giáo trình môn thuỷ lực

Chơng X

Dòng chảy ổn định trong sông thiên nhiên

Đ10-1 Đặc điểm chung và cách chia đoạn
So với dòng chảy trong kênh máng hở, dòng chảy trong sông phức tạp hơn nhiều, vì
các yếu tố thuỷ lực thay đổi rất phức tạp dọc theo dòng chảy. Ngoài các yếu tố thuỷ lực ra,
độ nhám của lòng sông cũng khác nhau rất nhiều, Ngay tại một mặt cắt, độ nhám ở hai bên
bờ và ở giữa lòng sông cũng không giống nhau.
Nếu xét một cách thật chặt chẽ, dòng chảy trong sông không phải là một dòng ổn định
vì lu lợng trong sông luôn luôn thay đổi theo thời gian. Cha bao giờ có một con sông
nào trong một thời gian khá dài lại có một lu lợng không đổi.
Không những lu lợng trong sông thay đổi theo thời gian mà các yếu tố khác: , B, ,
n, v. v cũng thay đổi theo thời gian do dòng sông bị biến hình, bị xói lở, bồi lắng, v. v ,
gây nên. Do đó, lu tốc trong sông v cũng luôn luôn thay đổi theo thời gian và không gian.
Nhng nói chung sự thay đổi theo thời gian ở trong sông không phải xảy ra một cách
đột ngột, mau chóng mà rất chậm (trừ thời kỳ lũ, sự thay đổi của các yếu tố trong sông xảy
ra nhanh hơn) do đó, lúc tiến hành tính toán cho dòng chảy trong sông lúc không có lũ, ta
có thể xem dòng chảy đó là dòng ổn định.
Trong chơng này, ta sẽ xét cho dòng sông có điều kiện nh thế, nghĩa là trong một
khoảng thời gian dài, các yếu tố thay đổi rất từ từ, nh là dòng ổn định, còn với dòng sông
không có điều kiện nh trên, nghĩa là các yếu tố thay đổi đột ngột, nhanh chóng theo thời
gian thì phải xem là dòng không ổn định (sẽ nghiên cứu ở chơng XI).
Một đặc điểm khác của lòng sông là không có một độ dốc thống nhất của đáy. Đáy
sông thực tế không bằng phẳng, trơn tru mà là gồ ghề, lồi lõm. Do đó, trong sông ta không
đề cập tới độ dốc của đáy.
Tóm lại, có thể xem sông là một kênh hở, không lăng trụ, vô cùng phức tạp; trong đó
các yếu tố của nó: , B, , v. v không thể viết dới dạng một hàm số đơn giản của độ sâu
và chiều dài đợc.
Do tính chất phức tạp nh vậy, nên không thể giải trực tiếp các phơng trình vi phân
viết cho dòng chảy trong sông dù là cách giải gần đúng; mà thờng phải đổi thành phơng

trình sai phân để giải.
Dùng phơng trình sai phân để giải, thì vấn đề quan trọng nhất là việc chia đoạn; phải
chia đoạn sao cho trong các đoạn đợc chia đó, áp dụng phơng trình sai phân đợc đúng
đắn và có kết quả tốt nhất.
Lúc chia đoạn có thể dựa vào mấy nguyên tắc sau:
1. Lu lợng trong đoạn không thay đổi; nghĩa là trong đoạn đang xét không có sông
nhánh, sông con chảy vào hay chảy ra.
2. Mặt cắt của lòng sông thay đổi ít.
3. Trong mỗi đoạn nên có một độ dốc mặt nớc và có một độ nhám thống nhất.
Thờng thờng có thể dùng bản đồ địa hình để chia đoạn sông. Nhng nếu muốn chính
xác hơn, ngoài bản đồ địa hình ra ta còn phải vẽ ra các chi tiết cần thiết của các mặt cắt. Ví
dụ vẽ đồ thị quan hệ của , B, n, theo (hình 10-1). Ngoài ra còn phải dùng các tài liệu của
trạm đo mực nớc vẽ ra đờng mặt nớc dọc theo sông, để trên cơ sở đó chia đoạn sông
đợc hợp lý nhất (hình 10-2).


B
n
l

B
n


Hình 10-1

1 2 3
4
5
6 7

I
II
III
IV V VI


Hình 10-2
Theo cách chia nh trên, các đoạn sông có thể dài ngắn rất khác nhau tuỳ theo tình
hình cụ thể của mỗi đoạn. ở những chỗ quan trọng, ví dụ những đoạn mà ở đó sẽ xây dựng
các công trình cần chia nhiều đoạn hơn nghĩa là lấy các mặt cắt sát nhau hơn, vì ta biết rằng
càng chia nhiều đoạn độ chính xác càng cao. Tuy nhiên mức độ chính xác còn phụ thuộc
vào độ chính xác của tài liệu. Lúc thiếu tài liệu hay tài liệu thiếu chính xác, sự chia thật
nhiều đoạn cũng không cần thiết vì không mang lại kết quả đáng tin cậy hơn; vì rằng độ
chính xác của tính toán phải thích ứng với độ chính xác của tài liệu thì độ chính xác đó mới
có giá trị thực tế. Ví dụ do cố gắng tính toán mà đạt tới độ chính xác là mi-li-mét chẳng hạn
nhng các số liệu dùng để tính lại sai số đến hàng mét hay đề-xi-mét thì việc cố gắng tính
thật chính xác tới mi-li-mét là không có ý nghĩa.

Đ 10-2. Phơng trình cơ bản của dòng chảy trong sông
Trong kênh máng nhân tạo do có độ dốc đáy i xác định (i = const) nên thờng dùng
phơng trình cơ bản cho sự liên hệ giữa độ sâu dòng chảy h và chiều dài l; còn ở trong sông
vì đáy sông mấp mô, lồi lõm nên độ sâu h thay đổi một cách phức tạp và hầu nh vô quy
luật nên ta không xét quan hệ giữa h và l, mà xét quan hệ giữa cao trình mặt nớc theo
chiều dài dòng chảy l.
Từ (9-27) ta đã có:

J
g2
v
dl

d
dl
dz
2
+








=

(1)
ở đây:






+==
dl
dh
dl
dh
dl
dh

J
cdw

Vì rằng
2
2
d
K
Q
dl
dh
=

Và tổn thất cục bộ thờng biểu thị dới dạng của thừa số cột nớc lu tốc:
g2
v
h
2
cc
=

nên (1) viết đợc là:

+








+=
g2
v
dl
d

g2
v
dl
d
K
Q
dl
dz
2
c
2
2
2

(10-1)
Đây là phơng trình vi phân cơ bản của dòng chảy ổn định trong sông. ý nghĩa các số
hạng của phơng trình nh sau:
1.






dl
dz
biểu thị sự thay đổi của cao trình đờng mặt nớc trên sông, có thể âm (-)
hoặc (+).
2.








2
2
K
Q
biểu thị tổn thất dọc đờng; luôn luôn dơng (+),
3.

g2
v
dl
d
2

biểu thị sự thay đổi động năng trung bình do biến thiên lu tốc; có thể
âm (-) hoặc dơng (+).
4.








g2
v
dl
d
2
c

biểu thị tổn thất cục bộ; luôn luôn dơng (+).
Kết hợp (3) và (4) ta thấy rằng
c
có thể là âm (-) hoặc dơng (+). Điều này cần chú ý
vì ta thờng quan niệm các hệ số luôn luôn dơng (+). ở đây
c
có thể là dơng, âm hoặc
bằng không.
Để tính toán, ta đổi phơng trình vi phân (10-1) thành phơng trình sai phân.
Tất cả các yếu tố thuộc mặt cắt dới đợc ký hiệu chỉ số d; còn ở mặt cắt trên ký
hiệu chỉ số t (h. 10-3), ta đợc
(1)
:
z = (z
d
z
t
) =
(
)

++
g2
v
g2
v
l
K
Q
2
t
2
d
c
2
2


(10-2)
Trong phơng trình (10-2) xem:
d
=
t
= , còn
c
thì lấy giá trị trung bình của nó
c

.
Giá trị
c

xác định nh sau:
1. Với những đoạn sông thu hẹp dần nghĩa là v
d
> v
t
, do tổn thất cục bộ không lớn lắm
nên thờng lấy
c

= 0.
Lúc đó (10-2) sẽ là:
z = z
t
z
d
=








+
g2
v
g
2

v
l
K
Q
2
t
2
d
2
2

(10-3)
2. Với đoạn sông mở rộng, nghĩa là v
d
< v
t
, tổn thất cục bộ lớn hơn trờng hợp trên.
Nhiều nhà khoa học lấy
c

= -1
(2)
.
Lúc đó (10-2) sẽ là:
z = z
t
z
d
=
l

K
Q
2
2

(10-4)
(1)
Trong chơng này, để tiện lợi, ta ký hiệu z = z
t
z
d
tuy rằng điều này trái với quy ớc thông thờng về
số gia (z = z
d
z
t
); còn l vẫn theo quy ớc chung l = l
d
- l
t
.
(2)
Riêng N. N. Pavơlôpski đề nghị lấy
c

= -0,5.
Nhng nói chung tổn thất cục bộ ở trong sông rất không đáng kể so với tổn thất dọc
đờng nên thơngf có thể bỏ qua, lúc đó ta dùng biểu thức (10-3).

Nếu bỏ qua các số hạng biến đổi động năng do lu tốc thay đổi

g2
v
dl
d
2

vì cũng rất
bé so với tổn thất dọc đờng








2
2
K
Q
, phơng trình tính toán sẽ là (10-4).

v
d
2

2g
v
t
2


2g
z
d
z
t
t
d
p
p
0
t
E
E
d
l
t
l
0

Hình 10-3

Để tính toán dòng chảy trong sông bằng các công thức trên, phải biết các yếu tố thuỷ
lực của mặt cắt: , , R, B, K, v. v , độ nhám n và các trị số trung bình của nó.

Đ10-3 Cách xác định các yếu tố thuỷ lực của mặt cắt và độ nhám lòng sông
Các đại lợng đặc trng của mặt cắt phải do tài liệu thực đo mặt cắt ngang mà tính ra
(h. 10-4). Vì chiều rộng sông thờng lớn hơn nhiều so với chiều sâu nên để đơn giản
thờng lấy:
- Đối với sông rộng: = B và R =
h==
B




- Đối với sông hẹp: = B +
h2
và R =
h2+B



Hình 10-4
Còn các trị số trung bình thờng tính nh sau:

)(
2
1
td

+=
,
)(
2
1
td
+=
,
h
B
)RR(RlàhayR
td
==
2
1



RCK
22 2
=

=








=
=
)c(.
K
1
K
1
K
1
làhay
)b(),KK(Klàhay

)a(,RCK
2
t
2
d
2
2
t
2
d
2
22
2
1
2
1

2
(10-5)
Còn việc chọn độ nhám để tính toán dòng chảy trong sông là một vấn đề vô cùng quan
trọng phải đợc đặc biệt chú ý: vì rằng độ nhám ảnh hởng rất lớn tới kết quả tính toán. Chỉ
cần một sai lầm nhỏ lúc chọn độ nhám là có thể ảnh hởng rất lớn tới kết quả cuối cùng.
Vả lại độ nhám trong sông không phải là đồng nhất mà khác nhau rất nhiều dọc theo dòng
chảy, và ngay trên một mặt cắt, độ nhám ở hai bên bờ và ở lòng sông cũng rất khác nhau.
Ngoài ra độ nhám của sông còn phụ thuộc cả vào mực nớc và lu lợng, v.v
Do đó tốt nhất là không dùng trực tiếp độ nhám để tính toán mà dùng các tài liệu thực
đo, trong đó đã bao hàm tất cả các yếu tố thuỷ lực, kể cả độ nhám để tính toán thì tốt hơn.
Nếu muốn dùng trực tiếp độ nhám thì độ nhám đó phải tính ra từ tài liệu thực đo của
đoạn sông định nghiên cứu. Cách tính nh sau: từ phơng trình cơ bản (10-2) thay
K

tính
theo (10-5a), sau khi giải ra ta đợc hệ số Sedi
C
:
C =
R
g2
v
g2
v
)
(z

l
Q
2
t
2
d
2
ì








+

ì
2
c

. (10-6)
Vế phải của (10-6) là các đại lợng đã biết theo tài liệu địa hình và quan trắc thuỷ văn,
do đó tính đợc
C
. Có
C
theo một trong các công thức thực nghiệm xác định hệ số Sedi đã
xét ở chơng IV ta sẽ tính đợc n.
Trong thực tế hiện nay để đơn giản thờng tính n xuất phát từ (10-4). Thay
K
tính theo
(10-5a) vào (10-4) và tính C theo công thức Maninh (4-112) sau khi giải ra ta đợc:
n =
v
JR
2/13/2
ì
, (10-7)
ở đây:
l
z
J
=
.
Cuối cùng, nếu không có tài liệu thực đo để tính n theo (10-6) hoặc (10-7) thì có thể
lấy trị số n ở các bảng độ nhám đã lập sẵn hoặc lấy độ nhám của đoạn sông khác hoặc của

con sông khác có điều kiện tơng tự. Hệ số nhám n của lòng sông thiên nhiên có thể lấy ở
phụ lục (10-1).

Đ 10-4 Cách lập đờng mặt nớc bằng tài liệu địa hình
Tài liệu địa hình bao gồm tài liệu hình học của mặt cắt (B, R, , ), hệ số nhám và hệ
số cản cục bộ của lòng dẫn. Dùng phơng trình (10-2)
(1)

z = z
t
z
d
=
( )








++
g2
v
g2
v
l
K
Q

2
t
2
d
c
2
2


Trong trờng hợp này, đã biết:
- Lu lợng Q,
- Cao trình mặt nớc ở mặt cắt dới (z
d
).
Có z
d
sẽ tính đợc các yếu tố thuỷ lực của mặt cắt dới:
d
, K
d
, v
d
, v. v Vấn đề còn
lại là xác định cao trình mặt nớc ở mặt cắt trên (z
t
).
Do không thể giải ngay đợc z
t
từ phơng trình trên nên nói chung cách giải là phải
tính đúng dần. Nguyên tắc chung cũng nh lúc tính cho kênh lăng trụ và không lăng trụ là

phải giả định z
t
. Có z
t
ta tính đợc vế trái của (10-2) là z = z
t
z
d
. Có z
t
ta cũng tính
đợc K
t
và v
t
; do đó tính đợc vế phải của (10-2). So sánh hai số tính ra, nếu bằng nhau là
kết quả đúng, nếu không, phải giả định lại z
t
và tính lại nh trên. Đây chính là nguyên lý và
đờng lối chung để tính đờng mặt nớc trên sông.
Nhng thông thờng ngời ta tính trớc và vẽ các quan hệ cần thiết rồi tiến hành tính
toán bằng đồ giải. Có rất nhiều cách chuẩn bị trớc nh thế. ở đây giới thiệu một trong các
cách thờng dùng trong thực tế.
Tính
2
K
1
theo (10-5c); xong thay vào (10-2), sau khi biến đổi và sắp xếp lại ta có:
z =

ì
+
+








ì
+
+
2

t
c
2
t
2
d
c
2
d
2
g2K2
l
g2K2
l
Q







(1)
Thực chất của phơng trình (10-2) là phơng trình Bcnuly viết cho hai mặt cắt của đoạn sông, do
đó cách trình bày này còn gọi là phơng pháp vẽ đờng mặt nớc trong sông bằng cách ứng dụng trực tiếp
phơng trình Bcnuly.
Có thể bỏ qua
( )

+
g2
v
g2
v
2
t
2
d
c

nếu có quá nhỏ so với
l
K
Q
2
2




Đặt: (z) =
2
c

2
g
2
K2
l



ì
+
+
(10-8)
và: (z) =
2
c
2
g
2K
2
l



ì
+

(10-9)
thì z = Q
2
[(z

d
)+ (z
t
)] (a)
Theo (10-8), (10-9) tính và vẽ lên đồ thị quan hệ (z) và (z) cho các mặt cắt (h. 10-
5).


z
4
z
3
z
2
z
1
z

NM
T
R
S
0
P
K



(z)

(z)


Hình 10-5

Với hình (10-5), ta có cách đồ giải nh sau:
Trên hình (10-5), điểm M chỉ cao trình của z
1
= z
d
.
Giả thử đã tính đợc z
2
= z
t
(điểm K).
Từ K và M kẻ các đờng thẳng góc với trục z, gặp các đờng (z) và (z) tại P và N.
Nối PN. Gọi góc giữa PN và MN hoặc PK là .
Ta xét xem góc có quan hệ nh thế nào với các yếu tố của dòng chảy.
Từ hình (10-5) ta có:
[ ]
)b(
))tgzMKTKMT
tg)tgKPTK
tg)tgMNMT
td
t
d
(z(z
(z

(z
+===+
ì=ì=
ì=ì=
+

So sánh (a) và (b) ta có:
hay



=
=
2
2
Q
Q
arctg
tg
(10-10)
Có quan hệ này, việc tính toán tiến hành nh sau:
Từ z
1
đã cho (tại M) kẻ đờng vuông góc với trục 0z, gặp đờng (z
d
) tại N. Từ N kẻ
đờng
NP
hợp với
MN

một góc là tính theo quan hệ (10-10). Từ P hai đờng thẳng
vuông góc xuống 0z tại K. K chính là cao trình mặt nớc tại mặt cắt trên z
2
. Từ đấy, lại vẽ
tiếp
KR
,
RS
,.v.v để tính z
3
, z
4
(h. 10-5). Nếu trên tất cả các đoạn sông đều có lu
lợng nh nhau thì các đờng
NP
,
RS
song song với nhau vì không đổi. Khi cần vẽ
nhiều đờng mặt nớc ứng với các lu lợng tính toán khác nhau thì chỉ cần thay đổi góc
mà không cần vẽ lại họ đờng cong (z) và (z). Đó là u điểm của cách này.
Lúc tính toán bằng đồ giải, một vấn đề rất quan trọng phải chú ý tới là vấn đề tỷ xích,
vì rằng trên hình vẽ ta không thể lấy các tỷ xích đúng bằng ngoài tự nhiên đợc mà phải thu
nhỏ lại hoặc phóng đại lên với một tỷ lệ nào đó. Do đó, quan hệ (10-10) phải thay đổi chút
ít.
Nếu 1cm trên trục z ứng với a(m) thực tế, còn 1cm trên trục (z) và (z) ứng với
)m/s(
10
b
52
n

ngoài thực tế, thì số đo các đoạn MK, MN, PK trong hình vẽ là:

a
z
MK =
;
n
10
b
)z
MN
(
=
;
n
10
b
)z
PK
(
=
; (c)
còn theo cách vẽ, ta luôn luôn có:

( )
PQMNtgMK +=
(d)
Đặt (c) vào (d) ta đợc:

ì
+
=
n
10b
(z)(z)


tg
a
z


[ ]
(z)(z)
10

n
+
ì
= tg
b
a
z
(e)
So sánh (a) và (e) ta có:

2
Qtg
b
= 10
a
n
,
từ đó:

















=


=

2
2
Q
a
arctg
Q
a
tg
hay
n
n
10
b

10
b

(10-11)
Trị số a, b, n tuỳ theo khổ giấy mà chọn cho thích hợp.

Đ10-5 Cách lập đờng mặt nớc trong sông bằng tài liệu thuỷ văn
Tài liệu thuỷ văn là các đờng quan hệ lu lợng mực nớc ở các trạm đo đạc thuỷ văn
trên sông trơcs khi xây dựng công trình. Sau khi xây dựng các công trình nhỏ trên sông
(công trình giao thông, công trình chỉnh trị sông v. v ) quan hệ lu lợng và mực nớc ở
các trạm thuỷ văn phía thợng lu bị phá vỡ. Ta phải dùng phơng pháp thuỷ lực để lập
đờng mặt nớc và từ đó lập đờng quan hệ lu lợng mực nớc mới.
Trong trờng hợp này phơng trình cơ bản là phơng trình (10-4)
Z =
l
K

Q
2
2

.
Giải phơng trình này bằng cách dựa vào giả thuyết môđun sức cản không đổi trình
bày dới đây
1. Giả thuyết mô đun sức cản không đổi
Ta viết (10-4) thành:
F
K
l
Q
z
2
2
=
=

(10-12)
F xác định nh trên gọi là mô đun sức cản. Khái niệm này đợc dùng đầu tiên trong
công trình nghiên cứu của Rakhơmanốp, Sau đó đợc Pavơlôpski, Bécnátski và một số
ngời khác sử dụng trong các tác phẩm của mình.
Từ (10 12) thấy rằng cấu tạo của nó giống nh công thức tính tổn thất cột nớc
trong ống ở khu bình phơng sức cản:
2
2
2
d
QAl

K
Q
h ==
(1)
ở đây
2
K
l
=A không đổi và gọi là hệ số sức cản.
So sánh (10-12) và (1) thấy rằng: F đóng vai trò mh hệ số A. Do đó, Pavơlôpski đề
nghị gọi F là môđun sức cản.
Rakhơmanốp và Bécnátski nhận thấy rằng:
Nếu mặt cắt của lòng sông trong đoạn đang xét không thay đổi nhiều lắm, nếu độ
chênh lệch mực nớc trên đoạn đó trong trạng thái tự nhiên cũng nh trong trạng thái đợc
dâng lên không lớn lắm và không khác nhau lắm, có thể xem F không phụ thuộc vào độ
dốc của đờng mặt nớc mà chỉ phụ thuộc vào cao trình trung bình
z
mà thôi, nghĩa là:
F = f(
z
), (10-13)
ở đây
2
zz
z
dt
+
=
.
Biểu thức (10-13) nói lên rằng F chỉ thay đổi theo

z
chứ không thay đổi theo z và Q
và đó chính là nội dung của giả thuyết môđun sức cản không đổi.
Ta có thể minh hoạ giả thuyết trên nh sau:
Xét một đoạn sông thoả mãn các điều kiện đã quy định ở trên.
Giả dụ ứng với ba lu lợng Q
1
, Q
2
, Q
3
có ba đờng mặt nớc (a
1
b
1
), (a
2
b
2
),
(a
3
b
3
), và ba độ hạ mực nớc tơng ứng là: z
1
, z
2
, z
3

(h. 10-6).
Trong ba đờng mặt nớc trên, đờng (1) và (2) có chung một cao trình trung bình
z
=
1
z
=
2
z
, còn đờng thứ (3) có cao trình khác.
Thực tế quan sát ba trờng hợp trên thấy rằng:
F
1
=
2
2
2
2
2
1
t
1
Q
z
F
Q
z
F

===

còn
2
3
3
3
Q
z
F

=
có giá trị khác

z
2
2
b
b
1
2
a
1
a
1
z
2
z
=

z
3

1
z

2
z



Hình 10-6

Các nhận xét trên nói lên rằng giả thuyết (10-13) là đúng đắn
(1)
.
(1)
Cũng có thể tính F theo l và
2
K

Nếu tính
K
theo (10-5a) thì F chỉ là hàm số của
z
vì
)z(fK =
= RC
, còn nếu tính
K
theo (10-
5b) hoặc (10-5c) thì quan hệ
F = f(

z
) chỉ là gần đúng.

Tóm lại giả thuyết môđun sức cản không đổi là gần đúng; nhng trong một mức độ
chính xác cần thiết nó vẫn dùng đợc. Vả lại, sử dụng khái niệm này sẽ cho phép ta giải các
bài toán về sông thiên nhiên rất nhanh chóng và thuận lợi, nên hiện nay đang đợc sử dụng
rộng rãi.
2. Cách lập quan hệ F = f(
z
)
Muốn lập quan hệ F = f(
z
) cho một đoạn sông ta cần có tài liệu mực nớc, lu lợng
tại hai mặt cắt trên và dới của đoạn sông đó.
Có tài liệu mực nớc và lu lợng ta tìm đợc:
z
1
= zt
1
zd
1
ứng với lu lợng Q
i
.
Theo công thức (10-12) tính ra F
1
tơng ứng:

2
i

i
i
Q
z
F

=

Cũng theo tài liệu mực nớc ở hai mặt cắt đã cho, ta tính đợc cao trình mực nớc
trung bình:

2
zz
z
ii
dt
i
+
=

Có nhiều giá trị F
1
và
i
z
tơng ứng, ta vẽ đợc quan hệ F = f(
z
) (h. 10-7).
Cũng có thể lập quan hệ F = f(
z

) theo tài liệu địa hình:
Từ (10-12) ta có:
2
K
F
l
=
.
Có tài liệu địa hình và độ nhám của đoạn sông nghiên cứu, ta có thể tìm đợc
K
ứng với mỗi giá trị
z
. Cho
một loạt
z
, ta xác định một loạt F tơng ứng. Dựa vào kết quả đó, lập đợc quan hệ F = f(
z
); nhng thông
thờng ít khi lập theo tài liệu địa hình, vì phiền phức và không chính xác bằng cách lập theo tài liệu thuỷ văn.
Phơng pháp dùng tài liệu đo đạc thuỷ văn đợc xem là tốt hơn vì rằng tài liệu đó là tổng hợp của mọi nhân tố
ảnh hởng tới dòng chảy, trong đó có độ nhám là một nhân tố rất khó xác định đợc chính xác. Do đó chỉ lúc
nào không có tài liệu thuỷ văn mới phải dùng tài liệu địa hình để lập quan hệ F = f(
z
).

Đoạn I
4
z
3
z

2
z
1
z
4
Q
3
Q
2
Q
1
Q
4
F
3
F
2
F
1
F
i
z
I
II
III


Hình 10-7
Trên đây là cách lập quan hệ F = f(
z

) theo tài liệu đo đạc thuỷ văn.
3. Lập đờng mặt nớc bằng cách dựa vào quan hệ F = f(
z
).
Có nhiều phơng pháp lập đờng mặt nớc bằng cách dựa vào quan hệ F = f(
z
). ở đây
chỉ giới thiệu ba phơng pháp thờng dùng:
a) Phơng pháp của A. N. Rukhơmanốp (1930).
Cho biết z
d
; đờng quan hệ F = f(
z
), lu lợng Q. Yêu cầu tìm z
1
.
Cách tính nh sau:
Giả định z
1
,
Có z
1
ta tính đợc
2
zz
z
dt
+
=
,

Có
z
, tra quan hệ F = f(
z
), tìm ra F,
Tính z theo (10-12); z = F . Q
2
,
Có z tìm ra z
1
= z
đ
+ z.
So sánh z
1
giả định và z
1
tính toán. Nếu chúng khác nhau thì phải giả định lại z
1
.
cho hai trị số đó xấp xỉ nhau.
A . N . Rakhoemanốp là ngời đầu tiên dùng khái niệm mô đun sức cản không đổi F
để tính đờng mặt nớc, tuy cách tính của ông cha đợc hoàn hảo lắm vì còn phải tính
đúng dần.
b) Phơng pháp đồ giải của N . N . Pavơlốpski (1935).
Trên cơ sở cách tính của Rakhơmanốp, Pavơlốpski hoàn thiện cách tính đờng mặt
nớc dựa theo quan hệ F=(
z
) nh sau:
Trên hình (10-8) điểm M chỉ cao trình mực nớc của mặt cắt dới z

đ
. Giả thử đã tìm
đợc
t
z
(điểm N trên hình 10-8). Từ P là điểm biểu thị cao trình trung bình
z
, kẻ đờng
thẳng vuông góc với Oz gặp đờng f(
z
) tại T. Nối TN với TM. Gọi góc giữa MT, NT với
Oz là .
Ta xét xem góc có quan hệ với các yếu tố của dòng chảy nh thế nào.
Từ hình (10-8) ta có:
ì= PTMP
cotg = F ì cotg,
MP2zMN
==
= 2F . cotg (1)
Từ công thức (10-12) suy ra đợc:
z = F Q
2
So sánh (1) và (2) ta đợc:
Q
2
= 2cotg cotg =
2
Q
2

III
II
I
T
S
F
R
N
M
z
d
z
p
z
t I
t II
z


Z
t III
z


Hình 10-8

Từ đó:

=
=
2
2
Q
2
arctg
Q
2
tg
hay


(10-14)
Có quan hệ (10-14), việc tính toán dòng chảy trong sông rất tiện lợi.
Từ M ứng với z
d
(đã biết) kẻ một đờng làm với trục Oz một góc ; tính theo (10-
14), gặp đờng f(z) tại T. Từ T lại kẻ một đờng khác cũng hợp với Oz một góc là và gặp
Oz tại N. N sẽ cho cao trình z
t
mà ta cần tìm.
Trên đây ta trình bày cách tính cho đoạn thứ nhất, còn đoạn tiếp theo cũng tính toán
giống hệt nh vậy. Nếu lu lợng trên các đoạn sông không đổi (Q = const) thì góc của
các đoạn đó đều nh nhau nên MT và NS, NT và RS sẽ là những đoạn thẳng song song với
nhau (h. 10-8).

Cũng nh ở Đ10-3, vì tỷ xích dùng trên đồ thị khác với thực tế theo một tỷ lệ nào đó,
nên phải xửa đổi lại (10-14).
Nếu 1cm trên trục z ứng với a(m) ngoài thực tế và 1cm trên trục F ứng với
)m/s(
10
b
52
n
ta sẽ đợc:















ì
=
ì
=
b
10a

Q
2
arctg
b
10a
Q
2
tg
hay
n
2
n
2


(10-15)
Ngoài phơng pháp đồ giải vừa trình bày, Pavơlôpski còn đa ra một phơng pháp nữa
gọi là phơng pháp nửa đồ giải, nửa giải tích ; nhng không tiện lợi lắm.
c) Phơng pháp của N. M. Bécnatski (1933)
Gọi là hàm số ngịch đảo của F:
=
z
Q
)z(
)z(f
1
F
1
2
===

. (10-16)
Đờng biểu diễn của
)z(
nh trên hình (10-9)
K
P
N
R
M
z
S
z
t
z
p
z
d


(z)

(Q)

Hình 10-9
Tại M và N là hai điểm ứng với mực nớc z
d
và z
t
, kẻ hai đờng vuông góc với Oz,
chúng gặp đờng

)z(
tại P và K.
Tại R ứng với z ta kẻ RS ì
RS
=
)
z(
.
Diện tích hình thang cong MNKP có thể tính gần đúng bằng:
=
MN
ì
RS
= z ì
)
z
(

= z ì
z
Q
2

=Q
2
(a)
Mặt khác, ta biết là tích phân định hạn của
)z(
d
)z(

:
=
)z()z(zd
dt
z
z
t
d
)z( =

(b)
ở đây:
Czd)z( +=

)z(
(10-17)
So sánh (a) và (b) ta có:
Q
2
= (z
t
) (z
d
) = (z + z) (z). (10-18)
Từ (10-18) ta thấy rằng, nếu có đờng quan hệ
)z(
thì có thể tính một cách dễ dàng
các vấn đề sau:
- Nếu biết z
t

và z
d
thì có thể tìm đợc Q tơng ứng (h. 10-10a)
- Nếu biết Q và z
d
thì cũng có thể tìm đợc z
t
tơng ứng (h. 10-10b)

(z)
(z)

(z)

(z)

z
z
z
z
z

z+
z

z+
2
Q
Q
2

Hình 10-10: Đồ thị biểu diễn quan hệ giữa
z
và

)z(
.

Đờng quan hệ
)z(
xác định nh trên gọi là đờng cong chuẩn.
Chú ý rằng theo (10-17) hàm số
)z(
có một hằng số cộng C tuỳ ý, do đó vị trí đờng

)z(
theo trục hoành không cần xác định cụ thể mà có thể đặt ở đâu cũng đợc.
Vấn đề còn lại là tìm cách lập đờng cong chuẩn
)z
(
.
Có hai cách lập đờng
)z
(
, ở đây trình bày một trong hai cách đó.
Lấy một trong các đoạn sông đã đợc chia ra để xét. Tại hai mặt cắt trên và dới của
đoạn đo đã có quan hệ Q = Q(z) nh trên hình (10-11a).
Từ một giá trị lu lợng Q1 bất kỳ kẻ đờng thẳng đứng gặp hai đờng Q(z) của hai
mặt cắt tại các điểm 1 và 2 ứng với z

d
= z
t
và z
t
= z
2
. Mỗi giá trị z này sẽ có một giá trị
(z) tơng ứng: ( z
1
) và ( z
2
). Theo (10-18) ta có:
(z
2
) - (z
1
) =
2
1
Q

Vậy trên hệ toạ độ
)z(
~
z
(h. 10-11b) ta lấy điểm M1 có tung độ z = z
i
và hoành độ
(z

1
) là một số tuỳ ý C. Lấy đoạn
2
1
'
11
QMM
=
ta đợc điểm M
1
. Từ M
1
dóng lên gặp
đờng kẻ từ z = z
2
tại M
2
.
(z)

Q
Z
Z
z
4
z
3
z
2
z

1
Q
3
M
4
M
3
M
2
M
1
3
'
M
Q
2
3
M
'
2
Q
2
2
M
'
1
Q
2
1
2

Q
1
Q
4
3
2
(t)
(d)
3
'
2
'
1
'

Hình 10-11
M
1
, M
2
sẽ là hai điểm của đờng cong chuẩn; vì rằng hai điểm đó có
)z(
thoả mãn
hệ thức (10-18).
Tiếp tục xác định các điểm khác của đờng cong chuẩn. Để tiện lợi ta lấy giá trị lu
lợng Q
2
trên trục hoành của hình (10-11a) sao cho z
d
= z

2
(giá trị z
2
đã xác định lúc lấy
Q
1
).
Từ M
2
trên (10-11b) lấy
2
2
'
2
2
QMM =
ta đợc điểm M
2
. Từ M
2
dóng lên gặp
đờng kẻ từ z = z
3
tại M
3
.
Ta có (z
3
) - (z
2

) =
2
2
Q
vậy M
2
, M
3
là hai điểm của đờng cong chuẩn.
Cứ thế lần lợt xác định đợc các điểm khác: M
4
, M
5
, M
6
của đờng
)z(
. Nối các
điểm M
i
ta đợc đờng cong chuẩn của đoạn đã cho. Chú ý rằng mỗi đoạn (bao gồm hai
mặt cắt) mới có một đờng cong chuẩn và các đoạn khác nhau có các đờng cong chuẩn
khác nhau.
Sau khi vẽ tất cả các đờng cong chuẩn của các đoạn lên cùng một biểu đồ thì việc tìm
nghiệm của bài toán rất đơn giản. Từ z
1

đã biết, tiến hành đồ giải nh hình mũi tên trên
hình (10-12), sẽ đợc cao trình mực nớc của tất cả các mặt cắt còn lại z
2

z
3
z
4
v. v

z
6
z
5
z
4
z
3
z
2
z
1
2
5-6
Q
4-5
Q
2
3-4
Q
2
2-3
Q
2

1-2
Q
2
V
IV
III
II
Đoạn I

(z)
Z

Hình 10-12

Đ10-6 Tính toán sông có bãi và đoạn sông rẽ dòng
1. Tính đoạn sông có bãi
Tại đoạn sông có bãi, vì mặt cắt phức tạp nên cần chia mặt cắt sông ra thành phần
dòng chính và phần các bãi (h. 10-13). Để đơn giản và một cách gần đúng ta cho rằng phần
lu lợng chảy trên bãi Q
b
và lu lợng chảy trong dòng chính Q
c
là riêng biệt (thực tế do
ảnh hởng lu tốc hớng ngang nên giữa hai phần đó vẫn có liên hệ với nhau). Ta có tổng
lu lợng là:
Q = Q
b
+ Q
c
.

A
A
B
B
a
b
a
b
bãi
bãi
dòng chính


Hình 10 13
Viết phơng trình (10-4) cho dòng chảy chính và dòng chảy trên bãi:
z
c
=
c
c
c
cc
2
c
2
c
l
z
K

Ql

K
Q
=


z
b
=
b
b
bbb
2
b
2
b
l
z
KQl
K
Q



=

Cho rằng chênh lệch mực nớc ở hai đầu đoạn sông, trên dòng chính cũng nh bãi là
bằng nhau:
z

c
= z
b
= z,
và cho rằng chiều dài dòng chính cũng bằng chiều dài dòng chảy trên bãi:
l
c
= l
b
= l,
ta có:
Q = Q
c
+ Q
b
=
l
z
K
l
z
K
bc




+
,
Q =

(
)
l
z
K
l
z
K
K
b
c




=+
,
hay z =
l
K
Q
2
2



nghĩa là ta lại có dạng tổng quát (10-4), nhng ở đây:

bc
K

K
K +
=
. (10-19)
Do đó, tính cho đoạn sông có bãi cũng nh cho đoạn sông đơn, chỉ khác là phải tính
K
theo (10-19).
Cuối cùng cần chú ý rằng tính đoạn sông có bãi không nên dùng giả thuyết môđun
sức cản không đổi vì rằng ở đây mặt cắt dòng sông khá phức tạp nên giả thuyết trên không
còn là gần đúng nữa.
2. Tính đoạn sông rẽ dòng
Xét đoạn sông rẽ dòng có hai nhánh: phải và trái (h. 10-14). Lu lợng Q bằng tổng
lu lợng nhánh trái Q
t
và lu lợng nhánh phải Qp.
Q = Q
t
+ Q
p
. (10-20)
áp dụng công thức (10-4) cho từng nhánh, ta đợc:








=

=
,l
K
Q
z
,l
K
Q
z
t
2
t
2
t
t
p
2
p
2
p
p



(10-21)

t
l
p
l

2
2
b
b
d
d
A
B
1
1
a
aQ
Q
t
Q
p
A- B


Hình 10-14
Nếu đoạn rẽ dòng không dài lắm, ta lấy các đoạn sông rẽ dòng từ mặt cắt (1-1) đến
mặt cắt (2-2) làm một đoạn tính toán.
Vậy:
z
p
= z
t
= z = z
1
z

2
.
Thay vào công thức (10-21) ta đợc:
Qp =
p
p
l
z
K


,
Qt =
t
t
l
z
K


,
Vậy: Q = Q
p
+ Q
t
=
z
l
K
l

K
t
t
p
p










+
.
Để đa về dạng tổng quát (10-4), có thể viết công thức trên thành:
Q =
pt
p
tp
l
z
l
l
KK

+
,
Q =
p
l
z
K



hay: z =
p
2
2
l
K
Q


ở đây:
t

p
tp
l
l
KKK


+=
. (10-22)
Do đó tính đoạn sông rẽ dòng không dài lắm thì cũng nh tính cho đoạn sông đơn,
nhng phải tính
K
theo (10-22) và chiều dài tính toán tơng ứng l
p
.
Nếu hai nhánh đều dài và điều kiện thuỷ lực ở đó phức tạp thì trong mỗi nhánh cần
chia ra nhiều đoạn nhỏ, thí dụ bằng các mặt cắt (a-a), (b-b), (c-c), v. v nh ở hình (10-14).
Mỗi đoạn nhỏ của các nhánh đều phải thoả mãn phơng trình (10-21), còn tổng độ
chênh mực nớc của các đoạn đó trong cả hai nhánh phải bằng nhau nghĩa là:


==
=
m
1k
t
n
1i
p
ki

zz
= z. (10-23)
Bằng cách giải đúng dần hệ phơng trình (10-20) và (10-23) sẽ tìm đợc z, Q
p
và Q
t
.
Cách tính là tự cho Q
p
và Q
t
phù hợp với (10-20) xong tính riêng cho từng đoạn của
mỗi nhánh theo (10-21), ta sẽ đợc z
pi
và z
tk
. Nếu tự cho Q
p
, Q
t
đúng thì z
pi
và
z
tk
sẽ thoả mãn (10-23). Nếu không, phải tự cho Q
p
, Q
t
các giá trị khác rồi tính lại nh

trên cho tới khi (10-23) đợc thoả mãn.

Đ10.6 Độ dốc hớng ngang của sông, hiện tợng chảy vòng
Từ trớc tới nay ta chỉ mới xét tới độ dốc của đờng mặt nớc J nghĩa là chỉ mới xét
theo mặt cắt dọc, còn trên mặt cắt ngang đờng mặt nớc coi nh nằm ngang.
ở những đoạn sông cong, do tác động của lực quán tính ly tâm, mặt nớc hớng ngang
không phải nằm ngang mà có một độ dốc nhất định, ta gọi là độ dốc hớng ngang J
n
.
Có nhiều cách xét vấn đề này, ở đây ta dùng phơng pháp tĩnh học.
Xét một đoạn sông cong có bán kính cong trung bình là R
o
(h. 10-15). Lấy một hệ trục
toạ độ (zor) gắn liền vào dòng chảy. Nh vậy đây là trờng hợp tĩnh tơng đối nên có thể
dùng các nguyên lý về thuỷ tĩnh để xét.
Tìm phơng trình mặt thoáng của mặt cắt ngang tại chỗ sông cong bằng cách dùng
phơng trình (2-14):
F
x
dx + F
y
dy + F
z
dz = 0 (1)
Theo cách chọn trục ở trên, phơng trình (1) sẽ là:
F
r
dr + F
z
dz = 0, (2)

ở đây: F
r
=
r
r
u
2
=
2

,
F
z
= g.
(u và là vận tốc dài và vận tốc góc của hạt chất lỏng ta xét).
Vậy (2) sẽ là:

2
. rdr gdz = 0 (3)
Từ (3) ta có: dz =
rdr
g

2

.
Tích phân từ bờ lồi (điểm A) có z = z
1
, r = R
1

đến điểm M nào đó nằm trên mặt thoáng
có z, r ta có:


=
r
R
z
z
11
rdr
g
dz
2






B
0
R
2
z
2
z

z
1

F
r
r
A
M
g
y
=
2
r
u

max
z
r
z




R
1
R
2
R
0
v
0
F
r

r
u
=
2
r
u
0


Hình 10-15
Một cách gần đúng coi
2
là hằng số và bằng trị số trung bình của nó (
0
.
2

) sau khi
lấy tích phân ta đợc:
(1)

z - z
1
=
0
.
)Rr
(
g
2

2
1
2

2

. (10-24)
(1)
Một cách gần đúng coi lu tốc trên toàn mặt cắt là nh nhau và lấy u
2
bằng giá trị trung bình cuả nó.

u
2

=
2
o
v

thì (2) sẽ là:
0gdzdr
2
o
=

r
v

Sau khi tích phân ta đợc:

z - z
1
=
1
2
o
R
r
ln
g
v
.
Vậy phơng trình mặt thoáng của mặt cắt ngang tại chỗ sông cong là phơng trình dạng loga.

ở đây:
2
1
o
2
1
o
o
o
R
R
v2
2
R
R
v

R
v
+
=
+
=
=
(10-25)
v
0
là lu tốc trung bình của toàn mặt cắt,

0
là hệ số hiệu chỉnh do thay
2
bằng
2

(
0
> 1).
Đó là phơng trình của đờng mặt nớc hớng ngang, là phơng trình của đờng cong
parabôn bậc hai.
Đặt (10-25) vào (10-24), ta đợc:
z - z
1
=
2
21
2

1
2
2
oo
)RR(g
)R
r
(v
2
+


(10-26)
Để tính độ chênh mực nớc ở hai bờ, thay r = R
2
, z = z
2
vào (10-24) hoặc (10-26), ta
đợc:
z
max
= z
2
- z
1
=
g2
)RR
(
2

1
2
2o


2

(10-27)
hay: z
max
= z
2
- z
1
=
2
21
2
1
2
2
2
oo
)RR(g
)RR(v2
+


=
)

R
R(
g
)RR
(
v2
21
12
2
oo
+




z
max
=
o
o
2
oo
gR
Bv
. (10-28)
ở đây: B
0
là chiều rộng mặt thoáng, B
0
= R

2
- R
1
.
Độ dốc hớng ngang trung bình J
n
là:
J
n
=
o
2
oo
o
max
gR
v
B
z
=

(10-29)

0
có thể tính theo công thức sau:

0
= 1 +
2
C4,0

g
ì
, (10-30)
C hệ số Sedi.
Độ chênh mực nớc hớng ngang thực tế rất bé và không đáng kể vì nhiều khi giá trị
của z tính ra nằm trong phạm vi sai số cho phép của đo đạc thuỷ văn. Vì vậy lúc lập
đờng mặt nớc trong sông ta bỏ qua vấn đề này và xem mặt nớc trên mỗi mặt cắt là nằm
ngang. Nhng vấn đề này lại quan trọng ở chỗ, dới tác dụng của lực quán tính ly tâm,
trong dòng chảy ngoài lu tốc hớng dọc u
x
, còn phát sinh lu tốc hớng ngang u
y
chảy
thẳng góc với trục dòng chính. Hiện tợng này gọi là chảy vòng.
Dới tác dụng của tổng hợp lu tốc u
x
, u
y
sẽ có một dòng chảy xoắn ở đoạn sông cong
(h. 10-16).
Hình (10-16a) biểu thị dòng chảy chỉ có riêng lu tốc hớng dọc u
x
.
Hình (10-16b) là lúc dòng chảy chỉ có riêng lu tốc hớng ngang u
y
. Phía trên mặt u
y

theo hớng của lực ly tâm, phía dới u
y

theo hớng (ngợc lại
(1)
).
Hình (10-16c) là hình ảnh dòng chảy xoắn do tổng hợp của lu tốc u
x
, u
y
(Đờng nét
là lu tốc trên mặt, đờng đứt đoạn là lu tốc dới đáy).
Lu tốc hớng ngang nói chung rất bé, không đáng kể, nhng chính là nguyên nhân
sinh ra bồi xói ở các đoạn sông cong.
Hiện tợng chảy vòng không phải chỉ có ở đoạn sông cong mà ở đoạn sông thẳng cũng
có. ở đoạn sông cong thì do lực quán tính ly tâm là chủ yếu, còn ở đoạn sông thẳng thì do
lực quán tính côriôlít. Lực côriôlít sẽ xuất hiện khi có chuyển động tơng đối trên chuyển
động theo, mà chuyển động theo đó không phải là chuyển động tịnh tiến.
Vì dòng chảy trong sông là một chuyển động tơng đối so với trái đất, trong khi đó
trái đất có chuyển động theo là chuyển động quay xung quanh mình nó nên có lực côriôlít
tác dụng vào dòng chảy.
a)
b)
c)
u
y
u
x
u
x
F
rđ
F

r

m
2
x
v
r
=
n
F

z

z

z
z..
rđ
F


Hình 10-16
(1)
Để xác định hớng chảy của lu tốc hớng ngang u
y
, viết phơng trình động lực theo hớng ngang. Sơ đồ
phân bố lực trình bày ở hình (10-16).