Giải phương trình, bất phương trình vô tỷ, kỹ thuật nhân liên hợp

*GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG KĨ
THUẬT NHÂN LIÊN HỢP.
Ta đã biết:
(
)
(
)
44444 344444 21321
B
nnnn
A
nn
babbaababa
1221

−−−−
++++−=−
Khi đó: A và B gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau.
Ví dụ:
a+b và a-b là 2 biểu thức liên hợp của nhau vì:
22
))(( bababa −=−+
33
ba −
và
3 2
3
3 2
baba ++
là 2 biểu thức liên hợp của nhau vì:
(

)
(
)
babababa −=++−
3 2
3
3 2
33
.
Ta thấy các biểu thức liên hợp của thường xuất phát từ các Hằng đẳng thức
đáng nhớ, do vậy ta nên ghi nhớ các tính chất quan trọng sau:
(
)
(
)
→−=−+→−=−+ babababababa
22
))((
ba
ba
ba
+
−
=−
(
)
→++−=−
2233
)( babababa
3 2

3
3 2
33
baba
ba
ba
++
−
=−
(
)
→++−=−
2244
))(( babababa
( )( )
baba
ba
ba
++
−
=−
44
44
Luôn nhớ:
bababa
bababa
bababa
,,0
,,0
,,0

3 2
3
3 2
22
22
∀>+±→





∀>+−
∀>++
Ta thường áp dụng các tính chất trên vào việc đưa phương trình vô tỷ cho
trước thành phương trình tích đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(*)3344212
222
++=−−+++ xxxxxx
Nhận xét: ta thử liên hợp 2 biểu thức có căn.
(*)
(
)
04423312
222
=−−+++−++⇔ xxxxxx
(
)
(
)

( )
0222
3312
22
0442
3312
3312
2
22
2
2
22
22
=−−+
+++++
−−
⇔=−−+
+++++
++−++
⇔ xx
xxxx
xx
xx
xxxx
xxxx
( )
3102202
3312
1
22

2
22
2
±=⇔=−−⇒=








+
+++++
−−⇔ xxx
xxxx
xx
(vì
biểu thức còn lại luôn dương). Vậy phương trình có 2 nghiệm:
31±=x
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(*)123212
2
+=−−+− xxxx
Đk:
2/1
≥
x
Như ví dụ 1, ta thử liên hợp 2 biểu thức có chứa căn:

(
)
0232112(*)
2
=−−++−−⇔ xxxx
( )
012
112
1
20)12)(2(
112
2
=






++
++−
−⇔=+−+
++−
−
⇔ x
xx
xxx
xx
x
Suy ra: x=2. (Vì x>0 nên biểu thức còn lại luôn dương).

Ví dụ 3: Giải phương trình:
(
)
(
)
244273213
2
−=++++−+ xxxxx
Đk:
3/1
−
≥
x
, PT đã cho tương đương với:
(
)
( )
( )( )





=
=
=
⇔
=−+−+−⇔
=+−+−+++−⇔
=









−
+++
+++
−⇔
−=+++
+++
−
2
1
2/1
022213)12(
0221324)4)(13()12(
02
213
4)4)(13(
)12(
)12(24273
213
12
2
x
x

x
xxx
xxxxx
xx
xx
x
xxx
xx
x
So điều kiện, kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
42118162
22
+=−+++ xxxx
Đk:





≥−
≥++
01
018162
2
2
x
xx
, phương trình đã cho tương đương với:





++++=−
=
⇔
=








−
++++
−
−⇔
++−+=−
)2(181624212
1
01
1816242
12
1
)1(18162421
22
2
2

2
2
22
xxxx
x
xxx
x
x
xxxx
Cộng (1) và (2) theo vế ta được phương trình:
7
32573
073647
2
8413
2
2
−
=⇔



=++
−≥
⇔+=− x
xx
x
xx
So điều kiện, kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm:







−
−=
7
32573
;1;1S
Ví dụ 5: Giải bất phương trình:
32532 −≤−−− xxx
Đk:
2
≥
x
. BPT đã cho tương đương với:
2
3
0
532
1
1)32(32
532
23
≥⇔≥







−+−
+−⇔−≤
−+−
−
⇔ x
xx
xx
xx
x
Kết hợp với điều kiện đã cho ta có nghiệm của BPT là:
);2[
+∞
=
S
Ví dụ 6: Giải phương trình:
(
)
)1(1143
3
234
xxx +−=−
VP là một hằng đẳng thức quen thuộc:
(
)
(
)
22234
121143 xxxxx ++++−=−

(
)
11
12
)43(
2
222
22
++
+++−
=−⇔
x
xxx
xxx
0
11
12
43
2
22
22
=









++
+++
+−⇔
x
xx
xxx
Nhận thấy:
(
)
(
)
0
116
2511
3
2
3
11
12
43
2
2
2
2
2
2
22
2
>
++

++−+
+






−=
++
+++
+−
x
xx
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất: x=0.
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
123223432)1
2222
++++=+++++ xxxxxxx
(
)
3
223 2
2211)2 ++=++++ xxxxx
33
1452)316(22)3 −=−−++ xxxx

2
1
12
1
)4
2
+−>+− x
x
x
x
(
)
(
)
3107125)5
2
=++++−+ xxxx
Những ví dụ trên áp dụng cho các phương trình đơn giản mà người làm dễ
phát hiện, đó cũng là bước đầu tiên trong phương pháp này, tức là ta nên liên
hợp 2 biểu thức chứa căn nếu xuất hiện nhân tử chung thì bài toán được giải
quyết, ngược lại nếu không xuất hiện nhân tử chung thì ta có thể tiếp tục 1
trong 2 hướng sau:
***Phương pháp hệ số bất định:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(*)0272532
2
=++++++ xxxx
Đk:
2/3
−

≥
x
Rõ ràng khi liên hợp 2 biểu thức chứa căn ta không thấy xuất hiện nhân tử
chung. Ta sẽ giải phương trình (*) như sau:
(
)
(
)
057225132
2
=+++−++−+ xxxx
( )
1052
25
1
132
2
1
0)52)(1(
25
1
132
22
−=⇒=







++
++
+
++
+⇔
=+++
++
+
+
++
+
⇔
xx
xx
x
xx
x
x
x
x
(vì
2/3
−
≥
x
nên 2x+5>0). Vậy phương trình có 1 nghiệm: x= -1.
Nhận xét: ví dụ trên đặt ra 1 câu hỏi tại sao lại liên hợp căn thức
32 +x
và
1? Tại sao lại liên hợp căn thức

5+x
và 2?
Quy tắc: nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ thì khi dùng lượng liên hợp
trước hết ta sẽ nhẩm nghiệm hữu tỷ đó (dùng máy tính), giả sử là a, sau đó
lần lượt thế giá trị a vào các căn thức, giá trị nhận được chính là lượng liêp
hợp với các căn thức đó. Phương pháp này gọi là Hệ số bất định.
Ta thử giải lại ví dụ trên:
(*)0272532
2
=++++++ xxxx
-Bước 1: nhẩm được nghiệm: x= -1
-Bước 2: thay x=-1 vào căn thức
32 +x
ta được giá trị bằng 1, nên
32 +x
và 1 là 2 biểu thức liên hợp của nhau, tương tự thay x=-1 vào căn thức
5+x
ta được giá trị bằng 2, vậy
5+x
và 2 là hai biểu thức liên hợp của
nhau. Do đó ta mới có bước:
(
)
(
)
057225132
2
=+++−++−+ xxxx
rồi giải
tương tự như trên. Thử xét ví dụ 2:

Ví dụ 2: Giải phương trình:
(*)03543
2
3
=++−−−− xxxx
Đk:
4
≤
x
Nhẩm được nghiệm: x= -5, lưu ý dấu "-" trước căn thức thứ 2.
Vẫn làm như vd trên:
(
)
(
)
06
34
1
432)3(
1
)5(
0)6)(5(
34
5
432)3(
5
0)6)(5(
34
94
432)3(

83
0303423(*)
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
3
=








−+
+−
+
+−+−
+⇔
=−++
+−
+

+
+−+−
+
⇔
=−++
+−
−−
−
+−+−
+−
⇔
=++−−−−+−⇔
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
x
xxxx
Vì
64
<

≤
x
nên 6-x>0. Vậy phương trình có 1 nghiệm x=-5.
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
51103325)1
2
=−++ xx
3
4
361)2 +=−+ xx
02361)3
23
3
2
=−−+++− xxxxx
***Phương pháp gọi số hạng vắng:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(*)1343212
222
−=−−+−−+−− xxxxxxx
Đk:
3
≥
x
Phương trình này có nghiệm nhưng là nghiệm vô tỷ, không nhẩm được, do
đó phương pháp hệ số bất định không khả thi, ta sẽ làm như sau:
( )
02301
132
1

)1(12
1
23
023
132
)1(32
)1(12
)1(12
023132)1(12(*)
2
22
2
2
2
2
2
22
222
=−−⇒=








+
−+−−
+

++−−
−−⇔
=−−+
−+−−
−−−−
+
++−−
+−−−
⇔
=−−+−−−−++−−−⇔
xx
xxxxxx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxx
Giải phương trình này, so điều kiện, kết luận phương trình có 1 nghiệm:
2
173+
=x
Nhận xét: bài toán này vẫn giải bằng phép nhân biểu thức liên hợp nhưng
biểu thức liên hợp không là hằng số mà là biểu thức chứa x. Những biểu
thức như vậy được gọi là "số hạng vắng".
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(*))1(3112125
22
+=−+++++ xxxxx

Đk:
1
≥
x
20
11
1
)1(12)12(125
)2(
0
11
2
)1(12
)1(12
)12(125
)12(125
011)1(12)12(125(*)
22
2
22
2
22
22
=⇔=









+−
+
+++
+
++++
−⇔
=
+−
−
+
+++
+−+
+
++++
+−++
⇔
=−−++−+++−++⇔
x
x
xx
x
xxx
x
x
x
x
xx
xx

xxx
xxx
xxxxxx
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x=2.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( )
(*)18
93
2
2
+=
+−
x
x
x
Đk:
0;9
≠
−
≥
xx
(
)
9096189318
93
)9(9
(*)
2
2
2

−=⇔=+⇔+=++⇔+=






++
+−
⇔ xxxxx
x
x
x
So điều kiện, ta kết luận phương trình đã cho có 1 nghiệm: x= -9.
Như vậy: khi gặp một phương trình vô tỷ, ta có thể giải bằng phép nhân liên
hợp, trước hết ta thử nhẩm nghiệm của phương trình, nếu được nghiệm hữu
tỷ ta áp dụng phương pháp hệ số bất định, nếu phương trình có nghiệm vô tỷ
thì ta nên thử liên hợp các biểu thức chứa căn với nhau trước, nếu vẫn
không được thì chuyển qua phương pháp gọi số hạng vắng hoặc giải bằng
phương pháp khác.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình:
(
)
(*)1512
2
−≤−−−− xxxxx
Đk:
5/10
≤
≤

x
(
)
( )
223223016
0
)1(2
1
51
2
16
)1(2
124
51
16
.2
)1(2512(*)
2
2
2
2
2
2
2
+≤≤−⇔≤+−⇒
≤









−+
+
−+−
+−⇔
−+
−+−
≤
−+−
+−
⇔
−−≤−−−⇔
xxx
xx
xxx
xx
xx
xxx
xxx
xx
xxxxx
Kết hợp với điều kiện ban đầu, suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm:
2230 −≤≤ x
Ví dụ 5: Giải phương trình:
027412.94
2
3

=−+−− xxx
(
)
(
)
( )
( )
( )( )
2
5
05252
212
52
94941
12522
025421219412
3
2
3
2
3
=⇒=+−+
+−
−
+
−+−+
−−
⇔
=−+−−+−−−⇔
xxx

x
x
xx
xx
xxxxPT
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1)
7134129 =++++++++ xxxxx
2)
09730296
2
3
=++++++ xxxx
3)
(
)
08312122
22
=+++−−+−++ xxxxxx
4)
0162
49
129
2
2
2
=−++
+++
+++
xx

xx
xx
5)
)3(333743132822719
222
+=++++++++ xxxxxxx
6)
32
1
2
12
2
3
2
2
+−>
+
−+
++− xx
x
xx
xx
7)
( )
(
)
14132322
22
+++−>++++ xxxxxxx
8)

(
)
(
)
xxxxxxxx 343413113
22
−+≥−−−+−+
HẾT.