Ôn thi TN dành cho HS TB và yếu phần Giải tích

NHỮNG NỘI DUNG TRỌNG TÂM TOÁN 12 GIÚP HỌC SINH YẾU
ĐẠT TRUNG BÌNH TRONG KỲ THI TNPT
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Sự liên quan giữa tính đơn điệu của một hàm số và dấu của đạo hàm cấp một của
hàm số đó.
Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
3 4 2
2
a)y 2x 6x 2 b)y x 2x 3
3x 1 x x 1
c)y d)y
1 x x 1
= − + = − +
+ − +
= =
− −
2. Cực trị của hàm số: Định nghĩa – Điều kiện đủ để có cực trị.
Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
3 2 3 2
a)y 2x 3x 36x 10 b)y x (1 x)= + − − = −
Ví dụ:Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x
3
– 2x
2
+ mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
Ví dụ: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2.
Ví dụ: Tìm các giá trị của m để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số

2
x mx m 1
y
x 1
− + −
=
+
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
2
a)y 3 x 6 x b)y 4 x x= + + − = − +
Vi dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
f (x) x 2 cos x= +
trên đoạn
π
0;
2
 
 
 
.
Ví dụ:Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2
f (x) x 2x 1= − +
trên đoạn [0;2].
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
f (x) x ln(1 2x)= − −
trên đoạn
[ ]

2;0−
.
Ví dụ: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
x m m
f (x)
x 1
− +
=
+
trên
đoạn [0; 1] bằng −2.
5.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Giao điểm của hai đồ thị. Sự tiếp xúc của hai đường
cong.
Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
4
2 3
x 3 4x 1
a)y x b)y x 3x 1 c)y
2 2 2x 3
+
= − − = − + + =
−
Ví dụ: Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 1= + −
.
GV:TRẦN TOÀN – THPT Tây Ninh 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x

3
+ 3x
2
−1 = m .
Ví dụ: Cho hàm số
2x 1
y
x 2
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5.
Ví dụ: Cho hàm số
3 2
1 3
y x x 5
4 2
= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
− 6x
2
+ m = 0 có 3 nghiệm thực
phân biệt.
Ví dụ: Cho hàm số
2x 1
y

2x 1
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2.
Ví dụ: Cho hàm số
4 2
1
y f (x) x 2x
4
= = −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
, biết
0
f ''(x ) 1= −
.
II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT.
1. Lũy thừa: Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực. Các tính
chất.
Ví dụ: Chứng tỏ rằng:
0,75
5
2
1
0,25 40
16
−

−
 
+ =
 ÷
 
Ví dụ: Tính
3 2 1 2 ( 4 2)
A 4 10 2 5 4 10 2 5
B 4 .2 .2
+ − − −
= + + + − +
=
Ví dụ: Rút gọn biểu thức
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
P
a a a
−
−
 
+
 ÷
 ÷
 
=
 
+

 ÷
 ÷
 
với a > 0
Ví dụ: Chứng minh rằng:
2 5 3 2
1 1
3 3
   
<
 ÷  ÷
   
Ví dụ: So sánh các cặp số sau:
5 10
3 2
2 3
1 1
a) ; b) ;
3 3 2 5
π π
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
GV:TRẦN TOÀN – THPT Tây Ninh 2
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
1 1
1
y y
P 2x (2x)
2 2

− −
−
 
   
= + +
 
 ÷  ÷
   
 
 
2. Lôgarit: Định nghĩa lôgarit cơ số a của một số (a>0, a ≠ 1). Các tính chất cơ bản của
lôgarit. Lôgarit thập phân. Số e và lôgarit tự nhiên.
Ví dụ: Chứng tỏ rằng:
1
27
log 2
3 8 6
1
a)3 b)log 6.log 9.log 2 2
8
= =
Ví dụ: So sánh các số sau:
1 1 0,3 5 3 7
3 3
a)log 9 17 b)log 2 3 c)log 5 4 vaø log vaø log vaø log
Ví dụ: Tìm x nếu
2 3 4
log (log (log x)) 0=
Ví dụ: Cho
3 3

a log 15,b log 10= =
. Hãy tính
3
log 50
theo a ,b.
3. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit. Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ
thị
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
x 2
cos 2x
sin x 3
2
a)y 2xe 3sin 2x b)y 5x ln x 8cos x
c)y e d)y x ln sin x cosx
e)y 3 f )y log sin x
= + = − +
= = + +
= =
4. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit .
Ví dụ: Giải các phương trình:
2
2x 3 3x 7 x 2x 3
3x 2 x 1
x
x x x x x x
2
2x 1 x x x 2x 1 x
7 11 1
a)(0,3) 1 b) c) 7

11 7 7
d)2.16 17.4 8 0 e)5 12 13 f )2 3 1
g)3 9.3 6 0 h)25 6.5 5 0 i)7 8.7 1 0
− − − −
− +
+ +
     
= = =
 ÷  ÷  ÷
     
− + = + = − =
− + = − + = − + =
Ví dụ: Giải các phương trình:
3 2 2
3 2
4 x
2
2 4 2 4 3
a)log (5x 3) 2 b)log (x 5) log (x 2) 3
c)log (x 2).log 2 1 d) lg x 2lg x 2 lg x
e)2log x 14log x 3 0 f )log (x 3) 2log 3.log x 2
+ = − + + =
+ = − + = −
− + = − + =
Ví dụ: Giải bất phương trình
2
x 3x 4 x 1 x x
2
2 1 0,5 0,5
8

a)2 4 b)9 5.3 6 0
c)log (x 2) 2 6log 3x 5 d)log (4x 11) log (x 6x 8)
+ − −
> − + <
− − > − + < + +
GV:TRẦN TOÀN – THPT Tây Ninh 3
III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1. Nguyên hàm: Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm. Ký hiệu họ các nguyên
hàm của một hàm số. Bảng nguyên hàm của một số số hàm số sơ cấp. Phương pháp đổi
biến số. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau:
2 x
1
a)f(x) 3x 4e
x
= − +
biết rằng F(0)=1
b) f(x) = sin2xcos3x + 3 tan
2
x biết rằng F(π)=0.
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
3
2x 3 2x 2
x 1
a) dx b) dx c) (e 5) e dx d) sin x cosxdx
x 2
3x 1
+
+
+

∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
2 3x
a) xsin 2xdx b) (1 x)cos xdx c) (1 2x x )e dx− − +
∫ ∫ ∫
Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
2 2 2
x 1 dx dx dx
a) dx b) c) d)
(x 2)(x 3)
x 2x 2 x 4 x 7x 10
+
− −
+ + − − +
∫ ∫ ∫ ∫
2. Tích phân: Diện tích hình thang cong. Định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Phương pháp tích phần từng phần và phương pháp đổi biến số
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
2 2
2
2
0 0 0
ln 2 0
3x
x 2
0 1 0
a) sin x dx b) x(x 1) dx c) 1 xdx
4
e 1 dx
d) dx e) f ) sin x cos3xdx

e x 3x 2
π
π
−
π
 
− − −
 ÷
 
+
− +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
( )
2 1 1
2
cos x 3
3
1 0 1 0
x 2x 2
a) dx b) e x sin xdx c) dx d) x . 1 xdx
(x 2)(x 3)
x
π
−
−
+ −
− +
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ: Tính các tích phân sau:
2
1 1 e
2
x 2 2
0 0 0 1
a) xsin xdx b) e 2xdx c) 1 x dx d) x ln xdx
π
−
∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
π
1π
2
2 3 4
1 0 0
1 e ln 2
2 2 x 2 x
0 1 0
a)I x (1 x ) dx b)I (2x 1)cos xdx c)I x(1 cos x)dx
4 5ln x
d)I x (x 1) dx e)I dx f)I (e 1) e dx
x
−
= − = − = +
+
= − = = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
GV:TRẦN TOÀN – THPT Tây Ninh 4

Đối với các nguyên hàm (tích phân) mà hàm số dưới dấu nguyên hàm (tích phân) có dấu hiệu
vê mối tương quan đạo hàm ta lưu ý đến phương pháp đổi biến số.
Nguyên hàm Cách đặt
n n 1
f (x )x dx
−
∫
t = x
n
f (sin x)cos xdx
∫
t = sinx
f (cosx).sin xdx
∫
t = cosx
2
1
f (tan x) dx
cos x
∫
t = tanx
2
1
f (cot x) dx
sin x
 
−
 ÷
 
∫

t = cotx
x x
f (e )e dx
∫
t = e
x
2
f (sin x)sin2xdx
∫
t = sin
2
x
2
f (cos x)sin2xdx
∫
t = cos
2
x
1
f (ln x) dx
x
∫
t = lnx
3. Ứng dụng hình học của tích phân :
Vi dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
4 2
2
2 2
a)x 1;x 3;y 0;y x 2x 3
b)y x 2;y 3x 2

c)y x 12x 36;y 6x x
= − = = = + +
= − = − +
= − + = −
Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục hoành.
2
a)y x 1;y 0
x
b)y sin ;y 0;x 0;x
2 4
c)y ln x;y 0;x e
= − + =
π
= = = =
= = =
IV. SỐ PHỨC
1. Dạng đại số của số phức. Biểu diễn hình học của số phức. Các phép cộng, trừ, nhân
chia số phức .
Ví dụ: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
a) z = 3 + 2i
b) z = − 4 + 2i
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
GV:TRẦN TOÀN – THPT Tây Ninh 5
a) 5 +2i−3(−7+6i) b)(3i +1)
3
( )
2
2i
c) d)(1 2i)

1 i
1 2 15i
e) 2 3i 3i f)
2 3 2i
+
−
−
 
− +
 ÷
+
 
Ví dụ: Cho z = a – 2i, z’ = 4 + bi. Tìm điều kiện của a, b để tích z.z’ là số thực, số thuần ảo.
2. Căn bậc hai của số phức. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của các số sau:
a) −4 b) −11
c)3 + 4i d) 5 – 12i
e) −7 + 24i f) 1 – i
3
Ví dụ: Cho phương trình x
2
– 3x + 5 = 0. Gọi z, z’ là các nghiệm của phương trình trên.
Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) z + z’
b) z
2
z’ + zz’
2
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: A = a
4

+ 4b
2
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức P =
2 2
(1 3i) (1 3i)+ + −
Ví dụ: Giải phương trình sau trên tập số phức:
2 2 2
a)8z 4z 1 0 b)2z iz 1 0 c)(1 i)z (2 i) 4 5i d)(z i) 4 0− + = − + = − + − = − − + =
Ví dụ: Cho hai số phức z
1
= 2 + 5i và z
2
= 3 – 4i. Xác định phần thực và phần ảo của số
phức z
1
.z
2
.
Ví dụ: Cho hai số phức z
1
= 1 + 2i và z
2
= 2 – 3i. Xác định phần thực và phần ảo của số
phức z
1
– 2z
2
.
Ví dụ: Tìm các số phức
2z z+

và
25i
z
, biết z = 3 – 4i
Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của số phức
1 9i
z 5i
1 i
+
= −
−

GV:TRẦN TOÀN – THPT Tây Ninh 6