tri thức vecto - chuyên đề phương pháp giảng dạy

LÍ DO
• Là phương pháp giải toán hiệu quả ,và
không phụ thuộc vào hình vẽ (Nó khắc
phục được hạn chế của phương pháp tổng
hợp).Cung cấp công cụ mới để chứng
minh định lí ,tính chất hình học đơn giản
hơn (ví dụ như định lí
Thales,Pythagore,hàm số sin;hệ thức
lượng trong tam giác,trong hình tròn ,tính
chất của phép dời hình vị tự , đồng
dạng…
*Là phương pháp có thể sử dụng phương tiện đại
số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học(Còn
phương pháp giải tích chỉ đòi hỏi biến đổi đại số
* Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lí , kĩ thuật
,do đó việc đưa vectơ vào giảng dạy tạo điều kiện
thực hiện nhiệm vụ liên môn ỏ trường phổ thông.
* Và một lí do nửa đó là :
Vectơ là một khái niệm khá mới mẻ đối với học
sinh.
* Lần đầu tiên ,học sinh tiếp xúc với định hướng
trong hình học.Còn sau đó ,vectơ được sử dụng
hầu hết trong chương trình.nghĩa là cung cấp cho
học sinh công cụ mới để nghiên cứu.
VÌ vậy học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, và
chướng ngại vật
* ĐIều chúng ta quan tâm ở đây là :cách trình bày
của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến nhận
thức của học sinh.Từ đó giúp ta cải thiện được
thực tế dạy học.Đồng thời cũng giúp ta nhìn nhận
và đánh giá được cách trình bày của cac cuốn

sách thí điểm hiện nay.Hay những cuốn sách tham
khảo khác .
* Vậy để giải quyết vấn đề đó , trước tiên ta phải
làm gì?
* Việc đầu tiên chúng ta cần thực hiện đó là:
A. PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN
_Phân tích khoa học luận
a) Phân tích lịch sử hình thành và phát triển tri
thức
Véc tơ là một khái niệm nền tảng của toán học
và có nhiều ứng dụng trong vật lí .Ý tưởng đầu tiên về
vectơ trong việc sử dụng hình bình hành để biểu diễn
hợp của hai lực ,một cách làm đã khá phổ biến ở thế
kỉ 16-17 . Tuy nhiên , không phải khái niệm vectơ
toán học và phép cộng vectơ đã được biết ở thời kì
này.
Việc nghiên cứu lịch sử đã chỉ ra rằng khái niệm
vectơ được nảy sinh từ 2 xu hướng nghiên cứu :
 Xây dựng các hệ thống tính toán trong nội
tại hình học
 Liên quan đến việc mở rộng tập hợp số thực
A. CAÙC HEÄ THOÁNG TÍNH TOAÙN TÍNH TOÁN
ĐẦU TIÊN TRONG NỘI TẠI HÌNH HỌC
1. Leibniz và hình học vị trí
Ý tưởng đầu tiên về sáng tạo ra một hệ thống tính
toán trong nội tại hình học thuộc về Leibniz (1646 -
1716),xuất phát từ nhận xét rằng phương pháp giải
tích của Descartes và fermar, mặc dù cung cấp công
cụ khá mạnh cho việc giải các bài toán hình học
nhưng lại tạo ra tấm màn che lấp đi rực giác hình

học .
Leibniz muốn tìm cách đại số hóa hình học
nhưng không thoát khỏi phạm vi hình học .với ý định
đó .Leibniz đã xây dựng hình học vị trí . Lí thuyết
này được hình thành trên hệ tương đẳng : hai cặp
điểm được gọi là tương đảng nếu các khoảng cách
giữa hai diểm của từng cặp bằng nhau , hai bộ ba
điểm được gọi là tương đẳng nếu hai tam giác giữa
chúng chồng khít lên nhau
Với khái niệm tương đẳng ông đã giải được một vài
bài toán khá cơ bản , nhưng chỉ dừng ở lại đó .
Hình học vi trí không đáp ứng được những mong
muốn của .Leibniz .
Bởi vì với khái niệm tương đẳng ,khi xem xét quuan
hệ giữa hai điểm ,Leibniz chỉ giữ lại độ dài .Hơn nữa
,trong hình học vị trí , Leibniz không định nghĩa phép
toán trên các đối tượng hình học .
2.Tính toán tâm tỉ cự của Mobius
August Ferdinan Mobius (1790-1866) không trực
tiếp xây dựng nên lý thuyết vectơ . Tuy nhiên ông lại
chiếm vị trí quan trọng trong lịch sử hình thành lý
thuyết này mà ông công bố 1827 là một mô hình
toán học giống với hệ thống vectơ ngày nay trên khá
nhiều phương diện .
Một trong những tư tưởng cốt lõi và mới mẻ của
Mobius liên quan đến sự định hướng các hình trong
không gian .Xuất phát điểm , ông xem xét quan hệ
giữa các đoạn thẳng cộng tuyến .Tư tưởng của ông là
sự thay đổi về chiều ứng với sự thay đổi về dấu ,có
nghĩa là AB = - BA .Sau đó ông đưa vào phép cộng

các đoạn thẳng cộng tuyến .Rồi mở rộng quy tắc dấu
và quy tắc cộng .
Mười năm sau (1843) , Mobius khái quát hóa
phép cộng và trừ các đoạn thẳng (định hướng ) cộng
tuyến ,nhưng đồng phẳng .Năm 1862 ông xây dựng
phép nhân hình học hai đoạn thẳng . Tích hình học
của Mobius bằng tích vectơ ngày nay về phương diện
số , nhưng không đồng nhất . Rồi ông xây dựng tích
chiếu của hai đoạn thẳng định hướng (tương đương
với tích vô hướng ngày nay)
Phát minh của Mobius là một giai đoạn quan
trọng đối với sự phát sinh tính toán vectơ .
3.Tính toán tương đẳng của Bellavitis
Năm 1833 nhà toán học người Ý Bellavitis công
bố các tính toán các tương đẳng của mình .Theo định
nghĩa của Bellavitis ,hai đoạn thẳng được gọi là
tương đương nếu chung song song, cùng hướng và có
đọ dài bằng nhau .
Trong lí thuyết của mình ,Bellavitis định nghĩa
phép cộng của hai hay nhiều đọan thẳng bằng cách sử
dụng quan hệ tương đẳng .
Bellavitis còn định nghĩa tích của một đoạn với
một số .
Ta thấy mô hình của Bellavitis có chứa nhiều yếu tố
của lí thuyết vectơ hiện đại .
Ngoài ra,Bellavitis đã thành công trong việc xây
dựng một cấu trúc đại số trên các đối tượng hình học
mà không cần bất cứ một trung gian đại số nào .
Bellavitis thử mở rộng lý thuyết của mình ra
trong không gian nhưng không thành công .Khó khăn

mà ông gặp phải là định nghĩa tích của hai đoạn thẳng
.Vì khái niệm độ nghiêng không xác định trong khi ở
trong không gian.
B.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC .
Ngay từ thế kĩ 15 việc mở rộng các tính toán đại
sô đã đòi hỏi phải đưa vào khái niệm căn bậc hai của
số âm .Một số người tìm cách giải quyết vấn đề này
với sự giúp đỡ của hình học .Chính trong quá trình
tìm cách biểu diễn hình học các số phức mà họ đã đi
đến tính toán vectơ .
Việc biểu diễn hình học của các đại lượng ảo
được soạn thảo độc lập với nhau bởi 5 nhà toán học là
: Caspar Wessel,Argand,Mourey,Warren,buee.
Kết luận
Lịch sử hình thành lý thuyết vectơ chỉ cho ta thấy
những khó khăn ,trở ngại mà các nhà toán học phải
vược qua luôn liên quan đến việc định hướng các đối
tượng hình học và việc xây dựng các phép toán nhân
trên các đường định hướng
PHÂN TÍCH “CUỘC SỐNG “ CỦA TRI THỨC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA
A._TRI THỨC NÀY TỒN TẠI NHƯ THẾ NÀO?
Sácg giáo khoa
HÌNH HỌC LỚP 10_ Sách chỉnh lí hợp nhất năm
2000(tái bản lần hai)
Tác giả : VĂN NHƯ CƯƠNG (chủ biên)
PHAN VĂN VIỆN
B. TRI THỨC NÀY TỒN TẠI NHƯ THẾ NÀO?
B.1. Trong toán học vectơ được hiểu như thế nào?
.Người ta có thể định nghĩa khái niệm vectơ hình

học qua hệ tiên đề của không gian vectơ,qua lớp
tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc qua
lớp tương đương các cặp điểm sắp thứ tự.
B.1.1 Định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian
vectơ
* Giả sử V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử
của nó được kí hiệu là
R là trường số thực mà các phần tử của nó
được ký hiệu là
Trên V xác định hai phép toán :
, , , x y a b
r
r r r
,
α β
- Phép cộng vectơ: là ánh xạ đặt tương ứng hai
phần tử bất kì của V với một phần tử của
V ,kí hiệu là :
- Phép nhân vectơ với một số : là ánh xạ từ R x V
vào V ,đặt mỗi số thực vào một phẩn tử
thuộc V với một phần tử củng thuộc V , kí hiệu
gọi là tích của số thưc với
. * V được gọi là không gian vectơ trên trường số
thực và các phần tử của nó được gọi là các vectơ nếu
hai phép toán trên thỏa tám tiên đề sau:
Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán :


Phép cộng vectơ có tính chát kết hợp:

Có một phần tử thuộc V sao cho vectơ bất kì
của V :

Với mỗi vectơ bất kì của V ,luôn tồn tại vectơ
sao cho
,x y
r r
x y+
r r
α
x
r
x
α
r
α
x
r
( , )x y y x x y V+ = + ∀ ∀ ∈
r r r r r r
( ) ( )( , , )x y z x y z x y z V+ + = + + ∀ ∀ ∀ ∈
r r r r r r
r r r
0
r
x
r
0x x+ =
r
r r

x
r
x
′
r
0x x
′
+ =
r
r r
( ) ( , , )x y x y x y V R
α α α α
+ = + ∀ ∀ ∈ ∀ ∈
r r r r r r
( ) ( , , )x x x x V R
α β α β α β
+ = + ∀ ∈ ∀ ∈
r r r r
B.1.2 Định nghĩa qua lớp tương đương các đoạn
thẳng định hướng
Một đoạn thẳng trên đó đã xác định mút nào là
điểm đầu ,điểm nào là điểm cuối ,gọi là một đoạn
thẳng định hướng .Đoạn thẳng định hướng có điểm
đầu A,điểm cuối B được kí hiệu là AB.
Những đường thẳng song song với nhau xác định
một phương .Phương của đoạn thẳng định hướng
là phương của đoạn thẳng chứa nó .Như vậy ,hai đoạn
thẳng định hướng được gọi là cùng phương nếu chúng
thuộc hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Mỗi phương có hai hướng ngược nhau .Hướng

của đoạn thẳng định hướng là hướng tính từ điểm đầu
đến điểm cuối ,theo một trong hai hướng của đưởng
thẳng chứa nó.
Hai đoạn thẳng định hướng AB,CD gọi là cùng hướng
nếu chúng:
( ) ( ) ( , , )
1. ( )
x x x R
x x x V
α β αβ α β
= ∀ ∀ ∈
= ∀ ∈
r r r
r r r
- nằm trên hai đường thẳng song song với nhau
và cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
AC nối hai điểm đầu của chúng ;
- Hoặc cùng thuộc một đường thẳng và một trong
hai tia AB ,CD chứa tia còn lại.
Hai đoạn thẳng định hướng gọi là tương đương
nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng .Quan hệ
tương đương này có tính chất phản xạ ,đói xứng ,bắc
cầu,do đó nó chia tập hợp các đoạn thẳng định hướng
thành các lớp tương đương .Mỗi lớp tương đương
được gọi là một vectơ và kí hiệu hay vectỏ
chỉ là một và theo kí hiệu của sự bằng nhau trong lí
thuyết tập hợp ta có thể viêt là
AB CD=
uuur uuur
.

B.1.3. Định nghĩa qua lớp tương tương các cặp
điểm sắp thứ tự
Xét các cặp điểm sắp thứ tự (A,B) trên mặt
phẳng , trong đó A gọi là điểm đầu , B gọi là điểm
cuối .Hai cặp điểm (A,B) và (C,D) được gọi là tương
đương ,kí hiệu (A,B) ~ (C,D) ,nếu hai đoạn thẳng AD
và BC có cùng trung điểm .Suy ra tập hợp các cặp
điểm trên mặt phẳng được phân thành các lớp tương
đương : hai cặp điểm thuộc cùng một lớp khi và chỉ
khi chúng tương đương .
Mỗi lớp tương đương gọi là một vectơ .lớp tương
chứa cặp điểm sắp thứ tự (A,B) được kí hiệu là
.Cặp điểm (A,B) được gọi là một đại diện cho vectơ
Như vậy ,vectơ là lớp tất cả các cặp điểm sắp thứ
tự tương đương) với(A,B)
AB
uuur
CD
uuur
AB
uuur
AB
uuur
AB
uuur
CD
uuur
Nếu (A,B) ~ (C,D) thì vectơ hay chỉ là một và
ta có thể viết :
AB CD

=
uuur uuur
B.2.Dịnh nghĩa vectơ trong sách phổ thông ?
* Sách giáo khoa hiên hành
ĐỊNH NGHĨA :Vectơ là một đoạn thẳng đã định
hướng ,nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào của đoạn
thẳng đó là điểm đầu và điểm cuối.
Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được
kí hiệu là Như vậy nếu hai điểm A và B phân biệt
thì ta có haivectơ khác nhau là và
r
Cũng có thể kí hiệu một vectơ xác định nào đó bằng
một chữ thường với mũi tên trên đầu như:
A
B
C
D
Các đoạn thẳng
D
C
A
B
Các vectơ
uuur
BA
uuur
AB
uuur
AB
r

r r r
a,b,x ,y
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như :
, BB MM
uuuur uuur
gọi là vectơ_không .
NHẬN XÉT:
• Sách giáo khoa không trình bày định nghĩa
qua hệ tiên đề (bởi mục đich là cung cấp
cho học sinh công cụ hiệu quả để giải toán
chứ không phải để nghiên cứu không gian
vectơ tổng quát) .Mà thông thường trình
bày khái niệm vectơ theo tư tưởng lớp
tương đương hoặc lớp tương đương các cặp
điểm . Để phù hợp với trình độ của học sinh
sách giáo khoa còn tránh cả những thuật
ngữ như quan hệ tương ,lớp tương đương
.Theo xu hướng này,khái niệm vectơ được
xây dựng qua khái niệm phép tịnh tiến hoạc
khái niệm vectơ buộc.
Cụ thể ta thấy :
+ Từ 1 sách giáo khoa định nghĩa vectơ
qua vectơ buộc.
+ Có trình bày biểu tượng về sự khác nhau giữa đoạn
thẳng AB và vectơ
(vì vậy khi dạy khái niệm vectơ cần
khắc sâu cho học sinh thấy điểm khác nhau này) _
hình minh họa 2
+ Sách giáo khoa cũng có đưa một cách ngầm ẩn vào
sách giáo khoa khái niệm vectơ tự do _minh họa 3

(Vectơ được định nghĩa là đoạn thẳng có định hướng
vậy khái niệm vectơ tự do liên kết với nó như thế
nào ? _ta không quan tâm đến điểm gốc của nó .Nó
vẫn là một đoạn thẳng có hướng )
Mục đich là gì :Bởi vì nếu trình bày qua vectơ buộc
không thì người ta không thể xây dựng các phép toán
vectơ : tổng,hiệu hai vectơ,tích một vectơ với một số
không xác định .
Có thể nói rằng:sách giáo khoa trình bày khái
niệm vectơ thành 2 giai đoạn:
_Giới thiệu vectơ buộc.
_Giới thiệu vectơ tự do (ngầm ẩn)
Sau đó mới nói đến phương ,hướng,độ dài của
vectơ
.phép cộng,phép trừ ,phép nhân ,và các tính chất của
vectơ
Và cứ sau một phần như vậy là có ví dụ và bài tập
củng cố
Và không nói đến nguồn gốc hay xuất sứ xủa vectơ và
nghiên cứu vectơ đẻ làm gì?!
Hay ứng dụng của nó vào mục đích gì,nó có tầm quan
trọng như thế nào?
Tức là sách giáo khoa vẫn không thoát khỏi lối trình
bày truyền thống:đó là tách rời khỏi lịch sử phát triển
của đối tượng
CÒN sách giáo khoa hiện hành thì sao?

• Sách giáo khoa thí điểm hiện nay mà cụ thể
là:’’HÌNH HỌC 10 _sách giáo khoa thí
điểm ban khoa học tự nhiên (bộ sách thứ

hai)” cách trình bày của nó có ưu điểm hơn
sách giáo khoa hiên hành không?
Nghĩa là:nó có quan tâm đến quá trình nhận thức
của học sinh không?
Sau nữa nó có tạo điều kiện cho việc thực hiện
nhiệm vu “liên môn” ở phổ thông hay không ?
Cách trình bày của sách giáo khoa thí điểm:
Đưa hình ảnh của các vật sau,và có biểu thị chỉ
hướng chuyển động của vật:
MỤC ĐÍCH : Thật ra khái niệm vectơ thực sự không
phải xa lạ lắm đối với học sinh ,nó khá gần gũi với
chúng ta mà chẳng qua là vì ta không để ý mà
thôi.Khi dạy bài nay giáo viên có thể chỉ cho hoc sinh
thay,để các em dễ hình dung hơn về khái niệm vectơ.
Vectơ là một khái niệm toán học có nguồn gốc từ vật
lí ,thường được dùng để biểu diễn các đại lượng có
hướng như lực ,vận tốc ,… nội dung chủ yếu của
chương trình là trình bày khái niệm vectơ và các
phép toán trên vectơ.
A.VECTƠ
1. Định nghĩa vectơ
Cho đoạn thẳng AB .Nếu ta chọn điểm A làm
điểm đầu ,điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB
đã được định hướng (hướng từ A đến B ). Khi đó ta
nói AB là đoạn thẳng định hướng .
ĐỊNH NGHĨA: Vectơ là một đoạn thẳng định
hướng .
Vectơ có điểm đầu A ,điểm cuối B được kí hiệu là
và đọc là “vectơ AB” .Để vẽ vectơ ta vẽ đoạn
thẳng AB và đánh dấu “>” ở đầu mút B.Vectơ còn

được kí hiệu : Khi còn xét điểm đầu và
điểm cuối của nó .
Cho hai điểm A,B có bao nhiêu vectơ nhận A,B
làm điểm đầu hoạc điểm cuối?
Cũng trình bày khái niệm vectơ qua 2 giai đoạn
như sách hiện hành
Thêm nữa sách cũng nhấn mạnh cách đựng một
vectơ học sinh cần xác định nhưng gì.
Sau một chương sách có giới thiệu sơ lược về
xuất xứ nguồn gốc của vectơ.
TÀI LiỆU THAM KHẢO:
Phương pháp dạy học hình học ở phổ thông
Tác giả : LÊ THỊ HOÀI CHÂU
A B
a
r
r
r r r
a,b,x ,y
uuur
AB
Giới thiệu tình huống (Tình huống được thiết kế bởi
Rmah nay h’Min)
Xây dựng một tình huống để dạy bài vectơ
 Mục đích yêu cầu :
Về kién thức :
- Học sinh phải nắm được khái niệm vectơ (Đặc
biệt là hai đặc trưng định hướng của vectơ )
_ Vectơ bằng nhau, vectơ đối nhau , vectơ
không .

- Điều kiện cùng phương của hai vectơ .
Về kĩ năng :
Học sinh phải biết dựng một một vectơ bằng
vectơ cho trước .
Nội dung:
Sau khi dạy bài 1(chương1 vectơ) để củng cố
định nghĩa cho hoc sinh ,thêm đó phát hiện một số sai
lầm mà các em mắc phải ,để từ đó có hướng khắc
phục và luyện tập cho học sinh phù hợp .
Muốn vậy ,giáo viên cần lưu y đưa ra những ví dụ
khắc sâu cho học sinh rằng ;
- Chỉ căn cứ vào độ dài thì không đủ khẳng định
sự bằng nhau của hai vectơ .
- chỉ có thể xét quan hệ cùng hướng khi đã kiểm
tra điều kiện cùng phương .
Cũng cần đặt học sinh vào tình huống không quen
thuộc buộc học sinh phải bộc lộ quan điểm sai lầm về
hai đặc trưng của hai vectơ .Những bài tập trắc
nghiệm có thể yêu cầu học sinh giải thích .
LUYỆN TẬP :
Bài 1:
Trong các hình được đánh đấu sau,hình nào biểu
diễn vectơ :
@ Hãy đánh dấu x vào ô lựa chọn:
1. Hình (7) , (6) biểu diễn vectơ
2. Hình (6) biểu diễn vectơ
C
A
C
A

A
C
A
C
A
A
C
C
C
1
2
A
3
d
8
7
6
5
4
3. Tất cả các hình đều biểu diễn vectơ
4. Hình (1) , (2) , (8) , (3) ,(4) ,(5) , (6)
hình biểu diễn vectơ .
VÀ giải thích vì sao em có lựa chọn đó ?
Bài 2 :
Cho hai điểm A ,B có bao nhiêu vectơ nhận A , B
làm điểm đầu hoặc điểm cuối :
1. Có 1 vectơ
2. Có 2 vectơ
3. Có 4 vectơ
4. Không có vectơ nào