mô hình số giải hệ phương trình nước nông hai chiều trên lưới không cấu trúc. một số kiểm nghiệm và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC






Nguyễn Tất Thắng






MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG HAI
CHIỀU TRÊN LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC.
MỘT SỐ KIỂM NGHIỆM VÀ ỨNG DỤNG




LUẬN VĂN THẠC SĨ






HÀ NỘI – 2005

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC



Nguyễn Tất Thắng



MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG HAI
CHIỀU TRÊN LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC.
MỘT SỐ KIỂM NGHIỆM VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng
Mã số: 60.44.22



LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. Dương Ngọc Hải

HÀ NỘI – 2005




1
Mục lục

Mở đầu 5

Chơng 1 Tổng quan 8
1.1 Các mô hình toán học và một số khái niệm 8
1.2 Các đối tợng vật lý 9
1.2.1 Cấu trúc hình học của khối nớc 9
1.2.2 Các tính chất của chất lỏng 9
1.2.3 Các dạng ứng xử trong dòng chảy 10
1.2.4 Các lực ngoài 11
1.3 Hệ phơng trình nớc nông hai chiều 11
1.4 Các nhóm số hạng và ý nghĩa vật lý của chúng 15
1.4.1 Gia tốc địa phơng 15
1.4.2 Gia tốc convective (số hạng convective) 15
1.4.3 Độ dốc của mặt thoáng 16
1.4.4 Lực do ứng suất gió bề mặt 16
1.4.5 Ma sát đáy 16
1.4.6 Các lực khối 17
1.5 Một số dạng dẫn xuất của hệ phơng trình nớc nông hai chiều 17
1.5.1 Dạng trong hệ tọa độ Decard (theo các biến u, v và h) 17
1.5.2 Dạng khác trong hệ tọa độ Decard (theo các biến q
x
, q

y
và h) 18
1.5.3 Dạng bảo toàn 18
1.6 Một số tính chất của hệ phơng trình nớc nông hai chiều 19
1.7 Các tính chất của nghiệm của hệ phơng trình nớc nông hai chiều 19



2
1.7.1 Số các điều kiện giải (điều kiện biên và điều kiện ban đầu) 20

1.7.2 Dạng của các điều kiện biên và điều kiện ban đầu 20
1.7.3 Yêu cầu đối với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu 20
1.8 Về phơng pháp số giải hệ phơng trình nớc nông hai chiều 21
1.9 Phơng pháp thể tích hữu hạn (FVM) 22
1.10 Phơng pháp của Godunov 24
1.11 Lới không cấu trúc và các phơng pháp sinh lới không cấu trúc 25
1.11.1 Yêu cầu chung của lới không cấu trúc 25
1.11.2 Các phơng pháp sinh lới không cấu trúc đã đợc phát triển 26
1.11.3 Một số phơng pháp đang đợc phát triển 31
Chơng 2 Giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều không dừng, không có gián
đoạn bằng phơng pháp sai phân trên lới không cấu trúc 33

2.1 Hệ phơng trình nớc nông hai chiều không dừng tổng quát 33
2.2 Phơng pháp sai phân trên lới không cấu trúc 33
2.3 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu 38
2.3.1 Biên cứng 38
2.3.2 Biên mềm 38
2.3.3 Điều kiện ban đầu 38
2.4 Cách giải hệ phơng trình sai phân 39

2.5 Cấu trúc chơng trình 39
2.5.1 Các thủ tục tính toán chính 40
2.5.2 Sơ đồ khối mô đun tính toán 41
2.6 Kiểm định chơng trình với số liệu thí nghiệm dòng chảy tràn 41
2.6.1 Mô tả thí nghiệm 42



3
2.6.2 Các thông số mô phỏng 45

2.6.3 Một số kết quả tính toán so sánh 47
2.6.4 Nhận xét 48
2.7 áp dụng cho bài toán dòng chảy lũ tràn do vỡ đê giả định 49
2.7.1 Mô tả bài toán 49
2.7.2 Các thông số mô phỏng 50
2.7.3 Một số kết quả mô phỏng 51
2.7.4 Nhận xét 56
Chơng 3 Giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều không dừng, có xét đến gián
đoạn sử dụng phơng pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe 57

3.1 Phơng pháp Godunov với xấp xỉ Roe cho bài toán một chiều 57
3.2 Tổng quát hóa cho hệ phơng trình nớc nông hai chiều 62
3.2.1 Sơ đồ sai phân 63
3.2.2 Xử lý thành phần ma sát tại biên cứng 68
3.3 Chơng trình tính toán dòng chảy hai chiều có xét đến gián đoạn 72
3.3.1 Chơng trình tính toán 72
3.3.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu 72
3.3.3 Các thủ tục tính toán chính 73
3.3.4 Sơ đồ khối mô đun tính toán 74

3.4 Kiểm định chơng trình với thí nghiệm dòng chảy có gián đoạn 74
3.4.1 Mô tả thí nghiệm 74
3.4.2 Các thông số mô phỏng 75
3.4.3 Kết quả tính toán so sánh 75
3.4.4 Nhận xét 78



4
3.5 Bài toán dòng chảy trong kênh hình chữ nhật, đáy phẳng 79

3.5.1 Mô tả bài toán 79
3.5.2 Tính toán so sánh với mô hình DuFlow 81
3.5.3 Nhận xét 84
3.6 Bài toán dòng chảy trong sông địa hình phức tạp có công trình 85
3.6.1 Mô tả bài toán 85
3.6.2 Tính toán so sánh với mô hình Telemac 87
3.6.3 Nhận xét 89
Kết luận 91
Danh mục công trình của tác giả 93
Tài liệu tham khảo 93
Tiếng Việt 93
Tiếng Anh 93




5
Mở đầu

Mô hình nớc nông một chiều đã đợc nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong
các mô phỏng thủy lực của các hệ thống kênh, rạch hay các mạng sông ít phức tạp
về mặt địa hình, lòng dẫn. Các nghiên cứu, áp dụng chuyên sâu các mô hình số giải
bài toán dòng chảy nớc nông một chiều cho nhiều chế độ dòng chảy trong các điều
kiện địa hình khác nhau đã đợc nghiên cứu từ lâu trên thế giới cũng nh ở Việt
Nam [6]. Tuy vậy do các hạn chế của các mô hình một chiều mà khả năng ứng dụng
của chúng trong một số trờng hợp, khi bài toán đợc xấp xỉ bằng mô hình một
chiều là không tốt, cần phải có sự xem xét kỹ.
Bên cạnh các hạn chế của mô hình dòng chảy nớc nông một chiều thì tính
phức tạp cùng khối lợng tính toán lớn của các mô hình giải số dòng chảy ba chiều
mà trong một số trờng hợp mô hình dòng chảy nớc nông hai chiều là lựa chọn phù
hợp. Việc mô hình hoá các dòng chảy nớc nông dựa trên việc giải số hệ phơng
trình Saint Venant hai chiều đã và đang đợc nghiên cứu, ứng dụng ở nhiều nơi trên
thế giới cũng nh ở Việt Nam. Thực tế cho thấy việc mô phỏng dòng chảy nớc
nông hai chiều, có hoặc không xét đến các tính chất gián đoạn trong dòng chảy,
trong các điều kiện địa hình phức tạp khác nhau nh các khu đô thị, các miền thoát
lũ với sự có mặt của các công trình trong miền tính nhằm phục vụ các yêu cầu tính
toán dự báo, quy hoạch phòng chống lũ lụt đã đặt ra nhu cầu phát triển các mô hình
giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều trên lới không cấu trúc do tính mềm
dẻo, thích ứng cao của nó. Cùng với sự phát triển của kỹ thuật tính toán cũng nh
khả năng của máy tính, các phơng pháp số sử dụng lới tính toán không cấu trúc
cũng nh các phơng pháp sinh lới không cấu trúc ngày càng đợc phát triển
mạnh.
Có hai phơng pháp số thờng sử dụng l
ới không cấu trúc giải hệ phơng
trình nớc nông hai chiều là phơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phơng pháp
thể tích hữu hạn (FVM). Phơng pháp FEM một mặt phức tạp về lập trình, chi phí
lập trình và khối lợng tính toán lớn, mặt khác trong các nghiên cứu hiện tại, trong

6
trờng hợp hai chiều, phơng pháp này cũng mới chỉ dừng ở mức độ áp dụng đối với
lới tam giác nên dờng nh xu hớng hiện nay trên thế giới là sử dụng phơng
pháp FVM [7]. So với phơng pháp FEM, phơng pháp FVM không những đòi hỏi
khối lợng tính toán ít hơn mà còn cho các sơ đồ bảo toàn với các tính chất bắt gián
đoạn bởi phơng pháp này dựa trên dạng tích phân phơng trình bảo toàn [8, pp.38-
41]. Trong một số nghiên cứu bớc đầu [1 - 5] học viên cũng đã tìm hiểu, nghiên
cứu và áp dụng thử nghiệm các kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phơng pháp FVM.
Mục đích của luận văn là: thực hiện các nghiên cứu áp dụng cơ sở lý thuyết, xây
dựng và kiểm nghiệm mô hình giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều trên lới
không cấu trúc theo hai hớng kỹ thuật rời rạc hóa khác nhau. Hớng thứ nhất là áp
dụng kết hợp phơng pháp FVM và kỹ thuật sai phân ngợc dòng (upwind) ứng
dụng cho các bài toán dòng chảy tràn hai chiều tổng quát không dừng không có gián
đoạn. Hớng này do một số tác giả Nhật Bản nghiên cứu phát triển [9]. Hớng thứ
hai là kết hợp phơng pháp FVM, phơng pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu
Roe giải các bài toán Riemann địa phơng, đợc phát triển cho lới không cấu trúc.
Sơ đồ này, có sử dụng kết hợp kỹ thuật sai phân ngợc dòng, có khả năng mô phỏng
tốt các tính chất gián đoạn của dòng chảy [7]. Hớng nghiên cứu này hiện nay đang
đợc thế giới quan tâm nghiên cứu, ứng dụng [10, 11, 12, 13, 14, 15].
Các mô hình số đợc nghiên cứu, xây dựng sẽ là cơ sở ban đầu quan trọng cho
những ứng dụng thực tế tiếp theo nh nghiên cứu đánh giá quá trình lũ tràn hay quá
trình lan truyền sóng gián đoạn do vỡ đê, đập trong các miền hai chiều. Chúng cũng
có thể đợc sử dụng để ghép nối với các mô hình một chiều mô phỏng đồng thời
diễn biến lũ trong sông (dòng chảy một chiều) và quá trình lũ ở bãi sông hay các
miền thoát lũ (dòng chảy hai chiều). Đồng thời chúng cũng có thể là cơ sở cho một
số ứng dụng khác có liên quan trong lĩnh vực môi trờng nh khi ghép nối với các
bài toán về mô phỏng chất lợng môi trờng nớc sông ngòi, ao hồ hoặc các bài
toán về bồi xói, vận chuyển bùn cát v.v.
Nội dung của luận văn gồm các phần chính sau:

Phần Mở đầu gồm các giới thiệu chung về đề tài, các nghiên cứu liên quan,



7
phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài và nội dung
luận văn.
Chơng 1 giới thiệu về cơ sở vật lý, toán học, hệ phơng trình nớc nông
hai chiều, các phơng pháp số sẽ đợc sử dụng trong các chơng tiếp theo
gồm phơng pháp FVM và phơng pháp Godunov, một số vấn đề khái quát
về lới không cấu trúc.
Chơng 2 trình bày kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phơng pháp FVM kết
hợp với phơng pháp sai phân ngợc dòng áp dụng cho hệ phơng trình
nớc nông hai chiều không dừng, không có gián đoạn, sơ đồ khối chơng
trình tính toán của phơng pháp, kết quả kiểm nghiệm mô hình này bằng
cách so sánh kết quả tính toán với số liệu thí nghiệm dòng chảy tràn theo
mô hình khu vực đô thị và kết quả áp dụng thử nghiệm mô phỏng lũ tràn do
vỡ đê giả định vào khu vực Hà Nội.
Chơng 3 trình bày kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phơng pháp FVM kết
hợp với phơng pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe trên cạnh, kỹ
thuật xử lý số hạng nguồn áp dụng cho hệ phơng trình nớc nông hai
chiều dạng bảo toàn có xét đến tính chất gián đoạn có thể tồn tại trong dòng
chảy, sơ đồ khối chơng trình tính toán của phơng pháp, kết quả kiểm
nghiệm mô hình (so sánh với số liệu thí nghiệm dòng chảy có gián đoạn do
vỡ đập tức thời của CADAM) và các kết quả áp dụng mô hình này tính toán
dòng chảy hai chiều trong sông.
Phần cuối là một số kết luận và những vấn đề cần nghiên cứu tiếp. Phần này
ghi nhận tóm tắt những thu nhận chính của luận văn và nêu một số vấn đề,
theo ý kiến của tác giả, có thể là đối tợng của các nghiên cứu tiếp theo.
Ngoài ra còn có danh mục Tài các liệu tham khảo liên quan đến chủ đề của

luận văn.



8
Chơng 1 Tổng quan

1.1 Các mô hình toán học và một số khái niệm
Các phơng trình nớc nông đã và đang trở thành một công cụ phổ biến cho
việc mô hình hóa các bài toán kỹ thuật và môi trờng có liên quan đến các dòng
chảy không dừng. Các phơng trình nớc nông đợc bắt nguồn từ những nghiên cứu
từ thế kỷ XIX của nhà toán học ngời Pháp Barrè de Saint Venant [16]. Mặc dù các
phơng trình đó là những mô tả đã đợc đơn giản hóa của một hiện tợng phức tạp,
chúng đã chứa đựng các đặc tính quan trọng nhất chi phối chuyển động không dừng
của chất lỏng. Với sự xuất hiện của các thế hệ máy tính hiện đại kết hợp với các kỹ
thuật tính toán ngày càng hiệu quả, nghiệm của các phơng trình đó ngày nay đã có
thể hiểu rõ và mô tả khá chính xác.
Vấn đề lớn nhất đối với các phơng trình nớc nông là chúng có thể chứa đựng
các nghiệm không liên tục. Đặc tính phi tuyến của các phơng trình cũng hàm chứa
rằng các nghiệm giải tích của những phơng trình đó chỉ hạn chế trong một số
trờng hợp bài toán rất đặc biệt. Hệ quả là các phơng pháp số cần phải đợc sử
dụng để thu nhận các nghiệm xấp xỉ.
Các phơng pháp giải số hệ phơng trình nớc nông với các kỹ thuật truyền
thống, chẳng hạn nh sử dụng sơ đồ Preissmann, đã đợc nghiên cứu nhiều [17]. Có
nhiều sơ đồ số khác nhau, sử dụng các tính chất của các hệ hyperpolic, đã đợc phát
triển để giải quyết một cách chuẩn xác các tính chất không liên tục trong dòng chảy
mà vẫn cho nghiệm chuẩn xác trong các miền nghiệm trơn. Những sơ đồ đó đã và
đang đợc phát triển cho các hệ định luật bảo toàn tổng quát chẳng hạn nh các
phơng trình Euler cho động học các chất khí. Gần đây hơn, các kỹ thuật đó đã đợc
áp dụng vào giải số các phơng trình nớc nông.

Trong các mô hình bắt gián đoạn các sơ đồ hiện thờng hay đ
ợc sử dụng
hơn là các sơ đồ ẩn. Đối với các phơng trình phi tuyến, chẳng hạn các phơng trình
nớc nông, việc sử dụng sơ đồ ẩn tạo ra hệ các phơng trình đại số phi tuyến. Trong



9
trờng hợp đó hoặc là thủ tục giải lặp sẽ đợc sử dụng để giải các phơng trình đó
hoặc là toán tử ẩn sẽ đợc tuyến tính hóa để tránh tiêu tốn thời gian với thủ tục giải
lặp. Đối với các bài toán dòng chảy dừng, các sơ đồ ẩn đợc tuyến tính hóa tạo ra
những thuận lợi rất lớn so với các sơ đồ hiện [18]. Đối với các bài toán dòng chảy
không dừng, tính ổn định và chính xác có thể không đợc đảm bảo do việc tuyến
tính hóa và do bị hạn chế bởi điều kiện CFL [18]. Mặc dù vậy các sơ đồ hiện cũng
có sự phụ thuộc vào sự hạn chế thông thờng của số Courant, do vậy thờng các sơ
đồ hiện tính toán rất lâu nên chúng còn cần đợc nghiên cứu giảm thiểu thời gian
tính toán.
1.2 Các đối tợng vật lý
Khi xem xét dòng chảy nớc nông ta tuân theo các quy ớc sau [19, pp.1-3]:
1.2.1 Cấu trúc hình học của khối nớc
Cấu trúc hình học của khối nớc đợc đặc trng bởi:
Mặt thoáng
Độ dốc đáy thoải, nếu gọi

là góc nghiêng thì
(
)


tan và không có bất

kỳ sự biến đổi đột ngột nào đối với địa hình đáy.
Nớc nông: độ sâu cột nớc (h) nhỏ hơn rất nhiều so với bớc sóng hoặc
chiều dài đặc trng của khối nớc L. Nhìn chung h/L cỡ 10
-3
đến 10
-4
.
Kích cỡ không gian theo chiều ngang từ cỡ 1m đến cỡ 1000km.
1.2.2 Các tính chất của chất lỏng
Tính liên tục: các tính chất cơ học và vật lý của chất lỏng không đạt đến giá
trị vô hạn hoặc chứa đựng bớc nhảy ở bất kỳ một điểm rời rạc nào.
Tính nhớt: với dòng chảy phân tầng, chất lỏng có thể đợc mô tả một cách
xấp xỉ nh là chất lỏng Newton trong đó nhớt phân tử đóng vai trò quan
trọng. Với các dòng chảy rối, chất lỏng là phi Newton và đợc đặc trng
bởi nhớt rối.



10
Tính không nén đợc: mật độ của các phần tử chất lỏng không thay đổi
theo chuyển động.
Tính đồng nhất: chất lỏng, môi trờng trong quá trình truyền tải vật chất và
dẫn nhiệt, đợc trộn lẫn tốt, hay phân bố theo không gian của mật độ của
chất lỏng không có ảnh hởng đến dòng chảy. Tính đồng nhất cùng với tính
không nén đợc hàm ý rằng mật độ

là hằng số. Ta thờng xem giá trị
của mật độ của nớc tính khiết là 1000kg/m
3
, nớc biển là 1025kg/m

3
.
Tính đẳng hớng: các tham số tính chất vật chất, ví dụ nh hệ số nhớt
à
,
không thay đổi theo hớng.
1.2.3 Các dạng ứng xử trong dòng chảy
Dòng chảy dừng có thể đợc xem nh là giới hạn của dòng chảy không dừng
dới các điều kiện ngoài cố định khi thời gian tăng vô hạn. Trong tính toán dòng
chảy nớc nông thờng ta sử dụng một mặt phẳng nằm ngang nh là mặt phẳng tọa
độ và bỏ qua tính cong của vỏ trái đất.
Do tính nông, vận tốc theo phơng ngang trên trục thẳng đứng đợc coi là có
một phân bố thống nhất một cách tơng đối do vậy trung bình hóa theo chiều sâu là
có thể áp dụng đợc. Do đó mà dòng chảy ba chiều có thể đợc đơn giản hóa nh
dòng chảy hai chiều trong mặt phẳng bằng việc tích phân vận tốc ngang theo
phơng thẳng đứng để nhận đợc giá trị trung bình theo chiều sâu và bằng việc bỏ
qua ảnh hởng của vận tốc theo phơng thẳng đứng.
Dòng chảy thờng là xoáy, trong đó các sự kết hợp, truyền tải, khuếch tán và
tiêu tán xoáy có thể xảy ra một cách đồng thời và liên tục. Nhiệt độ thờng đợc coi
nh hằng số do quá trình sinh nhiệt do ma sát và quá trình truyền nhiệt là có thể bỏ
qua. Nếu có sự thay đổi nhiệt độ ta cũng không xét đến sự biến đổi mật độ, độ nhớt
và tính dẫn nhiệt do vậy trờng dòng chảy đợc tách khỏi trờng nhiệt độ, chúng có
thể đợc tính toán riêng rẽ.
Cao trình mặt thoáng biến thiên đều với độ cong nhỏ, do đó so sánh với gia tốc
trọng trờng thì gia tốc theo phơng thẳng đứng có thể đợc bỏ qua. Điều này cũng



11
tơng tự nh giả thiết áp suất thủy tĩnh.

Sức căng bề mặt có thể bỏ qua.
Cỡ thời gian của dòng chảy từ vài giây đến nhiều ngày.
1.2.4 Các lực ngoài
Lực hấp dẫn là lực chính chi phối dòng chảy.
Lực quán tính Coriolis do chuyển động quay của trái đất quanh trục.
Lực gây ra thủy triều.
Các lực ma sát giữa dòng chảy và đáy. Sự tiêu tán năng lợng cơ học do
nhớt rối và nhớt phân tử cũng có thể đuợc kết hợp vào trong số hạng này.
Lực ứng suất gió do trờng gió trên mặt thoáng.
Lực gradient áp suất do trờng áp suất khí quyển trên mặt thoáng.
Ba lực đầu tiên ở trên là lực khối, giá trị của chúng liên quan đến mật độ nớc
trong khi các lực còn lại phụ thuộc vào diện tích mặt thoáng của khối nớc đợc
nghiên cứu.
1.3 Hệ phơng trình nớc nông hai chiều
Các phơng trình thủy động lực học 3 chiều tổng quát mô tả động lợng và
tính liên tục của chất lỏng không nén đợc với mật độ hằng số và không xét đến sức
căng bề mặt có thể đợc biểu diễn nh sau [20]:
0=


+


+


z
w
y
v

x
u

(1.1)
x
zx
yx
xx
F
zyxx
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
+

+


+


+


=


+


+


+






11

(1.2)
y

zyyyxy
F
zyxy
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
+








+


+

+


=


+


+


+




11

(1.3)
z
zz
yz
xz
F
zyxz
p
z
w
w

y
w
v
x
w
u
t
w
+








+


+


+


=


+

+


+






11

(1.4)
trong đó u, v, w là các giá trị tơng ứng khi chiếu vectơ vận tốc lên các trục tọa độ x,



12
y, z;

là mật độ nớc; p là áp suất thủy tĩnh của nớc; F
x
, F
y
và F
z
là các thành
phần theo phơng x, y, z của lực khối trên mỗi đơn vị khối lợng;

là ứng suất trợt
với các quy ớc sau: chỉ số dới đầu tiên chỉ hớng pháp tuyến với mặt phẳng đang
đợc xét, chỉ số dới thứ hai chỉ hớng của ứng suất.
Các phơng trình tổng quát trên mô tả cho cả hai hiện tợng dòng chảy phân
tầng và dòng chảy rối. Đối với dòng chảy rối các thành phần u, v và w biểu diễn vận
tốc trung bình trong khoảng thời gian đủ nhỏ. Các ứng suất trợt biểu diễn nh ở
trên bao gồm cả ứng suất nhớt và ứng suất Reynold phát sinh từ sự đối lu động
lợng của các chuyển động rối. Để ngắn gọn chỉ các biểu thức ứng suất trợt trong
phơng trình (1.2) đợc trình bày dới đây. Các biểu thức ứng suất trợt trong các
phơng trình (1.3) và (1.4) đợc định nghĩa hoàn toàn tơng tự.
()
''
uu
x
u
xx
à



=

(1.5)
()
''
vu
y
u
yx

à



=

(1.6)
()
''
wu
z
u
zx
à



=

(1.7)
trong đó
à
là hệ số nhớt động học của nớc; u, v và w là các dao động của các
thành phần vận tốc quanh giá trị trung bình tơng ứng của chúng và dấu ngoặc chỉ
sự trung bình hóa trong một khoảng thời gian đủ nhỏ. Trong các phơng trình ở trên
các nhóm số hạng thứ nhất và thứ hai trong các vế phải của các phơng trình biểu
diễn ứng suất nhớt và ứng suất Reynold tơng ứng.
Hình 1.1 Sơ đồ biểu diễn dòng chảy nớc nông trong hệ tọa độ Decard 3 chiều
Các điều kiện biên động học sau đây đợc định nghĩa cho các phơng trình
z

y
x
i
f
(
)
t
y
x
,
,

(
)
t
y
x
,
,

q



=
h



13

động học tổng quát:
tại mặt thoáng: z=

(x,y,t)
()
tyxRw
y
v
x
u
tdt
d
dt
dz
,,=


+


+


==

(1.8)
tại mặt đáy: z=

(x,y,t)
()
tyxFw
y
v
x
u
tdt
d
dt
dz
,,+=


+


+


==

(1.9)
trong đó

,

là các cao trình của mặt thoáng và mặt đáy tơng ứng;

u
,

v
và

w
là
các thành phần vận tốc ở mặt thoáng theo các phơng x, y và z;

u
,

v
và

w
là các
thành phần vận tốc ở mặt đáy theo các phơng x, y và z; R là lợng ma; F là tốc độ
thẩm thấu qua đáy.
Các phơng trình dòng chảy hai chiều đợc thu nhận bằng việc trung bình hóa
các phơng trình (1.1) (1.4) theo chiều sâu sử dụng các điều kiện biên động học
(1.8 và 1.9) cùng một số giả thiết [21] và các phơng trình hai chiều sẽ có dạng:

()
()()
tyxFtyxR
y
q
x
q
t
y
x
,,,, =


+


+




(1.10)
()
[
]
(
)
[
]
()

()
()










xx
yxxy
xxx
xx
g
Ru
y
qq
x
q
t
q
+

+



=



+


+


1
2

(1.11)
()
[
]
(
)
[
]
()
()

()







yy
yxxyyyy
yy
g
Rv
x
qq
y
q
t
q
+








+

=


+


+


1
2

(1.12)
trong đó g là gia tốc trọng trờng; q là lu lợng dòng chảy trên mỗi đơn vị chiều
rộng;


là ứng suất trợt trên mặt thoáng;


là ứng suất trợt tại mặt đáy;

là hệ
số hiệu chỉnh động lợng để xét đến ảnh hởng của tính không đồng nhất của phân
bố vận tốc; các hệ số dới x và y là chỉ số chỉ phơng.
Đối với dòng chảy phân tầng, ứng suất nhớt chiếm u thế và có thể bỏ qua ứng
suất Reynold. Phơng trình cho ứng suất trợt tại biên mặt đáy khi đó đợc xác định

14
nh sau:
()
()
2
21
22
8




+
=
yxx
x
qqq
f

(1.13)
()
()
2
21
22
8

+
=
yxy
y
qqq
f

(1.14)
trong đó f là hệ số cản trở dòng chảy. Đối với dòng chảy phân tầng, hệ số cản dòng
chảy đợc định nghĩa bởi phơng trình Darcy-Weisbach nh sau:
f=K
0
/Re
(1.15)
trong đó K
0
là tham số nhám bề mặt và Re là số Reynolds của dòng chảy.
Đối với dòng chảy rối, ứng suất Reynolds chiếm u thế và ứng suất nhớt có thể
bỏ qua. Lực ứng suất trợt trên biên có thể xấp xỉ bởi phơng trình Manning nh
sau:
()
()
21
22
34
2
yxx
qq

n
g +

=




(1.16)
()
()
21
22
34
2
yxy
qq
n
g +

=




(1.17)
trong đó n là hệ số nhám Manning.
Cả hai phơng trình Darcy-Weisbach và phơng trình Manning đều đợc thu
nhận cho dòng chảy dừng và đồng nhất. Do vậy các phơng trình ứng suất trợt trên
biên đợc cho ở trên chỉ đợc xem nh là một xấp xỉ. Các hệ số K

0
và n thờng đợc
xác định bằng cách chuẩn hóa hay hiệu chỉnh theo các số liệu đo đạc. Bảng giá trị
của hai tham số đó trong mối liên hệ với các điều kiện bề mặt có thể đợc tìm thấy
trong nhiều tài liệu chuyên khảo (ví dụ theo [22]).
Lực ứng suất trợt trên mặt thoáng thờng đợc tạo ra bởi hai yếu tố: ma và
gió. Trong khi ảnh hởng của gió đối với dòng chảy trên mặt đất có thể đợc bỏ qua
thì ảnh hởng của ma là đáng kể. Khi các hạt ma rơi vào dòng nớc đang chảy,
chúng ảnh hởng đến mặt thoáng của dòng chảy và tạo ra rối trong dòng chảy.
Những yếu tố đó có thể gây mất mát năng lợng và làm gia tăng sức cản dòng chảy
[23]. Những ảnh hởng đó là lớn hơn đối với dòng chảy nớc nông phân tầng nhng



15
lại nhỏ hơn đối với dòng chảy nớc sâu và dòng chảy rối. Khi nớc trở nên sâu hơn
và dòng chảy trở nên rối hơn thì ảnh hởng của ma đến sức cản dòng chảy có thể
đợc bỏ qua [24].
Tóm lại, trong không gian hai chiều các phơng trình nớc nông dới dạng
bảo toàn đợc viết nh sau [19]:
() ()
0=++
yx
t
hvhuh

(1.18)
() ()
()
fxx

y
x
t
SSghuhvghhuuh =+






++
0
22
2
1

(1.19)
() ( )
()
fyy
y
xt
SSghghhvuvhvh =






+++

0
22
2
1

(1.20)
trong đó



=h là độ sâu; u vận tốc trung bình theo chiều sâu theo phơng x; v là
vận tốc trung bình theo chiều sâu theo phơng y; g là gia tốc trọng trờng; t là thời
gian; S
0x
và S
0y
là độ dốc đáy theo phơng x và y; S
fx
và S
fy
tơng ứng là hệ số ma sát
theo các phơng x và y trong hệ tọa độ Decard.
1.4 Các nhóm số hạng và ý nghĩa vật lý của chúng
1.4.1 Gia tốc địa phơng
Các số hạng quán tính địa phơng, ví dụ
tu


, biểu diễn tốc độ thay đổi theo
thời gian của vận tốc ở bất kỳ một điểm cố định nào và là những số hạng duy nhất

thể hiện tính không dừng của của dòng chảy [19, pp.26].
1.4.2 Gia tốc convective (số hạng convective)
Các biểu thức gia tốc convective, ví dụ
xuu


, biểu diễn ảnh hởng của
gradient theo không gian của vận tốc đang đợc truyền tải theo dòng chảy. Ngời ta
cũng đã chỉ ra rằng các số hạng đó cũng quyết định sự hình thành và truyền tải
xoáy. Tổng của các số hạng gia tốc địa phơng và gia tốc convective chính là đạo
hàm vật chất thể hiện gia tốc tổng thể của hạt chất lỏng, biểu thức tổng đợc gọi là
số hạng quán tính. Bằng việc loại bỏ số hạng gia tốc convective, hệ phơng trình trở
thành tuyến tính. Xấp xỉ này phù hợp trong trờng hợp số Reynold nhỏ. Thực
nghiệm chứng tỏ rằng xấp xỉ nh vậy thoả mãn tính ổn định tính toán. Tuy nhiên cơ



16
chế của sự tạo thành và lan truyền xoáy khi đó sẽ bị mất do đó các xoáy và hoàn lu
có thể không mô phỏng đợc nữa [19, pp.26].
1.4.3 Độ dốc của mặt thoáng
Các số hạng độ dốc mặt thoáng, ví dụ
xzg


, biểu diễn tác động của trọng
trờng. Đối với dòng chảy nớc nông có mặt thoáng, những số hạng đó thờng là
các yếu tố tác động chính và chúng phát sinh từ giả thiết áp suất thủy tĩnh. Trong
các nghiên cứu lý thuyết chúng ta thờng hay phân tích thành phần đó thành
gradient áp suất và độ dốc đáy,

+


xx
h
g

. Phần thứ nhất biểu diễn gradient áp
suất do biến thiên độ sâu, phần thứ hai biểu diễn ảnh hởng của địa hình đáy, mà nó
thể hiện tác động nh một lực ngoài. Theo dạng này thì có thể coi h là một ẩn trong
tất cả các phơng trình. Nhng trong các tính toán thực tế chúng thờng đợc tích
hợp vào trong biểu thức,
xz

, để cực tiểu hóa các sai số do rời rạc hóa, do độ dốc
của mặt thoáng là thờng nhỏ hơn rất nhiều so với độ dốc đáy [19, pp.26-27].
1.4.4 Lực do ứng suất gió bề mặt
Các biểu thức ứng suất gió trên bề mặt, ví dụ


x
, biểu diễn lực kéo sinh ra bởi

gió thổi trên bề mặt. Tác động của ứng suất gió tỷ lệ nghịch với độ sâu khối nớc do
vậy mà thành phần này có vai trò quan trọng trong dòng chảy nớc nông [19, pp.28-
29].
1.4.5 Ma sát đáy
Các số hạng liên quan đến nhám ở đáy, ví dụ


x
, có ảnh hởng phi tuyến làm
chậm dòng chảy. Thông thờng nhám đáy đợc ớc lợng sử dụng các công thức
thực nghiệm hoặc bán thực nghiệm nh:
Công thức thủy lực: trong trờng hợp hệ phơng trình Saint-Venant một
chiều, biểu thức nhám có thể đợc biểu diễn bằng gS
f
với S
f
là độ nhám
thủy lực. Giả thiết rằng lực ma sát đáy trong dòng chảy hở hai chiều không
dừng có thể đợc ớc lợng bằng cách liên hệ tơng tự tới công thức này,
các công thức chi tiết có thể đợc tìm thấy trong [19, pp.31-34].



17
Công thức hải dơng học: do một số khác biệt giữa vật chất cấu tạo đáy
sông và đáy biển nên các công thức cho biển có sự khác biệt và cũng có thể
đợc tìm thấy trong [19, pp.31-34].
1.4.6 Các lực khối
Các số hạng lực khối biểu diễn ngoại lực tác động lên phần tử chất lỏng trên
mỗi đơn vị khối lợng. Bên cạnh trọng lực đã đợc xét đến còn có hai ngoại lực

khác gồm:
Lực quán tính Coriolis: sinh ra do chuyển động quay của trái đất.
Lực sinh ra thủy triều: đây là lực hấp dẫn vũ trụ theo định luật Newton. Lực
này tác động lên khối nớc và chủ yếu sinh ra do tác động của mặt trăng và
mặt trời. Ngoại trừ các khối nớc lớn nh biển và đại dơng thì lực sinh ra
thủy triều nhìn chung có thể bỏ qua đợc [19, pp.34-36].
1.5 Một số dạng dẫn xuất của hệ phơng trình nớc nông hai chiều
1.5.1 Dạng trong hệ tọa độ Decard (theo các biến u, v và h)
() ()
0=


+


+


y
hv
x
hu
t
h

(1.21)
x
bxaxba
F
hx

z
g
x
p
x
h
g
y
u
v
x
u
u
t
u
+

+





=


+


+

+





1

(1.22)
y
byay
ba
F
hy
z
g
y
p
y
h
g
y
v
v
x
v
u
t

v
+

+





=


+


+


+





1

(1.23)
Các lực ngoài ở vế phải của hai phơng trình cuối cùng đợc ký hiệu ngắn gọn
bởi F
x

và F
y
; áp suất khí quyển trên mặt thoáng đợc ký hiệu là p
a
; Ta có thể thấy
xuất hiện vấn đề lựa chọn biến độc lập là h hay z. Do cao trình đáy có thể biến đổi
rất mạnh và do độ dốc đáy đợc xấp xỉ bởi các hằng số theo từng đoạn trong phơng
pháp sai phân nên sai số chứa đựng trong xấp xỉ sai phân cho các biểu thức
xzg
b



v.v., thờng lớn hơn nhiều so với các sai số khác. Điều này có thể gây sai số lớn và
có thể gây mất ổn định tính toán. Do vậy các đạo hàm riêng theo không gian của h
trong phơng trình động lợng có thể đợc viết lại nh đạo hàm của z trong khi h
vẫn đợc sử dụng trong tất cả các số hạng khác.



18
1.5.2 Dạng khác trong hệ tọa độ Decard (theo các biến q
x
, q
y
và h)
0=


+

+


y
q
x
q
t
h
y
x

(1.24)
x
x
y
xxx
F
x
h
g
h
q
yh
q
h
q
xh

q
h
q
t
=


+








+








+

(1.25)
y
yyy
x
y
F
y
h
g
h
q
yh
q
h
q
xh
q
h
q
t
=


+

+










+

(1.26)
Thuận lợi của dạng này là do các biến q
x
và q
y
(thay vì u và v) là các dòng đợc
sử dụng trong định luật bảo toàn vật chất và cũng là các đại lợng vật lý đợc bảo
toàn trong bảo toàn động lợng. Mặt khác khi viết theo dạng này phơng trình liên
tục trở thành tuyến tính và do đó tính bảo toàn có thể đợc bảo đảm dễ dàng hơn
trong các tính toán.
1.5.3 Dạng bảo toàn
Một hệ các định luật bảo toàn với 3 biến độc lập (w, F, G) có thể đợc viết
dới dạng bảo toàn nh sau:
S
y
G
x
F
t
w
=


+


+

(1.27)
Đối với hệ phơng trình nớc nông hai chiều thì w là một véc tơ tạo bởi các đại
lợng vật lý bảo toàn, w=(q
x
, q
y
, h)
T
, và:
T
x
yx
x
q
h
qq
h
g
h
q
F

+= ,,
2
2
2
và
T
y
yyx
q
h
g
h
q
h
qq
G








+= ,
2
,
2
2

(1.28)
trong đó F, G là các dòng truyền tải. Một dạng bảo toàn của các phơng trình nớc
nông có thể đợc viết lại dới dạng thông thờng. Nhng một dạng thông thờng có
thể không thể viết lại đợc dới dạng bảo toàn.
Thuận lợi chính của dạng bảo toàn của các phơng trình nớc nông bao gồm
[19, pp.45]:
Có một mối quan hệ gần gũi giữa định luật bảo toàn, hệ đối xứng và hệ
hyperbolic, điều đó rất có ích trong các nghiên cứu lý thuyết dựa trên các
hệ hyperbolic.



19
Thuận lợi cho việc xây dựng sơ đồ sai phân trong đó sự bảo toàn vật chất và
bảo toàn động lợng có thể đợc đảm bảo dễ dàng hơn trong nghiệm số trị.
Nó là dạng phù hợp duy nhất cho việc định nghĩa và tính toán nghiệm có
gián đoạn.
1.6 Một số tính chất của hệ phơng trình nớc nông hai chiều
Các nghiên cứu lý thuyết đợc trình bày chi tiết trong [19, pp.60-106]. Có thể
tổng kết các tính chất cơ bản của hệ phơng trình nớc nông hai chiều nh sau: các
tính chất toán học của hệ phơng trình nớc nông hai chiều là tơng tự với các
phơng trình Euler trong động học chất khí. Một số các tính chất khác biệt có thể
đợc chỉ ra gồm:
Các phơng trình nớc nông thờng chứa đựng các số hạng không thuần
nhất ở vế phải (số hạng nguồn), trong số đó số hạng độ dốc đáy có thể đóng
một vai trò rất quan trọng. Độ sâu cột nớc tại các nút kề nhau của lới tính
toán có thể khác nhau rất lớn mặc dầu mặt thoáng gần nh phẳng.
Đối với dòng chảy nớc nông, với giả thiết áp suất thủy tĩnh và tính không
dẫn nhiệt ta không cần đến phơng trình năng lợng.

Hình dạng của biên cứng đợc cho trong các bài toán dòng chảy nớc nông
thờng có dạng rất phức tạp theo địa hình thực tế.
Trong tính toán dòng chảy nớc nông, cỡ về thời gian và không gian
thờng khá lớn.
1.7 Các tính chất của nghiệm của hệ phơng trình nớc nông hai chiều
Dới các điều kiện biên (không gian và thời gian) khác nhau một hệ các
phơng trình có thể là đặt chỉnh (well-posed) hoặc không đặt chỉnh và các nghiệm
nếu có cũng có thể rất khác nhau. Do vậy sự thiết lập đúng đắn của điều kiện biên là
rất quan trọng. Các dòng chảy chất lu có hai kiểu biên: biên nội (sóng gián đoạn,
các gián đoạn tiếp xúc) và biên ngoài. Biên ngoài có thể đợc phân chia thành:
các biên vật lý (các biên tự nhiên hoặc là các biên cứng).



20
các biên nhân tạo (các biên mở) chẳng hạn nh giao diện với cột nớc xung
quanh.
1.7.1 Số các điều kiện giải (điều kiện biên và điều kiện ban đầu)
Số các điều kiện ban đầu bằng với bậc cao nhất của đạo hàm theo thời gian
trong hệ. Đối với hệ phơng trình nớc nông chúng ta chỉ cần một điều kiện ban đầu
cho các biến bảo toàn. Số lợng các điều kiện biên cho một vùng dòng chảy hai
chiều nhất định cần đợc xác định dựa trên lý thuyết đặc trng [19, pp.110-112].
1.7.2 Dạng của các điều kiện biên và điều kiện ban đầu
Đối với hệ phơng trình nớc nông hai chiều, điều kiện ban đầu có thể là phân
bố của mực nớc và vận tốc trung bình theo chiều sâu đợc cho trên miền tính tại
một thời điểm ban đầu t=t
0
. Thờng rất khó đòi hỏi dữ liệu ban đầu chuẩn xác do
vậy chúng có thể đợc ớc lợng bằng các kết quả tính toán thô. Tuy vậy nếu dữ
liệu đợc cho không phù hợp thì khi đó hoặc là bài toán không có nghiệm hoặc là

tính toán sẽ không ổn định. Do vậy thờng ngời ta làm nh sau: một trạng thái tĩnh
thờng đợc sử dụng nh là điều kiện ban đầu ở một thời điểm trớc nào đó, sau đó
dữ liệu ban đầu mong muốn ở thời điểm t
0
có thể nhận đợc thông qua một tính toán
chuyển đổi.
Các điều kiện biên trong động học chất lỏng thờng đợc cho theo hai dạng
sau: giá trị của các biến tại đó đợc cho trớc (điều kiện Dirichlet) hoặc ràng buộc
đối với đạo hàm của các biến tại biên (điều kiện Neumann) [19, pp.112-115].
1.7.3 Yêu cầu đối với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu
Nh đã đợc tổng kết [19, pp.115-118], các yêu cầu nói chung nh sau:
Số lợng và dạng của các điều kiện biên và điều kiện ban đầu phải đảm bảo
tính đặt chỉnh của bài toán.
Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu phải phù hợp với nhau, ngợc lại
hoặc là không tồn tại nghiệm hoặc tính toán không ổn định.
Một điều kiện biên mở phải thoả mãn rằng nghiệm trên miền tính phải



21
trùng khớp với nghiệm nguyên thủy hay nghiệm trên toàn miền lớn.
1.8 Về phơng pháp số giải hệ phơng trình nớc nông hai chiều
Hiện nay có nhiều mô hình số khác nhau đã đợc sử dụng để mô phỏng dòng
chảy nớc nông hai chiều [25]. Để ứng dụng chúng trong thực tế một số vấn đề cần
lu ý gồm: vấn đề rối trong dòng chảy, mô tả địa hình và miền tính, dữ liệu để xác
định các tham số tính toán, kích cỡ bài toán và những khó khăn của phơng pháp
tính [26]. Mô hình cần có khả năng mô tả tơng tác giữa dòng chảy chính với các
vùng dòng chảy tràn, các miền khô, ớt bất kỳ trong miền tính với tính chất khô ớt
là thay đổi theo thời gian. Một cách lý tởng một mô hình giải số hệ phơng trình
nớc nông ứng dụng cho các miền tính toán thực tế cần có các đặc tính sau:

Khả năng xử lý tốt trên các miền địa hình phức tạp.
Mô phỏng đợc các dòng chảy êm hoặc các dòng chảy xiết.
Mô phỏng đợc các dòng chảy dừng và không dừng.
Mô phỏng đợc các dòng chảy có gián đoạn và không có gián đoạn.
Khả năng xử lý tốt các miền khô, ớt trong miền tính.
Khả năng mô phỏng đợc các công trình trong miền tính.
Khả năng xử lý đợc các dòng chảy từ ngoài vào miền tính.
Có thể kể ra một số các nghiên cứu có nhiều đóng góp cho sự phát triển của
mô phỏng dòng chảy hai chiều cho các lu vực sông gồm [27, 28, 29, 30, 31]. Các
nghiên cứu trên hoặc sử dụng phơng pháp sai phân hữu hạn (FDM) hoặc sử dụng
phơng pháp phần tử hữu hạn (FEM). Chú ý rằng dạng vi phân của các phơng trình
nớc nông không đúng ở các gián đoạn (tại đó nghiệm không khả vi), ngợc lại
dạng tích phân của các phơng trình nớc nông đúng cả ở phần gián đoạn và không
gián đoạn của dòng chảy. Do đó chúng ta nên sử dụng dạng tích phân để rời rạc hóa
hệ phơng trình nớc nông [32].
Gần đây phơng pháp thể tích hữu hạn (FVM) đợc ứng dụng nhiều. Phơng
pháp này đợc giới thiệu lần đầu tiên trong nghiên cứu [33, 34] cho trờng hợp



22
nghiệm hai chiều phụ thuộc thời gian của các phơng trình Euler. Phơng pháp
FVM tận dụng đợc các u điểm của cả hai phơng pháp FDM và FEM nh sau:
Phơng pháp FVM có thể đợc xem nh là phơng pháp FDM ứng dụng
cho dạng bảo toàn của các phơng trình bảo toàn viết trong hệ tọa độ bất
kỳ. Do vậy phơng pháp này có thể đợc áp dụng đối với bất kỳ hệ lới
không cấu trúc nào tơng tự nh phơng pháp FEM và cần ít công sức tính
toán hơn so với phơng pháp FEM.
Phơng pháp FVM dựa trên dạng tích phân của phơng trình bảo toàn và có
thể xử lý tốt các gián đoạn.

Các dòng chảy nớc nông không phải luôn luôn trơn và liên tục mà có thể biến
đổi rất nhiều theo không gian, chẳng hạn nh dòng chảy trong lòng sông có thể khác
rất nhiều dòng chảy ở bãi sông. Chúng có thể biến đổi đột ngột theo thời gian, nh
xảy ra sóng gián đoạn khi mở cửa cống hay khi vỡ đê đập. Các bài toán dòng chảy
liên quan đến sự thay đổi đột ngột của dòng chảy theo thời gian và theo không gian
thuộc về nhóm các bài toán Riemann [8, pp.125] do vậy ta cần một sơ đồ rời rạc,
bảo toàn giải bài toán Riemann. Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán
Riemann, cách làm thờng là tổng quát hóa lời giải chính xác của bài toán Riemann
trong trờng hợp tuyến tính cho trờng hợp phi tuyến. Các lời giải bài toán Riemann
xấp xỉ bao gồm: phơng pháp phân chia vector dòng (FVS) [35, 36], phơng pháp
phân chia sai phân dòng (FDS) [12, 37, 39] và sơ đồ Osher [32, 38].
1.9 Phơng pháp thể tích hữu hạn (FVM)
Trong phơng pháp này sơ đồ rời rạc hoá đợc xây dựng trên cơ sở của các
định luật bảo toàn dạng tích phân. Đây là điểm khác với phơng pháp sai phân hữu
hạn truyền thống. Các công thức cho các biến đợc xây dựng sao cho tính bảo toàn
đợc thoả mãn. Có thể trình bày tóm tắt phơng pháp FVM nh dới đây [19,
pp.241-242].
Đầu tiên phơng pháp đợc xây dựng cho phơng trình dạng
gfw
xt
=
+ . Lấy
tích phân trên miền con thời gian và không gian
(
)
(
)
21211
,,
++ iinn

xxxtt cho ta:



23
() ()
() ()
txggdxdtdtwfdtwfdxxtwdxxtw
n
n
n
n
i
i
i
i
t
t
i
t
t
i
x
x
n
x
x
n
=+

++
+

+

++
11
21
21
21
21
21211
,,
(1.29)
Theo lý thuyết giá trị trung bình, lựa chọn một giá trị trung bình của w trên
khoảng
()
,,21,21
i
wwii =+ khi đó chúng ta có xwxwwdx
i
x
x
i
i
=

+

21

21
với ký hiệu
(
)
2121 ++
=
ii
wff . Biểu diễn tích phân của số hạng đó trên khoảng
()
1
,
+nn
tt bởi một
trung bình có trọng số theo thời gian sẽ có dạng
()
tdtf
ff
n
i
n
i
t
t
i
n
n

+
+
++
+

+
1
2121
21
1
1


Sơ đồ FVM, phơng trình (1.29) là hiện và tơng đơng với một sơ đồ sai phân
hữu hạn bảo toàn khi
0=

, một sơ đồ ẩn khi 10
<
<

, và một sơ đồ ẩn hoàn toàn
khi
1=

.
Các thuận lợi của phơng pháp FVM có thể đợc thấy rõ ràng hơn trong

trờng hợp bài toán nhiều chiều và lới không cấu trúc.
Một miền tính toán phẳng với dạng hình học phức tạp đợc phân chia một cách
tuỳ ý thành các tứ giác (Hình 1.2), đợc gọi là các thể tích hữu hạn. Các đỉnh của
các tứ giác hoặc là có thể đợc phân bố tuỳ ý (lới không cấu trúc) hoặc là đợc ký
hiệu nh là các nút của một lới cong (lới có cấu trúc). Tuy nhiên chỉ có các toạ độ
của các đỉnh và các tâm của các tứ giác đợc sử dụng trong tính toán do vậy không
cần thiết phải viết các phơng trình vi phân theo dạng toạ độ cong.
Giả thiết rằng định luật bảo toàn dạng vi phân đợc viết nh sau:
FHGw
yxt
=++ , khi đó đối với mỗi một thể tích hữu hạn chúng ta có định luật bảo
toàn dạng tích phân nh sau:
() ()


=+


=+


eeeee
FdHdxGdywd
t
NdsHGwd
t

., , ở đây
ee
, là miền

phẳng và biên
ABCDA của thể tích hữu hạn và N là véc tơ đơn vị hớng ra ngoài
của
e
. Lấy các giá trị trung bình của w và F trên
e

ký hiệu bởi
e
w và
e
F . Ký hiệu
diện tích của
e
là A và các dòng hớng ra ngoài qua cạnh AB bởi
AB
E , hay chính là
tích phân đờng dọc theo đờng AB của tích vô hớng của véc tơ (G,H) và véc tơ N.