dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong tối ưu hóa

1

























Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

VŨ ANH TUẤN







DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI
VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƢU HÓA







LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


2

Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên





VŨ ANH TUẤN






DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI
VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƢU HÓA

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH.LÊ DŨNG MƢU












Hà Nội - 2012


3
Mục lục

Lời nói đầu 2

Chƣơng I Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi 4
I. 1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
I.1.1. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
I.1.2. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1.3. Tập Affine và bao Affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
I.1.4. Điểm trong tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.3. Các phép toán về hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Chƣơng II Dƣới vi phân của hàm lồi 23
II.1. Đạo hàm theo phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
II.2. Dưới vi phân của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II.3. Các định lý cơ bản về dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
II.4. Dưới vi phân của hàm lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chƣơng II Ứng dụng dƣới vi phân vào bài toán tối ƣu 37
III.1. Định nghĩa bài toán tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
III.2. Bài toán lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.3. Bài toán trơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
III.4. Bài toán trơn - lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Kết luận 52
Tài liệu tham khảo 53





4






Lời nói đầu
Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi, hàm lồi
và những vấn đề liên quan. Bộ môn này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh

vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức
biến phân và bài toán cân bằng…
Một trong những ứng dụng quan trọng của giải tích lồi là trong tối ưu hóa. Lý
thuyết tối ưu đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu: quy hoạch
tuyến tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, kinh tế toán,… trong đó, giả thiết
về tính lồi của hàm không thể thiếu trong nhiều định lý về sự tồn tại nghiệm. Vì
vậy, tìm hiểu về hàm lồi, tìm hiểu về ứng dụng của hàm lồi trong tối ưu hóa là thực
sự cần thiết và hữu ích.
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu, sắp xếp lại một cách chi tiết các khái niệm
cùng những tính chất liên quan đến hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi và các bài
toán ứng dụng dưới vi phân trong tối ưu hóa. Với những công việc đó, bản luận văn
gồm 3 chương:
Chƣơng I “Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi” giới thiệu về tập
lồi, hàm lồi và những tính chất liên quan. Bên cạnh đó là những khái niệm: tập
affine, nón, điểm trong tương đối,…
Chƣơng II “Dƣới vi phân của hàm lồi” đề cập tới khái niệm đạo hàm theo
phương, điều kiện khả dưới vi phân của hàm lồi cùng các tính chất cơ bản của
dưới vi phân.
Chƣơng III “Ứng dụng dƣới vi phân vào bài toán tối ƣu” trình bày khái niệm
tổng quát về bài toán tối ưu và điều kiện tồn tại nghiệm. Trọng tâm của chương là 8
bài toán tối ưu mà tác giả kí hiệu từ (P1)-(P8).


5
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, bản luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm
hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề
đặt ra. Trong quá trình viết luận văn, chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế,
thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng
dẫn khoa học của mình, GS.TSKH. Lê Dũng Mưu đã đưa ra đề tài và tận tình

hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả.























Hà nội, ngày 01 tháng 06 năm 2012
Tác giả



Vũ Anh Tuấn

6








CHƢƠNG I
Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi

Trong chương này, tác giả trình bày những khái niệm cơ bản của giải tích lồi
cùng những tính chất quan trọng như tập lồi, tập affine, điểm trong tương đối, hàm
lồi…

I.1. Tập lồi
Tập lồi là một khái niệm cơ bản không chỉ trong giải tích lồi mà ở trong toán học
nói chung. Những tập quen thuộc mà chúng ta biết đến như không gian con, siêu
phẳng, đoạn thẳng…đều là tập lồi. Trong phần này, tác giả trình bày định nghĩa,
tính chất của tập lồi nói chung và một số tập lồi đặc biệt.

I.1.1. Tập lồi
Cho X là không gian tuyến tính tô pô Haussdoff.
Định nghĩa I.1[2]. Với
12
,xx


X, đoạn
 
12
,xx
được định nghĩa
 
12
,xx
: ={
 
12
: (1 ) , 0,1x X x x x
  
    
}.
Định nghĩa I.2[2]. Tập
AX
gọi là tập lồi nếu
 
1 2 1 2
, , 0,1 (1 )x x A x x x A
  
        
.
Nhận xét. Nếu
 
1 2 1 2
,,x x A x x A   
thì A là tập lồi.

Ví dụ 1
a- Trong
2

, Tập
 
 
2
0,1 : 1B x x    
là tập lồi.


7
Thật vậy, lấy
 
, 0,1 1x y B x  
,
1y 
, với
 
0,1


ta có:
 
(1 ) 1x y x y
   
         

11


   

 
(1 ) 0,1x y B

   

 
0,1B
là tập lồi.
b- Tập
 
 
2
, : ; , ,A x y ax by c a b c    
là tập lồi.
Mệnh đề I.1. Giả sử
,( )A X I



là các tập lồi với I là tập chỉ số. Khi đó, tập
I
AA





cũng là một tập lồi.
Chứng minh
Lấy
1 2 1 2
,,x x A x x A

  

 
12
,x x A


( Do
A

lồi) ,
I



Từ đó suy ra
 
12
,
I
x x A






 
12
,x x A
.
Vậy, A là tập lồi.
Mệnh đề I.2. Cho
i
AX
là các tập lồi;
i


,
1,in
. Khi đó, tập
1
n
ii
i
AA





cũng là một tập lồi.
Chứng minh
Lấy

Ayx ,
:
11
,
nn
i i i i
ii
x a y b




với
 
, 1,
i i i
a b A i n
.
Khi đó,
 
0,1


, ta có:
   
1
11
n
i i i
i

x y a b
    

    



,
Do
i
A
lồi nên
 
1
1
n
ii
i
x y A A
  

   

,
Vậy A là một tập lồi.


8
Mệnh đề I.3. Cho
i

X
là các không gian tuyến tính.
i
A

i
X
là các tập lồi (i=
1, n
).
Khi đó, tập A=
12

n
A A A  
là một tập lồi trong
12

n
X X X  
.
Chứng minh
Lấy
   
1 2 1 2
, : , , , , ,
nn
x y A x a a a y b b b  
,
( , )

i i i
a b A
.
Vì
i
A
lồi nên
 
1
i i i
a b A

  

 
0,1


.
Suy ra
     
 
11
1 1 , , 1
nn
x y a b a b
     
      
A

Vậy, A là tập lồi trong
12

n
X X X  

Tóm lại: Lớp các tập lồi là đóng với phép lấy giao,cộng đại số và tích đề các.
Định nghĩa I.3[2]. Véc tơ
xX
gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ:
12
, ,
n
x x x
nếu :
11
0,( 1, ), 1:
nn
i i i i
ii
i n x x
  

    


Mệnh đề I.4. Tập
AX
là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các
điểm của nó. Tức là: A lồi khi và chỉ khi

1 2 1 2
1
, , , , 0: 1, , ,
k
k i k
i
k x x x A
   

      



1
k
ii
i
xA




.
Chứng minh
Nếu A chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó thì
12
,x x A

 
 

12
1 , 0,1x x A
  
     
,

A
lồi.
Giả sử A lồi. Ta chứng minh bằng quy nạp
*k=2:
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
, 0: 1, ,x x A x x A
     
        
(do A lồi)
*Giả sử kết luận đúng với k điểm.Tức là:
1 2 1 2
1
, , , , 0: 1, , ,
k
k i k
i
k x x x A
   

      


1
k

ii
i
xA





*Ta chứng minh kết luận đúng với k+1 điểm.


9
Tức là,
 
1
1 2 1
1
0 1, 1 : 1, , ,
k
i i k
i
i k x x x A




      

, thì
1

1
k
ii
i
x x A





.
Không mất tổng quát, ta giả sử
1
1
k



, ta có
1
1
10
k
ik
i



  


1
1
1
1
k
i
i
k







.
Theo giả thiết quy nạp,
1
1
1
k
i
i
i
k
y x A








.
Do A lồi
 
1 1 1
1
k k k
y x A

  
   

xA
.
Vậy A là tập lồi.
Nhận xét . Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính,
:f X Y
là ánh xạ tuyến tính.
Tập
XA 
là tập lồi. Khi đó
f
(A) cũng là tập lồi.
Thật vậy, lấy
1 2 1 2
, ( ) ,y y f A x x A   
sao cho:

1 1 2 2
( ), ( )y f x y f x

 
       
1 2 1 2
0,1 : 1 1y y f x f x
    
      
 
 
 
12
1f x x f A

   
.
(Do
 
12
1xx


A
)
Vậy,
 
fA
là tập lồi.
Định nghĩa I.4 [2]. Giả sử

XA 
. Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là
bao lồi của A và kí hiệu là CoA.
Nhận xét
a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A.
b) A là một tập lồi khi và chỉ khi A = CoA.
Định nghĩa I.5 [2]. Giả sử
XA 
. Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được
gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là:
ACo

Nhận xét
a)
ACo
là một tập lồi đóng và là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A.
b) A là tập lồi đóng
ACoA 
.
Định lý I.4 [2]. Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A. Tức
là
CoAACo 



10
Chứng minh
Trước hết, ta chứng minh bao đóng của một tập lồi là tập lồi. Tức là, nếu A là tập
lồi thì
A

cũng là tập lồi.
Lấy
   
2121
1:1;0;, xxxAxx



Giả sử U là một lân cận lồi của 0. Do
Ax
i

nên
   
1,2
i
x U A i

   
. Do đó

   
'
1,2
ii
x x U A i    
.
Đặt
 
'

2
'
1
'
1 xxx


. Khi đó

      
'
1 2 1 2
11x x U x U x x U
   
        
.
Hay là
Uxx 
'

Vì A lồi nên
Ax 
'
. Do đó
 

 AUx

Vậy,
xA

, hay
A
là tập lồi.
Chứng minh định lý
Vì CoA là lồi nên
CoA
lồi. Như vậy
CoA
là một tập đóng chứa A.

CoAACo 

Mặt khác, do CoA là giao của tất cả các tập lồi (không cần đóng) chứa A nên:
ACoCoAACoCoA 

Vậy,
CoAACo 
.
I.1.2. Nón lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính tô pô Haussdoff.
Định nghĩa I.6 [2]. Tập
XK 
gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:
KxKx 

0,
.
K gọi là nón có đỉnh tại x
0
nếu K – x

0
là nón có đỉnh tại 0. Nón K có đỉnh tại 0
được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi.
Ví dụ
a)
 
:0A x x  
là một nón, không lồi.
b)
 
 
12
: , , , ; 0, 1,
n
ni
B x x x x i n   
là một nón lồi.


11
Dưới đây ta sẽ xét hai nón lồi điển hình thường được sử dụng trong giải tích lồi.
Đó là nón lùi xa và nón pháp tuyến.
Định nghĩa I.7[1]. Cho C là một tập lồi trong
X
. Véctơ
0y
được gọi là hướng
lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kì của C theo hướng y đều nằm
trọn trong C, tức là, y là một hướng lùi xa khi và chỉ khi
CyxCx 


0,
.
Tập ReC gồm tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc được gọi là nón lùi
xa của C.
Mệnh đề I.5 [1]. Giả sử C là một tập lồi, đóng. Khi đó, y là một hướng lùi xa của C
khi và chỉ khi
0, 

Cyx
.
với một điểm x nào đó thuộc C.
Định nghĩa I.8 [1]. Cho
CX
là một tập lồi và
Cx
. Tập
 
 
*
: ( ) 0,
C
N x X y x y C

     

là một nón lồi đóng. Nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x. Tập
 
 
*

: ( ) 0,
C
N x X y x y C

      

gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x.
Hiển nhiên, nón
 
xN
C
chứa đỉnh 0
I.13. Tập affine và bao affine
Trong đại số tuyến tính, chúng ta đã làm quen với các khái niệm: không gian con,
siêu phẳng,…Đó là các trường hợp riêng của tập affine được định nghĩa như sau:
Định nghĩa I.9[1]. Một tập C được gọi là tập affine nếu nó chứa mọi đường thẳng
đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là:
, , (1 )x y C R x y C
  
       
.
Nhận xét
1) Tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi.
2) Mọi siêu phẳng trong
n

đều là tập affine.
Mệnh đề sau đây cho ta thấy tập affine chính là ảnh tịnh tiến của một không gian
con.

12
Mệnh đề I.6.

M
là tập affine khi và chỉ khi nó có dạng M = L + a trong đó L là
một không gian con và
Ma
. Không gian con L ở đây được xác định duy nhất.
Chứng minh.
Điều kiện cần:Giả sử M là một tập affine và
Ma
. Khi đó dễ thấy L = M – a là
một không gian con. Vậy M = L+a.
Điều kiện đủ: Nếu M = L +a với L là một không gian con và
Ma
thì
,,x y M

  
, ta có:
      
ayaxayx 

11
.
Do x – a và y – a đều thuộc không gian con L nên
    
Layax 


1
.
Vậy
 
Myx 

1
. Suy ra M là một tập affine.
Không gian con L ở trên là duy nhất. Thật vậy, nếu M = L + a và
''
aLM 
,
trong đó L, L
’
là những không gian con và
Maa 
'
,
thì
 
' ' ' '
L M a L a a L a a       
.
Do
aLMa 
'
nên
Laa 
'
. Suy ra

LaaLL 
''
.
Không gian con L trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với
M. Từ mệnh đề trên ta rút ra định nghĩa sau :
Định nghĩa I.10[1]. Thứ nguyên (hay chiều) của một tập affine M là thứ nguyên
(hay chiều) của không gian con song song với M và được ký hiệu là dimM.
Mệnh đề sau đây cho ta thấy rằng, mọi tập affine đều là tập nghiệm của một hệ
phương trình tuyến tính.
Mệnh đề I.7 [1]. Mọi tập affine
n
M  
có số chiều r khi và chỉ khi
 
n
M x Ax b  
,
trong đó
 
,,
m
b A Mat m n  
và rank A = n – r .
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử M là tập affine có số chiều r và M = L +a với
Ma
. Vậy
L = M – a là không gian con có số chiều là r của
n
R

. Do đó L có dạng:
 
0
n
L x Ax  
,


13
trong đó
 
,A Mat m n
và rank A = n – r. từ M = L +a, suy ra
 
 
 
0
nn
M x A x a a Ax Aa b       
.
Điều kiện đủ: Giả sử
 
n
M x Ax b  
với
 
,,A Mat m n

m
b

và
rank A = n – r. dễ kiểm tra được rằng M là một tập affine và không gian con song
song với M là tập
 
0
n
L x Ax  
. Do rank A = n – r suy ra dimL = r. vậy,
dimM = r
Định nghĩa I.11[1]. Ta nói x là tổ hợp affine của các điểm (véctơ)
k
xxx , ,,
21
nếu
j
k
j
j
xx



1

với
1
1




k
j
j

.
Định nghĩa I.12[1]. Bao affine của C là giao của tất cả các tập affine chứa C. Ký
hiệu là aff C
Mệnh đề sau đây cho chúng ta biết cấu trúc của aff C.
Mệnh đề I.8 [1]. AffC là tập hợp các tổ hợp affine của các điểm thuộc C.
Chứng minh
Ta gọi M là tập hợp các tổ hợp affine của các điểm thuộc C, tức là:











 
 
k
j
k
j
j
jj

j
kjCxxxM
1 1
1;, ,1,

.
Vì
affCC 
và
affC
là tập affine nên
affCM 
.
Ta chứng tỏ M là một tập affine. Thật vậy, giả sử
Myx ,
. Theo định nghĩa của
M ta có:
i
k
i
j
xx



1

,
j
h

j
j
yy



1

,
Trong đó
hjCykiCx
ji
, ,1,;, ,1,
,

và
1
11



h
j
j
k
i
i

.
Với


bất kỳ, ta có
   
j
j
h
j
i
k
i
i
yxyxz




11
11
.


14
Do

   
111
11





j
h
j
k
i
i

Như vậy, z là một tổ hợp affine của các điểm thuộc C nên
Mz 
. Từ đó suy ra M là
một tập affine. Vậy M = aff C.
Định nghĩa I.13[1]. Thứ nguyên (hay chiều) của một tập C bất kỳ là thứ nguyên
(hay chiều) của bao affine của nó. Tức là dim C = dim (aff C).
Định nghĩa I.14[1]. Các điểm
k
xxx , ,,
10
trong
n

được gọi là độc lập affine nếu
bao affine căng bởi chúng có thứ nguyên k.
Mệnh đề dưới đây cho ta một tính chất đặc trưng của các điểm độc lập affine.
Mệnh đề I.9 [1]. Các điều sau đây tương đương:
a. Các điểm
k
xxx , ,,
10
độc lập affine.

b. Với mỗi i, các véctơ
 
ijkjxx
ij
 ;, 1,0,
độc lập tuyến tính trong
n

.
Chứng minh
Đặt
 
k
xxxS , ,,
10

, L là không gian con song song với aff S. Không mất tính
tổng quát, ta giả sử i = 0. đặt
0
xxy
jj

suy ra
., ,2,1, kjLy
j

Cho
j
k
j

j
xx



0


là một tổ hợp affine bất kỳ của các điểm
k
xxx , ,,
10
. Vì
1
0



k
j
j

nên



k
j
j
1

0
1

. Do đó
j
k
j
j
yxx



0
0

.
Ta suy ra
 
k
yyyspanxaffS , ,,
210

trong đó
 
k
yyyspan , ,,
21
là không gian con
sinh bởi các véctơ
 

k
yyy , ,,
21
. Theo mệnh đề 1.1.10, ta có
 
k
yyyspanL , ,,
21

.
Vậy dim L = k khi và chỉ khi
k
yyy , ,,
21
độc lập tuyến tính trong
n

.
Mệnh đề I.10[1]. Cho hai tập affine A và B trong
n

. Giả sử dim A = dim B, khi đó
tồn tại một ánh xạ affine 1 – 1 T:
BA 
sao cho TA = B.
Chứng minh
Theo giả thiết, A và B là các tập affine đồng thời dim A = dim B = m nên chúng
là bao affine của m + 1 điểm độc lập affine. Giả sử

15
 
m
aaaaffA , ,,
10


 
m
bbbaffB , ,,
10


Do
m
aaa , ,,
10
là các điểm độc lập affine nên theo mệnh đề I.9, các véctơ
00201
, ,, aaaaaa
m

độc lập tuyến tính.
Tương tự, các véctơ
00201
, ,, bbbbbb
m

cũng độc lập tuyến tính.
Với mọi

Ax
đều biểu diễn duy nhất dưới dạng
j
m
j
j
x




1

Trong đó
0
aa
jj


. Đặt
 
mjTbb
jjjj
, ,1,0,,
0


. Ta lấy
 
 

j
m
j
j
TxT




1
.
Dễ dàng kiểm tra được T là ánh xạ affine và TA = B.

I.1.4. Điểm trong tƣơng đối
Trong tối ưu hóa và một số lĩnh vực khác của toán học ứng dụng, người ta
thường phải làm việc với các tập lồi trong không gian
n

có thứ nguyên không đầy
đủ. Trong trường hợp này, những tập lồi đó không có điểm trong. Tuy nhiên nhờ
cấu trúc lồi chúng có điểm trong tương đối. Khái niệm này đóng vai trò rất quan
trọng trong giải tích lồi.
Định nghĩa I.15[1]. Một điểm
Ca
được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nó
là điểm trong của C theo tôpô cảm sinh bởi affC.
Tập các điểm tương đối của C ký hiệu là riC. Theo định nghĩa trên ta có:
 
 
CaffCBaBCariC  :

,
trong đó B là một lân cận mở của gốc tọa độ 0.
Hiển nhiên
 
 
:riC a affC B a B affC C     
.
Ta ký hiệu
C
là bao đóng của C. Khi đó tập hợp
riCC \
được gọi là biên tương
đối của C. Tập C được gọi là mở tương đối nếu
riCC 
. Theo định nghĩa, dễ thấy
rằng mọi tập affine đều mở tương đối.


16
Nhận xét
1. Nếu

Cint
thì
CriC int
.
2. Nếu
21
CC 
thì chưa chắc

21
riCriC 
.
Mệnh đề dưới đây cho chúng ta thấy điều kiện cần và đủ để một điểm là điểm
trong tương đối của một tập lồi.
Mệnh đề I.11[1]. Cho
n
C  
là một tập lồi. Khi đó
riCa
khi và chỉ khi
0, 

affCx
sao cho:
 
Caxa 

.
Chứng minh
Không mất tính tổng quát, bằng cách lấy bao affine của C ta có thể giả sử
dimC = n. Khi đó
intriC C
.
Điều kiện cần: Với mọi
Ca int
đều tồn tại hình cầu
 
raB ,
sao cho

 
CraB ,
.
Từ đó suy ra với

đủ nhỏ thì
 
Caxa 

.
Điều kiện đủ: Không giảm tổng quát, ta giả sử a = 0. Gọi
 
nie
i
, ,2,1
là véctơ
đơn vị thứ i của
n

. Theo giả thiết điều kiện đủ, với
i
ex 
tồn tại
0
i

sao
cho
Ce
i

i


. Tương tự, với
i
ex 
, tồn tại
0
i

sao cho
Ce
i
i


.
Lấy
 
ni
ii
, ,2,1,min 

và hình cầu
 
1
:
n
B x R x


  
, trong đó
1
1
n
i
i
xx



với
 
nT
xxxx , ,,
21

. Lấy
 
nieu
ii
, ,2,1

. Vì C là tập lồi nên
Cu
i

. Với mọi
 
Bxxxx

nT
 , ,,
21
. Đặt
 
0
 i
xiI

 
0
 i
xiI
.
Khi đó
i
Ii
i
i
Ii
i
exexx






 
1

10
n
i i i
ii
i I i I i
x x x
x u u
  

  

     


  
.
Vì
Bx
nên



n
i
i
xx
1
1

, hay

1
1



n
i
i
x

.


17
Do đó, x là tổ hợp lồi của
CuC
i
 ,0
với
CuIi
i


,
với

 Ii
. Vì C là tập lồi
nên
Cx

. Vậy
CB 
.
Mệnh đề I.12 [1]. Cho
n
C  
là một tập lồi. Giả sử
riCx
. Khi đó với mọi
Cy 
,
tất cả các điểm trên đoạn thẳng nối x và y, có thể trừ y, đều thuộc
riC
. Nói cách
khác với mọi


1,0

thì
 
riCCriC 

1
.
Chứng minh
Không mất tính tổng quát, bằng cách lấy bao affine, ta có thể giả sử
 
naffC dim
, suy ra

CriC int
. Gọi B là hình cầu đơn vị. Ta chứng minh tồn tại
0

sao cho


1,0

suy ra
 
CByx 

1
.
Theo giả thiết,
Cy 
nên
0

ta có
BCy


. Do đó

     
BBCxByx

 11

=
 
 









 CBx




1
1
1
.
Đặt
 
BxD






1
1
. Vì
Cx int
và
10 

nên với

đủ nhỏ
CD 
. Từ đó, ta
suy ra
   
CCCD

 11
.
Mặt khác vì C là tập lồi nên
 
CCC 

1
.
ta suy ra
 
CByx 

1
,

Hay
 
riCCriC 

1
.
Từ mệnh đề trên ta rút ra hệ quả sau:
Hệ quả. Nếu C lồi thì riC lồi.
Chứng minh
Thật vậy, vì
CriC 
nên từ mệnh đề trên ta suy ra
 
 
1,0,1 

riCriCriC



18
Hay riC là tập lồi.
Chúng ta biết rằng nếu một tập
n
C  
có thứ nguyên không đầy đủ hay
nC dim
thì C không có điểm trong. Mệnh đề sau chỉ ra rằng mọi tập lồi trong
n


đều có điểm trong tương đối.
Mệnh đề I.13 [1]. Mọi tập lồi khác rỗng
n
C  
đều có điểm trong tương đối.
Chứng minh
Lấy M = affC. Giả sử dimM = m, do đó M chứa (m + 1) điểm độc lập affine
m
xxx , ,,
10
thuộc C. Đặt
j
m
j
x
m
a




0
1
1
.
Ta sẽ chứng tỏ
riCa
. Thật vậy, vì M là tập affine nên
Mx

đều biểu diễn được
dưới dạng
j
m
j
j
xx



0

với
1
0



m
j
j

.
Từ đó suy ra với
t 
nào đó thì
 
j
m
j

j
xaxta



0

,
trong đó
 
mjt
m
t
jj
, ,1,0,
1
1
1 



.
Với t đủ nhỏ ta có
0
j

. Mặt khác, vì
1
0




m
j
j

nên
 
Caxta 
.
Theo mệnh đề I.11, ta có
riCa
.

I.2. HÀM LỒI
Trong chương trình toán học phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm hàm
lồi (sử dụng tính chất lồi, lõm của hàm số để vẽ đồ thị và chứng minh bất đẳng
thức). Trong phần này, tác giả trình bày khái niệm tổng quát về hàm lồi và những
tính chất quan trọng của nó.
Định nghĩa I.16 [2 ]. Cho X là không gian lồi địa phương; D

X.
: { }fD  
.


19
Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu: epif, được định nghĩa:
Epif:=
 

 
, : ( )x r D f x r  
.
Định nghĩa I.17 [3]. Miền hữu dụng của hàm f, kí hiệu:
domf
, được định nghĩa
 
 
omf:= x D:f xD  
.
Định nghĩa I.18[2]. Hàm f được gọi là lồi trên D nếu Epif là tập lồi trên
X 
.
Nhận xét . Nếu f là hàm lồi trên D thì
domf
là tập lồi trên D.
Chứng minh

Domf
là hình chiếu của Epif trên X.
Domf
=
 
 
 
 
: : / , ifx D f x x D r x r Ep     
.
Suy ra,
omfD

là ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính.
Vậy,
omfD
là tập lồi .
Ví dụ
1. Cho
C 
, lồi. Hàm chỉ
 
0,
,
C
x







là một hàm lồi.
2. Hàm chuẩn Euclide trên
n

:
 
 
1
2 2 2
2

12
: :
n
f x x x x x    

là một hàm lồi.
Định lí I.1. Cho D là một tập lồi trong X, f: D






 

. Khi đó, f lồi trênD
khi và chỉ khi
 
0,1



,:x y D

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x y f x f y
   
    
.
Chứng minh
*Điều kiện cần: Giả sử f lồi trên D,

(0,1)



Nếu
x domf
hoặc
omfyd
thì
()fx 
hoặc
()fy 
.
Suy ra
nếu
Cx

nếu
Cx



20
( ) (1 ) ( )f x f y

   

Định lí đúng.
Nếu
, omfx y d

, nghĩa là
f(x) < + 
và
f(y) < + 

Theo nhận xét trên: Vì f là hàm lồi nên domf lồi. Do đó ta có:
(1 ) omfx y d

  

Hay là
( (1 ) )f x y

   
.
Vì Epif lồi nên
( , ) if, ( , ) ifx r Ep y s Ep   
ta có:
(x,r)+ (1- )(y,s) Epif
( x + (1- )y, r + (1- )s) Epif
f( x + (1- )y) r+ (1- )s.

   
   




Chọn r = f(x), s = f(y) ta được:
     

( (1 ) ) 1f x y f x f y
   
    
.
*Điều kiện đủ: Ngược lại, lấy
(x,r) Epif, (y,s) Epif, [0,1]

  
, Ta cần chỉ ra:
( , ) (1 )( , ) ifx r y s Ep

  
.
Thật vậy
( ) ; ( )
( (1 ) ) (x)+ (1- )f(y)
(1 )
( (1 ) , (1 ) ) if
(x,r)+ (1- )(y,s) Epif

f x r f y s
f x y f
rs
x y r s Ep
   

   


   

  
     


Vậy, Epif là tập lồi. Theo định nghĩa, f là hàm lồi.( đpcm)

Định nghĩa I.19[2]. Cho
n
C  
là tập lồi, khác rỗng và hàm
:fC 
.
Hàm f được gọi là chính thường nếu

domf
và
 
Cxxf  ,
.
Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong
1n

.
Định nghĩa I.20[2]. Cho hàm
,:f g C  
trong đó
n
C  
.Ta nói g là bao đóng
của f nếu

epifepig 
. Bao đóng của f ký hiệu là
f
.
Nhận xét
1. Từ định nghĩa của epif, ta thấy rằng một hàm lồi hoàn toàn được xác định nếu


21
biết epif.
2. Nếu f là hàm lồi trên một tập lồi
n
C  
thì ta có thể khai triển f lên toàn
không gian
n

bằng cách đặt
 
 





,
,xf
xf
e

Ta thấy
   
Cxxfxf
e
 ,
và f
e
lồi trên
n

. Hơn nữa, f
e
là chính thường khi và
chỉ khi f chính thường, f
e
đóng khi và chỉ khi f đóng.
3. Nếu f là một hàm lồi trên
n
R
thì dom f là một tập lồi vì dom f chính là hình
chiếu của epif trên tập
n

, tức là
 
 
:,domf x x epif

   
.

Định nghĩa I.21[2]. Cho
n
C  
là một tập lồi khác rỗng.
Hàm
 
:
n
f   
được gọi là lồi chặt trên C nếu
 
, , 0,1x y C

  
ta có:
 
 
     
11f x y f x f y
   
    
.
Hàm
 
:
n
f   
được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số

nếu

 
1,0,, 

Cyx
, ta có:
          
2
1
2
1
11 yxyfxfyf 

.
Nhận xét . f lồi mạnh trên C với hệ số
0

khi và chỉ khi hàm
   
2
.
2


 fh

lồi trên C.
Sau đây, ta sẽ đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình phổ
thông. Đây là một bất đẳng thức tương đối tổng quát trong các bất đẳng thức về
hàm lồi. Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhia… là những trường hợp riêng của bất
đẳng thức này.

Mệnh đề I.14 (Bất đẳng thức Jensen) [1].
Nếu f là hàm lồi xác định và nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì, với mọi
1
, ,
m
x x C
,
*
mN
và
0
j

thỏa mãn
1
1



m
j
j

, ta có:
nếu
Cx

nếu
Cx

22
 
j
m
j
j
m
j
j
j
xfxf











11

.
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với m = 1: Hiển nhiên.

Với m = 2: Bất đẳng thức (1.5) được suy ra từ hàm lồi.
Giả sử bất đẳng thức đúng với m – 1, ta chứng minh nó đúng với m. Thật vậy, giả
sử
1
m

, đặt




1
1
m
j
j

. Khi đó
0

và
m
m
j
m
j
j
m
m
j

m
j
j
j
m
j
j
xxxxx










1
1
1
11
.
Do
1, ,1,0  mj
j


và
1

1
1




m
j
j


nên điểm
Cxy
j
m
j
j




1
1


.
Mặt khác
1
1




m
j
jm

suy ra
 
 
 
m
m
m
m
xfyfxyf


.
Theo giả thiết quy nạp, ta có
 
j
m
j
j
m
j
j
j
xfxf













1
11




.
Ta suy ra
 
j
m
j
j
m
j
j
j
xfxf












11



.
Sau đây ta sẽ đưa ra điều kiện cần và đủ để một hàm là lồi.
Mệnh đề I.15 [1]. Một hàm
:fC 
là lồi trên C khi và chỉ khi
   
 
1,0,,,, 

yfxfCyx
,
ta có
    

 11 yxf
.

Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử f là hàm lồi trên C. Khi đó
   
yfxfCyx 

,,,

ta suy ra
 

,x
và
 

,y
đều thuộc epif . Do f là hàm lồi nên epif là tập lồi. Từ đó


23
    
 
1,0,,1, 

epifyx
.
Suy ra
    
epifyx 

1,1

,
Hay
 
 
 

 11 yxf
.
Điều kiện đủ: Giả sử
 

,x
và
 

,y
thuộc epif suy ra
 

xf
và
 

yf
.
Theo giả thiết điều kiện đủ,
 
1,0

ta có

 
 
 

 11 yxf

Hay
    
.,1, epifyx 


Vậy epif là tập lồi hay f là hàm lồi trên C.
Định nghĩa I.21[2]. Hàm f xác định trên X gọi là thuần nhất dương nếu
)()( xfxf


,
Xx

 
 ,0

.
Định lý I.2. Hàm thuần nhất dương
 
 ;: Xf
là hàm lồi khi và chỉ khi:
     
yfxfyxf 

Xyx  ,
.
Chứng minh
a) Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi. Lấy
Xyx ,
. Khi đó,
 






 yxfyxf
2
1
2
1
2
   






 yfxf
2
1
2

1
2
.
hay là
     
yfxfyxf 
.
b) Ngược lại, giả sử
     
yfxfyxf 

Xyx  ,

Lấy
   
2,1,  iepifrx
ii
, vì
     
212121
rrxfxfxxf 
cho nên

 
1 2 1 2
,x x r r epif  
.
Hơn nữa, vì f là hàm thuần nhất dương, nên nếu
 
epifrx ,

thì
 
rxf 
và
   
f x f x r
  

với
 
0

  

 
epifrx  ,

.
Vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng. Suy ra epif là nón lồi.
Vậy f là hàm lồi.


24
Hệ quả 1. Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương. Khi đó,
,
i
xX

 
0 1,

i
im

  
:
     
mmmm
xfxfxxf


1111
.
Hệ quả 2. Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương. Khi đó,
:Xx

   
0 xfxf
.

I.3. Các phép toán về hàm lồi
Định lý I.3. Giả sử
m
ff , ,
1
là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó, tổng
m
ff 
1
là một hàm lồi.
Định lý I.4. Giả sử F là tập lồi trong

X 
và
    
Fxxf 

,:inf
.
Khi đó, f là hàm lồi trên X.
Định lý I.5. Giả sử
m
ff , ,
1
là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó, hàm
     









xxXxxfxfxf
m
i
iimm
1
11
,: inf

là hàm lồi trên X.
Định lý I.6. Giả sử
 
If 


là các hàm lồi trên X. Khi đó, các hàm:
 
xfSup
I



và
 
xf
I



inf
là hàm lồi.
Để hiểu rõ hơn về các phép toán trên, độc giả có thể xem [2], từ trang 47 đến
trang 50.
Tóm lại: Nội dung chương I đề cập tới tập lồi, hàm lồi và và các tính chất liên
quan: Dấu hiệu nhận biết, các phép toán,… Bên cạnh đó là một số tập lồi quan
trọng: Tập affine, nón,…. Vấn đề dưới vi phân của hàm lồi sẽ được trình bày ở
chương sau.

25






CHƢƠNG II
Dƣới vi phân của hàm lồi
Nội dung chương II đề cập tới khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng những
tính chất cơ bản của nó. Nhưng trước đó, tác giả trình bày khái niệm đạo hàm theo
phương. Bên cạnh đó là một số ví dụ minh họa. Phần cuối chương là khái niện dưới
vi phân của hàm lồi địa phương. Những kiến thức trong chương được tham khảo
chủ yếu trong [1] và [2].

I.1. Đạo hàm theo phƣơng
Cho
f
là hàm xác định trên không gian lồi địa phương Haussdoff X,
()fx 

Định nghĩa II.1. Đạo hàm của hàm
f
theo phương d, tại
x

, kí hiệu:
( , )f x d

được
định nghĩa là giới hạn:

( , )f x d

=
0
( ) ( )
lim
f x d f x





,
nếu giới hạn này tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn).
Nhận xét.
( , )f x d

là hàm thuần nhất dương.
Thật vậy
( , )f x d


=
0

( ) ( )
lim
f x d f x





=
0
( ) ( )
.lim
f x d f x






=
( , )f x d


.
Mệnh đề II.1. Giả sử

là hàm lồi chính thường trên

. Khi đó,


có đạo hàm
phải
,


tại mọi điểm của dom

. Đồng thời,
)(
,
t


là hàm không giảm và nhận giá
trị hữu hạn khi
)int(

domt 
.