đề thi kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 thành phố hải phòng

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HẢ I PHÒNG - BẢNG A
Năm học 2010 - 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (2 điểm)
1. Rút gọn biểu thức sau
2. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn là số chính phương.
Bài 2. (1 điểm) Giải phương trình
Bài 3. (2 điểm)
1. Cho là hai nghiệm của phương trình Hãy tính giá trị của biểu
thức
2. Hãy tìm một đa thức bậc bảy với hệ số nguyên nhận làm nghiệm.
Bài 4. (1,5 điểm) Cho tam giác cân tại có trên cạnh lấy điểm
sao cho trên cạnh lấy điểm sao cho Gọi là giao điểm của
và Chứng minh rằng tam giác cân tại
Bài 5. (2,5 điểm) Cho tứ giác với là giao điểm hai đường chéo. Gọi và lần lượt là
trực tâm các tam giác và Chứng minh
1.
2. vuông góc với đoạn thẳng nối trực tâm hai tam giác và
Bài 6. (1 điểm) Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Bài 1:
1. Rút gọn biểu thức:
2. Tìm min:
Bài 2:
1.Cho (P): ( là tham số) giao nhau tại 2 điểm và
. Tìm k
2. Giải phương trình:
Bài 3:
1. có . là tiếp điểm trên cạnh . . Chứng minh
rằng
a. b.

2.
Bài 4:Giải hệ phương trình:
Bài 5:
Cho và . Chứng minh rằng
câu 1:
a) rút gọn biểu thức :
với
b) cho biểu thức với n là số nguyên dương. Chứng
minh
. Áp dụng không sử dụng máy tính . hãy tính và
Câu 2:
a) không sử dụng máy tính giải phương trình :
b) giải hệ phương trình
Câu 3:
a) cho phương trình ( ẩn x ): có hai nghiệm . Tìm
m sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
b) Biết hai phương trình và chỉ có một
nghiệm chung. Chứng minh hai nghiệm còn lại là nghiệm của phương trình
Câu 4:
Cho tam giác ABC, dựng hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại D. Một
đường thẳng qua D cắt đường tròn đường kính AB tại E và cắt đường tròn đường
kính AC tại F sao cho D nằm giữa E và F ( E và F khác A,B,C) . Gọi M, N là các trung
điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng AN vuông góc với NM.
Câu 5:
Gọi AB là đường thẳng cho trước. Tìm tất cả các điểm C trong mặt phẳng chứa AB
sao cho: trong tam giác ABC đường cao kẻ từ A và các đường trung tuyến kẻ từ B có
độ dài bằng nhau
Câu 6:
a) cho 2 số dương a và b . Chứng minh
b) cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Năm học 2010 - 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (2 điểm):
Rút gọn biểu thức:
Bài 2 (5 điểm):
1. Giải phương trình:
2. Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn
Tìm y khi x lần lượt đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 (5 điểm):
1. Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình
phương của chúng.
2. Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của:
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
1. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn
(K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường tròn (I), (K) lần lượt tại các
điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C).
Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CNA bằng 3 lần diện tích tam giác
AMB.
2. Cho AB < AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = AB. Gọi điểm E là hình chiếu
của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng
DE.
So sánh và với cosAEB.
Bài 5 (2 điểm):
Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với
. Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó.

1. Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng?
2. Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên
dương?
Đề thi hsg tỉnh Bình Thuận 2010-2011
Bài 1(4 điểm)
1/ Hiệu các bình phương của hai số nguyên dương là 169. Tìm hai số đó.
2/ Cho một số gồm ba chữ số mà chữ số cuối lớn hơn chữ số đầu. Nếu viết chữ số cuối lên trước
chữ số đầu ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 765. Tìm số đã cho.
Bài 2(4 điểm )
1/ Không sử dụng máy tính cầm tay hãy tính :
2/ giải hệ phương trình
Bài 3(4 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 4.(6 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy M, vẽ đường tròn (O) đường kính MC.
Đường tròn (O) cắt đường thẳng BM và cạnh BC lần lượt tại D và F, đường thẳng AD cắt (O) tại
E. Chứng minh:
1/ Ba đường thẳng BA, FM và CD đồng quy
2/ M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF.
3/ CA là tia phân giác góc ECB
Bài 5(2 điểm)
Cho hình vuông ABCD, đường tròn đường kính BC và đường tròn tâm D bán kính CD cắt nhau
tại điểm thứ hai là M, CM cắt AB tại E. Tính số đo góc AEC.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Tiền Giang 2011
Câu 1: (5,0 đ)
1/. Cho biểu thức: A =
a. tìm a để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị a nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên
2/. Giải hệ phương trình:
Câu 2: (5,0 đ)

1. Cho phương trình: (1) (m là tham số). Tìm m để
phương trình có ba nghiệm phân biệt.
2. Cho phương trình:
a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm
(Giả sử )
b. Khi đó, tìm m để nghiệm dương đạt giá trị lớn nhất
Câu 3: (2,0 đ)
Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
Câu 4 : (2,0 đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R và có hai đường chéo vuông góc
với nhau. Tính theo R
Câu 5 : (6,0 đ)
Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, người ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho
(k là số dương cho trước)
1. Cho diện tích tam giác ABC bằng S. Tính diện tích tam giác MNP theo k và s.
2. Tam giác ABC cố định. Hãy chọn số k sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ nhất.
Đề thi hsg tỉnh Quảng Ninh năm 2010-2011
Bài 1:
Rút gọn biểu thức
Bài 2:
Trong mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm , chứng minh rằng tam
giác là tam giác vuông.
Bài 3:
Với n là một số tự nhiên tùy ý đặt chứng minh M chia
hết cho 6
Bài 4:
Giải phương trình
Bài 5:
Cho đường tròn tâm (0;R) với hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi E là điểm
chính giữa của cung nhỏ BC, dây AE cắt CD tại M, dây DE cắt AB tại N

1: tam giác CEM là tam giác gì , vì sao ?
2: chứng minh rằng tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn
Bài 6:
Cho phương trình có nghiệm ( ẩn x), chứng minh rằng phương trình
cũng có nghiệm ( ẩn x)
Hết
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10; THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh; năm học 2010-2011
Bài 1.
Cho biểu thức với . với
a)Rút gọn M
b)Tính M khi
Bài 2.
a)Giải hệ phương trình
b) cho phương trình
1. chứng minh x=-1 là 1 nghiệm của pt (1)
2. tìm m để (1) có 3 nghiệm phân biệt
Bài 3:
cho nhọn nội tiếp . Kẻ AH vuông góc với BC và BE vuông góc với đường
kính AD
a) chứng minh
b) qua trung điểm K của AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M. chứng minh
cân
Bài 4.
cho thỏa mãn . Chứng minh
Bài 5.
cho hình chữ nhật ABCD có AB=5 cm , BC=2cm. Trên cạnh AB lấy I bất kì . Kẻ IM
vuông góc với AC và IN vuông góc với DC . Tìm vị trị I để AN là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp
Đề thi thử vào khối THPT chuyên, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội vòng 2 đợt 1 (20/03/2011)
Đề vòng 2

Câu I:
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ :
Câu II:
1. Chứng minh rằng không tồn tại nguyên dương thoả mãn:
2. Giải phương trình:
Câu III:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O), độ dài đường cao là . M thuộc cung nhỏ BC. Gọi
là hình chiếu của M trên BC, CA, AB.
1. Chứng minh rằng có giá trị không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ
BC
2. Chứng minh:
Câu IV
Giả sử A là tập hợp gồm 9 số nguyên dương mà tích của chúng có không quá 3 ước nguyên tố.
Chứng minh rằng trong A tồn tại 2 số có tích là bình phương đúng.

Shyran's: Ta có thể tổng quát bài IV như sau (cm không khác bài toán riêng là mấy: Dirichlet):
Với là số nguyên lớn hơn 1 xét số nguyên dương mà tích của chúng có không
quá ước nguyên tố. Khi đó trong các số đã cho tồn tại số có tích là luỹ thừa bậc của
một số nguyên
Khi n lẻ ta có thể thay điều kiện các số đã cho nguyên dương bằng điều kiện các số đã cho là các
số nguyên.
Bài IV ứng với
Ðề: Đề thi hsg Bình Phước năm 08-09
Bài 1: Cho Phương trình
với m là tham số. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm dương
Bài 2: cho a;b;c là các số dương, chứng minh rằng:
Bài 3: giải phương trình
Bài 4:
Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành 2 hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi số đã

viết với số thứ tự chỉ vị trị mà nó đứng. Chứng minh rằng tồn tại hai tổng mà chữ số tận cùng của
các tổng đó là như nhau.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O')
đường kính AC tại D; M là điểm chính giữa của cung nhỏ DC ; AM cắt (O) tại N, cắt BC tại E
1. Chứng minh O,N,O' thẳng hàng
2. Gọi I là trung điểm MN, chứng minh góc OIO' vuông
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 08-09
Bài 1: chứng minh rằng
là bình phương của số nguyên
bài 2: a) giải phương trình
b) xác định các số nguyên a;b biết rằng đường thằng y=ax+b ( a khác 0) đi qua điểm A(4;3), cắt
trục tung tại điểm có tung độ là 1 số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là số
nguyên dương
bài 3: cho pt ẩn x: (m là tham số )
a) chứng minh pt (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) trong trường hợp pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
tìm m để
bài 4 : cho và . hãy tìm min của bt

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 08-09
Bài 1: chứng minh rằng
là bình phương của số nguyên
bài 2: a) giải phương trình
b) xác định các số nguyên a;b biết rằng đường thằng y=ax+b ( a khác 0) đi qua điểm A(4;3), cắt
trục tung tại điểm có tung độ là 1 số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là số
nguyên dương
bài 3: cho pt ẩn x: (m là tham số )
a) chứng minh pt (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) trong trường hợp pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
tìm m để

bài 4 : cho và . hãy tìm min của bt

Đề thi chọn HSG tỉnh Hà Tĩnh (lớp 9 ) năm 2006-2007
Bài 1: Cho phương trình :
a) TÌm a để có ngiệm
b) Giải phương trình với giá trị của a tìm dc ở trên
Bài 2: Cho 3 số a,b,c khác 0 t/m :
Chứng minh rằng 3 số có ít nhất 2 số bằng nhau
Bài 3:Gọi là 1 ngiệm của phương trình: . Tính giá trị của biểu
thức:
Bài 4: CHo đường tròn và đường tròn (Với .) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt . ( và thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ). Vẽ
tiếp tuyến chung thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm , có bờ là đường
thẳng . Trong đó theo thứ tự thuộc . Từ vẽ các đường
thẳng song song với , chúng cắt nhau tại . Chứng minh rằng
a) Tứ giác nội tiếp
b) thẳng hàng
c) .
Bài 5: Cho x,y,z t/m:
Chứng minh:

Đề thi tuyển sinh lớp 10 KHTN 2010
Vòng 1
Câu 1:
1) Giải hệ pt:
2) Giải pt:
Câu 2:
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức:
.
2) Gọi là phần nguyên của . Cmr với mọi nguyên dương, ta có:

.
Câu 3: Cho đường tròn tâm (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đường
tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 30. Gọi H là giao điểm thứ 2 của đường thẳng
BC với (O).
1) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đường thẳng BC theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác
B). Cmr bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm của đường tròn này luôn
chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC.
Câu 4: Cho là các số thực thỏa mãn đẳng thức . Tìm min của:
.

Vòng 2
Câu 1:
1) Giải pt:
2) Giải hệ pt:
Câu 2:
1) Tìm nguyên dương để là số chính phương.
2) Với là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Câu 3: Cho tam giác ABC nhọn, điểm M bất kì nằm trong tam giác. Kẻ MH vuông góc với BC
(H thuộc BC). Từ H kẻ HE, HF, HP, HQ lần lượt vuông góc với AB, AC, BM, MC. Giả sử E, P,
Q, F thẳng hàng. Chứng minh:
a) M là trực tâm của tam giác ABC.
b) Tứ giác BEFH nội tiếp nội tiếp.
Câu 4: Cho 2010 số thực khác không xếp theo thứ tự . Ta đánh dấu tất cả các số
dương trong dãy và các số âm thỏa mãn điều kiện rằng tổng của chúng với một số số liền sau
chúng là một số dương. Cmr nếu trong dãy có một số dương thì tổng của tất cả các số bị đánh
dấu là một số dương.
Đề thi tuyển sinh lớp 10 SPHN 2010
Vòng 2
Câu 1:

1) Giả sử và là 2 số dương khác nhau và thỏa mãn . Cmr:
.
2) Cmr: là một số nguyên dương.
Câu 2: Giả sử bốn số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
i) PT có 2 nghiệm .
ii) PT có 2 nghiệm .
Cmr:
1. .
2. .
Câu 3 : Giả sử và là những số nguyên dương với . Đặt . Cmr:
1) Nếu thì .
2) Nếu là số chính phương thì .
Câu 4: Cho tam giác với . Trên cạnh của tam giác lấy
các điểm và sao cho và .
1) Cmr: điểm nằm trong đoạn thẳng .
2) Qua M và kẻ và . Cmr: .
3) Cho và . Tính theo .
Câu 5: Trên một bảng đen ta viết 3 số . Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần
chơi ta xóa 2 số nào đó trong 3 số trên bảng, giả sử là a và b, rồi viết vào 2 vị trí vừa xóa 2 số
mới là và , đồng thời giữ nguyên số còn lại. Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng
luôn có 3 số. Cmr: dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không thể có đồng thời
3 số .
Đề HSG 9
Câu 1 : a,tính giá trị biểu thức
biết
b, tìm số nguyên lớn nhất ko vượt quá
c, Cho tính
Câu 2 :
a,GPT :
b, xác định các số hữu tỉ sao cho

Câu 3 : Cho a,b là các số thực dương CMR
Câu 4 : Cho tam jác ABC nhọn, (O) đkính BC cắt AB và AC tại E và F. CE cắt BF tại H, AH cắt
BC tại D Qua A kẻ tiếp tuyến vs (O) tại M và N. CM
a,
b, ba điểm M,H,N thẳng hàng
Câu 5 :
Cho 2 (O;R),(I;r) cắt nhau tại 2 điểm fân biệt A,B Vẽ tiếp tuyến chung MN thuộc nửa mặt phẳng
ko chứa điểm A, có bở là đường thẳng OI
(M thuộc (O); N thuộc (I) ) Dựng hình bình hành AMDN
a, CM tứ jác BMDN nội tiếp
b, CM 3 điểm A,B,C thẳng hàng
c, So sánh độ dài BD & R+r
Đề thi vào lớp 10 trường THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG-Nam Định
2003-2004
Câu 1:Cho phương trình : ( có ẩn số là x)
a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
b/ Gọi là hai nghiệm của phương trình .Tìm m để có
Câu 2: a/ cho và .Chứng minh :
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Câu 3: Giải các hệ phương trình :
a/ .
b/
Câu 4:Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm :
Câu 5:Cho đường tròn tâm đường kính . Gọi K là trung điểm của cung AB,M là điểm lưu
động trên cung nhỏ AK( M khác điểm A và K).Lấy điểm trên đoạn sao cho .
a/ Chứng minh
b/ Chứng minh tam giác là tam giác vuông cân.
c/ Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại D. Chứng minh là đường phân giác của góc
d/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với tại luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 6: Cho tam giác có và có là bán kính đường tròn ngoại

tiếp thỏa hệ thức : Hãy định dạng tam giác
Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên Toán-Tin Ams
2006-2007
Bài 1:
Cho PT ẩn x:
1. Giải PT với
2. Tìm a để (*) có nhiều hơn 2 nghiệm dương phân biệt
Bài 2: Cho dãy các số tự nhiên được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích k số
nguyên tố đầu tiên (k=1,2 ). Biết rằng tồn tại 2 só hạng của dãy có hiệu là 30000, tìm 2 số hạng
đó.
Bài 3: Tìm các só nguyên x,y,z thỏa mãn:
Bài 4:Cho nửa đường tròn đừong kính AB+2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn. D là
hình chiếu của C trên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại E, cắt phân
giác góc ABC tại H
1. CM AE//BH
2. Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đưong kình AC ở F, cắt CE ở I. Tính S tam giác FID
trong trường hợp nó đều
3. Trên BH lấy K sao cho HK= HD, gọi J là giao điểm AF và BH. Xác định vị trí C để tổng
khoảng cách từ I,J,K đến AB max
Bài 5:CMR trong 2007 số khác nhau tùy ý đựoc lấy ra từ tập hợp A={1;2; }, có ít
nhất hai số x,y thỏa mãn:
2007-2008
Copy from Mnf
1) Cho phương trình
a. Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
2) Cho A di chuyển trên đường tròn tâm đường kính ( khác và ). Lấy
điểm đối xứng qua . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và là trung
điểm của .
a. CM M chuyển động trên 1 đường tròn cố định

b. CM tam giác đồng dạng với tam giác
c. CM vuông góc với
d. cắt đường tròn tại và cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là . CM
tổng bình phương các cạnh của tứ giác ko đổi.
3) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất tận cùng là và chia hết cho .
4) Cho lưới ô vuông . Người ta điền vào các ô 1 trong các số . Xét tổng các
số được tính theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chéo.CMR luôn tồn
tại 2 tổng có giá trị bằng nhau.
5) Cho số nguyên dương . Tính tổng sau theo :
Vòng 1(dàng cho thí sinh khối TN)
Bài 1:(2d).Cho biểu thức với
a)Rút gọn
b)Tìm để
Bài 2:(2d)Cho pt (1)
a)Tìm để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
b)Tìm min với là nghiệm của pt (1)
Bài 3:(2d) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể sau thì đầy bể.Nếu vọi thứ nhất chảy riêng trong
và vòi thứ 2 chảy riêng trong thì được bể.Hỏi mỗi vòi chảy riêng thìcaanf bao nhiêu thoeif
gian thì chảy đầy bể nước đó!
Bài 4 (3d)Cho ,đường kính .Gọi là điểm di động trên nửa ĐTR đó(
).Dựng ĐTR tâm tiếp xúc với tại .Từ vẽ hai tiếp tuyến với
a)Chứng minh các điểm cùng nằm trên tiếp tuyến của tại
b)Giả sử ,hãy tính thể tích hình nón do quay tam giác vuông một
vòng quanh cạnh góc vuông
Bài 5:Tính tổng:
Bài 6 (1d):Cho tam giác có 3 góc đều nhọn.CMR:

Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TP.HCM
Năm học 2004-2005
Ngày thứ I:

Bài 1:
Cho phương trình :
a) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
b) Định m sao cho tích của 4 nghiệm trên đạt giá trị lớn nhật
Bài 2:
Giải các phương trình:
a)
B)
Bài 3:
Cho là 2 số thực khác 0. Chứng minh :
Bài 4:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O,R). Vẽ tam giác đều ACD( D và B
nằm trên 2 nửa mặt phẳng khác nhau có chung bờ AC). Gọi E là giao điểm của BD
với đường tròn (O) , gọi M là giao điểm của BD với đường cao AH của tg ẠBC
a) Chứng minh MADC nội tiếp .
B) Tính ED theo R
Bài 6:
Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn tâm O . Trên cung AC không chứ
điểm B lấy 2 điểm K và M theo thứ tự A, K , M , C5Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau
tại E , còn lại các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D . Chứng minh : ED // AC
Ngày thứ II:
Bài 1:
Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt và phương trình
có 2 nghiệm . Chứng minh :
Bài 2:
Cho các số thỏa :
khác 0 .
Chứng minh :

Bài 3:
a) Tìm thỏa
b) Cho các số dương thỏa .
Chứng minh :
Bài 4:
Chứng minh rằng không thể có các số nguyên thỏa phương trình
Bài 5:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) (AB < AC).Đường
tròn tâm O1 tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M , tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần
lượt tại L và K. Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với đường tròn (O).
a) Chứng minh ME là tia phân giác của góc AMC
B) Tia phân giác Mx của góc BMC cắt LK tại I. Chứng minh rằng bốn điểm M,I,K,C
cùng thuộc một đường tròn .
c) Chứng minh CI là tia phân giác của góc BCA.
Bài 6:
Cho DABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho BD = a và CD
= b ( a > b) . Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường
thẳng BC tại E . Tính AE theo a và b.
Năm 2002-2003
Câu 1 : Giải hệ pt :
Câu 2 : Gọi là 2 nghiệm của pt .
Chứng minh số không phải là số chính phương nhưng có thể phân
tích được thành tổng của 3 số chính phương liên tiếp
Câu 3 : Trong tất cả các tam giác nhọn ABC nội tiếp trong 1 đường tròn bán kính 1,
hãy t“m tam giác làm cho biểu thức :
F = đạt GTNN
Trong đó : lần lượt là độ dài các đường : Trung tuyến kẻ từ A; phân giác
trong của góc B và đường cao hạ từ C
Câu 4 : Cho với a,b,c,d :in R.
Biết f(1) = 10 ; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính :

Câu 5 : Cho các số nguyên x,y thỏa mãn :
T“m max và min của biểu thức :
Câu 6 : Cho các số thực a;b thỏa mãn :
và
Chứng minh rằng :
Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Bắc Giang
Năm học :2006-2007
Thời gian:150 phút

Bài 1 : (2,0 điểm)
Cho phương trình : , là tham số
a) Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm để phương trình đã cho có 2 nghiệm và thỏa mãn .
Bài 2 : (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A= + .
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên a và b sao cho la nghiệm của phương trình
.
Bài 3 : (1,5 điểm)
Tìm tất cả các số thực dương x và y thỏa mãn :
Bài 4 : (3,5 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB=AC).Điểm M nằm trên cạnh BC ( M khác B và
C ).Đường tròn ( I ) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AB tại B, đường tròn ( J ) đi
qua M và tiếp xúc với đường thẳngAC tại C
a) Nêu cách xác định tâm I của đường tròn ( I ) và tâm ( J ) của đường tròn ( J ).
b) Các đường tròn ( I ) và ( J ) cắt nhau tại điểm thứ hai N.Chứng minh tứ giác BNCA
nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn BC thì tổng các bán kính đường tròn ( I )
và ( J ) không đổi và đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 5: (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: biết

Đề thi vào lớp Toán-Tin Ams 1996
Câu 1Viết các số liên tiếp ta được số:
CMR A chia hết cho 1998
Câu 2 Giải PT:
Câu 3 Cho các số dương a,b,c có tổng =2, CMR:
Câu 4 Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn tâm O. Phân giác góc A cắt đường tròn (O) ở D.
Một đường tròn (L) thay đổi luôn đi qua A và D cắt hai đường thẳng AB và AC ở giao điểm thứ
2 là M và N (có thể trùng A)
a. CMR MB=CN
b. Tìm tập hợp trung điểm K của MN
c. Xác định vị trí đường tròn (L) sao cho đoạn thẳng MN min
Bài 5: HCN 3x4 được chia bởi các đường thẳng // với các cạnh thành 12 hình vuông đơn vị 1.
CMR với 7 điểm bất kì nằm trong hcn ta có thể chọn ra 2 điểm khoảng cách ko vượt quá .
CM kêt luận vẫn đúng khi số điểm là 6 và ko còn đúng khi số điểm là 5
NĂM HỌC 1995-1996
Bài 1.(2đ).Với giá trị nào của a thì hệ sau đây vô nghiệm?
ax+y=2
x+ay=a+1
Bài 2.(2đ).Cho đa thức a,b là hai số nguyên khác nhau
c/m:Đa thức không thể phân tích thành hai đa thức bậc nhất có hệ số là các số nguyên
Bài 3.(2 đ).Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
Bài 4.(2đ).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại
M và cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC tại N.Gọi P,Q lần lượt là chân các đường
vuông góc hạ từ M theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC.
Chứng minh diện tích hình ANPQ bằng diện tích tam giác ABC.
Bài 5. (2đ).Cho hình bình hành ABCD góc BAD nhọn .O là giao điểm của các đường chéo .Kẻ
các đường DM,DN,DP lần lượt vuông góc với AB,BC.AC.
Chứng minh rằngM,N,P,O ở trên một đường tròn.
Thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An năm 2007-2008
From diendantoanhoc.org

Câu 1 (6 điểm):
a.Giải pt:
b.Cho đa thức bậc bốn P(x) với các hệ số nguyên thỏa mãn P(x) chia hết cho 7 với mọi x thuộc Z
(Z là tập số nguyên).Chứng minh các hệ số của P(x) chia hết cho 7
Câu 2 (5 điểm):
a.Giải hệ pt:
b.Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn:
Chứng minh:
Câu 3 (2 điểm)
Trong một hình chữ nhật có diện tích bằng 5 chứa 9 hình chữ nhật nhỏ,mỗi hình chữ nhật nhỏ có
diện tích bằng 1.Chứng minh rằng tồn tại 2 hình chữ nhật nhỏ có diện tích phần chung ko nhỏ
hơn
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AN và CK.Đường tròn ngoại tiếp
tam giác BKN cắt đường tròn (O) tại điểm M (M khác B).Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng
AC
a.Chứng minh EK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN
b.Chứng minh EM vuông góc với MB
Câu 5 (2 điểm)
Biết rằng một tứ giác lồi có tổng hai cạnh đối và một đường chéo không lớn hơn .Tính độ
dài đường chéo còn lại theo S
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2010-2011
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian chép đề
Câu I. Giải phương trình
Câu II. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình
Câu III. Cho tam giác nhọn với trực tâm . Đường thẳng vuông góc với tại cắt
đường thẳng ở , đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại . Gọi
theo thứ tự là trung điểm của .

1. Chứng minh rằng thẳng hàng
2. Đường thẳng cắt trung tuyến của tam giác tại . Chứng minh rằng đường tròn
ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với .
Câu IV. Cho là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu V. Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng. Chứng minh
rằng tồn tại hai điểm được tô bởi cùng một màu mà độ dài .
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉ nh Thừ a Thiên Huế lớp 9 năm học 2010-2011
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TINH LỚP 9 THCS-NĂM 2010-2011
(TINH THỪA THIÊN HÚÊ)
Bài 1:Cho phương trình
a) Xác định m để phương trình trên có 4nghiệm phân biệt
b) KHi phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=
Bài 2: a)Giải hệ phương trình:
Bài 3:Tìm các số nguyên x,y thoả mãn:
Bài 4: Cho đường tròn (O;R), trên đó lấy một điểm cố định A và vẽ đường tròn (A;R), cát tuyến
của (O) đi qua A và H cắt (O) tại điểm thứ 2 là K . Dựng trung trực của đoạn HK cắt (O) tại B và
C
a) Tính minh rằng H là trực tâm tam giác ABC
b) Tính số đo góc A của tam giác ABC
Bài 5
Một hình tròn bán kính 1cm lăn ở ngoài 1 tam giác vuông có các cạnh goác vuông là
6cm,8cm.HÌnh tròn khi lăn luôn tiếp xúc với một trong các cạnh của tam giác và tại mỗi đỉnh của
tam giác, hình tròn vẫn luôn giữ tiếp xúc với các đỉnh đó khi lăn từ một cạnh sang cạnh kế tiếp.
Khi hình tròn lăn một vòng đầy đủ trên các cạnh của tam giác thì quỹ đạo tâm đường tròn đó có
độ dài bằng bao nhiêu?
BÀi 6:
Người ta thiết lập dãy các hình ngũ giác bằng các châm điểm được biểu diễn bởi 5 hình ngũ giác
đầu tiên như hình vẽ sau. HỎi ngũ giác thứ 25 gồm bao nhiêu châm điểm ? Tìm công thức để
tính với là số chấm điểm tạo nên hình ngũ giác thứ n.

DO em không biết cách post hình lên, nên mấy anh,chị thông cảm.
Đa giác 1 có 1 chấm.
Đa giác 2 có 5 chấm.
Đa giác 3 có 12 chấm.
Đa giác 4 có 22 chấm.
Đa giác 5 có 35 chấm.