bài giảng cơ học chất lỏng - động học

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 1
CHƯƠNG
I. HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT
r
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
r(x, y, z)
y
x
z
Quỹ đạo
1. Phương pháp Lagrange
(J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883)
¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển
động chỉ phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at
2
+b
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=

=
⇔=
)t,z,y,x(xz
)t,z,y,x(xy
)t,z,y,x(xx
)t,r(fr
000
000
000
0
GG
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇔=
dt
dz
u
dt
dy
u

dt
dx
u
dt
rd
u
z
y
x
G
G
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇔==
2
2
z
2

2
y
2
2
x
2
2
dt
zd
a
dt
yd
a
dt
xd
a
dt
rd
dt
ud
a
G
G
G
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=

=
=
⇔=
)t,z,y,x(uu
)t,z,y,x(uu
)t,z,y,x(uu
)t,z,y,x(uu
zz
yy
xx
GG
Các đường dòng tại thời điểm t
(x,y,z)
¾Phương trình đường dòng:
zyx
u
dz
u
dy
u
dx
==
(L. Euler, nhà toán học người Thụy Só, 1707-1783)
2. Phương pháp Euler
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 2
Ví dụ 1b:
u
x
=x

2
y+2x; u
y
=-(y
2
x+2y);
)y2xy(
dy
x2yx
dx
22
+−
=
+
Trong trường hợp này ta không thể chuyển các số hạng có cùng biến x, y về
cùng một phía, nên không thể lấy tích phân hai vế được, ta sẽ giải bài toán này
sau trong chương thế lưu
Ví dụ 1a:
u
x
=3x
2
; u
y
=-6xy; u
z
=0
xy6
dy
x3

dx
2
−
=
Thiết lập phương trình đường dòng:
y
dy
x
dx2
y
dy
x
xdx2
2
−
=⇔
−
=
Chuyển các số hạng có biến x về vế trái, biến y về vế phải:
CyxCln)yln()xln(2
y
dy
x
dx2
2
=⇔+−=⇔
−
=
∫∫
Tích phân hai vế:

Vậy phương trình đường dòng có dạng:
Cyx
2
=
Thiết lập phương trình đường dòng:
II. CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG
3. Lưu lượng Q,
Vận tốc trung bình m/ cắt
ướt V:
A
Q
V
udAdAuQ
uot.c/AmAbatky
n
=
==
∫∫
A
bất kỳ
u
A
m/c ướtø
1. Đường dòng, dòng nguyên tố
dA
ống dòng
A
A
A
P

Dòng có áp
Dòng không
áp
Dòng tia
2. Diện tích mặt cắt ướt A,
Chu vi ướt P,
Bán kính thủy lực R=A/P
Nhậnxét:Lưu lượng chính là thể tích
của biểu đồ phân bố vận tốc :
Biểu đồ phân bố vận tốc
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 3
¾Thí nghiệm Reynolds
III. PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG:
1. Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát
Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát -
Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re<2300) - rối (Re>2300)
2. Theo thời gian: ổn đònh-không ổn đònh.
3 Theo không gian: đều-không đều.
4 Theo tính nén được: số Mach M=u/a
a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất
dưới âm thanh (M<1) - ngang âm thanh (M=1)
trên âm thanh (M>1) - siêu âm thanh (M>>1)
masat
quantinh
F
F
Re =
N


lưốiphầnthành
bộ-t.ph.cục
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
a
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
a

z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
a
z
z
z
y
z
x
zz
z
y
z
y
y
y
x
yy
y

x
z
x
y
x
x
xx
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂

∂
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
t
u
dt
ud
a)t,z,y,x(uu
000
∂
∂
==⇒=
GG
G
G
IV. GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT :
•Theo Euler:
•Theo Lagrange:
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG HOC 4
V. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT:
Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) và
M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta có:
vận tốc biến
dạng dài
vận tốc biến dạng góc
vàvậntốcquay
vận tốc chuyển
động tònh tiến
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
uu
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
uu

dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
uu
zzz
z1z
yyy
y1y
xxx
x1x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂

+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
1. Tònh tiến
Chuyển
động
2. Quay
3. Biến dạng
Vận tốc
quay:
uRot
G
G
2
1
=
ω
⎟
⎟
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
zyx
uuu
zyx
kji
G
G
G
2
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
z
u
y
u
y
z
x
2
1
ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂

=
x
u
z
u
zx
y
2
1
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
y
u
x
u
x
y

z
2
1
ω
Biến dạng dài
Suất biến dạng dài
x
u
ε
x
xx
∂
∂
=
y
u
ε
y
yy
∂
∂
=
z
u
ε
z
zz
∂
∂
=

Biến dạng góc
Suất biến dạng góc
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
==
z
u
y
u
2
1
εε
y
z
yzzy
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
==
x
u
z
u
2
1
εε
zx
zxxz
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂

==
y
u
x
u
2
1
εε
x
y
yxxy
¾Đònh lý Hemholtz
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 5
•Chuyển động quay của phần tử lưu chất:
u
y
Δt
x
y
dy
dx
u
x
Δt
β
α
∂u
x
/∂ydyΔ

t
∂u
y
/∂xdxΔ
t
+
z
x
y
y
x
rotu
2
1
y
u
x
u
2
1
dx
tΔdx
x
u
dy
tΔdy
y
u
tΔ2
1

tΔ
1
2
βα
ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜

⎝
⎛
∂
∂
−
+
∂
∂
−=
+
−=
0)u(rot =
G
0)u(rot ≠
G
chuyển động không quay (thế)
chuyển động quay
Ví dụ 2: Xác đònh đường dòng của một dòng chảy có : u
x
= 2y và u
y
= 4x
yx
u
dy
u
dx
=
x
dy

y
dx
42
=
ydyxdx 24 =
ydyxdx =2
C
yx
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
22
2
22
Cyx =−
22
2
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 6
Dòng chảy qua một đoạn ống thu hẹp dần với vận
tốc dòng vào và ra lần lượt là 10 m/s và 50 m/s.
Chiều dài của ống là 0,5m
Hãy tìm quy luật biến thiên của vận tốc và gia tốc theo
trục ống. Từ đó suy ra gia tốc tại đầu vào và ra của

vòi
Giả thiết dòng một chiều, và vận tốc biến đổi
tuyến tính dọc theo trục ngang của ống.
Ví dụ 3:
Quy luật biến thiên vận tốc tuyến tính dọc theo trục ống:
u = ax + b. a, b là hằng số
Chọn trục x như hình vẽ, với gốc “0” ở đầu ống, ta có
tại x=0, u =10 m/s; tại x=0,5m, u = 50 m/s. Thế cá điều
kiện trên vào ta suy ra được a=80; b=10. Suy ra quy
luật biến thiên vận tốc dọc theo trục x là:
u = (80x + 10) m/s
Từ đó suy ra quy luật biến thiên gia tốc như sau:
Thế giá trò x=0 và x=0,5 vào ta suy ra được gia tốc tại đầu vào và ra
của ống lần lượt là: 800 m/s
2
và 4000m/s
2
.
Lời Giải:
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 7
VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁ
T
A
W
u
dw
CV
W: thể tích kiểm soát
X : Đại lượng cần nghiên cứu

k : Đại lượng đơn vò ( đại lượng X trên 1 đơn vò khối lượng)
uk
G
=
∫∫∫
ρ=
W
dWX
∫∫∫
ρ=
W
dWuX
K
K
∫∫∫
ρ=
W
2
dW
2
u
X
Ví dụ: X là khối lượng: k=1 ;
X là động lượng:
X là động năng: k=u
2
/2 ;
1. Thể tích kiểm soát, và đại lượng nghiên cứu:
∫∫∫
=

W
dWρkX
Xét thể tích W trong không gian lưu chất chuyển động. W có diện tích bao
quanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyển
động qua không gian này. Đại lượng X của lưu chất trong không gian W
được tính bằng:
A
B
C
Diện tích
A
1
Diện tích
A
2
W
W
1
n
n
.
Đònh ly
ù
va
ä
ntảiReynolds-ph
ư
ơng pha
ù
pthe

å
t
í
ch kie
å
msoa
ù
t:
Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích
kiểm soát W.
Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động
đến và chiếm khoảng không gian W1.
¾Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua W
t
)XX()XX(
lim
t
XX
lim
t
XX
lim
t
X
lim
dt
dX
t
B
t

A
tt
C
tt
B
0t
WW
0t
ttt
0t0t
1
Δ
+−+
=
Δ
−
=
Δ
−
=
Δ
Δ
=
Δ+
Δ
+
→Δ→Δ
Δ+
→Δ→Δ
t

XX
lim
t
XX
lim
t
XX
lim
t
)XX()XX(
lim
tt
A
tt
C
0t
t
W
tt
W
0t
tt
A
tt
C
0t
t
B
t
A

tt
A
tt
B
0t
Δ
−
+
Δ
−
=
Δ
−
+
Δ
+−+
=
Δ+Δ+
→Δ
Δ+
→Δ
Δ+
Δ
+
→Δ
Δ
+
Δ+
→Δ
∫∫

∫∫∫∫
+
∂
∂
=
+
+
∂
∂
=
→
A
n
W
A
n
A
n
0tΔ
W
dAuρk
t
X
tΔ
dAuρktΔdAuρktΔ
lim
t
X
12
∫∫

ρ+
∂
∂
=
A
n
W
dAuk
t
X
dt
dX
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 8
0
z
u
y
u
x
u
0)u(div
z
y
x
=
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
⇔=
0dW)u(divdW
t
Adu
t
dW
dt
dX
WW
Gauss.d.b
A
n
W
=ρ+
∂
ρ∂
=ρ+
∂
ρ∂
=
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
0)u(div
t
=ρ+
∂

ρ
∂
Hay:
: dạng vi phân của ptr liên tục
VII ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TTKS
•Nếu ρ=const
→ ptr vi phân liên tục của lưu chất không nén được:
Dòng nguyên tố chuyển động ổn đònh: → ptr liên tục của dòng nguyên tố
chuyển động ổn đònh:
222111
A
n
dAudAu0Adu ρ=ρ⇔=ρ
∫∫
dA
1
u
1
u
2
dA
2
X là khối lượng: theo đ. luật bảo toàn khối lượng:
0
dt
dX
=
1. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC
∫∫
ρ+

∂
∂
=
A
n
W
dAuk
t
X
dt
dX
•Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có một m/c vào, 1 m/c ra), lưu chất
không nén được: → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén được
chuyển động ổn đònh:
constQhayQQ
21
=
=
=
i
QQ
đ
đến
•Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có một m/c vào, 1 m/c ra) → ptr liên
tục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn đònh dạng khối lượng:
21222
2A
111
A
MMdAudAu

1
=⇔ρ=ρ
∫∫
M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 trong 1 đv t.gian
M2: khối lượng lưu chất ra m/c A2 trong 1 đv t.gian
•Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, c. động ổn đònh, lưu
chất không nén được, tại một nút, ta có: → ptr liên tục tại một nút cho toàn
dònglưuchấtkhôngnénđượcchuyểnđộngổnđònh:
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 9
2. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG
Khi X là năng lượng
của dòng chảy có khối lượng m (ký hiệu là E, bao gồm nội
năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vò năng lẫn áp năng), ta có:
X = E = Eu + 1/2mu
2
+ mgZ với Z=z+p/γ
Như vậy, năng lượng của một đơn vò khối lượng lưu chất k
bằng:
ρ
+++=
p
gzuek
u
2
2
1
trong đó: e
u
là nội năng của một đơn vò khối lượng.

1/2u
2
là động năng của một đơn vò khối lượng.
gz là vò năng của một đơn vò khối lượng.
p/ρ là áp năng của một đơn vò khối lượng.
Đònh luật I Nhiệt động lực học:
số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng
trong một đơn vò thời gian (dE/dt) , bằng suất biến đổi trong một đơn vò thời gian
của nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi
công (dW/dt) trong một đơn vò thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối với
môi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát):
dt
dW
dt
dQ
dt
dE
−=
∫∫
ρ+
∂
∂
=
A
n
W
dAuk
t
X
dt

dX
Như vậy
∫∫∫∫∫
ρ
ρ
++++ρ
ρ
+++
∂
∂
=−
A
nu
w
u
dAu)
p
gzue(dw)
p
gzue(
tdt
dW
dt
dQ
22
2
1
2
1
Dạng tổng quát

của P. tr NL
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯNG
uk
G
=
∫∫∫
ρ=
W
dWuX
K
K
Khi X là động lượng:
Đònh biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của lưu chất qua thể tích
W (được bao quanh bởi diện tích A) trong một đơn vò thời gian bằng tổng
ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất đó:
∫∫∫∫∫
∑
+
∂
∂
=
A
n
w
dAuρ)u(dwρ)u(
t
F
ngoạilực
Dạmg tổng
quát của p.tr

ĐL
Như vậy, từ kết quả của pp TTKS: ; ta có:
∫∫
ρ+
∂
∂
=
A
n
W
dAuk
t
X
dt
dX
ngoạilực
∑
= F
dt
Xd
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 10
Ví dụ 4:
Một dòng chảy ra khỏi ống có vận tốc phân bố dạng như hình
vẽ, với vận tốc lớn nhất xuất hiện ở tâm và có giá trò U
max
= 12
cm/s . Tìm vận tốc trung bình của dòng chảy
Giải:
Lưu lượng :

3
Ruπ
3
r
2
Rr
R
uπ2
rdrπ2)rR(
R
u
Q
2
max
Rr
32
max
R
0
max
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−=
=
∫

Tại tâm ống, u=u
max
; tại thành ống, u=0.
Ta có trên phương r,; vận tốc dòng
chảy phân bố theo quy luật tuyến tính:
)rR(
R
u
u
max
−=
U
max
dr
dA=2πrdr
r
3
u
A
Q
V
max
==
s/cm4V =
Ví dụ 5:
()
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
−=
2
2
1
R
r
1uu
Lưu chất chuyển động ổn đònh trong đường ống có đường kính D. Ở đầu vào của
đoạn ống, lưu chất chuyển động tầng, vận tốc phân bố theo quy luật :
u
1
: vận tốc tại tâm ống khi chảy tầng.
r : được tính từ tâm ống (0 ≤ r ≤ D/2)
u
2
: vận tốc tại tâm ống khi chảy rối
y : được tính từ thành ống (0 ≤ y ≤ D/2)
Tìm quan hệ giữa u
1
và u
2
Giải:
dy)yR(π2
R
y
uQ;rdrπ2
R
r

1uQ
7
1
R
0
22
R
0
2
2
11
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∫∫
Theo phương trình liên tục:
21
QQ =

Khi lưu chất chuyển động vào sâu trong ống thì chuyển sang chảy rối, với phân
bố vận tốc như sau :
r
u
1
o
u
2
R
r
o
dr
dA=2π
rdr
()
2
Ruπ
)R(4
r
2
r
uπ2rdrπ2
R
r
1uQ
2
1
Rr
2
42

1
R
0
2
2
11
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
=
∫
2
2
Ry
7
1
7
15

7
6
7
8
2
7
1
R
0
7
1
R
0
22
Ruπ
60
49
R
15
y7
R
8
y7
uπ2dy
R
y
ydy
R
y
Ruπ2Q =

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

−=
=
−
∫∫
7/1
2
R
y
uu
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
21
u
30
49
u =⇒
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG HOC 11
Ví dụ 5:
Giải:
Chất lỏng lý ltưởng quay quanh trục thẳng đứng (oz). Giả sử vận tốc
quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghòch với khoảng cách từ trục
quay trên phương bán kính (V=a/r; a>0 là hằng số. Chúng minh rằng
đây là một chuyển động thế. Tìm phương trình các đường dòng
0

y
u
x
u
x
y
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
0)u(rot
z
=
G
chuyển động không quay (thế)
O
r
u
y
x

222
y
222
x
yx
ax
r
ax
r
x
r
a
)oy,ucos(uu
;
yx
ay
r
ay
r
y
r
a
)ox,ucos(uu
+
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
==
+
−
=
−
=
−
==
Suy ra:
222
22
222
22
22
x
222
22
222
22
22
y
)yx(
)xy(a
)yx(
)y2(ay)yx(a
yx
ay
yy
u

;
)yx(
)xy(a
)yx(
)x2(ax)yx(a
yx
ax
xx
u
+
−
=
+
++−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
∂
∂
=
∂
∂

+
−
=
+
−+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+∂
∂
=
∂
∂
Vậy:
0)u(rot0
y
u
x
u
z
x
y
=⇔=
∂

∂
−
∂
∂
Đây là chuyển động Một chuyển động thế trên mặt phẳng xOy
Phương trình các đường dòng:
C)yx(
dx
yx
ax
dy
yx
ay
dxudyu
22
2222
yx
=+⇔
+
=
+
−
⇔=