giáo trình toán cao cấp a3

Chương 1
S
Ố PHỨC
I. Đ
ỊNH NGHĨA TẬP HỢ
P S
Ố PHỨC V
À CÁC PHÉ
P
TOÁN:
T
ập hợp các số phức , đ
ư
ợc ký hiệu l
à
C
, đư
ợc định nghĩa bởi tập
h
ợp.
v
ới 2 phép t
oán c
ộng (+) v
à nhân (.) như sau:
Phép c
ộng (+) :
(a,b) + (c,d)= (a+c,b+d)
Phép nhân (.):
(a,b) . (c,d) = (ac

-
bd, ad+bc)
Như v
ậy mỗi số phức Z theo định nghĩa l
à m
ột cặp gồm 2 số thực a
và b :
Z = (a,b)
a đư
ợc gọi l
à ph
ần thực của số phức Z, ký hiệu l
à Re(z); b đư
ợc gọi
là ph
ần ảo của Z, kí
hi
ệu l
à Im(z).
Ví d
ụ
: s
ố phức z = (
-
2,3) có Re(z) =
-
2 và Im(z) = 3
Các phép toán c
ộng (+) v
à nhân (.) các s

ố phức đ
ư
ợc định nghĩa ở
trên có các tính ch
ất sau đây:
(tính giao hoán c
ủa phép cộng số phức)
(tính k
ết hợp của phép cộng)
(iii)
Đ
ặt O=(0,0). Ta có:
(iv)
V
ới z = (a,b), đặt
–
z = (
-
a,
-
b) . Ta có: z + (
-
z) = 09;
(Tính giao hoán cu
ả phép nhân)
(Tính k
ết hợp của phép
nhân)
(viii)
t

ồn tại số phức nghịch đảo,
ký hi
ệu l
à: z
-
1
, sao cho
z.z
-
1
= (1,0).
N
ếu z = (a,b) th
ì
(Tính phân ph
ối của phép nhân đối với phép cộng)
Lưu
ý
:V
ề mặt cấu trúc đại số , tập số phức
C
v
ới các phép t
oán
(+) và nhân (.) đư
ợc định nghĩa ở tr
ên đư
ợc gọi l
à "trư
ờng số phức"

V
ới u = (a,b) v
à v = (c,d )
≠ 0, ta đ
ịnh nghĩa phép chia số phức nh
ư
sau:
II. D
ẠNG ĐẠI SỐ CỦA
S
Ố PHỨC :
Xét các s
ố phức có dạng (a , 0) với
ta nh
ận thấy:
(a , 0) + (b , 0) = (a + b , 0)
(a , 0) . (b , 0) = (a . b , 0)
Như v
ậy, những số phức có dạng (a , 0) đ
ư
ợc cộng v
à nhân gi
ống
như nh
ững số thực t
ương
ứng đối với phần thực của số phức. Do đó
ta có th
ể đồng nhất số phức (a,0) với số thực a, v
à nói riêng (0,0)

đư
ợc đồng nhất với 0 , (1,0) đ
ư
ợc đồng nhất với 1. Sự đồng nhất
n
ày cho phép ta xem t
ập hợp các số thực
R
bao hàm trong
C
:
Đ
ặt: i = (0 , 1), ta có:
i
2
= (0 , 1) . (0 , 1) = (
-
1 , 0) =
-
1
V
ậy i l
à m
ột nghiệm của ph
ương tr
ình z
2
+ 1= 0.
V
ới

, ta có:
z = (a,b) = (a ,0) + (b ,0) . (0 ,1) = a + b . i
Đ
ịnh lý:
M
ỗi số phức z = (a,b) đ
ư
ợc viết một cách duy nhất d
ư
ới
d
ạ
ng z = a+b.i v
ới a,b

R
. Cách vi
ết z = (a ,b) d
ư
ới dạng z = a +
b.i đư
ợc gọi l
à d
ạng đại số của số phức z, v
à s
ố phức
đư
ợc gọi l
à s
ố phức li

ên h
ợp c
ủa z. Ngo
ài ra, kí hi
ệu :
đư
ợc gọi l
à môđun c
ủa số phức z. Dễ thấy rằng
và
.
Hơn n
ữa, ta có:
M
ệnh đề:
v
ới mọi
ta có:
(vi) v
≠ 0 th
ì
(B
ất đẳng thức tam giác)
III. D
ẠNG L
Ư
ỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
M
ỗi số phức z = (a,b) có thể đ
ư

ợc biểu diễn h
ình h
ọc bởi một điểm
trong m
ặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b). Gọi r l
à kho
ảng cách từ điểm
Z(a,b) đ
ến gốc O v
à

là góc h
ợp bởi Ox v
à
, ta có:
V
ậy với mọi số phức z = (a,b) ≠ 0 đều có thể viết d
ư
ới dạng:
V
ới r > 0. Cách viết n
ày đư
ợc gọi l
à d
ạng l
ư
ợng giác của số phức z,
góc
θ
đư

ợc ký hiệu
là
arg(z)
.
Lưu
ý r
ằng
θ c
ó th
ể lấy nhiều giá trị khác nhau v
à các giá tr
ị n
ày sai
khác nhau m
ột số nguy
ên l
ần
.N
ếu
θ l
à m
ột giá trị trong các giá
tr
ị
này thì ta vi
ết:
Ví d
ụ:
2) Tìm d
ạng l

ư
ợng giác của số phức
Ta có:
.
Tính arg(z) t
ừ hệ ph
ương tr
ình v
ới ẩn
Đư
ợc
.
V
ậy:
IV. L
ŨY THỪA SỐ PHỨC
, CÔNG TH
ỨC MOIVRE:
Xét 2 s
ố phức ≠ 0 ở dạng l
ư
ợng giác:
Ta có:
T
ức l
à:
T
ừ đó suy ra công thức:
Công th
ức n

ày đư
ợc gọi l
à công th
ức Moivre
Ví d
ụ:
Tí
nh (1 + i )
2001
V. CĂN C
ỦA SỐ PHỨC:
Đ
ịnh n
gh
ĩa
: Cho s
ố phức u v
à n là s
ố nguy
ên dương. Căn b
ậc n
c
ủa u l
à t
ập hợp tất cả các số phức z thỏa ph
ương tr
ình: z
n
= u
Nh

ận thấy rằng căn bậc n của 0 l
à {0}.Ta ch
ỉ cần tính căn bậc n của
n v
ới u ≠ 0. Viết u d
ư
ới dạng l
ư
ợng giác:
Ta s
ẽ t
ìm s
ố phức z ở dạng l
ư
ợng giác
Th
ỏa:
V
ậy căn bặc n của
là:
Có th
ể thấy rằng tập hợp n
ày g
ồm n số phức khác nhau đôi một
ứng với k = 0,1,……,
n
-
1
Theo tính toán
ở tr

ên, v
ới
thì ph
ương tr
ình z
n
= u có n nghi
ệm
ph
ức phân biệt. Tổng quát h
ơn, ta có đ
ịnh lý sau đây:
Đ
ịnh lý
: (Đ
ịnh lý căn bản của đại số)
M
ọi đa thức bậc lớn h
ơn ho
ặc bằng 1 với hệ số phức đều có
nghi
ệm phức.
BÀI T
ẬP
CH
ƯƠ
NG 1
Bài 1.
Th
ực hiện các phép toán số phức

a)
b)
c)
Bài 2.
Tìm các s
ố thực x , y thỏa :
(3 + 2.i).x + (1 + 3.i).y = 4
–
3.y
Bài 3.
Tính:
a)
b)
b)
d)
Bài 4.
Gi
ải ph
ương tr
ình trên
C
: (
ẩn z)
a)z
2
–
5.z + 4 + 10.i = 0
b)z
2
+ (2.i

-
7).z + 13
–
i = 0
Bài 5.
Tính căn b
ậc 3 cuả số phức:
a) 1 + i
b) 2
–
2.i
c
)
Chương 2 M
A TR
Ậ
N V
À
H
Ệ
PH
ƯƠ
NG TR
Ì
NH
TUY
Ế
N T
Í
NH

I. MA TR
ẬN CÁC PHÉP
TOÁN:
Trong ph
ần n
ày ta ký hi
ệu K l
à
Q
,
R
ho
ặc
C
1. Khái ni
ệm:
Đ
ịnh nghĩa:
M
ột ma trận cấp m x n tr
ên K là m
ột bảng gồm m x
n ph
ần tử trong K đ
ư
ợc viết th
ành m dòng và n c
ột nh
ư sau:
Trong đó

là ph
ần tử ở vị trí d
òng i, c
ột j của ma trận A (c
òn
g
ọi l
à v
ị trí (i,j)).
Đôi khi ma tr
ận A đ
ư
ợc viết ngắn gọn l
à A=(a
i j
).
T
ập hợp tất cả các ma trận cấp m x n tr
ên K đư
ợc ký hiệu l
à M
m x
n
(K), hay v
ắn tắt l
à M
m x n
.
Ví d
ụ

V
ới
N
ếu m = n th
ì ma tr
ận A có cấp m x n
đư
ợc gọi l
à ma tr
ận vuông
c
ấp n .Khi đó đ
ư
ờng chứa các phần tử a
11
, a
22
, . . ,a
nn
đư
ợc gọi l
à
đư
ờng chéo chính (hay đ
ư
ờng chéo) cuả ma trận A. Tập hợp tất cả
các ma tr
ận vuông cấp n tr
ên K đư
ợc ký hiệu l

à M
n
(K) hay v
ắn tắt
là M
n
.
Ma tr
ận cấp mxn m
à t
ất c
ả các phần tử đều bằng 0 đ
ư
ợc gọi l
à ma
tr
ận zero, ký hiệu l
à O
mxn
(hay v
ắn tắt l
à O).
Đ
ịnh nghĩa:
(Các ma tr
ận vuông đặc biệt )
Cho A= (a
ij
) là m
ột ma

tr
ận vuông cấp n.
(i) Ta nói A là ma tr
ận chéo khi a
ij
= 0

i
≠ j ,nghi
ã là t
ất cả các
ph
ần tử ở b
ên ngoài đư
ờng chéo cuả A đều bằng 0.
(ii) N
ếu a
ij
= 0

i >j (ngh
ĩa l
à m
ọi phần tử ở phía d
ư
ới đ
ư
ờng chéo
đ
ều l

à 0) thì A
đư
ợc gọi l
à ma tr
ận tam giác tr
ên
. N
ếu a
ij
= 0,

i <j
thì A
đư
ợc gọi l
à ma tr
ận tam giác d
ư
ới .Ta gọi chung ma trận tam
giác trên hay tam giác dư
ới l
à ma tr
ận tam giác.
Ví d
ụ
: V
ới
ta có A là ma tr
ận chéo ,B l
à ma tr

ận tam giác tr
ên,C là ma tr
ận tam
giác dư
ới.
Ma tr
ận chéo cấp n m
à t
ất cả các phần tử tr
ên đư
ờng chéo đều l
à
1 đư
ợc gọi l
à ma tr
ận đ
ơn v
ị, ký hiệu l
à I
n
(hay v
ắn tắt l
à I).
2. Các phép toán ma tr
ận:
Trong m
ục n
ày s
ẽ định nghĩa các phép toán ma trận v
à phát bi

ểu
(không ch
ứng minh) các tính chất của phép toán.
S
ự bằng nhau:
Hai ma tr
ận A = (a
ij
) và B = (b
ij
) có c
ấp
đư
ợc nói l
à b
ằng nhau khi a
ij
= b
ij
,

i,j. Khi đó ta vi
ết: A=B.
Phép c
ộng ma trận:
Cho A, B

M
m x n
(K), v

ới A = (a
ij
) và B= (b
ij
). T
ổng của hai ma
tr
ận A v
à B đư
ợc định nghĩa bởi:
A + B = (a
ij
+ b
ij
)
Ví d
ụ
:
Tính ch
ất:
V
ới mọi
(i)
A + B = B + A
(ii)
( A + B ) + C = A + ( B + C )
(iii)
A + 0 = A
(iv)
N

ếu A = (a
ij
) và đ
ặt
–
A = (
-
a
ij
) thì ta có:
A + (
-
A) = (
-
A) +A = 0
T
ổng A + (
-
B) đư
ợc viết bởi A
-
B
Phép nhân m
ột số với ma trận
:
Cho A = (a
ij
) và



K. Phép
nhân

v
ới A đ
ư
ợc định nghĩa bởi:

. A = (

. a
ij
)
Ví d
ụ:
Tính ch
ất
: Cho

,


K và A,B

M
m x n
(K). Ta có:
(i)
(


.

) . A =

. (

. A)
(ii)
(

+

) . A =

. A +

. A
(iii)

. (A + B
) =

. A +

. B
Phép nhân 2 ma tr
ận:
Cho A = (a
ij
)


M
m x n
(K) và B

M
n x p
(K). Tích c
ủa hai ma trận A
và B, ký hi
ệu A . B, l
à m
ột ma trận C = (c
ij
)

M
m x p
(K) đư
ợc xác
đ
ịnh bởi :
Lưu
ý:
Ph
ần tử c
ij
c
ủa ma trận tích đ
ư

ợc tính từ các phần tử ở d
òng
i c
ủa A v
à các ph
ần tử cột j của B. Ta th
ư
ờng nó
i c
ij
b
ằng d
òng i
c
ủa A nhân với cột j của B. Phép nhân ma trận không có tính giao
hoán.
Ví d
ụ
:
Tính ch
ất:
V
ới A, B, C, t
ùy ý (sao cho phép toán có ngh
ĩa) ta có:
(i)
A .( B . C ) = (A . B) .C
(i
i)
A . 0 = 0 , 0 . B = 0

(iii) A . I = A , I . B = B.
(iv) A . ( B

C ) = A . B

A . C
(v) ( B

C ) . A = B . A

C . A
(vi)

. ( A . B ) = (

. A ).B = A.(

. B ),



k
Lu
ỹ thừa ma trận.
Cho A là m
ột ma trận vuông cấp n v
à m

N
. Ta g

ọi luỹ thừa m
cu
ả A l
à ma tr
ận cấp n, ký hiệu A
m
, đư
ợc định nghĩa nh
ư sau:
A
0
= I , A
1
= A , A
2
= A
.
A , … , A
m
= A
m
-
1
.A
Ví d
ụ
:
thì
và
.

T
a có
và
Tính ch
ất:
(i)
0
m
= 0,

m

1
(ii)
I
m
= I ,

m

N
(iii) A
m
. A
k
= A
m+k
(iv) (A
m
)

k
= A
m.k
M
ệnh đề
: Gi
ả sử A v
à B là các ma tr
ận vuông giao hoán với
nhau, ngh
ĩa l
à A.B = B.A. Khi đó :
(i)
(A.B)
m
= A
m
.B
m
(ii)
A
m
-
B
m
= (A
–
B) (A
m
-

1
+ A
m
-
2
. B + …+ B
m
-
1
)
(iii) (A + B)
m
=
Trong đó
Phép chuy
ển vị ma trận:
Cho A = (a
ij
)

M
m x n
(K). Chuy
ển vị của ma trận A l
à m
ột ma trận
(b
ij
)


M
m x n
(K) sao cho:
b
ij
= a
ij
,

i,j
Ký hi
ệu ma trận chuyển vị trí của A l
à A
t
Ví d
ụ
:
thì
Tính ch
ất:
(i)
(A
t
)
t
= A
(ii)
A
t
= B

t

A = B
(iii) (A + B)
t
= A
t
+ B
t
(iv) (AB)
t
= B
t
. A
t
3. Các phép bi
ến đổi s
ơ c
ấp:
Trong m
ục n
ày đ
ề cập
đ
ến các biến đổi tr
ên ma tr
ận đ
ư
ợc gọi l
à các

phép bi
ến đổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng. Ta c
ũng n
êu lên m
ột số dạng ma
tr
ận đặc biệt v
à đ
ịnh nghĩa khái niệm hạng của ma trận.
Đ
ịnh nghĩa:
(Các phép bi
ến đổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng)
Cho ma tr
ận A

M
m x n
(K). M
ột phép biến đổi e tr
ên ma tr
ận A để
đư
ợc ma trận A’, ký hiệu

, đư
ợc gọi l
à m
ột phép biến
đ
ổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng n
ếu phép biến đổi e thuộc 3 loại sau đây:
Lo
ại 1: Hoán vị 2 d
òng r và s. Ta vi
ết:
Lo
ại 2: Nhân d
òng r v
ới một số
. Ta vi
ết:
Lo
ại 3: Thay d
òng r b
ởi (d
òng r + c . dòng s) v
ới
.Ta
thư
ờng nói l
à l

ấy d
òng r c
ộng c
l
ần d
òng s, và vi
ết:
Ví d
ụ
:
Lưu
ý:
N
ếu e l
à m
ột phép biến đổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng thì có phép
bi
ến đổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng e’cùng lo
ại với e sao cho:

Đ
ịnh nghĩa:
(S
ự t

ương đương d
òng)
Ta nói ma tr
ận A l
à tương đương d
òng v
ới ma trận B khi B có đ
ư
ợc
t
ừ A bằng một số hữu hạn phép biến đổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng:
Kí hi
ệu: A

B.
M
ệnh đề:
Quan h
ệ t
ương đương d
òng có các tính ch
ất sau đây:
(i)
A

A (tính ph
ản xạ)

(ii)
N
ếu A

B thì B

A (tính đ
ối xứng)
(iii) N
ếu A ~ B v
à B

C thì A

C (tính b
ắc cầu)
Chú ý:
Ta c
ũng có định nghĩa các phép biến đổi s
ơ c
ấp tr
ên c
ột
tương t
ự nh
ư đ
ịnh nghĩa các phép biến đổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng.

Ví d
ụ:
V
ậy: A

R
Đ
ịnh nghĩa:
(ma tr
ận s
ơ c
ấp)
M
ột ma trận vuông S đ
ư
ợc gọi l
à ma tr
ận s
ơ c
ấp khi có một phép
bi
ến đổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng e sao cho
. Khi
đó ta vi
ết :
S = e(I)
Ví d

ụ
: Các ma tr
ận:
là các ma tr
ận s
ơ c
ấp v
ì:
M
ệnh đề:
Gi
ả sử A

Mm
x n
(K) ; e là m
ột phép bí
ên đ
ổi s
ơ c
ấp
trên dòng. Khi
đó, n
ếu đặt
thì ta có: A’= S.A
H
ệ quả:
Cho A, B

Mm

x n
(K). Khi đó A

B khi và ch
ỉ khi
t
ồn
t
ại các ma trận s
ơ c
ấp S
1
, S
2
,… , Sk
c
ấp m sao cho B=S
k
… S
2.
S
1.
A.
Ch
ứng minh hệ quả:
Do A

B nên có phép bíên đ
ổi s
ơ c

ấp tr
ên dòng e
1
, e
2
, …,e
k
sao
cho:
Đ
ặt S
1
= e
1
(I) , S
2
= e
2
(I) ,…., S
k
= e
k
(I). Theo m
ệnh đề tr
ên ta có:
A
1
= S
1
.A , A

2
= S
2
. A
1 ,…
,
A
k
= S
k
. A
k
-
1
Suy ra: B = S
k
…… S
2
S
1
.A
Đ
ịnh nghĩa:
(ma tr
ận bậc thang rút gọn)
M
ột ma trận R

M
m xn

(K) đư
ợc gọi l
à có d
ạng bậc thang rút gọn
(hay rút g
ọn theo d
òng t
ừng bậc) nếu có các điều kiện sau đây:
(i)
Các dòng zero (n
ếu có) phải ở b
ên dư
ới các d
òng khác
zero (n
ếu có)
(ii)
Ph
ần tử
đ
ầu ti
ên khác 0 trên các dòng khác zero (n
ếu
có) là s
ố 1, gọi l
à s
ố 1 chuẩn, v
à trên c
ột của số 1 chuẩn th
ì

t
ất cả các phần tử khác l
à 0
(iii) N
ếu r l
à s
ố d
òng khác zero và s
ố 1 chuẩn của d
òng th
ứ
i (i=1,….,r) n
ằm tr
ên c
ột k
i
thì:
k
1
< k
2
<…….<k
r
.
Các c
ột k
1
, k
2
, ….,k

r
đư
ợc gọi l
à các c
ột chuẩn cấp m.
Ví d
ụ:
là ma tr
ận bậc thang rút gọn v
à các c
ột
chu
ẩn cấp 3 trong R l
à:
Đ
ịnh lý:
M
ọi ma trận đều t
ương đương d
òng v
ới một ma trận có
d
ạng bậc thang rút gọn duy nhất.
Ký hi
ệu ma trận bậc thang rút gọn t
ương đương d
òng v
ới ma trận
A là R
A

( hay v
ắn tắt l
à R n
ếu không có g
ì nh
ầm lẫn).
Ví d
ụ
: Tìm R
A
v
ới
Ta có
R là ma tr
ận dạng bậc thang rút gọn của A.
Đ
ịnh nghĩa
(h
ạng của ma trận )
Cho A là m
ột ma trận. Số d
òng khác zero c
ủa ma trận dạng bậc
thang rút g
ọn củ
a A đư
ợc gọi l
à h
ạng của ma trận A, ký hiệu l
à

r(A).
Lưu
ý
:Trong đ
ịnh nghĩa của ma trận bậc thang rút gọn ta có 3
đi
ều kiện (i), (ii) v
à (
iii). N
ếu một ma trận thỏa điều kiện (i) v
à (iii),
đi
ều kiện (ii) có thể không đ
ư
ợc thỏa , th
ì ta nói A là ma tr
ận dạng
b
ậc thang .Có thể nhận thấy rằng từ ma trận dạng bậc thang ta có
th
ể biến đổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng
đ
ể có đ
ư
ợc ma trận bậc thang rút gọn
và t
rong quá trình bi

ến đổi th
ì s
ố d
òng khác zero c
ủa ma trận l
à
không đ
ổi. Vậy, nếu B l
à m
ột ma trận bậc thang t
ương đương d
òng
v
ới A th
ì ta có:
r(A) = s
ố d
òng khác zero cu
ả B
Qua ví d
ụ tr
ên ta th
ấy rằng có thể t
ìm d
ạng bậc thang rút gọn của
m
ột ma trận bằng
cách ti
ến h
ành như sau: s

ử dụng các phép biến
đ
ổi s
ơ c
ấp tr
ên dòng m
ột cách thích hợp để xây dựng tuần tự các
c
ột chuẩn E
1
, E
2
,…. trong ma tr
ận theo chiều từ trái qua phải, m
à
ta g
ọi tắt quá tr
ình này là chu
ẩn hóa.
Liên quan đ
ến hạng của ma trận , ta có c
ác tính ch
ất đ
ư
ợc n
êu trong
m
ệnh sau đây:
M
ệ

nh đ
ề
:Cho A là m
ột ma trận cấp mxn. Khi đó:
(i)
r (R
A
) = A
(ii) 0
≤ r(A) ≤ min(m,n)
(iii) n
ếu

thì r(A) = r(B)
(iv) r(A) = 0

A = 0
II. H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH
TUY
ẾN TÍNH:
1. Đ
ịnh nghĩa :
M
ột hệ ph
ương tr
ình tuy
ến tính tr

ên t
ập hợp số K(K l
à
Q
,
R
ho
ặc
C
) g
ồm m
phương tr
ình v
ới n ẩn có dạng tổng quát nh
ư sau:
(*)
trong đó a
ij
, b
i
là các h
ệ số cho tr
ư
ớc v
à
là các
ẩn số
c
ần t
ìm (trong K). Ta g

ọi các a
ij
là các h
ệ số v
à các b
i
là các h
ệ số
t
ự do.
Các ma tr
ận