song song hóa một số thuật toán tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







Vũ Hồng Linh






SONG SONG HÓA MỘT SỐ THUẬT TOÁN TỔ HỢP




Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán

Mã số: 604635




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. HOÀNG CHÍ THÀNH







Hà Nội – 2011
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
2

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hoàng Chí
Thành, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian
thực hiện luận văn này.
Con cảm ơn Cha, Mẹ và gia đình, những người đã dạy dỗ, khuyến khích,
động viên con trong những lúc khó khăn, tạo mọi điều kiện cho con nghiên cứu học
tập.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Bộ môn Tin học, Khoa
Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
và các bạn bè, đồng nghiệp tại Trường Dự bị Đại Học Dân tộc Trung Ương đã giúp
đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập, sưu tầm tài liệu và trong công tác để tôi có
thể hoàn thành bản luận văn này.
Dù đã cố gắng hết sức cùng với sự tận tâm của thầy giáo hướng dẫn song do
trình độ còn hạn chế nên khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý của thầy cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2011
Học viên
Vũ Hồng Linh
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
3

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 6
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 6
2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU 7
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 7
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ TÍNH TOÁN SONG SONG 8
1.1 CÁC MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG 8
1.1.1 Mô hình SISD (Single Instruction, Single Data) 8
1.1.2 Mô hình SIMD (Single Instruction, Multiple Data) 9
1.1.3 Mô hình MISD (Multiple Instruction, Single Data) 9
1.1.4 Mô hình MIMD (Multiple Instruction, Multiple Data) 10
1.2 MỘT SỐ KỸ THUẬT PHÂN RÃ TRONG TÍNH TOÁN SONG
SONG 11
1.2.1 Phân rã đệ quy (recursive decomposition) 12
1.2.2 Phân rã dữ liệu (data-decomposition) 13
2.2.3 Phân rã thăm dò (exploratory decomposition) 17
1.3 KỸ THUẬT SONG SONG HÓA TÍNH TOÁN DỰA TRÊN PHÂN
ĐOẠN DÃY CÁC NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN 20
CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN DÃY BỊ CHẶN 22
2.1 BÀI TOÁN DÃY BỊ CHẶN 22
2.2 THUẬT TOÁN TÌM CÁC DÃY BỊ CHẶN 23
2.3 SONG SONG HÓA THUẬT TOÁN TÌM CÁC DÃY BỊ CHẶN 25
CHƯƠNG 3. ÁP DỤNG CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP 28

3.1 BÀI TOÁN HOÁN VỊ 28
3.1.1 Bài toán hoán vị 28
3.1.2 Thuật toán sinh các hoán vị 29
3.1.3 Song song hóa thuật toán sinh các hoán vị 36
3.1.4 Ứng dụng của bài toán hoán vị 37
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
4

3.2 BÀI TOÁN TẬP CON 39
3.2.1 Bài toán tập con 40
3.2.2 Thuật toán sinh các tập con 41
3.2.3 Song song hóa thuật toán sinh các tập con 42
3.2.4 Ứng dụng của bài toán tập con 42
3.3 BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH 43
3.3.1 Bài toán phân hoạch 43
3.3.2 Thuật toán tìm các phân hoạch 47
3.3.3 Song song hóa thuật toán tìm các phân hoạch 49
3.3.4 Ứng dụng của bài toán phân hoạch 49
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
PHỤ LỤC 54
PHỤ LỤC 1. BÀI TOÁN DÃY BỊ CHẶN 54
1. Chương trình cho thuật toán tuần tự 54
2. Chương trình cho thuật toán khi phân đoạn nghiệm 55
PHỤ LỤC 2. BÀI TOÁN HOÁN VỊ 58
1. Chương trình cho thuật toán tuần tự 58
2. Chương trình cho thuật toán khi phân đoạn nghiệm 59
PHỤ LỤC 3. BÀI TOÁN TẬP CON 62
1. Chương trình cho thuật toán tuần tự 62
2. Chương trình cho thuật toán khi phân đoạn nghiệm 63

PHỤ LỤC 4. BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH 65
1. Chương trình cho thuật toán tuần tự 65
2. Chương trình cho thuật toán khi phân đoạn nghiệm 66

LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
5

MỤC LỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1. Mô hình tính toán tuần tự ………………………………………… 6
Hình 1.1. Mô hình máy tính SISD 8
Hình 1.2. Mô hình máy tính SIMD 9
Hình 1.3. Mô hình máy tính MISD 10
Hình 1.4. Mô hình máy tính MIMD 11
Hình 1.5. Phân rã đệ quy sắp xếp dãy gồm 12 chữ số 13
Hình 1.6. Phân rã phép nhân ma trận 14
a) Phân hoạch các ma trận đầu vào và đầu ra thành 2x2 ma trận con 14
b) Một phân rã của phép nhân ma trận thành bốn công việc dựa trên các phân
hoạch của các ma trận trong (a) 14
Hình 1.7. Nhân hai ma trận A và B với phân hoạch của ma trận trung gian
3 chiều D 16
Hình 1.8. Một phân rã của phép nhân ma trận dựa trên việc phân hoạch ma
trận trung gian 3 chiều D 17
Hình 1.9. Đồ thị phụ thuộc của phân rã trong Hình 1.8 17
Hình 1.10. Phân rã thăm dò minh họa cho Bài toán đố thứ 15 19
Hình 1.11. Sơ đồ tính toán song song tìm các nghiệm của bài toán 21
Hình 3.1. Loại a
i
và dồn danh sách XS ….………………………………….35

LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
6

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong tính toán truyền thống, phần mềm máy tính được viết cho tính
toán tuần tự. Để giải quyết một bài toán, một thuật toán được xây dựng và
thực hiện như một chuỗi tuần tự các lệnh. Các lệnh này được thực hiện trong
bộ xử lý trung tâm (CPU) của máy tính. Tại một thời điểm, chỉ có một lệnh
được thực hiện. Sau khi lệnh trước kết thúc thì lệnh tiếp theo mới được thực
hiện. Quá trình thực hiện các lệnh được thể hiện như hình dưới đây.



Hình 1. Mô hình tính toán tuần tự

Tính toán song song là một hình thức tính toán, trong đó nhiều tính toán
được thực hiện đồng thời. Tính toán song song hoạt động trên nguyên tắc một
bài toán lớn được chia thành các bài toán nhỏ hơn, sau đó các bài toán này
được giải quyết đồng thời. Song song đã được sử dụng nhiều năm và trong
những năm gần đây tính toán song song đã trở thành mô hình thống trị trong
kiến trúc máy tính, chủ yếu dưới hình thức các bộ đa xử lý (multi-processors).
Vậy, tại sao phải tính toán song song? Mặc dù tốc độ xử lý của các bộ
xử lý tăng lên nhiều, nhưng do giới hạn về vật lý nên khả năng tính toán của
chúng không thể tăng mãi được. Điều này dẫn tới là muốn tăng được khả năng
tính toán của các hệ thống máy tính thì phải khai thác được khả năng xử lý
song song của chúng.
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
7

Nhiều bài toán với số lượng tính toán rất lớn như bài toán mô phỏng
thời tiết, bài toán tạo hình trong y học hay phân tích mật mã… không thể giải
được trong một khoảng thời gian hợp lý nếu sử dụng tính toán tuần tự - ngay
cả khi ta thực hiện trên các siêu máy tính, do đó đòi hỏi phải sử dụng những
hệ thống đa bộ xử lý và xử lý song song.
Để song song hóa tính toán, chúng ta có thể chia bài toán thành các bài
toán nhỏ hơn rồi giải quyết song song các bài toán đó như chiến lược chia để
trị. Hoặc có thể chia nhỏ dữ liệu của bài toán rồi giải quyết song song theo
từng phần. Tuy nhiên, với các bài toán tổ hợp thì hai phương pháp trên là
không khả thi. Với một hướng tiếp cận mới, song song hóa tính toán dựa trên
phân đoạn dãy các nghiệm của bài toán, chúng tôi sẽ giải quyết được vấn đề
song song hóa các thuật toán tổ hợp.
2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Trong phạm vi một luận văn thạc sĩ, đề tài tập trung nghiên cứu cơ sở
lý thuyết và ứng dụng. Trên cơ sở đó, tiến hành phân đoạn dãy nghiệm cho
một số bài toán tổ hợp tiêu biểu.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp phân tích
- Phương pháp tổng hợp
- Phương pháp thực nghiệm
- Phương pháp lập trình
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
8

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ TÍNH TOÁN SONG SONG

1.1 CÁC MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG
Có nhiều cách phân loại các kiến trúc tính toán khác nhau trong đó sự
phân loại của M. Flynn được dùng phổ biến nhất. Flynn phân loại kiến trúc

máy tính dựa trên một số đặc tính như: số lượng bộ xử lý, số lượng các
chương trình chúng có thể thực hiện và cấu trúc của bộ nhớ. Sự phân loại này
đã dẫn đến bốn mô hình kiến trúc tính toán như sau:
1.1.1 Mô hình SISD (Single Instruction, Single Data)
Những máy tính SISD chỉ có một CPU mà tại một thời điểm chúng chỉ
thực hiện duy nhất một lệnh (Single Instruction) và chỉ có thể xử lý một đối
tượng dữ liệu (Single Data).


Hình 1.1. Mô hình máy tính SISD

Chẳng hạn, khi thực hiện phép tính C = A + B và A = B*2 thì máy sẽ
thực hiện tuần tự như sau:

Arithmetic
Processor
Memory
Instruction Results Data
Stream
Control Unit
Control Signals
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
9

Mô hình SISD chính là mô hình máy tính truyền thống kiểu Von
Neumann.
1.1.2 Mô hình SIMD (Single Instruction, Multiple Data)
Những máy tính SIMD có một bộ điều khiển và chỉ thực hiện một lệnh
tại một thời điểm nhưng chúng có nhiều phần tử xử lý.

Hình 1.2. Mô hình máy tính SIMD
Bộ điều khiển phát ra tín hiệu điều khiển cho các phần tử xử lý và các
phần tử xử lý này sẽ thực hiện cùng một thao tác trên các đối tượng dữ liệu
khác nhau.

1.1.3 Mô hình MISD (Multiple Instruction, Single Data)
Máy tính loại MISD là ngược lại với SIMD. Máy tính MISD có thể thực
hiện nhiều chương trình (nhiều lệnh) trên cùng một mục dữ liệu, nên còn
Con
trol Unit

Processing
Element 2
Processing
Element 3
Processing
Element 1
Cotrol signals Cotrol signals
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
10

được gọi là MPSD (đa chương trình, đơn luồng dữ liệu). Kiến trúc kiểu này
có thể chia thành hai nhóm:
 Lớp các máy tính yêu cầu những bộ xử lý khác nhau có thể nhận
được những lệnh khác nhau để thực hiện trên cùng một mục dữ liệu.

Hình 1.3. Mô hình MISD
 Lớp các máy tính có các luồng dữ liệu được chuyển tuần tự theo dãy
các CPU liên tiếp.


1.1.4 Mô hình MIMD (Multiple Instruction, Multiple Data)
MIMD là một hệ thống đa bộ xử lý hoặc đa máy tính. Mỗi bộ xử lý trong
hệ thống này có một bộ điều khiển riêng.
Data
stream
Instruction Stream 1
Control Unit1
Control Unit 2
Control Unit n
Arithmetic
Processor 1

Instruction Stream2
Instruction Stream n
Arithmetic
Processor
2

Arithmetic
Processor
n

LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
11

Hình 1.4. Mô hình máy tính MIMD
Hệ thống MIMD có các đặc trưng sau:
 Chúng phân tán tiến trình cho một số bộ xử lý độc lập.
 Tất cả các bộ xử lý chia sẻ tài nguyên được lưu trữ trong bộ nhớ
chính.
 Các bộ xử lý hoạt động đồng thời và độc lập với nhau.
 Mỗi bộ xử lý chạy một chương trình riêng.



1.2 MỘT SỐ KỸ THUẬT PHÂN RÃ TRONG TÍNH TOÁN SONG SONG
Quá trình phân chia một bài toán thành các bài toán nhỏ hơn, một số
hoặc tất cả các bài toán nhỏ đó có thể được thực hiện song song, được gọi là
phân rã. Việc thực hiện đồng thời nhiều tính toán là chìa khóa để giảm thời
Instruction Stream 1
Control Unit1
Control Unit 2
Control Unit n
Arithmetic
Processor 1

Instruction Stream2
Instruction Stream n
Arithmetic
Processor
2

Arithmetic

Processor
n

Data Stream n
Data Stream 2
Data Stream 1
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
12

gian cần thiết để giải quyết toàn bộ bài toán. Các bài toán có thể có kích thước
tùy ý, nhưng một khi đã xác định, chúng được coi là đơn vị chia của bài toán.
Các bài toán được phân rã có thể có kích thước không giống nhau.
Trong mục này, chúng ta sẽ mô tả một số kỹ thuật phân rã thường được
sử dụng để đạt được sự tương tranh. Đây không phải là đầy đủ tất cả các kỹ
thuật phân rã có thể có. Ngoài ra, mỗi một phân rã không phải lúc nào cũng
dẫn đến một thuật toán song song tốt nhất cho bài toán xác định. Mặc dù có
những thiếu sót song các kỹ thuật phân rã mô tả trong phần này thường tạo
một khởi đầu tốt cho nhiều bài toán và sự kết hợp của các kỹ thuật này có thể
được sử dụng để có được sự phân rã hiệu quả cho nhiều bài toán.
Các kỹ thuật phân rã bao gồm: phân rã đệ quy (recursive
decomposition), phân rã dữ liệu (data-decomposition) và phân rã thăm dò
(exploratory decomposition).
1.2.1. Phân rã đệ quy
Phân rã đệ quy là một phương pháp đạt được sự tương tranh trong các
bài toán giải được bằng chiến lược chia để trị.
Trong kỹ thuật này, để giải một bài toán các thuật toán gọi đến chính
nó một hoặc nhiều lần để xử lý các bài toán con liên quan. Đầu tiên, ta chia
bài toán thành các bài toán con tương tự với bài toán ban đầu nhưng kích
thước nhỏ hơn. Sau đó giải đệ quy các bài toán con và kết hợp các lời giải để
được lời giải cho bài toán ban đầu.

Ví dụ 1.1: Xét bài toán sắp xếp dãy n phần tử A sử dụng thuật toán quicksort
(giả sử n = 12).
Quicksort là một thuật toán chia để trị mà bắt đầu chọn một phần tử
trục x. Sau đó phân hoạch dãy A thành 2 dãy con A
0
và A
1
sao cho các phần tử
của A
0
nhỏ hơn x và các phần tử của A
1
lớn hơn hoặc bằng x. Đây là bước chia
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
13

của thuật toán. Sau đó, mỗi một dãy con A
0
và A
1
được sắp xếp bằng cách gọi
đệ quy thủ tục quicksort.

Hình 1.5. Phân rã đệ quy sắp xếp một dãy gồm 12 số
Hình vẽ trên là đồ thị thực hiện của bài toán. Lúc đầu chỉ có một dãy (là
nút gốc của cây), và chúng ta chỉ cần dùng một quá trình duy nhất để phân rã
nó. Hoàn thành quá trình phân rã ở nút gốc ta được hai dãy con (A
0
và A
1

,
tương ứng với hai nút đầu tiên của cây) và mỗi dãy có thể thực hiện phân rã
song song với nhau. Tương tự như vậy, sự tương tranh tiếp tục tăng lên khi ta
di chuyển dần xuống đến nút lá của cây.
1.2.2. Phân rã dữ liệu
Phân rã dữ liệu là một phương pháp mạnh và thường được sử dụng để
tạo ra sự tương tranh trong các thuật toán chạy trên các bộ dữ liệu lớn. Trong
phương pháp này, sự phân rã các tính toán được thực hiện theo hai bước:
 Bước 1: Dữ liệu mà các tính toán sử dụng được phân rã;
 Bước 2: Các dữ liệu được phân rã này được sử dụng để tạo ra sự phân
rã của các tính toán trong các công việc.
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
14

Các thao tác mà những công việc này thực hiện trên các phân vùng dữ liệu
khác nhau thường tương tự (như ví dụ nhân ma trận) hoặc được chọn từ một
nhóm nhỏ các thao tác. Một số cách phân rã dữ liệu như sau:
Phân hoạch dữ liệu đầu ra: Trong nhiều bài toán, mỗi yếu tố đầu ra
có thể được tính toán một cách độc lập như một chức năng của đầu vào.
Trong các bài toán như vậy, một phân hoạch của dữ liệu đầu ra tự động tạo ra
một sự phân rã của các bài toán cho mỗi công việc, mỗi công việc được phân
công tính toán một phần của đầu ra. Ta xét bài toán nhân ma trận trong ví dụ
dưới đây để minh họa cho việc phân rã dựa vào phân hoạch dữ liệu đầu ra.
Ví dụ 1.2: Xét bài toán nhân hai ma trận vuông A và B cấp n để được ma trận
C.
Hình 1.6 cho thấy sự phân rã bài toán này thành bốn công việc. Mỗi ma
trận được xem là sự hợp thành của bốn khối hay các ma trận con được xác
định bằng cách chia đôi kích thước của ma trận. Bốn ma trận con của C, kích
thước của mỗi ma trận là (n/2) × (n/2), được tính toán một cách độc lập bởi
bốn công việc là tổng của các ma trận con của A và B.

Hình 1.6. Phân rã bài toán nhân ma trận
a) Phân hoạch các ma trận đầu vào và đầu ra thành 2x2 ma trận con
b) Một phân rã của phép nhân ma trận thành bốn công việc dựa trên các phân
hoạch của các ma trận trong (a)
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
15

Phân hoạch dữ liệu đầu vào: Phân hoạch dữ liệu đầu ra chỉ thực hiện
được khi mỗi dữ liệu đầu ra có thể được tính toán như một chức năng của đầu
vào. Trong nhiều thuật toán, khó hoặc không thể phân hoạch được dữ liệu đầu
ra. Ví dụ, trong tìm kiếm phần tử max, min hoặc tổng của một tập hợp số, dữ
liệu đầu ra là một giá trị chưa xác định. Trong thuật toán sắp xếp, mỗi phần tử
đầu ra riêng biệt không thể được xác định hiệu quả khi đứng riêng biệt. Trong
các trường hợp như vậy, có thể sử dụng phân hoạch dữ liệu đầu vào để đạt
được sự tương tranh. Mỗi phân hoạch được tạo ra sẽ được tính toán bởi một
công việc. Sau đó sẽ có một công việc để tổng hợp các kết quả.
Ví dụ, trong tính tổng của một dãy N số sử dụng p bộ xử lý (N > p), ta
có thể phân hoạch đầu vào thành p dãy con có kích thước gần bằng nhau. Mỗi
công việc sẽ tính tổng các phần tử trong mỗi dãy con, sau đó p kết quả thành
phần sẽ được tổng hợp lại thành kết quả cuối cùng.
Phân hoạch dữ liệu trung gian: Các thuật toán thường được cấu trúc
như những tính toán nhiều tầng sao cho dữ liệu đầu ra của tầng này là đầu vào
của tầng tiếp theo. Sự phân rã như vậy của một thuật toán có thể suy ra từ việc
phân hoạch dữ liệu đầu vào hoặc dữ liệu đầu ra của một tầng trung gian của
thuật toán. Việc phân hoạch dữ liệu trung gian đôi khi có thể đạt được sự
tương tranh cao hơn so với việc phân hoạch dữ liệu đầu vào hoặc dữ liệu đầu
ra. Thông thường, dữ liệu trung gian không được sinh ra một cách rõ ràng
trong các thuật toán tuần tự và việc cấu trúc lại một số thuật toán ban đầu có
thể phải sử dụng dữ liệu phân hoạch trung gian để tạo ra một phân rã.

Ví dụ 1.3: Chúng ta trở lại với ví dụ nhân hai ma trận kích thước n×n. Ở phần
trên, chúng ta đã phân rã ma trận đầu ra C để đạt được sự tương tranh tối đa là
4. Chúng ta có thể làm tăng mức độ tương tranh bằng cách tạo ra một giai
đoạn trung gian trong đó 8 công việc tính toán các ma trận con và lưu kết quả
vào ma trận tạm thời D.
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
16


Hình 1.7. Nhân hai ma trận A và B với phân hoạch của ma trận trung gian 3 chiều D

Một phân hoạch của ma trận trung gian D biến một phân rã thành 8
công việc. Hình 1.8 mô tả sự phân rã này. Sau khi hoàn thành phép nhân, sẽ
có một công việc thực hiện phép cộng để được ma trận kết quả. Tất cả các ma
trận con D
*,i,j
có cùng chiều thứ hai và thứ ba là i và j được tính tổng và đưa
vào ma trận C
i, j
.
8 công việc được đánh số từ 1 đến 8 trong Hình 1.8, mỗi công việc sẽ
thực hiện O(n
3
/8) công việc trong phép nhân (n/2) × (n/2) các ma trận con của
A và B. Sau đó mỗi công việc từ 9 đến 12 sử dụng O(n
2
/4) thời gian để cộng
(n/2) × (n/2) ma trận con của ma trận trung gian D để được ma trận kết quả
cuối cùng C. Hình 1.9 cho thấy đồ thị phụ thuộc nhiệm vụ tương ứng với
phân rã trong Hình 1.8.

LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
17


Hình 1.8. Một phân rã của phép nhân ma trận dựa trên việc phân hoạch
ma trận trung gian 3 chiều D


Hình 1.9. Đồ thị phụ thuộc của phân rã trong Hình 1.8
2.2.3. Phân rã thăm dò
Phân rã thăm dò được sử dụng để phân rã các bài toán mà các tính toán
nằm bên dưới tương ứng với một sự tìm kiếm trong không gian nghiệm.
Trong phân rã thăm dò, chúng ta phân hoạch không gian tìm kiếm thành
nhiều phần nhỏ hơn, và tìm kiếm đồng thời trên các không gian này cho đến
khi các nghiệm mong muốn được tìm thấy.
Ví dụ 1.4: Bài toán đố thứ 15
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
18

Có 15 quân cờ được được đánh số từ 1 đến 15 đặt trên một bàn cờ gồm
4×4 ô. Quân cờ có thể di chuyển vào vị trí trống từ một vị trí liền kề nó do đó
sẽ tạo ra một ô trống ở vị trí ban đầu của quân cờ. Quân cờ có thể di chuyển
theo 4 hướng: lên, xuống, sang trái và sang phải. Cho biết cấu hình ban đầu và
cuối cùng của quân cờ. Hãy xác định một chuỗi các di chuyển sao cho từ cấu
hình ban đầu, ta đạt được cấu hình cuối cùng sau một chuỗi ngắn nhất các
phép dịch chuyển.
Giả sử ta có một cấu hình ban đầu và cấu hình cuối cùng như sau:

Đầu tiên, từ cấu hình ban đầu ta tạo ra các nút sao cho mỗi nút là một
khả năng di chuyển để tạo ra các cấu hình mới của bàn cờ (ví dụ ta có 4 khả

năng di chuyển như hình minh họa). Sau đó mỗi nút được giao cho một công
việc để tiếp tục khám phá cho đến khi ít nhất một trong số đó tìm thấy một
nghiệm. Ngay sau khi một công việc tìm thấy nghiệm nó sẽ thông báo cho các
công việc khác để chấm dứt việc tìm kiếm.
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
19


Hình 1.10. Phân rã thăm dò minh họa cho bài toán đố thứ 15
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
20

1.3 KỸ THUẬT SONG SONG HÓA TÍNH TOÁN DỰA TRÊN PHÂN
ĐOẠN DÃY CÁC NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
Với nhiều bài toán chúng ta có thể biết trước số lượng nghiệm của nó
và sự sắp xếp của các nghiệm trong một dãy cần tìm. Đối với các bài toán này
ta có thể áp dụng chiến lược phân rã dữ liệu đầu ra với một cách làm chi tiết
hơn. Song song hóa tính toán dựa trên phân đoạn dãy các nghiệm của bài toán
là một hướng tiếp cận mới để giải quyết các bài toán trên.
Để tổ chức tính toán song song, ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Chia dãy các nghiệm cần tìm của bài toán thành n (n ≥ 2) đoạn
con. Mỗi một đoạn con có đầu vào và điều kiện kết thúc riêng.
Đầu vào của quá trình tính toán thứ nhất trùng với đầu vào của bài toán,
điều kiện kết thúc của quá trình tính toán thứ n trùng với điều kiện kết thúc
của bài toán. Việc phân đoạn dãy nghiệm của bài toán phải thỏa mãn hai điều
kiện:
1. Dễ dàng xác định đầu vào và điều kiện kết thúc của các quá trình
tìm đoạn con các nghiệm.
2. Độ dài các đoạn con các nghiệm chênh lệch nhau càng ít càng tốt.
Hai điều kiện này nhằm hiện thực hóa quá trình tính toán song song,

cân bằng tải cho các bộ xử lý và giảm đáng kể thời gian tính toán. Đạt được
cả hai điều kiện là điều rất khó khăn. Chính vì thế, chúng ta thường ưu tiên
điều kiện thứ nhất và cố gắng để điều kiện thứ hai đạt được đến mức tốt nhất
có thể.
Bước 2: Sử dụng cùng một chương trình (thuật toán) để tính toán tìm ra
các đoạn con nghiệm đó một cách đồng thời trên môi trường tính toán song
song.
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
21


Hình 1.11. Sơ đồ tính toán song song tìm các nghiệm của bài toán
Khi đó thời gian tìm nghiệm giảm đáng kể theo số các đoạn con
nghiệm được chia. Việc tổ chức tính toán song song các nghiệm theo kỹ thuật
này là sự kết hợp giữa thiết kế thuật toán theo kiểu dưới lên và chia để trị.

LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
22

CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN DÃY BỊ CHẶN

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về bài toán dãy bị chặn, xây
dựng thuật toán tìm các dãy bị chặn và song song hóa thuật toán này theo kỹ
thuật phân đoạn dãy nghiệm đã trình bày trong Chương 1.
2.1 BÀI TOÁN DÃY BỊ CHẶN
Ký hiệu Z là tập hợp các số nguyên và n  Z. Lấy p và q là 2 dãy số
nguyên độ dài n:
Zqpniqqqqpppp
iinn










,:} ,,2,1{, và
2121
.
Định nghĩa 1.1: Ta nói rằng:
1) p ≤ q khi và chỉ khi
ii
qpni



:} ,,2,1{


2) p < q khi và chỉ khi
jjii
qpnjvàqpni







:} ,,2,1{:} ,,2,1{
Bài toán dãy bị chặn:
Bài toán dãy bị chặn được H. C. Thành đưa ra trong [6] như sau:
Cho hai dãy số nguyên độ dài n,






nn
ggggssss và
2121
sao
cho s < g.
Hãy tìm tất cả các dãy số nguyên độ dài n,



n
tttt
21
thoả mãn s ≤ t ≤ g.
Dãy số s và g được gọi là các dãy biên. Dãy



n
tttt
21

phải thỏa
mãn:
iiii
gtsZtni






:}, ,2,1{
(2.1)
Thành phần t
1
có thể nhận một trong các giá trị sau:
1111
,,2,1, gsss


. Vì thế nó có )1(
11


sg sự lựa chọn.
Thành phần t
2
có thể nhận một trong các giá trị sau:
2222
,,2,1, gsss



. Vì thế nó có )1(
22


sg sự lựa chọn
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
23

Tương tự, thành phần t
n
có thể nhận một trong các giá trị sau:
nnnn
gsss ,,2,1,


. Nó có )1(


nn
sg sự lựa chọn.
Điều đó chứng tỏ số lượng dãy cần tìm là:



n
i
ii
sg
1

)1(
2.2 THUẬT TOÁN TÌM CÁC DÃY BỊ CHẶN
Mỗi dãy số nguyên


n
tttt
21
có thể được xem như là một từ có độ
dài n trên bảng chữ cái Z. Ta sắp xếp các từ này tăng dần theo thứ tự từ điển.
- Từ nhỏ nhất là s
1
s
2
… s
n
ứng với dãy s,
- Từ lớn nhất là từ g
1
g
2
…g
n
ứng với dãy g.
Ví dụ 2.1: Cho hai dãy biên s = <3 5 7 8> và g = <4 5 8 9>. Có tất cả 8 dãy số
nguyên t thỏa mãn s ≤ t ≤ g được sắp xếp tăng dần theo bảng sau:
Thứ
tự
Dãy t

1
3 5 7 8
5
4 5 7 8
2
3 5 7 9
6
4 5 7 9
3
3 5 8 8
7
4 5 8 8
4
3 5 8 9
8
4 5 8 9

Từ dãy đầu tiên s
1
s
2
… s
n
ta xây dựng một vòng lặp để sinh các dãy còn
lại.
Giả sử rằng



n

tttt
21
là một dãy nào đó thỏa mãn (2.1). Ta phải
tìm dãy

''
2
'
1
'

n
tttt
kế tiếp sau dãy t trong dãy đã được sắp xếp ở trên.
Theo thứ tự từ điển, dãy
'
t
được kế thừa phần bên trái nhiều nhất có thể
của dãy t từ tọa độ 1 đến tọa độ thứ i-1, với:
i = max{ j | t
j
< g
j
}
Khi đó, từ tọa độ đầu tiên đến tọa độ thứ i-1 không thay đổi:
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
24

'
j

t = t
j
, j = 1, 2, …, i-1.
Các tọa độ còn lại được xác định như sau:
'
i
t
=t
i
+1 và
'
j
t = s
j
, j = i+1, i+2, …, n.
Bước sinh các dãy kết thúc khi tất cả các dãy số nguyên thỏa mãn (2.1)
đều đã được sinh ra. Khi đó thì:
i = 0
Đây cũng là điều kiện kết thúc của thuật toán.
Thuật toán 2.1:
void main()
1. { Nhap();
2. for(i = 1; i <= n ; i++) T[i] = S[i];
3. while (i != 0)
4. { InRa(T);
5. i = n;
6. while (T[i] == G[i])
7. { T[i] = S[i];
8. i = i-1;
9. if(i == 0) break; }

10. if (i >= 1) T[i] = T[i] + 1; } }

Độ phức tạp của thuật toán:
Dòng lệnh 2) khởi gán dãy T với độ phức tạp O(n).
Từ dòng lệnh số 3) đến dòng lệnh số 10) tìm và in ra đủ



n
i
ii
sg
1
)1(

dãy T. Trong đó chu trình 5) đến 9) xác định vị trí thay đổi và sinh dãy tiếp
theo có độ phức tạp là O(n).
LUẬN VĂN CAO HỌC Song song hóa một số thuật toán tổ hợp
25

Vậy độ phức tạp tổng thể của thuật toán là O(n.



n
i
ii
sg
1
)1(

)
2.3 SONG SONG HÓA THUẬT TOÁN TÌM CÁC DÃY BỊ CHẶN
Để song song hóa tính toán tìm tất cả các dãy bị chặn t thỏa mãn
g
t
s


ta chia dãy nghiệm cần tìm thành m đoạn con. Số các đoạn con phụ
thuộc vào số bộ xử lý hệ thống dành cho việc tính toán.
Giả sử m ≤ g
1
-s
1
+1. Ta có thể chia khá đều đoạn nguyên [s
1
, g
1
]
thành m đoạn như sau:
Đặt l = g
1
– s
1
+1, p = l div m và q = l mod m. Khi đó, ta có thể chia
đoạn nguyên [s
1
, g
1
] thành q đoạn con có độ dài là p+1 và m-q đoạn con có độ

dài là p như hình vẽ dưới đây:

Bộ xử lý thứ j (j = 1, 2,…, m) sẽ tìm tất cả các dãy bị chặn thuộc đoạn
con nghiệm thứ j. Chúng chính là các dãy bị chặn mà thành phần t
1
thuộc vào
đoạn j như đã chia ở hình trên. Để làm việc này ta chỉ cần gán giá trị mới cho
G[1] và S[1] như sau:









pjqS
pjS
S
).1(]1[
)1).(1(]1[
]1[
và








1]1[
]1[
]1[
pS
pS
G

Nghĩa là, bộ xử lý thứ j giải quyết một bài toán dãy bị chặn với các dãy
biên mới (hẹp hơn). Thuật toán cho bộ xử lý thứ j (j = 1, 2,…, m) là:

Thuật toán 2.2:

, nếu j ≤ q
, ngược lại
, nếu j ≤ q
, ngược lại.