GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC (Khóa luận tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán năm 2013)

1









GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
(Khóa luận tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán năm 2013)

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài khóa luận.
Ma trận là khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, nó được ứng dụng
rộng rãi trong Toán học tính toán,Tin học, Kinh tế và nhiều ngành khoa học
khác. Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương
trình tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính. Trong lý thuyết đồ thị, ma trận
thường được sử dụng để biểu diễn đồ thị ( ví dụ như ma trận kề ), lưu trữ trọng
số cho đồ thị có trọng số. Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các
mảng hai chiều, dùng để mã hóa làm mật khẩu bảo mật. Ma trận là công cụ để
nghiên cứu về ánh xạ tuyến tính, các vectơ trong không gian vectơ, mỗi vectơ
được coi là một ma trận. Ma trận được dùng để giải các bài toán về hệ phương
trình tuyến tính, phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số là hằng số,
Định thức, trong đại số tuyến tính được định nghĩa như một hàm cho mỗi

ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng kí hiệu là detA. Định thức có
nhiều ứng dụng trong toán học cũng như ngành khoa học khác. Định thức được
sử dụng để giải và biện luận các hệ phương trình đại số tuyến tính, chúng được
dùng để tìm vectơ riêng của ma trận A qua đa thức đặc trưng
A k I
−
(trong đó
I là ma trận đơn vị có cùng kích thước với ma trận A). Định thức là công cụ hữu
ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo. Ta có thể sử dụng sự tìm kiếm này trong
việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hệ số khả nghịch, tìm hạng của
ma trận. Ngoài ra, ở phổ thông định thức còn được sử dụng để tính thể tích của
hình hộp. Ma trận và định thức còn là nội dung được đưa vào các kỳ thi quốc gia
như kỳ thi olympic toán học
Các dạng bài tập liên quan đến ma trận và định thức thì vô cùng phong
phú, có nhiều dạng bài tập hay và khó. Có rất nhiều tác giả viết các tài liệu bài
tập về ma trận và định thức. Chẳng hạn, Đại số tuyến tính của Nguyễn Duy
Thuận là giáo trình viết cho hệ cao đẳng nên nhưng bài tập về ma trận và định
thức tương đối dễ hiểu, không mấy khó khăn có thể giải các dạng bài tập đó.
Chính vì thế mà nó chưa phát huy được tính chủ động, tư duy tích cực của người

3

học. Đại số tuyến tính và hình học giải tích của tác giả Đoàn Quỳnh ( chủ biên)
ma trận và định thức được nghiên cứu cơ bản về lý thuyết, các bài tập được đưa
ra chủ yếu là các ví dụ mang tính lý thuyết và củng cố kiến thức. Cũng viết về
ma trận và định thức tác giả Trần Trọng Huệ đã khái quát những kiến thức cơ
bản về lý thuyết, đưa ra các công thức tính cần thiết và giải các bài tập mẫu vận
dụng lý thuyết. Ngoài ra các tác giả như Nguyễn Duy Thuận, Nguyễn Văn
Mậu cũng đưa ra nhiều dạng bài tập về ma trận và định thức. Tất cả những
dạng bài tâp đưa ra trong giáo trình đều hướng tới người học và nhằm phát huy

năng lực tư duy, sáng tạo của người học. Tuy nhiên do mục đích sư phạm mà
những dạng bài tập này không trình bày chi tiết lời giải, thiếu lời giải khai thác
bài toán. Vấn đề đặt ra là chúng ta có thể đưa ra những bài toán tương tự hoặc
khai thác bài toán thông qua việc khai thác lời giải từ bài toán cụ thể không?
Nhằm mục đích hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về ma trận
và định thức. Phân dạng và giải các bài tập về ma trận và định thức thông qua
các dạng toán cụ thể và trả lời một phần câu hỏi trên chúng tôi chọn đề tài khóa
luận “Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức” làm vấn
đề nghiên cứu của khóa luận.
2. Mục tiêu khóa luận
Phân loại hệ thống, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận, định
thức.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về ma trận và định thức.
Phân loại, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận và định thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
Dựa vào các khái niệm, kiến thức về không gian vectơ, hệ sinh, cơ sở, đồng cấu
trong khóa luận nêu ra các phương pháp để giải các bài toán về ma trận và định
thức:
Dựa vào các phép biến đổi sơ cấp.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình.

4

Các phương pháp tính định thức như:
Khai triển định thức theo các phần tử của hàng hay cột.
Khai triển định thức theo định lý Laplace.
Đưa định thức về dạng tam giác.
Phương pháp quy nạp.

Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng hoặc tích các định thức.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu: một số dạng toán về ma trận và định thức
Phạm vi nghiên cứu: tập trung nghiên cứu phân dạng và khai thác lời giải bài
toán cụ thể, đưa ra bài toán tương tự hoặc tổng quát.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Khóa luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về ma trận và
định thức đồng thời phân dạng bài tập cơ bản liên quan đến ma trận, định thức
và giải các bài tập đó. Thông qua đó, khai thác lời giải từ những bài toán cụ thể.
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên có hứng thú nghiên cứu
các dạng bài tập về ma trận và định thức.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần: Mục lục; mở đầu; kết luận; tài liệu tham khảo; khóa luận được chia
thành 3 chương.
Chương 1: Lý thuyết về ma trận.
Chương 2: Lý thuyết về định thức.
Chương 3: Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức.









5

CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN

1.1. Phép tính ma trận
1.1.1. Khái niệm ma trận.
Cho n, p
∈

*
ℕ

Định nghĩa 1.1: Mọi ánh xạ từ
{
}
{
}
1, , x 1, ,
n p
… …
vào K gọ
i là ma tr
ậ
n n
dòng, p c
ộ
t và v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
(ho

ặ
c h
ệ
t
ử
) thu
ộ
c K.
M
ộ
t ánh x
ạ
A:
{
}
{
}
1, , x 1, , K
n p
… … →
đượ
c ký hi
ệ
u d
ướ
i d
ạ
ng m
ộ
t b

ả
ng:

(
)
ij
,
i j a
֏
(ho
ặ
c
ij
a
)
( ) ( ) ( )
11 12 1
2
21 22
1
ij ij ij
1 ;1 ij
1
1 2
n
p
i n
i n j p
j p
n n np

a a a
a
a a
A a a a
a a a
≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤
 
 
 
= = = =
 
 
 
 
⋯
⋯
⋮ ⋮
⋮
⋯

Trong ký pháp này , các ch
ỉ
s
ố
ngoài d
ấ
u ngo
ặ

c theo th
ứ
t
ự
ch
ỉ
dòng và c
ộ
t.
C
ặ
p
(
)
,
n p
đượ
c g
ọ
i là c
ấ
p c
ủ
a ma tr
ậ
n A, n là s
ố
dòng, p là s
ố
c

ộ
t c
ủ
a A.
V
ớ
i
(
)
{
}
{
}
i, j 1, , x 1, ,
n p
∈ … …
, s
ố
h
ạ
ng
ij
a
n
ằ
m
ở
dòng th
ứ
i và c

ộ
t th
ứ
j
đượ
c
g
ọ
i là

h
ạ
ng t
ử
(ho
ặ
c h
ệ
s
ố
) th
ứ
(i, j) c
ủ
a A.
Ta nói r
ằ
ng:
A là m
ộ

t ma tr
ậ
n vuông khi và ch
ỉ
khi
n p
=
, khi
đ
ó ta nói A là m
ộ
t ma tr
ậ
n
vuông c
ấ
p n.
A là m
ộ
t ma tr
ậ
n c
ộ
t (hay ma tr
ậ
n m
ộ
t c
ộ
t) khi và ch

ỉ
khi
1
p
=
.
A là m
ộ
t ma tr
ậ
n dòng (hay ma

tr
ậ
n m
ộ
t dòng) khi và ch
ỉ
khi
1
n
=
.
N
ế
u
(
)
ij
1 ,

i j n
A a
≤ ≤
=
là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n, các c
ấ
p
(
)
ij
1
a i n
≤ ≤

đượ
c g
ọ
i là
các ph
ầ
n t
ử
chéo c
ủ
a A và
(

)
11
, ,
nn
a a

đượ
c g
ọ
i là
đườ
ng chéo c
ủ
a A.
Ký hi
ệ
u: V
ớ
i
( )
(
)
2
*
, n p ∈
ℕ


6

(
)
,n p
M K
là các ma tr
ậ
n n dòng, p c
ộ
t và v
ớ
i h
ạ
ng t
ử
thu
ộ
c K.
(
)
(
)
,
n n n
M K M K
=
là t
ậ
p h
ợ
p các ma tr

ậ
n vuông c
ấ
p n v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c K.
Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
ij ,
1 ;1
n p
i n j p
A a M K
≤ ≤ ≤ ≤
= ∈
.
V

ớ
i
{
}
1, , n
i
∈ …
, ma tr
ậ
n dòng
(
)
(
)
ij 1
1
, ,
i ip
j p
a a a
≤ ≤
=
thu
ộ
c
(
)
1, p
M K

đượ
c g
ọ
i là dòng th
ứ

i
c
ủ
a
A
.
V
ớ
i
{1, , }
j p
∈ …
, ma tr
ậ
n c
ộ
t :
( )
1
ij
1
j
i n
nj

a
a
a
≤ ≤
 
 
=
 
 
 
⋮
thu
ộ
c
(
)
,1n
M K

đượ
c g
ọ
i là
c
ộ
t th
ứ

j
c

ủ
a
A
.
1.1.2. Ma trận và ánh xạ tuyến tính
.
Định nghĩa 1.2:
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t K - không gian vect
ơ

(
)
dim
n E
=
,
(
)
1 2
, , ,
n
e e e
β
=

là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a E,
E,
x
∈
(
)
1
, ,
n
x x
là các thành ph
ầ
n c
ủ
a
x trong
β
:
1
n
i i
i

x x e
=
=
∑
.
Ma tr
ậ
n c
ộ
t
1
2
x
x
 
 
 
 
 
⋮

đượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n c
ộ
t các thành ph
ầ

n c
ủ
a x trong
β
và
đượ
c
ký hi
ệ
u là
(
)
Mat x
β
.
Nh
ư
v
ậ
y:
(
)
(
)
,1n
Mat x M K
β
∈
.
Rõ ràng ánh x

ạ

Mat
β
:
(
)
,1n
E M K
→
là m
ộ
t song ánh.

(
)
x Mat x
β
֏

Khi
(
)
X Mat x
β
=
, ta nói r
ằ
ng x
đượ

c bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i X trong c
ơ
s
ở

β
, ho
ặ
c X
bi
ể
u di
ễ
n x trong
β
.
Định nghĩa 1.3:
1) Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t K - không gian vect

ơ

(
)
dim
n E
=
,

7

(
)
1 2
, , ,
n
e e e
β
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a E,
{
}

1
,
n
C f f
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a F,
(
)
,
f L E F
∈
.
V
ớ
i m
ỗ
i
{
}
1, ,
j p
∈

, ta ký hi
ệ
u
(
)
1
, ,
j nj
a a
là các thành ph
ầ
n c
ủ
a
(
)
j
f e
trong
C
:
( )
1
i
n
j ij
i
f e a f
=
=

∑
.
Ma tr
ậ
n thu
ộ
c
(
)
,n p
M K
xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
, ij
1 ;1
C
i n j p
M f a
β
≤ ≤ ≤ ≤
=
g
ọ

i là ma tr
ậ
n c
ủ
a
f

đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở

β
và
C

đượ
c ký hi
ệ
u là
(
)
,C
Mat f
β
.
2) Gi

ả
s
ử
E là m
ộ
t K - không gian vect
ơ

(
)
dim
n E
=
,
(
)
1 2
, , ,
n
e e e
β
=
là
m
ộ
t c
ơ
s
ở
c

ủ
a E,
(
)
f L E
∈
. Ma tr
ậ
n
(
)
n
M K
xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
,
Mat f Mat f
β
β β
=
g
ọ
i là ma tr

ậ
n c
ủ
a
f

đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở

β
và ký hi
ệ
u là :
(
)
Mat f
β
.
Rõ ràng r
ằ
ng
(
)
(
)

, .
: ,
C n p
Mat L E F M K
β
→
là m
ộ
t song ánh.

,
C
f Mat
β
֏

Khi
(
)
,
C
A Mat f
β
=
ta nói r
ằ
ng
f

đượ

c bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i
A
trong các c
ơ
s
ở

β
và
C

ho
ặ
c
A
bi
ể
u di
ễ
n
f
trong các c
ơ
s

ở

β
và
C
.
1.1.3. Không gian vectơ
(
)
,n p
M K

Chúng ta s
ẽ
“ chuy
ể
n “ c
ấ
u trúc vec t
ơ
c
ủ
a
(
)
,
L E F
lên
(
)

,n p
M K
b
ằ
ng song
ánh
,
C
Mat
β
trong
đ
ó
(
)
1 2
, , ,
n
e e e
β
=
,
{
}
1
,
n
C f f
= là nh
ữ

ng c
ơ
s
ở
c
ố

đị
nh
t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
,
E F
.
Gi
ả
thi
ế
t
λ
∈Κ
,
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
, ,
, , , ,
ij C ij c
ij ij
f g L E F A a Mat f B b Mat g
β β
∈ = = = =
.
Nh
ư
v
ậ
y ta có:
{ }
( )
( )
1
1
1, , ,
n
i ij i
i
n

i ij i
i
f e a f
j p
g e b f
=
=

=


∀ ∈


=


∑
∑


8

Do
đ
ó
{
}
1, ,
j p

∀ ∈
,
( )
( )
( )
i ij ij i
f g e a b f
λ λ
+ = +
∑
.
Đ
i
ề
u này d
ẫ
n
đế
n
đị
nh ngh
ĩ
a sau:
Định nghĩa 1.4.

1) Lu
ậ
t h
ợ
p thành trong

(
)
,n p
M K
kí hi
ệ
u là +, xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
, ,
ij n p ij n p
ij ij
a M K b M K
∀ ∈ ∀ ∈

(
)
(
)

(
)
ij ij ij ij
ij ij ij
a b a b
+ = +
g
ọ
i là phép
c
ộ
ng trong
(
)
,n p
M K
.
2) Lu
ậ
t ngoài
(
)
(
)
, ,n p n p
K M K M K
× →
, th
ể
hi

ệ
n b
ằ
ng cách không vi
ế
t d
ấ
u nào
c
ả
( ho
ặ
c b
ở
i m
ộ
t
đ
i
ể
m), xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
(

)
(
)
,
, ,
ij n p ij ij
ij ij ij
a M K a a
α α α
∀ ∈Κ ∀ ∈ =
g
ọ
i là phép nhân v
ớ
i vô h
ướ
ng.
Nhận xét 1.1
. Ch
ỉ
có th
ể
c
ộ
ng các ma tr
ậ
n cùng c
ấ
p.
Mệnh đề 1.1.

1)
(
)
(
)
.
, ,
n p
M K
+ •
là m
ộ
t không gian vect
ơ
.
2) V
ớ
i m
ọ
i K-không gian vect
ơ
(p chi
ề
u ) E và (n chi
ề
u ) F, và v
ớ
i m
ọ

i c
ơ
s
ở

β

c
ủ
a E và c
ơ
s
ở

C
c
ủ
a F, ánh x
ạ
:
(
)
(
)
, .
: ,
C n p
Mat L E F M K
β
→

là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u
K-không gian vect
ơ
.
,
C
f Mat
β
֏

Mệnh đề 1.2.
1)
(
)
( ) { } { }
, 1, , 1, ,
ij
i j n p
E
∈ ×
là m
ộ
t c
ơ

s
ở
c
ủ
a
(
)
,n p
M K
, g
ọ
i là c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c c
ủ
a
(
)
,n p
M K
.
2) dim
(
)
(
)

,
n p
M K np
=
.
1.1.4. Các phép toán trên ma trận.
Định nghĩa 1.5
.
Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
,
ij n p jk p q
ij jk
A a M K B b M K
= = = =
ma tr
ậ
n thu

ộ
c
(
)
,
n q
M K
xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
ik
ik
AB c
=
, trong
đ
ó
( ) { } { }
1
, 1, , 1, , ,
p
ik ij jk
j
i k n q c a b
=
∀ ∈ × =

∑
g
ọ
i là
tích c
ủ
a A v
ớ
i B ký hi
ệ
u là AB.

9

Ánh x
ạ

(
)
(
)
(
)
, , ,n p p q n q
M K M K M K
× →

đượ
c g
ọ

i là phép nhân ma tr
ậ
n.

(
)
,
A B AB
֏

Nhận xét 1.2.
Tích AB t
ồ
n t
ạ
i khi và ch
ỉ
khi s
ố
c
ộ
t c
ủ
a A b
ằ
ng s
ố
dòng c
ủ
a B.

Mệnh đề 1.3.

Gi
ả
s
ử
E, F,G là ba K-không gian vect
ơ

, ,
C D
β
l
ầ
n l
ượ
t là c
ơ
s
ở
c
ủ
a E, F, G.
V
ớ
i
(
)
(
)

, , ,
f L E F g L F G
∈ ∈
ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ,D C D C
Mat g f Mat g Mat f
β β
=

.
Mệnh đề 1.4.

Gi
ả
s
ử
E, F là hai K-không gian vect
ơ
,
,

C
β
t
ươ
ng
ứ
ng là c
ơ
s
ở
c
ủ
a E, F
(
)
, ,
f L E F x E
∈ ∈
ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
,C C
Mat f x Mat f Mat x
β β
=
.
Xu
ấ
t phát t
ừ
các tính ch
ấ
t quen thu
ộ
c v
ề
các phép toán
đạ
i s
ố
v
ớ
i các ánh x
ạ

tuy
ế
n tính ta suy ra các tính ch
ấ
t v

ề
các phép toán
đị
s
ố

đố
i v
ớ
i các ma tr
ậ
n nh
ư

sau:
Mệnh đề 1.5.
1) Gi
ả
phân ph
ố
i trái:
(
)
(
)
(
)
, ,
, , ,
n p p q

A M K B C M K A B C AB AC
∀ ∈ ∀ ∈ + = +
.
2) Gi
ả
phân ph
ố
i ph
ả
i:
(
)
(
)
(
)
, ,
, , ,
n p p q
A B M K C M K A B C AB BC
∀ ∈ ∀ ∈ + = +
.
3) Gi
ả
k
ế
t h
ợ
p:

(
)
(
)
(
)
( ) ( )
, , ,
, ,
n p p q q r
A M K B M K C M K
AB C A BC
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
=

Mệnh đề 1.6.

1)
(
)
(
)
, , ,
n
M K
+ • ×
là m
ộ
t K-
đạ

i s
ố
k
ế
t h
ợ
p và có
đơ
n v
ị
.
2) V
ớ
i m
ọ
i K-không gian vect
ơ
n chi
ề
u E và m
ọ
i c
ơ
s
ở

β
c
ủ
a E, ánh x

ạ
:
(
)
(
)
:
n
Mat L E M K
β
→
là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u K-
đạ
i s
ố
có
đơ
n v
ị
.

(
)
f Mat f

β
֏

Định nghĩa 1.6.

M
ộ
t ma tr
ậ
n vuông A thu
ộ
c
(
)
n
M K

đượ
c g
ọ
i là l
ũ
y linh khi và ch
ỉ
khi t
ồ
n t
ạ
i
k

∗
∈
ℕ
sao cho
0
k
A
=
.

10
Ví dụ 1.1.
0 0 1
0 0 0
0 0 0
 
 
 
 
 
thu
ộ
c
(
)
3
M
ℝ
là l
ũ

y linh vì
2
0
A
=
.
Mệnh đề 1.7.

Gi
ả
s
ử
là
(
)
n
A M K
∈
l
ũ
y linh. T
ậ
p h
ợ
p
{
}
*
; 0
k

k A
∈ =
ℕ
có ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t
(
)
v A
,
đượ
c g
ọ
i là ch
ỉ
s
ố
l
ũ
y linh c
ủ
a A, và ta có :
(
)

(
)
*
, 0
k
k k v A A
∀ ∈ ≥ ⇒ =
ℕ

Định nghĩa 1.7.
Gi
ả
s
ử

(
)
,n p
A M K
∈
.
H
ạ
t nhân c
ủ
a A là không gian vect
ơ
con c
ủ
a

(
)
,1p
M K
, ký hi
ệ
u là KerA
đượ
c
xác
đị
nh b
ở
i :
(
)
(
)
{
}
,1
er ;AX 0
p
K A X M K
= ∈ =
.
Ả
nh c
ủ
a A là không gian vect

ơ
con c
ủ
a
(
)
,1n
M K
, ký hi
ệ
u là ImA,
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
,1 ,1 ,1

Im ; ,Y=AX AX;
n p p
A Y M K X M K X M K
= ∈ ∃ ∈ = ∈ .
1.1.5. Nhóm
(
)
n
GL K
.
Định nghĩa 1.8.
M
ộ
t ma tr
ậ
n A thu
ộ
c
(
)
n
M K
đượ
c g
ọ
i là kh
ả
ngh
ị
ch khi và

ch
ỉ
khi t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
(
)
'
n
A M K
∈
sao cho
AA' A,A=I
n
=
. N
ế
u A kh
ả
ngh
ị
ch thì
A’ là duy nh
ấ
t và
đượ

c g
ọ
i là ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a A ký hi
ệ
u là
1
A
−
.
Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n kh
ả
ngh
ị
ch thu
ộ
c

(
)
n
M K
là
(
)
n
GL K
.
Mệnh đề 1.8.

1) Phép nhân là lu
ậ
t h
ợ
p thành trong
(
)
n
GL K
và
(
)
n
GL K
là m
ộ
t nhóm và
đượ

c
g
ọ
i là nhóm tuy
ế
n tính.
2) V
ớ
i m
ọ
i K-không gian vect
ơ
n chi
ề
u E và m
ọ
i c
ơ
s
ở

β
c
ủ
a E, ánh x
ạ

(
)
f Mat f

β
→
là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u t
ừ
nhóm
(
)
(
)
,
GL E

lên nhóm
(
)
(
)
,
n
GL K
•
.
Định lý 1.1.
Gi

ả
s
ử
(
)
n
A M K
∈
, f là m
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i A trong m
ộ
t
c
ơ
s
ở
. Các tính ch

ấ
t sau t
ươ
ng
đươ
ng t
ừ
ng
đ
ôi m
ộ
t:
1)
f là song ánh.
2) A kh
ả
ngh
ị
ch trái.

11
3) A kh
ả
ngh
ị
ch ph
ả
i.
4) A kh
ả

ngh
ị
ch.
5) A chính quy trái.
6) A chính quy ph
ả
i.
7) A chính quy.
Ta nh
ắ
c l
ạ
i A
đượ
c g
ọ
i là:
Chính quy trái khi và ch
ỉ
khi
( )
(
)
( )
2
, ,
n
B C M K AB AC B C
∀ ∈ =
⇒

=
.
Chính quy ph
ải khi và chỉ khi
( )
(
)
( )
2
, ,
n
B C M K BA CA B C
∀ ∈ =
⇒
=
.
Chính quy khi và chỉ khi A chính quy trái và chính quy phải.
1.1.6. Hạng của một ma trận.
Định nghĩa 1.9.
Giả sử
(
)
,n p
A M K
∈
. Ta gọi hạng của một họ các cột của A
trong
(
)
,1n

M K
là hạng của A, ký hiệu là
(
)
rank A
.
Nh
ư vậy, nếu ký hiệu
11 1
1
p
n np
a a
A
a a
 
 
=
 
 
 
…
⋮ ⋱ ⋮
⋯
và
1
11
1
1
, ,

p
p
n np
a
a
C C
a a
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
 
⋮ ⋮
là
các c
ột của A thì
(
)
(
)
1
, ,
P
rank A rank C C

=

Mệnh đề 1.9. Giả sử E, F là các không gian vectơ,
,
C
β
tương ứng là các cơ sở
của E, F,
(
)
(
)
,
, ,
C
f L E F A Mat f
β
∈ =
. Ta có
(
)
(
)
rank f rank A
=
.
Mệnh đề 1.10.
(
)
(

)
(
)
,
, ,
n p
A M K rank A Min n p
∀ ∈ ≤
.
Mệnh đề 1.11.
(
)
(
)
(
)
,
n n
A M K rank A n A GL K
∀ ∈ = ⇔ ∈
.
Mệnh đề 1.12.
( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )

,
,
,
,
p
n p
n
P GL K rank AP rank A
A M K
Q GL K rank QA rank A
∀ ∈ =

∀ ∈

∀ ∈ =


.
1.1.7. Các phép biến đổi sơ cấp.
Bao gồm các phép biên đổi sau:
i.
Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau.
ii. Nhân dòng th
ứ i với một số khác không.
iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số
λ
với
i j
≠
.

12
Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Ma trận
B
được gọi là
t
ươ
ng
đươ
ng dòng
với ma trận
A
nếu có một số hữu hạn
phép bi
ến đổi sơ cấp dòng biến ma trận
A
thành ma trận
B
.
Nhận xét 1.3.
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ
c
ấp.
- Quan h
ệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản
x
ạ; đối xứng; bắc cầu.
- M
ột ma trận vuông cấp n trên

K
nhận được từ ma trận đơn vị
n
I
qua duy nhất
m
ột phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
1.1.8. Chuyển vị.
Định nghĩa 1.10.
Với mọi ma trận
(
)
11 1
1
1
1
a a
p
A a
i n
ij
a a
j p
np
n
 
 
 
= =
≤ ≤

 
≤ ≤
 
 
…
⋮ ⋱ ⋮
⋯
thuộc
(
)
,
M K
n p
, chuy
ể
n v
ị
c
ủ
a A là ma
tr
ậ
n thu
ộ
c
(
)
,
M K
p n

ký hi
ệ
u là
t
A
xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
11 1
1
1
1
a a
n
t
A a
j n
ij
a a
i p
np
n
 
 
= =
≤ ≤

 
 
≤ ≤
 
…
⋮ ⋱ ⋮
⋯
.
Mệnh đề 1.13.

(
)
( ) ( )
( )
( )
1) ,
,
2
2) , , ,
,
tt
A M K A A
n p
t
t
K A B M K A B A B
n p
α α α
∀ ∈ =
∀ ∈ ∀ ∈ + = +

( ) ( ) ( )
3) , , .
, ,
t
t t
A M K B M K AB B A
n p p q
∀ ∈ ∀ ∈ =

( ) ( )
( )
(
)
1
1
4) , ,
t
t t
A GL K A GL K A A
n n
−
 
−
∀ ∈ ∈ =
 
 

1.1.9. Vết của một ma trận vuông.

13
Định nghĩa 1.11.
V
ớ
i m
ọ
i ma tr
ậ
n vuông
(
)
(
)
ij n
ij
A a M K
= ∈
ta
đị
nh ngh
ĩ
a v
ế
t
c
ủ
a A, ký hi
ệ
u là tr(A) là:
( )

1
n
ii
i
tr A a
=
=
∑
. Nói cách khác v
ế
t c
ủ
a ma tr
ậ
n A là
t
ổ
ng các ph
ầ
n t
ử
chéo c
ủ
a A.
Mệnh đề 1.14.

1) Ánh x
ạ

(

)
:
n
tr M K K
→
là m
ộ
t d
ạ
ng tuy
ế
n tính.

(
)
A tr A
֏

2)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
, ,
n p p q

A M K B M K tr AB tr BA
∀ ∈ ∀ ∈ =
.
1.2. Đổi cơ sở.
1.2.1. Ma trận chuyển cơ sở.
Định nghĩa 1.12.
Cho E là không gian vect
ơ
n chi
ề
u,
, '
β β
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ
a E.
ma tr
ậ
n chuy
ể
n c
ơ
s
ở
t
ừ

β
sang
'
β
, ký hi
ệ
u
(
)
as , '
P s
β β
là ma tr
ậ
n thu
ộ
c
(
)
n
M K
có các c
ộ
t
đượ
c t
ạ
o b
ở

i các thành ph
ầ
n c
ủ
a các vect
ơ
c
ủ
a
'
β
bi
ể
u th
ị

trên c
ơ
s
ở

β
, ngh
ĩ
a là:
(
)
(
)
as , ' '

P s Mat
β
β β β
=
.
Mệnh đề 1.15.
M
ọ
i c
ơ
s
ở

, '
β β
c
ủ
a E:
(
)
(
)
',
as , '
E
P s Mat Id
β β
β β
=
.

Mệnh đề 1.16.
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t không gian vect
ơ

, ', "
β β β
là nh
ữ
ng c
ơ
s
ở
c
ủ
a
E. Ta có:
(
)
(
)
(
)
( )
1) as , " as , ' as ', " .

2) as , .
n
P s P s P s
P s I
β β β β β β
β β
=
=

(
)
3) as , '
P s
β β
kh
ả
ngh
ị
ch và
( )
(
)
( )
1
as , ' as ',
P s P s
β β β β
−
=
.

1.2.2. Đổi cơ sở đối với một vectơ.
Mệnh đề 1.17.
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t không gian vect
ơ

, '
β β
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ
a E,
(
)
(
)
(
)
'
as , ' , , , '
P P s x E X Mat x X Mat x
β β

β β
= ∈ = =
. Th
ế
thì:
'
X PX
=
.
Nhận xét 1.4.
V
ậ
y trong m
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i
đố
i v
ớ
i m
ộ
t c
ơ
s
ở
trong m
ộ

t vect
ơ
,
t
ự
nhiên ta s
ẽ
bi
ế
n
đổ
i các t
ọ
a
độ
c
ũ
(t
ọ
a
độ
c
ủ
a x trong
β
) theo các t
ọ
a
độ
m

ớ
i

14
(t
ọ
a
độ
c
ủ
a x trong
'
β
, n
ế
u mu
ố
n bi
ể
u di
ễ
n t
ọ
a
độ
n
ớ
i c
ủ
a x theo t

ọ
a
độ
c
ũ
c
ủ
a
x, ta có công th
ứ
c
1
'
X P X
−
=
, nh
ư
ng c
ầ
n ph
ả
i tính ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ

a P khi
dùng công th
ứ
c này.
1.2.3. Đổi cơ sở đối với một ánh xạ tuyến tính.
1.2.3.1. Công th
ứ
c
đổ
i c
ơ
s
ở
.
Mệnh đề 1.19.
Gi
ả
s
ử
E, F là hai không gian vect
ơ
,
, '
β β
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ

a E,
(
)
as , '
P P s
β β
=
,
, '
C C
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ
a F,
(
)
as , '
Q P s C C
=
,
(
)
(
)
(
)
, ', '

, , , '
C C
f L E F A Mat f A Mat f
β β
∈ = =
. Th
ế
thì:
1
'
A Q AP
−
= .
1.2.3.2. Ma tr
ậ
n t
ươ
ng
đươ
ng.
Định nghĩa 1.13.
Gi
ả
s
ử

(
)
,
,

n p
A B M K
∈
ta nói A t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i B và ký hi
ệ
u
là A t
đ
B, khi và ch
ỉ
khi:
(
)
(
)
(
)
1
, ,
p n
P Q GL K GL K B Q AP
−
∃ ∈ × =
.

Mệnh đề 1.20.
Quan h
ệ
t
đ
là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trong
(
)
,
n p
M K
.
Mệnh đề 1.21.
Gi
ả
s
ử

(
)
,
n p

A M K
∈
( )
r rank A
=
. Th
ế
thì A t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i ma
tr
ậ
n
, ,
n p r
J
xác
đị
nh b
ở
i
,
,, ,
, ,
0
0 0

n n p r
n p r
n r r n r p r
I
J
−
− − −
 
=
 
 
.
Đặ
t bi
ệ
t
, ,0
0
n p
J
=
.
Hệ quả 1.1.
( )
(
)
2
,
,
n p

A B M K∀ ∈

A t
đ
B
(
)
(
)
rank A rank B
⇔ =
.
Hệ quả 1.2.
(
)
(
)
(
)
,
t
n
A M K rank A rank A
∀ ∈ =
.
1.2.4. Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu.
Mệnh đề 1.22.
Gi
ả
s

ử
E là m
ộ
t không gian vect
ơ
n chi
ề
u
, '
β β
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ
a
E
(
)
as , '
P P s
β β
=
,
(
)
(
)
(

)
'
, , '
f L E A Mat f A Mat f
β β
∈ = =
. Th
ế
thì:
1
'
A P AP
−
=
.
Định nghĩa 1.14.
Cho
(
)
,
n
A B M K
∈
. Ta nói A
đồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i B, và ký hi

ệ
u
A B
∼
, khi và ch
ỉ
khi t
ồ
n t
ạ
i
(
)
n
P GL K
∈
sao cho:
1
B P AP
−
=
.
Mệnh đề 1.23.
Quan h
ệ

∼
là m
ộ
t quan h

ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trong
(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.24.
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
2
, ,
n
A B M K A B tr A tr B
∀ ∈ ⇒ =
∼
.

15
Nhận xét 1.5.
1) Hi
ể

n nhiên hai ma tr
ậ
n vuông
đồ
ng d
ạ
ng thì chúng t
ươ
ng
đươ
ng.
2) Hai ma tr
ậ
n t
ươ
ng
đươ
ng có th
ể
không
đồ
ng d
ạ
ng, ch
ẳ
ng h
ạ
n, v
ớ
i n=2, các

ma tr
ậ
n
1 0
1 0
 
 
 
và
0 0
1 0
 
 
 
t
ươ
ng
đươ
ng và h
ạ
ng c
ủ
a chúng b
ằ
ng 1, nh
ư
ng
không
đồ
ng d

ạ
ng vì chúng không có v
ế
t.
3) Gi
ả
s
ử

(
)
n
A M K
∈
. N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
K
α
∈
sao cho
n
A I
α
∼
thì

n
A I
α
=
. Th
ậ
t v
ậ
y
(
)
(
)
1
:
n n n
P GL K P I P I
α α
−
∀ ∈ = .
4) N
ế
u
2
n
≥
, hai ma tr
ậ
n vuông có th
ể

cùng v
ế
t mà không
đồ
ng d
ạ
ng. Ch
ẳ
ng
h
ạ
n , v
ớ
i n=2, các ma tr
ậ
n
0 0
0 0
 
 
 
và
0 1
0 0
 
 
 
có cùng v
ế
t nh

ư
ng không
đồ
ng
d
ạ
ng và không t
ươ
ng
đươ
ng vì ma tr
ậ
n th
ứ
nh
ấ
t có h
ạ
ng b
ằ
ng 0 ma tr
ậ
n th
ứ
hai
có h
ạ
ng b
ằ
ng 1.

Định nghĩa 1.15.
Gi
ả
s
ử
E là không gian vect
ơ
h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u,
(
)
f L E
∈
. V
ế
t
c
ủ
a f ký hi
ệ
u là
(
)
tr f
là v

ế
t c
ủ
a ma tr
ậ
n b
ấ
t k
ỳ
bi
ể
u di
ễ
n t
ự

đồ
ng c
ấ
u f .
T
ừ
các tính ch
ấ
t v
ế
t c
ủ
a ma tr
ậ

n vuông ta suy ra m
ệ
nh
đề
sau:
Mệnh đề 1.25.
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t K không gian vect
ơ
.
1) Ánh x
ạ

(
)
:
tr L E K
→
là m
ộ
t d
ạ
ng tuy
ế
n tính.

(
)
f tr f
→

2)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2
, ,
f g L E tr g f tr f g
∀ ∈
 
.
1.3. Các trận đặc biệt.
1.3.1. Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng.
1.3.1.1. Ma tr
ậ
n
đố
i x
ứ
ng.
Định nghĩa 1.16.
M
ộ
t ma tr

ậ
n vuông A thu
ộ
c
(
)
n
M K

đượ
c g
ọ
i là
đố
i x
ứ
ng khi
và ch
ỉ
khi
t
A A
=
. Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các ma tr

ậ
n
đố
i x
ứ
ng c
ấ
p n v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong
K là
(
)
n
S K
.
Mệnh đề 1.26.
(
)
n
S K
là m
ộ
t không gian vect
ơ
con c

ủ
a
(
)
n
M K
.

16
Mệnh đề 1.27.
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2
, ,
n n
A B S K AB S K AB BA
∀ ∈ ∈ ⇔ = .
Mệnh đề 1.28.

(
)
(
)
(
)
1

,
n n n
A S K GL K A S K
−
∀ ∈ ∩ ∈
1.3.1.2. Ma tr
ậ
n ph
ả
n
đố
i x
ứ
ng.

Định nghĩa 1.17.
M
ộ
t ma tr
ậ
n vuông A thu
ộ
c
(
)
n
M K

đượ
c g

ọ
i là ph
ả
n
đố
i
x
ứ
ng khi và ch
ỉ
khi
t
A A
= −
. Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n
đố
i x
ứ
ng c
ấ
p n v
ớ

i
h
ệ
t
ử
trong K là
(
)
n
A K
.
Mệnh đề 1.29.
(
)
n
A K
là m
ộ
t không gian vect
ơ
con c
ủ
a
(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.30.
Các không gian

(
)
n
S K
và
(
)
n
A K
bù nhau trong
(
)
n
M K
.
1.3.2. Ma trận tam giác.

Định nghĩa 1.18.
Cho
(
)
n
A M K
∈
.
1) Ta nói A là tam giác trên khi và ch
ỉ
khi
(
)

{
}
2
, 1, , ,
i j n
∀ ∈
(
)
0
ij
i j a
> ⇒ =
.
Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n
đố
i x
ứ
ng c
ấ
p n v
ớ
i h

ệ
t
ử
trong K là
(
)
,
n t
T K
.
2) Ta nói A là tam giác d
ướ
i khi và ch
ỉ
khi
(
)
{
}
2
, 1, , ,
i j n
∀ ∈

(
)
0
ij
i j a
< ⇒ =

. Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n
đố
i x
ứ
ng c
ấ
p n v
ớ
i h
ệ
t
ử

trong K là
(
)
,
n d
T K
.
3) Ta nói A là ma tr
ậ

n tam giác khi và ch
ỉ
khi A là ma tr
ậ
n tam giác trên ho
ặ
c A
là ma tr
ậ
n tam giác d
ướ
i.
Mệnh đề 1.31.

(
)
,
n t
T K
và
(
)
,
n d
T K

là m
ộ
t không gian vect
ơ

con c
ủ
a
(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.32.

(
)
,
n t
T K
là m
ộ
t
đạ
i s
ố
con có
đơ
n v
ị
c
ủ
a
đạ
i s

ố
có
đơ
n v
ị

(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.33.
(
)
(
)
(
)
1
, ,
,
n t n n t
A T K GL K A T K
−
∀ ∈ ∩ ∈ .
Mệnh đề 1.34.
Gi
ả
s
ử

( )
11
,
0
n t
nn
a
A T K
a
 
 
= ∈
 
 
 
⋯
⋮ ⋱
⋯
.
Ta có :
(
)
{
}
(
)
1, , , 0
n ii
A GL K i n a

∈ ⇔ ∀ ∈ ≠
.

17
H
ơ
n n
ữ
a, n
ế
u
(
)
n
A GL K
∈
, thì các h
ạ
ng t
ử
chéo c
ủ
a
1
A
−
là ngh
ị
ch
đả

o c
ủ
a các
h
ạ
ng t
ử
chéo c
ủ
a A :
1
11
1
1
0
nn
a
A
a
−
−
−
 
 
=
 
 
 
⋯
⋮ ⋱

⋯
.
1.3.3. Ma trận đường chéo.
Định nghĩa 1.19.
Cho
*
n
∈
ℕ
. M
ộ
t ma tr
ậ
n vuông
(
)
1 ,
ij
i j n
A a
≤ ≤
=
thu
ộ
c
(
)
n
M K

đượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n
đườ
ng chéo khi và ch
ỉ
khi :
(
)
{
}
2
, 1, , ,
i j n
∀ ∈
(
)
0
ij
i j a
≠ ⇒ =
.
Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h

ợ
p các ma tr
ậ
n
đườ
ng chéo c
ấ
p n v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong K là
(
)
n
D K
.
V
ớ
i m
ọ
i
(
)
1
, ,
n
n

K
λ λ
∈ , ta ký hi
ệ
u ma tr
ậ
n
đườ
ng chéo thu
ộ
c
(
)
n
M K
có các
h
ệ
t
ử
chéo là
1
, ,
n
λ λ
là
(
)
1
, ,

n
diag
λ λ
:

( )
1
1
0
, ,
0
n
n
diag
λ
λ λ
λ
 
 
=
 
 
 
⋱ .
Mệnh đề 1.35.
(
)
n
D K
là m

ộ
t
đạ
i s
ố
con giao hoán và có
đơ
n v
ị
c
ủ
a
(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.36.
Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
1
, ,
n n

D diag D K
λ λ
= ∈
. Ta có:
(
)
{
}
1, , , 0
n i
D GL K i n
λ
∈ ⇔ ∀ ∈ ≠
.
H
ơ
n n
ữ
a, n
ế
u
(
)
n
D GL K
∈
thì
(
)
1 1 1

1
, ,
n
D diag
λ λ
− − −
=

1.3.4. Ma trận đa thức.
N
ế
u
(
)
[
]
0 1

r
r
f t a a t a t K t
= + + + ∈ là
đ
a th
ứ
c m
ộ
t bi
ế
n và

(
)
n
a M K
∈
là ma
tr
ậ
n vuông thì ta g
ọ
i:
(
)
0 1

r
r
f A a I a A a A
= + + + là ma tr
ậ
n
đ
a th
ứ
c.
Định lý 1.

V
ớ
i m

ọ
i
[
]
,
f g K t
∈
và
K
α
∈
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
f g A f A g A
+ = +
,
(
)
(
)
(
)
f A f A

α α
=
, và
(
)
(
)
(
)
fg A f A g A
=
.
G
ọ
i
(
)
A
f t A tI
= −
là
đ
a th
ứ
c
đặ
c tr
ư
ng c
ủ

a A. Khi
đ
ó
(
)
0
A
f A
=
.

18
T
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đ
a th
ứ
c
đơ
n ( t
ứ
c là h
ệ

s
ố
cao nh
ấ
t b
ằ
ng 1 ) có b
ậ
c bé nh
ấ
t
nh
ậ
n A làm nghi
ệ
m. H
ơ
n n
ữ
a m
ọ
i
đ
a th
ứ
c nh
ậ
n A làm nghi
ệ
m

đề
u chia h
ế
t cho
đ
a th
ứ
c
đ
ó.
Đ
a th
ứ
c
đ
ó g
ọ
i là
đ
a th
ứ
c c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a A.

19
CHƯƠNG 2
LÝ THUYẾT VỀ ĐỊNH THỨC
2.1. Định thức của một họ n vectơ trong một cơ sở của một không gian

vectơ n chiều.

Cho
*
n
∈
ℕ
E là m
ộ
t không gian vect
ơ
n chi
ề
u.
2.1.1. Không gian
(
)
n
A E
.
Định lý –Định nghĩa 2.1:
T
ậ
p h
ợ
p
(
)
n
A E

các d
ạ
ng n-tuy
ế
n tính thay phiên trên
m
ộ
t K-không gian vect
ơ
n chi
ề
u
(
)
1
n
≥
là m
ộ
t K-không gian vect
ơ
1 chi
ề
u.
V
ớ
i m
ọ
i c

ơ
s
ở

(
)
1
, ,
n
e e
β
=
c
ủ
a E,
det :
n
E K
β
→
ký hi
ệ
u ánh x
ạ
xác
đị
nh b
ở
i:
(

)
(
)
( ) ( )
1 1
det
n
n n
A a a
σ σ
σ σ
ε σ
∈
=
∑
, v
ớ
i m
ọ
i
(
)
1
, ,
n
V V
thu
ộ
c
n

E
, trong
đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i j
thu
ộ
c
{
}
1, ,
n
,
(
)
1
j
j
i n
a j
≤ ≤
là các thành ph
ầ
n c
ủ
a
j

V
trong
β
:
1
j j
j
n
j i j i
i
V a e
=
=
∑
.
Ph
ầ
n t
ử

(
)
1
det , ,
n
V V
β
( c
ủ
a K )

đượ
c g
ọ
i là
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a
(
)
1
, ,
n
V V
trong c
ơ

s
ở

β
.
2.1.2. Tính chất.
Tính chất 1:

(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
, , , det
n
n
A K S E E S S
β
ϕ β β ϕ ϕ β
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ =
.
Hệ quả 2.1.
(
)
(
)
(
)
(
)
' '
, ' , ,det det det
n
E S E S S
β β β
β β β β

∀ ∈ ∀ ∈ =
.
Mệnh đề 2.1.
Gi
ả
s
ử

(
)
E
β β
∈
,
n
S E
∈
. Th
ế
thì S ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và
ch
ỉ
khi
(

)
det 0
S
β
=
.
2.2. Định thức của một tự đồng cấu.
Mệnh đề -Định nghĩa 2.2.
V
ớ
i m
ọ
i
(
)
f L E
∈
, t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

K
α
∈
sao cho:
(
)
(
)
,
n
A E f f
ϕ ϕ αϕ
∀ ∈ × × =

. Ph
ầ
n t
ử

α

đượ
c g
ọ
i là
đị
nh
th
ứ
c c

ủ
a f và
đượ
c ký hi
ệ
u là
(
)
det
f
.
Nh
ư
v
ậ
y ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
, det
n
A E f f f
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ × × =


.
Mệnh đề 2.3.

20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
1) , , , , , , , det , ,
n
n n n n
f L E A E V V E f V V f V V
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ =
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
2) , , , , ,det , , det det , ,
n
n n n
f L E E V V E f V V f V V
β β
β β
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ =

(
)
(
)
(
)
(
)

( )
(
)
(
)
(
)
1
1 1
, ,
3) , , , ,det det , ,
n
n n
e e
f L E e e E f f e f e
β β
∀ ∈ ∀ = ∈ =

Mệnh đề 2.4.

1)
(
)
det 1
E
Id
=
.
2)
(

)
(
)
(
)
, ,det det
n
K f L E f f
α α α
∀ ∈ ∀ ∈ =
.
3)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,det det det
f g L E g f g f
∀ ∈ =

.
2.3. Định thức của một ma trận vuông.
Định nghĩa 2.3.
Gi
ả
s

ử

(
)
(
)
ij
1 ,
n
i j
A a M K
≤ ≤
= ∈
.
Đị
nh th
ứ
c c
ủ
a A ký hi
ệ
u là
det(A), ho
ặ
c
11 1
1
n
n nn
a a

a a
…
⋮ ⋱ ⋮
⋯
là các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a K xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
( ) ( )
1 1
det
n
n n
A a a
σ σ
σ σ
ε σ
∈
=

∑
.
Nói cách khác, n
ếu ký hiệu
11 1
1
1
, ,
n
n
n nn
a a
C C
a a
   
   
= =
   
   
   
⋮ ⋮
là các cột của A và
β
là
chính t
ắc của
(
)
,1n
M K

thì ta có:
(
)
(
)
1
det det , ,
n
A C C
β
=
.
Ta nói r
ằng
11 1
1
n
n nn
a a
a a
…
⋮ ⋱ ⋮
⋯
là một định thức cấp n.
Mệnh đề 2.5. Giả sử E là một K-không gian vectơ n chiều,
(
)
f L E
∈
,

β
là một
c
ơ sở của E,
(
)
A Mat f
β
=
. Ta có:
(
)
(
)
det det
f A
=
.
Mệnh đề 2.6.
1)
(
)
det 1
n
I
=
.
2)
(
)

(
)
(
)
, ,det det
n
n
K A M K A A
α α α
∀ ∈ ∀ ∈ =
.
3)
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
, ,det det det
n
A B M K AB A B
∀ ∈ = .

21
4)
(
)
(
)
(
)

, det 0
n n
A M K A GL K A
∀ ∈ ∈ ⇔ ≠
.
5)
( )
(
)
( )
(
)
1
1
,det det
n
A GL K A A
−
−
∀ ∈ =
.
6)
(
)
(
)
(
)
,det det
t

n
A M K A A
∀ ∈ =
.
Nhận xét 2.1.
1) Từ tính chất 3 ở trên bằng quy nạp dễ dàng suy ra:
( )
(
)
( )
(
)
*
, ,det det
k
k
n
A M K k A A
∀ ∈ ∀ ∈ =
ℕ
.
2) T
ừ nhận xét trên và tính chất 5 ta suy ra:
( )
(
)
( )
(
)
, ,det det

k
k
n
A GL K k A A
∀ ∈ ∀ ∈ =
ℤ
.
3) N
ếu
(
)
n
A M K
∈
là lũy linh thì tồn tại
*
k
∈
ℕ
sao cho
0
k
A
=
, nên
(
)
( )
(
)

det det 0
k
k
A A
= =
. Và do vậy
(
)
det 0
A
=
.
4) N
ếu
(
)
n
A M K
∈
là phản đối xứng và n lẻ thì:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
det det det 1 det det
n
t
A A A A A
= = − = − = −
, nên
(
)
det 0
A
=
.
2.4. Khai triển định thức theo một hàng.
2.4.1. Phần phụ đại số và định thức con.
Định nghĩa 2.4.
Cho
*
n
∈
ℕ
,
(
)
(
)
ij
ij
n

A a M K
= ∈
.
1) V
ới mỗi
(
)
{
}
2
, 1, ,
i j n
∈ , định thức con của vi trí
(
)
,
i j
trong A (hoặc theo
cách nói l
ạm dụng: định thức con của
ij
a
trong A) là định thức cấp n-1,
ij
∆
nhận
được bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thức j:
11 1 1 1 1 1
11 1 1 1 1 1
ij

11 1 1 1 1 1
1 1 1
j j n
i i j i j i n
i i j i j i n
n nj nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
− +
− − − − + −
+ + − + + +
− +
∆ =
⋯ ⋯
⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
⋯ ⋯


22
2) Với mỗi
(
)
{
}
2

, 1, ,
i j n
∈ , phần phụ đại số của vi trí
(
)
,
i j
trong A (hoặc theo
cách nói lạm dụng: phần phụ đại số của
ij
a
trong A) ký hiệu là
ij
A
, là tích của
(
)
1
i j
+
− với định thức con của vi trí
(
)
,
i j
trong A:
(
)
ij ij
1

i j
A
+
= − ∆
.
Mệnh đề 2.7.
( Khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo m
ộ
t hàng).

Gi
ả sử
(
)
(
)
ij
ij
n
A a M K
= ∈ . Ta có:
1)
{
}

1, ,
j n
∀ =
,
( )
ij ij
1
det
n
i
A a A
=
=
∑
(khai triển
(
)
det
A
theo cột thứ j).
2)
{
}
1, ,
i n
∀ =
,
( )
ij ij
1

det
n
i
A a A
=
=
∑
(khai tri
ể
n
(
)
det
A
theo dòng th
ứ
i).
2.4.2. Ma trận phụ hợp.
Định nghĩa 2.5.
Cho
(
)
(
)
ij
ij
n
A a M K
= ∈
. Ma tr

ậ
n ph
ụ
h
ợ
p c
ủ
a A là ma tr
ậ
n
vuông c
ấ
p n, ký hi
ệ
u là com(A),
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i:
( )
( )
11 1
ij
ij
1
n
n nn
A A

com A A
A A
 
 
= =
 
 
 
…
⋮ ⋱ ⋮
⋯

Định lý 2.2.
(
)
(
)
(
)
(
)
, . . det
t t
n n
A M K A com A com A A A I
∀ ∈ = =
.
Hệ quả 2.2.
( )
( )

( )
1
1
, .
det
t
n
A GL K A com A
A
−
∀ ∈ =

2.5. Các phương pháp tính định thức.
2.5.1. Khai triển theo hàng hoặc cột.
C
ơ
s
ở
c
ủ
a ph
ươ
ng pháp này là
đị
nh th
ứ
c Laplace
Định lý 2.3.
( Khai tri
ể

n Laplace ). Gi
ả
s
ử

đ
ã ch
ọ
n ra k dòng ( t
ươ
ng
ứ
ng c
ộ
t )
trong m
ộ
t
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n. Khi
đ
ó
đị
nh th
ứ
c

đ
ã cho b
ằ
ng t
ấ
t c
ả
các
đị
nh th
ứ
c
con c
ấ
p k l
ấ
y ra t
ừ
k dòng ( t
ươ
ng
ứ
ng c
ộ
t )
đ
ó v
ớ
i nh
ữ

ng ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
chúng.
Ví dụ 2.1.
Tính
đị
nh th
ứ
sau.

23
1 2 3 4
0 2 3 5
0 0 3 7
0 0 0 6
A =
Bài gi
ả
i.
Ta th
ự
c hi
ệ

n liên ti
ế
p khai tri
ể
n Laplace theo c
ộ
t th
ứ
nh
ấ
t:
( ) ( )
1 1 1 1
1 2 3 4
2 3 5
0 2 3 5 3 7
1 1 0 3 7 1 2 2.3.6 36
0 0 3 7 0 6
0 0 6
0 0 0 6
+ +
= − = − = =

2.5.2. Đưa về ma trận tam giác.
Dùng phép bi
ế
n
đổ
i s
ơ

c
ấ
p dòng hay c
ộ
t
đư
a ma tr
ậ
n v
ề
d
ạ
ng tam giác trên hay
d
ướ
i.
Đị
nh th
ứ
c sau cùng s
ẽ
b
ằ
ng tích các ph
ầ
n t
ử
trên
đườ
ng chéo chính. Khi

th
ự
c hi
ệ
n các phép bi
ế
n
đổ
i
đị
nh th
ứ
c s
ẽ
thay
đổ
i theo quy t
ắ
c sau.
Mệnh đề 2.8.
i)
Đị
nh th
ứ
c
đổ
i d
ấ
u khi
đổ

i hai dòng ho
ặ
c hai c
ộ
t cho nhau.
ii)
Đị
nh th
ứ
c
đượ
c nhân v
ớ
i
K
α
∈
khi ta nhân m
ộ
t dòng hay m
ộ
t v
ớ
i
α
.
iii)
Đị
nh th
ứ

c không thay
đổ
i khi ta thêm m
ộ
t dòng ( t
ươ
ng
ứ
ng c
ộ
t )m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p
tuy
ế
n tính c
ủ
a dòng ( t
ươ
ng
ứ
ng c
ộ
t ) còn l
ạ
i.

Ví dụ 2.2.
Tính
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n v
ớ
i
2
n
≥
sau
đ
ây:
1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2
2 2 2
n
…
…
…
… … … … …
…

Bài gi
ả
i.

Ta nhân dòng 2 v
ớ
i (-1) r
ồ
i c
ộ
ng vào các dòng 3, 4, …, n. Ta s
ẽ

đượ
c
đị
nh th
ứ
c
sau:

24
( )
1 2 2 2
2 2 2 2
0 0 1 0
0 0 0 2
n
−
…
…
…
… … … … …
…

Ta nhân dòng 1 v
ớ
i (-2) r
ồ
i c
ộ
ng vào dòng 2. Ta
đượ
c
đị
nh th
ứ
c sau:
( )
( )( )
1 2 2 2
0 2 2 2
0 0 1 0
2 2 !
0 0 0 2
n
n
− − −
−
= − −
−
⋯
…
…

… … … … …
…

Ví dụ 2.3.
Tính
đị
nh th
ứ
c Vandermonde.

1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 1
n
n n
n n n n
n
x x x x
D x x x x
x x x x
− − − −
=
…
…
…
… … … … …
…

.
Bài gi
ả
i.
L
ấ
y dòng th
ứ
n – 1 nhân v
ớ
i
1
x
−
r
ồ
i c
ộ
ng v
ớ
i dòng th
ứ
c n. Sau
đ
ó l
ấ
y dòng th
ứ
c
n – 2 nhân v

ớ
i
1
x
−
r
ồ
i c
ộ
ng vào dòng th
ứ
c n – 1 , cho
đế
n khi bi
ế
n
đổ
i xong
dòng th
ứ
2 ta
đượ
c :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2

2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0
0
n
n n
n
n n n
n n
x x x x x x
x x x x x x x x x
D
x x x x x x x x x
− − −
− − −
− − −
=
− − −
…
…
…
… … … … …
…


25

( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
1 2 3
2 2 2 2
2 1 1 1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1

n
n n
n n n
n n
n
n n
n n n n
n
i j
i j
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x

x x x x x x x x
x x x x
x x
− − −
− − − −
>
− − −
− − −
=
− − −
= − −
= −
∏
…
…
… … … …
…
…
…
…
… … … … …
…

2.5.3. Rút các nhân tử tuyến tính
.
Chú ý r
ằ
ng v
ớ
i m

ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông A c
ấ
p n là m
ộ
t
đ
a th
ứ
c b
ậ
c nh
ấ
t
đố
i v
ớ
i bi
ế
n
x
nào

đ
ó, thì
đ
inh th
ứ
c
A
là m
ộ
t
đ
a th
ứ
c c
ủ
a các bi
ế
n
đ
ó v
ớ
i b
ậ
c
không quá n. N
ế
u b
ằ
ng cách nào
đ

ó ta tìm
đượ
c n
đ
a th
ứ
c b
ậ
c nh
ấ
t
1
, ,
n
f f

đọ
c
l
ậ
p tuy
ế
n tính v
ớ
i nhau sao cho m
ỗ
i
i
f
là

ướ
c c
ủ
a
A
, thì ta có th
ể
k
ế
t lu
ậ
n
A

và các tích
1

n
f f
sai khác nhau m
ộ
t nhân t
ử
h
ằ
ng s
ố
.
Ví dụ 2.4.
Tính

đị
nh th
ứ
c sau.
( )
1 2 3
1 1 3
1 2 1
1 2 3 1
n
x n
D x
x n
x
+
=
+
+
…
…
…
… … … … …
…

Bài gi
ả
i.
Ta th
ấ
y D(x) là m

ộ
t
đ
a th
ứ
c b
ậ
c t
ố
i
đạ
i là n – 1, vì m
ỗ
i s
ố
h
ạ
ng trong
đị
nh ngh
ĩ
a
c
ủ
a
đ
a th
ứ
c à m
ộ

t tích
( ) ( ) ( )
1 1 2 2

n n
a a a
π π π

đề
u có th
ừ
s
ố
th
ứ
nh
ấ
t là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
.
Th
ự
c ra ta th
ấ
y ch
ỉ

cá m
ộ
t tích có b
ậ
c
đ
úng b
ằ
ng n, nó t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i tích các
ph
ầ
n t
ử
trên
đườ
ng chéo. Do
đ
ó b
ậ
c
đ
a th
ứ
c

đ
úng b
ằ
ng n – 1 và h
ệ
s
ố

đầ
u là 1.
M
ặ
t khác l
ầ
n l
ượ
t cho
1,2, , 1
x n
= −
, ta nh
ậ
n
đượ
c
đị
nh th
ứ
c có hai dòng b
ằ

ng