bài tập đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian
I. Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
1. Phương Pháp giải:
- Tìm giao tuyến của (P) và (Q) hoặc xác định giao tuyến của
(P) và (Q) là chỉ ra đường thẳng chung của hai mặt phẳng (P) và
(Q)
- Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung
cùng thuộc 2 mặt phẳng đó
A

Q

P

A

B

P
B

Q

 P    Q   AB . Nên AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (P)
và (Q)
Nhận xét:
- Hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng nếu chúng khơng

song song hoặc trùng nhau thì chúng sẽ cắt nhau tại một điểm
chung (có thể kéo dài 2 đường thẳng đó)
- Nếu hai mặt phẳng   và    có điểm chung S và lần lượt
chứa hai đường thẳng song song (d) và (d’) thì giao tuyến của

  và    là đường thẳng  đi qua S và song song với (d) và
(d’)
2. Bài tập:
1


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

Bài 1: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành
ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Bài 2: Cho S là một điểm khơng thuộc mặt phẳng hình thang
ABCD ( AB  CD và AB>CD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(SCD) và (SAB)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai
cạnh đối diện khơng song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của
tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a. (SBM) và (SCD)
b. (ABM) và (SCD)
c. (ABM) và (SAC)
Bài 4: Cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đơi khơng song song
và S là một điểm khơng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Tìm giao
tuyến của :
a) (SAC) và (SBD)

b) (SAB) và (SCD).
c) (SAD) và (SBC).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD. GỌi I, J lần lượt là trung điểm của AD
và BC.
a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD).
b) Gọi M là điểm trên cạnh AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho
MN khơng song song với BC. Tìm giao tuyến của (IBC) và
(DMN).

2


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy
lớn AB. Trên SD lấy điểm M.
a) Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAC).
b) Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAD).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. P là một điểm trên
SC sao cho SP > PC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với
các mặt phẳng: (SAC), (SAB), (SAD), (ABCD).
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD và điểm M khơng nằm trong
mặt phẳng chứa hình bình hành
a. Tìm giao tuyến của (MAC) và (MBD)
b. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Tìm giao tuyến của
(AMN) và (ACD)
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD và điểm S khơng nằm trong

mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi M, N, E lần lượt là trung
điểm các đoạn thẳng AB, BC, SD. Tìm giao tuyến của (MNE) với
các mặt phẳng (SAD), (SCD), (SAB)*, (SBC)*
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD và điểm S khơng nằm trong
mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi M, E lần lượt là trung điểm
các đoạn thẳng AB, SD. N là điểm đối xứng với B qua C. Tìm
giao tuyến của (MNE) với các mặt phẳng: (SCD), (SBD), (SAD)
và (SAB)*

3


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

Bài 11: Cho một tứ giác lồi ABCD nằm trong mặt phẳng (P) có
các cạnh đối khơng song song với nhau. M là một điểm không
nằm trong (P). Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a. (MAB) và (MCD)
b. (MAD) và (MBC)
II. Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
1. Phương Pháp:
- Tìm giao điểm M của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) là
chỉ ra một đường thẳng (d’) nằm trong (P) và cắt đường thẳng (d)
d

d'

P

M

- Hãy chọn ra một mặt phẳng (Q) đi qua (d). Xác định giao
tuyến (d’) của (P) và (Q). Tìm giao điểm M của (d) và (d’)
trong (Q)

4


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

Q

P

d

GV: Đỗ Văn Thọ

d

M
d'

P

d'
M

Q
2. Bài tập:
Bài 13: Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm cạnh AC, N là trung điểm cạnh SA
và G là trọng tâm tam giác SBC
a. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với mặt phẳng (SBM)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với mặt phẳng (ABC)
Bài 14: Cho hình bình hành ABCD và điểm S khơng nằm trong
mặt phẳng (ABCD)
a. Trên đoạn thẳng SC ta lấy điểm M. Tìm giao điểm của đường
thẳng AM với mặt phẳng (SBD)
b. Giả sử M là trung điểm của đoạn thẳng SC. Gọi G là trọng
tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của đoạn thẳng MG với
mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB)
Bài 15: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD có các cặp
cạnh đối khơng song song và ngoài (P) cho điểm S

5


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

a. Trên đoạn thẳng SA ta lấy điểm M. Tìm giao điểm của đường
thẳng BM với mặt phẳng (SCD)
b. Trên phần kéo dài của cạnh BC về phía C, ta lấy điểm N. Gọi
G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường
thẳng NG với các mặt phẳng (SCD), (SBD), (SAB)
Bài 16: Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là

trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K
khơng là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng
AD và mặt phẳng (MNK)
Bài 17: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các
điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD
và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC)
a. Hãy xác định điểm L
b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện
ABCD
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M, N và P lần lượt là các
điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng
với trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm (nếu có)
của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương ứng là các điểm
thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của các đường thẳng
SD với mặt phẳng (AMN)
Bài 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N là điểm
trên cạnh BD sao cho BN=3ND
6


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

a. Tìm giao điểm của MN với (ACD)
b. Gọi P là trung điểm AD. Tìm giao điểm của AD với (MNP)
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD. M là điểm trên cạnh SC
nhưng không trùng với S và C
a. Tìm giao điểm của AM với (SBD)

b. Gọi N là điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và
(AMN)
Bài 22: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB và BC. Gọi I là điểm đối xứng của B qua D
a. Tìm giao điểm P của CD với mặt phẳng (IMN). Tính tỉ số
PC/PD
b. Tìm giao điểm Q của AD với mặt phẳng (IMN). Tính tỉ số
QA/QD
Bài 23: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK=2KD
a. Tìm giao điểm E của CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh
rằng DE=DC
b. Tìm giao điểm F của AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh
rằng FA=2FD
c. Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB
và CD. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với (IJK)
Bài 24: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm tùy ý nằm bên trong
tâm giác BCD, I là trung điểm OA
a. Tìm giao điểm J của BI với (ACD)
7


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

b. Gọi H là giao điểm của ID với (ABC). Chứng minh rằng ba
đường thẳng AH, BC, OD đồng quy
Bài 25: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác
ACD. H là trung điểm của trung tuyến BI của tam giác BCD, K

là trung điểm của trung tuyến AJ của tam giác ABC. Xác định
thiết diện tạo bởi tứ diện với (GHK)
Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành có
tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD, OC
a. Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) và giao điểm của
(MNP) với SA
b. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với các mặt phẳng
(MNP)
Bài 27: Cho tứ diện ABCD. Gọi N, M lần lượt là trung điểm
AC, BC. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP=2PD
a. Tìm giao điểm Q của (MNP) với đường thẳng AD
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tìm giao điểm của BG với
(MNP)
Bài 28: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Kéo dài BC (về phía C)
một đoạn CE=a, kéo dài BD (về phía D) một đoạn DF=a. Gọi
M là trung điểm của AB.
a. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện với mặt phẳng (MEF)
b. Tính diện tích thiết diện
III. Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
1. Phương pháp:
8


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta cần chứng minh ba điểm
ấy cùng thuộc một đường thẳng
Ta tìm 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua 3 điểm phân biệt ấy.

Khi đó 3 điểm phân biệt sẽ thuộc giao tuyến chung của (P) và
(Q)
Q

d
A

C

B

P

 P    Q   d

 A, B, C   P   A, B, C  d  A, B, C thẳng hàng

 A, B, C   Q 
2. Bài tập:
Bài 29: Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các
điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt
CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Bài 30: Cho hai mặt phẳng   và    cắt nhau theo giao
tuyến d. Trong   lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I.
O là một điểm nằm ngoài   và    sao cho OA và OB lần
lượt cắt    tại A’ và B’
a. Chứng minh ba điểm I, A’ và B’ thẳng hàng

9

Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

b. Trong   lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả
sử OC cắt    tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K.
Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Bài 31: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm AC,
BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng   qua AC cắt
SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng    qua BC cắt SD và
SA lần lượt tại P và Q
a. Gọi I  AM  DN , J  BP  EQ . Chứng minh bốn điểm S, I,
J, G thẳng hàng
b. Giả sử AN  DM  K , BQ  EP  L . Chứng minh ba điểm S,
K, L thẳng hàng
Bài 32: Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các
đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng
minh rằng M, N, P thẳng hàng
Bài 33: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC và ngoài (P)
cho điểm S. Giả sử A’, B’, C’ là các điểm nằm tương ứng trên
các đường thẳng SA, SB, SC (khác A, B, C, S) sao cho A’B’ cắt
AB tại M, A’C’ cắt AC tại N và B’C’ cắt BC tại E. Chứng minh
rằng 3 điểm M, N, E thẳng hàng
Bài 34: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P)
cho điểm S. Gọi O là giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD.
Trên đoạn thẳng SO ta lấy điểm I. Một đường thẳng qua I cắt các
cạnh SA, SC của tam giác SAC tại A’ và C’. Một đường thẳng
khác đi qua I cắt các cạnh SB, SD của tam giác SBD tại các
10

Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

điểm B’, D’. Giả sử các đường thẳng A’B’ cắt AB tại M,
C’D’cắt CD tại N, A’C’ cắt AC tại K và B’D’ cắt BD tại H.
Chứng minh rằng 4 điểm M, N, K, H thẳng hàng
Bài 35: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P)
cho điểm S. Giả sử C’, D’ là các điểm lần lượt nằm trên các
đoạn thẳng SC, SD sao cho hai đường thẳng AD’ và BC’ cắt
nhau tại M. Giả sử A’, B’ là hai điểm lần lượt trên các đoạn
thẳng SA, SB sao cho hai đường thẳng DA’ và CB’ cắt nhau tại
N. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, S thẳng hàng
Bài 36: Cho hình bình hành ABCD và tam giác ABM nằm trong
hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đoạn thẳng MA, MB, MC,
MD ta lấy các điểm tương ứng A’, B’, C’, D’. Gọi I là giao điểm
các đường thẳng AC’ và CA’, K là giao điểm của đường thẳng
BD’ và DB’. Chứng minh rằng 3 điểm I, K, M thẳng hàng
IV. Dạng 4: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
1. Phương Pháp:
- Cách 1: Hãy chứng tỏ rằng ba đường thẳng đó đơi một cắt
nhau và chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng
d

d'
M

d''

11


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

- Cách 2: Chỉ ra rằng 2 trong 3 đường thẳng đó cắt nhau tại M.
Hãy chứng minh M nằm trên đường thẳng còn lại, nghĩa là
đường thẳng còn lại là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng đi
qua M
d ' d ''  M

M   P 
 M  d  d  d ' d ''  M

M   Q 
 P    Q   d


d

P

M
d''

d'

Q

2. Bài tập:
Bài 37: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau. Gọi M, E lần lượt là trung điểm các cạnh CA,
CB. Trên các cạnh DB, Dacuar tam giác ABD ta lấy các điểm
tương ứng N, F sao cho hai đường thẳng MN và EF cắt nhau.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng MN, EF,
DG đồng quy
Bài 38: Cho tứ giác lồi ABCD và tam giác ABM nằm trong hai
mặt phẳng khác nhau. Trên các cạnh MA, MB của tam giác
MAB ta lấy các điểm tương ứng A’, B’ sao cho các đường
thẳng CA’ và DB’ cắt nhau. Gọi H là giao điểm hai đường chéo
của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng các đường thẳng MH,
CA’, DB’ đồng quy

12


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

Bài 39: Cho hai hinh bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai
mặt phẳng khác nhau. Trên đoạn EC lấy điểm M, trên đoạn DF
lấy điểm N sao cho các đường thẳng AM và BN cắt nhau. Gọi I,
K là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành. Chứng
minh rằng các đường thẳng IK, AM, BN đồng quy

13

Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

LỜI GIẢI:
Bài 1:
S

A

D

O
B

C

Ta có điểm O, S vừa thuộc mặt phẳng (SAC) vừa thuộc mặt
phẳng (SBD) nên SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD). Hay
 SAC    SBD   SO
Bài 2:
S
d

D

A

C

B

Hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) có CD || AB và có chung điểm
S nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng (d) đi
qua S và song song với CD và AB
Bài 14:

14


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

S

M

I

C

D
O
A
B

Tìm giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD)

Ta có  SAC    SBD   SO
Trong mặt phăng (SAC), có AM  SO  I
Mà SO   SBD  nên I là giao điểm của AM với (SBD)
Bài 3:
S

I
M
C
D

P
A

B

a. (SBM) và (SCD)
 S   SBM  ,  SCD 

  SBM    SCD   SM

 M   SBM  ,  SCD 

15


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

b. (ABM) và (SCD)
Ta có M   ABM  ,  SCD 

GV: Đỗ Văn Thọ

(1)

Trong mặt phẳng (ABCD) có hai cạnh AB và CD không song
song với nhau nên chúng sẽ cắt nhau tai điểm P (kéo dài)

 P  AB  P   MAB 


 P  CD  P   SCD 


 2

Từ (1), (2) ta có M, P đều thuộc (ABM) và (SCD) nên

 AMB    SCD   MP
Vậy MP là giao tuyến
c. (ABM) và (SAC)

Trong mặt phẳng (SPC), kéo dài PM cắt SC tại I.

 I   SAC 
 PM   ABM 
 I   ABM 
Ta có 
 I  PM
 I   SAC 


(1)

 I   ABM 


16


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

 A   ABM 

Lại có 
(2)
 A   SAC 

Từ (1) và (2), suy ra  SAC    ABM   AI
Vậy AI là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SAC)
Bài 4:
S

C
D
I
A

O

B

J

a) (SAC) và (SBD)
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O  AC  BD
Điểm O  AC mà AC   SAC  nên O   SAC 
Điểm O  BD mà DB   SBD  nên O   SBD 

 S   SAC  ,  SBD 


 SO   SAC    SBD 
O   SAC  ,  SBD 

Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
17


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

b. (SAB) và (SCD)
Ta có AB và CD không song song với nhau nên AB và CD cắt
nhau tại I (đường kéo dài)
I  AB  CD

Điểm I  AB mà AB   SAB  nên I   SAB 
Điểm I  CD mà CD   SCD  nên I   SCD 

 S   SAC  ,  SBD 


 SI   SAB    SCD 
 I   SAB  ,  SCD 

Vậy SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)
c. (SAD) và (SBC)
Tương tự câu b, Gọi J  BC  AD
SJ là giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Bài 5:
D

I

C

A

J

B

a. Điểm J  BC mà BC   IBC  nên J   IBC  . Lại có
J   JAD 
18


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

Điểm I  AD mà AD   JAD  nên I   JAD  . Lại có I   IBC 

 J   IBC  ,  JBD 

 IJ=  IBC    JAD 

 I   IBC  ,  JBD 

Vậy IJ là giao tuyến của (IBC) và (JAD).
b. (IBC) và (DMN).
D

I
Q

N

P
A

C

M
B

P  IB  DM  P   IBC  ,  DMN 
Q  DN  IC  Q   IBC  ,  DMN 

 PQ   IBC    DMN 
PQ là giao tuyến của (IBC) và (DMN)
Bài 6:

a) Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAC).
19


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

S

M
I

D
C
N
B

A

Trong mặt phẳng (ABCD), AC  BD  N
Trong mặt phẳng (SBD), BM  SN  I
Điểm I  SN mà SN   SAC  nên I   SAC 
Điểm I  BM mà BM   MBC  nên I   MBC 
 I   SAC  ,  MBC  (1)
Lại có C   SAC  ,  MBC  (2)

Từ (1), (2)  SAC    MBC   CI
Vậy CI là giao tuyến của (SAC) và (MBC)
b) Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAD).
S

M

J
D
C

B

A

20


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

Trong mặt phẳng (ABCD), vì AC và BD không song song nhau
nên kéo dài AC và BD sẽ cắt nhau tại J
AD  BC  J
Điểm J  AD mà AD   SAD  nên J   SAD 
Điểm I  BC mà BC   MBC  nên J   MBC 

(1)
 J   SCD  ,  MBC 

Lại có
Điểm M  SD mà SD   SAD  nên M   SAD 
Điểm M   MBC 
(2)
 M   MBC  ,  SAD 
Từ (1), (2) MJ là giao tuyến của (MBC) và (SAD).
Bài 7:

a. Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC)
S

N
I
M
P
A

D

O
B

C

Trong mặt phẳng (ABCD), AC  DB  O
Trong mặt phẳng (SBD), MN  SO  I
21


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

 I  MN
 I   MNP 

 MN   MNP 
 I  SO
 I   SAC 

SO   SAC 

 I   MNP  ,  SAC  (1)
Lại có, P   SAC  ,  MNP 

(2)

Từ (1), (2) ta có IP là giao tuyến của (MNP) và (SAC)
b. (MNP) và (SAB)
S

R
N
I
M
P
A

D

O
B

C

Trong mặt phẳng (SAC), IP  SA  R

 R  IP
 R   MNP 

 IP   MNP 
 R  SA
 R   SAB 

 SA   SAB 
 R   MNP  ,  SAB  (1)
22


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

Lại có M   SAB  ,  MNP 

GV: Đỗ Văn Thọ

(2)

Từ (1), (2) RM là giao tuyến của (MNP) và (SAB)
c. (MNP) và (SAD). Tương tự câu b, RN là giao tuyến
d. (MNP) và (ABCD)

S

N

M

A

D

P

B

C

Y

X

Trong mặt phẳng (SBC), MP cắt BC tại Y

Y  MP, BC  Y   MNP  ,  ABCD  (1)
Trong mặt phẳng (SCD), NP cắt CD tại X

X  NP, CD  X   MNP  ,  ABCD  (2)
Từ (1), (2) XY là giao tuyến của (MNP) và (ABCD)
Bài 8:
a. (MAC) và (MBD)

23


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

GV: Đỗ Văn Thọ

M

A

D

O
B

C

Dễ dàng chứng minh được MO là giao tuyến
b. (AMN) và (ACD)
M

A

B

D

C

N

I

Trong mặt phẳng (ABCD), AN cắt CD tại I

I  AN , CD  I   ANM  ,  ACD 

(1)

Lại có, A   ANM  ,  ACD  (2)
Từ (1), (2) AI là giao tuyến cuat (ANM) và (ACD)
24


Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

Bài 9:
a. (MNE) và (SAD)
S

E

A

I

D

M

B

N

C

Trong mặt phẳng (ABCD), MN cắt AD tại I

I  MN , AD  I   MNE  ,  SAD 

(1)

E   MNE  ,  SAD  (2)

Từ (1), (2) IE là giao tuyến của (MNE) và (SAD)
b. (MNE) và (SCD)

25

GV: Đỗ Văn Thọ