phương pháp toán tử và ứng dụng cho các tính toán nguyên tử

Nghiên cứu Khoa học cơ bản
Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3
13
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG CHO CÁC TÍNH TOÁN NGUYÊN TỬ
NCS. Cao Hồ Thanh Xuân và ctv
Phòng Đào tạo
ABSTRACT
Operator method is an efficient non- pertubation method is used to study many problems
in quantum physics. We show that the approximation method is of great importance in
application of solving atomic Schrödinger equation. Applying for hydrogen atom as a sample
problem, the accurate results in our research allow us to apply the method for atomic problems.
Keyworks: Operator method, perturbation theory, Schrödinger equation.
TÓM TẮT
Phương pháp toán tử là một phương pháp phi nhiễu loạn hiệu quả đã được dùng để giải
quyết nhiều bài toán khác nhau trong vật lý lượng tử. Chúng tôi chỉ ra rằng việc giải gần đúng
phương trình Schrödinger cho nguyên tử có thể vận dụng trong điều kiện phổ quát nhất. Áp dụng
cho bài toán nguyên tử hydro thu được kết quả với độ chính xác cao cho thấy có thể vận dụng tốt
phương pháp này cho các bài toán nguyên tử phức tạp hơn.
Từ khóa: Phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn, phương trình Schrödinger.
1. Giới thiệu vấn đề
Giải phương trình Schrödinger để tìm
hàm sóng và năng lượng là một trong những
công việc chính trong khảo sát các hệ lượng
tử. Do tính phức tạp của các bài toán lượng tử,
ngoại trừ bài toán nguyên tử hydro, hầu hết
các trường hợp đều được giải bằng các
phương pháp gần đúng khác nhau. Phương
pháp lý thuyết nhiễu loạn là một chọn lựa tốt
cho nhu cầu thu được lời giải chính xác bằng
số với sơ đồ tính bổ chính đến bậc bất kỳ.
Tuy nhiên khó khăn đã nảy sinh do sự phân

kỳ của chuỗi các bổ chính [1,5], nên việc xây
dựng và ứng dụng các phương pháp phi nhiễu
loạn để giải quyết các bài toán lượng tử là
vấn đề quan trọng và cần thiết. Một trong các
phương pháp phi nhiễu loạn đang được quan
tâm là phương pháp toán tử (Operator
Method, viết tắt là OM) đã được nhóm
nghiên cứu của hai giáo sư Feranchuk I.D. và
Komarov L.I. ở Đại học Tổng hợp Belarus
xây dựng vào những năm 1980 [21] và được
sử dụng rộng rãi trong một loạt các bài toán
lượng tử [7,11-20,22-26,33-36,40-44].
Ý tưởng chính của OM nằm trong bốn
bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử Hamiltonian
qua các toán tử sinh hủy:
( , ) ( , , )H x p H a a

+
→
; (2) - Tách từ
Hamiltonian ra thành phần trung hòa:
0
( , , ) ( , ) ( , , )H a a H a a V a a
  
+ + +
= +
; (3) -
Chọn tham số

sao cho

0
( , )H a a

+
là
thành phần chính của Hamiltonian và từ đây
ta có nghiệm riêng của
0
( , )H a a

+
là năng
lượng gần đúng bậc zero; (4) - Xem
( , , )V a a

+
là thành phần nhiễu loạn và tính
các bổ chính bậc cao theo các sơ đồ thích hợp.
Như vậy, OM đã đưa ra một nguyên tắc phổ
quát để chọn phần chính của Hamiltonian, dễ
dàng ứng dụng cho các hệ lượng tử khác
nhau mà không phụ thuộc nhiều vào đặc
điểm riêng của hệ.
Do đó, OM đã được dùng như một
phương pháp phi nhiễu loạn hiệu quả, giải
quyết nhiều bài toán khác nhau trong vật lý
lượng tử. Một số thành công tiêu biểu của
OM có thể nêu lên ở đây là: giải bài toán dao
động tử phi điều hòa bậc bốn và thu được
năng lượng trạng thái cơ bản đạt độ chính xác

cao khi tính gần đúng đến bổ chính bậc hai
[21,42,44], dùng OM tìm được năng lượng
trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của
polaron phù hợp với số liệu tính toán của các
phương pháp nghiên cứu khác
[12,13,22,24,41], giải phương trình
Schrödinger dưới dạng ma trận bằng OM sử
dụng sơ đồ vòng lặp [10], giải được bài toán
dao động tử phi điều hòa tổng quát và bài
toán giếng thế đôi với các tham số được lựa
chọn có giá trị nằm trong khoảng giới hạn
Nghiên cứu Khoa học cơ bản
Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3
14
cho phép [10,19,20], kết hợp được OM với
đặc trưng của các nhóm SU(1,1) và O(4) của
các toán tử sinh hủy [29,30], dùng OM cho
hệ có vô hạn bậc tự do [21], cho hệ lượng tử
bất kỳ trong trường hợp có phổ liên tục [23]
hoặc cho hệ nhiều chiều [11,19,34-36]. Ngoài
ra, OM cũng đã được cán bộ hướng dẫn đề
cương này và nhóm nghiên cứu của ông phát
triển cho các bài toán nguyên tử, phân tử
trong trường điện từ [1-5,8,28,32], cho việc
giải phương trình Dirac và một loạt các bài
toán khác [33-36]. Cho đến nay, việc vận
dụng OM giải các bài toán vật lý lượng tử
vẫn còn là một vấn đề mang tính thời sự, thu
hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu
[2,4,16-18].

Qua nghiên cứu và khai thác trong
một số bài toán cụ thể, OM đã chứng tỏ tính
ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương
pháp đã biết như sau: (1) - Việc sử dụng
phương pháp đại số tính toán các yếu tố ma
trận giảm thiểu một khối lượng lớn tài
nguyên tính toán; (2) - Có thể sử dụng các
chương trình tính toán bằng các phần mềm
tính toán trên biểu tượng như Matlab,
Mathematica, Fortran để tự động hóa quá
trình tính toán.; (3) - Cho phép xác định giá
trị năng lượng và hàm sóng của hệ (phi nhiễu
loạn) trong toàn miền thay đổi tham số của
trường ngoài.
Trong đa số các bài toán vận dụng OM đã
trình bày ở trên, các kết quả tính số chỉ dừng
lại ở việc xác định năng lượng trạng thái cơ
bản bằng cách sử dụng sơ đồ vòng lặp có tính
đến các bổ chính bậc cao. Việc xác định năng
lượng các trạng thái kích thích của các hệ
lượng tử, nếu có, cũng chỉ dừng ở các mức
năng lược kích thích bậc thấp nhất. Nguyên
nhân của điều này là do kết quả tính toán phụ
thuôc rất nhiều vào việc chọn lựa tham số tự
do. Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất
Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự
chọn lựa tham số này, tuy nhiên tham số tự
do đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong việc
thu được giá trị chính xác của nghiệm gần
đúng và việc đạt được tốc độ hội tụ cao của

nghiệm. Về nguyên tắc, việc chọn lựa tham
số tự do cho trạng thái kích thích bất kỳ có
thể dựa vào nguyên lý biến phân từ phương
trình sau:
0=
∂
∂

n
E
, với
n
E
là năng lượng
trạng thái kích thích và
nb

=
là tham số tự
do đang được quan tâm. Ở trạng thái cơ bản,
điều kiện trên trở thành:
0
0
)0(
=
∂
∂
n
n
E


, việc xác
định
0n

từ điều kiện này cho phép thu được
kết quả tính toán với độ chính xác rất cao.
Trong các trường hợp khác tổng quát hơn thì
0nnb

≠
và kết quả tính toán cho thấy có sự
hạn chế khi vận dụng cho các trạng thái kích
thích, do đó vấn đề chọn lựa tham số tự do
sao cho tối ưu là vấn đề quan trọng vì nó sẽ
quyết định mức độ thành công của việc ứng
dụng OM cho mỗi bài toán lượng tử cụ thể.
Công trình [10] đưa ra việc chọn lựa ngẫu
nhiên tham số

ứng với giá trị thu được kết
quả hội tụ cao nhất của nghiệm. Công trình
[7] đưa ra phương pháp chọn lựa tối ưu tham
số sau mỗi vòng lặp khi tính bổ chính bậc cao
vào năng lượng, điều này sẽ làm tăng khối
lượng tính toán lên nhiều lần khi vận dụng
phương pháp cho hệ có nhiều bậc tự do. Hiện
nay, vấn đề này vẫn còn là vấn đề mở cần có
sự đầu tư nghiên cứu nhiều hơn [4], và đây
cũng là một trong những vấn đề mà nghiên

cứu này cần tập trung giải quyết.
2. Ứng dụng phương pháp toán tử vào các
tính toán nguyên tử
Để ứng dụng phương pháp toán tử
vào các tính toán nguyên tử, chúng ta bắt đầu
từ bài toán nguyên tử hydro. Do bài toán này
đã thu được giải chính xác, nên rất dễ kiểm
nghiệm mức độ phù hợp của phương pháp
khi so sánh với các kết quả đã biết trước đó.
Điều này có ý nghĩa rất quan trọng cho việc
vận dụng OM vào các bài toán nguyên tử
phức tạp hơn.
Trong nghiên cứu này, phép biến đổi
Laplace đã được sử dụng để giải quyết vấn đề
khó khăn nảy sinh do thành phần tương tác
Coulomb có các biến số nằm trong mẫu số.
Ngoài ra, sơ đồ vòng lặp có tính đến các bổ
chính bậc cao nhằm thu được lời giải chính
xác bằng số cho trạng thái cơ bản và một vài
mức kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro
cũng được sử dụng để minh họa cho mức độ
đáng tin cậy của phương pháp.
Nghiên cứu Khoa học cơ bản
Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3
15
2.1. Phương trình Schrödinger cho
nguyên tử hydro
Phương trình Schrödinger không thứ
nguyên cho nguyên tử hydro có dạng sau:
( ) ( )

ˆ
, , , ,H x y z x y z
 
=
, (1)
với:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
ˆ
2
Z
H
x y z
x y z
 
∂ ∂ ∂
= − + + −
 
∂ ∂ ∂
+ +
 
,(2)
và Z là điện tích hạt nhân.
Hamiltonian (2) được chuyển sang biểu diễn
toán tử sinh hủy dưới dạng:









∂
∂
−=








∂
∂
+=
+







1
2
ˆ

,
1
2
ˆ
aa
, (3)
trong đó
, ,x y z

=
và

là tham số thực
dương tự do. Dễ dàng kiểm chứng các toán tử
sinh huỷ (4) thoã mãn hệ thức giao hoán:
 
, 1a a
 
+
 
=
 
 
. (4)
Để loại trừ khó khăn do có số hạng
chứa biến động lực ở mẫu số khi chuyển về
biểu diễn toán tử sinh hủy, chúng tôi sử dụng
phép biến đổi Laplace như sau:
2
0

1 1
ˆ
tr
e
U dt
r
t

+∞
−
= =
∫
. (5)
và để thuận tiện trong tính toán, chúng tôi sử
dụng các toán tử:
2 2 2
1 2 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ
A a a a= + +
,
2 2 2
1 2 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ
A a a a
+ + + +
= + +
, (6)
1 1 2 2 3 3

ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 3N a a a a a a
+ + +
= + + +
.
Khi đó, Hamiltonian (2) được biểu diễn thông
qua các toán tử sinh hủy như sau:
( )
( )
1
1/ 2
ˆ
ln 1 2
2
0
0 0
1 2 ( 1)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
4 ! !
(1 2 )
j k j k
N t
j k
j k
j k
Z
H A A N dt A e A
j k

t
t



+ + −
+∞ +∞
− +
+∞
+ +
+
= =
−
= − + − −
+
∑∑
∫
. (7)
Sử dụng tư tưởng phương pháp toán tử ta tách toán tử Hamiltonian (7) thành hai thành phần:
VHH
ˆˆˆ
)0(
+=
, (8)
Phần ‘trung hòa’ có dạng:
( )
1
2 1/2
ˆ
ln 1 2

(0)
2
2 2
0
0
1 2 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
4
( !) (1 2 )
j
N t
j j
j
j
Z
H N dt A e A
j t
t



−
+∞
− +
+∞
+
=
= −
+

∑
∫
, (9)
chứa số thừa số các toán tử sinh, hủy bằng nhau.
Toán tử “nhiễu loạn”
ˆ
V
có dạng:
( )
( )
1
1/2
ˆ
ln 1 2
2
0
0 0,
1 2 ( 1)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
4 ! !
(1 2 )
j k j k
N t
j k
j k
j k k j
Z
V A A dt A e A
j k

t
t



+ + −
+∞ +∞
− +
+∞
+ +
+
= = ≠
−
= − + −
+
∑ ∑
∫
, (10)
Nghiệm gần đúng bậc zero của phương trình Schrödinger chính là nghiệm riêng chính xác của
toán tử
( )
0
ˆ
H
, còn các bổ chính bậc cao hơn có thể tính theo sơ đồ thích hợp.
2.2. Bộ hàm cơ sở
Để thuận tiện khi tính các yếu tố ma trận chúng tôi sử dụng bộ hàm sóng của dao động tử
điều hòa ba chiều viết qua biểu diễn toán tử sinh hủy:
3
1 2

1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
ˆ ˆ ˆ
, , 0
! ! !
n
n n
n n n a a a
n n n
+ + +
=
. (11)
trong đó trạng thái chân không
0
được xác định bởi các phương trình sau:
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
0 0, 0 0 , 0 0a a a= = =
. (12)
Tuy nhiên do bài toán có tính đối xứng cầu và bảo toàn đại lượng bình phương mô-men
quỹ đạo cũng như hình chiếu mô-men quỹ đạo lên trục z nên ta cần xây dựng bộ hàm cơ sở thỏa
mãn thêm các phương trình sau:
Nghiên cứu Khoa học cơ bản
Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3
16
2
ˆ
, , ( 1) , ,L n l m l l n l m= +
,

ˆ
, , , ,
Z
L n l m m n l m=
(13)
Các toán tử
2
ˆ ˆ
,
Z
L L
biểu diễn qua các toán tử sinh hủy có dạng:
2 2
1 3
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
4 4
L A A N N
+
= − + − +
, (14)
( )
2 1 1 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
z
L i a a a a
+ +
= −
(15)

Khi xét trạng thái cơ bản (
0, 0l m= =
) ta dùng bộ hàm cơ sở chuẩn hóa sau:
( )
1
ˆ
0
2 ! 2 1 !!
n
n
n A
n n
+
=
+
. (16)
Các yếu tố ma trận tương ứng với trạng thái (16) có dạng:
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 1
,
2
0
! 2 1 !! 2 2 ! 4 4 1 !!
1
4 3
4 2 4 1 !!

! ! 2 1 !!
j
n
n n
n
j
n n j n j
Z
H n
n
j n j j



+
=
+ − −
= + −
+
 −  +
 
∑
, (17)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )

, , 1 , 1
3 1
min( , )
,
0
1
2 2 1 2 1 2 3
4
! 2 1 !! ! 2 1 !!
1 2 2 ! 2 2 4 1 !!
1 .
2 2 1 !! ! ! ! 2 1 !!
2
n s n s n s
s n
j
n s
n s
n s
j
V s s s s
n n s s
j n s j
Z
n s j s j n j j
  



− +

−
+
+
=
 
= − + + + +
 
+ +
− + − −
− −
+ + − − +
∑
(18)
Tính đối xứng của yếu tố ma trận:
, ,n s s n
V V=
cũng được chú ý đến khi tính toán.
2.3. Một số kết quả đạt được
2.3.1. Nghiệm gần đúng bằng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn tính đến bổ chính bậc ba
Bảng 1: Năng lượng trạng thái cơ bản theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn

Năng lượng
Độ chính xác
( )
0
0.5
exact

= −
0.565884

0.590000
0.597705
- 0.495110
- 0.499602
- 0.499725
0.98%
0.07%
0.05%
Bảng 2: Năng lượng một số trạng thái kích thích theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn
n
ω
Năng lượng
Nghiệm chínhxác
Sai số (%)
1
0.171100
- 0.125357929414
- 1/8
0.29
2
0.059000
- 0.055412117890
- 1/18
0.26
3
0.025800
- 0.031329735610
- 1/32
0.26
4

0.013340
- 0.020035468894
- 1/50
0.18
5
0.007740
- 0.013867592849
- 1/72
0.15
Rõ ràng phương pháp toán tử sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn cho phép thu được kết
quả tương đối chính xác và tham số

được chọn bằng cách thử sao cho đạt tốc độ hội tụ cao
nhất.
2.3.2. Nghiệm chính xác bằng sơ đồ vòng lặp
Hàm sóng chính xác có thể viết dưới dạng chuổi theo bộ hàm cơ sở như sau:
( )
0
n k
k k n
n C k
+∞
= ≠
Ψ = +
∑
. (19)
Nghiên cứu Khoa học cơ bản
Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3
17
Ta gọi hàm sóng gần đúng đến bậc (s) có dạng:

( )
( )
( )
0
n s
s
s
n
k
k k n
n C k
+
= ≠
Ψ = +
∑
. (20)
Các hệ số khai triển
)(s
k
C
của hàm sóng và giá trị
)(s
n

của năng lượng có thể tính số theo
công thức truy hồi sau:
( )
( )
1
1

( )
( 1)
0 ,
1
, ,
n s
s
s
j jn jk
k
s
k k n k j
n jj
C V C V j n j n s
H

+ −
−
−
= ≠ ≠
 
= + ≠ ≤ +
 
 
−
 
∑
,(21)
( )
( )

( )
,
0
n s
s
s
n n n nk
k
k k n
H C V

+
= ≠
= +
∑
(22)
Lập trình tính toán trên Fortran 9.0 theo sơ đồ (22) với các yếu tố ma trận (17) và (18) cho
trạng thái cơ bản chúng tôi thu được kết quả như trong Bảng 3.
Bảng 3: Trị riêng bằng sơ đồ vòng lặp
s
( )
0
s

s
( )
0
s

150

200
300
400
500
600
700
- 0.499746
- 0.499833
- 0.499908
- 0.499939
- 0.499956
- 0.499967
- 0.499973
800
900
1000
1100
1200
1300
1343
- 0.499978
- 0.499981
- 0.499984
- 0.499986
- 0.499988
- 0.499989
- 0.499990
Tốc độ hội tụ của bài toán phụ thuộc vào tham số tự do ω cũng được chúng tôi khảo sát và
thu được kết quả như trong bảng 4:
Bảng 4: Phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số


ω
s
ω
s
0.565884
0.848826
1.131768
1.697652
2.546479
3.395305
3.961189
1343
895
681
429
307
247
202
4.244131
4.583662
4.640250
4.753427
4.866604
4.979781
200
197
238
359
546

1289
Như vậy ta thấy phương pháp toán tử với sơ
đồ vòng lặp cho ta hội tụ đến kết quả chính
xác, cụ thể là với 1343 vòng lặp ta có năng
lượng chính xác đến năm chữ số sau dấu
phẩy
( )
1343
0
0.499990

= −
. Tuy số vòng lặp
lớn nhưng số lượng tính toán ít hơn khi sử
dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn là vì với mỗi
bậc nhiễu loạn ta đều có tổng vô số hạn và
tốc độ hội tụ của các tổng đó cũng không cao.
3. Kết luận
Phương pháp toán tử kết hợp với phép
biến đổi Laplace được ứng dụng rất hiệu quả
cho việc giải phương trình Schrödinger
nguyên tử hydro: (1) với sơ đồ lý thuyết
nhiễu loạn cho nghiệm gần đúng đến bổ
chính bậc ba có độ chính xác rất cao, (2) với
sơ đồ vòng lặp ta thu được nghiệm chính xác
bằng số, (3) Tham số tự do

rất quan trọng
trong việc nâng cao tốc độ hội tụ đến nghiệm
chính xác khi sử dụng phương pháp toán tử

kết hợp với phép biến đổi Laplace trong sơ
đồ vòng lặp.
Vì cách giải rất tổng quát, không cần
tính đến đặc điểm riêng của Hamiltonian, cho
nên chúng tôi có thể hy vọng là phương pháp
Nghiên cứu Khoa học cơ bản
Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3
18
toán tử có thể áp dụng tốt cho các bài toán
nguyên tử khác và chúng tôi sẽ tiếp tục phát
triển phương pháp này cho các bài toán khác
phức tạp hơn trong các công trình tiếp theo.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt:
[1]. Nguyễn Phương Duy Anh (2010),
Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên
tử hydro trong từ trường với cường độ bất
kì, Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý
thuyết và Vật lý toán, trường Đại học Khoa
học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh.
[2]. Bùi Nguyễn Ngọc Thúy, Nguyễn Đình
Luật, Nguyễn Văn Hoa, Cao Hồ Thanh
Xuân, Lê Văn Hoàng (2012), Phương pháp
toán tử FK giải phương trình Schrödinger
cho nguyên tử Hydro, Tạp chí Khoa học,
Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh,
Phần Khoa học Tự nhiên, số 36.
[3]. Lê Văn Hoàng (2003), Phương pháp
đại số cho tính toán các hệ nguyên tử, Tạp
chí Khoa học, Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh, Phần Khoa học Tự nhiên, số
2, trang 115-125.
[4]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lê Văn Hoàng
(2012), Tham số tự do với sự hội tụ của
phương pháp toán tử FK, Tạp chí Khoa
học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh, Phần Khoa học Tự nhiên, số 33,
trang 94-106.
[5]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương
pháp toán tử giải phương trình
Schrödinger hai chiều trong từ trường
đều với cường độ bất kì, Luận văn thạc sĩ
chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý
toán, trường Đại học Khoa học Tự nhiên
thành phố Hồ Chí Minh.
[6]. Cao Hồ Thanh Xuân (2008), Kiểm chứng
Hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hóa
học bằng tính toán theo nguyên lý ban
đầu (Ab Initio), Luận văn thạc sĩ chuyên
ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán,
trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành
phố Hồ Chí Minh.
Tiếng Anh:
[7]. Chan Za An, I.D. Feranchuk, L.I.
Komarov, L.S Nakhamchik (1986),
Optimal Choice of A Parameter for The
Operator Method of The Solution of The
Schrödinger Equation, J. Phys. A 19,
1583.
[8]. Le Van Hoang, Le Tran The Duy, Hoang

Do Ngoc Tram, Ngo Dinh Nguyen Thach,
Le Thi Ngoc Anh (2004), Exact Solution
of Two-dimentinal Screened Donor State
in A Magnetic Field, eprint
arXiv:0410382.
[9]. B. H. Bransden, C. J. Joachain (1996),
Physics of Atoms and Molecules,
Longman, England.
[10]. F.M.Fernández, A.M.Mesón,
E.A.Castro (1985), A Simple Iterative
Solution of Schrödinger Equation in
Matrix Representation Form, J. Phys. A
18, 1389.
[11]. I. D. Feranchuk et al (1996), Two-level
System in A One-mode Quantum Field:
Numerical Solution on The Basis of The
Operator Method, J. Phys. A 29, 4035.
[12]. I.D. Feranchuk, S.I. Fisher, L.I.
Komarov (1984), Analysis of The Polaron
Problem on The Basis of The Operator
Method, J. Phys. C 17, 4309.
[13]. I.D. Feranchuk, S.I. Fisher, L.I.
Komarov (1985), Analytical Investigation
of The Polaron Problem, J. Phys. C 18,
5083.
[14]. Ilya Feranchuk, Alexey Ivanov, (2004),
Operator Method for Nonperturbative
Description of Quantum Systems, In the
book ‘Etude on Theor. Phys.’, Ed.
Feranchuk I. et al, World Scientific,

Singapore, 171-188.
[15]. I. D. Feranchuk, A. A. Ivanov (2004),
Operator Method for Nonperturbative
Calculation of The Thermodynamic
Values in Quantum Statistics. Diatomic
Molecular Gas, J. Phys. A 37, 9841.
[16]. I. D. Feranchuk, A.V. Leonov (2009),
Analytical Analysis of The “Collapse-
Revival” Effect in The Jaynes-Cummings
Model, Phys. Lett. A 373, 517-520.
[17]. I. D. Feranchuk, A.V. Leonov (2009),
Resonant Modification of The Rabi
Oscillation of A Two-level System, Phys.
Lett. A 373, 4113-4116.
[18]. I. D. Feranchuk, A.V. Leonov (2011),
Strong Field Effects in The Evolution of A
Nghiên cứu Khoa học cơ bản
Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3
19
Two-level System, Phys. Lett. A 375, 385-
389.
[19]. I.D. Feranchuk, L.I. Komarov, I. V.
Nechipor (1987), An Analytical
Description of Some Quantum Systems in
Periodic External Fields and
Quasistationary Systems, J. Phys. A 20,
3849.
[20]. I. D. Feranchuk, L. I. Komarov, I. V.
Nichipor, A. P. Ulyanenkov (1995),
Operator Method in The Problem of

Quantum Anharmonic Oscillator, Ann.
Phys. 238, 370-440.
[21]. I. D. Feranchuk, L. I. Komarov (1982),
The Operator Method of Approximate
Solution of The Schrödinger Equation,
Phys. Lett. A 88, 211-214.
[22]. I.D. Feranchuk, L.I. Komarov (1982),
The Regular Perturbation Theory in The
Strong-coupling Polaron Problem, J.
Phys. C 15, 1965.
[23]. I. D. Feranchuk, L. I. Komarov (1984),
The Operator Method of The
Approximate Description of The Quantum
and Classical Systems, J. Phys. A 17,
3111.
[24]. I.D. Feranchuk, L.I. Komarov (2005),
New Solution for The Polaron Problem,
eprint arXiv:0510510v1.
[25]. I. D. Feranchuk, A. L. Tolstik (1999),
Operator Method for Coupled
Anharmonic Oscillators, J. Phys. A 32,
2115.
[26]. I. D. Feranchuk, V.V. Triguk (2011),
Regular Perturbation Theory for Two-
Electron, Phys. Lett. A 375, 2550-2554.
[27]. James B. Foresman and Æleen Frisch,
Exploring Chemistry with Electronics
Structure methods, 2
nd
edition, Gaussian

Inc., Pittsburgh, PA.
[28]. Le Van Hoang, Nguyen Thu Giang
(1993), The Algebraic Method for Two-
dimensional Quantum Atomic Systems, J.
Phys. A 26, 1409.
[29]. Christopher C. Gerry (1983),
Generalised Coherent States and Group
Representations on Hilbert Spaces of
Analytic Functions, J. Phys. A 16, L1.
[30]. Christopher C. Gerry (1984), On The
Coherent States for The Hydrogen Atom,
J. Phys. A 17, L737.
[31]. L.I. Gurskii, L.I. Komarov, A.M.
Solodukhin (1999), Group of Symmetry of
the Periodic System of Chemical
Elements, Int. J. Quant. Chem. 72, 499-
508.
[32]. Le Van Hoang (2004), Algebraic
Method with the use of many-particle
Coulomb Green Function for Atomic
Calculations, In the book ‘Etude on
Theor. Phys.’, Ed. Feranchuk I. et al,
World Scientific, Singapore, 231-249.
[33]. Le Van Hoang, L.I Komarov, T.S.
Romanova (1989), On the Coulomb
Green function, J. Phys. A 22, 1543.
[34]. Le Anh Thu, Le Van Hoang, L.I
Komarov, T.S. Romanova (1994),
Operator Representation of The Dirac
Coulomb Green Function and Relativistic

Polarizability of Hydrogen-like Atoms, J.
Phys. B 27, 4083.
[35]. Le Anh Thu, Le Van Hoang, L.I
Komarov, T.S. Romanova (1996),
Relativistic Dynamical Polarizability of
Hydrogen-like Atoms, J. Phys. B 29, 2897.
[36]. Le Van Hoang, Tony J. Viloria, Le Anh
Thu (1991), On The Hydrogen-like Atom
in Five-dimentional Space, J. Phys. A 24,
3021.
[37]. F. Iachello, S. Oss (2002), Algebraic
Method in Quantum Mechanics: from
Molecules to Polymers, Eur. Phys. J. D
19, 307-314.
[38]. Petr A. Khomyakov (2008), Operator
Method for solution of The Schrodinger
Equation with The Rational Potential,
eprint arXiv:0102031v2.
[39]. Maurice R. Kibler (2004), On the use of
The Group SO(4,2) in Atomic and
Molecular Physics, Mol. Phys. 102,
1221-1229.
[40]. L.I. Komarov, T.S Romanova (1985),
The Algebraic Method of solution of The
Dirac Equation for a particle in a
Coulomb potential, J. Phys. B 18, 859.
[41]. Le Anh Thu, L.I. Komarov (1998),
Operator Method in solving Non-linear .