Tải bản đầy đủ (.pdf) (97 trang)

phân phối nhiều chiều liên tục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (714.93 KB, 97 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM





Luận văn Tốt nghiệp
Ngành Sư phạm Toán-Tin học

Đề tài
PHÂN PHỐI
NHIỀU CHIỀU LIÊN TỤC



Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:
Th.s Hồ Hữu Hòa Nguyễn Thị Yến Trinh
MSSV: 1050267
Lớp: Sư phạm Toán – Tin học k31



CẦN THƠ – 2009

Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 1


















































LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành Luận văn Tốt nghiệp, đề tài
Phân phối nhiều chiều liên tục, là thành quả của
cả một quá trình nổ lực nghiên cứu của bản thân
dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Hồ Hữu Hòa.
Em xin chân thành cảm ơn Thầy!
Nếu không có những kiến thức nền tảng, đặc
biệt là kiến thức về môn Giải tích, thì em không
thể thực hiện được Luận văn này. Em xin gởi lời
cảm ơn đến quý thầy cô của bộ môn Toán, khoa
Sư phạm đã giảng dạy em trong suốt bốn năm học
qua.


Cần Thơ, ngày 27 tháng 4 năm 2009

Người viết Luận văn

NguyễnThị Yến Trinh
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 2


NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN



































Giáo viên hướng dẫn


Th.s Hồ Hữu Hòa


Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 3

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN





































Giáo viên phản biện




Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 4


MỤC LỤC

MỤC LỤC 4
PHẦN MỞ ĐẦU 7
PHẦN NỘI DUNG 8
PHẦN I - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8
CHƯƠNG 1 - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 8
1.1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 8
1.2. LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN 8
1.2.1. Luật phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc 9
1.2.2. Luật phân phối xác suất của ĐLNN liên tục 9
1.3. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 10
CHƯƠNG 2 - CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 11
2.1. KỲ VỌNG CỦA ĐLNN 11
2.1.1. Định nghĩa 11

2.1.2. Tính chất 11
2.2. PHƯƠNG SAI 12
2.2.1. Định nghĩa 12
2.2.2. Công thức tính 12
2.2.3. Tính chất 12
2.3. ĐỘ LỆCH CHUẨN 13
2.4. MÔMEN 13
CHƯƠNG 3 - MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT CỦA ĐẠI
LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 14
3.1. PHÂN PHỐI ĐỀU
[
]
baR ; 14
3.2. PHÂN PHỐI MŨ
(
)
bE 15
3.3. PHÂN PHỐI CHUẨN
(
)
2
;
σµ
N 15
3.4. PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC
(
)
1;0N 16
3.5. PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG 18
CHƯƠNG 4 - HÀM CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 19

4.1. HÀM CỦA CÁC ĐLNN 19
4.2. HÀM CỦA CÁC ĐLNN RỜI RẠC 19
4.3. HÀM CỦA MỘT ĐLNN 19
4.4. HÀM TỔNG CỦA HAI ĐLNN LIÊN TỤC 20
CHƯƠNG 5 - HÀM ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 21
5.1. ĐỊNH NGHĨA 21
5.2. TÍNH CHẤT 21
5.3. BIỂU DIỄN MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC QUA HÀM ĐẶC
TRƯNG 21
5.4. HÀM ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNNN CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN 22
5.5. MỐI LIÊN QUAN GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ CÁC MÔMEN CỦA ĐLNN
LIÊN TỤC 22
5.5.1. Mối liên quan giữa hàm đặc trưng và mômen bậc k của ĐLNN liên tục 22
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 5

5.5.2. Mối liên quan giữa hàm đặc trưng và mômen trung tâm bậc k của ĐLNN liên tục 23
PHẦN II - PHÂN PHỐI NHIỀU CHIỀU LIÊN TỤC 25
CHƯƠNG 1 - VECTƠ NGẪU NHIÊN 25
1.1. KHÁI NIỆM 25
1.1.1. Vectơ ngẫu nhiên 25
1.1.2. Vectơ ngẫu nhiên tuyệt đối liên tục 25
1.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN TUYỆT ĐỐI LIÊN TỤC 25
1.2.1. Phân phối đồng thời 25
1.2.1.1. Hàm mật độ đồng thời của các đại lượng ngẫu nhiên 25
1.2.1.2. Hàm phân phối đồng thời của các đại lượng ngẫu nhiên liên tục 27
1.2.2. Phân phối biên (phân phối lề) 31
1.2.2.1. Hàm mật độ của vectơ con của vectơ ngẫu nhiên 31

1.2.2.2. Hàm mật độ lề 31
1.2.2.3. Hàm phân phối biên của vectơ ngẫu nhiên tuyệt đối liên tục 33
1.2.2.4. Các mối liên hệ của phân phối đồng thời, phân phối biên: 34
1.2.3. Phân phối có điều kiện 35
1.2.3.1. Hàm mật độ có điều kiện 35
1.2.3.2. Hàm phân phối có điều kiện 39
1.2.3.3. Mối liên hệ giữa hàm mật độ có điều kiện và hàm phân phối có điều kiện: 40
1.2.4. Xác suất hình học của vectơ ngẫu nhiên liên tục 41
1.3. TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN TUYỆT ĐỐI LIÊN TỤC 42
1.3.1. Định nghĩa 42
1.3.2. Các định lí 42
1.3.3. Các ví dụ: 43
CHƯƠNG 2 - HÀM CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 45
2.1. ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN VÀ ĐỔI BIẾN NGẪU NHIÊN 45
2.1.1. Định lí đổi biến tích phân 45
2.1.2. Định lí đổi biến ngẫu nhiên : 45
2.2. TỔNG, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 46
2.2.1. Tổng của hai đại lượng 46
2.2.2. Tích của hai đại lượng ngẫu nhiên 48
2.2.3. Thương của hai đại lượng ngẫu nhiên 49
2.2.4. Một số ví dụ về áp dụng định lí đổi biến ngẫu nhiên để tìm hàm mật độ của hàm
của các vectơ ngẫu nhiên 50
CHƯƠNG 3 - CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
TUYỆT ĐỐI 53
3.1. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG THÀNH PHẦN CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN
TỤC 53
3.1.1. Kỳ vọng thành phần của vectơ ngẫu nhiên liên tục 53
3.1.1.1. Định nghĩa 53
3.1.1.2. Tính chất 53
3.1.2. Phương sai thành phần của vectơ ngẫu nhiên liên tục : 55

3.1.2.1. Định nghĩa : 55
3.1.2.2. Tính chất : 55
3.1.3. Một số ví dụ: 57
3.2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ HÀM HỒI QUY 58
3.2.1. Định nghĩa 58
3.2.2. Định lí 59
3.3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC n CHIỀU 63
3.3.1. Vectơ giá trị trung bình 63
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 6

3.3.2. Hiệp phương sai (covarian) 63
3.3.2.1. Định nghĩa 63
3.3.2.2. Các định lí: 64
3.3.2.3. Các ví dụ: 66
3.3.3. Hệ số tương quan 68
3.3.3.1. Định nghĩa 68
3.3.3.2. Tính chất 68
3.3.3.3. Một số ví dụ: 69
3.3.4. Ma trận tương quan – ma trận tương quan chuẩn hóa 72
3.3.5. Mômen bậc k 75
3.3.5.1. Trường hợp hai chiều: 75
3.3.5.2. Trường hợp tổng quát: 77
CHƯƠNG 4 - HÀM ĐẶC TRƯNG CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 78
4.1. ĐỊNH NGHĨA 78
4.2. TÍNH CHẤT CỦA HÀM ĐẶC TRƯNG 79
4.3. BIỂU DIỄN MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN QUA HÀM ĐẶC
TRƯNG 79

4.4. MỐI LIÊN QUAN GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ CÁC MÔMEN CỦA VECTƠ
NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 79
4.5. MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC MÔMEN TRUNG TÂM
n
hhh
21
µ
CỦA VECTƠ
NGẪU NHIÊN VỚI HÀM ĐẶC TRƯNG CỦA NÓ 80
4.6. ỨNG DỤNG CÁC HÀM ĐẶC TRƯNG ĐỂ XÁC ĐỊNH LUẬT PHÂN PHỐI CỦA
HÀM CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 83
CHƯƠNG 5 - MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT 85
5.1. PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC HAI CHIỀU 85
5.1.1. Định nghĩa 85
5.1.2. Hàm mật độ lề 85
5.1.3. Hàm mật độ có điều kiện 85
5.1.4. Kỳ vọng có điều kiện 86
5.1.5. Covarian 86
5.1.6. Hệ số tương quan và điều kiện cần và đủ để X và Y độc lập 87
5.1.7. Vectơ giá trị trung bình 87
5.1.8. Ma trận hiệp phương sai 87
5.2. PHÂN BỐ CHUẨN HAI CHIỀU 88
5.2.1. Định nghĩa 88
5.2.2. Hàm mật độ lề 89
5.2.3. Hàm mật độ có điều kiện 90
5.2.4. Kỳ vọng có điều kiện 91
5.2.5. Covarian 91
5.2.6. Hệ số tương quan 93
5.2.7. Vectơ giá trị trung bình: 93
5.2.8. Ma trận hiệp phương sai 93

5.2.9. Hàm đặc trưng 93
5.2.10. Tổng của hai ĐLNN độc lập đều có phân bố chuẩn 94
PHẦN KẾT LUẬN 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO 93


Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 7


PHẦN MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán, như là một ngành khoa học
nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, đã có những phát triển vượt bậc. Nhu
cầu học tập và nghiên cứu “Xác suất và Thống kê Toán” là rất cần thiết không
chỉ đối với sinh viên chuyên ngành toán mà còn đối với sinh viên các ngành
khoa học khác. Sự cần thiết đó xuất phát từ yêu cầu ứng dụng của môn học
vào nhiều ngành khoa học và môn học khác.
Trong quá trình học tập môn “Xác suất Thống kê”, nhận thấy được tầm
quan trọng của môn học trong đời sống, em mong muốn tìm hiểu sâu hơn
môn học này. Qua môn học này, em đã được học về Đại lượng ngẫu nhiên
hay Phân phối một chiều, trong đó kiến thức cả về Đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc và liên tục đã được thầy giảng dạy rất kỹ. Từ những kiến thức cơ bản đã
học được, em đã chọn nghiên cứu đề tài là Phân phối nhiều chiều liên tục
nhằm hoàn chỉnh hơn kiến thức cho bản thân về lý thuyết Xác suất.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

+ Hệ thống lại kiến thức đã học trong môn học “Xác suất Thống kê” mà chủ
yếu là phần lý thuyết Xác suất.
+ Nghiên cứu thêm một kiến thức có liên quan: Phân phối nhiều chiều liên
tục.
+ Xây dựng hệ thống ví dụ cho trường hợp Phân phối hai chiều liên tục.

III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+ Nghiên cứu lý thuyết về Phân phối hai chiều liên tục dựa trên kiến thức về
Phân phối một chiều.
+ Phân tích và khái quát hóa từ Phân phối hai chiều liên tục lên thành n chiều
liên tục.
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 8


PHẦN NỘI DUNG

PHẦN I - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

CHƯƠNG 1 - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN
PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Cho không gian xác suất (W,F,P) trong đó F là
σ
- đại số trên W, còn P là
hàm xác suất
[

]
1;0:

FP .
Ánh xạ
R
W
X

:
được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên (hay còn gọi là biến
ngẫu nhiên).
Nếu
F
A


(
)
pAP
=

(
)
xAX
=
ta viết
(
)
pxXP

=
=
.
Đại lượng ngẫu nhiên (viết tắt là ĐLNN) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi kết
quả của phép thử với một số thực và có thể biết xác suất để nhận các giá trị đó.
Các ĐLNN được phân thành hai loại:
• Rời rạc: ĐLNN chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được giá trị.
• Liên tục: ĐLNN có thể nhận vô hạn nhiều hơn đếm được giá trị. Nói cách
khác, các giá trị nhận được của ĐLNN liên tục có thể lấp đầy ít nhất một khoảng số
thực (a,b).
Các ĐLNN chỉ độ dài, diện tích, thể tích, thời gian … là liên tục.

1.2. LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
Luật phân phối xác suất của ĐLNN là bảng, đồ thị, …trong đó chỉ ra:
i) Các giá trị có thể nhận được của ĐLNN.
ii) Xác suất tương ứng để ĐLNN nhận các giá trị.
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 9

1.2.1. Luật phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc
Luật phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc được thể hiện bởi bảng sau (giả
thiết X nhận hữu hạn giá trị)
X
1
x
2
x …
i

x …
n
x
P
1
p
2
p …
i
p …
n
p
trong đó
i
x là giá trị (phân biệt) của X;
i
p là xác suất tương ứng để X nhận giá trị
i
x ,

=
=>
n
i
ii
p p
1
1 ,0 .
Với kí hiệu như trên, ta viết
(

)
ii
pxXP
=
=
.
1.2.2. Luật phân phối xác suất của ĐLNN liên tục
Luật phân phối xác suất của ĐLNN liên tục được biểu thị bởi đồ thị hàm số
(
)
xfy
=
xác định trên
(
)
+∞


; thỏa mãn:
i)
(
)
.,0 xxf



ii)
( )

+∞

∞−
= .1dxxf
Điều kiện i) cho thấy đồ thị hàm
(
)
xfy
=
ở phía trên trục Ox và từ điều kiện
ii) suy ra diện tích tạo bởi đồ thị hàm
(
)
xfy
=
với trục Ox bằng 1.






Với đại lượng X liên tục, ta có:
(
)
0
=
=
cXP .
( ) ( )

=<<

b
a
dxxfbXaP (bằng diện tích hình thang cong cạnh trái
a
x
=
,
cạnh phải bx
=
, xem hình trên.
Hàm
(
)
xfy
=
được gọi là hàm mật độ xác suất của ĐLNN X.
y

O
a

b

x

(
)
xfy
=


(
)
bXaP
<
<

Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguyễn Thị Yến Trinh

Trang 10

1.3. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Cho ĐLNN X (rời rạc hoặc liên tục). Với mỗi giá trị
R
x

, biểu thức
(
)
xXP
<
xác định giá trị duy nhất. Đặt
(
)
(
)
xXPxF
<
=
thì

(
)
xF là hàm số của
biến số x và được gọi là hàm phân phối xác suất (trái) của ĐLNN X.
Với X rời rạc, ta có
( )

<
=
x
xx
i
i
pxF
Với X liên tục có hàm mật độ xác suất là
(
)
tf , ta có:
( ) ( )

∞−
=
x
dttfxF
bằng diện tích hình thang cong, cạnh trái
−∞
=
t
, cạnh phải
x

t
=
, xem hình sau:






Tính chất
Tính chất của hàm phân phối xác suất
(
)
xF được suy ra từ định nghĩa:
1)
(
)
.10


xF
2)
(
)
xF không giảm.
3)
(
)
0lim
=

−∞→
xF
x

(
)
1lim
=
+∞→
xF
x

4) Nếu ĐLNN X rời rạc thì
(
)
xF có dạng bậc thang.
5) Nếu ĐLNN X liên tục có hàm mật độ xác suất
(
)
xf thì
(
)
(
)
xfxF
=
' . Như
vậy, hàm phân phối xác suất
(
)

xF là một nguyên hàm của hàm mật độ
(
)
xf , do đó,
nếu biết một trong hai hàm
(
)
xf ,
(
)
xF thì suy ra hàm còn lại.
6) Nếu X rời rạc thì
(
)
(
)
(
)
aFbFbXaP

=
<

.
Nếu X liên tục thì
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP

==


=

<
=
<

=
<
<

O

x

t

(
)

tfy
=

(
)
(
)
xXPxF
<
=

y

Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 11


CHƯƠNG 2 - CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG
NGẪU NHIÊN

2.1. KỲ VỌNG CỦA ĐLNN
2.1.1. Định nghĩa
Kỳ vọng của ĐLNN X, kí hiệu
(
)
XE được xác định như sau
+ X rời rạc có luật phân phối


X
i
x
P
i
p
thì
( )

=
=
n
i
ii
pxXE
1
.
+ X liên tục có hàm mật xác suất
(
)
xfy
=
thì
( ) ( )

+∞
∞−
= dxxxfXE


2.1.2. Tính chất
a) Ý nghĩa: kỳ vọng là giá trị trung bình theo xác suất hay là giá trị trung tâm
của ĐLNN X.
b)
(
)
(
)
. ccEXEcX
=
=

=

c)
(
)
(
)
(
)
. XcEcXEYEcXY
=
=

=

d)
(
)

(
)
(
)
(
)
YEXEYXEZEYXZ
+
=
+
=

+
=

e) Cho X, Y độc lập, nghĩa là
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
jijiji
yxyYPxXPyYxXP , ,

=

=
=
=
=
khi đó
(
)
(
)
(
)
(
)
YEXEXYEZEXYZ
=
=

=

• Mở rộng:
( ) ( )
∑∑∑
===
=









=⇒=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
XEXEZEXZ
111

Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 12

( )
, ,
11
ij
n
i
iji
n
i

iji
xxXPxXP ∀==








=
∏∏
==
khi đó:

( ) ( )
∏∏∏
===
=








=⇒=
n
i

i
n
i
i
n
i
i
XEXEZEXZ
111


2.2. PHƯƠNG SAI
2.2.1. Định nghĩa
Phương sai của ĐLNN X, kí hiệu D(X) là giá trị được xác định bởi hệ thức
(
)
(
)
(
)
2
XEXEXD −=
Như vậy, phương sai là trung bình (theo xác suất) của bình phương độ lệch
giữa các giá trị của ĐLNN với trung bình của nó.
2.2.2. Công thức tính
Đặc
(
)
aXE
=

và sử dụng các tính chất của kì vọng, ta có :
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
22222
22
22
2
22
2
2
aaXEaXaEXE
aEaXEXE
aaXXEaXEXD
+−=+−=
+−+=
+−=−=

Vậy

(
)
(
)
22
aXEXD −=
Với X rời rạc, ta có
( )
2
1
2
apxXD
n
i
ii
−=

=

Với X liên tục có hàm mật độ xác suất
(
)
xfy
=
, ta có :
( ) ( )
22
adxxfxXD −=

+∞

∞−

2.2.3. Tính chất
a) Ý nghĩa : Phương sai đo độ phân tán của giá trị ĐLNN so với trung bình
của nó. ĐLNN có phương sai càng lớn thì các giá trị càng phân tán và ngược lại.
b)
(
)
.0

XD
c)

(
)
(
)
.0
=
=

=
cDXDcX
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 13

d)

(
)
(
)
(
)
.
2
XDccXDYDcXY ==⇒=
e) Với X, Y độc lập,
(
)
(
)
(
)
(
)
YDXDYXDZDYXZ
+
=
+
=

+
=
.
Tính chất c) có thể mở rộng cho nhiều ĐLNN độc lập. Từ các tính chất đã
nêu, dễ dàng suy ra vài kết quả đơn giản :
• Với X, Y độc lập, ta có


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
YDXDYDXD
YDXDYXDYXD
+=−+=
=

+
=

+
=

2
1
1)1(

• Với c là hằng số thì
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
.0 XDXDcDXDcXD
=
+
=
+
=
+


2.3. ĐỘ LỆCH CHUẨN
Độ lệch chuẩn của ĐLNN X là
(
)
(
)
XDX =
σ
.
Kỳ vọng
(
)
XE có đơn vị đo bằng đơn vị đo của X. Phương sai

(
)
XD có đơn
vị đo bằng bình phương đơn vị đo của X. Như vậy, độ lệch chuẩn
(
)
X
σ
có đơn vị
bằng đơn vị đo của X.

2.4. MÔMEN
• Mômen bậc k của ĐLNN X, kí hiệu:
k
α
, là kỳ vọng của đại lượng
k
X
:
(
)
k
k
XE=
α
.
• Mômen trung tâm bậc k của ĐLNN X, kí hiệu :
k
µ
, là kỳ vọng của

(
)
[
]
k
XEX − :
(
)
(
)
[
]
k
k
XEXE −=
µ
.
Như vậy, kỳ vọng là mômen bậc một và phương sai là mômen trung tâm bậc
hai và 0
1
=
µ
. Thật vậy:
(
)
[
]
(
)
(

)
[
]
(
)
(
)
0
1
=

=

=

=
XEXEXEEXEXEXE
µ

• Mômen tuyệt đối bậc k của ĐLNN X là kỳ vọng của đại lượng
k
X .

Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 14



CHƯƠNG 3 - MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC
BIỆT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC

3.1. PHÂN PHỐI ĐỀU
[
]
baR ;
ĐLNN X liên tục, có hàm mật độ xác suất
( )
[ ]
[ ]







=
bax
bax
ab
xf
; , 0
;,
1

được gọi là có luật phân phối đều trên đoạn
[
]

ba; . Kí hiệu:
X
~
[
]
baR ;
Hàm phân phối xác suất
(
)
xF của X được xác định:
( )





>
≤≤


<
=
bx, 0
bxa,
ax, 0
ab
ax
xF
Đồ thị hàm f(x) và F(x) có dạng như sau:







Ta có:
X
~
[
]
baR ;
( )
(
)
( )
(
)
12
;
2
2
ba
XD
ba
XE

=
+
=⇒
Thật vậy:

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
124
1
2

1
22
2
2
2
baba
dxx
ab
XEdxxfxXD
ba
dxx
ab
dxxxfXE
b
a

=
+


=−=
+

=

==
∫∫
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−

+
∞−

x

f(x)

O

a
b

1
a

b

F
(x)


x

O

1
a

b

a
b
ax
y


=
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 15

f(x)
3.2. PHÂN PHỐI MŨ
(
)
bE
ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất
( ) ( )
0

0 , .
0, 0
>




<
=

b
xeb
x
xf
bx
được gọi là có luật phân phối mũ với tham
số b. Kí hiệu:
X
~
(
)
bE .
Hàm phân phối xác suất:
( ) ( )
0
0 , .1
0, 0
>




≥−
<
=

b
xeb
x
xF
bx

Đồ thị các hàm
(
)
xf và
(
)
xF được vẽ như sau:








Các số đặc trưng của X được xác định như sau:
X
~
(

)
bE
( ) ( )
2
1
;
1
b
XD
b
XE ==⇒

3.3. PHÂN PHỐI CHUẨN
(
)
2
;
σµ
N
ĐLNN liên tục, có hàm mật độ xác suất
( )
(
)
σ
µ
πσ
2
2
2
1



=
x
exf
trong đó
µ

tùy ý,
0
>
σ
được gọi là có luật phân phối chuẩn với tham số
µ

σ
.
Kí hiệu:X ~
(
)
2
;
σµ
N
Đồ thị hàm mật độ
(
)
xf có dạng hình chuông, đối xứng qua đường
µ
=

x

đạt cực đại tại điểm





−=
=
πσ
µ
2
1
y
x
, xem hình sau:

x

F(x)
O
bx
eby

−= .1
1

bx
eby


= .
x

O

b

Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 16









Phân phối chuẩn còn được gọi là phân phối Gauss.
Hàm phân phối xác suất
(
)
xF không biểu diễn được thành hàm sơ cấp
( )
(
)

dtexF
x
t

∞−


=
2
2
2
2
1
σ
µ
πσ

và đồ thị có tâm đối xứng
µ
=
x
;
5
,
0
=
y
giới hạn bên trái bằng 0, giới hạn bên phải
bằng 1:







Các số đặc trưng của X được xác định bởi các hệ thức:
X ~
(
)
2
;
σµ
N
(
)
( )
( )





=
=
=

σσ
σ
µ
X

XD
XE
2


3.4. PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC
(
)
1;0N
Trường hợp đặc biệt của phân phối chuẩn, khi
1
,
0
=
=
σ
µ
. Đại lượng ngẫu
nhiên Z ~
(
)
1;0N được gọi là có luật phân phối chuẩn tắc.
x

F(x)
O
µ
1
5
,

0
f(x)
O
πσ
2
1
µ
x
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 17

Hàm mật độ xác suất của Z có dạng:
( ) ( )
2
2
2
1
x
exlxf

==
π

Hàm
(
)
xl được gọi là hàm Laplace, có đồ thị hình chuông đối xứng qua trục

tung, tọa độ đỉnh
0
=
x
;
3989,0
2
1
==
π
y
, xem hình sau:







Hàm Laplace là hàm chẵn
(
)
(
)
.xlxl
=


Hàm phân phối xác suất, còn được gọi là hàm Gauss, không biểu diễn được
thành hàm sơ cấp :

( ) ( ) ( )
dtedttlxGxF
x
t
x
∫∫





===
2
2
2
1
π
có tâm đối xứng
(
)
5,0;0 , giới hạn
bên trái bằng 0, giới hạn bên phải bằng 1.










x

l(x)
O
π
2
1
F(x
)

x

O

0,5

1

-
0,5

G(x)

(
)
x
ϕ
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy

ễn Thị Yến Trinh

Trang 18

3.5. PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG
Cho các ĐLNN
i
Z , ni ,1= độc lập với nhau, cùng có luật phân phối chuẩn
tắc. ĐLNN

=
=
n
i
i
Z
1
22
χ
được gọi là có luật phân phối khi bình phương, bậc n.
Kí hiệu :
2
χ
~
(
)
n
2
χ
.

Hàm mật độ xác suất của
2
χ
bậc n là :
( )








>






Γ

=
−−
0 ,
2
.2
.
0 , 0
2

1
22
x
n
xe
x
xf
n
nx

trong đó
( )


+
−−

0
1
dtetu
tu
có tên gọi là hàm Gama, thỏa mãn :
(
)
(
)
(
)
uuu
Γ

=
+
Γ
=
Γ
.1 ,11 .
ĐLNN
2
χ
nhận giá trị không âm. Đồ thị hàm mật độ f(x) là đường cong
không đối xứng. Khi bậc
30

n
, đồ thị hàm mật độ gần đối xứng và đỉnh dịch
chuyển dần về bên phải, hình vẽ như sau :








Các đặc trưng số của
2
χ
phụ thuộc vào bậc tự do n :
2
χ

~
(
)
n
2
χ

(
)
( )





=
=

nVar
nE
2
2
2
χ
χ

x

f(x)
O


n<30

30

n
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 19


CHƯƠNG 4 - HÀM CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

4.1. HÀM CỦA CÁC ĐLNN
Cho các ĐLNN X, Y,… độc lập. ĐLNN Z được gọi là hàm của X, Y,… và kí
hiệu
(
)
, ,YXZ
Φ
=
nếu ứng với mỗi bộ giá trị , ,
ii
yYxX
=
=
thì qui tắc
Φ

xác
định một giá trị duy nhất của ĐLNN Z.
Qui tắc
Φ
được thành lập từ các phép toán và các hàm Toán học thông
thường.

4.2. HÀM CỦA CÁC ĐLNN RỜI RẠC
Cho các ĐLNN X, Y,… rời rạc, độc lập với nhau có luật phân phối xác suất:


ĐLNN
(
)
, ,YXZ
Φ
=
là hàm của các ĐLNN X, Y,… Khi đó, luật phân phối
xác suất của Z là:
Z
k
z
P
k
r
trong đó giá trị
(
)
, ,
jik

yxz
Φ
=
; xác suất
( )
kji
zyx
jik
qpr


=
, ,


4.3. HÀM CỦA MỘT ĐLNN
Cho
(
)
XY
Φ
=
. Khi đó
(
)
(
)
[
]
XEYE

Φ
=
,
(
)
(
)
[
]
XDYD
Φ
=
, do đó:
• Nếu X rời rạc có luật phân phối


thì
( ) ( )
apxYE
i
n
i
i
=Φ=

=1

X
i
x

P
i
p
Y
i
y
P
i
q
X
i
x
P
i
p
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 20

( ) ( )( ) ( )
∑∑
=
=
−Φ=−Φ=
n
i
ii
n

i
ii
apxpaxYD
1
22
1
2
.
• Nếu X liên tục có hàm mật độ xác suất
(
)
xf thì
( ) ( ) ( )
adxxfxYE =Φ=


+



( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
∫∫

+



+



−Φ=−Φ=
222
adxxfxdxxfaxYD

4.4. HÀM TỔNG CỦA HAI ĐLNN LIÊN TỤC
Cho X liên tục có hàm mật độ xác suất
(
)
tf , Y liên tục có hàm mật độ xác
suất
(
)
tg và
Y
X
Z
+
=
. Khi đó, hàm mật độ xác suất của Z được xác định như
sau:
( ) ( ) ( )


+
∞−
−= dttgtzfzh hoặc
( ) ( ) ( )



+
∞−
−= dttzgtfzh













Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 21


CHƯƠNG 5 - HÀM ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN LIÊN TỤC

5.1. ĐỊNH NGHĨA
Hàm đặc trưng của ĐLNN X được cho bởi công thức:
(

)
(
)
itX
X
eEtg =
trong đó t là biến số thực,
1
2
−=
i
.
Trường hợp X là ĐLNN liên tục ta có hàm đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên liên tục như sau:
( ) ( )


+


= dxxfetg
itx
X

trong đó
(
)
xf là hàm mật độ của ĐLNN X.

5.2. TÍNH CHẤT

(1) Hàm đặc trưng liên tục đều trên R.
(2)
(
)
10
=
g và
(
)
Rttg



,1
(3) Nếu baXY
+
=
thì
(
)
(
)
ibt
XY
eatgtg = .
(4) Nếu X, Y độc lập thì
(
)
(
)

(
)
tgtgtg
YXYX
=
+
.
(5)
(
)
(
)
tgtg
XX
=− ,
R
t


.

5.3. BIỂU DIỄN MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC QUA HÀM
ĐẶC TRƯNG
Giả sử ĐLNN liên tục X có hàm mật độ là
(
)
xf khi đó
(
)
xf được biểu diễn

qua hàm đặc trưng
(
)
tg
X
của X là:
( ) ( )


+
∞−

= dttgexf
X
itx
π
2
1
.
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 22

5.4. HÀM ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNNN CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN
Giả sử X ∼
(
)
2

;
σµ
N , khi đó hàm đặc trưng của X là:
( )
22
2
1
tti
X
etg
σµ

= .
Thật vậy:
( )
(
)

∞+




= dxetg
x
itx
X
2
2
2

2
1
σ
µ
πσ

Đổi biến:
σ
σ
µ
it
x
u −

=
(
)
σ
σ
µ
itux
+
+
=


dxdu
σ
1
= dudx

σ
=


Khi đó:
( )
( )
[ ]
(
)
22
2
22
2
2
2
1
22
1
2
2
1
2
1
tti
u
tti
itu
ituit
X

eduee
duetg
σµσµ
σ
σ
σσµ
π
σ
πσ

∞+
∞−
−−
∞+
∞−
+
−++
==
==



(do
π
2
2
2
=

∞+




due
u
- tích phân Euler – Poisson)

5.5. MỐI LIÊN QUAN GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ CÁC MÔMEN CỦA
ĐLNN LIÊN TỤC
5.5.1. Mối liên quan giữa hàm đặc trưng và mômen bậc k của ĐLNN liên tục
Mômen bậc k của ĐLNN X có thể được tính thông qua hàm đặc trưng của nó:
(
)
(
)
(
)
0
k
X
kk
giXE

=
Thật vậy:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
itXkkitxkkitxk

k
X
eXEidxxfexidxxfeixtg ===
∫∫

+



+



Cho t=0, ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00
k
X
kkkk

k
X
giXEXEig

=⇒=
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 23

Ví dụ: Tìm kỳ vọng của ĐLNN X có phân bố chuẩn
(
)
2
;
σµ
N .
Giải
Hàm đặc trưng của ĐLNN X là:
( )
22
2
1
tti
X
etg
σµ

=

Do đó:
( )
2222
2
1
2
2
1
'
ttitti
X
teeitg
σµσµ
σµ
−−
−=
Ta có:
(
)
(
)
(
)
µµ
===
−−
iigiXE
X
11
0' .

Vậy:
(
)
µ
=
XE .
5.5.2. Mối liên quan giữa hàm đặc trưng và mômen trung tâm bậc k của
ĐLNN liên tục
( )( )
[
]
( )
( )
[
]
(
)
0
=
−−
=−
t
k
XitE
X
k
k
etgiXEXE
Ta sẽ đi xây dựng công thức trên.
Theo tính chất b), ta có:

( )( )
( ) ( )
(
)
XitE
XXEX
etgtg


=
Do đó:
( )( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
(
)
k
XitE
X
etgtg
k
XEX

=

(*)
Theo định nghĩa hàm đặc trưng:

( )( )
( )
( )( )
( )


+




= dxxfetg
XExit
XEX
(**)
Lấy đạo hàm cấp k của (**) theo biến t, ta được:
( )( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
[
]
XEXitkk
XExit

k
k
XExitkk
eXEXEi
dxxfeXExi
dxxfeiXExtg
k
XEX

∞+
∞−

∞+
∞−

−=
=−=
=−=




Cho t=0, ta có:

( )( )
( )
( ) ( )( )
[
]
kk

XEXEig
k
XEX
−=

0 (***)
T
ừ (*) và (***) ta suy ra:
Phân phối nhiều chiều liên tục
SVTH: Nguy
ễn Thị Yến Trinh

Trang 24


( )
( )
(
)
(
)
( )( )
[
]
k
k
t
k
XitE
X

XEXEietg −=
=

0

( )( )
[
]
( )
( )
[
]
(
)
0
=
−−
=−⇒
t
k
XitE
X
k
k
etgiXEXE
Ví dụ: Tìm phương sai của ĐLNN X có phân bố chuẩn
(
)
2
;

σµ
N .
Giải
Hàm đặc trưng của ĐLNN X là:
( )
22
2
1
tti
X
etg
σµ

=
( )
( )
2222
2
1
2
1
t
it
tti
XitE
X
eeeetg
σ
µ
σµ





==
Do đó:
( )
22
2
1
2
'
t
X
tetg
σ
σ

−=
( )
2222
2
1
24
2
1
2
''
tt
X

etetg
σσ
σσ
−−
−−=

Ta có:

( ) ( )( )
[
]
( )
( )
[
]
(
)
(
)
222
0
2
2
2
σσ
=−==−=

=
−−
ietgiXEXEXD

t
XitE
X

Vậy:
(
)
2
σ
=XD .









×