một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
Tin Giáo Dục Kiến Thức Toán Chuyên Đề Toán Học Bài Tập Đề Thi Toán Học 4 Phương Gia Sư Toán Học Toán Tiểu Học Toán Tuổi Thơ
Giải Toán Trực Tuyến Và Nhận Luyện Thi 5 Lên 6
HỖ TRỢ TÌM GIA SƯ GIỎI
0
Những Nhà Toán Học Lỗi Lạc Của
Kiến Thức Toán​ > ​
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệm
nguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này.
Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích
Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số
nguyên.
Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
y
3
- x
3
= 91 (1)
Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x
2
+ xy + y
2
) = 91 (*)
Vì x
2
+ xy + y
2
> 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0.
Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x

2
+ xy + y
2
đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau :
y - x = 91 và x
2
+ xy + y
2
= 1 ; (I)
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
Những Nhà Toán Học Lỗi Lạc Của
Nhân Loại
Augustin Louis Cauchy
Fermat và định lý cuối cùng của
Fermat
Giải thưởng Fields lần đầu
thuộc về phụ nữ
Jacob Bernoulli
Pierre de Fermat
Sức mạnh của ý chí
Sự Thật Toán Học
Viktor Yakovlevich Bunyakovsky
Vì sao nước Nga giỏi Toán?
10 chuyên đề bồi dưỡng HSG
Toán 4 - 5
Bài tập chuyên đề 2
Các bài toán giải bằng phương
pháp tính ngược
Các bài toán về cấu tạo số thập

phân
Các bài toán về phép chia có
dư
Các bài toán về tỉ số phần trăm
Các bài toán về vận dụng tính
chất chia hết của một tổng
hoặc một hiệu
Các Bài Toán Về Điều Dấu
Phép Tính
Dãy Chữ
Giải Bằng Phương Pháp Thử
Chọn
Một Số Phép Tính Có Kết Quả
Đặc Biệt
Tìm số số hạng của dãy số
Tìm Thành Phần Chưa Biết
Trong Dãy Tính
Vận dụng dấu hiệu chia hết để
viết các số tự nhiên
Xác Định Số A Có Thuộc Dãy
Số Đã Cho Không
Bài Tập
Bài Toán Chia Ba Một Góc
Chứng minh BDT: cosA + cosB
+ cosC <= 3/2 bằng nhiều cách
Một số bài bất đẳng thức -
y - x = 1 và x
2
+ xy + y
2

= 91 ; (II)
y - x = 3 và x
2
+ xy + y
2
= 7 ; (III)
y - x = 7 và x
2
+ xy + y
2
= 13 ; (IV)
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.
Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn
Nếu các ẩn x, y, z, có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ để tìm các nghiệm thỏa mãn
điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho.
Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
x + y + z = xyz (2).
Lời giải :
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).
Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
1/x + 1/y + 1/z = 2 (3)
Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có :
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.
Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2

=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)
hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2.
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
phần 1
Phương trình bậc nhất đối với
sinx và cosx
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN
ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Chuyên Đề Toán Học
15 Chuyên Đề Luyện Thi Đại
Học Môn Toán
22 chuyên đề luyện thi đại học
môn toán
99 Ví Dụ Và Bài Tập Về Số
Phức (Có Lời Giải)
Chuyên Đề 01: Phương Trình
Và Bất Phương Trình Đại Số
Chuyên Đề 02: PT - BPT Chứa
Giá Trị Tuyệt Đối
Chuyên Đề 03: Hệ Phương
Trình Đại Số
Chuyên Đề 04: Phương Trình -
Bất Phương Trình Chứ Căn
Thức
Chuyên Đề 05: Bất Đẳng Thức
Chuyên Đề 06: PT - BPT Mũ
Logarit
Chuyên Đề 07: Hệ Phương
Trình Siêu Việt

Chuyên Đề 08: Lượng Giác
Tổng Hợp
Chuyên Đề 09: Hệ Thức Lượng
Trong Tam Giác
Chuyên Đề 10: Khảo Sát Hàm
Số
Chuyên Đề 11: Ứng Dụng Đạo
Hàm
Chuyên Đề 12: Hình Học Giải
Tích Trong Mặt Phẳng
Chuyên Đề 13: Hình Học Giải
Tích Trong Không Gian
Chuyên Đề 14: Hình Học
Không Gian Cổ Điển
Chuyên Đề 15: Nguyên Hàm
Tích Phân Ứng Dụng
Chuyên Đề 16: Đại Số Tổ Hợp
Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG -
Phương Trình Hàm
Chuyên đề phần nguyên
hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2).
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết
Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm
của phương trình.
Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x
2
- 2y
2

= 5 (4)
Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được :
4k
2
+4k + 1 - 2y
2
= 5
tương đương 2(k
2
+ k - 1) = y
2

=> y
2
là số chẵn => y là số chẵn.
Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :
2(k
2
+ k - 1) = 4t
2

tương đương k(k + 1) = 2t
2
+ 1 (**)
Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t
2
+ 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm.
Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên.
Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
x

3
+ y
3
+ z
3
= x + y + z + 2000 (5)
Lời giải : Ta có x
3
- x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x
3
-
x chia hết cho 3.
Tương tự y
3
- y và z
3
- z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x
3
+ y
3
+ z
3
- x - y - z chia hết cho 3.
Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x
3
+ y
3
+ z
3
- x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương

pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
Chuyên đề phần nguyên
Chuyên Đề: Hàm Số Bậc Hai
Chuyên Đề: Tổ Hợp - Xác Suất
Cách giải phương trình lượng
giác trong đề thi đại học
Hình Học Dành Cho Học Sinh
10 - 11 - 12 và Luyện Thi Đại
Học
Sử Dụng Tam Thức Bậc 2 Để
CM BĐT
Tìm Chữ Số Tận Cùng
Các dạng toán bồi dưỡng HSG
lớp 5
50 Bài Toán Bồi Dưỡng HSG
Lớp 5 Có Lời Giải
Bài 1 - Dạng 1 Số chẵn, số lẻ,
bài toán xét chữ số tận cùng
của một số
Bài 1 - Dạng 2 Kĩ thuật tính và
quan hệ giữa các thành phần
của phép tính
Bài 1 - Dạng 3 Bài toán liên
quan đến điều kiện chia hết
Bài 1 - Dạng 4 Biểu thức và
phép tính liên quan đến tính
giá trị biểu thức
Bài 1 - Dạng 5 Bài toán liên
quan đến điều kiện chia hết

Bài 1 - Dạng 6 + 7 Dạng 6: Các
bài toán về điền dấu phép tính
Bài 2: Suy luận Lô gíc - Phần I
Bài 2: Suy luận Lô gíc - Phần II
PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN
TÌNH HUỐNG
Bài 2: Suy luận Lô gíc - Phần III
GIẢI BẰNG BIỂU ĐỒ VEN
Bài 2: Suy luận Lô gíc - Phần IV
PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN
ĐƠN GIẢN
Bài 3: Số, chữ số, dãy số -
Phần I SỐ VÀ CHỮ SỐ
Bài 3: Số, chữ số, dãy số -
Phần II DÃY SỐ
Bài 4: Công việc chung
Bài 5: Tỉ số và tỉ số phần trăm
Bài tập toán chuyển động - lớp
5
trình (5) không có nghiệm nguyên.
Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
xy + x - 2y = 3 (6)
Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương
đương với:
y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2).
Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x
= 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).
Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y
+ 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1.
Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức

Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn
này.
Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x
2
- xy + y
2
= 3 (7)
Lời giải :
(7) tương đương với (x - y/2)
2
= 3 - 3y
2
/4
Vì (x - y/2)
2
≥ 0 => 3 - 4y
2
/4 ≥ 0
=> -2 ≤ y ≤ 2 .
Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là
:
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.
Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác.
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
5
Bài tập toán chuyển động - lớp
5
Bài tập toán hình - lớp 5

Bài tập toán liên quan đến lập
số - lớp 5
Bài tập toán liên quan đến lập
số - lớp 5
Bài tập toán liên quan đến
phân số - lớp 5
Bài tập toán nâng cao lớp 5 -
Phần 1
Bài tập toán nâng cao lớp 5 -
Phần 2
Bài tập toán nâng cao lớp 5 -
Phần 3
Bài tập toán nâng cao lớp 5 -
Phần 4
Bài tập toán nâng cao lớp 5 -
Phần 5
Bài tập toán tỷ lệ phần trăm -
lớp 5
Bộ đề thi HSG toán lớp 5 -
Phần IV
Giải Các Bài Toán Bằng Phân
Tích Cấu Tạo Số
Khai Thác Một Bài Toán Dành
Cho Học Sinh Giỏi Toán 6
Luyện tập hình học lớp 5 - Hình
HCN, hình LP
Luyện tập hình học lớp 5 - Hình
tam giác
Luyện tập hình học lớp 5 - Hình
thang

Luyện tập hình học lớp 5 - Hình
tròn
Thi Olympic toán lớp 5, 2012 -
Vòng 1
Thi Olympic toán lớp 5, 2012 -
Vòng 2
Thi Olympic toán lớp 5, 2012 -
Vòng 3
Thi Olympic toán lớp 5, 2012 -
Vòng 4
Thi Olympic toán lớp 5, 2012 -
Vòng 5
Tổng hợp các bài toán hình
Mong các bạn tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Các bạn cũng thử giải một số phương trình nghiệm nguyên
sau đây :
Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên :
a) x
2
- 4 xy = 23 ;
b) 3x - 3y + 2 = 0 ;
c) 19x
2
+ 28y
2
=729 ;
d) 3x
2
+ 10xy + 8y
2
= 96.

Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn :
a) 4xy - 3(x + y) = 59 ;
b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ;
c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ;
d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.
Comments
Commenting disabled due to a network error. Please reload the page.
You do not have permission to add comments.
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
học lớp 5 hay
Đề luyện Violympic toán lớp 5 -
P. 2
Đề luyện Violympic toán lớp 5 -
P. 3
Đề luyện Violympic toán lớp 5 -
P.1
Gia Sư Toán
Bí quyết ôn thi tốt nghiệp môn
Toán
Dành Cho Gia Sư
Dành Cho Phụ Huynh
Một số phương pháp giúp học
tốt môn Toán
Phương pháp học các môn tự
nhiên
Giải Toán Trực Tuyến Và Nhận
Luyện Thi 5 Lên 6
Đề Thi Tuyển Sinh Vào 6
Trường Chuyên Trần Đại

Nghĩa - TP.Hồ Chí Minh 2002 -
2003
Đề Thi Tuyển Sinh Vào 6
Trường Chuyên Trần Đại
Nghĩa - TP.Hồ Chí Minh 2007 -
2008
Đề Thi Tuyển Sinh Vào 6
Trường Chuyên Trần Đại
Nghĩa - TP.Hồ Chí Minh 2009 -
2010
Đề thi vào lớp 6 trường Giảng
Võ năm 2012
Học Toán Tiểu Học
Bài toán Tìm số có hai chữ số
biết tổng hoặc hiệu của hai chữ
số đó
Bài tập dạng 1
Bài tập dạng 2
Bài tập dạng 3
Bài Tập Dạng 4
Bài Tập Dạng 5
Bài Tập Dạng 7
Dạng 1 : Số chẵn, số lẻ, bài
toán xét chữ số tận cùng của
một số
Dạng 2: Kĩ thuật tính và quan
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
hệ giữa các thành phần của
phép tính

Dạng 3 : Bài toán liên quan
đến điều kiện chia hết
Dạng 4 : Biểu thức và phép tính
liên quan đến tính giá trị biểu
thức
Dạng 5 : Các bài toán về điền
chữ số vào phép tính
Dạng 6 : Các bài toán về điền
dấu phép tính
Dạng 7: Vận dụng tính chất của
các phép tính để tìm nhanh kết
quả của dãy tính
Dạng 8 : viết liên tiếp một
nhóm chữ số hoặc chữ cái
HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH
TOÁN HỌC LỚP 2
Một con đường sáng tạo các
bài toán
Rèn tư duy Toán 2
Số tự nhiên
SỐ TỰ NHIÊN_CHỮ SỐ
SỐ TỰ NHIÊN_CHỮ SỐ​ P2
Trung bình cộng
Tìm hai số khi biết tổng và tỉ
Tổng Quan Một Số Dạng Toán
Thi Volympic
Vật Chuyển Động Trên Dòng
Nước
Kiến Thức Toán
14 phương pháp chứng minh 3

điểm thẳng hàng
7 phương pháp chứng minh
các đường thẳng đồng qui
Bài toán xác định tâm hình cầu
ngoại tiếp khối đa diện
Bộ số Pitago
Cho x,y,z là các số dương, thỏa
mãn x + y + z =3
Cho x,y,z là các số dương, thỏa
mãn x + y + z =3
Chuyên Đề Phân Tích Đa Thức
Thành Nhân Tử
Chuyển động cong
Chứng minh bất đẳng thức
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
bằng phương pháp cosi
Chứng minh bất đẳng thức
bằng phương pháp cosi
Chứng minh một số không
phải là số chính phương
Chứng mình một số là số
chính phương
Các Bài Toán Dãy Số Trong
Các ​Kỳ Thi Olympic 30 - 4
Các phương pháp giải phương
trình phổ biến
Các Vấn Đề Về Đa Thức Phần
1
Các Vấn Đề Về Đa Thức Phần

2
Công thức tìm giới hạn dãy số
Dạy toán dạng bài tìm trung
bình cộng
Giúp Trí Nhớ Toán THPT
Giải phương trình mũ và logarit
bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Giải phương trình mũ và logarit
bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Hình học không gian và những
điều cần lưu ý
Lớp 10
MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM
NGHIỆM ĐỘC ĐÁO
Một số bài toán liên quan đến
đường tròn và mặt phẳng
Một số bài tập về tiệm cận của
đồ thị hàm số
Một số công thức hình học cần
nhớ
Một số công thức lượng giác
cơ bản
Một số công thức đạo hàm và
tích phân
Một Số Lưu Lý Khi Giải PT
Lượng Giác
Một số phương pháp giải
phương trình mũ và logarit
Một số phương pháp giải
phương trình nghiệm nguyên

Một số phương pháp tìm GTLN
- GTNN
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
Nguyên Lý Dirichlet Và Một Số
Bài Toán Áp Dụng
Nhắc lại kiến thức về tính đơn
điệu của hàm số
Những ghi nhớ trước khi làm
đề toán
Những sai lầm khi giải toán
tích phân
Phương pháp chứng minh hai
đường thẳng song song
Phương pháp gien
Phương pháp hoán vị vòng
quanh
Phương pháp học môn toán tốt
trong mùa hè dành cho trẻ
Phương pháp lập phương trình
đường thẳng trong không gian
Phương pháp viết phương trình
tiếp tuyến
Phương trình Pythagore
Phương Trình Và Bất Phương
Trình
Phương Tích
Số pi cuối cùng bằng bao
nhiêu?
Tháp Hà Nội – Nơi gặp gỡ

giữa toán học và tâm lý học
VỀ PHÂN HOẠCH TẬP CÁC SÔ
NGUYÊN DƯƠNG THÀNH HAI
TẬP CÓ TỔNG CÁC PHẦN TỬ
BẰNG NHAU
Áp dụng thành thạo công thức
tích phân từng phần
Áp dụng thành thạo công thức
tích phân từng phần
Đa thức đối xứng ba biến
Đa Thức Đối Xứng Hai Biến
Luyện Đề Vào 6
Bộ 20 Đề Luyện Thi 5 lên 6
Dành Cho Học Sinh Khá Giỏi
Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS
2004 - 2005
Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS
2005 - 2006
Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS
2006 - 2007
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS
2007 - 2008
Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS
2008 - 2009
Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS
2009 - 2010
Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS
2010 - 2011

Giải chi tiết Đề thi vào 6 Trần
Đại Nghĩa 2010
Tin Giáo Dục
"Chăm chỉ và tự giác là bậc
thầy của mọi bậc thầy"
10 ngày tang lễ lịch sử của Đại
tướng Võ Nguyên Giáp qua
ảnh
Amsterdam, Nguyễn Huệ - 2
ngôi trường cấp 3 hiện đại nhất
Hà Nội
Bí kíp đặc biệt vượt ải kỳ thi học
sinh giỏi
Cận cảnh trường ĐH của
chàng "hoàng tử" Lee Seung
Gi
Hai bài văn tả bố ly kỳ như
phim hành động
Lưu ý khi chọn trường Đại học
cho con
Nhiều ngành học bị đình chỉ
tuyển sinh
Những bài thơ hay và ý nghĩa
mừng ngày Nhà giáo Việt Nam
20/11
Những lý do không thể bỏ lỡ
Ngày hội Giáo dục Vương
Quốc Anh 2013
Phương Pháp học toán hiệu
quả nhất

Phải làm sao khi đã ra trường
nhưng chưa xin được việc
Trường Học Quốc Tế Tại Việt
Nam
ĐH Bách Khoa Hà Nội Được
Vụ Trưởng Nhật Bản Ghé
Thăm
Được điểm cao đôi khi cũng
phải học cách ứng xử khéo
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
Ấn tượng màn chào đón học
sinh lớp 10 của trường Nguyễn
Huệ
Toán Học 4 Phương
Bao nhiêu số lẻ (thập phân) là
vừa?
Bạn có biết nguồn gốc của
cách đếm không?
Chuyên gia Pháp "chấm điểm"
nền Toán học Việt
Cuộc đời éo le của Cauchy
Gặp gỡ Toán học 2014
Lịch sử Lý thuyết toán tử
Người mở đầu 'thế hệ vàng
toán học' Việt Nam
Số chẵn và số nguyên số nào
nhiều hơn?
Số nguyên tố là gì?
Số thân thiết là gì

Sự thú vị của những con số
trong toán học ít ai biết tới
TA-LÉT VÀ PY-TA-GO
Toán Học Và Bản Đồ Học
Toán học – Những điều kì thú
và những mốc son lịch sử
(Phần 6)
Từ tấm bia mộ bạn có thể tính
ra được tuổi của nhà toán học
không?
Vẻ đẹp của Toán học
Ý nghĩa của số 0 có phải là
không có?
Toán Tuổi Thơ
CÓ NHIỀU CÁCH ĐỂ TÌM RA
LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN
DÀNH CHO CÁC BẠN LỚP 5
HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG ĐẠI
LƯỢNG TỈ LỆ
GIẢI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH
LUYỆN GIAO LƯU TOÁN TUỔI
THƠ NĂM HỌC 2009-2010
LUYỆN GIAO LƯU TOÁN TUỔI
THƠ TOÀN QUỐC NĂM HỌC
2009-2010
PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
TOÁN CƠ BẢN

PHÉP PHẢN CHỨNG. THÚ VỊ!
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH
?
Phương pháp tính ngược
TÍNH ĐỘ DÀI QUÃNG ĐƯỜNG
TRONG BÀI TOÁN CHUYỂN
ĐỘNG ĐỀU
Đề Thi
25 bộ đề thi TOÁN luyện thi tốt
nghiệp THPT có hướng dẫn lời
giải do GV Phan Hữu Huy
Trang
54 bộ đề thi TOÁN luyện thi tốt
nghiệp THPT , luyện thi cao
đẳng và đại học có hướng dẫn
lời giải
Bộ đề luyện thi đại học môn
toán cấp tốc năm 2011
Phương pháp giải bài tập hình
học không gian trong các kỳ thi
tốt nghiệp THPT , Cao Đẳng và
đại học, do GV Nguyễn Trung
Kiên biên soạn.
Tuyển tập Đề thi Violympic môn
Toán lớp 5
Đáp án Đề thi HSG quốc gia
2009
Đáp án đề thi môn Toán khối A,
A1 năm 2013
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng

Ngãi năm học 2013 - 2014
Đề thi HSG quốc gia 2009
Đề thi hsg toán 9
Đề thi HSG Toán 9 trường Tam
Phước
Đề thi học sinh giỏi Quốc gia
môn Toán năm 2014
Đề thi học sinh giỏi toán lớp 2
Đề thi Olympic sinh viên quốc
tế năm 2013
Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường
thpt chuyên
ĐỀ THI VÀO 10 CÁC TRƯỜNG
CHUYÊN - THI HSG 9
Đề Thi Toán Vào 10 Chuyên Lê
Hồng Phong 2002 - 2003 Ngày
pdfcrowd.comopen in browser PRO version
Are you a developer? Try out the HTML to PDF API
Thứ Nhất
Sơ đồ trang web
LIÊN KẾT HỮU ÍCH
Gia sư
Gia sư hà nội
Gia sư tại nhà
Gia sư tại nhà
gia sư tiếng anh tại hà nội
Du học úc
sửa máy giặt tại hà nội
gia sư tiểu học
gia sư lớp 5

Sửa máy giặt
Sửa bình nóng lạnh
Gia sư sư phạm
Trung tâm gia sư
trung tâm gia sư hà nội
Sign in | Recent Site Activity | Report Abuse | Print Page | Powered By Google Sites
Translate