Đề Toán ôn thi Cao học Đại học Đà Nẵng

D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MÔN THI: TOÁN 1_Thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ THI THỬ 1


Câu 1 (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
a.
lim
௫→଴
௘
మೣ
మ
ି௖௢௦ସ௫
௫
మ

b.
lim
௫→ஶ
(
ଶ௫ାହ
ଶ௫ାଵ
)
௫

Câu 2 (2 điểm)
a. Tính gần đúng A = ln(

√
1,03
య
+
√
0,98
ర
−1)
b. Tìm cực trị của hàm hai biến z = f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1
Câu 3 (2 điểm) Giải các phương trình vi phân sau:
a. ݕ
ᇱ
+2ݔݕ=ݔ.݁
ି௫
మ

b. ݕ
ᇱᇱ
+2ݕ
ᇱ
+ݕ=6ݔ.݁
௫

Câu 4 (2 điểm)
a. Tính diện tích miền D giới hạn bởi: ݔ
ଶ
+ݕ
ଶ
=2ݔ,ݔ
ଶ

+ݕ
ଶ
=4ݔ,ݕ=ݔ,ݕ=0.
b. Tính tích phân đường: I =
׬
(
ݔݕ
ଶ
−ݕ
ଷ
)
݀ݕ+(4ݕݔ
ଶ

(
௅
)
+ݔ
ଷ
)݀ݔ
Với (L): là phần elip
௫
మ
ଵ
+
௬
మ
ସ
=1, ݔ≥0 lấy từ điểm A(0,-2) đến điểm B(0,2)
Câu 5 (2 điểm)

a. Xét sự hội tụ của chuỗi số:

∑
ସ
೙
(
௡ାଵ
)
!
ଷ௡!
ஶ
௡ୀଵ

b. Tìm miền hội tụ của chuỗi số:

∑
(
௡!
)
మ
(
ଶ௡
)
!
(ݔ−1)
௡
ஶ
௡ୀଵ

======================Hết=======================

D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MÔN THI: TOÁN 1_Thời gian làm bài: 180 phút

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ 1
Câu Ý

Điểm
1
a.

1 điểm

lim
௫
→
଴
௘
మ
ೣ
మ
ି
௖௢௦
ସ
௫
௫
మ
=

lim
௫
→
଴
ସ
௫
.
௘
మ
ೣ
మ
ା
ସ
௦௜௡
ସ
௫
ଶ
௫

lim
௫→଴
ସ௫.௘
మೣ
మ
ାସ.ସ௫
ଶ௫
(
do ݏ݅݊4ݔ~4ݔ݇ℎ݅ݔ→0)
lim
௫

→
଴
(
2
.
݁
ଶ௫
మ
+
8
)
= 2.1+8=10

0.25

0.25

0.5
b.

1 điểm

lim
௫
→
ஶ
(
ଶ
௫
ା

ହ
ଶ
௫
ା
ଵ
)
௫
=
lim
௫
→
ஶ
(
ଶ
௫
ା
ଵ
ା
ସ
ଶ
௫
ା
ଵ
)
௫
=
lim
௫
→
ஶ

(
1
+
ସ
ଶ
௫
ା
ଵ
)
௫

=lim
௫→ஶ
{[(
1+
4
2ݔ+1
)
మೣశభ
ర
]
ర
మೣశభ
}
௫

= ݁
రೣ
మೣశభ
. Khi ݔ→∞ݐℎì

ସ௫
ଶ௫ାଵ
→2
Do đó:
lim
௫
→
ஶ
(
ଶ௫ାହ
ଶ
௫
ା
ଵ
)
௫
= e
2

0.25

0.25

0.25

0.25
2
a.
Tính gần đúng A =
ln

(
√
1
,
03
య
+
√
0
,
98
ర
−
1
)

1 điểm

Đặt z = ln(
√
ݔ
య
+
ඥ
ݕ
ర
-1)
x
0
= 1,

∆
ݔ
=
0
,
03


y
0
=1, ∆ݕ=−0,02
z’
x
=
భ
య
௫
ష
మ
య
(
√
௫
య
ା
√
௬
ర
ିଵ)
, z’

y
=
భ
ర
௫
ష
షయ
ర
(
√
௫
య
ା
√
௬
ర
ିଵ)

Ta co:
A ≈ ln(
√
ݔ
య
+
ඥ
ݕ
ర
−1)= ln(
√
1

య
+
√
1
ర
−1)+
భ
య
௫
ష
మ
య
(
√
௫
య
ା
√
௬
ర
ିଵ)
.∆ݔ+
భ
ర
௫
ష
షయ
ర
(
√

௫
య

ା
√
௬
ర
ି
ଵ
)
.

∆
ݕ

Thay số x= x
0
, y = y
0,
ta được kết quả: A
≈
0,005

0.25


0.25

0.25


0.25
b.
Tìm cực trị của z = f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1


Đặt L= xy + λ(x+y-1)
Giải hệ:
ቐ
ܮ
௫
ᇱ
=
0
ܮ
௬
ᇱ
=0
ݔ+ݕ=1

⇒
൝
ݕ
+
ߣ
=
0
ݔ+ߣ=0

ݔ+ݕ=1

Ta được: x=y=1/2, λ=-0,5
Tính d
2
L =
ܮ
௫௫
ᇱᇱ
+2
ܮ
௫௬
ᇱᇱ
+
ܮ
௬௬
ᇱᇱ
=2>0

0.25


0.25
0.25
0.25
D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 3

 Z
max
= f(1/2,1/2)=1/4 tại điểm M(1/2,1/2)

3
a.
ݕ
ᇱ
+
2
ݔݕ
=
ݔ
.
݁
ି
௫
మ

1 điểm

Đây là phương trình vi phân cấp 1thuần nhất tuyến tính. Ta có
công thức nghiệm như sau:
y=݁
׬
(
ିଶ௫
)
ௗ௫
{ܥ+
׬
݁

׬
ଶ௫ௗ௫
.ݔ݁
ି௫
మ
݀ݔ}
y=݁
ି௫
మ
{ܥ+
׬
݁
௫
మ
.ݔ݁
ି௫
మ
݀ݔ}
y=
݁
ି௫
మ
{
ܥ
+
׬
ݔ݀ݔ
}

y=

݁
ି
௫
మ
{
ܥ
+
௫
మ
ଶ
}



0.25
0.25

0.25
0.25
b.
ݕ
ᇱᇱ
+
2
ݕ
ᇱ
+
ݕ
=
6

ݔ
.
݁
௫
(1)
1 điểm

•
Phương trình đặc trưng: k
2
+2k+1=0
Giải ra được nghiệm kép k
0
= -1
y
0
= C
1
.e
-x
+C
2
.x.e
-x

• Nghiệm riêng:
Ta có: f(x)= e
x
.6x
λ=1≠ k

0
=> m = 0
P(x)=6x => n=1
Ta có y
*
= e
x
(A.x+B)
y
*’
= e
x
(A.x+B+A)
y
*’’
= e
x
(A.x+B+2A)
Thay vào (1) ta có:
Ax+B+2A+2(Ax+B+A)+Ax+B = 6x

ቄ
4ܣ=6
ܣ+ܤ=0
⇔
൜
ܣ=3/2
ܤ=−3/2

=> y

*
=e
x
(
ଷ
ଶ
.x−
ଷ
ଶ
)
Kết luận: Nghiệm của phương trình:
y=y
0
+y
*
= C
1
.e
-x
+C
2
.x.e
-x
+ e
x
(
ଷ
ଶ
.x
−

ଷ
ଶ
)



0.25




0.25



0.25





0.25
4
a.
Tính diện tích miền D giới hạn bởi:
ݔ
ଶ
+
ݕ
ଶ

=
2
ݔ
,
ݔ
ଶ
+
ݕ
ଶ
=
4
ݔ
,
ݕ
=
ݔ
,
ݕ
=
0
.

1 điểm


Chuyển sang tọa độ cực:
ቊ
ݔ=ݎܿ݋ݏ߮
ݕ
=

ݎݏ݅݊߮
ݎ
≥
0






0.25




D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 4

Miền D biến thành miền E:
ቊ
2
ܿ݋ݏ߮
≤
ݎ
≤
4
ܿ݋ݏ߮
0
≤
߮
≤

గ
ସ

Diện tích miền D:
S=
׬
݀߮
׬
ݎ݀ݎ
ସ
௖௢௦ఝ
ଶ
௖௢௦ఝ
ഏ
ర
଴
= 3(
గ
ସ
+
ଵ
ଶ
)(đ.v.d.t)
0.25


0.5

b.
I =

׬
(
ݔ
ݕ
ଶ
−
ݕ
ଷ
)
݀ݕ
+
(
4
ݕ
ݔ
ଶ

(
௅
)
+
ݔ
ଷ
)
݀ݔ
.Với (L): là phần elip
௫
మ
ଵ

+
௬
మ
ସ
=
1
,
ݔ
≥
0
lấy từ điểm A(0,-2) đến điểm B(0,2)

1 điểm

I=
∮
−

(
஺௡஻ை஺
)
׬


஻஺
= I
1
+I
2
• Tính I

1
:
AnBOA là đường cong kín thỏa mãn các điều kiện của công thức
Green: ܲ
௬
ᇱ
= 4x
2
ܳ
௫
ᇱ
=y
2

I
1
=
∬
(ݕ
ଶ

஽
−4ݔ
ଶ
)dxdy
Biến đổi tọa độ cực:
ቄ
ݔ=ݎܿ݋ݏ߮
ݕ=2ݎݏ݅݊߮
, dxdy= 2rdrd߮,(ݕ

ଶ
−4ݔ
ଶ
)=-4r
2
.cos2߮

(ܦ)
൝
ݔ
ଶ
1
+
ݕ
ଶ
4
≤1
ݔ≥0

⇔
൝
ݎ
ଶ
≤1
ݎܿ݋ݏ߮≥0
−ߨ≤߮≤ߨ
,ݎ≥0

⇔(ܧ)ቊ
−ߨ

2
≤߮≤
ߨ
2
0≤ݎ≤1

Thay vào công thức đổi biến tọa độ cực:
I
1
= -8
׬
ܿ݋ݏ
ഏ
మ
ି
ഏ
మ
2߮d߮
׬
ݎ
ଷ
݀ݎ
ଵ
଴
=0
• Tính I
2
:
Đường BA là đường thẳng x = 0 => dx = 0, với -2≤ݕ≤2
Thay vào ta được: I

2
=
׬
−
ݕ
ଷ
ଶ
ି
ଶ
݀ݕ
=0
Vậy I = 0




0.25



0.25




0.25

0.25
5
a.
ܺ
é
ݐ

ݐ
í
݊
ℎ

ℎ
ộ
݅

ݐ
ụ

ܿ
ủ
ܽ

ܿ
ℎ
ݑ
ỗ
݅
෍
4

௡
(
݊
+
1
)
!
3
݊
!
ஶ
௡
ୀ
ଵ

1 điểm

Ta tính D=
lim
௫
→
ஶ
௨
೙
శ
భ
௨
೙
=
lim

௫
→
ஶ
ସ
೙
శ
భ
(
௡
ା
ଶ
)
!
ଷ
(
௡
ା
ଵ
)
!
.
ଷ
௡
!
ସ
೙
(
௡
ା
ଵ

)
!

=
lim
௫
→
ஶ
ସ(௡ାଵ)
(
௡
ା
ଵ
)
=4>1
Kết luận: Chuỗi đã cho phân kỳ
0.5

0.5
b.
ܶ
ì
݉

݉݅
ề
݊

ℎ
ộ

݅

ݐ
ụ

ܿ
ủ
ܽ

ܿ
ℎ
ݑ
ỗ
݅

෍
(
݊
!
)
ଶ
(
2
݊
)
!
(
ݔ
−
1

)
௡
ஶ
௡
ୀ
ଵ



•
Tính bán kính hội tụ:
R =
lim
௫
→
ஶ
௨
೙
௨
೙
శ
భ
=
lim
௫
→
ஶ
(
௡
!

)
మ
(
ଶ
௡
)
!
.
(
ଶ
௡
ା
ଶ
)
!
(
௡
ା
ଵ
)
!
మ
=
lim
௫
→
ஶ
(
ଶ
௡

ା
ଵ
)
(
ଶ
௡
ା
ଶ
)
(
௡
ା
ଵ
)
మ
=4


0.5

D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 5

R=4
• Xét tại 2 đầu mút:
+với (x-1)= 4: U
n
(5): phân kỳ (do U
n
(5) không tiến tới 0
khi n tiến về vô cùng)

Tương tự với điểm (x-1) = -4
• Kết luận: Miền hội tụ: -4
≤
ݔ
−
1
≤
4

⇒
−
3
≤
ݔ
≤
5



0.25


0.25