SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm)
Cho hàm số:
2 2
2( 1) 1y x m x m= − + + + −
, (1) (
m
là tham số) và điểm
(2; 2)K −
1) Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
,A B
sao cho tam giác
KAB
vuông tại
K
.
2) Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số (1) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 1]
bằng 1.
Câu 2 (5,0 điểm)
1) Giải phương trình:
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
(
x∈¡
)
2) Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
+ − − + − =
+ + =
−
( )
;x y ∈¡
Câu 3 (5,0 điểm)
1) Cho góc
·
0
60xOy =
. Gọi
,M N
là hai điểm tương ứng di động trên
,Ox Oy
thỏa mãn:
1 1 2012
2013OM ON
+ =
. Chứng minh rằng đường thẳng
MN
luôn đi qua một điểm cố định.
2) Cho tam giác
ABC
có
, ,BC a CA b AB c= = =
. Gọi
,O H
tương ứng là tâm đường
tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác
ABC
;
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
4AH R a= −
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ
( )Oxy
cho 3 điểm
(1;1)A
,
(2;0)B
và
(3;4)C
. Viết phương trình
đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm
B
và
C
đến đường
thẳng
∆
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn:
2013x y z+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2 2
xy yz zx
P
x y z y z x z x y
= + +
+ + + + + +
HẾT
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:……………………………….
Người coi thi số 1:…………………………… Người coi thi số 2:…………………………