dòng chảy chất khí trong đường ống có cấp nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







Nguyễn Công Hảo





DÒNG CHẢY CHẤT KHÍ TRONG
ĐƯỜNG ỐNG CÓ CẤP NHIỆT








LUẬN VĂN THẠC SỸ

Hà Nội – 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN










Nguyễn Công Hảo

DÒNG CHẢY CHẤT KHÍ TRONG
ĐƯỜNG ỐNG CÓ CẤP NHIỆT




LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Cơ học Chất lỏng
Mã ngành: 60 44 22



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS - TS. Trần Văn Trản

Hà Nội - 2011




- 1 -
MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 3
Chương 1 - DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU CỦA CHẤT KHÍ HOÀN HẢO TRONG ĐƯỜNG ỐNG
TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT 6
Hệ phương trình tổng quát 7

Chương 2 - CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT KHÍ TRONG ĐƯỜNG ỐNG CÓ MA SÁT 13
2.1 Hệ phương trình 13
2.2 Dòng chảy đoạn nhiệt của chất khí hoàn hảo trong ống có ma sát 15
a) Vòi phun thu hẹp (không có họng hoặc vòi phun dưới âm) nối với ống dẫn 22
b) Vòi phun có họng (vòi phun trên âm) nối với ống dẫn 23
2.3 Dòng chảy có ma sát trong đường ống có thiết diện thay đổi. 24
Chương 3 - DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU TRONG ĐƯỜNG ỐNG CÓ CẤP HOẶC THU NHIỆT 27
3.1 Dòng chảy không có ma sát, có cấp hoặc thu nhiệt trong đường ống thiết diện không đổi. 27
3.2 Dòng chảy có trao đổi nhiệt của chất khí hoàn hảo trong đường ống. 29
3.3 Dòng chảy có kèm hiện tượng ngưng tụ hoặc cháy 34
3.3.1. Dòng chảy có kèm theo ngưng tụ 35
3.3.2. Dòng chảy có kèm theo cháy nổ 36
3.4 Dòng chảy có trao đổi nhiệt trong đường ống có ma sát 41
3.4.1 Dòng chảy có trao đổi nhiệt trong đường ống thiết diện thay đổi 41
3.4.2 Dòng chảy có trao đổi nhiệt, có ma sát trong đường ống thiết diện không đổi 43
Chương 4 - KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 47
4.1 Chương trình tính toán 47
- 2 -
4.2 Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa
q
và
l
52
4.3 Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa M và l 53
4.4 Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa V và l 54
4.5 Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa T và l 55
4.6 Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa P và l 56
4.7 Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa

và l 57

KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59
- 3 -
MỞ ĐẦU
Việc nâng cao hiệu suất là yêu cầu quan trọng trong mọi ngành hiện nay. Các
nguồn năng lượng hóa thạch đang dần cạn kiệt càng đòi hỏi con người sử dụng năng
lượng hiệu quả hơn. Việc nâng cao hiệu suất trong quá trình vận chuyển xăng, dầu, khí
đốt cũng không nằm ngoài vấn đề thời sự đó.
Vận tải đường biển ra đời khá sớm so với các phương thức vận tải khác.
Ngay từ thế kỷ thứ V trước công nguyên con người đã biết lợi dụng biển làm các tuyến
đường giao thông để giao lưu các vùng các miền. Tuy nhiên vận tải đường biển phụ
thuộc rất nhiều vào điệu kiện tự nhiên. Tốc độ của tàu biển còn thấp và việc tăng tốc độ
khai thác của tàu biển còn bị hạn chế
Theo tính toán chuyên môn thì hiện nay phương thức vận chuyển xăng, dầu trên
đất liền bằng đường ống là phương thức vận chuyển đạt hiệu quả kinh tế cao với chi
phí thấp nhất so với các loại hình vận chuyển khác như đường thủy, đường bộ. Ngoài
ra, việc vận chuyển xăng, dầu bằng đường ống còn mang lại hiệu quả nhiều mặt cho xã
hội vì ít xảy ra sự cố tai nạn so với phương tiện chở xăng, dầu trên đường. Nhất là
trong điều kiện đường sá và cơ sở hạ tầng giao thông còn nhiều yếu kém, bất cập như
hiện nay thì vận chuyển bằng đường ống sẽ góp phần tích cực làm giảm mật độ
phương tiện giao thông trên các tuyến đường. Theo khảo sát của Công ty Xăng dầu
B12, nếu đường ống bị trục trặc kỹ thuật phải vận chuyển bằng ô-tô thì với khối lượng
5.000 m3 xăng, dầu cần chuyên chở mỗi ngày phải huy động tới 300 xe téc loại có
dung tích từ 17 đến 18 m3/xe mới vận chuyển hết. Với việc huy động một lượng xe lớn
chở xăng, dầu tham gia lưu thông từ kho B12 đi Hải Phòng, Hải Dương, Hà Nội, Hà
Nam sẽ gây nên ùn tắc giao thông.
Trong quá trình sản suất và sinh hoạt của con người trong không gian
điều hòa thường sinh ra các chất độc hại và nhiệt thừa, ẩm thừa làm cho các thông số
khí hậu trong đó thay đổi, mặt khác nồng độ ô xy cần thiết giảm sinh ra mệt mỏi và ảnh
hưởng lâu dài tới sức khỏe.

- 4 -
Vì vậy cần thiết phải thải không khí đã bị ô nhiễm ra bên ngoài, đồng
thời thay thế vào đó là không khí đã được sử lý, không có chất độc hại.
Trong các nhà máy, xí nghiệp sản xuất công nghiệp nguồn tỏa độc hại
chủ yếu do các thiết bị và quá trình công nghệ tạo ra. Môi trường làm việc luôn bị ô
nhiểm bởi các hơi ẩm, bụi bẩn, các chất khí do hô hấp thải ra và bài tiết của con người:
CO
2
, NH
3
, hơi nước Ngoài ra còn các chất khí khác do quá trình sản xuất sinh ra như
CO, NO
2
, các hơi axít, bazơ
Ý nghĩa và tính cấp thiết của vấn đề: Việc nâng cao hiệu suất là một bài toán
vô cùng quan trọng. Đặc biệt có ý nghĩa quan trọng hiện nay, khi mà các nguồn năng
lượng đang càng ngày càng cạn kiệt. Thậm chí các cuộc chiến tranh trên thế giới hiện
nay, đang được gọi là chiến tranh năng lượng. Việc nâng cao hiệu suất còn góp phần
làm giảm chi phí dẫn đến giá thành sản suất giảm nên sản phẩm có sức cạnh tranh hơn .
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu trong phạm vi luận
văn là là các đường ống có kích thước không đổi, được cấp nhiệt trên một đoạn nào đó
hay trên toàn bộ đường ống. Và sử dụng phương trình động lượng, phương trình trạng
thái của chất khí hoàn hảo, phương trình liên tục, phương trình năng lượng để thiết lập
hệ phương trình xác định số Mach, vận tốc, nhiệt độ, áp suất, mật độ của dòng chảy ở
đầu ra.
Mục tiêu nghiên cứu: Nâng cao hiệu suất truyền tải chất lỏng, chất khí trong
đường ống bằng cách sử dụng thêm nguồn nhiệt. Một phương án rất khả thi là sử dụng
năng lượng mặt trời. Có một cách khác để nâng cao hiệu suất đó là tăng đường kính
của ống, tuy nhiên theo phương án này chi phí xây dựng sẽ tăng rất cao.
Phương pháp nghiên cứu: Luận văn sử dụng phương pháp mô hình hoá số trị

để nghiên cứu. Phương pháp này hướng tới việc thiết lập một công cụ tự động tính toán
dựa trên sự hỗ trợ của máy tính. Yêu cầu ấy trước hết xuất phát từ việc phân tích ưu
nhược điểm các mô hình vật lý hiện có, so sánh với mục tiêu nghiên cứu và các nguồn
tài nguyên. để từ đó thiết lập một mô hình lý thuyết cho bài toán. Mô hình số trị bao
- 5 -
gồm các hợp phần có tính độc lập tương đối: Số Mach, vận tốc, nhiệt độ, áp suất. Về
mặt lý thuyết, các biến đổi giải tích và xấp xỉ của đạo hàm được sử dụng . Đối với thuật
toán, phương pháp Runge-Kutta được sử dụng với độ chính xác bậc hai. Mô phỏng số
cho một miền tính xác định được tiến hành với sự điều chỉnh các đặc trưng khác nhau
của bài toán.
Cấu trúc của luận văn: Luận văn bao gồm bốn chương.
Chương 1, Tổng quan về dòng chảy một chiều của chất khí hoàn hảo trong đường ống.
Chương 2, Chuyển động của chất khí trong đường ống có ma sát.
Chương 3, Dòng chảy một chiều trong đường ống có cấp hoặc thu nhiệt
Chương 4, Kết quả tính toán.
- 6 -
1
1
B
p,V
A,M
T,ρ
dQ
dm
dW
p p 
V V 
A A 
M M 
T T 

 
 
2
2
Hình 1.1
Chương 1 - DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU CỦA CHẤT KHÍ HOÀN HẢO TRONG
ĐƯỜNG ỐNG TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT
Trên thực tế các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống,
trao đổi nhiệt của dòng khí và một yếu tố khác nữa cùng một lúc tồn tại nên việc
nghiên cứu dòng chảy là hết sức phức tạp. trong chương này chúng ta sẽ thu nhận hệ
phương trình tổng quát khi mà nhiều yếu tố ảnh hưởng cùng hiện diện và xem xét một
số trường hợp đặc biệt.
Ngoài các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống, trao đổi
nhiệt của dòng khí chúng ta còn đề cập thêm các yếu tố như sau: sự tồn tại của các vật
rắn trong dòng chảy; dòng chảy có thêm vào hoặc bớt đi một lượng khí tại một thiết
diện nào đó; dòng khí trong khi chuyển động thực hiện một công cơ học hoặc được tạo
một công cơ học trên nó. Bên cạnh các yếu tố thuần túy cơ học nói trên còn phải kể đến
các yếu tố ít nhiều mang bản chất hóa học cũng ảnh hưởng nhiều đến dòng chảy. Đó là
các yếu tố như phản ứng hóa học xảy ra trong dòng chảy; sự chuyển pha: ngưng tụ
hoặc bốc hơi của các chất lỏng có trong dòng
chảy: sự thay đổi trọng lượng phân tử hoặc các
đặc trưng về nhiệt do phản ứng hóa học hoặc
sự ngưng tụ, bốc hơi gây nên. Các yếu tố ’’hóa
học’’ này được xem xét cùng với các yếu tố
cơ học nói trên trong [3] khá kỹ. Trong luận
văn này chúng ta chỉ đề cập đến nhóm các yếu
tố cơ học.
Chúng ta cần đến các giả thiết: dòng
chảy là một chiều, dừng và liên tục.
- 7 -

Hệ phương trình tổng quát
Xét một phần tử thể tích như trên hình 1.1, giới hạn bởi hai thiết diện 1-1 và 1-2
và phần tử đường ống tiếp xúc với dòng khí giữa hai thiết diện đó. Giả sử B là vật rắn
tồn tại trong không khí. Để cho đơn giản, ta giả thiết rằng, trong trường hợp nếu một
lượng khí được phun thêm vào dòng chảy thì chất khí phun thêm có cùng tính chất cần
thiết như chất khí chính. Khi đó phương trình liên tục viết cho thể tích chọn trên sẽ có
dạng:
2 2 2 1 1 1
V A V A m
 
  
trong đó Δm là lượng khí thêm vào hoặc bớt đi từ dòng chảy trong thể tích đang xem
xét. Ký hiệu m=ρAV là lưu lượng dòng chảy chính. Khi đó từ biểu thức trên ta có thể
thu nhận phương trình vi phân như sau:
dV d dA dm
V A m


  
(1.1)
Phương trình động lượng viết cho phần tử thể tích đã chọn có dạng:


1 1 2 2 w 2 1
os
b a
p A p A p A Ac R m m V mV mV
 
            
trong đó:

- pΔA là tổng hợp lực áp suất tác động lên ΔA
w
được chiếu xuống phương dòng
chảy Ox;
- τ
w
ΔA
w
cosφ lực ma sát của đường ống tác động lên dòng khí với φ là góc lệch
của đường sinh của đường ống so với Ox
- ΔR
b
là lực cản của vật rắn B
- ΔmV
a
là động lực của phần khí thêm vào hoặc bớt đi với vận tốc V
a
. Ta coi φ
là góc nhỏ (do giả thiết dòng một chiều) nên có thể lấy cosφ=1.
Mặt khác, lực ma sát đường ống có thể biểu diễn ở dạng:
2
w
4
2
V x
A f
D
 




- 8 -
trong đó f là hệ số ma sát, D là đường kính thủy lực tương đương của tiết diện đường
ống. Tương tự như vậy, đối với lực cản của vật rắn người ta cũng biểu diễn ở dạng:
2
2
b x b
V
R c S

 
trong đó c
x
là hệ số lực cản; S
b
là diện tích đặc trưng của vật. sử dụng các biểu thức này
cho lực ma sát và lực cản để thay vào phương trình động lượng ở trên rồi chia hai vế
cho ρV
2
và lấy giới hạn khi hai thiết diện 1-1 và 1-2 của phân tử thể tích tiến sát vào
nhau, ta được phương trình ở dạng vi phân:
2
4dx
2 2
x a
b
c V
dp f dV dm dm
S
V D V m V m


     
(1.2)
Thay
2 2
2 2
V p V p
V M p
RT RT

 

  
ở số hạng đầu trong (1.2), ta thu được:
2
2 2
4dx
1
2
a
x b
V
dp dV M dm
M f c S M
p V D V m

 
 
 
 

 
    
 
 
 
 
(1.3)
Tiếp theo, ta xem xét phương trình năng lượng. Trước tiên viết cho phần tử thể
tích:
2 2
2 1 0a
W
2 2
a a
V V
m h h m h Q
 
 
         
 
 
trong đó ΔQ là lượng nhiệt trao đổi trong thể tích xem xét; ΔW là công cho dòng khí
thực hiện(như làm quay tuốc bin) hoặc công cấp cho dòng khí (như máy nén hoặc cánh
quạt đẩy). Trong trường hợp thứ nhất ta lấy dấu trừ, trường hợp thứ hai ta lấy dấu cộng
trước số hạng W. Tương tự, nếu cấp nhiệt ta lấy dấu cộng và nếu thu nhiệt ta lấy dấu
trừ trước ΔQ , còn Δh
0a
là chênh lệch enthanlpy toàn phần của lượng khí thêm vào hoặc
bớt đi. Do đó:



2 2
0a
2
a
p a
V V
h m c T T
 

 
   
 
 
- 9 -
trong đó T
a
và V
a
là nhiệt độ và vận tốc của lượng khí đó. Thay h=c
p
T, chia phương
trình năng lượng cho m và lại xét giới hạn khi phân tử thể tích co về một thiết diện, ta
nhận được một phương trình :
0a 0
d w
p p
dm
c dT V V dh dq d c dT
m

    
Tiếp theo viết
2
d
dV
V V V
V

và thay


2
1
p
a
c T



rồi chia 2 vế của phương
trình trên cho c
p
T, ta thu được:




2
0
0a

1 w /
p
dT
dT dV dm
M dh dq d c T
T V m T

 
     
 
 
 
(1.4)
Phương trình trạng thái của chất khí hoàn hảo ở dạng vi phân có dạng:
0
dp d dT
p T


  
(1.5)
Các phương trình (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) đủ để xác định dV/V, dT/T, dp/p,
và dρ/ρ. Do số m có mặt trong các phương trình đó nên sẽ tiện lợi hơn nếu ta thu nhận
thêm phương trình nữa cho m. Ta có:
M
2
≡V
2
/(γRT)
từ đây ta có thể rút ra:

0
2
dM dV dT
M V T
  
(1.6)
Như vậy, khi đã cho quy luật thay đổi của dA, dm, f, c
x
, D, V
a
, T
a
, dq, dw, từ (1.1),
(1.3), (1.4), (1.5) và (1.6) chúng ta hoàn toàn xác định sự biến thiên của V, p, ρ, T, M
theo các đại lượng vừa kể trên và dọc theo chiều dài dòng chảy trong ống. Cụ thể, ta
nhận được các phương trình sau:


2
1
1
dV
e a d
V M
  

;
- 10 -



2
1
1
d
a e d
M


  

;
2 2 2
2 2
2 2 2 2
1
1 (1 ) 1
( 1) 2 1
2
1 1 1 1
M M M
dT M M
a d e
T M M M M


 

 
 


 
   
 
 
 
 
 
  
 
   
 
 
 
;


2 2 2
2 2
2 2
2 2
1
1 2 1
2
1 1
( 1) 1
M M M
dp M M
a d e
p M M
M M



 

 

  
 
 
 
  
 
 
2 2
2
2 2 2
1 1
1 1
1
2 2
1 1 2( 1)
M M
dM M
a d e
M M M M
 

 
 


   
  
Trong đó
2 2
2dx
; ( 1)
2
x
b a
c
dm dA dm
a d M f S M r
m A D m
 
 
 
      
 
 
0
;
a
a
dT V
e r
T V
 
Để thấy rõ ảnh hưởng của từng yếu tố đến M, ta xem xét kỹ phương trình cho
dM/M ta có:
2 2 2

2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
2dx
2 2 2
1 1 2 1
x
b
M M M
c
dM dA
M f S
M M A M D M
  

  
  
 
 
     
 
  
 
2
2
0
2
1
[1 ( 1)]

1
a
dT
dm M
M r
m M T



  

(1.7)
trong đó dT
0
biểu diễn qua dq và dw bằng hai vế của (1.4). bằng cách xem xét từng yếu
tố riêng biệt ở vế phải của (1.7), chúng ta có thể thấy tác động của mỗi yếu tố đó lên
dòng chảy. Chẳng hạn, giữ lại số hạng đầu tiên của vế phải, các số hạng khác cho bằng
không ta sẽ rút ra được kết luận như ở chương 4 về ảnh hưởng của dA lên dòng chảy.
Để tính các thông số của dòng chảy dọc theo đường ống khi đã biết các
thông số đó ở một thiết diện nào đó trong dòng chảy, ta tích phân cùng lúc (1.7) và
- 11 -
phương trình cho T. Sau khi đã tính được M(x) và T(x), các thông số còn lại được tính
trực tiếp từ các biểu thức giải tích:
1 1 1
; àV Ma M RT VA V A m v p RT
   
    
Cần lưu ý đặc điểm sau của dòng chảy trong trường hợp tổng quát này.
Từ (1.7) chúng ta thấy, nói chung, có thể tồn tại thiết diện ở đó M=1 và tại đó vế phải
của (1.7) và các phương trình khác sẽ không xác định. Nếu ta viết (1.7) ở dạng:

2
( 1) ( ( ), ( ), , , , w, )
x
M dM M M x A x f c dq d dm

 
trong đó φ là biểu thức vế phải của (1.7), chúng ta thấy, tại thiết diện x=x
*
nơi có M=1
thì φ(1, A(x
*
), f, c
*
, dq(x
*
), dw(x
*
), dm(x
*
))=0. Đây cũng chính là phương trình để tìm
x
*
. về nguyên tắc, khi chúng ta tích phân (1.7) thì các đại lượng f và c
x
trong biểu thức
vế phải được coi là các hằng số và bằng một giá trị trung bình nào đó. Sau khi tìm được
x
*
, ta cần tìm dM(x
*

).Giá trị đó tìm như sau: ta cho dM(x
*
) một giá trị nào đó và tích
phân ngược trở lại đến thiết diện mà ở đó đã biết trước M. Chẳng hạn ta tích phân (1.7).
từ x
*
đến x
1
(x
1
<x
*
) và theo giá trị M
1
đã cho để chỉnh dM(x
*
) cho phù hợp. Quy trình
tìm dM(x
*
) cũng giống như tìm hệ số f khi chưa cho biết lưu lượng dòng chảy trong
mục 2.2 để cho quá trình sấp sỉ liên tục(chẳng hạn bằng phương pháp Newton) chóng
hội tụ, ta có thể lấy giá trị gần đúng ban đầu cho dM(x
*
) bằng cách sau. Ta coi
* *
'
*
2
( , )
( , )

( ) lim lim
1 2 d
x
x x x x
x M
x M
dM x
M M M


 
 

(1.8)
Trong biểu thức (1.8), giới hạn của vế phải sẽ là
'
* *
( ,1) / ( )
x
x dM x

khi đó
*
( )dM x
sẽ được tìm từ phương trình:
2 '
* *
( ( )) ( ,1)
x
dM x x



(1.9)
Cần phải giải thích rằng, giá trị dM(x
*
) tìm từ phương trình (1.9) không phải là
phù hợp ngay cho bài toán của chúng ta trong trường hợp này, bởi vì việc coi f và c
x
là
các consts trên toàn bộ độ dài đường ống sẽ dẫn đến sự không phù hợp trên, nghĩa là,
- 12 -
nếu ta tích phân (1.7) từ x
*
ngược trở lại x
1
với dM(x
*
) từ (1.9) thì giá trị M
1
nhận được
tại x
1
có thể sẽ khác nhiều so với giá trị đã cho trước của M tại đó. Sau khi đã làm được
dM(x
*
) phù hợp theo thuật toán xấp xỉ liên tục nói trên, ta tiếp tục tích phân (1.7) và
phương trình cho dT từ x
*
đến cuối đường ống.
Để kết thúc phần này, chúng ta nói thêm về việc xác định T(x

*
) như một giá trị
ban đầu cho bài toán tích phân (1.7) và phương trình cho dT từ x
*
về hai phía của
đường ống: một là từ x
*
ngược về x
1
, hai là từ x
*
xuôi về cuối đường ống. Ta có phương
trình:
0 0a
w
p
dm
c dT dq d dh
m
  
với vế phải là một hàm số đã biết theo x. Do vậy, ta dễ dàng tính được T
0
(x
*
) bằng cách
tích phân phương trình này từ x
1
đến x
*
. ta có biểu thức liên hệ giữa T và T

0
theo (4.19).
Tại x
*
do M=1 nên
* 0 *
1
( ) ( ) / 1
2
T x T x

 

 
 
 
 
Như vậy, bài toán có thể giải được chọn vẹn trong trường hợp tổng quát. Cuối
cùng, cần lưu ý thêm rằng, do ảnh hưởng tổng hợp của nhiều yếu tố cùng một lúc, dòng
chảy hoàn toàn có thể từ trên âm trở thành dưới âm hoặc ngược lại với sự tồn tại của
thiết diện x=x
*
trong đường ống ngay cả khi A=const.
- 13 -
Chương 2 - CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT KHÍ TRONG ĐƯỜNG ỐNG
CÓ MA SÁT
Mô hình này có thể áp dụng cho các dòng chảy trong các đường ống có độ dài nhỏ.
Trên thực tế, ma sát đường ống không khi nào vắng mặt và là nguyên nhân chính gây
ra sự tổn thất áp lực của dòng chảy trong các đường ống ở bất cứ tốc độ nào của dòng
khí. Mặt khác, dòng chảy của chất khí trong các đường ống dài thường gặp trong nhiều

ngành công nghiệp, trong nhiều loại thiết bị, máy móc. Vì vậy, trong chương này
chúng ta sẽ xem xét hiệu ứng của ma sát đường ống đến dòng chảy với các giả thiết
phụ trợ khác như: dòng chảy đoạn nhiệt, dòng chảy có trao đổi nhiệt. Để đơn giản,
trước tiên chúng ta coi đường ống có tiết diện không đổi, chuyển động là dừng.
2.1 Hệ phương trình
Do dòng chảy dừng và tiết diện ống không đổi nên ta có ngay phương trình liên
tục ở dạng :
onsV c t m

 

(2.1)
Mặt khác, dòng chảy không có trao đổi nhiệt, không sinh công nên ta có phương
trình năng lượng ở dạng:
2
0
ons
2
V
h h c t  
(2.2)
Chúng ta sẽ xem xét phương trình động lượng sau. Từ (2.1) và (2.2) ta có:
2
0
2
2
m
h h

 


(2.3)
Đây là phương trình của đường Fanno liên hệ giữa enthalpy và tỷ khối của mỗi
mặt cắt. Trong mặt phẳng (
1/ ,h

), đường cong (2.3) xuất phát từ điểm
0
h h
và xuôi
xuống theo chiều của
1/

. Giá trị của m càng lớn thì đường cong càng sát về phía trục
h. Trên mặt phẳng (s/h) đường Fanno có dạng như trên. Nhánh trên của đường ứng với
- 14 -
dòng chảy dưới âm, nhánh dưới ứng với dòng chảy trên âm. Điểm cực đại của s ứng
với M=1.
Theo định luật Hai của nhiệt động lực học thì diễn biến của dòng đoạn nhiệt từ
trạng thái xác định nào đó chỉ có thể theo hướng từ trái qua phải theo đường Fanno.
Điều đó có nghĩa là, nếu tại một mặt cắt nào đó dòng chảy có ma sát là dưới âm thì ở
các tiết diện tiếp theo tốc độ và số Mach sẽ tăng còn enthalpy và áp suất sẽ giảm.
Ngược lại, nếu dòng là trên âm ở một thiết diện nào đó thì dòng chảy có tốc độ và số
Mach giảm ở các thiết diện khác xuôi theo dòng chảy, đồng thời enthalpy và áp suất sẽ
tăng. Từ đây cũng suy ra rằng, chỉ bằng hiệu ứng ma sát, chúng ta không thể nhận được
dòng trên âm từ dòng dưới âm ban đầu cũng như không thể nhận được dòng dưới âm
từ dòng trên âm ban đầu.
Ta lại ký hiệu các thông số của dòng chảy với dấu (*) tại mặt cắt có M=1 trong
trường hợp này. Như vậy, với các thông số đã xác định của dòng khí ở đầu vào, tồn tại
một độ dài giới hạn của đường ống để dòng chảy tồn tại liên tục. Với đầu vào và dòng

dưới âm thì dòng chảy là duy nhất, với dòng vào trên âm thì dòng ngoài liên tục còn có
các dòng với các mặt gián đoạn (sóng xung kích).
Các phương trình ở dạng vi phân tương đương với (2.1), (2.2) có thể nhận được từ
phương trình :
0


Vdiv
t



và:
e
fp
dt
Vd




1
một cách trực tiếp hoặc vi phân các biểu thức đó. Từ (2.1) ta được :
0
d dV
V


 
hay

2
2
1
0
2
d dV
V


 
(2.4)
Từ (2.2) ta cũng nhận được:
- 15 -
2
0
2
V
dh d
 
 
 
 
(2.5)
Tiếp theo, ký hiệu
w

là ma sát của đường ống trên một đơn vị diện tích ống. Khi
đó, bằng cách xét một phần tử thể tích là một đoạn ống có chiều dài dx, ta có phương
trình động lượng viết cho phần tử thể tích đó ở dạng:
w w

Adp dA mdV

  

Trong đó
w
dA
là phần diện tích xug quanh của đoạn đường ống lấy làm phần tử thể
tích. Dấu trừ trước
w

cho thấy lực ma sát luôn ngược chiều chuyển động. Ta đưa vào
hệ số ma sát ƒ theo công thức:
w
2
/ 2
f
V



Khi đó phương trình động lượng được đưa về dạng:
2
w
2
dA
V
dp f VdV
A



  
Diện tích xung quanh
w
dA dx 
trong đó

là chu vi của mặt cắt. Kí hiệu:
w
4 4
A A
D dx
dA
 

Là đường kính thủy lực tương đương, chúng ta có thể viết lại phương trình động
lượng ở dạng:
2
2
4
2
V dx dV
dp f VdV V
D V

 
   
(2.6)
2.2 Dòng chảy đoạn nhiệt của chất khí hoàn hảo trong ống có ma sát .
Trong trường hợp tổng quát cho một chất khí bất kỳ, các phương trình (2.4)


(2.6)
cùng với phương trình trạng thái dạng
( , ),h h p


( , ),s s p


( , )T T p


đủ để xác
định các thông số của dòng chảy tại một thiết diện bất kỳ trong miền chuyển động. Bây
giờ ta xét trường hợp chất khí hoàn hảo như một trường hợp riêng. Trong trường hợp
- 16 -
này ta có phương trình trạng thái
p RT


và nó cùng với (2.4)

(2.6) khép kín hệ
phương trình để xác định
, , , , .V p h T

Do trong trường hợp này
p
h c T
nên từ (2.5) ta có:

2
0 0.
2
p p
V
c dT d c dT VdV
 
    
 
 
(2.7)
0
d dV
V


 
(2.8)
Từ (2.1) suy ra:
Từ
p RT


suy ra :
.
dp d dT
p T


 

(2.9)
Từ (2.6) suy ra
w
2 2
.
dp dx dV
V V A V

 
 
 
(2.10)
Để mô tả sự thay đổi của M dọc theo đường ống, ta sử dụng đẳng thức
2 2
2
2
V V
M
a RT

 
Và từ đó thu nhận được phương trình:
.
2
dM dV dT
M V T
 
(2.11)
Như vậy, chúng ta rút ra được 5 phương trình (2.7)


(2.11) đối với 5 ẩn
số:
, , , , .dV dp d dT dM

Giải hệ đó với số hạng tự do
w
dx


chúng ta sẽ thu được các
biểu thức biểu diễn sự biến thiên của
, , , ,V p T M

qua
w

dọc theo đường ống. Cụ thể
như sau:
 
2 2
w
2 2
1
1
2
.
1
M M
dx
dM

M M V A





 

 
  
 

 

 
(2.12)
- 17 -
2
w
2 2
.
1
dx
dV M
V M V A







(2.13)
 
2 2
w
2 2
1 1
.
1
M M
dx
dp
p M V A
 


 
 

 
 

(2.14)
 
4
w
2 2
1
.
1

M
dx
dT
T M V A
 




 

(2.15)
2
w
2 2
.
1
dx
d M
M V A

 
 

 

(2.16)
 
2
w

2
1 .
p
dx
ds
M
c V A



  
 
 
 
(2.17)
Tương tự, chúng ta có thể nhận được biểu thức mô tả sự thay đổi của áp suất toàn
phần của dòng chảy ở từng thiết diện theo
w

. Theo định nghĩa của áp suất toàn phần
 
0
p
qua áp suất của dòng chảy p của chất khí hoàn hảo , ta có thể rút ra:
2
2
0 w
2
2
0

.
1
1
2
dp dx
dp M dM
M
p p M V A
M





  
   
 

 
 

 
 
(2.18)
Từ các phương trình (2.12)

(2.18), chúng ta có thể rút ra mấy kết luận như sau:
- (2.17) cho thấy
w
0



và theo cách rút ra (2.6) thì nó có chiều ngược với chiều
chuyển động;
- (2.18) cho thấy
0
p
giảm liên tục theo hướng chuyển động.
- Hướng biến thiên của
, , , ,V p T M

phụ thuộc vào dấu của
2
1 M
, tức là phụ
thuộc vào dạng dòng chảy: dưới âm hay trên âm. Cụ thể ta có dọc theo dòng chảy
-
dM
dV
dp
dT
d

ds
0
dp
M>1
-
-
+

+
+
+
-
M<1
+
+
-
-
-
+
-
- 18 -
trong đó dấu (+) ứng với sự tăng, dấu (-) ứng với sự giảm. Trong cả hai trường hợp ta
đều thấy có sự kéo M về giá trị M=1. Điều này có nghĩa là ứng với trạng thái
1 1 1 1
, , ,V p T M
tại thiết diện đầu vào, có một giá trị
*
l
là độ dài đường ống để tại thiết diện
đầu ra ta có M=1 và dòng chảy trong đoạn ống đó là liên tục.
Sử dụng biểu thức cho ƒ và cho D, ta có thể thay biểu thức
w
2
2
dx
fdx
A V D





trong
(2.12)

(2.18). Hệ số ƒ phụ thuộc vào số Reynolds (Re), số Mach và độ nhám của
thành ống : nghĩa là
 
Re, / , .f f D M


Ảnh hưởng của M đến ƒ thường là nhỏ nên
trên thực tế, để cho nhiều ứng dụng khác nhau, ta có thể coi
 
Re, /f f D


. Người ta
đã làm các thí nghiệm đo đạc rất kỹ lưỡng để xác định ƒ theo Re và

/D. Thông
thường người ta lập biểu đồ cho ƒ theo Re cho các giá trị

/D khác nhau, trong đó Re
lấy bằng
/VD
 

với

V

là vận tốc trung bình của dòng chảy,

là hệ số nhớt của chất
lỏng, chất khí. Các biểu đồ loại này có thể tìm thấy trong các sách về cơ học chất lỏng,
chất khí, ví dụ [4]. Để tiện cho việc sử dụng, người ta cũng đã xấp xỉ các kết quả đo
đạc nói trên bằng các biểu thức giải tích. Chẳng hạn, xấp xỉ sau hay được dùng cho các
tính toán kỹ sư trong thực tế: để cho chế độ chảy tầng, người ta lấy
16 / Ref 
, để cho
dòng chảy rối thì
2
0,9
5,74
0,0625 log
3,7 Re
f
D


 
 
 
 
 
 
 
.
Thông thường, giá trị

*
Re
để phân biệt chảy tầng, chảy rối lấy bằng 2300. Như
vậy, để cho đại đa số các dòng khí chúng ta phải lấy ƒ theo công thức thứ hai do vận
tốc dòng chảy lớn, hệ số nhớt của chất khí lại nhỏ nên Re thường rất lớn. Về giá trị của

có thể nói rằng nó phụ thuộc vào vật liệu chế tạo ống cũng như phương pháp gia
công. Chẳng hạn, với các ống hút
0,0015mm


, với các ống thép thương mại thì
0,045mm


.
- 19 -
Bây giờ chúng ta xem xét cách sử dụng các phương trình vừa thu nhận cho các
tính toán thực tế. Phương trình (2 .12) sau khi thay
w

qua ƒ cho ta:
 
2
2 2
2 1
4 .
1
1
2

M
dM dx
f
M D
M M





 

 
 
(2.19)
Tích phân vế trái của (2.19) từ thiết diện có
1
M M
đến thiết diện có
2
M M
và
tích phân vế phải theo chiều dài ống giữa 2 thiết diện đó, ta được:
 
2 2
1 1
2
2 2
2 1
4

1
1
2
l M
l M
M
dx dM
f
D M
M M





 

 
 
 
Hay là
 
 
2
1
2
2 1
2 2
2 1
4

1
1
2
M
M
M
f dM
l l
D M
M M



 

 

 
 

Trong đó
f
là giá trị trung bình của ƒ trên
 
1 2
, .l l
Nếu trong biểu thức này ta lấy
2
l
là độ dài của đường ống và ký hiệu là

*
l
còn
1
l
ta có thể đặt bằng 0 thì ta sẽ có
2
1M 
.
Khi đó biểu thức trên có thể viết lại như sau:
 
 
2
2
*
2
2
1
4 1 1
ln .
2
2 1 1 / 2
M
f M
l
D M
M


 



 
 
 
 
 
(2.20)
Biểu thức này liên hệ giữa số M ở đầu vào với độ dài giới hạn của đường ống
tương ứng với số M đó. Tương tự, chúng ta có thể thu nhận các công thức cho các
thông số khác của dòng chảy. Cụ thể, ta có:
 
2
*
1 1
.
2 1 1 / 2
p
p M
M




 
 
 
(2.21)
- 20 -
 

 
1
2/1121
2
*







M
M
(2.22)
 
 
2/112
1
2
*
M
M
V
V






(2.23)
 
 
2/112
1
2
*
M
T
T





(2.24)
 
 
1
1
2
*
0
0
1
2/1121
















M
MP
P
(2.25)
Để cho entropy, chúng ta có thể tích phân (2.17) kết hợp với (2.19). Nhưng sẽ tiên
lợi hơn nếu ta sử dụng (1.21), (2.21) và (2.24):








































2
1
2
1

*
1
2
1
12
ln




M
M
C
SS
v
(2.26)
Như vậy chúng ta nhận được các công thức dùng để tính toán dòng chảy có ma sát,
đoạn nhiệt. Do
* * * * 0*
, 1, , ,V M p T p
hoàn toàn xác định đối với dòng chảy nói trên khi
các thông số đầu vào cho trước nên các công thức (2.21) – (2.26) dùng để tính các
thông số ở một thiết diện bất kỳ phía sau (theo hướng dòng chảy) so với vị trí tới hạn.
Qui trình tính toán như sau: giả sử ở khoảng cách
1
l
ta có số Mach của dòng chảy là
1
M
. Ta cần tính các thông số của dòng khí ở vị trí

2
l
( phía sau điểm tới hạn,
2 *
l l
) .
Khi đó ta phân tích (2.19), từ
1
l
đến
2
l
để tìm
2
M
. Tiếp theo sử dụng (2.21) – (2.26) ta
tính được các thông số mà ta quan tâm. Nếu biết
1
M
và
2
M
ở hai thiết diện bất kỳ thì
giữa các cặp thông số tương ứng ở hai thiết diện đó có mối tương quan như sau:
 
 
2
1
*
2

1 *
/
/
M
M
B B
B
B B B

- 21 -
Trong đó B là một trong các đại lượng
0
, , , , ,V p T p s

và giá trị của B được tính
theo
1
M
và
2
M
bằng các công thức tương ứng (2.21) – (2.26).
Chúng ta cũng dễ dàng nhận được công thức tính độ dài đoạn đường ống giữa hai
giá trị
1
M
và
2
M
từ (2.20) như sau:

 
1 2
1* 2* 2 1
4 4 4 ;
f f
f
l l l l l l
D D D
   
Hoặc nếu ta coi
1 2
f f f 
thì:
1* 2*
l l l 
(2.27)
Trong đó
1*
l
ứng với
1
M
và
2*
l
ứng với
2
M
, tính theo (2.20).
Để cho các tính toán kỹ thuật người ta lập sẵn bảng cho các đại

lượng
* * * * 0 0*
/ ; / ; / ; / , /p p T T V V p p
 
và
*
4 /f l D
theo biến số M, dựa vào các công
thức (2.20)(2.25), hoặc lập phương trình tính trên máy tính cá nhân cũng dựa vào các
công thức đó. Bảng số lập sẵn theo cách đó được gọi là bảng các thông số dòng chảy
trong đường ống có ma sát
Bây giờ ta xét kỹ hơn về hiện tượng nghẽn dòng do ma sát gây ra cho một số
trường hợp dòng chảy cụ thể. Như đã đề cập ở trên, với mọi
1
M
ở thiết diện đầu vào,
luôn tồn tại một độ dài ống tương ứng mà ta gọi là tới hạn để ở thiết diện đầu ra ta có
M=1. Nếu ma sát ống tăng thì đối với dòng dưới âm,
1
M
sẽ tăng cho đến khi ở thiết
diện đầu ra ta cũng có M=1. Điều này có nghĩa là phải giảm lưu lượng dòng chảy, nếu
tăng độ dài đường ống. Trong trường hợp dòng trên âm, khi tăng ma sát ống (bằng
cách tăng chiều dài ống) thì sóng xung kích xuất hiện và càng tiến sát tới thiết diện đầu
vào nếu độ dài ống càng tăng. Khi mặt gián đoạn đã ở vị trí thiết diện đầu vào thì sự
tiếp tục tăng độ dài ống sẽ dẫn đến sự di chuyển của sóng gián đoạn vào sâu bên trong
thiết bị vòi phun và điều này có nghĩa là dòng chảy tại cửa vào của đường ống sẽ trở
thành dưới âm. Nếu tiếp tục tăng độ dài ống sóng gián đoạn sẽ lùi qua họng vòi phun
- 22 -
và biến mất. Khi đó sự gia tăng độ dài đường ống sẽ kéo theo sự giảm của lưu lượng.

Chúng ta sẽ xem xét kỹ hơn hai trường hợp sau đây.
a) Vòi phun thu hẹp (không có họng hoặc vòi phun dưới âm) nối với ống dẫn
Trên Hình 2.1 là sơ đồ thiết bị
gồm một vòi phun thu hẹp để cung cấp
khí vào đường ống. Ký hiệu
0 0
,p T
là
áp suất và nhiệt độ chất khí tại cửa vào
đường ống (áp suất và nhiệt độ cung
cấp) còn
e
p
là áp suất dòng khí tại cửa
ra,
b
p
áp suất của môi trường xung quanh mà dòng khí xả vào. Có 4 khả năng xảy ra:
-
b
p
nhỏ hơn không đáng kể xo với
0
p
. Dòng chảy sẽ là dưới âm và ta có
e b
p p
.
- Tiếp tục giảm
b

p
dẫn đến tăng lưu lượng và vận tốc thoát lớn hơn nhưng dòng chảy
vẫn là dưới âm.
- Giả sử
b
p
đạt đến giá trị sao cho tại cửa xả ta có
1
e
M 
. Nếu tiếp tục giảm
b
p
thì
cũng không tăng thêm lưu lượng vì
e
M
không thể vượt qua 1. Dòng chảy đạt tới tình
trạng nghẽn.
-
b
p
tiếp tục giảm, lưu lượng vẫn không đổi, cấu trúc dòng chảy trong thiết bị cũng
không đổi, nhưng cấu trúc dòng chảy sau cửa xả thay đổi: các sóng xung kích xiên suất
hiện.
p
b
p
e
p

0
TTT
TTTTTTT
pp
0
T
0
Hình 2.1
- 23 -
b) Vòi phun có họng (vòi phun trên âm) nối với ống dẫn
Chuyển động của chất khí trong
vòi phun ta coi là đẳng entropy.
Chúng ta sẽ tập trung xem xét trong
các trường hợp khi mà sóng xung
kích không tồn tại trong vòi phun.
Điều này có nghĩa là các thông số của
dòng chảy tại cửa vào các đường ống
 
111
,, VTp
là hoàn toàn xác định bởi các thông số
00
,Tp
và tỷ số diện tích các mặt cắt hình 2.2.
Ký hiệu
*1
l
là độ dài tới hạn của đường ống tương ứng với giá trị
1
M

đầu vào. Ta
cũng ký hiệu
2
p
là áp suất tại cửa ra ứng với dòng chảy không có sóng xung kích trong
ống. Ta biết rằng ,
*
p
chỉ phụ thuộc vào
11
, pM
còn
2
p
phụ thuộc vào
11
, pM
và cả
Dlf /4
. Xét các khả năng sau:
-
*2
pp 
và
*
ll 
. Trong trường hợp này ta phân biệt các trường hợp con sau:
+
*2
pp 

và
b
pp 
2
: dòng chảy không có xung kích trong ống và ta có
2
; 1
e e
p p M 
+
*2
pp 
và
b
pp 
2
nếu
b
p
không lớn hơn nhiều so với
2
p
thì dòng chảy trong
trường hợp này cũng không có gì khác so với dòng chảy trong trường hợp vừa xét ở
trên. Nếu
b
p
tiếp tục tăng đến giá trị
b
p

nào đó thì sóng xung kích bắt đầu xuất hiện tại
cửa xả của đường ống.
+
*2
pp 
và
b
b
pp 
: sóng xung kích lấn sâu vào dưới ống và dòng chảy từ sau
sóng đó sẽ trở thành dưới âm. Ta sẽ có
eb
pp 
. Nếu
b
p
tiếp tục tăng thì sóng xung
kích càng tiến dần tới vòi phun, rồi tới họng vòi và sau đó biến mất, kéo theo lưu
lượng dòng chảy bắt đầu giảm.
P
b
p
e
p
0
TTT
TTTTTTT
pp
0
T

0
p
1
, T
1
TTT
TTTTTTT
pp
0
Hình 2.2