định lý tách và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







TRỊNH HỮU TRANG









ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC













Hà Nội – Năm 2012



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







TRỊNH HỮU TRANG

ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG



Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội – Năm 2012.
1


MỤC LỤC

Mở đầu 2

Chương 1. Các khái niệm cơ bản 4
1.1. Tập lồi…………………………………………………………… 4
1.1.1 Tổ hợp lồi…………….……………………… … … 4
1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện…………………………… … 6
1.1.3 Nón lồi………………………………………… …….… 11
1.2. Hàm lồi…………………………………………………….……. . 15
Chương 2. Định lý tách các tập lồi. 21
2.1. Định lý tách 1………………………………………………… … 21
2.2. Định lý tách 2………………………………………………… … 26
Chương 3. Một số ứng dụng của định lý tách. 27
3.1. Điều kiện tối ưu…………………….………………………………32
3.2. Hệ bất đẳng thức lồi………………………………………… … 36
3.3. Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi……………… …………………… 41
3.4. Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi…………………………… …43
3.5. Ứng dụng trong phép vô hướng hóa bài toán véctơ…….…………46
Kết luận 51
Tài liệu tham khảo 52

2

MỞ ĐẦU

Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập
lồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặt biệt là trong tối ưu hóa, bất
đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng.
Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách. Về
bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi hay
không, và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây là câu hỏi về liên
thuộc, một vấn đề cơ bản của toán học. Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợp
nghiệm của một hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập các điểm bất động của
một ánh xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu,…Dĩ nhiên nếu câu trả lời là
có, thì vấn đề liên thuộc đã được giải quyết. Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ
xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý
chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một
đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau.
Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách và
những ứng dụng quan trọng.
Luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng là
những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn.
Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bày
nội dung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas).
Chương 3: Trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh các
điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàm
non a-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóa
bài toán tối ưu véc tơ.
3

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Lê
Dũng Mưu, Viện Toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡ
tận tình và sự cổ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa
Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Bản luận văn được hoàn thành trong quá trình con gái của tác giả trào đời,
được sự ủng hộ về mặt tinh thần từ hai mẹ con. Kết quả của luận văn chính là món
quà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ con.













4

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản trong giải
tích lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi,
hàm lồi…
1.1. Tập lồi
Những tập hợp quen thuộc mà chúng ta đã biết như không gian con, siêu
phẳng, … đều là tập lồi. Khái niệm về tập lồi có một vai trò quan trọng trong giải
tích lồi. Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi, tập a-
phin, tập lồi đa diện, nón lồi.
1.1.1 Tổ hợp lồi.
Định nghĩa 1.1
Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ)
a
và
b
trong
n
R
là tập hợp tất cả
các điểm (véc tơ)
n
x R

có dạng


| (1 ) ,
n
x x a b

  
    
R
R .
Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ)
a
và
b
trong
n
R
là tập hợp tất cả các
điểm (véc tơ)
n
x R
 có dạng


| (1 ) ,0 1
n
x R x a b
  
     
.
Định nghĩa 1.2
Một tập
n
C R
 được gọi là một tập lồi nếu
C

chứa mọi đoạn thẳng đi qua
hai điểm bất kỳ của nó. Tức là
C
lồi khi và chỉ khi


, , 0;1 (1 )
x y C x y C
  
       
.
Ta nói véc tơ
n
x R

gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ
1 2
, , ,
m n
x x x R

nếu
5

1 1
, 0 1,2, , , 1
m m
i
i i i
i i

x x i m
  
 
    
 
.
Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1)
Một tập con của
n
R
là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các
điểm của nó. Tức là
C
lồi khi và chỉ khi:
1
1
1 1
, , , 0: 1, , ,
k k
k j
k j j
j j
k N x x C x C
   
 
        
 
.
Chứng minh
Điều kiện đủ: Suy ra từ định nghĩa tập lồi ứng với

2
k

.
Điều kiện cần: Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm.
Với
2
k

, điều kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và
tổ hợp lồi.
Giả sử mệnh đề đúng với
1
k

điểm, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với
k
điểm.
Thật vậy, nếu
x
là tổ hợp lồi của
k
điểm
1
, ,
k
x x C

. Tức là
1 1

, 0, 1, , , =1.
k k
j
j j j
j j
x x j k
  
 
   
 

Giả sử
0
k


, đặt:
1
1
k
j
j
 




. Khi đó,
0 1


 
và
1 1
1 1
k k
j
j k j k
j k k
j j
x x x x x

   

 
 
   
 
.
Do
1
1
1
k
j
j







và
0
j



với mọi
1,2, , 1
j k
 
nên theo giả thiết quy nạp, điểm
1
1
:
k
j
j
j
y x C




 

.
Ta có
k
k

x y x
 
  .
6

Do
0, 0
k
 
 
và
1
1
k
k j
j
  

  


nên
x
là một tổ hợp lồi của hai điểm
y
và
k
x
đều thuộc
C

.
Vậy
x C

.
Từ định nghĩa của tập lồi ta suy ra lớp các tập lồi là đóng với phép giao, phép
cộng đại số và phép nhân tích Decastes.
Mệnh đề 1.2 (xem [2], mệnh đề 1.2)
Nếu
,
A B
là các tập lồi trong
n
R
,
C
là lồi trong
m
R
, thì các tập sau là lồi:


: | ,
A B x x A x B
    ,


: | , , , ,
A B x x a b a A b B R
     

      
,




: | , : ,
m n
A C x R x a c a A c C

      .
1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện.
Trong giải tích cổ điển, ta đã làm quen với các không gian con, các siêu
phẳng. Đó là các trường hợp riêng của tập a-phin (đa tạp a-phin) được định nghĩa
như sau:
Định nghĩa 1.3
Một tập
C
được gọi là tập a-phin nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai
điểm bất kỳ của nó, tức là
, , (1 )
x y C R x y C
  
       
.
Nhận xét 1.1
a) Mọi tập affin (bao gồm cả tập

và
n

R
) đều là tập lồi.
b) Mọi siêu phẳng trong
n
R
đều là tập a-phin.
Mệnh đề dưới đây cho ta thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một
không gian con.
7

Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3)
Tập M
 
là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng
M L a
 
với
L
là một
không gian con và
a M

. Không gian con này được xác định duy nhất.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
M
là tập a-phin và
a M

.

Khi đó
L M a
 
chứa 0 và là tập a-phin. Do đó,
L
là một không gian con.
Vậy
M L a
 

Điều kiện đủ: Nếu
M L a
 
với
a M

,
L
là một không gian con thì
, ,
x y M R

  
, ta có:









1 1
x y a x a y a
   
       
.
Do ,
x a y a L
  
và
L
là một không gian con nên






1
x a y a L
 
    
.


1
x y M
 
    .

Vậy
M
là tập a-phin.
Không gian con
L
là duy nhất. Thật vậy, nếu
M L a
 
và
' '
M L a
 
, trong
đó
, '
L L
là những không gian con và , '
a a M

thì
' ' ' ( ')
L M a L a a L a a
       
.
Do '
a M a L
  
, nên '
a a L
 

.
' ( ')
L L a a L
    
.
Không gian con
L
trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song
với tập a-phin
M
.
Định nghĩa 1.4.
Thứ nguyên (hay chiều) của một tập a-phin
M
được định nghĩa bởi thứ
8

nguyên của không gian con song song với
M
và được ký hiệu là dim
M
.
Điểm
n
a R

là tập a-phin có số chiều bằng 0 bởi vì không gian con song
song với



M a
 là


0
L  .
Mệnh đề 1.4 (xem [2], mệnh đề 1.4)
Bất kỳ một tập a-phin
n
M R

có số chiều
r
đều có dạng


|
n
M x R Ax b
  
, (1.1)
Trong đó:
A
là ma trận cấp ,
m
m n b R
  , và
rankA n r
 
.

Ngược lại, mọi tập hợp có dạng (1.1) với
rankA n r
 
đều là tập a-phin có số chiều
là
r
.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
M
là tập a-phin có số chiều là
r
và
M L a
 
với
a M

. Vậy
L M a
 
là không gian con có số chiều là
r
.
Theo đại số tuyến tính không gian con
r
- chiều này có dạng


| 0

L x Ax
 

Trong đó,
A
là ma trận cấp
m n

và
rankA n r
 
.
Từ
M L a
 
suy ra








| 0 | |
M x A x a x Ax Aa x Ax b
      
.
Điều kiện đủ: Nếu
M

được cho bởi (1.1) với
a M

, ta có
Aa b

, do đó




| 0
M x A x a a L
    
,
với


| 0
L x Ax
 

Do
rankA n r
 
nên
L
là không gian con có số chiều
r
.

Vậy
dim
M r


Định nghĩa 1.5
Siêu phẳng trong không gian
n
R
là tập hợp các điểm có dạng
9



| ,
n
x R a x

 
,
trong đó:


\ 0 ,
n
a R R

 
.
Véc tơ

a
ở trên được gọi là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng.
Nửa không gian đóng là tập hợp có dạng




| , , | ,x a x x a x
 
  ,
trong đó:


\ 0 , R
n
a R

 
.
Nửa không gian mở là tập hợp có dạng




| , , | ,x a x x a x
 
  ,
trong đó:



\ 0 , R
n
a R

 
.
Như vậy, một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗi
nửa không gian ở về một phía của siêu phẳng. Nếu hai nửa không gian này đóng thì
phần chung của chúng chính là siêu phẳng.
Định nghĩa 1.6.
Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các
nửa không gian đóng.
Định nghĩa 1.7
Cho
0
x C

, ta nói siêu phẳng
,a x


là siêu phẳng tựa tại
0
x
nếu
0
, , , ,
a x a x x C
 
   

.
Ta nói


0
| , 0
H x a x x
  
là nửa không gian tựa của
C
tại
0
x
.
Định nghĩa 1.8
Giao của tất cả các tập lồi chứa tập
n
S R
 cho trước được gọi là bao lồi
của
S
, ký hiệu
co
S
, đó là tập lồi nhỏ nhất chứa
S
.
10

Tập

n
C R
 , giao của tất cả các tập a-phin chứa
C
là tập a-phin nhỏ nhất chứa
C
,
gọi là bao a-phin của
C
. Ký hiệu
aff
C
.
Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 3.2)
Cho
C
là một tập bất kỳ. Khi đó:
(i) Bao lồi của
C
là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc
C
.
(ii) Bao a-phin của tập
C
là tập hợp bao gồm tất cả các điểm có dạng
1
1

k
k

x x x
 
   (1.2)
sao cho
1
, 1
i
k
x C
 
   
và k

Ν
.
Chứng minh.
(i) Gọi
M
là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc
C
.
Vì
coC
C

và
coC
lồi nên
coC
M


. Vì thế để chỉ ra
coC
M

, ta chỉ cần chứng tỏ
M
là tập lồi .
Thật vậy, lấy ,
x y M

. Theo định nghĩa của
M
, các điểm này có dạng
1
k
i
i
i
x x




,
1
h
j
i
j

y y




, với
, , 0, 0 ,
i j
i j
x y C i j
 
   
và
1 1
1, 1
k h
i j
i j
 
 
 
 
.Khi đó, nếu


0,1


thì
   

1 1
: 1 1
k h
i j
i j
i j
z x y x y
    
 
     
 
.
Do
 
1 1
1 1
k h
i j
i j
  
 
  
 

nên
z
là một tổ hợp lồi của các điểm thuộc
C
. Vậy
z M


. Suy ra
M
lồi, và do đó
co
M C

.
(ii) Cho
M
là tập hợp các điểm có dạng (1.2).
Giả sử ,
x y M

, theo định nghĩa của
M
ta có:
11

1
k
i
i
i
x x




,

1
h
j
i
j
y y




.
Trong đó
, , 1, , , 1, ,
i j
x y C i k j h
     và
1 1
1, 1
k h
i j
i j
 
 
 
 
. Với

bất kỳ, ta có
   
1 1

: 1 1
k h
i j
i j
i j
z x y x y
    
 
     
 
.
Do
 
1 1
1 1
k h
i j
i j
  
 
  
 

nên
z M

và do đó
M
là tập a-phin. Suy ra
aff

M E

.
Định nghĩa 1.9.
Các điểm
1
, ,
k
x x
được gọi là độc lập a-phin nếu


1
aff , ,
k
x x
có số chiều
là
k
, tức là, nếu các véc tơ
1 1
, ,
k k k
x x x x

 
là độc lập tuyến tính.
Hệ quả 1.1
Bao lồi a-phin
M

của tập
k
điểm độc lập a-phin


1
, ,
k
x x
trong
n
R
là tập
a-phin
( 1)
k

- chiều.
Mọi điểm
x M

có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
1
k
i
i
i
x x





,
1
1
k
i
i





1.1.3. Nón lồi
Định nghĩa 1.10
Một tập
C
Được gọi là nón nếu
, 0
x C x C
 
     
.
Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc
nón. Dĩ nhiên, một nón không nhất thiết là một tập lồi.
Ví dụ 1.1
12




| 0
C x R x
  

là một nón nhưng không lồi.
Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi đó, ta
nói 0 là đỉnh của nón. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.
Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện.
Mệnh đề 1.5. (xem [2], mệnh đề 1.6)
Một tập
C
là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(i)
, 0
C C
 
  
,
(i)
C C C
 
.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
C
là một nón lồi. Do
C
là một nón nên ta có (i).
Do
C

là một tập lồi nên với mọi ,
x y C

thì
 
1
2
x y C
 
.
Vậy theo (i) ta có
x y C
 
.
Điều kiện đủ: Giả sử ta có (i) và (ii).
Từ (i) suy ra
C
là một nón. Giả sử ,
x y C

và


0,1


.
Từ (ii) suy ra



, 1
x C y C
 
  
. Theo (ii) ta có


1
x y C
 
  

Vậy
C
là một nón lồi.
Định nghĩa 1.11
Bao nón lồi của tập
C
là giao của tất cả các nón lồi chứa
C
, ký hiệu là
Cone
C
.
Định nghĩa 1.12
13

Cho
C
là một tập lồi trong

n
R
. Một véc tơ
0
y

được gọi là hướng lùi xa
của
C
nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của
C
theo hướng
y
đều nằm trọn
trong
C
. Tức là:
y
là hướng lùi xa khi và chỉ khi
, , 0
x y C x C
 
     
.
Tập hợp của tất cả các hướng lùi xa của
C
cùng với điểm gốc là nón lùi xa của
C
,
ký hiệu là

re
C
.
Hiển nhiên nếu
C
là một tập bị chặn thì
re
C
chỉ gồm duy nhất một gốc.
Nhận xét 1.2. Nếu
C
là tập lồi đóng thì trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với
mọi
x C

, chỉ cần đòi hỏi cho một điểm
x C

.
Mệnh đề 1.6. (xem [2], mệnh đề 1.7)
Giả sử
C
là một tập lồi đóng. Khi đó
y
là một hướng lùi xa của
C
khi và
chỉ khi
, 0
x y C

 
   
.
với một điểm
x
nào đó thuộc
C
.
Chứng minh
Giả sử
, 0
x y C
 
   
với
x C

.Thế thì với mọi
u C

, mọi
0


, do
C

lồi nên ta có
 
: 1

x x y u C

 

   
 
    
 
 
 
.
Cho

 
, do
C
đóng, ta thấy
u y C

 
,với mọi
u C

và
0


.
Nhận xét 1.3. Trong trường hợp
C

không đóng thì bổ đề trên không đúng.
Ví dụ 1.2. Trong
2
R
lấy






1 2 1 2
: , | 0, 0 0
C x x x x x     .
14

Hiển nhiên, véc tơ


0,1
y  có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm
0
x C
 
theo hướng này đều nằm trọn trong
C
nhưng nếu xuất phát từ
0
x


thì
điều này không đúng.
Định nghĩa 1.13
Cho
n
C R
 là tập lồi và
x C

.
Ký hiệu




: | , 0,
C
N x y x y C
 
     ,
Tập


C
N x
gọi là nón pháp tuyến ngoài của
C
tại
x
.





: | , 0,
C
N x y x y C
 
     
,
Tập


C
N x

gọi là nón pháp tuyến trong của
C
tại
x
.



*
: | , 0
C x x C
 
    ,
Tập

*
C
gọi là nón đối cực.
Ta có thể kiểm tra được rằng


C
N x
và
*
C
là hai nón lồi đóng chứa gốc.
Cho
C
là tập lồi, khác rỗng và
x C

. Ta nói
n
d R

là một hướng chấp nhận
được của
C
nếu
0
0
t
 
sao cho

x td C
 
với mọi
0
0
t t
 
. Tập tất cả các hướng
chấp nhận được là một nón lồi chứa gốc và gọi là nón chấp nhận được. Ký hiệu là


C
F x
. Nón này có thể không đóng, tuy nhiên nếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón
khác là nón tiếp xúc với
C
tại
x
. Ký hiệu nón này là


C
T x
, thì
   
C C
F x T x
 . Từ
đây suy ra





| , 0:
n k k
C k k
T x d R d d t x t d C k
        
.
Mệnh đề 1.7 (xem [2], mệnh đề 1.8)
Nón pháp tuyến và nón tiếp xúc là đối cực của nhau.
Ta có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
15

Ví dụ 1.3
Giả sử tập lồi
C
được cho bởi


: | , , 1, ,
n j
j
C x R a x b j m
   

với
x C

, đặt





: | ,
j
j
J x j a x b
 
.
gọi là tập chỉ số tích cực tại
x
.
Khi đó






| , 0,
n j
C
T x x R a x j J x
   
.
   
 
 
cone , : 0

j j
C j j
j J x
N x a j J x y a
 

 
 
    
 
 
 

.

1.2 Hàm lồi
Trong chương trình Toán phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm hàm lồi
một cách cơ bản. Mục này, chúng tôi trình bày khái niệm tổng quát về hàm lồi và
một số tính chất của nó.
Định nghĩa 1.14.
Cho tập
n
C R
 và :
f C R

. Ta sẽ ký hiệu





dom : |f x C f x
   
,






epi : , | f x C R f x
 
   
.
Các tập
dom
f
,
epi
f
lần lượt được gọi là miền hữu dụng và trên đồ thị của hàm
f
.
Bằng cách cho


f x
 
nếu
x C


, ta có thể coi
f
được xác định trên toàn
không gian và




n
dom : R |f x f x
   
,
16







epi : , |
n
f x R R f x
 
   
.
Quy ước nếu
0



thì


0
f x


với mọi
x
.
Định nghĩa 1.15
Cho
n
C R
  
lồi và
:
f C R

. Ta nói
f
là hàm lồi trên
C
nếu
epi
f
là
một tập lồi trong
1

n
R

. Hàm
f
được gọi là hàm lõm trên
C
nếu
f

là hàm lồi trên
C
.
Sau đây chủ yếu ta xét hàm


:
n
f R R
  
. Dễ thấy định nghĩa trên
tương đương với:













1 1 , , 0;1
f x y f x f y x y C
    
        

Định nghĩa 1.16
Hàm


:
n
f R R
  
được gọi là lồi chặt trên C nếu













1 1 , , 0;1
f x y f x f y x y C
    
        

Hàm


:
n
f R R
  
được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số
0


nếu
 
 
         
2
1
1 1 - 1 - , , 0;1
2
f x y f x f y x y x y C
      
         
Nhận xét 1.4
Dễ dàng kiểm tra rằng hàm
f

lồi mạnh trên
C
với hệ số
0


khi và chỉ khi
hàm
   
2
. : . .
2
h f

 

lồi trên
C
.
Sau đây ta sẽ đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình
phổ thông. Đây là bất đẳng thức tương đối tổng quát trong các bất đẳng thức về hàm
17

lồi. Các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, Holder… là những
trường hợp riêng của bất đẳng thức này.
Bất đẳng thức Jensen
Nếu
f
là hàm lồi và nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì
* 1 2

, , , ,
m
m N x x x C
   
và
0
j

 
thỏa mãn
1
1
m
j
j




, ta có:
 
1 1
m m
j j
j j
j j
f x f x
 
 
 


 
 
 
.
Mệnh đề 1.8 (xem [2], mệnh đề 8.1)
Một hàm
:
f C R

là lồi trên
C
khi và chỉ khi












, , , , 0;1 1 1
x y C f x f y f x y
       
             

Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
f
lồi, chọn
, , ,
x y
 
như đã nêu trong mệnh đề.
Chọn




' ,
f x
 

và




' ,
f y
 

. Vậy





, ' , , ' epi
x y f
 

. Do
epi
f
lồi nên






1 , 1 ' ' epi
x y f
    
     .








1 1 ' ' 1f x y
       
        

.
Điều kiện đủ: Chọn




, , , epi
x y f
 

và


0,1


.Với mọi
0


, ta có




,f x f y
   
   
.
Do đó nên











1 ' ' 1 1f
            
          
 
 
.






1 , , epi
x y f
   
   
.
Vậy hàm
f
lồi.

18

Dưới đây là một định nghĩa khác, tương đương về hàm lồi, lồi mạnh dựa vào
khái niệm hệ số lồi.
Định nghĩa 1.17
Hàm


:
n
f R R
  
(không nhất thiết lồi),
n
C R
 là một tập lồi khác
rỗng và

là một số thực. Ta nói

là hệ số lồi của
f
trên
C
, nếu với mọi


0,1

 , mọi

,
x y
thuộc
C
, ta có
         
2
1
1 1 1
2
f x y f x f y x y
     
        
 
.
Hiển nhiên, nếu
0


thì
f
lồi trên
C
. Nếu
f
có hệ số lồi trên
C
là
0



,
thì
f
lồi mạnh trên
C
vớih hệ số lồi

.
Định nghĩa 1.18
Một hàm
f
được gọi là chính thường nếu dom f
 
và


f x
 
với mọi
x
.
Hàm
f
được gọi là đóng nếu
epi
f
là một tập đóng trong
1
n

R

.
Nhận xét 1.5
a) Từ định nghĩa của
epi
f
, ta thấy rằng một hàm lồi hoàn toàn được xác
định nếu biết
epi
f
.
b) Nếu
f
là một hàm lồi trên một tập lồi
C
thì có thể thác triển
f
lên toàn
không gian bằng cách đặt
 


,
:
.
e
f x x C
f x
x C

 


 


Hiển nhiên




e
f x f x

với mọi
x C

và


e
f x
lồi trên
n
R
. Hơn nữa


e
f x

là
chính thường khi và chỉ khi
f
chính thường. Tương tự,


e
f x
đóng khi và chỉ khi
f
đóng.
nếu
nếu
19

c) Nếu
f
là một hàm lồi trên
n
R
thì
dom
f
là một tập lồi, vì
dom
f
chính là
hình chiếu trên
n
R

của
epi
f
, tức là:




dom | : , epi
f x R x f
 
   
.
Ví dụ 1.4 Một số hàm lồi
1. Hàm a-phin:


,f x a x

 
, trong đó ,
n
a R R

 
. Dễ dàng kiểm tra
được rằng
f
là hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian.
Khi

0


thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính.
2. Hàm chỉ:
Cho
C
 
là một tập lồi. Đặt
 
0 ,
:
.
C
x C
x
x C





 


Ta nói
C

là hàm chỉ của
C

. Do
C
lồi nên
C

là một hàm lồi.
3. Hàm mặt cầu.
Cho


: | x 1
n
S x R
  
là một mặt cầu và
:
h S R


là một hàm bất kỳ.
Định nghĩa hàm
f
như sau:
   
0 1,
: 1,
+ 1.
x
f x h x x
x

 

 


 


Hàm này được gọi là hàm mặt cầu. Dễ thấy rằng
f
là một hàm lồi trên
n
R
.
4. Hàm tựa.
Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của
C

( ): sup ,
C
x C
s y y x


.
5. Hàm khoảng cách.
nếu
nếu
nếu
nếu

nếu
20

Cho
C
lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập
C
được định nghĩa bởi


: min .
C
y C
d x x y

 

6. Hàm chuẩn.
Giả sử


1
, ,
n
x x x
 .


1
: : max

i
i
f x x x
 

Hoặc

 
 
1
2 2
2
1
: :
n
f x x x x
    .

21

Chương 2
ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI

Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải tích không
trơn và giải tích phi tuyến…, các định lý tách hai tập lồi có một vai trò trung tâm.
Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi
không, và nếu không thuộc thì nó sẽ có tính chất gì? Ví dụ tập lồi là nghiệm của hệ
phương trình đại số, hay vi tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là
tập nghiệm của một bài toán tối ưu… Nếu điểm thuộc tập lồi đó thì vấn đề được
giải quyết, trái lại, nếu không thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các
định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng
để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh
vực khác nhau. Một mệnh đề thường được dùng làm nền tảng lý thuyết tối ưu hiện
đại là định lý tách các tập lồi, mà một dạng tương đương của nó trong giải tích hàm
là định lý Hahn – Banach rất quen thuộc trong giải tích hàm.
2.1. Định lý tách 1
Định nghĩa 2.1
Cho
,
n
C C R
  
(không nhất thiết lồi) và
y
là véc tơ bất kỳ, đặt



: inf .
C
x C
d y x y

 
Ta nói


C
d y
là khoảng cách từ
y
đến
C
. Nếu tồn tại
C


sao cho


C
d y y

 
, thì ta nói


là hình chiếu (vuông góc) của
y
trên
C
. Ký hiệu


C
p y

 .
Mệnh đề 2.1 (xem [2], mệnh đề 5.1)
Cho
C
là một tập lồi đóng khác rỗng trong
n
R
. Khi đó:
(i) Với mọi ,
n
y R C

 
hai tính chất sau là tương đương:
22

a)


C

p y

 ,
b)
( )
C
y N
 
 
.
(ii) Với mọi
n
y R

, hình chiếu
( )
C
p y
của
y
trên
C
luôn tồn tại và duy nhất.
(iii) Nếu
y C

, thì





, 0
C C
p y y x p y
  
là siêu pẳng tựa của
C
tại
( )
C
p y

và tách hẳn
y
khỏi
C
, tức là




, 0,
C C
p y y x p y x C
    
,
và





, 0
C C
p y y y p y
  
.
Chứng minh
(i) Giả sử có a). Lấy
x C

và


0,1

 . Đặt


: 1x x

  
  
.
Do ,
x C


và
C
lồi, nên

x C


. Hơn nữa do

là hình chiếu của
y
, nên
y y x


   . Hay
   
2
2
y x y
   
    
.
Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho
0


, ta có
2
2 , 0
x x y
   
    
.

Điều này đúng với mọi
x C

và


0,1

 . Do đó khi cho

tiến đến 0 ta được
, 0
y x x C
 
    
.
Vậy


C
y N
 
 
.
Bây giờ giả sử có b). Với mọi
x C

, có
23

       
   
2
0
= .
T T
T
y x y x y y
y y x y
   
 
       
   

Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy – Scharz ta có:
   
2
T
y y y x y y x
  
      
.
Suy ra

y y x x C

    
, và do đó
( )
p y



.
ii) Do ( ) inf
C x C
d y x y

 
, nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (infimum), tồn
tại một dãy
k
x C

sao cho
lim ( )
k
C
k
x y d y
   
.
Vậy dãy


k
x
bị chặn, do đó nó có một dãy con


kj

x
hội tụ đến một điểm

nào
đó. Do
C
đóng nên
C


. Vậy


lim lim
kj k
C
j k
y x y x y d y

     
.
Chứng tỏ

là hình chiếu của
y
trên
C
.
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm


và
1

đều là hình chiếu của
y
trên
C
, thì




1 1
,
C C
y N y N
   
    .
Tức là
1
, 0
y
  
  

và
1 1
, 0
y
  

  

Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra
1
0
 
 
, và do đó
1
 

.
iii) Do


C
y N
 
 
, nên