Bài tập hay về tính giới hạn

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ
 Kĩ thuật nhân liên hợp (Hệ số bất định, gọi số hạng vắng).
 Quy tắc L'Hospitale (Lôpitan).
 Quy tắc ngắt bỏ Vô cùng lớn bậc thấp.
 Tính chất dãy Vô cùng bé.
Định nghĩa:
*Quy tắc Lôpitan:
Nếu khi mà có dạng hoặc thì:

Ví dụ: Tính giới hạn
Dạng vô định . Áp
dụng quy tắc Lôpitan:
Ví dụ: Tính
giới hạn:
*Quy tắc
ngắt bỏ Vô
cùng lớn
bậc thấp
(VCL):
-Định nghĩa VCL: hàm số F(x)
gọi là một vô cùng lớn trong
một quá trình nếu .
Ví dụ: Tính giới hạn
. Rõ ràng khi x tiến tới vô
cực thì F(x) và G(x) đều
tiến tới vô cực , nên đó là
2 VCL. Theo quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp thì ta chỉ giữ lại số hạng có số
mũ cao nhất ở tử và mẫu. Tức là:
Ví dụ: Tính giới hạn:
Ví dụ: Tính giới hạn:
0

xx →
)(
)(
xg
xf
0
0
∞
∞

)("
)("
lim
)('
)('
lim
)(
)(
lim
000
===
→→→
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xxxxxx
4

3
0
1413
834
lim
+−+
+−+
→
xx
xx
x
0
0
2
1
1
2
3
4
1
2
1
)14(
1
132
3
)83(
1
42
1

lim
1413
8342
lim
4
3
3
2
0
4
3
0
=
−
−
=
+
−
+
+
−
+
=
+−+
+−+
→→
x
x
x
x

xx
xx
xx
1cossin
324317
lim
5
0
−++
−++
→
xxx
xx
x
( )
( )
( )
405
211
1sincos
1
243175
17
lim
1sincos
124317.17.
5
1
lim
1cossin

324317
lim
1cossin
324317
lim
5
4
0
5
4
0
5
1
0
5
0
=
+−
+
+
=
+−
++
=
−++
−++
=
−++
−++
→

−
→
→→
xx
x
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
∞=
∞→
)(lim xF
x
77
17
lim
6
6
+
+−
∞→
x
xx
x
)(
)(

lim
77
17
lim
6
6
xG
xF
x
xx
xx ∞→∞→
=
+
+−
7
7
lim
77
17
lim
6
6
6
6
==
+
+−
∞→∞→
x
x

x
xx
xx
2
1
4
2
lim
14
2
lim
3
3
3
53
==
−+
+−
∞→∞→
x
x
xx
xxx
xx
3
11
lim
3
3 43
+

++−+
+∞→
xx
xxx
x
0
1
limlimlim
3
11
lim
3
3
3
3 43
3
3 43
===
+
=
+
++−+
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
xx
x
xx
xx
xx
xxx

xxxx
*Dãy Vô cùng bé: khi thì ta có các tính chất sau:
Ví dụ: Tính giới hạn:
Vì x tiến tới 0 nên:
Ví dụ: Tính giới hạn:
Theo tính chất dãy VCB thì:
(Bài này có thể
dùng Lôpitan).
Ví dụ: Tính giới hạn:
Tương tự:
Do đó:
0
0
→x
( )
xx
xe
xx
x
xx
xx
x
α
α
+≈+
+≈
−≈−≈
≈
≈
11

1
2
1
2
sin21cos
tan
sin
2
2
xx
xx
x
cossin1
cossin1
lim
0
−−
−+
→
1
2/1
2/1
lim
2
2
lim
2
11
2
11

lim
cossin1
cossin1
lim
0
2
2
0
2
2
00
−=
+−
+
=
+−
+
=








−−−









−−+
=
−−
−+
→→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xxxx
114sin
211
lim
4
36
0
−++

−+++
→
xx
xx
x
( )
( )
xxx
xxx
.
3
1
111
.
6
1
111
3
1
3
6
1
6
+=+=+
+=+=+
( )
xxxx
xx
+=+≈+=+
≈

14.
4
1
14114
sin
4
1
4
4
1
11
2
3
1
1
6
1
1
lim
114sin
211
lim
0
4
36
0
=
−++
−+++
=

−++
−+++
→→
xx
xx
xx
xx
xx
x
xxx
x
416.82.1
lim
4
3
0
−+++
→






+≈+=+







+≈






+=+=+
+≈+
64
12
16
1216
12
12
4
121
4
282
2
11
4
4
3
1
3
3
xx
x

xxx
x
x
x
12
31
48
31
64
5
384
4
lim
4
16
12.
12
12.
2
1
lim
416.82.1
lim
23
0
0
4
3
0
=









++
=
−






+






+







+
=
−+++
→
→→
x
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xx