ứng dụng các phương pháp tính số

TS. Ngô Văn Thanh,
Viện Vật lý.
Cao học vật lý – chuyên ngành Vật lý lý thuyết.
Chương 6. Phương trình vi phân.
6.1. Các bài toán giá trị đầu (Initial value problems)
6.1.1. Phương pháp Euler.
6.1.2. Phương pháp Runge-Kutta.
6.2. Giải hệ các phương trình vi phân.
6.2.1. Phương pháp Euler.
6.2.2. Phương pháp Runge-Kutta.
6.3. Các bài toán giá trị biên.
6.3.1. Phương pháp shooting.
6.3.2. Phương pháp sai phân xác định.
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Giới thiệu.
 Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc nhất:
 điều kiện đầu
 Hệ phương trình vi phân bậc nhất:
 trong đó
 Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc n :
 điều kiện đầu
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.1.1. Phương pháp Euler.
 Phương trình vi phân bậc nhất:
 điều kiện đầu
 Chia biến t thành N + 1 điểm
 mặt khác
 suy ra:
@2009,

Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Phương pháp Euler: tính
 Điều kiện đầu
 Cuối cùng:
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Phương pháp Taylor bậc n.
 Điều kiện đầu
 Chuỗi Taylor
 Mặt khác
 Cuối cùng ta có
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.1.2. Phương pháp Runge-Kutta.
 Định lý Taylor cho hàm 2 biến:
Phương pháp Runge-Kutta bậc 2:
 sử dụng biểu thức Taylor bậc 2:
sử dụng
ta có:
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Phương pháp MidPoint:
 điều kiện đầu
Phương pháp Euler bổ sung:
 điều kiện đầu
Phương pháp Heun:
 điều kiện đầu
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Phương pháp Runge-Kutta bậc 4:

 điều kiện đầu
 trong đó:
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.2.1. Phương pháp Runge-Kutta.
 Hệ phương trình vi phân bậc 1:
 với
 Chia t thành N + 1 điểm
 Điều kiện ban đầu:
 trong đó
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Tổng quan:
 Xét phương trình đạo hàm riêng bậc 2:
 Các điều kiện biên
 Để phương trình có nghiệm duy nhất thì:
 Hàm f và đạo hàm riêng của nó theo y và y’ phải liên tục.
 Đạo hàm riêng của f theo y phải lớn hơn 0 (dương).
 Đạo hàm riêng của f theo y’ phải giới nội.
6.3.1. Phương pháp shooting cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
 Dạng bài toán giá trị biên tuyến tính:
 Đây là dạng phương trình đạo hàm riêng không thuần nhất
 Nghiệm của nó được tính từ nghiệm của phương trình thuần nhất
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Để giải phương trình này, người ta tách thành hệ hai phương trình với điều
kiện đầu:
với điều kiện đầu
 Và
với điều kiện đầu


Cả hai phương trình trên đều có nghiệm duy nhất.
 Giả sử là hai nghiệm của hai phương trình trên.
 Đây chính là nghiệm duy nhất
của phương trình với điều kiện
biên
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Giải phương trình hai điều kiện đầu:
với điều kiện đầu
 Chuyển về giải hệ hai phương trình:
với điều kiện đầu
Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp Runge-Kutta (6.2.1).
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.3.2. Phương pháp sai phân xác định.
 Dạng bài toán giá trị biên tuyến tính:
 Chia đoạn [a, b] thành N + 1 khoảng.
 Xét khoảng phương trình vi phân có dạng:
 Sử dụng dạng Centered-Difference
ta có:
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Định nghĩa các nghiệm gần đúng:

Ta có
với
 Viết lại phương trình trên dưới dạng
 Đây là hệ phương trình dạng ma trận chéo bậc 3
@2009,

Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss
@2009,
Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý