ĐỀ THI HSG TOÁN 9 TỈNH ĐỒNG NAI NAM HOC 2012 - 2013 NGAY 5/4/2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Ngày thi: 05/4/2013
(Đề thi này gồm một trang, có năm câu)
Câu 1 ( 4 điểm).
Cho đa thức P(x) = x
3
+ 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực
cho trước thỏa a
3
+ b
2

≥
0.
Tính giá trị của đa thức P(x) tại x =
3 3
3 2 3 2
a b b a b b+ − − + +
Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình:
2
2
2 1 0
3 1 0
x y
y x y


− + =


+ − + =


(với x
∈¡
và y
∈¡
)
Câu 3. (3,5 điểm).
Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k
2
và ước chưng lớn nhất
của các số m, n, k bằng 1.
Chứng minh rằng m, n là số chính phương.
Câu 4. (4 điểm)
Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000.
1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3.
2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3.
Câu 5 (4, 5 điểm)
Cho tứ giác HIJK có
·
·
0
90IHK JKH= =
, 0<IH – JK <IJ<IH + JK.
Gọi (I) là đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng HK tại H. Gọi (J) là

đường tròn tâm J và tiếp xúc với đường thẳng HK tại K. Đường tròn (I) cắt
đường tròn (J) tại M và N, với hai điểm M và H nằm khác phía đối với đường
thẳng IJ. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng
HK; đường thẳng d cắt đường tròn (I) tại A (A
≠
M); đường thẳng d cắt
đường tròn (J) tại điểm B, với (B
≠
M). Gọi C là giao điểm của hai đường
thẳng MN và HK.
1) Chứng minh HK là đường trung bình tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng DH = DK.
Hết
Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp
1
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 ( 4 điểm).
Cho đa thức P(x) = x
3
+ 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực
cho trước thỏa a
3
+ b
2

≥
0.
Tính giá trị của đa thức P(x) tại x =
3 3
3 2 3 2

a b b a b b+ − − + +
Giải:
3 3
3 2 3 2
3 3
3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
3
3
3
- - 3 ( ).( ).
2 3
3 2 0
x a b b a b b
x a b b a b b a b b a b b a b b a b b
x b ax
x ax b
= + − − + +
 
⇔ = + − + − + − + + + − − + +
 ÷
 
⇔ = − −
⇔ + + =
Vậy giá trị của đa thức P(x) tại x =
3 3
3 2 3 2
a b b a b b+ − − + +
là 0.
Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình:
2

2
2 1 0
3 1 0
x y
y x y

− + =


+ − + =


(với x
∈¡
và y
∈¡
)
Giải:
2 2 2
2
2 2
2
( )( 1) 0
2 1 0 0
1
2 1 0
3 1 0 2 1 0
2 1 0
x y
x y x y

x y x y x y
y x
x y
y x y x y
x y

=

− + − =
 
− + = − − + =


 

= −
⇔ ⇔ ⇔
   

− + =
+ − + = − + =
 

 

− + =

+ TH1:
2
1

1
2 1 0
x y
x
y
x x
=
=


⇔
 
=
− + =



+ TH2:
2 2
1 1
1 2
2(1 ) 1 0 2 1 0
2 2
y x y x
x
x x x x
y

= − = −
= − +

 

⇔ ⇔
  
− − + = + − =
= −
  

hoặc
1 2
2 2
x
y

= − −


= +



Vậy hệ có 3 nghiệm:
1
1
x
y
=


=


;
1 2
2 2
x
y

= − +


= −


;
1 2
2 2
x
y

= − −


= +


Câu 3. (3,5 điểm).
Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k
2
và ước chưng lớn nhất
của các số m, n, k bằng 1.

Chứng minh rằng m, n là số chính phương.
Giải: + Nếu m = 1, thì n = k
2
, suy ra m và n là các số chính phương.
+ Nếu n = 1, thì m = k
2
, suy ra m và n là các số chính phương.
+ Nếu m, n đều khác 1, giả sử m không phải là số chính phương.
Khi đó, khi phân tích ra thừa số nguyên tố, m luôn chứa 1 thừa số nguyên tố p
1
với
số mũ lẻ. Do m.n = k
2
nên trong dạng phân tích của k
2
ra thừa số nguyên tố chứa
thừa số nguyên tố p
1
với số chẵn (vì k
2
là số chính phương). Do đó trong dạng phân
tích ra thừa số nguyên tố, n chứa thừa số nguyên tố p
1
(với số mũ lẻ).
Suy ra m
M
p
1
; n
M

p
1
; k
M
p
1
(Do k
2

M
p
1
và p
1
là số nguyên tố) hay ƯCLN(m, n, k)
khác 1 mâu thuẫn với giả thiết, suy ra m là số chính phương. Khi m là số chính
phương thì n là số chính phương.
Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp
2
Tương tự trong trường hợp n không phải là số chính phương cũng vô lí.
Vậy m, n là các số chính phương.
Câu 4. (4 điểm)
Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000.
1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3.
2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3.
Giải:
1) Số phần từ của tập hợp S là bội của 3 là: (999 – 3):3 + 1 = 333 (phần tử).
2) Số phần tử của tập hợp S là bội của 2 là: 499 (phần tử).
+ Số phần tử của S là bội của 3 là: 333 số (phần tử).
+ Số phần tử của S là bội của 6 là: 166 (phần tử).

Suy ra số phần tử của S là bội của 2 hoặc là bội của 3 là: (499 + 333) – 166 =
666 (phần tử).
Vậy số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3 là: 999-
666 = 333.
Câu 5 (4, 5 điểm)
Giải: a) Do HK là tiếp tuyến của đường tròn (I), và MA//HK nên các cung nhỏ
¼
¼
MH AH=
, suy ra HM = HA (1)
Ta có
·
·
xHA KHM=
(do
¼
¼
MH AH=
), suy ra
·
·
KHC KHM=
Tương tự:
·
·
HKC HKM=
, Suy ra
∆
MHK =
∆

CHK (g.c.g) nên HM = HC (2)
Từ (1) và (2) suy ra HA = HC = HM hay H là trung điểm của AC, mà HK//AB nên
HK là đường trung bình của tam giác ABC.
b) Chứng minh hai tam giác DNK và DKM đồng dạng (g.g) suy ra DK
2
= DN.DM.
Tương tự DH
2
= DN.DM
Suy ra DK = DH.
(Câu a có thể cm HK =
1
2
AB)
Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp
3