
[40]
Ví dụ: P.á cực biên
T
P
50 100 70 80

X =










407000
400300
007050
120 6
[50]
8
[70]
11 4
70 9 12
[30]
7 10
[40]
110 5 13 9
[70]
11
[40]
Hệ quả. Điều kiện cần cho một p.á cơ bản là số ô chọn m + n
-1.
b) Phơng án cơ bản suy biến và không suy biến

P.á cơ bản X là không suy biến nếu số ô chọn của nó là m + n
-1. Nếu số ô chọn < m + n - 1 là p.á cơ bản suy biến.
7
c) Tập ô chọn cơ sở. X là p.á cơ bản. S là tập ô chọn cơ sở của X:
+ S gồm m + n - 1 ô không chứa vòng.
+ S chứa các ô chọn của X.
Các ô của S đều đợc đánh dấu:
Chú ý. Nếu X không suy biến thì S gồm m + n - 1 ô chọn (thật)
của X và S là duy nhất. Nếu X suy biến thì trong S sẽ có một số ô
chọn giả (x
ij
= 0) và X có thể có nhiều S.
T
P
50 100 70 80
X
1
=










407000
400300

007050
120 6
[50]
8
[70]
11 4
70 9 12
[30]
7 10
[40]
110 5 13 9
[70]
11
[40]
m + n - 1 = 6. X
1
không suy biến. Tập ô chọn cơ sở duy nhất:
S = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}.
T
P
50 100 70 80
X
2
=

800300
07000
007050
120 6
[50]
8
[70]
11 4
70 9
[0]
12 7
[70]
10
110 5 13
[30]
9 11
[80]
m + n - 1 = 6. X
2
là cơ bản suy biến. Tập ô chọn cơ sở:
S = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (?)}.
8
c
ij

x

ij