Khám Phá Hàm Đa Thức Và Hàm Hữu Tỷ, Giới Hạn Và Đạo Hàm Theo Sách Precalculus

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
BÁO CÁO NHÓM
Đề tài:
KHÁM PHÁ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỶ,
GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM THEO SÁCH PRECALCULUS.
Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
Lớp: TOÁN 3A
Nhóm: 01
HUẾ, NĂM 2013
Page | 1
DANH SÁCH NHÓM:
N01-3A
1. HÀ THỊ NA
2. NGUYỄN THỊ KIM MAI
3. NGUYỄN THỊ MỸ VÂN
4. PHẠM THỊ BÍCH NGỌC
Page | 2
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU 4
B. NỘI DUNG
1. Tác giả và tác phẩm 5
1.1. Tác giả 5
1.2. Tác phẩm 5
2. Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm 6
2.1. Nhắc lại về hàm số 7
2.2. Đồ thị và nghiệm của đa thức 8
2.2.1. Đồ thị của hàm đa thức 8
2.2.2. Tìm nghiệm của hàm đa thức 9
2.3. Điều chỉnh của hàm đa thức để phù hợp với dữ liệu 21
2.4. Hàm hữu tỉ 33

2.4.1. Sự gián đoạn và giới hạn 33
2.4.2. Phân thức đơn giản 36
2.5. Tốc độ biến thiên tức thời của một hàm: đạo hàm 40
2.6. Nhắc nhở và kiểm tra 50
3. Điểm tương đồng và khác biệt so với sách giáo khoa môn Toán
nước ta 64
Page | 3
A.MỞ ĐẦU
Trong bối cảnh thực hiện công cuộc cải cách, đổi mới giáo dục, Paul đã đưa ra cách
tiếp cận chủ đề một cách cẩn thận, bằng việc phân tích dữ liệu, mô hình hóa và thống
kê, đem lại sự hứng thú, đam mê cho người học.
Paul đã rất thành công khi soạn ra cuốn sách có giá trị đặc biệt này, nó sẽ luôn được
các giáo viên, sinh viên theo ngành ưa chuộng và sử dụng.
Thời đại thông tin là một động lực cho sự phát triển giáo dục nhưng một số giáo viên
đã chưa thật sự có trách nhiệm để phát triển những kĩ năng toán học cho học sinh-
Precaculus là một giải pháp, nó làm hài lòng tất cả chúng ta, học sinh, sinh viên, giáo
viên.
Có thể nói, được dịch và tìm hiểu cuốn sách này là điều thú vị cho mỗi thành viên của
nhóm. Qua việc tìm hiểu đó sẽ giúp chúng tôi thấy được sự giống nhau và khác nhau
của sách nước ngoài và sách giáo khoa Việt Nam.
B.NỘI DUNG:
1. Tác giả và tác phẩm:
1.1. Tác giả:
Page | 4
Paul A.Foerster thích giảng dạy toán học tại Alamo Heights High School trong San
Antonio, Texas, mà ông đã thực hiện kể từ năm 1961. Sau khi lấy bằng cử nhân bằng
kỹ sư hóa học, ông đã phục vụ bốn năm trong Hải quân Hoa Kỳ. Sau năm năm đầu
tiên của mình tại Alamo Heights, ông được cấp bằng thạc sĩ trong toán học. Ông đã
xuất bản sách giáo khoa năm, ông đã viết cho sinh viên của mình để cho họ thấy toán
học được áp dụng trong thế giới thực. Năm 1983, ông nhận được giải thưởng đầu tiên

của Tổng thống xuất sắc trong Giảng Dạy Toán. Paul có kế hoạch tiếp tục giảng dạy
trong tương lai gần, tận hưởng sự phấn khích của nội dung luôn thay đổi và phương
pháp của chương trình giảng dạy toán học phát triển.
1.2. Tác phẩm :
Cuốn sách Precalculus của tác giả Paul A.Foerster bao gồm 15 chương :
+ Chương 1: Hàm số và mô hình toán học
+Chương 2: Hàm tuần hoàn và tam giác vuông
+Chương 3:Ứng dụng của lượng giác và hàm đường tròn
+Chương 4: Tính chất của hàm lượng giác, hàm đồng nhất và hàm tham số
+Chương 5 : Tính chất của đường hình sin
+Chương 6: Lượng giác trong tam giác
+Chương 7: Tính chất của hám sơ cấp
+Chương 8: Điều chỉnh hàm số cho phù hợp với dữ liệu
+Chương 9:Tính khả thi, hàm biến ngẫu nhiên
+Chương 10: Không gian ba chiều
+Chương 11: Chuyển ma trận và hình học Fractal
+Chương 12: Tiết diện conic và mặt bậc hai của hình học giải tích
+Chương 13: Tọa độ cực, số phức
+Chương 14:Dãy số và chuỗi số
+Chương 15: Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm
Paul đã soạn ra cuốn sách này nhằm mục đích hướng dẫn cho học sinh, sinh viên, giáo
viên hướng dẫn phương pháp tiếp cận, lựa chọn cơ cấu chủ đề và nội dung giảng dạy.
2. Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm:
Con ong bay giật lùi và tiến về phía trước mặt bông hoa. Khoảng cách từ nó đến
bông hoa là một hàm số theo thời gian. Nó biến đổi theo vận tốc, vì vậy bạn không
thể tìm khoảng cách tuyệt đối đó bằng tí số nhân theo thời gian. Bạn có thể sử dụng
khái niệm của giới hạn, bạn sẽ thấy điều đó trong sự liên kết với cấp số nhân, để tìm
vận tốc tức thời của con ong bằng cách lấy giới hạn của vận tốc trung bình trong
khoảng thời gian rất ngắn.
Cái nhìn tổng quan:

Page | 5
Trong chương này bạn sẽ tìm hiểu về hàm đa thức.bạn sẽ tìm các giá trị làm cho
hàm số bằng 0 ( giá trị 0 ), sự tổng quát hóa của khái niệm điểm x-gián đoạn. các phương
pháp bạn học sẽ cho phép bạn đi đến giải tích hàm hữu tỉ, với f(x) là tỉ số của hai đa
thức.Tỉ số này coa thể biểu diễn tốc dộ biến thiên trung bình. Giới hạn là tốc độ biến
thiên tức thời, gọi là đạo hàm. Bạn sẽ tìm tiểu qua 4 mặt sau:
• Về mặt đồ thị: Đồ thị của hàm đa thức, f(x)=
1588
24
+−−
xxx
, có 2 điểm x- gián
đoạn ( Hình 2-0a )
Hình 2-0a
• Về mặt đại số: f(x)= x
4
+0x
3
-8x
2
-8x+15
=(x-1)(x-3)(x+2+i)(x+2-i)
• Về mặt trị số: f(1)=0, f(3)=0, f(-2-i)=0, và f(-2+i)=0.
Các giá trị làm cho hàm số trên bằng 0 là x=1, x=3, x=-2-i, và x=-2+i
• Phát biểu bằng lời: Ta nói rằng hàm số bặc 4 có đúng 4 giá trị làm cho hàm số
bằng 0 nếu miền xác định của hàm số có chứa số phức. Nói cách khác, chúng ta
cho phép có số phức làm cho hàm số có giá trị 0.
2.1. Nhắc lại về hàm số:
Hình 2-1a biểu diễn đồ thị của ba hàm bậc ba, f, g, và h. Trong phần này bạn sẽ học cách
vẽ đồ thị và một số tính chất đại số của hàm bậc ba.

Page | 6
Hình 2-1a
Mục tiêu: Khám phá một số tính chất của hàm bậc ba và đồ thị của chúng.
Tìm hiểu vấn đề:
1. Hàm số f có phương trình f(x)=x-4x-3x+2. Chứng thực trên đồ thị của bạn rằng
hàm f có đồ thị được biểu diễn như hình 2-1a.
2. Đồ thị cùa cắt trục x tại 3 điểm. Giá trị x tại các điểm đó được gọi là các giá trị 0
của f(x) vì f(x)=0 với mọi giá trị x. Tìm 3 giá trị 0 qua đồ thị.
3. Biểu diễn về mặt đại số rằng x=-1 là nghiệm của f(x).
4. Vì f(-1)=0 ta có thể viết f(x)=(x+1) ( _?_ ). Bằng sự tính toán thích hợp, tìm hệ số
chưa biết. Sau đó tìm 2 giá trị 0 khác nhau của f(x) về mặt đại số.
5. Hàm g có phương trình g(x)=x-4x-3x+18. Chứng thực trên đồ thị của bạn rằng
hàm g có đồ thị được biễu diễn như hình 2-1a. Sự giống nhau và khác nhau làm
bạn chú ý trong dồ thị của hàm g và f là gì?
6. Biểu diễn về mặt đại số rằng -2 là giá trị 0 của g(x). Giải thích tại sao phương tình
của g có thể viết là g(x)=(x+2)( ? ). Tìm các hệ số còn lại. Nếu có thể, kết quả sẽ
cho hơn hai hệ số tuêns tính. Bạn chú ý điều gì về hai hệ số đó?.
7. Có ba giá trị 0 của g(x), một dành cho hệ sôd tuyến tính. Giải thích tại sao g(x) có
nghiệm kép. Đậc điểm gì làm cho đồ thị g có nghiệm kép?
8. Hàm h có phương trình là h(x)=x-4x-3x+54. Chứng thực trên đồ thị của bạn rằng
đồ thị trong hình 2.1-1 là đúng. h(x) có bao nhiêu giá trị 0?
9. Biểu diễn về mặt đại số rằng h(-3)=0 và h(x)=(x+3)( ? ). Tìm hệ số còn lại và nó
dần đến 0. Tìm hai nghiệm phức của h(x).
10. Điều gì là đúng khi nói về đồ thị của hàm bậc ba nếu nó có nghiệm phức?
11. Tổng kết những gì bạn học chính là kết quả của việc làm trong nội dung này.
2.2. Đồ thị và nghiệm của hàm đa thức:
Trong phần trên chúng ta đã bắt gặp hàm bậc ba, hàm đa thức bậc ba. Trong phần
này bạn sẽ học làm thế nào đẻ nhận ra hàm đa thức bậc ba từ đồ thị của nó và làm
Page | 7
cách nào để tìm giá trị 0, giá trị của x mà tại đó y=0. Một số giá trị 0 là số thực chính

là điểm x gián đoạn, và các số phức khác không có trên đồ thị.
Mục tiêu: Cho hàm đa thức,
• Nói đến đồ thị, bậc có thể có của nó, và ngược lại.
• Tìm giá trị 0 từ phương trình hoặc đồ thị.
2.2.1. Đồ thị của hàm đa thức:
Nhớ lại phương trình tổng quát của hàm đa thức từ chương 1.Ở đây có một số ví dụ
của hàm đa thức.
f(x)=4x
2
-7x+3 Hàm bậc hai
f(x)=2x
3
-5x
2
+4x+7 Hàm bậc ba
f(x)=x
4
+6x
3
-3x
2
+5x-8 Hàm bậc bốn
f(x)=-6x
5
-x
3
+2x Hàm bậc năm
f(x)=5x
9
+4x

8
-11x
3
+63 Hàm bậc chín
Trong trường hợp, f(x) tương đương với biểu thức đa thức. Phép toán duy nhất được thực
hiện trên biến của đa thức là các phép toán đa thức, như là, +, - , và x . Bậc của đa thức
một biến chính là số mũ lớn nhất của biến.Hệ số của số hạng có bậc cao nhất được gọi là
hệ số dẫn đầu, chú ý rằng mỗi số hạng có dạng lũy thừa của một biến, vì vậy ta có thể
nghĩ hàm đa thức là tổng hữu hạn của các hàm lũy thừa. Số mũ của hàm đa thức phải là
số nguyên không âm vì vậy không có phép chia của biến và phép lấy căn.
Hình 2-2a
Page | 8
Bạn có thể thấy từ hình 2-2a, hàm bậc hai có hai nhánh, hướng xuống hoặc hướng lên,
kết quả là có hai giá trị 0 và một điểm cực trị ( hoặc cực đại hoặc cực tiểu ). Một hàm bậc
ba có thể có ba nhánh, kết quả có ba giá trị và hai điểm cực trị, và hàm bậc 4 có thể có
bốn nhánh cho bốn giá trị không và ba điếm cực trị. Tổng quát, đồ thị của hàm đa thức
bậc n có thể có tới n nhánh hướng lên hoặc hướng xuống, kết quả có tới n già trị 0 mà
nhánh đó cắt trục x và có tới n-1 điểm cực trị.
Đây chính là định nghĩa chính thức nghiệm của hàm, bạn sẽ học cách làm thế nào để tìm
tiếp.
Định nghĩa: Nghiệm của hàm số
Nghiệm của hàm f là các giá trị x, c , sao cho f(c)=0.
2.2.2. Tìm nghiệm của hàm đa thức: Phép thế tổng hợp
Phép thế tổng hợp là phương pháp để đánh giá hàm đa thức. Giả sử rằng f(x)=x
3
-9x
2
-
x+105 và bạn muốn tìm f(6) bằng phép thế tổng hợp.
• Viết 6 và các hệ số của f(x) như sau:

6
1 9 1 105− −
• Hạ hệ số dẫn đầu xuống, 1, bên dưới đường kẻ, nhân them cho 6, viết câu trả lời
vào cột tiếp theo , dưới -9.
• Cột -9 và 6, viết câu trả lời, -3, dưới đường kẻ. nhân nó với 6, viết câu trả lời, -18,
ở trên đường kẻ. lập lại các bước cộng và nhân như trên. Kết quả cuối cùng là
Kiểm tra:
F(6)=6
3
-9(6
2
)-1(6)+105= -9
Để thấy tại sao phải dung phép thế tổng hợp, nhân tử của một đa thức được viết về dạng:
F(x)= x
3
-9x
2
-x+105
=(1x-9)x
2
-x+105
Page | 9
=((1x-9)x-1)+105
Trong dạng này bạn cần tìm hệ số của da thức bằng cách lặp lại các bước :
Nhân bởi x
Cộng hệ số tiếp theo
Phép thế tổng hợp lien quan đến phép chia của đa thức. Để thấy tại sao, ta chia f(x) cho
(x-6), nhị thức tuyến tính bằng 0 khi x=6. Đầu tiên, lấy x
3
chia cho x của (x-6) .Viết câu

trả lời, x
2
, trên số hạng x
2
của đa thức.
Chú ý : Dạng “ hỗn số” được ở đây bởi vì sự đồng dạng của dạng này với kết quả của số
chia khi có đư. Ví dụ, khi ta chia 13 cho 4, thương là 3 và số đư là 1, ta có thể viết
4
1
3
4
13
=
.
Chú ý rằng hệ số của thương , 1, -3, và -19, là giá trị bên dưới đường kẻ trong phương
pháp phép thế tổng hợp. Vì vậy , phép thế tổng hợp cho ta cách để chia đa thức cho biểu
thức nhị thức tuyến tính bằng 0. Thật vậy số dư của phép chia cho (x-6) bằng giá trị của
f(6) là ví dụ của định lý phần dư.
Định lý: Định lý phần dư
Nếu p(x) là đa thức, thì p(c) là số dư khi chia p(x) cho (x-c).
Hệ quả: Định lý nhân tử
(x-c) là nhân tử của đa thức p(x) nếu và chỉ nếu f(c)=0
Hệ quả là đúng vì nếu số dư bằng 0, thì (x-c) chia hết cho p(x).kết quả, (x-c) là nhân tử
của p(x).
Ví dụ 1 :
Cho f(x) =x
3
– 4x
2
– 3x + 2.

Cho g(x) = x
3
– 4x
2
– 3x + 18.
Cho h(x) = x
3
– 4x
2
– 3x + 54.
Đồ thị được biểu diễn trong hình 2-2b:
Page | 10
Hình 2-2b
a. Biểu diễn rằng -1 là nghiệm của f(x). Tìm hai giá trị khác và kiểm tra bằng đồ thị.
b. Biểu diễn rằng -2 là nghiệm của g(x). Tìm hai giá trị khác và kiểm tra bằng đồ thị.
c. Biều diễn rằng -3 là nghiệm của h(x). Tìm hai giá trị khác và kiểm tra bằng đồ thị.
Cách giải:
a. Thế -1 vào f(x), số dư bằng 0
Vì vậy -1 là nghiệm của f(x).
F(x)=(x+1)(x
2
-5x+2)
(x+1) là nhân tử của f(x) vì nó bằng 0 khi x=-1; hệ số của nhân tử khác xuât hiện ở cuối
hàng của phép thế tồng hợp.
x
2
-5x+2
x=4.5615… và 0.4384… là các nghiệm của f(x).
Đồ thị của f trong hình 2.2-2 cắt trục x tại -1, 0,4, và 4.6, thỏa mãn cách giải đại số.
b. Thế -2 vào g(x), số dư bằng 0

Do đó, -2 là nghiệm của g(x)
G(x)=(x+2)(x
2
-6x+9)
(x+2) là nhân tử của g(x) vì nó bằng 0 khi x=-2
G(x)=(x+2)(x-3)(x-3)
-2, 3, và 3 là nghiệm của g(x).
3 được gọi là nghiệm kép của g(x)
Đồ thị của g trong hình 2-2b cắt trục hoành tại x = -2 , x=3, nó phù hợp với kết quả đại
số.
Page | 11
c. Thế x=-3
Số dư bằng 0
( )
3 0h − =
vì nó bằng với số dư
(x+3) là thừa số của h(x) bởi vì h(x)=0 khi x=-3
Tìm các thừa số khác, sử dụng công thức bậc 2.
Kết quả là một cặp số phức
Đồ thị của h(x) trong hình 2-2b cắt trục x tại điểm -3, phù hợp với kết quả đại số.
Chú ý:
• Trong phần b của ví dụ 1, x=3 được gọi là nghiệm kép của f(x). Như đồ
trên ta thấy, đồ thị tiếp xúc với trục hoành nhưng không cắt trục hoành tại
x=3. Vì vậy hàm có ba nghiệm nhưng chỉ cắt tại 2 điểm riêng biệt.
• Trong phần c của ví dụ 1, h(x) có 3 nghiệm nhưng chỉ cắt trục hoành tại
một điểm, hai nghiệm khác là hai số thực sự phức
Tính chất: Định lý cơ bản của đại số và hệ quả
Một hàm đa thức có ít nhất một nghiệm trong tập số phức.
Hệ quả:
Một hàm đa thức bậc n có đúng n nghiệm trong tập số phức.

Hệ quả:
Nếu một đa thức chỉ có hệ số thực, thì bất kì nghiệm phức không thực sự xuất hiện
trong cặp nghiệm liên hợp.
Số thực là một tập con của số phức, vì vậy nghiệm của hàm số có thể là số phức
thực sự hoặc số phức không thực sự. Đồ thị cắt trục hoành thì điểm đó tương ứng là
nghiệm thực của hàm số, số thực đó được gọi là nghiệm thực.
Ví dụ 2:
Xác định bậc và số nghiệm phức thực sự và không thực sự của hàm đa thức
Trong hình 2-2c nếu có.
Page | 12
Hình 2-2c
Lời giải:
Có thể là hàm bậc năm bởi vì có năm nhánh – xuống, lên, xuống, lên, xuống – kết
quả là có 4 điểm cực trị trong miền xác định.
Có ba nghiệm thực bởi vì đồ thị cắt trục x tại ba vị trí.Có hai nghiệm phức thực sự
bởi vì tổng nghiệm là 5.
Hệ số có bậc cao nhất là 5, bởi vì f(x) trở nên rất rộng ở chiều âm cúng như x trở
nên rất rộng ở chiều dương.
Tổng và tích của các nghiệm
Hình 2-2d cho ta đồ thị của hàm bậc ba
F(x) = 5x
3
– 33x
2
+ 58x – 2
Có ba nghiệm là x = z
1
= 0.6, x = z
2
= 2 và x = z

3
=4. Bằng cách phân tích thành
nhân tử với hệ số dẫn đầu là 5, tổng và tích các nghiệm xuất hiện trong phương trình.
F(x) = 5 (x
3
-
5
33
x
2
+ x -
5
24
)
= 5 (x
3
– 6,6 x
2
+ 11, 6 x – 4,8)
z
1
+ z
2
+ z
3
= 0.6 + 2 + 4 = 6,6
Page | 13
số đối của hệ số bậc hai
z
1

.z
2
. z
3
= (0.6)(2)(4) = 4,8
số đối cuả hệ số tự do
Tổng của tích các cặp nghiệm là bằng với hệ số bậc nhất
z
1
.z
2
+ z
1
.z
3
+ z
2
.z
3
= (0.6)(2) + (0,6)(4) + (2)(4) = 11,6
bằng với hệ số bậc nhất
Để thấy vì sao những tính chất này là đúng bắt đầu với f(x) trong công thức nhân tử,
khai triển nó và kết hợp
F(x) = 5(x-0.6)(x-2)(x-4)
= 5(x
3
-0,6x
2
– 2x
2

– 4x
2
+ (0.6)(2)x + (0.6)(4)x + (2)(4)x – (0,6)(2)(4))
= 5 (x
3
–
(0,6 2 4)
doi cua tong
+ +
1 4 2 4 3
x
2
+
((0.6)(2)+ (0.6)(4)+ (2)(4))
tong cua tich tung doi mot
1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3
x -
(0,6)(2)(4))
doi cua tich
1 4 2 4 3
Tính chất này đúng và tổng quát lên cho bất kỳ hàm bậc ba nào.Trong các bài toán
của bài toán 2 ban sẽ mở rộng tính chất này cho hàm bậc hai và những hàm có bậc cao
hơn.
Tính chất: tổng và tích của các nghiệm
Nếu p(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx+ d có các nghiệm là z
1

, z
2
, z
3
thì:
z
1
+z
2
+z
3
=
b
a
−
tổng của các nghiệm
z
1
.z
2
+ z
1
.z
3
+ z
2
.z
3 =
c
a

tổng của tích từng đôi nghiệm
Tính chất này cung cấp cho bạn một cách để tìm phương trình cụ thể của hàm bậc
ba khi biết số nghiệm của nó.
Ví dụ 3:
Page | 14
Tìm nghiệm của hàm số:
f(x)= x
3
- 13x
2
+ 59x- 87
Sau đó chứng tỏ tổng của các nghiệm, tổng của tích từng đôi một nghiệm và tích
của cả ba nghiệm ….
Lời giải: Vẽ đồ thị giúp tìm thấy x = 3 là một nghiệm ( hình 2c)
Làm phép thế tổng hợp giúp tìm nhân tố khác
3
1 -13 59 -87
3 30 87
1 10 29 0
−
−
f(x) = (x - 3)( x
2
- 10x + 29)
x
2
- 10x + 29 = 0
⇔
x =
10 100 4(1)(29)

2(1)
± −
=
10 16
5
± −
= 5
±
2i
Tổng: 3+ (5+2i) + (5- 2i) = 13 đối của hệ số bậc hai
Tổng của tích từng đôi một: 3(5+2i) + 3(5- 2i) + (5+2i) (5- 2i)
= 15 + 6i + 15 – 6i +25 + 4
Gọi i = -1
= 59 bằng hệ số tuyến tính
Page | 15
Tích: 3(5+2i)(5- 2i) = 3(25 + 4) = 87
Đối của hệ số tự do
Ví dụ 4:
Tìm phương trình đặc biệt của hàm bậc ba với hệ số nguyên nếu tổng, tổng của tích
từng đôi một đã được cho. Thừa nhận những tính chất này sau khi tìm nghiệm của hàm
số.
Tổng: -
5
3
tổng của tích từng đôi một: -
58
3
tích:
40
3

Lời giải:
Phương trình đặc biệt của hàm số có thể là:
Y = x
3
+
5
3
x
2
-
58
3
x -
40
3
Phương trình đặc biệt của hàm với hệ số nguyên là :
Y = 3x
3
+ 5x
2
- 58x - 40
Bằng đồ thị (hình 2f), các nghiệm là: x= -5, x=-
2
3
, và x= 4
Kiểm tra:
Tổng: (-5) +
2
3
−

+ 4 =
5
3
−
(đúng)
Page | 16
Tổng của tích từng đôi một: (-5)( -
2
3
) + (-5)(4) + (-
2
3
)(4) = -
58
3
(đúng)
Tích: (-5)( -
2
3
)(4) =
40
3
Làm nhanh:
Q
1
. vẽ đồ thị của y=x
2
Q
2
. vẽ đồ thị của y=x

3
Q
3
. vẽ đồ thị của y=x
4
Q
4
. vẽ đồ thị của y=2
x
Q
5
. phân phối và rút gọn: (3+ 2i)(5+6i)
Q
6
. giải phương trình bằng công thức nghiệm bậc hai: x
2
– 14x + 54 = 0
Q
7
. giải phương trình bắng công thức nghiệm bậc hai: x
2
– 14x + 58 = 0
Q
8
. tìm phép biến đổi biến f(x) = sinx thành g(x) = sin2x
Q
9
. loại hàm số nào có tính chất kết hợp và phân phối.
Q
10

. Tổng của 37
0
và 53
0
là 90
0
, hai gốc này được gọi là gì?
1. cho p(x) = x
3
- 5x
2
+2x +8
a. Vẽ đồ thị dùng miền xác định thích hợp. đồ thị có bao nhiêu nhánh ( tăng hoặc
giảm) ? con số này có liên quan gì đến bậc của p(x)?
c. bằng phép thế tổng hợp chứng tỏ rằng (x+1) là một nhân tử của p(x). dùng kết
quả để viết những nhân tử khác.
d. giải thích mối quan hệ giữa các nghiệm của p(x) và các nhân tử của p(x).
2. cho p(x) = x
3
- 3x
2
+9x +13
a. vẽ đồ thị dùng miền xác định thích hợp. từ đồ thị, tìm nghiệm thực của p(x).
Page | 17
b. bằng phép thế tổng hợp chứng tỏ rằng (x+1) là một nhân tử của p(x). viết những
nhân tử khác.
c. tìm hai nghiệm khác nhau. Thay một trong hai nghiệm phức vào phương trình
p(x).chứng tỏ rằng nó thực sự là nghiệm.
d. giải thích mối quan hệ giữa các nghiệm của p(x) và đồ thị của p(x).
cho hàm đa thức trong các bài toán 3-6, suy ra bậc, số nghiệm thực (xem nghiệm

kép như là hai nghiệm) và số nghiệm phức thực sự của hàm số nếu có.
Cho các bài toán từ 7-18, vẽ đồ thị của hàm đa thức đã mô tả hoặc giải thích tại sao
hàm số đó không tồn tại.số phức được hiểu theo nghĩa là số phức thực sự.
Page | 18
7. hàm bậc ba với hai nghiệm âm phân biệt, một nghiệm dương,…………
8. hàm bậc ba với một cặp nghiệm âm, một nghiệm dương và hệ số có bậc cao nhất
là âm.
9. Hàm số bậc ba với một nghiệm thực, hai nghiệm ảo và hệ số có bậc cao nhất là
dương.
10. Hàm bậc ba không có nghiệm thực.
11. Hàm bậc ba không có điểm cực trị.
12. Hàm bậc bốn không có điểm cực trị.
13. Hàm bậc bốn không có nghiệm thực.
14. Hàm bậc bốn với hai nghiệm dương phân biệt, hai nghiệm âm phân biệt và phần
nằm phía dưới trục hoành sẽ cắt trục tung.
Page | 19
15. Hàm bậc bốn với hai cặp nghiệm.
16. Hàm bậc bốn với hai nghiệm thực phân biệt và hai nghiệm ảo.
17. Hàm bậc bốn với năm nghiệm thực phân biệt.
Từ bài 19- 22, dùng hệ số để tìm nhanh tổng, tích và tích từng đôi một nghiệm. Sau
đó tìm nghiệm của phương trình và chứng minh câu trả lời của bạn thỏa mãn tính chất
trên.
19. f(x)= x
3
- x
2
- 22x + 40
20. f(x)= x
3
+ x

2
-7x – 15
21. f(x)= -5x
3
- 18x
2
+ 7x + 156
22. f(x)= 2x
3
- 9x
2
-8x + 15
Từ bài 23 – 26, tìm phương trình của hàm số bậc ba với những nghiệm được mô tả,
nếu hệ số bậc cao nhất bằng một. Sau đó tìm nghiệm và chứng minh câu trả lời của bạn
thỏa mãn tính chất trên.
23. Tổng: 4; tổng của tích từng đôi một: -11; tích: -30
24. Tổng: 9; tổng của tích từng đôi một: 26; tích: 24
25. Tổng: 8; tổng của tích từng đôi một: 29; tích: 52
26. Tổng: -5; tổng của tích từng đôi một: 4; tích: 10
Cho bài 27 và 28
a. Bằng phép thế rổng hợp, tìm p(c)
b. Viết
( )p x
x c−
dưới dạng hỗn số.
27. p(x) = x
3
- 7x
2
+ 5x +4, c = 2 và c = -3

28. p(x) = x
3
- 9x
2
+ 2x -5, c =3, c = -2
29. Phát biểu định lý phần dư
30. Phát biểu định lý về nhân tử
31. Phát biểu định lý cơ bản của đại số.
Page | 20
32. Phát biểu hai hệ quả của định lý cơ bản của đại số
33. Bài toán vềphương pháp phép thế tổng hợp: Viết chương trình cho đồ thị hoặc
máy tính của bạn để làm phép thế tổng hợp. Lưu những hệ số của đa thức bao gồm
các nghiệm của đa thức trong một danh sách trước khi bạn chạy chương trình. Nên
đưa vào bậc của đa thức và giá trị của x của hàm số mà bạn muốn đánh giá. Lưu giữ
liệu xuất của chương trình, những hệ số của đa thức thương và phần dư (bằng giá trị
của đa thức) trong danh sách khác. Kiểm tra chương trình của bạn với p(x) = x
3
- 7x
2
+ 5x + 4 từ bài 27, với c = 2. Bạn đặt bốn số 1,-5, -5,-6 thành các hệ số củ tử số x
2
-
5x-5 với số dư là 6, khi p(x) chia cho x-2 thì p(2)=-6
34. Tổng và tích các nghiệm của hàm số bậc hai:
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c là
z
1

=
2
4
2
b b ac
a
− + −
và z
2
=
2
4
2
b b ac
a
− − −
bằng cách tìm z
1
+ z
2
và z
1
z
2
chứng tỏ tính chất tổng và tích các nghiệm của phương
trình bậc hai tương tự với phương trình bậc ba.
35. Tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc bốn:
Bằng cách lặp lại phép thế tổng hợp hoặc với đồ thị hoặc máy tính của bạn, tìm
nghiệm của:
f(x) = 2x

4
+ 3x
2
-14x
2
-9x = 18
sau đó tìm các giá trị sau đây:
• Tổng các nghiệm
• Tổng của tích các cặp nghiệm
• Tổng của tích theo từng ba nghiệm
• Tích các nghiệm
Từ kết quả đã tính, đoán xem tính chất của tổng và tích các nghiệm mở rộng cho
hàm số bậc cao hơn ba là như thế nào.
36. Nghịch đảo của nghiệm:
Page | 21
Chứng minh rằng nếu p(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx+ d có các nghiệm z
1
, z
2
, z
3
thì hàm q(x)
= dx
3
+ cx
2

+ bx+ a có các nghiệm là
1
1
z
,
2
1
z
,
3
1
z
37. Phép tịnh tiến ngang và nghiệm:
Cho f(x) = x
3
- 5x
2
+ 7x – 12. g(x) là phép tịnh tiến ngang của f(x) một đơn vị theo
hướng dương. Tìm phương trình đặc biệt của g(x). Chứng tỏ rằng nỗi nghiệm của
g(x) là lớn hơn một đơn vị so với nghiệm tương ứng của f(x).
2.3. Điều chỉnh các hàm đa thức để phù hợp với dữ liệu:
Hình 2-3a cho ta bốn hàm bậc ba của chuyển động theo thời gian của một vận động
viên biến đổi từ trái sang phải.
• Qua một điểm quy chiếu (y = 0) trong khi nó đang giảm chậm ( giảm độ
nghiêng) sau đó tăng tốc độ lần nữa ( tăng độ nghiêng).
• Dừng lại trong giây lát sau đó tiếp tục về phía trước.
• Hệ số góc giảm
• Dần tới trục hoành và tiến ra âm vô cùng.
Trong tất cả các trường hợp chỉ có một trường hợp đồ thị cắt trục hoành tại một
điểm, chứng tỏ hai nghiệm khác là số phức không thực sự.

Page | 22
Hình 2-3a
Trong phần này sẽ áp dụng các kỹ thuật quen thuộc để điều chỉnh dường công phù
hợp với hàm đa thức.
Mục tiêu: cho tập hợp các điểm, tìm phương trình đặc biệt của hàm đa thức, điều
chỉnh để phù hợp với dữ liệu hoặc phù hợp với bậc đã cho.
Ví dụ 1:
Một hàm bậc ba f chứa các điểm (6, 38), (5, 74), (2, 50), (-1, 80)
a. Tìm phương trình bậc hai. Kiểm tra bằng hồi quy bậc ba.
b. Thử lại câu trả lời bằng hình vẽ và tìm trên đồ thị.
Lời giải:
a. f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx +d viết phương trình tổng quát
Thay 6 cho x và 38 cho f(x) tương tự cho ba điểm còn lại, ta được hệ phương trình
216 36 6 38
125 25 5 74
8 4 2 50
80
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ + + =


+ + + =



+ + + =


− + − + =

1
216 36 6 1
125 25 5 1
8 4 2 1
1 1 1 1
−
 
 
 
 
 
− −
 
38
74
50
80
 
 
 
 
 
 
=

2
15
19
44
−
 
 
 
 
−
 
 
dùng ma trận giải hệ phương trình.
F(x) = -2x
3
+ 15x
2
- 19x +44 hồi quy bậc ba cho phương trình
Page | 23
Tương tự, R
2
= 1
Hình 2-3b
b. Đồ thị trong hình 3b, dựng x = 5, 6, 2, -1 chứng tỏ rằng các điểm này nằm trên
đồ thị. Chú ý giá trị của x rộng ở hướng dương, giá trị của f(x) rộng ở hướng âm,
phù hợp với thực tế là hàm số có bậc cao nhất là âm.
Nhớ lại tính chất sai khác hằng thứ hai cho hàm bậc hai. Hàm bậc ba, sai khác hằng
thứ ba giữa giá trị y và hằng số. Bảng biểu thị kết quả cho f(x) = -2x
3
+ 15x

2
- 19x
+44 từ ví dụ 1.
Tính chất: Sai khác hằng thứ n
Cho một hàm đa thức bậc n, nếu giá trị x co khoảng cách như nhau thì f(x) có sai
khác hằng thứ n.
Ví dụ 2:
Đối tượng di chuyển trên một đường thẳng qua điển quy chiếu trong thời gian x = 2
giây. Nó giảm chậm, dừng, đi ngược hướng và qua điểm quy chiếu tại giây thứ 3,
bảng cho thấy sự chuyển đổi tại những thời điểm khác nhau.
Page | 24
a. Lập biểu đồ phân tán dữ liệu. giải thích tại sao hàm bậc ba sẽ là một mô hình
toán học hợp lý cho phép dời hình như là một hàm của thời gian.
b. Tìm phương trình đặc biệt thích hợp nhất của hàm bậc ba. Vẽ đồ thị của hàm
trên biểu đồ phân tán trong câu a.
c. Dùng phương trình trong câu b để tính gần đúng thời gian mà đối tượng qua
điểm quy chiếu .
d. Chứng tỏ hàm bậc bốn đưa ra một hệ số xác định gần một.
Hình 2-3c Hình 2-3d
Lời giải:
a. Hình 3c là biểu đồ phân tán. Một hàm bậc ba là một mô hình toán học hợp lý bởi
vì có thể đảo ngược hướng hai lần (có hai điểm cực trị).
b. Dùng hồi quy bậc ba, phương trình là:
F(x) = 1,5782…x
3
– 25,0119x
2
+ 117,2669x + 145,4761
Page | 25