bài tập hình học affine và euclid

Chương 3
Bài tập chương 3
Bài tập 3.1. Trong bảng phân loại các đường bậc hai trong A
2
, hãy khảo sát các đặc trưng sau
của từng đường:
1. Suy biến hay không suy biến? Hạng lớn và hạng bé bằng bao nhiêu? Có tâm hay không có
tâm?
2. Tìm phương tiệm cận và đường tiệm cận (nếu có).
Bài tập ??.
Bài tập 3.2. Câu hỏi tương tự bài tập ?? đối với phân loại affine các mặt bậc hai trong A
3
.
Bài tập ??.
Bài tập 3.3. Chứng minh rằng trong A
n
một siêu mặt bậc hai không suy biến mà có tâm thì chỉ
có một tâm.
Bài tập 3.3.
Ta có phương trình xác định tâm của (S) là A[x] +a = 0. Do đó nếu (S) không suy biến thì det(A)
khác không nên phương trình trên có nghiệm duy nhất. Do đó (S) chỉ có một tâm.
Bài tập 3.4. Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp hãy xét vị trí tương đối giữa một siêu mặt bậc
hai và một m-phẳng trong A
n
.
Bài tập 3.4.
Chọn mục tiêu affine {O
−→
e
i
} sao cho O ∈ α, {

−→
e
1
, . . . , e
n−1
} là cơ sở của α. Khi đó, phương trình
của α là x
n
= 0.
Giả sử phương trình của S là
(S) :
n

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
+ 2
n

i
a
i
x
i
+ a
0

= 0.
1
Bài tập Hình học affine và Euclid
Ta có M ∈ (S) ∩ α, M(x
1
, . . . , x
n
) khi và chỉ khi
n

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
+ 2
n

i
a
i
x
i
+ a
0
= 0
x
n

= 0
hay
n−1

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
+ 2
n−1

i
a
i
x
i
+ a
0
= 0
x
n
= 0.
1. Nếu rank(a
ij
)
n−1
ij=1

= 0 thì (S) ∩ α là một siêu mặt bậc hai chứa trong α.
2. Nếu rank(a
ij
)
n−1
ij=1
= 0 và

n−1
i=1
|a
i
| = 0 thì (S) ∩ α là (n − 2)-phẳng (siêu phẳng trong α.)
3. Nếu rank(a
ij
)
n−1
ij=1
= 0 và a
1
= a
2
= ··· = a
n−1
= 0, a
0
= 0 thì (S) ∩ α = ∅.
4. Nếu rank(a
ij
)

n−1
ij=1
= 0 và a
0
= a
1
= a
2
= ··· = a
n−1
= 0 thì α ⊂ S.
Bài tập 3.5. Chứng minh rằng, đường tiệm cận (nếu có) của một siêu mặt bậc hai không suy
biến thì không cắt siêu mặt bậc hai đó.
Bài tập 3.5.
Bài tập 3.6. Chứng minh rằng, nếu siêu mặt bậc hai S có điểm kỳ dị thì S suy biến.
Bài tập 3.6.
Bài tập 3.7. Trong A
2
với mục tiêu đã chọn, cho các đường bậc hai có phương trình lần lượt là:
1. S
1
: 4x
1
2
+ x
2
2
+ 4x
1
x

2
+ 2x
2
= 0.
2. S
2
: 3x
1
2
+ x
2
2
− 2x
1
x
2
− 2x
1
+ 2x
2
+ 1 = 0.
3. S
3
: x
1
2
− 4x
2
2
+ 2x

1
x
2
+ 2x
2
= 0.
4. S
4
: 5x
2
1
+ 13x
2
2
− 16x
1
x
2
+ 4x
1
− 6x
2
= 0.
5. S
5
: x
2
2
− 2x
1

x
2
− 2x
1
+ 2x
2
+ 1 = 0.
6. S
6
: 4x
2
1
+ x
2
2
− 4x
1
x
2
− 8x
1
+ 4x
2
+ 3 = 0.
7. S
7
: 3x
2
1
− 6x

1
x
2
+ 2x
1
+ 2x
2
= 0.
Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, phương tiệm cận và đường tiệm cận của chúng.
Bài tập 3.7.
2
Bài tập Hình học affine và Euclid
1. S
1
có tâm là I(−1, 1) và không có điểm kỳ dị.
2. S
2
có tâm là I(0, −1) và điểm kỳ dị là I(0, −1).
3. S
3
có tâm là I(−
1
5
,
1
5
) và không có điểm kỳ dị.
4. S
4
có tâm là I(−2, −1) và không có điểm kỳ dị.

5. S
5
có tâm là I(0, −1) và điểm kỳ dị là I(0, −1).
6. S
6
có vô số tâm dạng I(t, 2t − 2) và không có điểm kỳ dị.
7. S
7
có tâm I(
1
3
,
2
3
) và không có điểm kỳ dị.
Bài tập 3.8. Với các đường bậc hai cho Bài tập 3.7, hãy xác định phương trình dạng chuẩn tắc
và mục tiêu affine tương ứng.
Bài tập 3.8.
1. S
1
: 4x
2
1
+ x
2
2
+ 4x
1
x
2

+ 2x
2
= 0.
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 2x
1
+ x
2
y
2
= −x
2
hay
x
1
=
1
2
y
1
+
1
2
y
2
x
2
= −y

2
.
Ta có phương trình chính tắc của (S
4
) là y
2
1
− 2y
2
= 0.
2. S
4
: 5x
2
1
+ 13x
2
2
− 16x
1
x
2
+ 4x
1
− 6x
2
= 0.
Ta biến đổi phương trình S
1
về dạng: (2x

1
− 3x
2
+ 1)
2
+ (x
1
− 2x
2
)
2
− 1 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 2x
1
− 3x
2
+ 1
y
2
= x
1
− 2x
2
hay
x
1
= 3y

1
− 4y
2
− 2
x
2
= y
1
− 2y
2
− 1.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
1
) là y
2
1
+ y
2
2
−1 = 0 với mục tiêu tương ứng là {I;
−→
ω
i
},
trong đó I(−2; −1),
−→
ω
1
= (3; 1),
−→

ω
2
= (−4; −2).
3. S
5
: x
2
2
− 2x
1
x
2
− 2x
1
+ 2x
2
+ 1 = 0.
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= x
1
y
2
= x
1
− x
2
+ 1
hay

x
1
= y
1
x
2
= y
1
− y
2
+ 1.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
2
) là y
2
1
− y
2
2
= 0.
4. S
6
: 4x
2
1
+ x
2
2
− 4x
1

x
2
− 8x
1
+ 4x
2
+ 3 = 0.
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 2x
1
− x
2
− 2
y
2
= x
2
hay
x
1
=
1
2
y
1
+
1
2

y
2
+ 1
x
2
= y
2
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
3
) là y
2
1
− 1 = 0.
3
Bài tập Hình học affine và Euclid
5. S
7
: 3x
2
1
− 6x
1
x
2
+ 2x
1
+ 2x
2
= 0.

Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= x
1
+ x
2
− 1
y
2
= 2x
1
− x
2
hay
x
1
=
1
3
y
1
+
1
3
y
2
+
1
3

x
2
=
2
3
y
1
−
1
3
y
2
+
2
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
5
) là y
2
1
− y
2
2
− 1 = 0.
Bài tập 3.9. 1. Cho
−→
α = (1, −2). Tìm đường thẳng kính liên hợp với phương 
−→
α  của các

đường đã cho ở Bài tập 3.7.
2. Cho A(0, 0) ∈ S
1
, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại A của S
1
. Cho B(0, 1) /∈ S
2
, hãy viết
phương trình tiếp tuyến qua B của S
2
.
Bài tập 3.9.
Bài tập 3.10. Trong A
3
cho các mặt bậc hai có phương trình đối với mục tiêu đã cho lần lượt là:
1. S
1
: 2x
2
1
+ 5x
2
2
+ 2x
2
3
+ 4x
1
x
2

+ 2x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
+ 2x
2
+ 2x
3
= 0.
2. S
2
: x
1
2
+ 5x
2
2
+ x
3
2
+ 2x
1
x
2
+ 6x
2

x
3
+ 2x
1
x
3
− 2x
1
+ 6x
2
+ 2x
3
+ 4 = 0.
3. S
3
: 4x
2
1
+ 5x
2
2
+ x
2
3
+ 8x
1
x
2
+ 4x
1

x
3
+ 6x
2
x
3
− 2x
2
+ 2x
3
− 2 = 0.
4. S
4
: x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 2x
2
2
− 2x
2
x

3
+ 4x
2
3
− 2x
1
+ 6x
2
+ 6x
3
− 4 = 0.
5. S
5
: x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 2x
2
2
+ 7x
2
3

+ 2x
1
− 4x
2
− 2x
3
+ 2 = 0.
6. S
6
: x
2
1
+ 2x
1
x
2
+ 6x
1
x
3
− 2x
1
− 4x
2
− 14x
3
− 2 = 0.
7. S
7
: x

1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
+ 2x
1
x
2
− 2x
1
− 2x
2
− 2x
3
+ 1 = 0.
8. S
8
: x
2
1
+ 2x
1
x
2
+ 6x
1

x
3
− 2x
1
− 4x
2
− 12x
3
− 1 = 0.
9. S
9
: x
1
2
− x
2
2
+ 5x
3
2
− 6x
1
x
3
− 4x
2
x
3
+ x
1

+ x
2
− x
3
= 0.
Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, phương tiệm cận, nón tiệm cận (nếu có, xem bài tập 3.21).
Bài tập 3.10.
1. S
1
có tâm I(2/3, −1/3, −2/3) và không có điểm kỳ dị.
2. S
2
có tâm là I(2, −1, 0) và không có điểm kỳ dị.
3. S
3
có tâm I(0, −1, 2) và không có điểm kỳ dị.
4. S
4
có tâm và điểm kỳ dị là I(−10, −5, 3).
5. S
5
không có tâm và điểm kỳ dị.
6. S
6
có vô số tâm I(1 − t, t, 1) và không có điểm kỳ dị.
4
Bài tập Hình học affine và Euclid
7. S
7
8.

9. S
8
có vô số tâm và điểm kỳ dị là I(−1/2 + 3t, 1/2 − 2t, t).
Bài tập 3.11. Với các mặt bậc hai cho ở Bài tập 3.10, hãy xác định phương trình dạng chuẩn tắc
và mục tiêu tương ứng. Những mặt nào là suy biến?
Bài tập 3.11.
1. Dùng phép biến đổi mục tiêu
x
1
=
1
2
√
2y
1
−
1
3
√
3 −
1
6
√
6 +
2
3
x
2
=
1

3
√
3y
2
−
1
3
x
3
=
1
3
√
6 −
2
3
Khi đó S
1
có phương trình chuẩn tắc y
2
1
+ y
2
2
+ y
2
3
− 1 = 0.
2. Dùng phép biến đổi mục tiêu
x

1
= y
1
−
1
2
y
2
−
1
2
y
3
+ 2
x
2
=
1
2
y
2
−
1
2
y
3
− 1
x
3
= y

3
.
Khi đó S
2
có phương trình chính tắc là y
2
1
+ y
2
2
− y
2
3
− 1 = 0.
3. Dùng phép đổi mục tiêu
x
1
=
1
2
y
1
− y
2
+
1
2
y
3
x

2
= −y
1
+ y
2
− 1
x
3
= y
1
+ 2
Khi đó phương trình của S
3
có dạng chuẩn tắc S
6
: y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− 1 = 0.
4. Dùng phép biến đổi mục tiêu
x
1
= −y
1

+ y
2
+ 3y
3
− 10
x
2
= y
2
+ y
3
− 5
x
3
= −y
3
+ 3
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S
4
là y
2
1
+ y
2
2
− y
2
3
= 0.
5

Bài tập Hình học affine và Euclid
5. Dùng phép đổi mục tiêu
x
1
= y
1
+ y
2
− 4y
3
x
2
= y
2
− 2y
3
+ 1
x
3
= y
3
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S
5
là y
2
1
+ y
2
2
− 2y

3
= 0.
6. Dùng phép đổi mục tiêu
x
1
= −y
1
+ y
2
+ 2
x
2
= −y
2
− 3y
3
+ 2
x
3
= y
3
− 1
.
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S
6
là y
2
1
− y
2

2
− 2y
3
= 0.
7. Dùng phép biến đổi mục tiêu
x
1
= y
1
− y
3
x
2
= y
3
+ 1
x
3
= y
2
+ 1
.
Khi đó S
7
có phương trình chuẩn tắc là y
2
1
+ y
2
2

− 1 = 0.
8. Dùng phép đổi mục tiêu
x
1
= −y
1
+ y
2
+ 2
x
2
= −y
2
− 3y
3
+ 2
x
3
= y
3
− 1
.
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S
8
: y
2
1
− y
2
2

− 1 = 0.
9. Dùng phép biến đổi mục tiêu
x
1
= y
1
+ 3y
3
−
1
2
x
2
= y
2
− 2y
3
+
1
2
x
3
= y
3
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S
9
có dạng y
2
1
− y

2
2
= 0.
Bài tập 3.12. 1. Cho A(
4
3
, −
2
3
, −
1
3
) ∈ S
1
, hãy viết phương trình siêu tiếp diện tại A của S
1
.
2. Tự chọn một điểm B trên các mặt bậc hai đã cho ở Bài tập 3.10 và viết phương trình siêu
tiếp diện qua B.
Bài tập 3.12.
Bài tập 3.13. Cho vector
−→
d = (1, −2, 1). Tìm siêu phẳng kính liên hợp với phương 
−→
d  của các
mặt bậc hai cho ở Bài tập 3.10.
Bài tập 3.13.
6
Bài tập Hình học affine và Euclid
Bài tập 3.14. Trong A

2
cho đường thẳng d có phương trình 2x
1
+ 3x
2
−3 = 0. Hãy xét giao của
d và các đường bậc hai cho ở bài tập 3.7.
Bài tập ??.
Bài tập 3.15. Trong A
3
với mục tiêu affine {O;
−→
e
1
,
−→
e
2
,
−→
e
3
} cho mặt bậc hai S có phương trình
x
2
1
− 2x
2
2
+ x

2
3
+ 4x
1
x
2
− 8x
1
x
3
− 14(x
1
− x
2
+ x
3
) + 17 = 0.
1. Hãy tìm tâm của S.
2. Hãy chứng tỏ vector
−→
c (1, 2, 3) không phải là vector chỉ phương tiệm cận của S. Hãy viết
phương trình siêu phẳng kính liên hợp với phương 
−→
c  của S.
3. Chứng tỏ điểm M
0
(1, −1, 2) ∈ S không là điểm kì dị của S. Hãy viết phương trình siêu tiếp
diện của S tại điểm M
0
.

Bài tập 3.15.
Bài tập 3.16. Trong không gian A
3
với mục tiêu {O;
−→
e
1
,
−→
e
2
,
−→
e
3
} cho mặt bậc hai S
1
và S
2
lần
lượt có phương trình:
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3

+ 2x
1
x
2
− 2(x
1
+ x
2
+ x
3
) + 1 = 0
và
x
2
1
+ 2x
2
2
+ 2x
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2(3x

1
+ 5x
2
+ x
3
) = 0.
Hãy cho biết S
1
và S
2
có tương đương affine với nhau hay không?
Bài tập 3.16.
Bài tập 3.17. Trong không gian A
3
với mục tiêu {O;
−→
e
1
,
−→
e
2
,
−→
e
3
} cho mặt bậc hai S có phương
trình
4x
2

1
+ 3x
2
2
+ x
2
3
− 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2x
1
+ 2x
2
= 0
và điểm I(1, 0, 1).
1. Xác định phương trình dạng chuẩn tắc của S và mục tiêu tương ứng.
2. Chứng minh tập hợp tất cả các tiếp tuyến của S đi qua I là một mặt bậc hai và viết phương
trình của nó.
Bài tập 3.17.
Với phép đổi mục tiêu
x
1
=
1

4
√
6y
3
−
1
2
x
2
=
1
3
√
3y
2
+
1
12
√
6y
3
−
1
2
x
3
= y
1
−
1

4
√
6y
3
+
1
2
7
Bài tập Hình học affine và Euclid
phương trình của S có dạng chuẩn tắc
y
2
1
+ y
2
2
+ y
2
3
− 1 = 0.
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG.
Bài tập 3.18. Chứng minh rằng nếu I là tâm đối xứng của siêu mặt bậc hai S thì I là tâm của
S.
Bài tập 3.18.
Bài tập 3.19. Nhắc lại rằng một siêu mặt bậc hai suy biến trong A
n
với hạng của ma trận bé
bằng hạng của ma trận lớn gọi là siêu nón. Lúc đó hạng của ma trận bé (bằng hạng của ma trận
lớn) được gọi là hạng của siêu nón.
1. Chứng minh rằng siêu nón hạng r là một khái niệm affine (khái niệm không thay đổi qua

các phép biến đổi affine).
2. Nếu S là một siêu nón hạng r thì tồn tại mục tiêu affine {O;
−→
e
i
} sao cho phương trình của
S có dạng
r

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
= 0, a
ij
= a
ji
,
với hạng rank(a
ij
) = r.
3. Với O là gốc mục tiêu ở câu 2, chứng minh rằng nếu S là siêu nón và M ∈ S thì đường thẳng
OM ⊂ S. Các đường OM như vậy gọi là các đường sinh thẳng của S.
4. Chứng minh rằng, với một siêu nón hạng r, tập các điểm kỳ dị là một (n − r)-phẳng α gọi
là phẳng đỉnh của siêu nón. Chứng minh rằng với mọi M ∈ S \ α, phẳng tổng M + α ⊂ S.
5. Hãy phân loại các siêu nón trong A
2

, A
3
.
Bài tập 3.19.
Bài tập 3.20. Nhắc lại rằng một siêu mặt bậc hai suy biến gọi là siêu trụ nếu hạng của ma trận
bé khác hạng của ma trận lớn.
1. Chứng minh rằng khái niệm siêu trụ là khái niệm affine.
2. Chứng minh rằng, nếu S là siêu trụ thì tồn tại mục tiêu affine {O;
−→
e
i
} sao cho phương trình
của S có một trong hai dạng sau:
r

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
+ a = 0; a = 0; a
ij
= a
ji
; i, j = 1, . . . , r; (3.1)
hoặc
r


i,j=1
a
ij
x
i
x
j
+ 2a
r+1
x
r+1
= 0; a
r+1
= 0, a
ij
= a
ji
; i, j = 1, . . . , r. (3.2)
8
Bài tập Hình học affine và Euclid
3. Chứng minh rằng siêu trụ không có điểm kỳ dị.
4. Gọi
−→
α là không gian con sinh bởi {
−−→
e
r+1
, . . . ,
−→
e

n
}. Chứng minh rằng, nếu M ∈ S thì phẳng
α qua M với phương
−→
α cũng nằm trên S.
5. Gọi
−→
β là không gian vector con sinh bởi {
−→
e
1
, . . . ,
−→
e
r
}. Chứng minh rằng giao của S với
r-phẳng β qua O (với O là gốc mục tiêu ở câu 2) phương
−→
β là siêu mặt bậc hai trong β
có phương trình đối với mục tiêu {O;
−→
e
i
} chính là phương trình (3.1) hoặc (3.2) tương ứng.
Siêu mặt bậc hai (trong β) này được gọi là đáy của siêu trụ, ký hiệu S

.
6. Chứng minh rằng nếu ρ : A −→ β là phép chiếu song song lên β theo phương
−→
β thì ρ(S) = S


.
7. Phân loại các siêu trụ trong A
2
, A
3
.
Bài tập 3.20.
1) Xét siêu mặt bậc hai
(S) : [x]
t
A[x] + 2[a]
t
[x] + a
0
= 0,
đối với một mục tiêu affine cho trước {E; E
i
}.
Khi đó, (S) là siêu nón khi và chỉ khi rank(A) = rank

a
0
[a]
t
[a] A

< n + 1.
Giả sử f : A
n

−→ A
n
là phép biến đổi affine thì f biến một siêu nón thành một siêu nón. Thật
vậy, ta có {f(E); f(E
i
)} cũng là một mục tiêu của A
n
. Với mọi M

(x
1
, . . . , x
n
) ∈ f (S) đối với mục
tiêu {f(E); f(E
i
)}. Khi đó tồn tại M ∈ (S) sao cho f (M) = M

. Ta có
−→
f (
−−→
EM) =
−−−−−→
f(E)M

=

i
x

i
−−−−−−−→
f(E)f(E
i
)
−→
f (
−−→
EM) =

i
x
i
−→
f (
−−→
EE
i
) =
−→
f (

i
x
i
−−→
EE
i
).
Suy ra

−−→
EM =

i
x
i
−−→
EE
i
. Vậy M sẽ có tọa độ là M(x
1
, . . . , x
n
) đối với mục tiêu {E; E
i
}.
Mặt khác, ta có M ∈ (S) nên
(S) : [x]
t
A[x] + 2[a]
t
[x] + a
0
= 0 (∗).
Tóm lại tọa độ của điểm M

thỏa mãn phương trình (∗) nên f(S) cũng là một siêu nón.
Lập luận tương tự như trên, ta có siêu trụ cũng là một khái niệm affine.
2) Giả sử (S) là một siêu nón có phương trình (∗). Do rank


a
0
[a]
t
[a] A

= rank(A) nên ta có
rank(A) ≤ rank

[a]
t
A

≤ rank

a
0
[a]
t
[a] A

(1)
9
Bài tập Hình học affine và Euclid
Xét hệ phương trình
a
1
x
1
+ a

2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
=a
0
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
=a
1
a
n1
x
1
+ a
n2
x

2
+ ··· + a
nn
x
n
=a
n
(I).
Từ (1) suy ra hệ (I) có nghiệm.
Gọi v là nghiệm của (I). Khi đó ta có
[a] = A[v]; a
0
= [a]
t
[v].
Xét phép đổi mục tiêu
[x] = [x

] − [v].
Khi đó phương trình của (S) là
([x

] − [v])A([x

] − [v]) + 2[a]
t
([x

] − [v]) + a
0

= 0
hay [x

]A[x

]−2[x

]A[v]+2[x

]
t
[a]+[v]
t
A[v]−2[a]
t
[v]+a
0
. Ta có A[v] = [a] và [v]
t
A[v]−2[a]
t
[v]+a
0
=
[v]
t
[a] − 2[v][a]
t
+ a
0

= [v]
t
[a] − a
0
= 0. Vậy phương trình của (S) là
[x

]
t
A[x

] = 0.
3) Giả sử (S) là một siêu trụ bậc hai và có phương trình đối với một mục tiêu affine cho trước là:
(S) :

a
ij
x
i
x
j
+ 2

a
i
x
i
+ a
0
= 0.

Khi biến đổi phương trình của (S) về dạng chính tắc thì (S) chỉ có thể một trong hai dạng (I)
hoặc (III) (xem giáo trình). Do đó ta có điều cần chứng minh.
Bài tập 3.21. Trong A
n
, cho siêu mặt bậc hai không suy biến S có tâm và có phương tiệm cận.
Chứng minh rằng, tập tất cả các đường tiệm cận của S đi qua tâm là một siêu nón, gọi là siêu
nón tiệm cận. Tìm hạng và phương trình của siêu nón đó.
Bài tập 3.21.
Bài tập 3.22. Cho S là siêu mặt bậc hai không chứa đường thẳng nào, d là tiếp tuyến của S tại
M ∈ S. Chứng minh rằng,
1. Phương
−→
d không phải là phương tiệm cận,
2. M thuộc siêu phẳng kính liên hợp với phương
−→
d .
Bài tập 3.22.
Bài tập 3.23. Trong A
2
cho các đường bậc hai có phương trình đối với mục tiêu đã cho lần lượt
là:
10
Bài tập Hình học affine và Euclid
1. S
1
: 4x
2
1
+ 4x
1

x
2
+ 2x
2
2
− 6x
2
+ 8 = 0. (Đường ellipse).
2. S
2
: 4x
2
1
+ 4x
1
x
2
+ x
2
2
− 2x
1
+ 4 = 0 (Parabola).
3. S
3
: x
2
1
+ 4x
1

x
2
+ 4x
2
− 2 = 0 (Hyperbola).
4. S
4
: x
2
1
− 6x
1
x
2
− 2x
1
+ 8x
2
2
+ 12x
2
− 8 = 0 (Cặp đường thẳng cắt nhau).
5. S
5
: x
2
1
+ x
2
2

− 2x
1
x
2
− 2x
1
+ 2x
2
− 3 = 0 (Cặp đường thẳng song song).
Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, phương tiệm cận và đường tiệm cận.
Bài tập 3.23.
Bài tập 3.24. Với các đường bậc hai cho Bài tập 3.23, hãy xác định phương trình dạng chuẩn
tắc và mục tiêu tương ứng.
Bài tập 3.24.
1. S
1
: 4x
2
1
+ 4x
1
x
2
+ 2x
2
2
− 6x
2
+ 8 = 0. Ta biến đổi S
1

về dạng
S
1
: (2x
1
+ x
2
)
2
+ (x
2
− 3)
2
− 1 = 0.
Đặt
y
1
= 2x
1
+ x
2
y
2
= x
2
− 3
hay
x
1
=

1
2
y
1
−
1
2
y
2
−
3
2
x
2
= y
2
+ 3
Khi đó ta có phương trình chuẩn tắc của S
1
là
S
1
: y
2
1
+ y
2
2
− 1 = 0.
2. S

2
: 4x
2
1
+ 4x
1
x
2
+ x
2
2
− 2x
1
+ 4 = 0. Ta biến đổi S
2
về dạng
(2x
1
+ x
2
)
2
− 2(x
1
− 2) = 0.
Đặt
y
1
= 2x
1

+ x
2
y
2
= x
1
− 2
.
hay
x
1
= y
2
+ 2
x
2
= y
1
− 2y
2
− 4
.
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S
2
là y
2
1
− 2y
2
= 0.

11
Bài tập Hình học affine và Euclid
3. S
3
: x
2
1
+ 4x
1
x
2
+ 4x
2
− 2 = 0. Ta biến đổi S
3
về dạng
(x
1
+ 2x
2
)
2
− (2x
2
− 1)
2
− 1 = 0.
Đặt
y
1

= x
1
+ 2x
2
y
2
= 2x
2
− 1
hay
x
1
= y
1
− y
2
− 1
x
2
=
1
2
y
2
+
1
2
.
Khi đó phương trình của S
3

có dạng chuẩn tắc là
S
3
: y
2
1
− y
2
2
− 1 = 0.
4. S
4
: x
2
1
− 6x
1
x
2
− 2x
1
+ 8x
2
2
+ 12x
2
− 8 = 0. Ta biến đổi S
4
về dạng
S

4
: (x
1
− 3x
2
− 1)
2
− (x
2
− 3)
2
= 0.
Đặt
y
1
= x
1
− 3x
2
− 1
y
2
= x
2
− 3
hay
x
1
= y
1

+ 3y
2
+ 10
x
2
= y
2
+ 3
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S
4
: y
2
1
− y
2
2
= 0.
5. S
5
: x
2
1
+ x
2
2
− 2x
1
x
2
− 2x

1
+ 2x
2
− 3 = 0. Ta biến đổi S
5
về dạng
(x
1
− x
2
− 1)
2
− 4 = 0.
Đặt
y
1
= x
1
− x
2
− 1
y
2
= x
2
hay
x
1
= y
1

+ y
2
+ 1
x
2
= y
2
Khi đó S
5
có dạng chính tắc S
5
: y
2
1
− 4 = 0.
Bài tập 3.25. Trong A
3
cho các mặt bậc hai có phương trình đối với mục tiêu đã cho lần lượt là:
1. S
1
: x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 2x
1
x

3
+ 5x
2
2
− 6x
2
x
3
+ 6x
2
3
− 1 = 0.
2. S
2
: 4x
2
1
− 4x
1
x
2
− 8x
1
x
3
+ 2x
2
2
+ 6x
2

x
3
− 4x
2
3
− 1 = 0.
3. S
3
: 9x
2
1
− 12x
1
x
2
+ 6x
1
x
3
+ 3x
2
2
− 2x
2
x
3
− x
2
3
− 4x

2
+ 4x
3
− 5 = 0.
12
Bài tập Hình học affine và Euclid
4. S
4
: x
2
1
+ 6x
1
x
2
− 2x
1
x
3
+ 10x
2
2
+ 6x
2
3
− 16x
3
− 16 = 0.
5. S
5

: 8x
2
1
− 20x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 13x
2
2
− 4x
2
x
3
+ x
2
3
− 2 = 0.
6. S
6
: x
2
1
− 6x
1
x

2
− 4x
1
x
3
+ 5x
2
2
+ 8x
2
x
3
+ 3x
2
3
− 2 = 0.
7. S
7
: x
2
1
− 6x
1
x
2
+ 8x
2
2
+ 4x
2

x
3
− 2x
2
− 4x
2
3
+ 4x
3
− 1 = 0.
8. S
8
: x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 2x
1
+ x
2
2
− 4x
2

x
3
− 2x
2
+ 4x
2
3
+ 4x
3
= 0.
9. S
9
: x
2
1
− 4x
1
x
2
+ 2x
1
+ 4x
2
2
− 4x
2
+ 1 = 0.
10. S
10
: 4x

2
1
+ 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ x
2
2
+ 2x
2
x
3
+ x
2
3
− 2 = 0.
11. S
11
: 13x
2
1
− 12x
1
x
2

− 6x
1
x
3
+ 4x
2
2
− 4x
2
x
3
+ 10x
2
3
− 1 = 0.
12. S
12
: 4x
2
1
− 4x
1
x
2
− 4x
1
x
3
− 8x
2

2
− 10x
2
x
3
− 3x
2
3
− 12x
2
− 8x
3
− 5 = 0.
Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, phương tiệm cận, nón tiệm cận (nếu có).
Bài tập 3.25.
Bài tập 3.26. Với các mặt bậc hai cho ở Bài tập 3.25, hãy xác định phương trình dạng chuẩn tắc
và mục tiêu tương ứng. Những mặt nào là mặt trụ? Những mặt nào là mặt nón?
Bài tập 3.26.
1. S
1
: x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 2x
1
x

3
+ 5x
2
2
− 6x
2
x
3
+ 6x
2
3
− 1 = 0
Ta biến đổi phương trình S
1
về dạng: (x
1
− x
2
+ x
3
)
2
+ (2x
2
− x
3
)
2
+ 4x
2

3
− 1 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= x
1
− x
2
+ x
3
y
2
= 2x
2
− x
3
y
3
= 2x
3
hay
x
1
= y
1
−
1
2
y

2
+
1
4
y
3
x
2
=
1
2
y
2
+
1
4
y
3
x
3
=
1
2
y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
1
) là y
2

1
+ y
2
2
+ y
2
3
− 1 = 0 với mục tiêu tương ứng là
{O;
−→
ω
i
}, trong đó O(0; 0; 0),
−→
ω
1
= (1; 0; 0),
−→
ω
2
= (−
1
2
;
1
2
; 0),
−→
ω
3

= (
1
4
;
1
4
;
1
2
).
2. S
2
: 4x
2
1
− 4x
1
x
2
− 8x
1
x
3
+ 2x
2
2
+ 6x
2
x
3

− 4x
2
3
− 1 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 2x
1
− x
2
− 2x
3
y
2
= x
2
+ x
3
y
3
= 3x
3
hay
x
1
=
1
2
y

1
+
1
2
y
2
+
1
6
y
3
x
2
= y
2
−
1
3
y
3
x
3
=
1
3
y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
2

) là y
2
1
+ y
2
2
− y
2
3
− 1 = 0.
13
Bài tập Hình học affine và Euclid
3. S
3
: 9x
2
1
− 12x
1
x
2
+ 6x
1
x
3
+ 3x
2
2
− 2x
2

x
3
− x
2
3
− 4x
2
+ 4x
3
− 5 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 3x
1
− 2x
2
+ x
3
y
2
= x
2
− x
3
+ 2
y
3
= x
3

hay
x
1
=
1
3
y
1
+
2
3
y
2
+
1
3
y
3
−
4
3
x
2
= y
2
+ y
3
− 2
x
3

= y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
3
) là y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− 1 = 0.
4. S
4
: x
2
1
+ 6x
1
x
2
− 2x
1
x
3
+ 10x
2

2
+ 6x
2
3
− 16x
3
− 16 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= x
1
+ 3x
2
− x
3
y
2
= x
2
+ 3x
3
y
3
= x
3
+ 2
hay
x
1

= y
1
− 3y
2
+ 10y
3
− 20
x
2
= y
2
− 3y
3
+ 6
x
3
= y
3
− 2.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
4
) là y
2
1
+ y
2
2
− y
2
3

= 0.
5. S
5
: 8x
2
1
− 20x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 13x
2
2
− 4x
2
x
3
+ x
2
3
− 2 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 2x
1

− 2x
2
+ x
3
y
2
= 2x
1
− 3x
2
y
3
= x
3
+ 1
hay
x
1
=
3
2
y
1
− y
2
−
3
2
y
3

+
3
2
x
2
= y
1
− y
2
− y
3
+ 1
x
3
= y
3
− 1.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
5
) là y
2
1
+ y
2
2
− 2y
3
= 0.
6. S
6

: x
2
1
− 6x
1
x
2
− 4x
1
x
3
+ 5x
2
2
+ 8x
2
x
3
+ 3x
2
3
− 2
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= x
1
− 3x
2
− 2x

3
y
2
= 2x
2
+ x
3
y
3
= x
1
− x
3
hay
x
1
= y
1
+
5
3
y
2
−
1
3
y
3
x
2

=
1
3
y
2
+
1
3
y
3
x
3
=
1
3
y
2
−
2
3
y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
6
) là y
2
1
− y
2

2
− 2y
3
= 0.
7. S
7
: x
2
1
− 6x
1
x
2
+ 8x
2
2
+ 4x
2
x
3
− 2x
2
− 4x
2
3
+ 4x
3
− 1 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y

1
= x
1
− 3x
2
y
2
= x
2
− 2x
3
+ 1
y
3
= x
3
hay
x
1
= y
1
+ 3y
2
+ 6y
3
− 3
x
2
= y
2

+ 2y
3
− 1
x
3
= y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
7
) là y
2
1
− y
2
2
= 0.
8. S
8
: x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 4x
1
x
3

+ 2x
1
+ x
2
2
− 4x
2
x
3
− 2x
2
+ 4x
2
3
+ 4x
3
= 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= x
1
− x
2
+ 2x
3
+ 1
y
2
= x

2
y
3
= x
3
hay
x
1
= y
1
+ y
2
− 2y
3
− 1
x
2
= y
2
x
3
= y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
8
) là y
2
1
− 1 = 0.

14
Bài tập Hình học affine và Euclid
9. S
9
: x
2
1
− 4x
1
x
2
+ 2x
1
+ 4x
2
2
− 4x
2
+ 1 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= x
1
− 2x
2
+ 1
y
2
= x

2
y
3
= x
3
hay
x
1
= y
1
+ 2y
2
− 1
x
2
= y
2
x
3
= y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
9
) là y
2
1
= 0.
10. S
10

: 4x
2
1
+ 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ x
2
2
+ 2x
2
x
3
+ x
2
3
− 2 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 2x
1
+ x
2
+ x

3
y
2
= x
1
− 3x
3
y
3
= x
3
hay
x
1
= y
2
+ 3y
3
x
2
= y
1
− 2y
2
− 7y
3
x
3
= y
3

.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
10
) là y
2
1
− 2y
2
= 0.
11. S
11
: 13x
2
1
− 12x
1
x
2
− 6x
1
x
3
+ 4x
2
2
− 4x
2
x
3
+ 10x

2
3
− 1 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 3x
1
− 2x
2
+ x
3
y
2
= 2x
1
− 3x
3
y
3
= x
3
hay
x
1
=
1
2
y
2

+
3
2
y
3
x
2
= −
1
2
y
1
+
3
4
y
2
+
11
4
y
3
x
3
= y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
11
) là y

2
1
+ y
2
2
− 1 = 0.
12. S
12
: 4x
2
1
− 4x
1
x
2
− 4x
1
x
3
− 8x
2
2
− 10x
2
x
3
− 3x
2
3
− 12x

2
− 8x
3
− 5 = 0
Dùng phép đổi tọa độ:
y
1
= 2x
1
− x
2
− x
3
y
2
= 3x
2
+ 2x
3
+ 2
y
3
= x
3
hay
x
1
=
1
2

y
1
+
1
6
y
2
+
1
6
y
3
−
1
3
x
2
=
1
3
y
2
−
2
3
y
3
−
2
3

x
3
= y
3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S
11
) là y
2
1
− y
2
2
− 1 = 0.
Bài tập 3.27. Trong A
3
cho mặt bậc hai S có phương trình
x
2
1
+ 6x
1
x
2
− 2x
1
x
3
− 2x
1

+ 10x
2
2
− 2x
2
x
3
− 4x
2
+ 5x
2
3
+ 6x
3
+ 1 = 0
và đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
có phương trình lần lượt là
d
1
:
−x
2
− 2x
3
− 1 = 0

x
3
+ 2 = 0
d
2
:
−x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 3 = 0
−x
2
− 2x
3
− 2 = 0
d
3
:
−x
1
− 3x
2
+ x
3
= 0
−x
2

− 2x
3
− 1 = 0
Hãy xét giao của S và các đường thẳng d
i
, i = 1, 2, 3.
15
Bài tập Hình học affine và Euclid
Bài tập 3.27.
Dùng phép biến đổi tọa độ
x
1
= −y
1
+ 3y
2
+ 7y
3
− 10
x
2
= −y
2
− 2y
3
+ 3
x
3
= y
3

− 2
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S là y
2
1
+ y
2
2
− 1 = 0. Phương trình của các đường thẳng lần
lượt là
d
1
:
y
2
= 0
y
3
= 0
d
2
:
y
1
+ y
3
= 0
y
2
− 1 = 0
d

3
:
y
1
− 1 = 0
y
2
= 0
Vậy d
1
cắt S tại hai điểm, d
2
tiếp xúc với S và d
3
chứa trên S.
Bài tập 3.28. Trong A
3
cho mặt bậc hai S có phương trình
x
2
1
+ 5x
2
2
+ 12x
2
3
− 4x
1
x

2
− 6x
1
x
3
+ 16x
2
x
3
− 2x
1
− 8x
3
− 5 = 0
và đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
có phương trình lần lượt là
d
1
:
−x
1
+ 2x
2
+ 3x
3

= 0
−x
2
+ 5 = 0
d
2
:
−x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
x
3
+ 3 = 0
d
3
:
−x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
−x
2
− x

3
+ 5 = 0
Hãy xét giao của S và các đường thẳng d
i
, i = 1, 2, 3.
Bài tập 3.28.
Dùng phép biến đổi mục tiêu
x
1
= −y
1
− 2y
2
− y
3
+ 8
x
2
= −y
2
− 2y
3
+ 8
x
3
= y
3
− 3
.
Ta có phương trình chuẩn tắc của S là y

2
1
+ y
2
2
−y
2
3
−1 = 0 và các đường thẳng d
i
có phương trình
là
d
1
:
y
1
− 1 = 0
y
2
+ 2y
3
− 3 = 0
d
2
:
y
1
− 1 = 0
y

3
= 0
d
3
:
y
1
− 1 = 0
y
2
+ y
3
= 0
16
Bài tập Hình học affine và Euclid
Vậy ta có d
1
cắt S tại hai điểm, d
2
tiếp xúc với S và d
3
chứa trong S.
Bài tập 3.29. Trong A
3
cho mặt bậc hai S có phương trình
x
2
1
+ 5x
2

2
+ x
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 6x
2
x
3
− 2x
1
+ 6x
2
+ 2x
3
= 0
và mặt phẳng α có phương trình 2x
1
− x
2
+ x
3
− 4 = 0. Hãy xét giao của α và S.

Bài tập ??.
Bài tập 3.30. Trong A
3
cho mặt bậc hai S có phương trình
x
2
1
+ 4x
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 6x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
+ 4x
1
+ 2x
2
+ 12x
3
− 2 = 0
và mặt phẳng α

1
, α
2
, α
2
, có phương trình
α
1
:x
1
+ x
2
+ 3x
3
= 0;
α
2
:x
2
+ 2x
3
− 1 = 0;
α
3
:x
1
+ x
2
+ 4x
3

− 1 = 0.
Hãy chứng minh α
1
∩ S là một ellipse (trong α
1
); α
2
∩ S là một hyperbola (trong α
2
); α
3
∩ S là
một parabola (trong α
3
).
Bài tập 3.30.
Biến đổi phương trình của S về dạng
S : (x
1
+ x
2
+ 3x
3
+ 2)
2
− (x
2
+ 2x
3
+ 1)

2
− (x
3
− 2)
2
− 1 = 0.
Đặt
y
1
= x
1
+ x
2
+ 3x
3
+ 2
y
2
= x
2
+ 2x
3
+ 1
y
3
= x
3
− 2
hay
x

1
= y
1
− y
2
− y
3
− 3
x
2
= y
2
− 2y
3
− 5
x
3
= y
3
+ 2
Khi đó S có phương trình chuẩn tắc như sau
S : y
2
1
− y
2
2
− y
2
3

− 1 = 0
và các mặt phẳng có phương trình tương ứng là
α
1
:y
1
− 1 = 0
α
2
:y
3
− 2 = 0
α
3
:y
2
− y
3
− 1
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
17
Bài tập Hình học affine và Euclid
Bài tập 3.31. Trong A
n
cho siêu mặt bậc hai S xác định bởi phương trình
x
2
1
+ x
2

2
+ ··· + x
2
k
− x
2
k+1
− ··· − x
2
n
− 1 = 0 (0 ≤ k < n).
Chứng minh rằng:
1. Nếu n < 2k thì S có chứa những m-phẳng với m ≤ n −k;
2. Nếu n = 2k thì S chứa những m-phẳng với m ≤ n −k − 1;
3. Nếu n > 2k thì S có chứa những m-phẳng với m ≤ k − 1.
Bài tập 3.31.
Bài tập 3.32. Trong không gian A
3
với mục tiêu {O;
−→
e
1
,
−→
e
2
,
−→
e
3

} cho mặt bậc hai S và mặt phẳng
α lần lượt có phương trình
x
2
1
+ x
2
2
− 2x
1
x
2
+ x
2
3
+ 9 = 0
và
x
1
+ x
2
+ x
3
− 3 = 0.
Gọi S
1
= S ∩ α và l là đường thẳng biến thiên luôn đi qua các điểm của S
1
và có phương không
đổi 

−→
e
3
. Gọi C là hợp của các đường thẳng l nói trên.
1. Chứng minh rằng C là một mặt trụ.
2. Tìm ảnh của S
1
qua phép chiếu song song theo phương 
−→
e
3
 lên mặt phẳng tọa độ thứ nhất.
Bài tập 3.32.
18