thuyết tương đối hẹp và cơ học tương đối tính

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP - CƠ HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH
Lê Đại Nam
1 Hoàn cảnh ra đời thuyết tương đối hẹp:
1.1 Thuyết tương đối hẹp – cơ học tương đối tính là gì?
Môn cơ học tổng quát, áp dụng cho các vật chuyển động với vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng, dựa trên hai
tiên đề của Einstein được gọi là cơ học tương đối tính, hay thuyết tương đối hẹp của Einstein đối với cơ học.
Năm 1905, Albert Einstein – một kĩ thuật viên 25 tuổi – công bố công trình “ Đóng góp vào điện động lực
học các vật chuyển động”. Năm đó được chính thức công nhận là năm ra đời của thuyết tương đối hẹp (còn gọi
là thuyết tương đối đặc biệt – special relativity) .
Chúng ta cùng điểm lại những nét trọng trong quá trình hình thành thuyết tương đối hẹp.

Figure 1. Albert Einstein
1.2 Cơ học Newton:
Năm 1632, Galileo Galilei đã phát biểu một nguyên lý mang tên ông – nguyên lý tương đối Galileo.
Nguyên lý này được phát biểu như sau:“ Tất cả các định luật cơ học là như nhau trong các hệ quy chiếu quán
tính” hay còn được phát biểu dưới dạng khác như: “ Bằng các thí nghiệm cơ học thực hiện trong một hệ quy
chiếu quán tính, người ta không thể phát hiện được hệ quy chiếu của mình đứng yên hay chuyển động thẳng
đều so với hệ quy chiếu quán tính khác”. Từ nguyên lý tương đối Galileo, ta có thể thấy rằng: trong các hệ quy
chiếu quán tính, không có hệ quy chiếu nào ưu tiên hơn các hệ quy chiếu còn lại; các hiện tượng co học xảy ra
như thế nào trong hệ quy chiếu quán tính này thì cũng xảy ra tương tự trong các hệ quy chiếu khác. Hay nói
cách khác, các phương trình toán học biểu diễn các hiện tượng cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính có
cùng dạng với nhau.
Cũng từ nguyên lý tương đối Galileo, ta dẫn ra phép biến đổi Galileo (sẽ đề cập ở phần sau). Hệ quả rõ
nhất của phép biến đổi Galileo chính là công thức cộng vận tốc:
' '
K K KK
u u v
= +
  
, trong đó
' '

, ,
K K KK
u u v
  
lần lượt
là vận tốc của một chất điểm trong hệ quy chiếu K, trong hệ quy chiếu K’ và vận tốc của hệ quy chiếu K so với
hệ quy chiếu K’.
Ta áp dụng hệ quả trên đối với ánh sáng. Giả sử một nguồn sáng chuyển động với vận tốc v trong chân
không dọc theo phương truyền ánh sáng. Vận tốc ánh sáng đối với nguồn phát trong chân không là c. Theo
công thức cộng vận tốc của Galileo thì quan sát viên (QSV) đứng yên nhìn thấy ánh sáng truyền đi với vận tốc
là
c v c
+ ≠
.
Cơ học Newton với nền tảng là nguyên lý tương đối Galileo, phép biến đổi Galileo và các định luật
Newton đã góp phần giải quyết không chỉ các hiện tượng cơ học mà còn là cơ sở động lực học cho các lĩnh vực
nghiên cứu khác của vật lý.
2

1.3 Điện động lực học cổ điển
Năm 1865, James Clerk Maxwell công bố hệ phương trình mô tả điện trường và từ trường trong môi
trường vật chất. Hệ phương trình ấy được gọi là hệ phương trình Maxwell (dạng Maxwell đưa ra năm 1865
khác với dạng hệ phương trình vector như bây giờ). Hệ phương trình Maxwell là cơ sở cho điện động lực học
cổ điển. Các phương trình ấy lần lượt mô tả các định luật quan trọng của điện động lực học: định luật Gauss,
định luật Ampere, định luật cảm ứng điện từ Faraday và định luật không tồn tại từ tích.
Qua hệ phương trình trên, Maxwell giả thiết rằng sóng điện từ được truyền trong một môi trường được gọi
là ether (đọc là ê-te) tương tự như sóng trên dây, sóng trên mặt nước.
Cũng qua đó, Maxwell chứng tỏ được ánh sáng là một dạng sóng điện từ. Cũng qua hệ phương trình
Maxwell, Maxwell cũng chứng tỏ được ánh sáng truyền trong chân không với vận tốc
0 0

1
c
ε µ
= không phụ
thuộc vào hệ quy chiếu đang xét. Hệ phương trình Maxwell cũng không giữ nguyên dạng toán học của nó nữa
khi chúng ta thực hiện phép biến đổi Galileo lên nó. Điện động lực học cổ điển của Maxwell đã mâu thuẫn với
cơ học cổ điển của Newton!
Tuy nhiên, với những thành tựu của Cơ học Newton và Điện động lực học Maxwell thì các nhà vật lý của
thế kỷ 19,20 không thể phủ nhận một trong hai lý thuyết trên.

Figure 2.Mâu thuẫn về vận tốc của ánh sáng
1.4 Các sự kiên thực nghiệm:
1.4.1 Thí nghiệm của Fizeau:
Vào năm 1851, Fizeau thực hiện thí nghiệm nổi tiếng để đo vận tốc ánh sáng trong một chất lỏng chuyển
động. Giả sử chất lỏng chiết suất n đựng trong một bình chuyển động với vận tốc v so với phòng thí nghiệm
(PTN). Ông chiếu tia sáng vào bình, chiều truyền ánh sáng cùng với chiều chuyển động của bình thì kết quả là
vận tốc ánh sáng trong chất lỏng:
c
u kv
n
= +
, trong đó k là hệ số kéo theo. Fizeau xác định được hệ số kéo theo
2
1
1k
n
= − . Kết quả này mâu thuẫn với phép biến đổi Galileo.
1.4.2 Thí nghiệm Michelson – Morley:
Năm 1881, Michelson đã thiết kế một giao thoa kế dựa theo nguyên tắc của Maxwell để xác định vận tốc
của “gió ether”. Trong năm đó, ông công bố kết quả: không phát hiện được chuyển động tương đối của Trái

Đất so với ether. Đến năm 1887, ông kết hợp với Morley tiến hành thí nghiệm và công bố kết quả: vẫn không
phát hiện chuyển động tương đối của Trái Đất đối với ether. Thí nghiệm của Michelson – Morley đưa các nhà
vật lý tới những tranh cãi về việc tồn tại hay không môi trường ether. Cũng qua thí nghiệm này, Michelson đã
xác định được vận tốc ánh sáng
299853 /
c km s
≈
- một con số được xem là chuẩn trong vòng 25 năm sau đó.
3


Figure 3. Giao thoa kế Michelson
Qua hai thí nghiệm trên, ta thấy nền vật lý cổ điển: với hai nền móng là cơ học cổ điển và điện động lực
học cổ điển bị lung lay khá nghiêm trọng.
1.5 Quá trình hình thành thuyết tương đối hẹp:
1.5.1 Thuyết Electron của Lorentz:
Để giải thích cho kết quả phủ định của thí nghiệm Michelson – Morley, năm 1892, Lorentz nêu lên giả
thuyết cho rằng có sự co lại của các vật trong ether và thay thế các phương trình Maxwell – Hertz bằng các
phương trình Maxwell – Lorentz. Từ đó, ông tìm ra phép biến đổi mang tên ông – phép biến đổi Lorentz – thay
thế cho phép biến đổi Galileo.
1.5.2 Động lực học Electron của Poincare:
Nhà toán học nổi tiếng người Pháp Henri Poincare lại đi theo con đường ngược lại với Lorentz. Ông mở
rộng nguyên lý tương đổi Galileo của cơ học cho mọi hiện tượng vật lý khác. Trên cơ sở nguyên lý tương đối,
Poincare viết lại và bổ sung các phương trình cho phép biến đổi Lorentz – dạng đối xứng như ngày nay. Sau
đó, Poincare xây dựng một phương pháp toán học gọi là không – thời gian bốn chiếu với các tọa độ x,y,z, ict.
Phép biển đổi Lorentz thực chất là một phép đổi tọa độ trong hệ tọa độ bốn chiều này. Tiếc rằng ông lại từ bỏ
công việc của mình vì cho rằng nó quá phức tạp.
Hermann Minkowski – một trong những thầy dạy của Einstein – đã tiếp tục phát triển ý tưởng không – thời
gian bốn chiều dựa trên các khái niệm của đại số tuyến tính. Năm 1907, Minkowski công bố không – thời gian
bốn chiều mang tên mình, góp phần xây dựng công cụ toán học cho thuyết tương đối hẹp của Einstein.

Poincare và Lorentz đã xây dựng lên một số luận điểm cơ bản cho thuyết tương đối hẹp. Poincare đã tiến
rất gần tới thuyết tương đối hẹp, tuy nhiên, ông lại cho rằng phát hiện của mình chỉ là những biện pháp tính
toán. Và đến năm 1905, như đã nói ở trên, Albert Einstein đã công bố thuyết tương đối hẹp, giải quyết các vấn
đề còn vướng mắc.
2 Hai tiên đề của Einstein:
Như đã nói ở phần trên, vào năm 1905, Albert Einstein công bố Thuyết tương đối hẹp. Để xây dựng thuyết
tương đối hẹp cho mình, Einstein đã nêu lên hai tiên đề, còn gọi là hai nguyên lý. Hai tiên đề ấy được phát biểu
như sau:
2.1 Tiên đề 1: Nguyên lý tương đối
Phát biểu: Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính, không hệ nào ưu tiên
hơn hệ nào.
4

Nhận xét:
- Tiên đề này là sự mở rộng của nguyên lý tương đối trong cơ học mà Galileo đã từng nêu. Einstein đã
mở rộng ý tưởng của Galileo để bao trùm toàn bộ các định luật của vật lý. Từ đó, giải quyết được vấn
đề bất biến của hệ phương trình Maxwell.
- Nếu như Galileo kết luận: “Không thể dùng các thí nghiệm cơ học ngay tại một hệ quy chiếu quán tính
để kết luận hệ quy chiếu của mình là đứng yên hay chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu quán
tính khác” , có nghĩa là vẫn có thể tìm ra hệ quy chiếu quán tính ưu tiên bằng cách dùng các thí nghiệm
vật lý ở các lĩnh vực khác: nhiệt, điện từ, quang, … thì Einstein, thông qua tiên đề 1, đã khẳng định là:
“Không có hệ quy chiếu quán tính nào là ưu tiên”
- Tiên đề này không nói rằng các đại lượng vật lý có giá trị đo như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán
tính. Chỉ có các định luật vật lý liên hệ các đại lượng vật lý mới là như nhau. Điều đó có nghĩa: “Các
phương trình vật lý biểu diễn các định luật vật lý giữ nguyên dạng của nó đối với các hệ quy chiếu
quán tính khác nhau”.
2.2 Tiên đề 2: Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng
Phát biểu: Vận tốc ánh sáng trong chân không có trị số bằng nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính.
Nó có trị số bằng
0 0

1
299853 /
c km s
ε µ
= ≈ và là vận tốc vật lý khả dĩ lớn nhất trong tự nhiên.
Nhận xét:
- Việc công nhận vận tốc ánh sáng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu xuất phát từ kết quả của thí nghiệm
Michelson – Morley và trên cơ sở lý thuyết của Điện động lực học cổ điển. Khác với Lorentz và
Poincare, Einstein công nhận điều này là tiên đề và cũng không công nhận sự tồn tại của ether. Đây là
một cơ sở quan trọng để xây dựng thuyết tương đối hẹp của Einstein.
- Việc xem vận tốc ánh sáng là vận tốc khả dĩ lớn nhất trong tự nhiên dẫn ra một hệ quả mới. Trong vật
lý cổ điển. vận tốc truyền tương tác lớn vô cùng, tức là tương tác giữa các chất điểm là tức thời. Sự thay
đổi vị trí của các chất điểm trong hệ chất điểm tương tác sẽ ảnh hưởng ngay lập tức đến các chất điểm
còn lại tại cùng một thời điểm. Thực nghiệm đã chứng tỏ, trong tự nhiên không có các tương tác tức
thời như vậy, và vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn. Từ tiên đề thứ 2 của Einstein, ta có thể
thấy rằng vận tốc truyền tương tác là như nhau trong mọi hệ quy chiếu, và bằng vận tốc của ánh sáng
trong chân không. Từ đây, ta thấy cơ học cổ điển là một trường hợp riêng của thuyết tương đối hẹp, khi
ta cho
c
→ ∞
.
- Vận tốc vật lý trong tiên đề 2 đề cập đến là vận tốc có mang năng lượng. Điều đó có nghĩa chỉ có
những vận tốc có mang năng lượng mới có giới hạn khả dĩ là c. Ví dụ: vận tốc của một chất điểm, vận
tốc truyền tín hiệu (còn gọi là vận tốc nhóm trong dao động),… là những vận tốc có mang năng lượng;
vận tốc pha trong dao động là một ví dụ điển hình của những vận tốc không mang năng lượng, tức là nó
có thể lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không.
- Chúng ta cũng nên lưu ý: tiên đề hai nói là vận tốc vật lý có giá trị khả dĩ lớn nhất là vận tốc ánh sáng
trong chân không. Điều này không có nghĩa là vận tốc của một hạt trong một môi trường nào đó không
được phép lớn hơn vận tốc ánh sáng trong môi trường đó. Tức là:
v c

<
và
c
v
n
<
không tương đương
nhau. Và các nhà vật lý đã ghi nhận vận tốc của một hạt có thể lớn hơn vận tốc ánh sáng trong môi
trường đó, tức
c
v
n
>
: hiệu ứng bức xạ Cherenkov.
5

3 Các khái niệm quan trọng
3.1 Biến cố:
Biến cố là một cái gì đó xảy ra mà người quan sát có thể gán cho nó ba tọa độ không gian và một tọa độ
thời gian. Một biến cố A nào đó được ghi lại bởi bộ số
(
)
, , ,
x y z t
: trong đó
, ,
x y z
là tọa độ không gian trong
hệ tọa độ Descartes và
t

là tọa độ thời gian.
Một biến cố trong không – thời gian 4 chiều Minkowski được ghi nhận bởi bộ 4 số
(
)
, , ,
x y z ict
. Theo đó,
chiều thứ 4 trong không – thời gian, tức chiều thời gian, là một chiều ảo.
Một biến cố cho trước có thể ghi nhận bởi quan sát viên, mỗi người ghi lại trong một hệ quy chiếu riêng
của mình. Biến cố không “thuộc về” một hệ quy chiếu quán tính nào cả, chỉ có tọa độ của nó được ghi nhận
khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau mà thôi.
Để xác định tọa độ của một biến cố trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó, chúng ta phải tiến hành phép
đo biến cố: bao gồm đo tọa độ trong không gian và đo tọa độ thời gian.
3.2 Tọa độ không gian:
Tọa độ không gian trong hệ tọa độ Descartes được ghi nhận bởi bộ 3 số
(
)
, ,
x y z
. Để xác định được bộ 3 số
ấy, chúng ta đặt những cây “thước” lên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz . Mốc số 0 của mỗi thanh thước ấy trùng với
gốc tọa độ. Khi ấy chỉ số trên thanh thước chính là ba thành phần tọa độ của một điểm trong không gian.

Figure 4.Các "thước" đo tọa độ
3.3 Tọa độ thời gian:
Tọa độ thời gian, tức là thời điểm t, được xác định bằng các đồng hồ. Để xác định thời điểm, chúng ta cần
một hệ các đồng hồ đồng bộ đặt trong không gian, lấp đầy các điểm trong không gian. Từ đó xác định chính
xác được thời điểm xảy ra biến cố tại một điểm xác định.
Công việc quan trọng nhất là đồng bộ hóa các đồng hồ. Giả sử ở tại hai điểm A, B cách nhau một khoảng r
đặt 2 chiếc đồng hồ để xác định thời điểm. Ta sử dụng tín hiệu sáng để đồng bộ 2 đồng hồ ở A và B. Ở A, tại

thời điểm
0
t
=
ta phát một tín hiệu sáng tới B. Khi tại B nhận được tín hiệu sáng thì đồng hồ ở B phải chỉ
r
t
c
=
. Khi đó, ta nói: hai đồng hồ A,B đồng bộ .
Việc xác định thời gian bằng các đồng hồ đồng bộ với một đồng hồ thì có sự khác biệt gì không? Ta có thể
lấy một ví dụ cho thấy sự khác biệt đó: Giả sử tại gốc O có một đồng hồ A và tại điểm x trên trục Ox ta đặt một
đồng hồ B đã được đồng bộ hóa. Tại thời điểm
0
t
=
, tại gốc O quan sát viên A bắn một viên đạn với vận tốc v
6

dọc theo trục Ox. Khi viên đạn tới B thì quan sát viên B ghi nhận thời điểm viên đạn đi qua là
1
x
t
v
=
. Tuy
nhiên, nếu quan sát viên A thấy viên đạn tới B và ghi nhận thì thời điểm quan sát viên A ghi nhận lại là
2
x x
t

v c
= +
. Sự khác biệt này là bởi vì: khi quan sát viên A “thấy” viên đạn tới B, tức là tín hiệu sáng từ B gửi
về A do đó quan sát viên A ghi nhận thời điểm bị “trễ” đi một lượng
x
c
. Với viên đạn thì
v c
≪
nên sự trễ ấy
không đáng kể. Tuy nhiên với những hạt cơ bản, vận tốc của hạt khá đáng kể so với c thì sai khác như vậy khá
nghiêm trọng.

Figure 5.Đo thời gian viên đạn bay
4 Động học tương đối tính – phép biến đổi Lorentz:
Nếu như xương sống của động học cổ điển là phép biến đổi Galileo thì xương sống của động học tương đối
tính chính là phép biến đôi Lorentz. Ở phần này, chúng ta đề cập đến dạng hiện đại của phép biến đổi Lorentz.
4.1 Phép biến đổi Lorentz về tọa độ không – thời gian:
Ta xét hai hệ quy chiếu quán tính
Oxyz
và
' ' ' '
O x y z
, gọi tắt là hai hệ
K
và
'
K
. Giả sử ban đầu, hai gốc
O

và
'
O
trùng nhau, các trục
, ,
x y z
lần lượt trùng với các trục
', ', '
x y z
. Hệ
K
đứng yên còn hệ
'
K
chuyển
động với vận tốc
v
theo phương
Ox
đối với hệ
K
. Thời gian trong hệ quy chiếu
K
là
t
còn
'
K
là
'

t
. Kể từ
phần này, nếu không nói gì ta hiểu hệ quy chiếu
K
và
'
K
như trên.

7

Như đã đề cập ở các phần trước, Minkowski đã đưa ra khái niệm không – thời gian 4 chiều. Trong không
thời gian ấy, các biến cố có thể biểu diễn dưới dạng các vector 4 – chiều:
x
y
z
ict
 
 
 
 
 
 
và
'
'
'
'
x
y

z
ict
 
 
 
 
 
 

Phép biến đổi Lorentz giữa hai hệ quy chiếu
K
và
'
K
thực chất là phép đổi tọa độ từ hai cơ sở trong
không – thời gian 4 chiều. Tức là phép biến đổi Lorentz tương đương với:
( )
'
'
'
'
x x
y y
L v
z z
ict ict
   
   
   
=

   
   
   

Trong đó,
(
)
L v
là một ma trận 4 x 4.
Do các trục
', '
y z
vuông góc với phương chuyển động của hệ quy chiếu
'
K
so với hệ quy chiếu
K
nên:
' , '
y y z z
= =

Bây giờ, xét trường hợp của một chớp sáng phát ra tại thời điểm
0
t
=
ở gốc tọa độ. Khi đó, ta có:
2 2 2 2 2
x y z c t
+ + = . Đối với hệ quy chiếu

'
K
, do tiên đề 2 đã nói, vận tốc ánh sáng trong chân không là không
đổi nên
2 2 2 2 2
' ' ' '
x y z c t
+ + = .
Từ đó suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' ' ' '
x y z c t x y z c t
+ + − = + + − . Lại có
' , '
y y z z
= =
nên ta có:
2 2 2 2 2 2
' '
x c t x c t
− = −
(4.1.1)
Phép biến đổi Lorentz phải tuyến tính để các phương trình vật lý giữ được nguyên dạng của chúng. Mà các
biến
, , ', '
y z y z
độc lập với phép biến đổi, do đó, ta có:
(
)
(

)
( ) ( )
1 2
3 4
'
'
x A v x A v ict
ict A v x A v ict
= +


= +


(4.1.2)
Ma trận L lúc này có dạng:
( )
(
)
(
)
( ) ( )
1 2
3 4
0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0
A v A v
L v

A v A v
 
 
 
=
 
 
 
 
(4.1.3)
Thay (4.1.2) vào (4.1.1) :
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2
2 2
3 4
1 2 3 4
1
1
0
A v A v
A v A v
A v A v A v A v

+ =



+ =


+ =


(4.1.4)
Đối với điểm
'
O
thì
'
' 0
O
x
=
trong hệ quy chiếu
'
K
. Trong hệ quy chiếu
K
, điểm
'
O
lại có
'O
x vt
=

. Từ
(4.1.2), ta có:
1 2 1 2
0 0
A vt A ict vA icA
+ = ⇒ + =
(4.1.5)
8

Thay (4.1.5) vào (4.1.4):
( ) ( )
1 2
2 2
2 2
1
,
1 1
v
i
c
A v A v
v v
c c
= =
− −
(4.1.6)
Do 2 hệ quy chiếu
K
và
'

K
không ưu tiên nên nếu có phép biến đổi Lorentz
(
)
L v
L từ hệ quy chiếu
K

sang
'
K
thì có phép biến đổi Lorentz
(
)
1
L v
−
từ hệ quy chiếu
'
K
sang hệ quy chiếu
K
.
Ta có:
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )

1 2
1
3 4
0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0
A v A v
L v L v
A v A v
−
− −
 
 
 
= − =
 
 
 
− −
 
.
Từ
1
1 0 0 0
0 1 0 0
.
0 0 1 0
0 0 0 1
L L

−
 
 
 
=
 
 
 
, suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 3 1 2 2 4
3 1 4 3 3 2 4 4
0 0
1 0 0 0

0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0
0 0 0 1
A v A v A v A v A v A v A v A v
A v A v A v A v A v A v A v A v
− + − − + − 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
− + − − + −
 
 


Thay (4.1.6) vào ta tìm được:
( ) ( )
3 4
2 2
2 2

1
,
1 1
v
i
c
A v A v
v v
c c
−
= =
− −
(4.1.7)
Từ các hệ số tìm được trong (4.1.6) và (4.1.7), thay vào (4.1.2) ta có được:
2
2 2
2 2
' , '
1 1
vx
t
x vt
c
x t
v v
c c
−
−
= =
− −

(4.1.9)
Đặt
2
2
1
1
v
c
γ
=
−
là thừa số Lorentz và
v
c
β
=
là thông số vận tốc.
Phép biến đổi Lorentz từ hệ quy chiếu
K
sang
'
K
:
( )
2
' ; ' ; ' ; '
vx
x x vt y y z z t t
c
γ γ

 
= − = = = −
 
 
(4.1.10a).
Phép biến đổi Lorentz từ hệ quy chiếu
'
K
sang
K
:
( )
2
'
' ; ' ; ' ;
vx
x x vt y y z z t t
c
γ γ
 
= + = = = +
 
 
(4.1.10b).
Dạng biểu diễn trên là dạng biểu diễn đối xứng của phép biến đổi Lorentz.



9

Ma trận của phép biến đổi đó là:
2 2
2 2
1
0 0
1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1
0 0
1 1
i
L
i
β
β β
β
β β
 
 
− −
 
 
 
=
 
 
−
 
 

− −
 
(4.1.10c)
Nhận xét:
- Từ 2 công thức biến đổi (4.1.10a) và (4.1.10b), ta thấy:
v c
≪
hay
c
→ ∞
thì phép biến đổi Lorentz trở
về phép biến đổi Galileo. Cơ học cổ điển Newton là một trường hợp giới hạn của cơ học tương đối tính.
- Ta thấy thời gian biến đổi phụ thuộc vào hệ quy chiếu chứ không độc lập như trong cơ học cổ điển.
Đây là một sự khác biệt lớn giữa cơ học cổ điển và cơ học tương đối tính.
4.2 Tính đồng thời – quan hệ nhân quả:
Ta xét hai biến cố
(
)
1 1 1 1
, , ,
A x y z t
và
(
)
2 2 2 2
, , ,
B x y z t
trong hệ quy chiếu
K
. Trong hệ quy chiếu

'
K
, hai
biến cố ấy được xác định bởi
(
)
1 1 1 1
' , ' , ' , '
A x y z t
và
(
)
2 2 2 2
' , ' , ' , '
B x y z t
.
Từ công thức (4.1.10a), ta có:
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
2
' '
v
t t t t x x
c
γ
 
− = − − −
 
 
(4.2.1)

Nếu hai biến cố này xảy ra đồng thời trong hệ quy chiếu
K
, tức
2 1
t t
=
, thì vẫn có
2 1
' '
t t
≠
. Điều đó có
nghĩa là: hai biến cố xảy ra đồng thời trong hệ quy chiếu
K
, nói chung, không đồng thời trong hệ quy chiếu
'
K
. Khái niệm đồng thời trong cơ học tương đối tính là một khái niệm tương đối.
Công thức (4.2.1) còn chứng tỏ được, đối với các hệ quy chiếu khác nhau, thì hiệu
2 1
t t
−
không chỉ khác
hiệu
2 1
' '
t t
−
về độ lớn mà còn có thể khác nhau về dấu. Điều này đồng nghĩa với: nếu biến cố A xảy ra trước
biến cố B trong hệ quy chiếu

K
thì biến cố B lại có thể xảy ra trước biến cố A trong một hệ quy chiếu
'
K
nào
đó.
Tuy nhiên, kết luận trên không áp dụng được cho các biến cố có quan hệ nhân quả với nhau. Tức là vẫn
đảm bảo được quan hệ nhân quả: nguyên nhân có trước, kết quả có sau. Thực vậy, giả sử có một viên đạn
được bắn ra (nguyên nhân) là biến cố A và viên đạn trúng đích (kết quả) là biến cố B. Vận tốc của viên đạn là
u. Để đơn giản, ta xét chuyển động của viên đạn trên trục x. Công thức (4.2.1) trở thành:
( ) ( )
2 1 2 1
2
' ' 1
uv
t t t t
c
γ
 
− = − −
 
 

Từ tiên đề 2 của Einstein, ta thấy ngay được
2
uv c
<
. Do đó quan hệ nhân quả vẫn được đảm bảo.
4.3 Sự giãn nở thời gian và sự co ngắn chiều dài Lorentz – Fitzgerald:
Ta xét hai biến cố

(
)
1 1 1 1
, , ,
A x y z t
và
(
)
2 2 2 2
, , ,
B x y z t
trong hệ quy chiếu
K
. Trong hệ quy chiếu
'
K
, hai
biến cố ấy được xác định bởi
(
)
1 1 1 1
' , ' , ' , '
A x y z t
và
(
)
2 2 2 2
' , ' , ' , '
B x y z t
.

10

4.3.1 Sự giãn nở thời gian:
Giả sử tại gốc
'
O
của hệ quy chiếu
'
K
ta đặt một đồng hồ. Khoảng thời gian giữa 2 thời điểm của đồng hồ
ấy là
2 1
' ' '
t t t
∆ = −
. Trong khoảng thời gian ấy, các đồng hồ trong hệ quy chiếu
K
tương ứng với khoảng thời
gian
2 1
t t t
∆ = −
. Từ công thức (4.1.10b), ta có:
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
2
' ' ' '
v
t t t t x x
c

γ
 
− = − + −
 
 

Phép đo khoảng thời gian trong hệ quy chiếu
'
K
tại một điểm nên
2 1
' '
x x
=
nên ta có:
2
2
'
1
t
t
v
c
∆
∆ =
−
(4.3.1)
Khoảng thời gian giữa hai biến cố tại cùng một nơi, được đo bởi một đồng hồ nằm yên tại nơi ấy
được gọi là khoảng thời gian riêng,
0

'
t t
∆ ≡ ∆
.
Ta có thể viết lại (4.3.1) thành
0
0
2
2
1
t
t t
v
c
∆
∆ = > ∆
−
.

Figure 6.Giãn nở thời gian
Khoảng thời gian đo bởi các đồng hồ đồng bộ trong một hệ quy chiếu lớn hơn khoảng thời gian riêng đo
bởi một đồng hồ đang chuyển động với vận tốc v trong hệ quy chiếu ấy. Hiệu ứng này được gọi là hiệu ứng
giãn nở thời gian.
4.3.2 Sự co ngắn chiều dài Lorentz – Fitzgerald:
Từ công thức biến đổi Lorentz (4.1.10a), ta có:
(
)
(
)
(

)
2 1 2 1 2 1
' '
x x x x v t t
γ
− = − + −
 
 
(4.3.2)
Giả sử ta muốn đo một thanh thước có chiều dài
0
l
đứng yên trong hệ quy chiếu
'
K
nằm dọc trên trục x.
Khi đó
0 2 1
' '
l x x
= −
. Trong hệ quy chiếu
K
, muốn đo chiều dài của thanh thước này thì phải xác định vị trí của
2 đầu thanh tại cùng một thời điểm, tức là
2 1
t t
=
. Chiều dài của thanh trong hệ quy chiếu
K

là
2 1
l x x
= −
. Từ
(4.3.2) , ta có:
2
0 0
2
1
v
l l l
c
= − <
(4.3.3)
11


Figure 7.Co ngắn chiều dài
Chiều dài của thanh thước trong hệ quy chiếu mà nó chuyển động với vận tốc v nhỏ hơn chiều dài của
thanh thước được đo trong hệ quy chiếu mà nó đứng yên. Chiều dài
0
l
của thanh được đo trong hệ quy
chiếu mà nó đứng yên được gọi là chiều dài riêng của thanh. Hiệu ứng trên được gọi là sự co ngắn chiều
dài Lorentz – Fitzgerald.
Lưu ý: chỉ có độ dài dọc theo phương chuyển động của thanh mới bị co ngắn lại.
4.4 Phép cộng vận tốc trong cơ học tương đối tính:
Giả sử có một chất điểm trong hệ quy chiếu
K

chuyển động với vận tốc
(
)
, ,
x y z
u u u u
=

. Trong hệ quy
chiếu
'
K
, chất điểm ấy chuyển động với vận tốc
(
)
' ' , ' , '
x y z
u u u u
=

.
Theo định nghĩa vận tốc, ta có:
Trong hệ quy chiếu
K
: , ,
x y z
dx dy dz
u u u
dt dt dt
= = = .

Trong hệ quy chiếu
'
K
:
' ' '
' , ' , '
' ' '
x y z
dx dy dz
u u u
dt dt dt
= = = .
Từ công thức (4.1.10a), ta có:
( )
2
' , ' , ' , '
v
dx dx vdt dy dy dz dz dt dt dx
c
γ γ
 
= − = = = −
 
 
.
Từ đó ta có phép cộng vận tốc Einstein trong cơ học tương đối tính như sau:
Hệ quy chiếu
K
sang hệ quy chiếu
'

K
2 2
2 2
2 2 2
1 1
' , ' , '
1 1 1
y z
x
x y z
x x x
v v
u u
u v
c c
u u u
vu vu vu
c c c
− −
−
= = =
− − −
(4.4.1a)
Hệ quy chiếu
'
K
sang hệ quy chiếu
K
2 2
2 2

2 2 2
' 1 ' 1
'
, ,
' ' '
1 1 1
y z
x
x y z
x x x
v v
u u
u v
c c
u u u
vu vu vu
c c c
− −
+
= = =
+ + +
(4.4.1b)
Đối với ánh sáng thì vận tốc ánh sáng là
2
'
1
x x
c v
u c u c
cv

c
−
= ⇒ = =
−
. Như vậy tiên đề thứ 2 của Einstein
không bị vi phạm.
Nếu
v c
≪
thì các công thức (4.4.1a) và (4.4.1b) trở lại công thức cộng vận tốc của Galileo.
12

4.5 Dẫn ra các hệ quả tương đối tính trong động học theo Einstein:
Đối với Einstein, một trong những công cụ hiệu quả nhất để làm rõ các vấn đề của thuyết tương đối chính
là các thí nghiệm tưởng tượng. Chúng ta sẽ dẫn ra các hệ quả tương đối tính trong động học theo các thí
nghiệm tưởng tượng của Einstein: sự giãn nở thời gian, sự co ngắn chiều dài Lorentz – Fitzgerald và công
thức cộng vận tốc trong cơ học tương đối tính.
4.5.1 Sự giãn nở thời gian:
Trong các thí nghiệm tưởng tượng của mình, Einstein thiết kế một chiếc đồng hồ lí tưởng như sau: một
sóng ánh sáng ( hoặc một hạt mang khối lượng ) phản xạ qua lại giữa 2 gương A và B cách nhau một khoảng
0
L
. Đồng hồ sẽ kêu một tiếng “tích” khi sóng ánh sáng đi được một vòng từ gương A đến gương B rồi quay
trở lại gương A.
Thí nghiệm 1: Giả sử ta có một cái đồng hồ lí tưởng như vậy đặt tại gốc
'
O
của hệ quy chiếu
'
K

sao cho
hai gương A và B nằm song song với trục
' '
O x
. Trong hệ quy chiếu
'
K
, khoảng thời gian giữa hai tiếng
“tích” là
0
0
2
L
t
c
∆ =

Trong hệ quy chiếu
K
, từ hình vẽ, ta thấy khoảng thời gian giữa hai tiếng “tích” là:
t
∆
.

Ta lại có:
2 2
2
0
0
2 2

2
2 2
L
v t c t
L t
c v
∆ ∆
   
+ = ⇒ ∆ =
   
   
−
.
Từ đó, suy ra:
0
2
2
1
t
t
v
c
∆
∆ =
−
. Nói cách khác, một tiếng “tích” trong hệ quy chiếu mà đồng hồ chuyển động
giãn nở so với một tiếng “tích” trong hệ quy chiếu mà đồng hò đứng yên.
13

4.5.2 Sự co ngắn chiều dài Lorentz – Fitzgerald:

Thí nghiệm 2: Ta cũng giả sử với chiếc đồng hồ trên, nhưng 2 gương A và B đặt vuông góc với trục
' '
O x
. Trong hệ quy chiếu gắn
'
K
, khoảng thời gian giữa 2 tiếng “tích” là:
0
0
2
L
t
c
∆ = .

Trong hệ quy chiếu gắn với
K
, khoảng thời gian giữa 2 tiếng “tích” là
t
∆
. Từ tiên đề 1, các hiện tượng
trong hệ quy chiếu
K
diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu
'
K
. Do đó, sự giãn nở thời gian cũng là như nhau.
Do đó:
0
2

2
1
t
t
v
c
∆
∆ =
−
. Mà
(
)
2
L c v t
= − ∆
, trong đó
L
là khoảng cách giữa hai gương trong hệ quy chiếu
K


Ta có
2 2
2
L L cL
t
c v c v c v
∆ = + =
− + −
suy ra

2
0
0
2 2 2
2
2
2
1
1
L
cL v
L L
c v c
v
c
c
= ⇒ = −
−
−
. Ta thu được kết quả của sự
co ngắn chiều dài theo phương chuyển động của đồng hồ.
4.5.3 Công thức cộng vận tốc:
Thí nghiệm 3: Ta dùng đồng hồ như thí nghiệm 1. Vận tôc của hạt trong đồng hồ là
(
)
' 0, ' ,0
y
u u=

trong

hệ quy chiếu
'
K
. Trong hệ quy chiếu
K
, vận tốc của hạt đó là
(
)
, ,0
y
u v u=

.
Trong hệ quy chiếu
'
K
, thời gian giữa 2 tiếng “tích” là
0
t
∆
. Ta có:
0
0
2
'
y
L
t
u
∆ = .

Trong hệ quy chiếu
K
, thời gian giữa 2 tiếng “tích” là
t
∆
. Ta có:
0
y
L
t
u
∆ = .
Hiệu ứng giãn nở thời gian xảy ra như nhau đối với các đồng hồ. Vận tốc của hạt trong hệ quy chiếu
K
là
2
2 2
2
1 '
y
v
u v u
c
 
= + −
 
 
. Kết quả này có thể rút ra từ công thức cộng vận tốc tương đối tính.
14

5 Động lực học tương đối tính – hệ thức Einstein:
5.1 Khái niệm động lượng của một chất điểm:
5.1.1 Vấn đề đặt ra:
Chúng ta xét một thí nghiệm đơn giản như sau. Giả sử một quan sát viên A đứng yên ở
O
trong hệ quy
chiếu
K
. Quan sát viên này bắn một viên đạn vào một chiếc bao thử đạn treo ở một điểm trên trục
Oy
. Một
quan sát viên B đứng ở gốc
'
O
quan sát quá trình. Ta biết rằng biến đổi Lorentz không ảnh hưởng đến các đại
lượng động học (trừ vận tốc) trên trục
Oy
. Do đó, quan sát viên A và B đều thấy tác dụng của viên đạn là như
nhau (vết ghim của đạn) .
Ta biết tác dụng của viên đạn đặc trưng bởi động lượng của viên đạn đó.
Gọi vận tốc của viên đạn trên phương y là
y
u
trong hệ quy chiếu
K
và
'
y
u
trong hệ quy chiếu

'
K
. Khối
lượng viên đạn là
0
m
. Theo định nghĩa cổ điển về động lượng thì:
- Trong hệ quy chiếu
K
, động lượng của viên đạn là
0
y y
p m u
= .
- Trong hệ quy chiếu
'
K
, động lượng của viên đạn là
0
' '
y y
p m u
= .
Từ phép cộng vận tốc tương đối tính, ta có:
( )
2
0
2
' ' 1 0
y y y x

v
p m u p do u
c
= = − =
.
Tức là
'
y y
p p
≠ . Như vậy hai quan sát viên A và B thấy tác dụng của viên đạn là không như nhau. Điều
này mâu thuẫn với tiên đề 1 của Einstein. Chúng ta phải xem xét lại khái niệm động lượng trong cơ học tương
đối tính.
5.1.2 Giải quyết vấn đề về định nghĩa động lượng:
Giải quyết vấn đề động lượng của một chất điểm, cơ học tương đối tính đưa ra lại khái niệm động lượng
như sau:
Động lượng của một chất điểm khối lượng
0
m
, vận tốc
u

là vector
0
2
2
1
m u
p
u
c

=
−


(5.1.1)
Để đồng nhất với khái niệm động lượng trong cơ học cổ điển, người ta đưa ra khái niệm khối lượng tương
đối tính
0
2
2
1
m
m
u
c
=
−
và khối lượng
0
m
của chất điểm được gọi là khối lượng nghỉ của chất điểm. Ta thấy nếu
chất điểm chuyển động với vận tốc ánh sáng
u c
=
thì khối lượng nghỉ của chúng
0
0
m
=
. Ví dụ: hạt photon.

Lưu ý: khái niệm khối lượng được định nghĩa là đặc trưng cho lượng vật chất. Khối lượng tương đối tính
0
m m
>
không có nghĩa là lượng vật chất tăng lên. Chúng ta sẽ đề cập đến vấn đề này sau.
Chúng ta thử áp dụng định nghĩa (5.1.1) vào vấn đề nêu ra ở phần 5.1.1:
0
2
2
1
y
y
y
m u
p
u
c
=
−
và
0 0 0
2 2 2 2
2
2 2
' '
'
' ' '
1
1 1
y y y

y y
y x y
m u m u m u
p p
u u u u
c
c c
= = = =
+
−
− −
. Tức là hai quan sát viên A và B đều nhìn
thấy tác dụng của viên đạn là như nhau.
15

5.2 Định luật hai Newton trong cơ học tương đối tính:
Định luật hai Newton trong cơ học tương đối tính được phát biểu như sau:
Độ biến thiên động lượng của chất điểm bằng lực tác dụng lên chất điểm đó.
Biểu thức của định luật:
( )
0
2
2
1
m u
d p d d
F mu
dt dt dt
u
c

 
 
 
= = =
 
−
 
 


 
(5.2.1)
Từ công thức (5.2.1), ta thấy có sự khác biệt so với cơ học cổ điển. Khi lực
F

không đổi thì gia tốc
du
a
dt
=


không phải là hằng số.
5.3 Hệ thức Einstein về khối lượng – năng lượng:
Ta có: động năng của một chất điểm chuyển động bằng công của lực tác dụng lên chất điểm đó để làm tăng
vận tốc của chất điểm từ
0
u
=
lên

u
. Từ định nghĩa trên, kết hợp với định luật hai Newton, ta xây dựng biểu
thức xác định động năng của một chất điểm như sau:
( ) ( )
0 0 0
. . .
u u u
u u u
d
K F d s mu udt d mu u
dt
= = =
= = =
∫ ∫ ∫
     

Mà
(
)
(
)
( )
2 2
1
2
d mu udm mdu ud mu u dm md u
= + ⇒ = +
    
và
(

)
1 2
2
2 2
2 2
0 0
0
2 2 2 2 3
1 1 2
d u
m mu u
m m dm
c c m c m
−
 
= − ⇒ = − ⇒ =
 
 

Nên
( )
2 2
2 2
0 0
2 3
1
1 .2
2
m m
ud mu c dm m dm c dm

m m
 
= − + =
 
 
 

Từ đó suy ra
( )
1 2
2
2 2 2
0 0
2
0
1 1
u
u
u
K c dm m m c m c
c
−
=
 
 
= = − = − − 
 
 
 
 

∫
.
Động năng biểu thị hiệu năng lượng toàn phần của nó với năng lượng nghỉ của nó. Do đó, từ biểu thức động
năng của chất điểm, ta có:
2 2
0 0
E E mc m c
− = − .
Nếu lấy năng lượng nghỉ của chất điểm là
2
0 0
E m c
= thì năng lượng toàn phần của chất điểm là
2
E mc
=
. Đây
được gọi là hệ thức Einstein giữa khối lượng và năng lượng.
Tổng kết:
- Năng lượng nghỉ của một chất điểm là
2
0 0
E m c
= (5.3.1)
- Năng lượng toàn phần của một chất điểm là
2
E mc
=
(5.3.2)
- Động năng của một chất điểm là

0
K E E
= −
(5.3.3)
Từ biểu thức (5.3.1) và (5.3.2), ta thấy được bản chất của việc khối lượng tương đối tính
0
m m
>
: Lượng vật
chất không tăng lên nhưng năng lượng mà vật tích trữ tăng lên.
16

Nếu
u c
≪
thì (5.3.3) trở thành
1 2
2
2 2
2 2
0
0 0
2 2
1
1 1
2 2
m u
u u
K m c m c
c c

−
 
 
= − − ≈ = 
 
 
 
 
, trở về biểu thức động năng
theo cơ học cổ điển.
5.4 Hệ thức liên hệ động lượng – năng lượng:
Từ các hệ thức (5.1.1) và (5.3.2), ta có:
2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2
0 0
E p c m c m v c m c E
− = − = =
.
Biểu thức liên hệ giữa động lượng và năng lượng là:
2 2 2 2
0
E E p c
= + (5.4.1)
Ta có thể biểu diễn hệ thức trên thành các hệ thức:
2 2 2
0
2
K E K p c
+ = (5.4.2)

2 2 2

2
EK K p c
− = (5.4.3)

Figure 8.Tam giác liên hệ động lượng - năng lượng
Đối với
u c
≪
, tức
0
K E
≪
thì
2
2 2
0
0
2
2
p
E K p c K
m
= ⇒ =
, giống như trong biểu thức liên hệ giữa động lượng
và động năng trong cơ học cổ điển.
5.5 Phép biến đổi Lorentz cho động lượng – năng lượng:
Trong hệ quy chiếu
K
, chất điểm có động lượng và năng lượng lần lượt là
(

)
, ,
x y z
p p p p
=

và
E
.
Trong hệ quy chiếu
'
K
, chất điểm có động lượng và năng lượng lần lượt là
(
)
' ' , ' , '
x y z
p p p p
=

và
'
E
.
Từ các biểu thức của phép biến đổi Lorentz, người ta chứng minh được phép biến đổi Lorentz cho động lượng
– năng lượng như sau:
Phép biến đổi Lorentz từ hệ quy chiếu
K
sang
'

K
:
2
2 2
2 2
' ; ' ; ' ; '
1 1
x
x
x y y z z
vE
p
E vp
c
p p p p p E
v v
c c
−
−
= = = =
− −
(5.5.1)
Phép biến đổi Lorentz từ hệ quy chiếu
'
K
sang
K
:
2
2 2

2 2
'
'
' '
; ' ; ' ;
1 1
x
x
x y y z z
vE
p
E vp
c
p p p p p E
v v
c c
+
+
= = = =
− −
(5.5.2)
Nhận xét: phép biến đổi Lorentz cho động lượng – năng lượng tương tự như phép biến đổi Lorentz tọa độ -
thời gian. Ta có thể thấy sự tương đồng
2
, , ,
x y z
E
x p y p z p t
c
↔ ↔ ↔ ↔ .

17

Trong không gian 4 chiều Minkowski thì vector năng – xung lượng 4 chiều được định nghĩa là vector
, , ,
x y z
E
p p p i
c
 
 
 
.
Phép biến đổi Lorentz cho động lượng – năng lượng đúng cho cả một hệ chất điểm do động lượng và năng
lượng là các đại lượng cộng được.
6 Hiệu ứng Doppler tương đối tính:
6.1 Sơ lược về photon:
Năm 1900, Max Planck đã đưa ra khái niệm “lượng tử năng lượng”, khi ông nghiên cứu bức xạ của vật
đen. Theo khái niệm đó, Max Planck cho rằng năng lượng bức xạ được chia thành từng gói nhỏ, gọi là “lượng
tử năng lượng”, có năng lượng xác định
hf
ε
=
.
Đến năm 1905, Einstein dựa trên ý tưởng đó, cũng cho rằng ánh sáng cũng được chia thành các gói nhỏ,
gọi là “lượng tử ánh sáng”, cũng có năng lượng
hf
ε
=
. Các gói này được xem là một hạt sơ cấp, có tên gọi là
photon.

Photon là hạt truyền tương tác điện từ, có vận tốc bằng vận tốc ánh sáng
8
3.10
c m s
≈ ( tuy nhiên trong thí
nghiệm ngưng tự Bose – Einstein, người ta đã làm lạnh photon về vận tốc 17
v m s
≈ ). Trong thuyết tương đối
hẹp, photon có các đặt điểm sau:
- Năng lượng:
hf
ε
=

- Động lượng
2
h
p k
π
=
 
với
k

là vectơ sóng có
2
k
π
λ
=



- Khối lượng nghỉ
0
m
=

Công thức
hf
ε
=
của photon cho ta thấy rõ lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng: năng lượng
ε
đặt trưng cho
tính hạt của photon còn tần số
f
tượng trưng cho tính chất sóng của ánh sáng.
6.2 Hiệu ứng Doppler tương đối tính:
Năm 1842, nhà vật lý người Áo Christian Doppler phát hiện ra một hiện tượng mang tên ông – hiệu ứng
Doppler. Hiệu ứng Doppler, hay còn gọi là dịch chuyển Doppler, là hiệu ứng mà ở đó, tần số và bước sóng của
một sóng cơ dịch chuyển khi nguồn phát hoặc máy thu chuyển động. Hiệu ứng này còn áp dụng được cho cả
sóng ánh sáng nói riêng và sóng điện từ nói chung. Hiệu ứng Doppler tương đối tính là hiệu ứng Doppler trong
cơ học tương đối tính.
6.2.1 Khi nguồn đứng yên, máy thu chuyển động:
Giả sử ta đặt một nguồn phát sáng
S
tại gốc
O
đứng yên trong hệ quy chiếu
K

và một máy thu
M
đặt tại
gốc
'
O
đứng yên trong hệ quy chiếu
'
K
, tức là máy thu chuyển động với vận tốc
v
so với nguồn.
Trong hệ quy chiếu gắn với nguồn, tức hệ quy chiếu
K
, thì photon ánh sáng phát ra mang năng lượng
S
ε

và động lượng
S
p

. Trong hệ quy chiếu gắn với máy thu, photon ánh sáng nhận được mang năng lượng
M
ε
và
động lượng
M
p


.
18


Áp dụng biểu thức biến đổi Lorentz giữa năng lượng và động lượng, ta có:
2 2 2
2 2 2
cos 1 cos
1 1 1
S
S S M
S Sx
M M M S
hf v
hf v
vp
c c
hf f f
v v v
c c c
θ θ
ε
ε
− −
−
= ⇒ = ⇒ =
− − −
(6.2.1)
6.2.2 Nguồn chuyển động, máy thu đứng yên:
Giả sử ta đặt một nguồn phát sáng

S
tại gốc
'
O
đứng yên trong hệ quy chiếu
'
K
và một máy thu
M
đặt tại
gốc
O
đứng yên trong hệ quy chiếu
K
, tức là nguồn chuyển động với vận tốc
v
so với máy thu.
Trong hệ quy chiếu gắn với nguồn, tức hệ quy chiếu
'
K
, thì photon ánh sáng phát ra mang năng lượng
S
ε

và động lượng
S
p

. Trong hệ quy chiếu gắn với máy thu, photon ánh sáng nhận được mang năng lượng
M

ε
và
động lượng
M
p

.

Áp dụng biểu thức biến đổi Lorentz giữa năng lượng và động lượng, ta có:
2 2 2
2 2 2
cos 1 cos
1 1 1
M
M M S
M Mx
S S S M
hf v
hf v
vp
c c
hf f f
v v v
c c c
θ θ
ε
ε
− −
−
= ⇒ = ⇒ =

− − −
(6.2.2)
6.2.3 Cả nguồn và máy thu chuyển động:

Từ hai công thức (6.2.1) và (6.2.2), ta dễ dàng thấy, nếu lần lượt thay
v
bằng
S
v
và
M
v
, tương ứng với vận
tốc của nguồn và máy thu thì:
19

2
2
2 2
1 1
1 os
1 os
SM
M S
M S
CM
CS
v
v
f f

c c
v v
c
c
c
c
θ
θ
− −
=
−
−
(6.2.3a)
Công thức này còn được viết lại dưới dạng vector như sau:
2
2
2 2
2
2
1 1
1
1
S
M
M S
M M S S
v
v
f f
c c

v c v c
c
c
− −
=
−
−
 
(6.2.3b)
Có thể xem hiệu ứng Doppler thực chất là phép biến đổi Lorentz đối với tần số ( bước sóng ) của ánh sáng.
Nếu góc
0
90
CS
θ
= hoặc
0
90
CM
θ
= ta sẽ dẫn ra hiệu ứng Doppler ngang:
0
2
2
90
1
M
S S
f
f

v
c
θ
= ⇒ =
−
hoặc
0
2
2
90
1
S
M M
f
f
v
c
θ
= ⇒ =
−
.
Đây là điều khác biệt so với hiệu ứng Doppler cổ điển. Bởi vì khi vector sóng vuông góc với phương
chuyển động của nguồn hoặc máy thu thì tần số là không thay đổi.
7 Các đại lượng bất biến trong cơ học tương đối tính:
7.1 Vận tốc ánh sáng trong chân không:
Vận tốc ánh sáng trong chân không là một đại lượng bất biến tương đối tính bởi vì đây là một tiên đề của
thuyết tương đối hẹp.
7.2 Khoảng giữa hai biến cố:
Trong không – thời gian 4 chiều Minkowski, khoảng giữa 2 biến cố được định nghĩa là:
2 2 2 2 2

s x y z c t
∆ = ∆ + ∆ + ∆ − ∆
(4.5.1)
Từ phép biến đổi Lorentz, ta chứng minh được:
'
s s
∆ = ∆
. Khoảng giữa hai biến cố là một đại lượng bất
biến tương đối tính.
Ta thấy rằng khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian 3 chiều là
2 2 2
l x y z
∆ = ∆ + ∆ + ∆
. Do đó, khoảng
4 chiều giữa 2 biến cố có thể viết lại
2 2 2
s l c t
∆ = ∆ − ∆
.
Từ khái niệm khoảng giữa 2 biến cố, ta dẫn ra các khái niệm như sau:
- Khoảng giống thời gian: nếu
0
l
∆ =
, tức là hai biến cố xảy ra ở cùng một nơi, thì khoảng
2 2
s c t
∆ = − ∆
là một khoảng ảo. Những khoảng ảo được gọi là khoảng giống thời gian. Nếu một khoảng là
khoảng giống thời gian thì ta có thể tìm ra một hệ quy chiếu để cho hai biến cố xảy ra cùng địa điểm.

- Khoảng giống không gian: nếu
0
t
∆ =
, tức là hai biến cố xảy ra ở cùng một thời điểm, thì khoảng
2
s l
∆ = ∆
là một khoảng thực. Những khoảng thực được gọi là khoảng giống không gian. Nếu một khoảng là
khoảng giống không gian thì ta có thể tìm ra một hệ quy chiếu để cho hai biến cố xẩy ra cùng lúc.
- Nón ánh sáng:
20

Giả định trong mặt phẳng Oxy, có một quan sát viên tại O. Có một biến cố chuẩn xảy ra tại O vào thời
điểm t = 0. Khi đó, khoảng giữa một biến cố nào đó và biến cố chuẩn là
2 2 2
s l c t= −
.
Nếu biến cố chuẩn là một tia sáng xuất phát từ gốc O thì khoảng s = 0 đối với ánh sáng, tạo ra một mặt nón
2 2 2 2
x y c t+ = .
Nếu biến cố nào đó xảy ra ở bên trong mặt nón ấy, tức là
2 2 2 2
x y c t+ < thì khoảng s là khoảng ảo, tức là
khoảng giống thời gian. Do đó, ta có thể tìm được một hệ quy chiếu để có biến cố này và biến cố chuẩn xảy ra
tại một địa điểm nhưng không tìm được hệ quy chiếu nào để biến cố này và biến cố chuẩn xây ra ở cùng một
thời điểm. Vùng bên trong nón ánh sáng được gọi là vùng thời gian tuyệt đối: t > 0 ứng với vùng tương lai
tuyệt đối và t < 0 ứng với vùng quá khứ tuyệt đối.
Nếu biến cố nào đó xảy ra ở bên ngoài mặt nón ấy, tức là
2 2 2 2

x y c t+ > thì khoảng s là khoảng thực, tức là
khoảng giống không gian. Do đó, ta có thể tìm được một hệ quy chiếu để có biến cố này và biến cố chuẩn xảy
ra tại một thời điểm nhưng không tìm được hệ quy chiếu nào để biến cố này và biến cố chuẩn xây ra ở cùng
một địa điểm. Vùng bên ngoài nón ánh sáng được gọi là vùng không gian tuyệt đối, còn gọi là vùng xa tuyệt
đối.

Figure 9.Nón ánh sáng
Nón ánh sáng giúp ta kiểm chứng rằng nguyên lý nhân quả là bất biến: nguyên nhân sinh ra kết quả. (Đã đề
cập ở phần 4.2) .
7.3 Đại lượng E
2
– p
2
c
2
của một hệ chất điểm:
Từ phép biến đổi Lorentz của động lượng – năng lượng, ta dẫn ra một hệ quả sau:
Đại lượng
2 2 2
E p c− của một hệ chất điểm ở một trạng thái là bất biến đối với mọi hệ quy chiếu quán tính. Đối
với một chất điểm
2 2 2
0
E E p c
= −
là năng lượng nghỉ của mọt chất điểm, Đối với một hệ chất điểm, ta có:
2 2 2
E p c−
cũng gọi là năng lượng nghỉ của hệ chất điểm.
Từ hệ quả bất biến của

2 2 2
E p c−
, để tiện lợi trong việc khảo sát một hệ chất điểm, người ta thường xét trong
hệ quy chiếu quán tính gắn với khối tâm của hệ (nếu được). Khi đó
2 2 2 2
G
E E p c= −
bởi vì trong hệ quy chiếu
khối tâm
0
G
p =
 
.
21

7.4 Pha của sóng ánh sáng:
Một sóng ánh sáng có thể được biểu diễn dưới dạng
(
)
0
exp .
i k r t
ω
 
Φ = Φ −
 
 
.
Hay

(
)
0
exp
x y z
i k x k y k z t
ω
 
Φ = Φ + + −
 
. Đại lượng
x y z
k x k y k z t
ϕ ω
= + + −
được gọi là pha của sóng.
Ta có:
Trong hệ quy chiếu
K
thì:
(
)
2
2
x y z
xc yc zc
f t
c
ϕ π
 

+ +
= −
 
 
 
.
Trong hệ quy chiếu
'
K
thì
(
)
2
' ' ' ' ' '
' 2 ' '
x y z
x c y c z c
f t
c
ϕ π
 
+ +
= −
 
 
 

Từ phép biến đổi Lorentz, ta có:
( )
( )( )

( )
( )
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2 2
2
1
1
' ' ' ' ' '
' 2 ' ' 2
1 1 1 1
2
x
x y z
x y z
x
x y z
v
vc
vx
x vt c v yc zc
t
x c y c z c
c
c c
f t f

c
vc
v v v
c
c c c c
xc yc zc
f t
c
ϕ π π
π ϕ
 
 
 
− − + + −
 
 
 
− −
 
+ +
 
 
 
= − = − 
 
 
 
 
 
− − − −

 
 
 
 
 
+ +
= − = 
 
 

Hay nói cách khác, ta có:
'
ϕ ϕ
=
, pha của sóng ánh sáng ( hay sóng điện từ ) là bất biến đối với phép biến
đổi Lorentz.
Cũng từ cách chứng minh trên, ta dẫn ra phép biến đổi Lorentz đối với vector sóng và tần số góc của sóng như
sau:
( )
2
' , ' , ' , '
x x y y z z x
v
k k k k k k vk
c
ω
γ ω γ ω
 
= − = = = −
 

 
. ( 7.4.1)
Nhận xét: phép biến đổi Lorentz cho động lượng – năng lượng tương tự như phép biến đổi Lorentz tọa độ -
thời gian. Ta có thể thấy sự tương đồng
2
, , ,
x y z
x k y k z k t
c
ω
↔ ↔ ↔ ↔ .
Trong không gian 4 chiều Minkowski thì vector sóng 4 chiều được định nghĩa là vector , , ,
x y z
k k k i
c
ω
 
 
 
.
8 So sánh cơ học cổ điển và thuyết tương đối hẹp:
Các phần trước, chúng ta đã đề cập đến những nét chính nhất của thuyết tương đối hẹp. Thuyết tương đối
hẹp đưa ra những hệ quả có vẻ rất “vô lý” theo quan sát bình thường. Những nét “vô lý” này đã được thực
nghiệm kiểm nghiệm là có thực và đúng đắn.
Chúng ta cũng lưu ý: phạm vi sử dụng của thuyết tương đối hẹp là các hệ quy chiếu quán tính. Đối với các
hệ quy chiếu phi quán tính, chúng ta phải sử dụng một lý thuyết khác, tổng quát hơn, là thuyết tương đối rộng.
22

Từ các kết quả của thuyết tương đối hẹp, ta thấy rằng: cơ học cổ điển là trường hợp riêng của thuyết tương
đối hẹp. Phạm vi ứng dụng của cơ học cổ điển là xem

c
→ ∞
. Để khảo sát phạm vi sử dụng cơ học cổ điển hay
thuyết tương đối hẹp, người ta thường đánh giá thông qua thừa số Lorentz
2
2
1
1
v
c
γ
=
−
.
Đối với các hiện tượng thực tế, các vận tốc tương đối nhỏ thì cũng ta có thể sử dụng cơ học cổ điển. Còn
đối với việc khảo sát các hạt cơ bản, những vật chất có vận tốc có thể so sánh được với vận tốc ánh sáng thì
chúng ta phải sử dụng thuyết tương đối hẹp.
Dưới đây là bảng so sánh những nét cơ bản giữ cơ học cổ điển và thuyết tương đối hẹp:

Cơ học cổ điển Thuyết tương đối hẹp
Nguyên lý tương
đối
Mọi hiện tượng cơ học là như nhau trong
mọi hệ quy chiếu quán tính.
Mọi hiện tượng vật lý là như nhau trong mọi hệ quy
chiếu quán tính.
Vận tốc ánh sáng
trong chân không
Không bất biến đối với các hệ quy chiếu
quán tính

Bất biến với mọi hệ quy chiếu quán tính.
Hệ tọa độ
Không gian ba chiều độc lập thời gian Không – thời gian bốn chiều
Phép đổi tọa độ -
thời gian
' ; ' ; ' ; '
x x vt y y z z t t
= − = = =

( )
2
' ; ' ; ' ; '
vx
x x vt y y z z t t
c
γ γ
 
= − = = = −
 
 

Phép cộng vận tốc
' ; ' ; '
x x y y z z
u u v u u u u
= − = =

2 2
2 2
2 2 2

1 1
' , ' , '
1 1 1
y z
x
x y z
x x x
v v
u u
u v
c c
u u u
vu vu vu
c c c
− −
−
= = =
− − −

Đo chiều dài –
khoảng thời gian
0 0
;
l l t t
= ∆ = ∆

2
0
0
2

2
2
1 ;
1
t
v
l l t
c
v
c
∆
= − ∆ =
−

Khối lượng – động
lượng trong
chuyển động
0
;
m m p mv
= =
 

0
2
2
;
1
m
m p mv

v
c
= =
−
 

Định luật 2
Newton
d p
F
dt
=



d p
F
dt
=


Động năng
2
2
mu
K =
( )
1 2
2
2 2

0 0
2
1 1
u
K m m c m c
c
−
 
 
= − = − − 
 
 
 
 

Liên hệ động năng
– động lượng
2
2
p
K
m
=
2 2 2
0
2
K E K p c
+ =
Khoảng bất biến
Khoảng cách

l
∆
và khoảng thời gian
t
∆

Khoảng giữa 2 biến cố
2 2 2
s l c t
∆ = ∆ − ∆

23

MỤC LỤC
1 Hoàn cảnh ra đời thuyết tương đối hẹp: 1
1.1 Thuyết tương đối hẹp – cơ học tương đối tính là gì? 1
1.2 Cơ học Newton: 1
1.3 Điện động lực học cổ điển 2
1.4 Các sự kiên thực nghiệm: 2
1.5 Quá trình hình thành thuyết tương đối hẹp: 3
2 Hai tiên đề của Einstein: 3
2.1 Tiên đề 1: Nguyên lý tương đối 3
2.2 Tiên đề 2: Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng 4
3 Các khái niệm quan trọng 5
3.1 Biến cố: 5
3.2 Tọa độ không gian: 5
3.3 Tọa độ thời gian: 5
4 Động học tương đối tính – phép biến đổi Lorentz: 6
4.1 Phép biến đổi Lorentz về tọa độ không – thời gian: 6
4.2 Tính đồng thời – quan hệ nhân quả: 9

4.3 Sự giãn nở thời gian và sự co ngắn chiều dài Lorentz – Fitzgerald: 9
4.4 Phép cộng vận tốc trong cơ học tương đối tính: 11
4.5 Dẫn ra các hệ quả tương đối tính trong động học theo Einstein: 12
5 Động lực học tương đối tính – hệ thức Einstein: 14
5.1 Khái niệm động lượng của một chất điểm: 14
5.2 Định luật hai Newton trong cơ học tương đối tính: 15
5.3 Hệ thức Einstein về khối lượng – năng lượng: 15
5.4 Hệ thức liên hệ động lượng – năng lượng: 16
5.5 Phép biến đổi Lorentz cho động lượng – năng lượng: 16
6 Hiệu ứng Doppler tương đối tính: 17
6.1 Sơ lược về photon: 17
6.2 Hiệu ứng Doppler tương đối tính: 17
7 Các đại lượng bất biến trong cơ học tương đối tính: 19
7.1 Vận tốc ánh sáng trong chân không: 19
7.2 Khoảng giữa hai biến cố: 19
7.3 Đại lượng E
2
– p
2
c
2
của một hệ chất điểm: 20
7.4 Pha của sóng ánh sáng: 21
8 So sánh cơ học cổ điển và thuyết tương đối hẹp: 21