nhúng hyperbolic và không gian các thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM



NÔNG THẾ HƢNG



NHÚNG HYPERBOLIC
VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC
CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








THÁI NGUYÊN – 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM



NÔNG THẾ HƢNG



NHÚNG HYPERBOLIC
VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC
CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai



THÁI NGUYÊN – 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu được
trích dẫn trong luận văn là trung thực.


Tác giả


Nông Thế Hƣng

Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn khoa học




TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1 Đa tạp phức 3
1.2 Không gian phức 4
1.3 Định lý Ascoli 5

1.4 Giả khoảng cách Kobayashi 6
1.5 Không gian phức hyperbolic 7
1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic 8
1.7 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi 12
CHƢƠNG 2. NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN
LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 15
2.1 Điểm hyperbolic và một số đặc trưng của các điểm hyperbolic 15
2.2 Đặc trưng của tính nhúng hyperbolic 26
2.3 Ứng dụng của tính nhúng hyperbolic 30
KẾT LUẬN 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO 39





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được S. Kobayashi đưa ra đầu thập
kỷ 70 của thế kỷ trước và đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của giải tích phức. Lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
toán học trên thế giới. Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được
chứng minh bởi S. Kobayashi, M. Kwack, J. Noguchi, J. Joseph …Những công trình
nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ.
Năm 1994, James E. Joseph và Myung H. Kwack đã đưa ra đặc trưng cho tính
nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y đó là: tính
nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y được đặc trưng
bởi tính compact tương đối trong cấu trúc compact - mở của các không gian thác triển

liên tục các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng D* đến X và từ M - A đến X trong đó M
là một đa tạp phức và A là một divisor trên M với giao chuẩn tắc. James E. Joseph và
Myung H. Kwack đã áp dụng các đặc trưng đó khái quát và mở rộng các định lý của
Kobayashi, Kiernan, Kwack, Noguchi và Vitali mà không cần đến giả thiết về tính
compact tương đối của X trong Y. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và trình
bày chi tiết các kết quả nói trên.
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm một số kiến thức cơ bản
về giải tích phức liên quan đến nội dung chính của luận văn như: đa tạp phức, không
gian phức, không gian phức hyperbolic, Divisor với giao chuẩn tắc, không gian phức
nhúng hyperbolic, giả khoảng cách tương đối Kobayashi.
Chương 2 trình bày nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương, chúng tôi
trình bày về các đặc trưng của điểm hyperbolic; Phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh
chi tiết tính nhúng hyperbolic của không gian phức X vào không gian phức Y được
đặc trưng bởi tính compact tương đối của không gian các thác triển liên tục của các
ánh xạ chỉnh hình. Cuối chương là ứng dụng của các định lý đã nêu vào việc mở
rộng, khái quát các định lý như Định lý Picard, Định lý Noguchi, Định lý Vitali …

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn Thị Tuyết
Mai. Nhân đây, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Cô, người đã
chỉ bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn.
Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, cô giáo trong trường Đại
học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán
học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái
Nguyên, Trường THPT Võ Nhai, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện

giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu đề tài này.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014
Tác giả

















Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đa tạp phức
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff.
Cặp
,U
được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở

trong X và
:
n
U 
là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)
()U
là tập mở trong
n

.
ii)
: ( )UU
là một đồng phôi.
Họ
,
ii
iI
U
các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ
giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
i)
i
iI
U
là một phủ mở của X.
ii) Với mọi
,
ij
UU

mà
ij
UU
, ánh xạ
1
:
j i i i j j i j
U U U U
là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên X. Hai atlas
1
,
2
được gọi là tương đương nếu hợp
1 2
là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp
tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi
phức trên đó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
1.1.2 Ví dụ
1. Giả sử D là miền trong
n

. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ
địa phương
( , )
D
D Id
.
2. Đa tạp xạ ảnh
P ( )

n


Xét
01
[ : : : ] P ( ) | 0
n
i n i
U z z z z
với
0,1, ,in
. Rõ ràng
1
n
i
i
U
là
một phủ mở của
P ( )
n

.
Xét các đồng phôi
:
n
ii
U 

0 1 1
01
[ : : : ] , , , , ,
i i n
n
i i i i
z z z z
z z z
z z z z

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Ta có

1
:
j i i i j j i j
U U U U


0 1 1
( , , , , , ) ; 0, , ; 1
k
i i n i
j
kj
z
z z z z k n z

z


Rõ ràng
1
ji

là ánh xạ chỉnh hình. Vậy
P ( )
n

là một đa tạp phức n chiều và gọi
là đa tạp xạ ảnh n chiều.
1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức
Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục
:f M N
được gọi là chỉnh
hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương
( , )U
của M và mọi bản đồ địa phương
( , )V
của N sao cho
f U V
thì ánh xạ
1
: ( ) ( )f U V
là ánh xạ chỉnh hình.
Hay tương đương, với mọi
,x M y N
tồn tại hai bản đồ địa phương

( , )U
và
( , )V
tại x và y tương ứng sao cho
1
: ( ) ( )f U V
là ánh xạ chỉnh hình.
Giả sử
:f M N
là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và
1
f
là các ánh
xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N.
1.2 Không gian phức
1.2.1 Định nghĩa
Giả sử Z là đa tạp phức. Một không gian phức đóng X là một tập con đóng của
Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải tích. Tức
là, với
0
xX
tồn tại lân cận mở V của
0
x
trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình
1
, ,
m
trên V sao cho
{ | ( ) 0, 1, , }

i
X V x V x i m
.
Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức Z. Hàm
:fX 

được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm
xX
tồn tại một lân cận
()U x Z
và
một hàm chỉnh hình

f
trên U sao cho

||
U X U X
ff
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Giả sử
:f X Y
là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y. f được gọi là
chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của Y, hàm hợp
gf
là hàm chỉnh hình trên
1

()fV
.
1.2.2 Định lý
Giả sử
:
n
f X Y
là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức
X, Y. Nếu
n
f
hội tụ đều tới f trong H(X, Y) thì f là ánh xạ chỉnh hình. (trong đó
H(X, Y) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X và Y được trang bị tô pô compact mở).
1.2.3 Divisor với giao chuẩn tắc [D]
Giả sử Y là một không gian phức. Một divisor Catier A trên Y là một không
gian con đóng mà về mặt địa phương tại mỗi điểm có thể được xác định bởi một
phương trình giải tích. Tức là, với mỗi điểm
xA
tồn tại một lân cận V của x trong
Y sao cho
AV
được xác định bởi phương trình
0
, với là một hàm chỉnh
hình nào đó trên V.
Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor. Ta nói A có giao
chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức
1
, ,
m

zz
trong M sao cho về
mặt địa phương
*
\
rs
M A D D
với r + s = m.
Từ đó về mặt địa phương A được xác định bởi phương trình
1
0
r
zz
.
1.3 Định lý Ascoli [D]
1.3.1 Định nghĩa
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không
gian metric đầy. C(X,Y) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup. Họ
( , )C X Y
được gọi là đồng liên tục tại một điểm
0
xX
nếu với mỗi
0
, tồn
tại
0
sao cho với mọi
0
, ( , )x X d x x

thì
0
( ( ), ( ))d f x f x
, với mọi
f
.
Họ được gọi là đồng liên tục trên X nếu là đồng liên tục tại mọi điểm
xX
.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.3.2 Định lý (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục)
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không
gian metric đầy. Giả sử là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X,Y). Khi đó là
compact tương đối trong C(X,Y) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
i) là họ đồng liên tục trên ;.
ii) Với mỗi
xX
, tập hợp
x
=
{ ( )|f x f
} là compact tương đối trong Y.
1.3.3 Định nghĩa
Giả sử là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không gian tô
pô Y. Họ được gọi là liên tục đồng đều từ
xX
tới

yY
nếu với mỗi lân cận U
của điểm y đều tìm được một lân cận V của điểm x và lân cận W của điểm y sao cho
Nếu
f x W
thì
()f V U
, với mọi
f
.
Nếu là liên tục đồng đều với mọi
xX
và mọi
yY
thì được gọi là
liên tục đồng đều từ X đến Y.
1.3.4 Định lý Ascoli (đối với họ liên tục đồng đều)
Giả sử là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X, Y) từ không gian chính
quy compact địa phương X vào không gian Haudorff Y và C(X, Y) có tô pô compact
mở. Khi đó là compact tương đối trong C(X, Y) khi và chỉ khi hai điều kiện sau
được thỏa mãn :
i) là họ liên tục đồng đều ;
ii) Với mỗi
xX
, tập hợp
( )|
x
f x fFF
là compact tương đối trong Y.
1.4 Giả khoảng cách Kobayashi [D]

1.4.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X. H(D,X) là tập
tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy
các điểm
01
, , ,
k
p x p p y
của
X
, dãy các điểm
1
, ,
k
aa
của D và dãy các ánh
xạ
1
, ,
k
ff
trong H(D,X) thỏa mãn
1
(0) , ( ) , 1, , .
i i i i i
f p f a p i k


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Tập hợp
0 1 1
, , , , , , , ,
k k k
p p a a f f
thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một
dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa
D,
1
( , ) inf (0, ),
k
X i x y
i
d x y a
.
Trong đó
,xy
là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Khi đó
:
X
d X X 
là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng
cách Kobayashi trên không gian phức X.
Tổng
D
1
(0, )
k

i
i
a
được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình .
Nếu X không liên thông, ta định nghĩa
( , )
X
d x y
với x, y thuộc hai thành
phần liên thông khác nhau.
1.4.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi
1.4.2.1 Định lý
Nếu
:f X Y
là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm
khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là
( ( ), ( )) ( , ), ,
YX
d f x f y d x y x y X
.
Hơn nữa,
X
d
là giả khoảng cách lớn nhất trong các giả khoảng cách trên
X
có tính
chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình
(D, )f H X
.
1.4.2.2 Định lý

Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi
:
X
d X X 
là hàm liên tục.
1.5 Không gian phức hyperbolic [D]
1.5.1 Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi)
nếu giả khoảng cách Kobayashi
X
d
là khoảng cách trên X, tức là
( , ) 0 , ,
X
d p q p q p q X
.
1.5.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.5.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức thì
XY
là không gian hyperbolic nếu và
chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
1.5.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Nếu Y là hyperbolic
thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một không gian
hyperbolic là hyperbolic.
1.5.3 Ví dụ
+ Đĩa
r

D
và đa đĩa
m
r
D
là hyperbolic.
+ Một miền bị chặn trong
m

là hyperbolic vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa.
+
m

không là hyperbolic vì
0
m
d

.
1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic [D]
1.6.1 Định nghĩa
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. X được gọi là nhúng
hyperbolic trong Y nếu với mọi
,,x y X x y
luôn tồn tại các lân cận mở U của x
và V của y trong Y sao cho
( , ) 0
X
d X U X V
.

1.6.2 Định lý
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó các điều kiện
sau đây là tương đương :
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y.
HI2. X là hyperbolic và nếu
{ },{ }
nn
xy
là các dãy trong X thỏa mãn
, , ( , ) 0
n n X n n
x x X y y X d x y
thì x = y.
HI3. Giả sử
{ },{ }
nn
xy
là các dãy trong X thỏa mãn
,
nn
x x X y y X
.
Khi đó, nếu
( , ) 0
X n n
d x y
khi
n
thì x = y.
HI4. Cho hàm độ dài H trên Y, tồn tại hàm liên tục, dương trên Y sao cho

với mọi
(D, )f Hol X
ta có
*
D
()f H H
,
Trong đó
D
H
là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f thuộc H(D,X) ta có
*
D
f H H

Chứng minh
HI1 HI2. Với mọi
,,x y X x y
, từ HI1 ta suy ra
( , ) 0
X
d x y
.
Do đó X là hyperbolic.
Với
,x y X

, nếu
xy
thì theo HI1 ta suy ra mâu thuẫn với giả thiết
( , ) 0,
X n n
d x y n
. Vậy HI2 được chứng minh.
HI2 HI3. Giả sử HI2 được thỏa mãn. Nếu
,x y X
, do tính liên tục của giả
khoảng cách Kobayashi
X
d
ta có
( , ) 0
X
d x y
. Mà X là hyperbolic nên suy ra x = y.
Nếu
,x X y X
. Vì
yX
nên tồn tại
X
d
- cầu B(x, s) mà
B( , )y x s
. Do
n
yy

nên
B( , )
n
y x s
với n đủ lớn. Mặt khác
( , ) 0
Xn
d x x
suy ra
B,
2
n
s
xx
.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết
( , ) 0
X n n
d x y
. Vậy trường hợp này không xảy ra.
Do đó HI3 được chứng minh.
HI3 HI4. Giả sử K là tập con compact của Y. Trước hết ta chứng minh tồn tại hằng
sô C > 0 sao cho với mỗi
(D, )HX
ta có
*( )
D
f CH H
tại mỗi điểm của
1

()fK
.
Giả sử ngược lại, suy ra tồn tại dãy
{ } (D, )
n
f H X
, tồn tại
1
()
nn
z f K D
sao cho
| ( ) |
nn
df z
. Vì D là thuần nhất đối với nhóm Aut(D), nên ta có thể giả thiết
0
n
z
,
tức là
| (0) |
n
df
khi
n
.
Do K compact nên ta có thể giả sử
(0)
n

f y K
.
Lấy U là lân cận mở của y trong Y, có thể đồng nhất U với một không gian con
đóng của
D
m
r
. Khi đó, với mỗi
k 
, có
D,
kk
zn
sao cho
1
||
k
z
k
và
()
k
nk
f z U
. (*)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại r < 1 sao cho
(D )

rr
fU
với mọi
0
()n n r
. Theo định lý Ascoli, do
(0)
n
fy
, tồn tại dãy con của
D
{ | }
r
n
f
hội tụ đều
trên mỗi tập compact của
D
r
. Điều này mâu thuẫn với
| (0) |
n
df
. Vậy (*) được
chứng minh.
Đặt
(0), ( )
kk
k n k n k
y f x f z

.
Ta có thể lấy
k
z
sao cho
k
x
nằm trong một tập con compact chứa U. Từ đó, bằng
cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết
,
k
x x x y
. Khi đó:
D
( , ) (0, ) 0
X k k k
d x y d z
khi
k
.
Điều này mâu thuẫn với HI3.
Bây giờ, giả sử
12
KK
là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn
1
i
i
KY


và
ii
KU
.
Trong đó
i
U
mở và
1ii
UU
. Theo chứng minh trên, với mỗi
i
K
, tồn tại một hằng
số
0
i
C
thỏa mãn
D
*( )
i
f C H H
.
Do đó, có hàm liên tục, dương trên Y thỏa mãn
i
C
trên
i
K

. Vậy
D
*( )f H H
với mọi hàm độ dài H trên Y.
HI4 HI5. Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là
H
.
HI5 HI1. Giả sử
,x y X
và
xy
. Lấy
B ( , ), B ( , )
HH
U x s V y s
,
là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bới hàm độ dài H.
Do H là hàm độ dài và
xy
, nên ta có thể lấy s > 0 đủ nhỏ sao cho
B ( ,2 ) B ( ,2 )
HH
x s y s
. Lấy
'x U X
và
'y V Y
ta có
( ', ') ( ', ') 0
XH

d x y d x y s
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Thật vậy, từ HI5 suy ra
H
d
có tính chất giảm khoảng cách với mọi
(D, )f H X
, theo tính chất lớn nhất của giảm khoảng cách Kobayashi ta có
XH
dd
. Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y.
Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn.
1.6.3 Một số đặc trƣng cho tính nhúng hyperbolic của các không gian phức
1.6.3.1 Mệnh đề
Giả sử X là một không gian con phức compact tương đối của một không gian
phức Y. Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu với mỗi hàm độ dài H
trên Y, có hằng số C > 0 sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình
:f D X
ta có
*
D
f H CH
.
Chứng minh
Vì trong một không gian con phức compact tương đối thì mọi hàm độ dài đều
tương đương, do đó, theo định lý 1.6.2, HI5 ta có ngay điều phải chứng minh.
1.6.3.2 Định lý (Kiernan [Ki1])

Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian phức Y.
Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu H(D,X) là compact tương đối
trong H(D,Y).
Chứng minh
Giả sử H(D, X) là compact tương đối trong H(D, Y) nhưng không là nhúng
hyperbolic trong Y. Theo định lý 1.6.2, HI5, thì với mỗi hàm độ dài trên Y và với
mỗi số nguyên dương n, tồn tại một ánh xạ chỉnh hình
:D
n
fX
và
D
n
z
,
Sao cho
()
nn
df z v n v
với mọi
D
n
z
vT
. (*)
Do tính thuần nhất của D đối với nhóm Aut(D) nên ta có thể giả sử
0
n
z
. Vì

X compact tương đối trong Y nên tồn tại
yX
thỏa mãn
(0)
n
fy
. Theo giả thiết
H(D,X) là compact tương đối trong H(D,Y), sau khi lấy dãy con ta có thể giả thiết
rằng
{}
n
f
hội tụ đều tới f trên một lân cận của 0. Do đó
'
(0) '(0)
n
ff
, điều này mâu
thuẫn với (*). Vậy X là nhúng hyperbolic trong Y.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Ngược lại, giả sử X là nhúng hyperbolic trong Y. Theo định lý Ascoli, vì X là
compact tương đối trong Y nên ta chỉ cần chứng minh H(D, X) là đồng liên tục đối
với một hàm khoảng cách
H
d
sinh bởi một hàm độ dài H trên Y. Nhưng điều này
được suy trực tiếp từ định lý 1.6.2, HI5. Vậy định lý được chứng minh.
1.6.3.3 Định lý

Giả sử X là không gian phức con, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y.
Giả sử Y’ là không gian phức với ánh xạ riêng hữu hạn
:'YY
, và
1
' ( )XX
. Khi đó X’ là nhúng hyperbolic trong Y’.
1.6.3.4 Mệnh đề (Tiêu chuẩn địa phương cho tính nhúng hyperbolic)
Giả sử M là không gian con phức của không gian phức X. Giả sử H là hàm độ
dài trên X. Khi đó các điều kiện sau là tương đương :
i) M là nhúng hyperbolic trong X ;
ii) + M là nhúng hyperbolic địa phương trong X, tức là với mỗi
pM
tồn tại
một lân cận compact tương đối U của p trong X sao cho
UM
là nhúng
hyperbolic trong X, và
+ Với mỗi dãy
{ } (D, )
n
f Hol M
thỏa mãn
lim (0)
n
n
f p M
và
'
lim ( (0))

n
n
Hf
, thì dãy
{}
n
f
chứa dãy con đồng liên tục từ 0 đến p.
1.6.3.5 Định lý
Giả sử X là không gian phức và

: XX
là phủ chỉnh hình của X. Giả sử
M là không gian con phức của X và

1
()MM
. Khi đó,

M
là nhúng hyperbolic
trong

X
nếu và chỉ nếu M là nhúng hyperbolic trong X.
1.7 Giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi [D]
1.7.1 Định nghĩa
Giả sử Y là không gian phức và X là không gian con phức compact tương đối
trong Y. Đặt
1

,
( ) | ( \ )
XY
f Hol Y f Y XD, gåm nhiÒu nhÊt ®iÓmF 1

Ta định nghĩa giả khoảng cách tương đối
,XY
d
trên
X
tương tự như khoảng
cách Kobayashi
Y
d
trên Y, nhưng chỉ dùng các dây chuyền chỉnh hình thuộc
,XY
F
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Cụ thể, xét dãy các điểm
01
, , ,
k
p p p p q
của
X
, dãy các điểm
1

, ,
k
aa
của D
và dãy các ánh xạ
1
, ,
k
ff
trong
,XY
F
thỏa mãn
1
(0) , ( ) , 1, , .
i i i i i
f p f a p i k

Tập hợp
0 1 1
, , , , , , , ,
k k k
p p a a f f
thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là
một dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong
X
.
Ta định nghĩa
, D ,
1

( , ) inf (0, ),
k
X Y i p q
i
d p q a
,
trong đó
,pq
là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong
X
.
Khi đó
,
:
XY
d X X 
là một giả khoảng cách trên
X
và gọi là giả
khoảng cách tương đối Kobayashi.
Nếu p hoặc q nằm trên biên của X, dây chuyền chỉnh hình nối giữa hai điểm
có thể không tồn tại. Trong trường hợp này ta định nghĩa
,
( , )
XY
d p q
.
1.7.2 Một số tính chất của giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi
1.7.2.1 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi
,XY

d
là mở rộng của giả khoảng cách
Kobayashi
X
d
theo nghĩa
,X X X
dd
.
1.7.2.2 Vì H(D,X)
X,Y
H(D,Y), ta có
,y X Y X
d d d
.
1.7.2.3
*
D
D ,D
dd
.
Thật vậy, bất đẳng thức
*
D
D ,D
dd
là trường hợp đặc biệt của 1.7.2.2. Dùng
ánh xạ đồng nhất
*
D

D ,D
Id F
như là một dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm của D
ta nhận được bất đẳng thức ngược lại.
1.7.2.4 Tính chất giảm khoảng cách
Giả sử X, X’ tương ứng là các không gian con phức compact tương đối của
các không gian phức Y, Y’. Nếu
:'f Y Y
là ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn
'f X X
, thì

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

', ' ,
( ( ), ( )) ( , ), , .
X Y X Y
d f p f q d p q p q X

Hơn nữa,
,XY
d
là giả khoảng cách lớn nhất trong các giả khoảng cách trên
X
có
tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình
,XY
f F
. Tức là, nếu
X

là giả khoảng
cách trên
X
thỏa mãn
D,
( ( ), ( )) ( , ), , D;
XY
X
f a f b d a b a b f F

thì
,
( , ) ( , ), , .
XY
X
p q d p q p q X










Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

CHƢƠNG 2
NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC

CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
2.1 Điểm hyperbolic và một số đặc trƣng của các điểm hyperbolic
2.1.1 Định nghĩa
a. Giả sử X là một không gian phức, p là một điểm trên X, e là một véctơ đơn vị trên
0
()TD
, v là véctơ trên
()
p
TX
. Ta đặt :
( , ) : inf{ 0: (0) , (0, ) , (D, )}.
X
F p v r f p df re v f H X

Khi đó :
:
X
F TX R
được gọi là hàm Royden [R] đối với giả khoảng cách d
X
.
b. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, p là một điểm trên X, e là
một véctơ đơn vị trên
0
()TD
, v là véctơ trên
()
p
TX

. Ta đặt :
, ,,
( , ): inf{ 0: (0) , (0, ) , }
X Y X Y
F p v r f p df re v f F
.
Nếu không có r > 0 sao cho tồn tại
,XY
f F
thỏa mãn
(0) , (0, )f p df re v
thì ta đặt
,
( , ):
XY
F p v
.
c. Giả sử X là một không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ dài H.
Một điểm
pX
được gọi là điểm hyperbolic đối với X nếu tồn tại một lân cận U
của p trong Y và một hằng số
0C
sao cho
X
F CH
trên
UX
.
2.1.2 Định nghĩa

Giả sử M là một không gian con phức của không gian phức X. Ta mở rộng
M
d
trên bao đóng
M
của M trong X như sau :
Với
,p q M
, ta định nghĩa
' , '
( , ) liminf ( ', ') , ', '
M
M
p p q q
d p q d p q p q M

Ta gọi
pM
là điểm suy biến của
M
d
nếu tồn tại một điểm
\q M p

sao cho
( , ) 0
M
d p q
.
Ta ký hiệu

()
M
SX
là tập tất cả các điểm suy biến của
M
d
trên
M
.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2.1.3 Mệnh đề
Giả sử M là một không gian con phức của không gian phức X. Khi đó, với
điểm
pM
, các khẳng định sau là tương đương :
a) p là điểm hyperbolic đối với M.
b)
()
M
p S X
.
c) Đối với mỗi dãy
(D, )
n
f H M
sao cho
lim (0)

n
n
fp
thì
'
limsup ( (0))
n
n
Hf
, với H là hàm độ dài trên X.
2.1.4 Hệ quả
Giả sử M là không gian con phức của không gian phức X, khi đó các khẳng
định sau là tương đương :
i) M là nhúng hyperbolic trong X.
ii) Mọi điểm của
M
đều là điểm hyperbolic đối với M.
iii)
()
M
SX
.
Cho X là không gian con phức của không gian phức Y, ta sẽ ký hiệu tập hợp
các điểm hyperbolic của X là
( , )R X Y
hay đơn giản là
()RX
(Nếu không gây nhầm
lẫn).
2.1.5 Bổ đề. Cho X một không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ dài

H và cho
pX
. Khi đó
()p R X
khi và chỉ khi
lim ( , ) 0
X n n
d p q
với mọi dãy
{}
n
p
và
{}
n
q
trong X thỏa mãn
n
pp
và không có dãy con của
{}
n
q
hội tụ tới p.
Chứng minh. Giả sử
()p R X
; Gọi V, W, U lần lượt là các lân cận compact của p
và c > 0 sao cho F
X
cH trên

UX
, và
WWVU
, và cuối cùng
,
nn
p V q Y U
. Khi đó ta có
( , ) ( , W) ( , W) 0.
X n n X H
d p q d X V X cd V

Ngược lại, giả sử
()p R X
. Tồn tại dãy
n
f
trong H(D, X) sao cho
(0)
n
fp
và
(0)
n
df
. Do đó, nếu U là một lân cận tọa độ địa phương của p
trong Y hay chính là một không gian con đóng của một hình cầu bị chặn, tồn tại dãy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

con
k
n
f
của
n
f
và một dãy
k
z
trong D sao cho
0
k
z
và
()
k
nk
f z Y U
với
mỗi k .
Nhưng
D
( (0), ( )) (0, )
kk
X n n k k
d f f z d z
với mọi k, do đó
lim ( (0), ( )) 0
kk

X n n k
d f f z
.
Từ bổ đề 2.1.5 dễ dàng thấy: Một không gian phức con X của không gian phức
Y được gọi là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi
()X R X
.
2.1.6 Bổ đề. Cho X là không gian con phức của không gian phức Y và
()p R X
.
Cho
n
z
và
n
f
lần lượt là các dãy trong D
*
và H(D
*
, X) sao cho
0
n
z
,
()
nn
f z p
. Nếu
:

nn
z D z z
thì
()
nn
fp
.
Chứng minh. Dễ thấy rằng dãy độ dài hyperbolic
()
n

thỏa mãn
( ) 0
n


(xem [L], tr.41). Từ đó, với
nn
x
, ta có
( ( ), ( )) ( )
X n n n n n
d f x f z 
, theo bổ đề 1 ta
có
()
nn
fp
.
2.1.7 Định lý. Cho X là một không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ

dài H. Với mỗi điểm p
X
, các mệnh đề sau là tương đương :
(1) p R(X).
(2) Nếu {f
n
} là một dãy trong H(D
*
, X) và
n
z
là một dãy trong D
*
sao
cho
0
n
z
và
()
nn
f z p
, thì với mỗi tập mở U chứa p, tồn tại 0 < r < 1 sao cho
*
(D )
nr
fU
.
(3) Nếu {f
n

} là một dãy trong H(D
*
, X) và
n
z
là một dãy trong D
*
sao cho
0
n
z
và
()
nn
f z p
, thì các khẳng định sau là đúng :
a. Mỗi
n
f
đều thác triển được thành

(D, )
n
f H Y
.
b. Tồn tại r, 0 < r < 1 và một dãy con
k
n
f
của

n
f
sao cho

(D , )
k
r
n
f f H Y
trên D
r
.
(4) Nếu
n
f
là một dãy trong
X,Y
sao cho
(0)
n
fp
, thì với mỗi tập mở
U chứa p, tồn tại r, 0 < r < 1 sao cho
(D )
nr
fU
.
(5) Tồn tại lân cận U của p sao cho
,
sup{| (0)|: , (0) }

XY
df f f UF
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

(6) Tồn tại lân cận U của p và c > 0 sao cho F
X,Y
cH trên
UX
.
(7) Nếu
{}
n
p
và
{}
n
q
là hai dãy trong
X
sao cho
n
pp
và nếu không có
dãy con của
{}
n
q
hội tụ tới p, thì

,
lim ( , ) 0
X Y n n
d p q
.
(8) Tồn tại lân cận U của p sao cho nếu
{}
n
p
và
{}
n
q
là hai dãy trong
UX
và
,
( , ) 0
X Y n n
d p q
, thì
( , ) 0
H n n
d p q
.
Chứng minh. (1) (2). Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử (1) đúng nhưng
(2) không đúng. Khi đó tồn tại các lân cận tọa độ địa phương compact tương đối W,
U của p và các dãy
, ,,
,,

n n n
z z z
trong D
*
, tồn tại
n
f
trong H(D
*
, X) sao cho
W , ( )U U X R X
,
()
nn
f z p
,
,
()
nn
f z Y U
với mỗi n,
,
0, 0
nn
zz
,
,,
0
n
z

và
, ,, ,
min , max ,
n n n n n
z z z z z
,
,,
()
nn
f z W
với mỗi n,
,,
()
nn
f z q W
. Theo bổ đề 2.1.6 ta có
( ), ( )
nn
q R X f q
, trong đó
,,
:
nn
z D z z
. Cho V là một lân cận compact tương đối của q sao cho
VU
và
pV
. Khi đó tồn tại các dãy số thực dương
,

nn
ab
thỏa mãn
,,
0
n n n
a z b
,
0, 0
nn
ab
, và sao cho hình vành khăn
:
nn
z D a z b

được ánh xạ vào V bởi f
n
là lớn nhất. Tồn tại các dãy mà ta vẫn ký hiệu là
,
nn
ab
thỏa mãn điều kiện của
n
a
và
n
b
ở trên, và các dãy
,

nn
xy
sao cho
nếu
:
nn
z D z a
và
:
nn
z D z b
, ta có
nn
x
và
nn
y
với mỗi
n,
( ) ' , ( ) ''
n n n n
f x p V f y p V
. Do đó, theo bổ đề 2.1.6,
( ) ', ( ) "
n n n n
f p f p
vì
', " ( )p p R X
. Chọn tọa độ địa phương
1

, ,
m
ww
cho
m
UC
sao cho
1 1 1
( ) 0, ( ') 0, ( '') 0w q w p w p
. Và
1
( , , )
n n nm
f f f
là biểu diễn
địa phương của f trên
1
()fV
. Khi đó :
11
( ) ( ')
nn
f w p
,
11
( ) ( ")
nn
f w p
. Do đó tồn
tại số nguyên dương K sao cho với mọi

nK
, ta có :
,,
1 1 1
( ) ( ) ( )
n n n n n n
f z f f
(vì
,,
11
( ) ( )
nn
f z w q
).
Như vậy, với n >K thì
1
()
nn
f
và
1
()
nn
f
chứa trong một miền đơn liên trong


nhưng không chứa
,,
1

()
nn
fz
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Do đó, với mọi n >K, ta có :
''
11
,, ,,
1 1 1 1
( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n n n n n n
f z f z
dz dz
f z f z f z f z
.
Mặt khác, do
,,
n
z
nằm trong hình vành khăn
:
nn
z D a z b

nên với mọi i = 1, ,
m và với mọi n = 1, 2, … Ta có bất đẳng thức sau :
''
11
,, ,,
1 1 1 1
( ) ( )
11
0
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
nn
nn
n n n n n n
f z f z
dz dz
i f z f z i f z f z
.
(Xem định lý về thặng dư logarit trong [Th, Tr 162]).
Từ đó dẫn đến mâu thuẫn. Vậy (2) đúng.
(2) (3). Cho U là một lân cận tọa độ địa phương của p và V là một tập mở
compact tương đối chứa p sao cho
VU
. Khi đó có 0 < r < 1 sao cho
*
(D )
nr
fV
.
Với mỗi n, ta biểu diễn
1

( ) ( ( ), , ( ))
n n nm
f z f z f z
. Trong đó
( ), 1, ,
ni
f z i m
là các
hàm chỉnh hình từ
*
D
r
vào

. Áp dụng định lý Riemann cổ điển về các điểm bất
thường bỏ được, mỗi
()
ni
fz
đều có thể thác triển được thành hàm chỉnh hình

()
ni
fz

từ
D
r
vào


(vì có thể lấy U là tập bị chặn trong
m

). Khi đó
  
1
( ) ( ( ), , ( ))
n n nm
f z f z f z
là ánh xạ chỉnh hình từ
D
r
vào
V
và là mở rộng của ánh
xạ f. Vậy (3)(a) được chứng minh. Tiếp theo, áp dụng định lý của Montel [B] cho các
hàm
( ), 1, ,
ni
f z i m
, ta có (3)(b).
(3) (2).Giả sử (3) đúng, ta chứng minh (2) đúng. Giả sử ngược lại (2)
không đúng. Theo (3)(a) ta có các dãy
n
f
trong H(D
*
, X) và
,
nn

xy
trong D
*

sao cho
0, 0, ( )
n n n n
x y f x p
, và không có dãy con nào của
()
nn
fy
hội tụ tới
p. Với mỗi dãy con
k
n
f
của dãy
n
f
, luôn tồn tại

k
n
f
mà

()
k
k

n
n
f x p
, trong khi

()
k
k
n
n
fy
p. Do đó (3)(b) không đúng. Mâu thuẫn với giả thiết (3) đúng. Vậy (2)
đúng.
(2) (4). Giả sử ngược lại, (2) đúng mà (4) không đúng. Khi đó tồn tại các
dãy
,
nn
xy
trong D
*
và
n
f
trong
X, Y
sao cho
0, 0, ( )
n n n n
x y f x p
,

không có dãy con nào của
()
nn
fy
hội tụ tới p, và không có n thỏa mãn một trong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

hai điều kiện :
1
()
nn
f Y X x
hoặc
1
()
nn
f Y X y
. Nếu 0 < r < 1 và
1*
()
nr
f Y X D
với mọi n, thì tồn tại dãy con của dãy các thu hẹp của
n
f
trên
*
r
D

(ta vẫn gọi nó là dãy
n
f
), sao cho
*
( , )
nr
f H D X
với mỗi n,
()
nn
f x p
, và
không có dãy con của
()
nn
fy
hội tụ tới p. Nên (2) không đúng.
Trong trường hợp khác, ta giả sử
1
()
nn
f Y X v
với mỗi n và
0
n
v
. Với
mỗi n, cho
n

là một tự đẳng cấu trên D sao cho
(0)
nn
v
, và lấy
n n n
gf
trên
D
*
. Khi đó
*
( , )
n
g H D X
với mỗi n,
1
()
nn
x
và
1
()
nn
y
là các dãy trong D
*
,
1 1 1
( ) 0, ( ) 0, ( ( ))

n n n n n n n
x y g x p
và không có dãy con của
1
( ( ))
n n n
gy

hội tụ tới p. Do đó (2) không đúng.
(4) (5). Giả sử ngược lại (4) đúng nhưng (5) không đúng. Khi đó sẽ tồn tại
dãy
n
f
trong
X, Y
sao cho
(0)
n
fp
và
(0)
n
df
. Cho U, V là các lân cận
hyperbolic compact tương đối của p sao cho
UV
. Cho 0 < r < 1 thỏa mãn
()
nr
f D U

. Tồn tại dãy con của
n
f
, ta sẽ vẫn ký hiệu là
n
f
, và một ánh xạ
(D , )
r
g H V
sao cho
n
fg
, mâu thuẫn với
(0)
n
df
. Do đó (4) không đúng.
Trái với giả thiết trên. Vậy (5) đúng.
(5) (6). Cho U là lân cận của p sao cho
,
sup{| (0)|: , (0) }
XY
df f f UF
,
và c > 0 thỏa mãn
,
1
sup (0) : , (0)
XY

df f f U
c
F
. Khi đó với
q U X
,
( ), 0
q
v T X r
và
,XY
f F
thỏa mãn
(0) , (0, )f q df re v
, ta có
( , ) ( (0), (0, )) ( (0), (0, ))
r
H q v H f df re rH f df e
c
.
Vì vậy
( , )cH q v r
và do đó
,XY
cH F
trên
UX
. Vậy (6) được thỏa mãn.
(6) (7). Giả sử
,

nn
pq
là các dãy trong
X
sao cho
n
pp
và không có
dãy con nào của
n
q
hội tụ tới p. Khi đó, nếu
,
lim ( , )
X Y n n
d p q
, thì hiển nhiên (7)
đúng. Nếu không thì ta có thể giả sử rằng
,
( , )
X Y n n
d p q
hữu hạn với mỗi n. Với c > 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

và U, V, W là các lân cận compact tương đối của p sao cho
W VVU
,
n

qU

với một số hữu hạn n, và sao cho
,XY
F cH
trên
UX
. Khi đó :
,,
( , ) ( , ) ( , ) 0
X Y n n X Y H
d p q d X W X V cd V W
.
Suy ra
,
lim ( , ) 0
X Y n n
d p q
. Vậy (7) đúng.
(7) (1). Giả sử (7) đúng. Vì
,
( , ) ( , )
X X Y
d p q d p q
với
,p q X
. Theo bổ đề
2.1.5 ta suy ra (1).
(1) và (7) (8). Theo (1), tồn tại lân cận compact U của p sao cho
()U X R X

. Giả sử ngược lại (8) không đúng. Gọi
,
nn
pq
là các dãy trong
UX
sao cho
,
( , ) 0
X Y n n
d p q
và
( , )
H n n
d p q
0. Khi đó tồn tại dãy con của
,
nn
pq
mà ta vẫn gọi là
,
nn
pq
sao cho
n
p y U X
và
lim ( , ) 0
H n n
d p q

. Vì vậy
()y R X
,
n
py
và không có dãy con của
n
q
hội tụ tới
y. Điều này mâu thuẫn với sự tương đương của (1) và (7). Vậy (8) đúng.
(8) (7). Giả sử ngược lại (7) không đúng. Với
,
nn
pq
là các dãy trong
X
sao cho
n
pp
, không có dãy con nào của
n
q
hội tụ về p và
,
( , ) 0
X Y n n
d p q
.
Với W là một lân cận của p sao cho
W U

,
U
là lân cận compact của p thỏa mãn
(8), và
n
qU
chỉ với hữu hạn n. Lấy
n
là dãy các đường thuộc lớp C
1
trong
X

sao cho với mỗi n,
n
nối p
n
và q
n
, và sao cho
( ) 0
n

(
()
n

tính theo
,XY
d

). Ta
có thể chọn
nn
yW
và do đó có được
,
( , ) ( )
X Y n n n
d p y 
với mỗi n. Vì vậy
,
( , ) 0
X Y n n
d p y
khi
( , )
H n n
d p y
0. Vì vậy (8) không đúng, mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy (7) đúng.
Ta biết rằng

\{0} không phải là hyperbolic, ta sẽ sử dụng định lý 2.1.7 để
thấy rằng không có điểm nào trong

\{0} là điểm hyperbolic.
Ví dụ 1. Với mỗi p
\0
và số nguyên dương k, ta xác định
*

( , \{0})
k
f H D 
như sau :
( ) / 2
k
f z p kz
. Với mỗi số nguyên dương cố định m,
ta có
(1/ 2 )
k
f km mp
. Chọn m = 1, m = 2 ta thu được 2 dãy hội tụ về 0 là
1
2k
và