thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích

Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích




Lời Cảm Tạ
∗∗∗∗∗
Được sự phân công của bộ môn cùng với niềm hứng thú của bản thân, tôi
nhận đề tài luâïn văn tốt nghiệp từ những ngày đầu năm học. Đây là một vấn đề
tương đối mới lạ, suốt một thời gian dài, nguồn tài liệu mà tôi tìm được vẫn còn
nhiều hạn chế. Có những lúc tôi nghó rằng mình phải bỏ cuộc vì không biết phải
tiếp tục như thế nào, nhưng rồi được các thầy cô nhiệt tình chỉ dạy và bạn bè đôïng
viên ủng hộ, tôi đã quyết tâm đi hết chẵng đường dang dở.
Đến nay luận văn “Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian
giải tích” đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy
Cô trong bộ môn Toán đã cung cấp cho em những kiến thức q báu trong bốn
năm ở trường đại học. Đẵc biệt, em xin ghi nhớ công ơn của thầy Lê Hồng
Đức đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt em trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Đồng
thời, em cũng chân thành cảm ơn cô Trần Thò Thanh Thúy đã sửa chữa những
sai sót trong bản luận văn và cô Lại Thò Cẩm đã động viên, giúp đỡ em.
Xin cảm ơn các anh chò, các bạn sinh viên đã nhiệt tình ủng hộ tôi hoàn
thành luận văn này.

Trần Hoài Ngọc Nhân




Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích

PHẦN MỞ ĐẦU

I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Giải tích hàm là một môn học được quan tâm nhiều trong chương trình
giải tích ở đại học. Giải tích hàm thường xem xét đến các tính chất của các họ
ánh xạ nào đó. Trong khi xem xét đến các tính chất của các ánh xạ ta thường mở
rộng miền xác đònh để từ đó xác đònh được các ánh xạ mới vừa bảo toàn được
các tính chất vốn có của ánh xạ đã cho vừa được xác đònh trên các tập hợp lớn
hơn, thậm chí trên cả không gian. Việc mở rộng để được các ánh xạ mới trên cơ
sở các ánh xạ đã cho thường được gọi là thác triển các ánh xạ.Trong việc thác
triển các ánh xạ, chúng ta thấy người ta thường quan tâm đến việc thác triển các
ánh xạ liên tục. Vì muốn xem xét một cách toàn diện theo một trình tự phức tạp
của các không gian chứa tập xác đònh của ánh xạ ban đầu nên em đã quyết đònh
chọn đề tài “Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích”.
II/ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
Tập trung nghiên cứu khả năng thác triển của các ánh xạ. Trong những
điều kiện nào thì các ánh xạ có thác triển bảo toàn tính liên tục? Ứng dụng của
việc thác triển ? Hệ thống việc thác triển liên tục trong các không gian bắt đầu
từ không gian các số thực đến không gian mêtric, không gian tôpô và không gian
đònh chuẩn để thấy được sự so sánh trong các không gian.
III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Luận văn đã sắp xếp, hệ thống lại các kết quả về thác triển các ánh xạ
liên tục trong các không gian từ đơn giản đến phức tạp nhằm đưa ra một cách
nhìn toàn diện hơn về quá trình thác triển các ánh xạ liên tục. Cụ thể các vấn đề
đã được trình bày theo một quan điểm thống nhất:
² Xây dựng một hệ thống lí thuyết về thác triển ánh xạ liên tục trong các
không gian.
² Chứng minh và làm sáng tỏ một số chứng minh, các kết quả đã biết.
² Bài tập được giới thiệu sau mỗi chương có mối liên kết chặt chẽ với lí

thuyết và tạo thành một chuỗi, bài sau sử dụng kết quả của bài trước.
² Các kết quả phổ biến nhiều sách đã trình bày, sinh viên chỉ nhắc lại
hoặc nêu hướng chứng minh.
IV/ PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN NGHIÊN CỨU:
Phương pháp nghiên cứu:
Các phương pháp chính được sử dụng là tổng hợp, phân tích và so sánh.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích



² Tổng hợp: Tổng hợp các kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau,
trình bày lại theo cách riêng.
² Phân tích: Trên cơ sở kiến thức đã học và đọc tài liệu đi sâu phân tích
làm rõ vấn đề.
² So sánh: Sử dụng phương pháp so sánh để thấy được sự khác biệt của
vấn đề thác triển liên tục trong từng không gian cụ thể.
Phương tiện nghiên cứu:
Các sách về giải tích của các tác giả trong và ngoài nước, tìm kiếm các
kết quả được công bố từ internet.
V/ CÁC BƯỚC THỰC HIỆN:
² Tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, tóm tắt các các
kết quả có liên quan.
² Phân loại theo từng nhóm, soạn dàn ý và tham khảo ý kiến của giáo
viên hướng dẫn để viết thành đề cương.
² Tiếp tục tham khảo tài liệu để bổ sung, đồng thời phân tích làm rõ, dần
hoàn chỉnh theo từng phần.
VI/ CÁC THUẬT NGỮ ĐƯC DÙNG TRONG LUẬN VĂN:
Các thuật ngữ trong luận văn chủ yếu được sử dụng từ các giáo trình. Để
thống nhất, sinh viên dùng từ hàm để chỉ một ánh xạ có tập đích là tập hợp số
(thực hoặc phức), từ hàm số chỉ một ánh xạ có tập nguồn và tập đích đều là các

tập hợp số.
VII/ NỘI DUNG LUẬN VĂN:
Luận văn gồm có 4 chương, sau mỗi chương là phần bài tập có liên quan
² Chương mở đầu. Kiến thức chuẩn bò. Nhắc lại một số khái niệm, đònh
lí đã được học trong giải tích cổ điển, trong không gian mêtric, không gian tôpô
và không gian đònh chuẩn, tạm thời chấp nhận một vài đònh lí mà cách chứng
minh quá phức tạp.
² Chương 1. Thác triển ánh xạ liên tục trong giải tích cổ điển. Trình
bày một số kết quả thác triển liên tục trong giải tích cổ điển.
² Chương 2. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian mêtric. Trình
bày một số kết quả thác triển liên tục đặc trưng của không gian mêtric. Trong
chương này ta nghiên cứu, chứng minh điều kiện cần và đủ để có thể thác triển
một ánh xạ liên tục (liên tục đều), trường hợp đặc biệt là các đònh lí của Tietze
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích



và Uryson về thác triển một hàm liên tục, bò chặn trên một không gian con đóng.
Phần bài tập sẽ tổng quát một số nội dung đã được nghiên cứu trong chương 1.
² Chương 3. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian tôpô. Nhiều
sự kiện trong không gian mêtric không phụ thuộc vào khoảng cách mà chỉ phụ
thuộc vào họ các tập hợp mở trong không gian ấy. Vì vậy ta sẽ thác triển ánh xạ
liên tục trong môït không gian tổng quát lớn hơn không gian mêtric, đó là không
gian Tôpô. Ta tìm tôpô cho không gian nguồn hoặc không gian đích làm cho ánh
xạ liên tục, điều kiện để một ánh xạ liên tục trên tập con đóng (hay trù mật) của
không gian có thác triển liên tục, nhờ vào sự compact hóa theo Alecxandrop để
thác triển liên tục, bước đầu làm quen với sự compact hóa theo Stone − Cech.
² Chương 4. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian đònh chuẩn.
Tìm hiểu việc thác triển trong không gian đònh chuẩn bảo toàn tính tuyến tính
liên tục, lướt qua cách chứng minh đònh lí Hahn −Banach, chủ yếu nghiên cứu

các ứng dụng và mở rộng, đồng thời cũng tìm hiểu việc thác triển một ánh xạ
tuyến tính liên tục không âm.
VIII/ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI:
Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu các vấn đề cơ bản nhất, nhiều
ứng dụng rộng rãi của các vấn đề lí thuyết vào từng trường hợp cụ thể đã bò bỏ
qua và việc tổng quát các kết quả cũng dừng lại ở một mức độï nhất đònh.














Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích







MỤC LỤC

Chương mở đầu. Kiến thức chuẩn bò.
1
1. Trong giải tích cổ điển 1
2. Không gian mêtric 1
3. Không gian tôpô. 5
4. Không gian đònh chuẩn. 8
Chương 1. Thác triển ánh xạ liên tục trong giải tích cổ điển. 14
Bài tập chương 1. 17
Chương 2. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian mêtric. 18
§1. Thác triển ánh xạ liên tục. 18
§2. Thác triển hàm liên tục. 21
§3. Thác triển ánh xạ liên tục đều. 26
Bài tập chương 2. 27
Chương 3. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian tôpô. 31
§1. Thác triển ánh xạ liên tục. 31
§2. Thác triển hàm liên tục. 35
§3. Compact hóa theo Alecxandrop. 40
Bài tập chương 3. 42
Chương 4. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian đònh chuẩn. 51
§1. Thác triển toán tử tuyến tính liên tục. 51
§2. Đònh lí Hahn − Banach. 54
§3. Mở rộng đònh lí Hahn – Banach. 58
§4. Thác triển ánh xạ tuyến tính liên tục không âm. 61
Bài tập chương 4. 66

Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


1
PHẦN NỘI DUNG


Chương mở đầu
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ


Chương này sẽ trình bày sơ lược các khái niệm cơ bản với nội dung tối
thiểu cần thiết cho các chương sau. Các chứng minh đều không được đưa vào,
người đọc có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo.
1/ Trong giải tích cổ điển:
1.1/ Hàm số liên tục:
Đònh nghóa: Cho hàm số f : A → R
² f được gọi là liên tục tại điểm x
0
∈ A nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ A, |x − x
0
| ≤ δ ta có |f(x) − f(x
0
)| ≤ ε.
² f được gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm x
0
∈ A.
1.2/ Hàm số liên tục đều:

Đònh nghóa: Hàm số f : A → R được gọi là liên tục đều trên A nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’ ∈ A, |x − x’| ≤ δ ta có |f(x) − f(x’)| ≤ ε.
1.3/ Đường thẳng số mở rộng:
Đònh nghóa: Ta thêm vào R hai phần tử phân biệt không thuộc R, ký
hiệu là + ∞ và − ∞. Ta mở rộng các phép toán +, . và quan hệ thứ tự ≤ lên
R
= R ∪ {+ ∞} ∪ {− ∞} như sau:
∀x ∈ R: x + (+ ∞) = (+ ∞) + x = + ∞
x + (− ∞) = (− ∞) + x = − ∞
(+ ∞) + (+ ∞) = + ∞, (− ∞) + (− ∞) = − ∞
∀x ∈ R
*
+
: x(+ ∞) = (+ ∞)x = + ∞, x(− ∞) = (− ∞)x = − ∞
∀x ∈ R
*
−
: x(+ ∞) = (+ ∞)x = − ∞, x(− ∞) = (− ∞)x = + ∞
(+ ∞)(+ ∞) = (− ∞)(− ∞) = + ∞, (+ ∞)(− ∞) = (− ∞)(+ ∞) = − ∞
∀x ∈ R: − ∞ < x < + ∞, − ∞ ≤ − ∞, + ∞ ≤ + ∞
R
được gọi là đường thẳng số mở rộng.
2/ Không gian mêtric:
2.1/ Mêtric trên một tập hợp:
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


2
Đònh nghóa: Cho tập hợp X tùy ý. Ánh xạ d : X × X → R được gọi là
một mêtric (khoảng cách) trong X nếu:

i/ d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
ii/ d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X
iii/ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X
Tập X với mêtric d trang bò trên X được gọi là một không gian mêtric.
Ký hiệu: (X, d).
2.2/ Khoảng cách giữa các tập hợp:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d) và A, B là hai tập con khác
rỗng của X . Khi đó:
d(A, B) = inf{d(x, y): x ∈ A, y ∈ B}
được gọi là khoảng cách giữa các tập A và B.
2.3/ Không gian con:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), E ⊂ X, E ≠ φ. Với mỗi cặp
phần tử x, y ∈ E ta đặt d
E
(x, y) = d(x, y). Khi đó d
E
là một mêtric trên E được
gọi là mêtric trên E cảm sinh bởi mêtric d.
Không gian mêtric (E, d
E
) được gọi là không gian mêtric con của
không gian mêtric (X, d).
2.4/ Không gian mêtric tích:
Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
) và (Y, d
Y
)
Khi đó X × Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y} là không gian mêtric với mêtric

d((x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
)) = )x;x(d)x;x(d
21
2
Y21
2
X
+ , trong đó (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
) ∈ X × Y.
Không gian mêtric X × Y được gọi là không gian mêtric tích của các
không gian mêtric X và Y
2.5/ Sự hội tụ trong không gian mêtric:
2.5.1/ Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d). Dãy {x
n
} ⊂ X được
gọi là hội tụ về một điểm a ∈ X nếu limd(x

n
, a) = 0. Khi đó x được gọi là giới
hạn của dãy {x
n
}. Ký hiệu: limx
n
= a hoặc x
n
→ a.
2.5.2/ Đònh lý: Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.
2.6/ Lân cận:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), x
0
∈ X, ε > 0.
² Tập S(x
0
, ε ) = {x ∈ X : d(x, x
0
) < ε }được gọi là hình cầu mở tâm x
0

bán kính ε.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


3
² Tập S[x
0
, ε] = {x ∈ X : d(x, x
0

) ≤ ε }được gọi là hình cầu đóng tâm
x
0
bán kính ε.
² Cho A ⊂ X. Tập A được gọi là một lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn
tại ε > 0 sao cho S(x, ε) ⊂ A.
2.7/ Các loại điểm:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), x ∈ X, A ⊂ X.
² x được gọi là điểm trong của tập A nếu ∃ε > 0 : S(x, ε) ⊂ A.
² x được gọi là điểm dính của tập A nếu ∀ε > 0 : S(x, ε) ∩ A ≠ φ.
² x được gọi là điểm giới hạn của tập A nếu tồn tại ε > 0 sao cho
S(x, ε) ∩ (A \ {x}) ≠ φ
2.8/ Tập mở, tập đóng:
2.8.1/ Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X.
² A được gọi là tập mở nếu mọi điểm x ∈ A đều là điểm trong của A.
² A được gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở.
2.8.2/ Đònh lý: x là điểm dính của tập A ⇔ tồn tại dãy {x
n
} ⊂ A thỏa
mãn x
n
→ x.
2.8.3/ Đònh lý: A là tập đóng ⇔ A chứa mọi điểm giới hạn của A.
2.8.4/ Đònh lý: (Tính chuẩn tắc của không gian)
Với mọi cặp tập hợp đóng rời nhau A và B trong không gian mêtric
(X, d) đều tồn tại cặp tập hợp mở G và H rời nhau sao cho A ⊂ G và B ⊂ H.
2.9/ Phần trong, bao đóng:
2.9.1/ Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X.
² Phần trong của tập A là tập hợp tất cả các điểm trong của A.
Ký hiệu: IntA.

² Tập đóng bé nhất trong X chứa A được gọi là bao đóng của A.
Ký hiệu:
A
.
2.9.2/ Đònh lý: d(x, A) = 0 ⇔ x ∈
A
.
2.10/ Tập hợp trù mật:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X, B ⊂ X.
² Nếu B ⊂
A
thì A được gọi là trù mật trong B.
² Nếu
A
= X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X.
2.11/ Không gian đầy:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d).
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


4
² Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi ε > 0,
tồn tại N sao cho: ∀m, n > N ⇒ d(x
m
, x
n
) < ε
² Không gian mêtric X được gọi là không gian đầy nếu mọi dãy

Cauchy trong X đều hội tụ.
² Tập E ⊂ X được gọi là không gian đầy nếu không gian con (E, d
E
)
là không gian đầy.
2.12/ Ánh xạ liên tục:
2.12.1/ Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
), (Y, d
Y
) và ánh
xạ f : X → Y.
² f được gọi là liên tục tại x
0
∈ X nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X, d
X
(x, x
0
) < δ ⇒ d
Y
(f(x), f(x
0
)) < ε
² f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X.
² f được gọi là liên tục đều nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’∈ X, d
X
(x, x’) < δ ⇒ d
Y

(f(x), f(x’)) < ε
2.12.2/ Đònh lý: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
), (Y, d
Y
) và ánh xạ
f : X → Y. Khi đó f liên tục tại x
0
khi và chỉ khi:
∀{x
n
} ⊂ X, x
n
→ x
0
⇒ f(x
n
) → f(x
0
)
2.12.3/ Đònh lý: Cho ánh xạ f : X → Y.
Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
a/ f liên tục trên X.
b/ Nếu G là tập mở trong Y thì f
−1
(G) là tập hợp mở trong X.
c/ Nếu G là tập đóng trong Y thì f
−1
(G) là tập hợp mở trong X.
2.12.4/ Đònh lý: Với mọi tập hợp A ≠ φ, hàm khoảng cách d(x, A) liên

tục đều.
2.12.5/ Đònh lý: Giới hạn của một dãy ánh xạ liên tục hội tụ đều là
một ánh xạ liên tục.
2.12.6/ Đònh lý: Cho {X
i
}
i
là các không gian mêtric và ánh xạ
f : T →
∏
∞
=
1
i
i
X xác đònh trên không gian T. Đặt f(t)= (x
1
(t), x
2
(t),… , x
i
(t),… ) thì
x
m
là ánh xạ từ T tới X
m
. Khi đó điều kiện cần và đủ để ánh xạ f liên tục là các
ánh xạ x
m
liên tục với mọi m = 1, 2,…

2.13/ Ánh xạ đồng phôi:
Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
), (Y, d
Y
). Nếu ánh xạ
f : X → Y là một song ánh, f liên tục và f
−1
liên tục thì f được gọi là một phép
đồng phôi từ X vào Y.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


5
Khi đó các không gian X và Y được gọi là đồng phôi với nhau
2.14/ Ánh xạ k − Lipsit:
Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
), (Y, d
Y
).
Ánh xạ f : X → Y được gọi là ánh xạ k − Lipsit nếu:
∀x, x’ ∈ X , d
X
(x, x’) < δ ⇒ d
Y
(f(x), f(x’)) < k.d
X
(x, x’).
2.15/ Tập bò chặn:

Đònh nghóa: Cho M ⊂ (X, d).
M được gọi là bò chặn nếu tồn tại S(x, ε) ⊃ M.
3/ Không gian tôpô:
3.1/ Không gian tôpô:
Đònh nghóa: Cho một tập hợp X ≠ φ . Họ τ các tập con nào đó của X
được gọi là một tôpô trên X nếu:
i/ φ ∈ τ, X ∈ τ.
ii/ {G
α
}
α∈ I
⊂ τ ⇒
Υ
τ∈α
α
G
∈ τ.
iii/ ∀G
1
,

G
2
∈ τ ⇒ G
1
∩

G
2
∈ τ.

Tập hợp X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô.
Ký hiệu: (X, τ).
² Họ τ = {φ, X} là một tôpô trên X. (X, τ) được gọi là không gian
tôpô thô.
² Họ τ = {A | A ⊂ X} là một tôpô trên X. (X, τ) được gọi là không
gian tôpô rời rạc.
3.2/ So sánh các tôpô:
Đònh nghóa: Cho τ
1
, τ
2
là hai tôpô trên X. Ta nói τ
1
là yếu (nhỏ, thô)
hơn τ
2
, hay nói cách khác τ
2
là mạnh (lớn, mòn) hơn τ
1
nếu τ
1
⊂ τ
2
.
Ký hiệu: τ
1
≤ τ
2
.

3.3/ Tập mở, tập đóng, lân cận:
3.3.1/ Đònh nghóa: Cho (X, τ) là không gian tôpô.
² Tập G ⊂ X được gọi là tập mở trong (X, τ) nếu G ∈ τ.
² Tập F ⊂ X được gọi là tập đóng trong (X, τ) nếu X\F ∈ τ.
² Cho A ⊂ X và V ⊂ X. V được gọi là một lân cận của tập hợp A nếu
tồn tại G ∈ τ : A ⊂ G ⊂ V. Nếu A = {x} thì V được gọi là một lân cận của điểm
x. Nếu V là tập mở thì V là lân cận mở của A.
² Họ tất cả các lân cận của x trong (X, τ) được gọi là hệ lân cận của
x.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


6
Ký hiệu: V
x
.
3.3.2/ Đònh lý: G là tập mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm
thuộc G.
3.4/ Các loại điểm, phần trong, bao đóng:
3.4.1/ Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), x ∈ X, A ⊂ X.
² x được gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại G ∈ τ : x ∈ G ⊂ A.
² x được gọi là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại G ∈ τ : x ∈ G ⊂ X\A.
² x được gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi V ∈ V
x
⇒ V ∩ A ≠ φ
và V ∩ (X\A) ≠ φ.
² Phần trong của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểm trong của A.
Ký hiệu: intA.
² Tập đóng bé nhất trong X chứa A được gọi là bao đóng của A.
Ký hiệu:

A
.
3.4.2/ Đònh lý: Cho (X, τ), A ⊂ X, x ∈ X
a/ intA là tập mở lớn nhất chứa trong A.
b/ x ∈
A
⇔ x là điểm dính của A.
3.5/ Tập hợp trù mật:
Đònh nghóa: Cho (X, τ), A ⊂ X, B ⊂ X.
² Nếu B ⊂
A
thì A được gọi là trù mật trong B.
² Nếu
A
= X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X.
3.6/ Cơ sở tôpô:
Đònh nghóa: Cho (X, τ). Họ B ⊂ τ được gọi là một cơ sở tôpô của X nếu
như với mọi x ∈ X, và mọi V ∈ V
x
đều tồn tại B ∈ B : x ∈ B ⊂ V.
Cơ sở tôpô B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được (hay
không quá đếm được) những tập mở.
3.7/ Cái phủ:
Đònh nghóa: Họ U các tập hợp nào đó được gọi là một cái phủ của tập
B nếu hợp tất cả các tập thuộc U chứa B.
Nếu tất cả các tập thuộc U là mở (đóng) thì U được gọi là một phủ
mở (đóng) của tập B.
3.8/ Ánh xạ liên tục:
3.8.1/ Đònh nghóa: Cho hai không gian tôpô (X, τ
X

), (Y, τ
Y
) và ánh xạ
f : X → Y.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


7
² f được gọi là liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi lân cận W của f(x
0
)
(trong Y) đều tồn tại một lân cận V của x
0
(trong X) sao cho f(V) ⊂ W.
² f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X.
3.8.2/ Đònh lý: Cho hai không gian tôpô (X, τ
X
), (Y, τ
Y
) và ánh xạ
f : X → Y. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
a/ f liên tục.
b/ Nếu G là tập mở trong Y thì f
−1
(G) là tập hợp mở trong X.
c/ Nếu G là tập đóng trong Y thì f
−1
(G) là tập hợp mở trong X.

d/ Với mọi tập hợp A ⊂ X ta đều có: f(
A
) ⊂ )A(f .
3.8.3/ Đònh lý: Cho ba không gian tôpô (X, τ
X
), (Y, τ
Y
), (Z, τ
Z
) và hai
ánh xạ liên tục f : X → Y, g : Y → Z. Khi đó ánh xạ tích h = g o f : X → Z là ánh
xạ liên tục.
3.9/ Ánh xạ đồng phôi:
Đònh nghóa: Cho hai không gian tôpô (X, d
X
), (Y, d
Y
). Ánh xạ
f : X → Y được gọi là một phép đồng phôi từ X vào Y nếu f là một song ánh, f
liên tục và f
−1
liên tục. Khi đó các không gian X và Y được gọi là đồng phôi với
nhau
3.10/ Các tiên đề tách:
Đònh nghóa:
² Không gian tôpô X được gọi là T
0
− không gian (không gian
Komogorov) nếu với mọi cặp điểm khác nhau của không gian luôn tồn tại lân
cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia.

² Không gian tôpô X được gọi là T
1
− không gian (không gian
Frechet) nếu với mọi cặp điểm x, y khác nhau của không gian luôn tồn tại một
lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x.
² Không gian tôpô X được gọi là T
2
− không gian (không gian
Housdorff, không gian tách) nếu với mọi cặp điểm bất kì khác nhau của không
gian luôn có các lân cận rời nhau.
² Không gian tôpô X được gọi là không gian chính qui nếu với mỗi
điểm x thuộc X và mỗi tập đóng F không chứa x luôn tồn tại lân cận U của x và
lân cận V của F sao cho U ∩ V = φ.
Nếu X là không gian chính qui và X là T
1
− không gian thì X được gọi
là T
3
− không gian.
² Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu với hai
tập đóng bất kì A, B rời nhau trong X luôn tồn tại tập U mở chứa A và tập V mở
chứa B sao cho U ∩ V = φ.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


8
Nếu X là không gian chuẩn tắc và X là T
1
− không gian thì X được gọi
là T

4
− không gian.
3.11/ Không gian compact:
3.11.1/ Đònh nghóa: Cho không gian tôpô (X, τ) và A ⊂ X
² X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều tồn
tại phủ con hữu hạn.
² A được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ
con hữu hạn.
3.11.2/ Đònh lý: Mỗi tập con đóng của không gian compact đều là
compact.
3.12/ Không gian compact đòa phương:
Đònh nghóa: Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian compact
đòa phương nếu mỗi x thuộc X đều tồn tại một lân cận đóng và compact.
3.13/ Không gian liên thông:
Đònh nghóa: Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian liên thông
nếu chỉ có φ và X là hai tập vừa đóng vừa mở trong X.
4/ Không gian đònh chuẩn:
4.1/ Không gian tôpô tuyến tính:
4.1.1/ Đònh nghóa: Tập X được gọi là một không gian tôpô tuyến tính
trên trường số thực R hoặc trên trường số phức C, nếu:
i/ X là một không gian tuyến tính,
ii/ X là một không gian tôpô (với tôpô
τ
),
iii/ Với tôpô τ, phép cộng và phép nhân với một số của trường R hoặc
C là liên tục.
Từ đây ta ký hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức C.
4.1.2/ Đònh lý: Với mỗi
0
x

∈ X, phép tònh tiến:
f(x) = x + x
0

là một phép đồng phôi của X lên chính nó. Đặc biệt nếu U là một cơ sở lân cận
của gốc, thì U + x
0
là cơ sở lân cận của x
0
.
4.1.3/
Đònh nghóa
:
Giả sử A là một tập con của không gian tuyến tính X.

i/ A được gọi là lồi nếu
1
:
0
,
,
A
y
,
A
x
=
µ
+
λ

≥
µ
λ
∀
∈
∀
∈
∀
, ta đều có
A
y
x
∈
µ
+
λ
.
ii/ A được gọi là cân nếu ,1:,Ax
≤
λ
λ
∀
∈
∀
ta đều có
A
x
∈
λ
,

iii/ A được gọi là tuyệt đối lồi nếu A là lồi và cân,
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


9
iiii/ A được gọi là hút nếu
(
)
λ
≥
µ
µ
∀
µ
∈
>
λ
∃
∈
∀
:
A
x
cho
sao
0
,
X
x

Nhận xét:
A tuyệt đối lồi ⇔ với mọi x, y ∈ A và λ, µ ∈ K,
1




≤
µ
+
λ
, ta có
A
y
x
∈
µ
+
λ
.
4.1.4/ Đònh nghóa:
a/ Bao lồi của tập A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính (hữu hạn)
.
A
x
,
1
,
0
với

x
i
i
ii
i
ii
∈
=
λ
≥
λ
λ
∑
∑

b/ Bao tuyệt đối lồi của A là tất cả các tổ hợp tuyến tính (hữu hạn)
.
A
x
,
1
với
x
i
i
i
i
ii
∈
≤

λ
λ
∑
∑

4.1.5/ Đònh lý: Giả sử A
≠
0, tuyệt đối lồi. Khi đó:
Ø 0
∈
A,
Ø
A
A
µ
⊂
λ
⇒
µ
≤
λ
,
Ø
()
()
AA
i
n
1i
i

∑∑
λ=λ
=
(∀ λ
i
∈ K).
4.1.6/ Đònh lý: Giả sử U là một cơ sở của gốc trong không gian tôpô
tuyến tính X. Khi đó với mỗi U
∈
U , ta có:
i/ U là hút.
ii/
∈
∃
V
U
U
V
V
:
⊂
+
.
iii/ Tồn tại một lân cận
⊂

W
U.
4.1.7/ Đònh nghóa: Một không gian tôpô tuyến tính X được gọi là một
không gian lồi đòa phương nếu X có một cơ sở gồm các lân cận lồi của điểm

gốc.
4.1.8/ Đònh nghóa: Một sơ chuẩn trên không gian tuyến tính X là một
ánh xạ p : X
→
R thỏa mãn :
i/ p(
α
x) =
α
p(x)
(
)
0
,
X
x
>
α
∀
∈
∀
,
ii/ p(x+ y)
≤
p(x) + p(y)
(
)
X
y
,

x
∈
∀
.
4.1.9/ Đònh nghóa: Một nửa chuẩn trên không gian tuyến tính X là một
ánh xạ p : X
→
R thỏa mãn :
i/ p(
α
x) =
α
p(x)
(
)
K
,
X
x
∈
α
∀
∈
∀
,
ii/ p(x + y)
≤
p(x) + p(y)
(
)

X
y
,
x
∈
∀
.
4.1.10/ Đònh lý: Giả sử p và q là các nửa chuẩn trên X thỏa mãn điều
kiện “
)
X
x
(
)
x
(
p
)
x
(
q

đó
Khi

".
1
)
x
(

q
1
)
x
(
p
∈
∀
≤
≤
⇒
≤

4.1.11/ Đònh lý:
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


10
a/ Giả sử p là một nửa chuẩn trên X. Khi đó, với mọi
α
> 0, các tập
hợp {x : p(x) <
α
} và {x : p(x)
α
≤
} là tuyệt đối lồi và hút.
b/ Với mỗi tập A tuyệt đối lồi và hút, đều tương ứng với nửa chuẩn p
được xác đònh bởi:
p(x) = inf

{
}
A
x
,
0
:
λ
∈
>
λ
λ

và đồng thời
{
}
{
}
.
1
)
x
(
p
:
x
A
1
)
x

(
p
:
x
≤
⊂
⊂
<

4.1.12/ Đònh nghóa:

Nửa chuẩn p xác đònh bởi p(x) = inf
{
}
A
x
,
0
:
λ
∈
>
λ
λ
,
tương ứng với tập tuyệt đối lồi và hút A được gọi là hàm cỡ hoặc phiếm hàm
Minkowski của tập A.
4.1.13/ Đònh lý:
a/ Giả sử p là một nửa chuẩn trên không gian lồi đòa phương X. Khi đó
p liên tục ⇔ p liên tục tại 0.

b/ Giả sử p là hàm cỡ của tập tuyệt đối lồi và hút U. Khi đó:
p liên tục trên X ⇔ U là một lân cận của 0.
Đồng thời,
intU = {x : p(x) < 1 },

U
= {x : p(x)
≤
1 },
4.2/ Không gian đònh chuẩn:
4.2.1/ Đònh nghóa: Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường
số thực hay phức K, p là một nửa chuẩn xác đònh trên X. Nếu p thỏa mãn thêm
điều kiện:
p(x) = 0 ⇒ x = 0,
thì p được gọi là một chuẩn xác đònh trên X. Khi đó, ta ký hiệu
x
thay cho
p(x). Như vậy, một chuẩn
.
thỏa mãn ba điều kiện:

(
)
()
()
Xy,xyxyx /iii
;K,Xxxx/ii
;0x 0x
;
X

x
0
x
/
i
∈∀+=≤+
∈λ∀∈∀λ=λ
=⇔=
∈
∀
≥

4.2.2/ Đònh nghóa: Không gian tuyến tính thực (hay phức) cùng với một
chuẩn xác đònh trên X được gọi là một không gian đònh chuẩn thực (hay phức).
Chú ý: Không gian đònh chuẩn là không gian lồi đòa phương và tách.
4.2.3/ Đònh nghóa: Giả sử X là một không gian đònh chuẩn. Với mọi
x, y
∈
X, ta đặt:
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


11
)
y
,
x
(
d
=

y
x
−
,
thì d là một khoảng cách trong X. Vì vậy, một không gian đònh chuẩn cũng là
một không gian mêtric, và do đó lý thuyết các không gian mêtric áp dụng được
cho các không gian đònh chuẩn.
4.2.4/ Đònh nghóa: Dãy {x
n
} trong không gian đònh chuẩn X được gọi là
hội tụ đến x
0

∈
X, nếu:
;
0
x
x
lim
0n
=
−

Ký hiệu:
0n
0
n
xxlimhoặcxx =→ .
4.2.5/ Đònh nghóa: Dãy {x

n
} trong không gian đònh chuẩn X được gọi là
dãy Cauchy, nếu
∞→n,m
lim
.
0
x
x
mn
=
−

4.2.6/ Đònh nghóa:
² Chuẩn
1
.
được gọi là mạnh hơn chuẩn
nếu
.
2
τ
1
≥ τ
2
.
² Các chuẩn
1

.

và
2

.
được gọi là tương đương với nhau, nếu τ
1
= τ
2
4.2.7/ Đònh lý: Giả sử X là một không gian tuyến tính đònh chuẩn, A là
một tập lồi mở chứa điểm O, p là phiếm hàm Minkowski của tập A. Khi đó:
A =
{
}
.
1
)
x
(
p
:
X

x
<
∈

4.3/ Toán tử tuyến tính:
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường số K,
ánh xạ A : X → Y.
4.3.1/ Đònh nghóa: A được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử

tuyến tính, hay gọi tắt là toán tử, nếu với mọi
,
K
,
,
Y
y
,
X
x
∈
β
α
∀
∈
∈
ta có:
.
Ay
Ax
)
y
x
(
A
β
+
α
=
β

+
α

² Toán tử f : X → K được gọi là phiếm hàm tuyến tính trên X.
4.3.2/ Đònh nghóa: Giả sử A : X
→
Y là toán tử tuyến tính.
i/ Hạt nhân của A là tập hợp :
KerA = A
−1
(0) = {x
∈
X : Ax = 0},
ii/ Ảnh của A là tập hợp:
imA = A(X) = {y
∈
Y : y = Ax, x
∈
X}.
4.3.3/ Đònh nghóa: Toán tử tuyến tính A : X
→
Y được gọi là một đẳng
cấu tuyến tính của X lên Y, nếu KerA = {0} và imA = Y.
4.3.4/ Đònh nghóa:
² Tập hợp A được gọi là một đa tạp tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ A
ta có αx + (− α)y ∈ A.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


12

² Cho không gian đònh chuẩn X và một phiếm hàm tuyến tính f ≠ 0
trên X, c là số thực tùy ý . Khi đó đa tạp tuyến tính {x : f(x) = c} được gọi là
một siêu phẳng trong X.
4.3.5/ Đònh lý: Nếu một đa tạp tuyến tính V trong một không gian đònh
chuẩn thực X mà không cắt tập hợp lồi mở D thì có một siêu phẳng đóng chứa
V mà không cắt D.
4.4/ Toán tử tuyến tính liên tục:
4.4.1/ Đònh nghóa: Toán tử tuyến tính A : X
→
Y được gọi là bò chặn.
nếu tồn tại M > 0 sao cho:
x
M


Ax
≤
với mọi x ∈ X. Số M nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện trên được gọi là chuẩn của A. Ký hiệu: ||A||.
4.4.2/ Đònh lý: Các mệnh đề sau đây tương đương :
i/ A liên tục (tức là A liên tục tại mọi điểm của X),
ii/ A liên tục tại mọi điểm x
o
∈
X,
iii/ A liên tục tại 0,
iiii/ A bò chặn.
4.5/ Không gian liên hợp:
Đònh nghóa:
² Không gian L(X, K) tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác

đònh trên X được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của X.
Ký hiệu: X
*
.
² Không gian liên hợp của X* được gọi là không gian liên hợp thứ
hai của X, ký hiệu là X
**
. Không gian liên hợp của X** được gọi là không gian
liên hợp thứ ba của X, ký hiệu là X
***
…
4.6/ Toán tử ngược:
Ta chú ý: Nếu X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một
trường số K, A : X
→
Y là một song ánh tuyến tính, thì tồn tại ánh xạ ngược
A
−1
: Y
→
X và A
−1
cũng là một toán tử tuyến tính.
² Nếu X, Y là các không gian đònh chuẩn và A : X
→
Y là song ánh
tuyến tính liên tục từ X lên Y, thì tồn tại toán tử tuyến tính A
−1
, nhưng A
−1

có
thể không liên tục.
4.6.1/ Đònh nghóa:
Giả sử A là một toán tử tuyến tính liên tục từ không
gian đònh chuẩn X lên không gian đònh chuẩn Y và ánh xạ ngược A
−
1
liên tục. Khi
đó, ta nói A
−
1 là toán tử ngược của A. Đồng thời, A được gọi là phép đồng phôi
tuyến tính X lên Y và X, Y gọi là hai không gian đồng phôi tuyến tính với nhau.

Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


13
4.6.2/ Đònh nghóa: Giả sử X và Y là các không gian đònh chuẩn và toàn
ánh ϕ : X → Y thỏa mãn:
ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) (∀ x, y ∈ X; ∀ α, β ∈ K)
||ϕ (x)|| = ||x|| (∀ x ∈ X)
Khi đó ϕ là một song ánh tuyến tính, được gọi là môït phép đẳng cấu
tuyến tính từ X đến Y, và X, Y được gọi là hai không gian đònh chuẩn đẳng cấu
với nhau.
4.6.3/ Đònh lý: Nếu X là không gian đònh chuẩn n chiều thì
² X là không gian Banach.
² X* là không gian đònh chuẩn n chiều đồng phôi tuyến tính với X.
4.6.4/ Đònh lý: Hai không gian đònh chuẩn đồng phôi tuyến tính có thể
đồng nhất với nhau.
4.7/ Không gian Hilbert:

4.7.1/ Đònh nghóa: Không gian tuyến tính X xác đònh trên trường số K
(K = R hoặc C) được gọi là không gian tiền Hilbert nếu với mọi x, y ∈ K, xác
đònh một số (x, y) thỏa mãn các tiên đề sau:
i/ (x, x) ≥ 0 (∀ x ∈ X)
(x, x) = 0 ⇔ x = 0
ii/ (x, y) =
x) ,y(
(∀ x,y ∈ X)
iii/ (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (∀ x,y, z ∈ X, ∀λ, µ ∈ K)
4.7.2/ Đònh lý: Không gian tiền Hilbert là không gian tuyến tính đònh
chuẩn với chuẩn x) ,x( .
4.7.3/ Đònh nghóa: Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert.
4.7.4/ Đònh nghóa:
² Hai vectơ x, y ∈ X được gọi là trực giao nếu (x, y) = 0.
Ký hiệu: x ⊥ y
² Hệ S ⊂ X được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ của S trực giao
với nhau từng đôi một
4.7.5/ Đònh lý: (Riesz)
Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert X.
Khi đó tồn tại x
0
∈ X sao cho:
f(x) = (x, x
0
) (x ∈ X)
Phần tử x
0
được xác đònh duy nhất và
0

x
=
f
.

Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


14
Chương 1
THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC
TRONG GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN

1/ Thác triển hàm số liên tục:
Giả sử f là một hàm số liên tục trên X, và A ⊂ X. Hiển nhiên hàm số f
A

thu hẹp của f lên A là liên tục.
Ta đặt bài toán ngược lại: Cho A ⊂ X và hàm số h liên tục trên A. Tồn tại
hay không hàm số f xác đònh trên X sao cho h = f
A
? Nếu tồn tại hàm số f như
vậy thì f được gọi là thác triển của h trên X, ngoài ra nếu f liên tục thì f được
gọi là thác triển liên tục của h trên X.
Ví dụ 1.1: Xét hai hàm số f : R → R
x
α
f(x) =
x

và h : R
+
→ R
x
α
f(x) =
x

thì rõ ràng h = f
R
+
.
Ví dụ sau đây sẽ chứng tỏ không phải mọi ánh xạ liên tục trên một không
gian con đều thác triển liên tục được:
Ví dụ 1.2: Cho A = (0, 1] ⊂ X = [0, 1] và các ánh xạ liên tục
f : (0, 1] → R g : (0, 1] → R
x
α
f(x) = 1 / x x
α
g(x) = sin(1 / x)
ta thấy không thể thác triển liên tục f và g trên toàn bộ đoạn [0, 1]. *
Trong một trường hợp khác bài toán thác triển cũng không có lời giải:
Đònh lý 1.3: Nếu hàm số f(x) liên tục nhưng không liên tục đều trên tập bò
chặn E ⊂ R thì hàm số này không thể thác triển liên tục trên R.
Chứng minh
Giả sử f được thác triển trên R thì nó cũng được thác triển trên
E
, lúc đó
thác triển của f sẽ liên tục đều trên

E
và do đó cũng liên tục đều trên E ⊂
E

(trái giả thiết).
Như vậy: Một hàm số không liên tục đều trên tập bò chặn E ⊂ R thì không
thể thác triển liên tục trên R. *
Để bài toán thác triển có lời giải, cần phải đặt một số điều kiện đối với
hàm số ban đầu:
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


15
Đònh lý 1.3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đều trên tập bò chặn E ⊂ R thì
có thể thác triển liên tục trên R.
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh hàm số f(x) có thể thác triển liên tục trên bao
đóng
E
của tập E.
Giả sử x
0
∈
E
\ E. Do f liên tục đều trên E, nên ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho
∀x, x’ ∈ E, | x−x’| < δ ta có | f(x) − f(x’) | < ε .
Ta chứng minh f(x) có giới hạn khi x → x
0
.
Cho {x

k
} ⊂ E, x
k
→ x
0
. Xét dãy {f(x
k
)}, dãy này là dãy Cauchy trong R vì
0
xx
lim
→
| f(x) − f(x
0
) | = 0. Suy ra {f(x
k
)} có giới hạn và giới hạn này không phụ
thuộc cách chọn dãy {x
k
} hội tụ đến x
0
.
Đặt
)
x
(
f
0
=
0

lim
xx→
)
x
(
f
khi đó hàm số liên tục x
0
.
Như vậy hàm số f(x) được thác triển liên tục trên
E
. Để thác triển liên
tục hàm số này trên R ta cần thác triển tuyến tính nó trên mọi khoảng kề.
Nếu khoảng kề (α, β) hữu hạn:
Đặt:
f
(x) = f(α) +
α−β
α
−
x
(f(β) − f(α)) với mọi x ∈ (α, β)
Nếu khoảng kề (α, β) vô hạn (chẳng hạn (α , + ∞)):
Đặt:
f
(x) = f(α)
Dễ thấy hàm số
f
xác đònh, liên tục khắp nơi trên (− ∞, + ∞) và
f

E
= f,
suy ra
f
là thác triển liên tục của f trên R. *
2/ Thác triển đồng thời các hàm số liên tục:
Giả sử ta đã có thác triển
f
,
g
của hai hàm số f và g, trong một miền nào
đó ta lại có
f
=
g
. Như vậy thác triển một hàm số dẫn tới khái niệm thác triển
đồng thời nhiều hàm số.
Vấn đề 2.1: Cho E, F là hai tập đóng không giao nhau trên R, f : E → R,
g : F → R là hai hàm số liên tục trên R. Ta xây dựng hàm số
f
liên tục, vừa là
thác triển của f vừa là thác triển của g.
Vì E, F là hai tập hợp đóng, E
∩
F = φ nên E, F không có điểm dính
chung, suy ra d(x, F) + d(x, E) ≠ 0
Đặt
)E,x(d)F,x(d
)
E

,
x
(
d
)
x
(
g
)
F
,
x
(
d
)
x
(
f
)x(f
+
+
=
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


16
Khi đó:
f
(x) = g(x) với x
∈

F
f
(x) = f(x) với x
∈
E
Vì f, g, d liên tục nên
f
liên tục.
Vậy
f
là thác triển liên tục đồng thời của f và g. *
Đònh lý 2.2: Trên R cho trước một họ đếm được các tập đóng đôi một
không giao nhau
k
E
, trong đó
1
E
chứa các điểm dính của
Υ
1k
k
E
≠
,
k
f
:
k
E

→ R
(k = 1, , n) là các hàm số liên tục khác 0 và
∑
∞
=1k
k
f là chuỗi hội tụ tuyệt đối .
Khi đó không tồn tại hàm số
f
là thác triển đồng thời của các
k
f
.
Chứng minh
Giả sử tồn tại hàm số
f
sao cho
f
(x) =
k
f
(x)
∀
x
∈

k
E
, k
∈

N*.
Gọi x
0
∈ E
1
là điểm dính của
Υ
1i
i
E
≠
. Khi đó
f
(x
0
) = f
1
(x
0
) và trong lân cận
bất kì của điểm x
0
tìm được các điểm thuộc E
1
với các chỉ số i lớn tùy ý. Suy ra
trong lân cận này tìm được các điểm mà tại đây
f
(x) đủ bé (vì f
i
→ 0 khi

i → ∞), nhưng trong lúc đó trong lân cận bất kì của x
0
hàm số
f
(x) sai khác
|f
1
(x)| không đáng kể, điều này chứng tỏ hàm số
f
(x) gián đoạn tại x
0
∈ E
1
, suy
ra f
1
gián đoạn tại x
0
(vô lý).
Như vậy không tồn tại
f
là thác triển của mọi f
k
. *

Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


17
BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài 1: Trên R cho n tập đóng đôi một rời nhau E
1
, E
2
, … , E
n
và f
k
: E
k
→ R
là các hàm số liên tục (k = 1, , n). Hãy xây dựng hàm số
f
liên tục trên R là

thác triển đồng thời của các f
k
.
Giải
Theo giả thiết ta có
k
E

∩
(
Υ
ki
i
E
≠
) = φ ∀k = 1, , n.
Suy ra
d(x, E
k
) + d(x,
Υ
ki
i
E
≠
) ≠ 0 ∀x ∈ R
Đặt:
Υ
Υ
k

i
ik
ki
i
n
1k
k
)E,x(d)E,x(d
)
E
,
x
(
d
)x(f)x(f
≠
≠
=
+
=
∑
(x ∈ R)
Khi đó:
f
(x) =
k
f
(x) với mọi k = 1, … , n.
k
E |

f
=
k
f
.
Vì
k
f
, d liên tục với mọi k = 1, … , n nên
f
liên tục.
Vậy
f
là thác triển liên tục đồng thời của các
k
f
. *
Bài 2: Trên R cho trước một họ đếm được các tập đóng đôi một không
giao nhau
k
E
, trong đó mỗi tập không chứa điểm dính của hợp các tập còn lại.
k
f
:
k
E
→ R là các hàm số liên tục thỏa điều kiện chuỗi
∑
∞

=1k
k
f hội tụ tuyệt đối.
Hãy xây dựng hàm số
f
liên tục trên R sao cho
f
là thác triển đồng thời của
các
k
f
(k = 1, … , n, ).
Giải
Đặt:

f
(x) =
Υ
Υ
k
i
ik
ki
i
1k
k
)E,x(p)E,x(p
)
E
,

x
(
p
)x(f
≠
≠
∞
=
+
∑
(x ∈ R) *
Bài 3: Cho f là một hàm số liên tục trên R
+
. Giả sử f(x) có một giới hạn
hữu hạn l khi x dần ra + ∞. Khi đó:
(1) f bò chặn.
(2) f đạt được ít nhất một trong các cận của nó.
Giải
(1) Với mọi ε > 0 tùy ý, ∃ x
0
> 0 sao cho: ∀ x ≥ x
0
⇒ | f(x) – l | ≤ ε.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


18
Vì f
[0,x
0

]
bò chặn nên tồn tại M
0
sao cho với mọi x
0
∈ [0, x
0
] ta có
| f(x) | ≤ M
0
.
Vậy với mọi x ∈ R
+
ta có: | f(x) | ≤ sup( M
0
, ε + l ), tức là f bò chặn trên R
+
.
(2) Giả sử ϕ là hàm số tăng nghiêm ngặt, bò chặn và liên tục từ [0, 1) vào
R
+
. Khi đó hàm hợp F = f o

ϕ liên tục trên [0, 1) và tiến đến b khi x → 1. Ta
thác triển F thành hàm liên tục trên [0, 1] bằng cách đặt F(1)= b.
Ta có: [0, 1] là compact nên F đạt được các cận của nó. Vì các cận ( khác
b ) của f bằng các cận của F nên ta suy ra đpcm. *
Nhận xét:
Nếu f là một hàm số liên tục trên khoảng (a, +∞) sao cho f(x) dần ra
+ ∞ khi x tiến đến + ∞ thì f bò chặn dưới và đạt được cận dưới.

Bài 4: Cho f là một hàm số liên tục trên đoạn I = [a, b] với f(a) ≠ f(b).
Chứng minh rằng, với mọi số thực r nằm giữa f(a) và f(b) đều tồn tại một số
thực c với a < c < b sao cho f(c) = r.
Chứng minh
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f(a) < f(b).
Giả sử tồn tại r sao cho:
f(a) < r < f(b) và f
−1
(r) = φ.
Ta thác triển f : I → R thành g : R → R bằng cách đặt
f(a) nếu x ≤ a
g(x) = f(x) nếu a ≤ x ≤ b
f(b) nếu x ≥ b
Vì f liên tục ⇒ g liên tục.
Hơn nữa ta có: g
−1
(r) = f
−1
(r) = φ
Mà U = (− ∞, r), V = (r, + ∞) là các tập con mở của R nên g
−1
(U) và
g
−1
(V) cũng là các tập mở của R.
Vì g
−1
(r) = φ nên ta có g
−1
(U) = R \ g

−1
(V), suy ra g
−1
(U) đóng.
Do a∈ g
−1
(U) nên g
−1
(U) ≠ φ
Mặt khác b ∉ g
−1
(U) nên g
−1
(U) ⊂ R và g
−1
(U) ≠ R
Như vậy g
−1
(U) là tập con thực sự của R, vừa mở vừa đóng. Điều này vô
lý vì R chỉ có 2 tập con vừa mở vừa đóng là R và φ.
*





Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


19

Chương 2
THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

§1. THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC

Vì R là một không gian mêtric với khoảng cách thông thường nên một số
đònh lý đã phát biểu ở chương 1 có thể tổng quát cho không gian mêtric. Nói
chung, trong không gian mêtric, để bài toán thác triển có lời giải, cần phải đặt
một số điều kiện đối với hoặc không gian con A ⊂ X, hoặc ánh xạ h, và đôi khi
cả với không gian Y.
Dưới đây cho ta một kết quả đơn giản, cần dùng cho bài toán thác triển:
Đònh lý 1.7: Giả sử f và g là 2 ánh xạ liên tục từ không gian mêtric X vào
không gian mêtric Y. Khi đó tập hợp
A = { x ∈ X : f(x) = g(x) }
là đóng trong X.
Chứng minh
Giả sử x
0
là điểm dính của A, suy ra tồn tại dãy {x
n
} ⊂ A, limx
n
= x
0
Ta có: limf(x
n
) = limg(x
n

), do đó f(x
0
) = g(x
0
)
Như vậy x
0
∈ A, chứng tỏ A là tập đóng. *
Hệ quả 1.7.1: Cho f và g là hai ánh xạ liên tục từ không gian mêtric X
vào không gian mêtric Y. Nếu D là tập con trù mật của X và f(x) = g(x) ∀x ∈ D
thì f = g.
Chứng minh
Đặt A = { x ∈ X : f(x) = g(x) }
Ta có: D ⊂ A ⊂ X
⇒
D
⊂
A
⊂ X ⇒ X ⊂ A ⊂ X ⇒ X = A
⇒ f(x) = g(x) ∀ x ∈ X. *
Đònh lý 1.8: Cho A trù mật trong không gian mêtric X, f là một ánh xạ
liên tục từ A vào trong không gian mêtric Y. Điều kiện cần và đủ để tồn tại một
ánh xạ liên tục
f
: X → Y là thác triển của f trên X, là với mọi x ∈ X, tồn tại
giới hạn
)
z
(
f

lim
Az;xz ∈→
trong Y.
Khi đó ánh xạ
f
là duy nhất.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích


20
Chứng minh
a/ Điều kiện cần:
Giả sử
f
tồn tại.
Vì
A
= X nên với mọi x ∈ X, tồn tại (z
n
) ⊂ A sao cho z
n
→ x.
Vì
f
liên tục và
f
= f trên A nên
f
(x) = )z(flim
n

x z
n
→
=
)
z
(
f
lim
n
x z
n
→
.
b/ Điều kiện đủ:
Giả sử giới hạn
)
z
(
f
lim
Az;xz ∈→
tồn tại với mọi x ∈ X.
Ta xác đònh
f
: X → Y
x
α
f
(x) =

)
z
(
f
lim
Az;xz ∈→

Khi đó, nếu x ∈ A thì
f
(x) = f(x), vậy
f
là thác triển của f.
Ta chứng minh
f
liên tục.
Giả sử x ∈ X và dãy (x
n
) ⊂ X, x
n
→ x.
Theo đònh nghóa của f, ta có:
f
(x
n
) =
)
z
(
f
lim

A z ;x z
n
∈→

do đó tồn tại z
n
∈ A sao cho:
d(z
n
, x
n
) <
n
1
và d(
f
(x
n
), f(z
n
)) <
n
1

Vì
d(z
n
, x) ≤ d(z
n
, x

n
) + d(
n
x
, x) <
n
1
+ d(
n
x
, x)
nên
n
z
→ x.
Mà
n
z
∈ A, nên theo đònh nghóa của
f
ta có:
f
(x) =
)
z
(
f
lim
n
xz

n
→

do đó
d(
f
(x),
f
(
n
x
)) ≤ d(
f
(x), f(
n
z
)) + d(f(
n
z
),
f
(
n
x
)) < d(
f
(x), f(
n
z
)) +

n
1

chứng tỏ
f
(
n
x
) →
f
(x).
Như vậy ánh xạ
f
liên tục.
Vì A là trù mật trong X, nên theo hệ quả 1.7.1, nếu
f
tồn tại thì
f
là duy
nhất. *
Nhận xét: Một số các hàm liên tục trên R có thể xem là thác triển của
các hàm liên tục liên tục trên tập số hữu tỷ Q trù mật trong R, ví dụ như hàm số
mũ thực là thác triển liên tục của hàm số mũ hữu tỷ.