TÍCH cực hóa QUÁ TRÌNH học tập môn TOÁn ma trận và định thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

TÍCH CỰC HÓA QUÁ TRÌNH HỌC TẬP
MÔN TOÁN

ĐỀ TÀI NHÓM 04:

Nhóm sinh viên lớp 4B thực hiện:
Nguyễn Thị Hải Khánh
Nguyễn Hữu Cảnh
Lê Thị Thùy Trang
Trương Thị Phương Nhi



Huế, 2014
0

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 1
TỔNG QUÁT 2
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ THUẬT NGỮ 2
NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG CUỘC SỐNG THỰC TẾ 5
Những hình ảnh kỹ thuật số 5
Sự bay của tàu con thoi 5
Quần thể sinh học 6
Thiết kế xe hơi 6
KẾT LUẬN 8
TÀI LIỆU THAM KHẢO 9

1


LỜI MỞ ĐẦU
Real - Life Math là cuốn sách của hai tác giả K. Lee Lerner và Brenda Wilmoth
Lerner dành cho đọc giả ở nhiều lứa tuổi, đặc biệt là lứa tuổi trung học. Cuốn sách này
có một tầm nhìn quốc tế và được viết ra nhằm giúp các đọc giả khám phá những điều
lý thú của toán học trong cuộc sống hằng ngày, phát triển kỹ năng đối với toán học và
tìm hiểu những ứng dụng trong thực tế.
Các bài viết trong cuốn sách này được viết một cách dễ hiểu và gây sự tò mò
cho đọc giả qua các chủ đề của toán học. Và chúng tôi chọn chủ đề là “Ma trận và
định thức” nhằm góp phần tìm hiểu rõ hơn về ma trận, định thức và các ứng dụng của
nó trong thực tế, giúp các bạn sinh viên muốn nghiên cứu sâu hơn, nâng cao hơn kiến
thức về ma trận và định thức.

2





















TỔNG QUÁT
Trong toán học, ma trận là một nhóm các con số được sắp xếp trong một hình
chữ nhật. Từ để chỉ nhiều hơn một ma trận gọi là matrices. Xử lý ma trận trong toán
học được gọi là ma trận đại số hay đại số tuyến tính. Ma trận là một trong những ứng
dụng rộng rãi nhất trong tất cả các công cụ toán học. Chúng được sử dụng để giải
quyết các vấn đề trong thiết kế máy móc, bố trí các tuyến đường của các công ty dầu
khí và vận tải để vận chuyển hiệu quả, chơi các trò chơi cạnh tranh trong chiến tranh
và kinh doanh, vẽ bản đồ, dự báo động đất, chụp ảnh bên trong cơ thể, dự đoán được
hai mùa thời tiết ngắn hạn và sự thay đổi của khí hậu toàn cầu, và hàng ngàn các mục
đích khác.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ THUẬT NGỮ.
Ma trận thường được chứa trong dấu ngoặc vuông bao quanh chúng. Ma trận
được mô tả như trong Hình : Ma trận với bốn số hoặc "phần tử". Một cột trong ma
trận là một hàng dọc các con số: Trong ma trận này,  và  tạo thành cột đầu tiên, còn
 và  tạo thành cột thứ hai. Một dòng trong ma trận là một hàng ngang các con số:
Trong ma trận này,  và  tạo thành hàng đầu tiên, còn  và  tạo thành hàng thứ hai.
Ma trận được đặt tên theo chiều dài và chiều rộng của chúng. Trong ví dụ này, ma trận
có chiều dài là hai phần tử và chiều rộng là hai phần tử, do đó nó là một ma trận cấp
 . Ma trận trong Hình  có chiều dài là ba phần tử và chiều rộng là năm phần tử,
do đó nó là một ma trận cấp  .
Hình : Một ma trận với bốn số hoặc “phần tử”
Hình : Ma trận  

Một ma trận phẳng có thể được viết trên các ô vuông của một bàn cờ, như ở hai
ví dụ này, được gọi là hai chiều bởi vì chúng ta cần hai con số để nói vị trí mỗi phần tử
của ma trận. Ví dụ, số "" trong ma trận cấp   sẽ chỉ ra được "dòng , cột ".

 
 


3


 
 



𝑥
𝑦







Một ma trận cũng có thể ba chiều: trong trường hợp này, các số được sắp xếp trên các
ô vuông của một bàn cờ, và chỉ đến một số cụ thể bạn phải đặt tên cho hàng của nó,
cột của nó, và xếp nó lên bàn cờ. Không có giới hạn về số lượng kích thước mà một
ma trận có thể có. Chúng ta không thể hình thành hình ảnh của ma trận với bốn, năm,
hoặc nhiều kích thước, nhưng chúng đúng như là toán học thực sự.

Các con số trong một ma trận có thể biểu thị cho bất cứ điều gì. Chúng có thể
biểu thị cho độ sáng của các dấu chấm trong một hình ảnh, hoặc tỷ lệ phần trăm của
những con cú đốm trong nhóm tuổi khác nhau từ non đến già. Một trong những ứng
dụng thực tế quan trọng nhất của ma trận là những con số trong ma trận biểu diễn các
hệ số của phương trình tuyến tính. Một phương trình tuyến tính là một phương trình
bao gồm một tổng các biến (những số chưa biết) nhân với một hệ số (một số đã biết).
Ta có hai phương trình tuyến tính:  và . Ở đây, những giá
trị biến là  và  và các hệ số là những số nhân của chúng (cụ thể là  và ). Đồng
thời, đó là hai phương trình tạo nên một hệ. Hệ các phương trình này còn có thể gọi là
ma trận cấp  , thiết lập bằng ma trận cấp  , được mô tả trong Hình .
Hình 
Các giả thiết có trong phương trình ma trận cũng nằm trong các phương trình
ban đầu và hầu hết được sắp xếp tương tự trên giấy. Thứ duy nhất có thể thay đổi là
cách thể hiện thông tin được viết xuống. Đối với hệ phương trình phức tạp (với hàng
chục hoặc hàng trăm biến, không chỉ có  và ), các phương trình ma trận có nhiều
tính toán hơn.
Để giải được phương trình này, chúng ta phải tìm giá trị  và  sao cho nghiệm
của chúng đúng với phương trình. Trong trường hợp này kết quả duy nhất là
, 



(Nếu ta gán các giá trị của  và  trong các phương trình  và
, ta sẽ tìm được giá trị đúng của hai phương trình, không có giá trị  và 
nào khác). Tìm ra cách để giải phương trình ma trận là một trong những ứng dụng
quan trọng nhất của máy tính trong khoa học, kỹ thuật và kinh doanh ngày nay, bởi vì
hàng ngàn vấn đề thực tế có thể được mô tả bằng các hệ phương trình tuyến tính (đôi
4

khi hệ rất lớn với ma trận được tạo bởi hàng ngàn hoặc hàng triệu con số). Những

chiếc máy tính giải quyết được những phương trình ma trận lớn một cách nhanh
chóng, tạo ra nhiều sản phẩm mới và khám phá khoa học một cách hiệu quả.
Các quy tắc tính toán ma trận, bao gồm cả giải phương trình ma trận, được mô
tả trong các lĩnh vực toán học gọi là "ma trận đại số". Các ma trận cùng cấp có thể
cộng, trừ hoặc nhân. Một số có thể tính được từ ma trận vuông, tức là các ma trận có
cùng số hàng và số cột gọi là định thức. Mọi ma trận vuông đều có định thức. Định
thức được tính bằng các yếu tố của ma trận bằng mỗi cách khác nhau và sau đó cộng
vào bài toán theo một quy tắc nhất định. Ví dụ, quy tắc tính định thức của ma trận cấp
  sau:



















(Những số nhỏ ở đây gắn liền với biến giúp chúng ta phân biệt chúng). Với ma
trận  , quy tắc phức tạp hơn:



























































và các quy tắc càng trở nên phức tạp đối với các ma trận lớn và kích thước lớn hơn
nhưng đó không phải là vấn đề, bởi vì máy tính tính toán tốt những định thức này.
Những định thức luôn được sinh viên nghiên cứu trong việc học ma trận đại số,

nơi mà chúng có nhiều công nghệ sử dụng trong ma trận đại số. Tuy nhiên, ngày nay,
chúng ít quan trọng hơn trong lý thuyết ma trận trước lúc phát minh ra máy tính.
Khoảng một trăm năm trước, tài liệu tham khảo của một nhà toán học lớn đã được
công bố rằng chỉ tóm tắt tính chất của định thức phát hiện vào thời kỳ đó: nó đã được
điền vào toàn bộ bốn khối lượng. Ngày nay, toán học ít liên quan đến định thức hơn
lúc trước. Trong một cuốn sách giáo khoa được sử dụng rộng rãi đã nói rằng: "Sau tất
cả mọi thứ, một số đơn có thể gọi chỉ duy nhất trong ma trận".

5

TỪ KHÓA

Ma trận: Một hình chữ nhật chứa bảng
các biến hoặc số, thường được hiển
thị với dấu ngoặc vuông bao quanh
chúng. "Hình chữ nhật" ở đây bao
gồm các cột có độ dài bằng nhau,
nhưng nó không phải là hai chiều.
Một phươgn trình ma trận có thể
biểu diễn cho một hệ của nhiều
phương trình tuyến tính.
NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG CUỘC SỐNG THỰC TẾ.
Những hình ảnh kỹ thuật số.
Máy ảnh kỹ thuật số tạo ra một ma trận các số khi chụp ảnh. Tiêu điểm của ống
kính máy ảnh của hình ảnh trên bề mặt hình chữ nhật bao phủ bởi ánh sáng nhỏ với
các thiết bị điện tử cảm ứng.
Các thiết bị tập trung phát hiện màu sắc và độ sáng của hình ảnh, và thông tin
này được lưu như một ma trận các con số trong bộ nhớ của máy ảnh. Khi một hình ảnh
được tải về từ một máy ảnh đến máy tính và được thay đổi sử dụng phần mềm chỉnh
sửa ảnh, nó là đối tượng của các thao tác toán học mô tả bởi ma trận đại số. Những

hình ảnh cũng có thể "nén" để chiếm ít bộ nhớ máy tính hoặc truyền trên Internet một
cách nhanh chóng. Khi một hình ảnh được nén, sự giống nhau giữa một số các con số
trong ma trận ban đầu của nó được sử dụng để tạo ra một ma trận nhỏ hơn, chiếm ít bộ
nhớ, nhưng mất đi độ sắc nét của hình ảnh.
Sự bay của tàu con thoi.
Trong những ngày đầu của chuyến bay, những phi công đẩy và kéo trên một
phím điều khiển kết nối với dây dẫn. Các dây chạy qua ròng rọc để cánh và bánh lái,
có thể bay. Nó sẽ không thể bay một cách phức tạp như tàu con thoi,mà được chỉ đạo
không chỉ bằng những mảnh di chuyển của cánh, mà còn  máy bay phản lực đẩy,
bằng các phương tiện cơ học trực tiếp như thế này. Chỉ đạo phải được thực hiện bằng
máy tính, để đáp ứng với các phép đo áp lực tay phi hành gia trên điều khiển. Trong
Vecto: Một đại lượng gồm độ lớn và
hướng, thường được biểu diễn
bởi một mũi tên. Trong đó, dộ
dài mũi tên biểu diễn cho độ lớn
và hướng của mũi tên chỉ trong
không gian.
6

phương pháp này, máy tính của chuyến bay kết hợp các phép đo từ cảm biến phát hiện
con tàu đang di chuyển như thế nào với các phép đo từ các điều khiển. Các phép đo
được cung cấp thông qua các máy tính chuyến bay của tàu con thoi như vectơ, đó là,
như ma trận , nơi mà các phép đo từ tàu và thí điểm là những con số trong các
vectơ. Máy tính của tàu thực hiện các tính toán trên các vectơ sử dụng ma trận đại số
để quyết định làm thế nào để di chuyển các bề mặt điều khiển (bộ phận di chuyển của
cánh và đuôi) và làm thế nào để bắn các máy bay phản lực tay lái .
Quần thể sinh học.
Một trong những điều mà các nhà sinh học cố gắng làm là dự đoán quần thể của
động vật thay đổi trong tự nhiên. Điều này được gọi là nghiên cứu về biến động của
quần thể bởi vì trong khoa học hay toán học, bất cứ điều gì đó là đang thay đổi hoặc di

chuyển trong trạng thái “động”. Trong quần thể sinh học, một phương trình ma trận
mô tả có bao nhiêu cá thể bị thay đổi trong một giai đoạn cuộc sống sinh sản tiếp theo,
từ năm này sang năm khác. Một phương trình ma trận như vậy đã xuất hiện trong các
cuộc tranh luận về việc liệu những con cú đốm của Bắc Thái Bình Dương về phía tây
(Hoa Kỳ) có đang bị đe dọa hay không. Nếu số cá thể non, cá thể trưởng thành và cá
thể già của những con cú trong năm  được viết như 

, 

, và 

tương ứng (các chữ
nhỏ là để đánh dấu năm), và nếu quần thể cho năm tiếp theo, năm  , được viết
như 

, 

, và 

, sau đó các nhà sinh học đã phát hiện ra rằng các phương trình
ma trận sau đây liên quan một quần thể năm tiếp theo:

  
  
  



















Bằng cách phân tích phương trình này sử dụng các công cụ tiên tiến của ma trận
đại số như giá trị riêng, các nhà sinh học đã chỉ ra rằng nếu tỉ lệ gần đây suy giảm của
việc mất đi môi trường sống (gây ra bởi việc chặt phá) tiếp tục, cú đốm có thể bị tuyệt
chủng. Các con cú, giống như tất cả các động vật ăn thịt, cần vùng đất rộng lớn, trong
đó để cho cú đốm, khoảng bốn dặm vuông mỗi cặp sinh sản.
Thiết kế xe hơi.
Trước những năm , các nhà sản xuất xe thiết kế xe mới bằng cách vẽ ra
những bản vẽ đầu tiên, tiếp theo là mô hình vật lý, sau đó những chiếc xe thực tế. Từ
những năm , họ cũng đã sử dụng một công cụ gọi là máy tính hỗ trợ thiết kế
7

(CAD). CAD hiện đang được giảng dạy tại nhiều trường trung học, sử dụng phần mềm
tinh vi hơn những cái có được trước đây, nhưng các nguyên tắc ứng dụng đều giống
nhau. Ở máy tính hỗ trợ thiết kế tự động, bước đầu tiên vẫn là một bản vẽ của một họa
sĩ sử dụng trí tưởng tượng của họ - thiết kế cho ra chiếc xe sẽ trông như thế nào,
thường vẽ nguệch ngoạc trên giấy. Khi một hình ảnh mới đã được đưa ra, bước tiếp
theo là việc tạo ra một mô hình “khung bao bọc”. Các mô hình khung bao bọc là một

khối lượng của hệ thống, xác định bởi số được lưu trữ trong ma trận,đó là phác thảo
hình dạng của tất cả các phần chính của xe.
Các con số xác định tọa độ ba chiều của các điểm trên bề mặt của chiếc xe xác
định được hình dạng của nó. Mô hình khung dây có thể được tạo ra trực tiếp hoặc bằng
cách sử dụng tia laser để quét một mô hình đất sét trong không gian ba chiều. Mô hình
chiếc xe wireframe được lưu giữ như một bộ sưu tập của nhiều ma trận, mỗi ma trận
mô tả một phần. Mô hình này có thể được hiển thị, xoay, và điều chỉnh với vẻ ngoài
trông giống thật. Quan trọng hơn, bằng cách sử dụng kỹ thuật toán học dựa trên ma
trận được gọi là phương pháp phần tử hữu hạn, các công ty xe hơi có thể sử dụng mô
hình wireframe thiết kế để dự đoán trước tình huống tai nạn xảy ra và không khí sẽ đi
qua nó một cách trơn tru khi nó đang chuyển động (ảnh hưởng đến việc xe sử dụng
bao nhiêu khí đốt). Những tính năng có thể thực nghiệm được cải thiện bằng cách thay
đổi số trong ma trận chứ không phải bằng cách xây dựng mô hình thử nghiệm đắt tiền.

8


KẾT LUẬN
Qua cuốn sách Real - Life Math và chủ đề “Ma trận và định thức” chúng ta
hiểu được khái niệm của ma trận, định thức; cách gọi tên và cách viết của ma trận; các
quy tắc tính định thức; làm quen với các ma trận vuông, phương trình tuyến tính và hệ
phương trình tuyến tính. Điều đặc biệt, là các ứng dụng của nó trong cuộc sống như
hình ảnh kĩ thuật số, sự bay của tàu con thoi trong không gian, thiết kế xe hơi, …. Và
hơn cả là những ứng dụng của nó được áp dụng trong quần thể sinh học giúp các nhà
sinh học đánh giá số lượng và tìm cách giúp các loài động vật thoát khỏi nguy cơ bị
tuyệt chủng.

9

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Lay, David C, Linear Algebra and its Applications, tái bản lần thứ hai.
New York: Addison - Wesley, 1999
- Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications, tái bản lần thứ ba.
New York: Harcourt Brace Jovanovich College Publishers, 1988.