nghiên cứu kỹ thuật dựng ảnh chụp cắt lớp gamma cho hệ đo thùng thải phóng xạ chứa nguồn điểm

i

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH ẢNH iii
DANH MỤC BẢNG BIỂU v
CHƢƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN 1
1.1. Tình hình chung về lĩnh vực chụp ảnh cắt lớp 1
1.2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 2
1.3. Nội dung khóa luận 3
1.4. Tóm tắt kết quả 4
CHƢƠNG 2 GIỚI THIỆU HỆ ĐO THÙNG THẢI PHÓNG XẠ 5
2.1. Cấu hình hệ đo thùng thải phóng xạ 5
2.2. Phƣơng thức ghi nhận các hình chiếu 8
CHƢƠNG 3 PHƢƠNG PHÁP TÁI TẠO VÀ XỬ LÝ ẢNH CẮT LỚP 11
3.1. Ảnh kỹ thuật số 11
3.2. Phép biến đổi Radon 12
3.3. Phƣơng pháp chiếu ngƣợc đơn giản 15
3.4. Phƣơng pháp xử lý ảnh 19
3.4.1. Kỹ thuật lọc ảnh trong miền không gian 19
3.4.2. Kỹ thuật lọc ảnh trong miền tần số 22
3.5. Biến đổi cƣờng độ ảnh 24
3.6. Hồi phục ảnh 26
3.6.1. Hàm độ nhòe điểm (PSF) 26
ii

3.6.2. Sử dụng phƣơng pháp Lucy-Richardson để hồi phục ảnh 28
CHƢƠNG 4 DỰNG ẢNH CẮT LỚP CHO HỆ ĐO THÙNG THẢI PHÓNG XẠ 29
4.1. Ma trận hình chiếu 29
4.2. Tái tạo ảnh bằng phƣơng pháp chiếu ngƣợc có lọc 30
4.3. Hồi phục ảnh 34

4.4. Khảo sát giới hạn phát hiện ảnh 36
4.5. Tái tạo ảnh với nguồn điểm đặt một vị trí khác tâm 38
CHƢƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 42
5.1. Kết luận 42
5.2. Kiến nghị 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
PHỤ LỤC A 47
PHỤ LỤC B 49
PHỤ LỤC C 55










iii


DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 2.1. Hệ đo thùng thải phóng xạ 5
Hình 2.2. Mặt cắt dọc của hệ đo thùng thải phóng xạ 6
Hình 2.3. Cấu hình bên trong thùng thải 7
Hình 2.4. Ống chuẩn trực của đầu dò 8
Hình 2.5. Thanh gỗ đƣợc sử dụng để cố định nguồn phóng xạ 9
Hình 2.6. Mô tả phƣơng thức ghi nhận dữ liệu 10

Hình 3.1. Pixel trong ảnh kỹ thuật số 11
Hình 3.2. Phép biến đổi Radon 13
Hình 3.3. Ma trận hình chiếu của một ảnh cắt lớp 15
Hình 3.4. Sơ đồ mô tả các phƣơng pháp tái tạo ảnh cắt lớp 16
Hình 3.5. Quá trình ghi nhận hình chiếu và tái tạo ảnh 17
Hình 3.6. Sự nhòe ảnh trong phép chiếu ngƣợc 18
Hình 3.7. Phƣơng pháp tích chập 20
Hình 3.8. Ví dụ áp dụng tích chập để lọc ảnh 21
Hình 3.9. Đồ thị thay đổi độ tƣơng phản của ảnh 25
Hình 3.10. Sự thay đổi độ tƣơng phản theo giá trị E 26
Hình 3.11. PSF của hệ đo 27
Hình 4.1. Ma trận hình chiếu của nguồn đƣợc đặt tại tâm thùng 30
Hình 4.2. Lọc hình chiếu bằng hàm lọc Hann 32
Hình 4.3. Ảnh chiếu ngƣợc đơn giản và có lọc 33
Hình 4.4. Hệ trục tọa độ của ảnh 34
Hình 4.5. Hàm làm khớp từ các dữ liệu trong ảnh 35
Hình 4.6. Ảnh gốc sau khi đƣợc hồi phục 36
Hình 4.7. Ảnh cắt lớp tại các thời gian đo khác nhau 37
iv

Hình 4.8. Các đƣờng cong PSF làm khớp từ bộ số liệu theo thời gian đo khác nhau 38
Hình 4.9. Ảnh cắt lớp đƣợc tái tạo với nguồn nằm khác tâm thùng 39
Hình 4.10. Ảnh gốc hồi phục từ ảnh tái tạo có lọc 40
Hình 4.11. Ảnh sau khi tăng độ tƣơng phản 40
Hình 4.12. Ảnh gốc hồi phục từ ảnh tăng độ tƣơng phản 41

v

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bàng B1. Số liệu một vài hình chiếu của nguồn tại tâm thùng 49
Bàng B2. Số liệu các hình chiếu của nguồn tại vị trí khác tâm thùng 50
Bàng B3. Sự phân bố cƣờng độ của ảnh tái tạo có lọc 51
Bảng B4. Sự phân bố cƣờng độ của ảnh hồi phục từ ảnh tái tạo có lọc 52
Bảng B5. Sự phân bố cƣờng độ của ảnh tăng độ tƣơng phản 53
Bảng B6. Sự phân bố cƣờng độ của ảnh hồi phục từ ảnh tăng độ tƣơng phản 54

1

CHƢƠNG 1
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.1. Tình hình chung về lĩnh vực chụp ảnh cắt lớp
Việc dựng ảnh từ bức xạ ion hóa đã đƣợc khám phá gần nhƣ cùng thời điểm với
việc phát hiện ra phóng xạ vào cuối năm 1890 [7]. Trong nhiều năm sau đó, các tấm
phim đƣợc sử dụng để chụp lại ảnh chiếu của một đối tƣợng khi cho chùm tia X đi qua.
Phƣơng thức chụp ảnh đầu tiên đƣợc áp dụng là kỹ thuật chụp ảnh X-quang. Việc hiển
thị hình ảnh chỉ gói gọn trong kỹ thuật tạo hình trên phim. Tuy rất hữu ích trong đánh
giá tổng quát, nhƣng kỹ thuật này lại gặp trở ngại trong những đánh giá phức tạp. Vì
sau khi chụp ảnh, ta không thể thực hiện thêm những thao tác xử lý khác.
Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, hình ảnh kỹ thuật số cũng đã ra
đời, đƣợc áp dụng vào trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ƣu điểm của hình ảnh dƣới
dạng số là thông tin chứa trong ảnh sẽ không lệ thuộc vào bất kỳ môi trƣờng nào. Ta có
thể tiến hành bao nhiêu thao tác xử lý ảnh tùy ý để tăng cƣờng và mở rộng tính năng
của nó mà không sợ tổn hại tới những thông tin gốc. Từ đó, các phƣơng pháp và kỹ
thuật xử lý ảnh ngày càng phát triển. Không chỉ dừng lại ở đó, sự xuất hiện của ảnh kỹ
thuật số còn cho ra đời một phƣơng thức chụp ảnh mới, đó là chụp ảnh cắt lớp.
Phƣơng pháp chụp ảnh cắt lớp gamma đƣợc ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực,
phục vụ cho việc kiểm tra không hủy thể. Phƣơng pháp này có thể đƣợc phân làm hai
mô hình chụp khác nhau. Mô hình thứ nhất có nguồn và đầu dò nằm bên ngoài đối
tƣợng cần chụp ảnh để ghi nhận tia gamma truyền qua. Mô hình này cho biết thông tin
cấu trúc bên trong đối tƣợng. Mô hình còn lại là mô hình đƣợc sử dụng trong khóa luận
này. Trong đó, nguồn phóng xạ đƣợc đƣa vào bên trong đối tƣợng, đầu dò đƣợc đặt
bên ngoài để ghi nhận tín hiệu. Ảnh từ mô hình này cho thấy sự phân bố nguồn phóng
xạ bên trong đối tƣợng.
2

Trong công nghiệp, phƣơng pháp chụp ảnh cắt lớp gamma đƣợc áp dụng nhằm
kiểm soát và chuẩn đoán các quá trình bên trong hệ kín. Bằng cách đƣa các đồng vị
phóng xạ vào bên trong môi trƣờng cần khảo sát, ta có thể dựng đƣợc các ảnh cắt lớp
cho biết quá trình diễn ra bên trong. Phƣơng pháp này phục vụ cho các nghiên cứu nhƣ
khảo sát động học của dòng chảy, sự phân bố chất đánh dấu trong các đƣờng ống, v.v.
Tại Việt Nam, một số trƣờng đại học và viện nghiên cứu đã có những nghiên
cứu trong lĩnh vực xử lý hình ảnh, nhƣ bộ môn Công Nghệ Sinh Học tại Trƣờng Đại
Học Bách Khoa TP. HCM, bộ môn Toán Ứng Dụng tại Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự
Nhiên TP. HCM. Những nhóm nghiên cứu này chủ yếu tập trung vào hƣớng xử lý ảnh
y học, nhằm cải thiện chất lƣợng hình ảnh đầu ra, phục vụ cho việc chuẩn đoán bệnh
trong y khoa [1]. Trong lĩnh vực công nghiệp, tại Trung Tâm Ứng Dụng Kỹ Thuật Hạt
Nhân Trong Công Nghiệp (CANTI) đã có những nghiên cứu về kỹ thuật chụp ảnh
SPECT và CT. Nhƣng quá trình tái tạo ảnh đƣợc xử lý bằng phần mềm đƣợc cung cấp
kèm với thiết bị [3].
Vấn đề là làm thế nào để tái tạo và xử lý đƣợc những hình ảnh đã đƣợc ghi nhận
bởi các thiết bị ghi hình không có phần mềm hỗ trợ. Trong khi đó, những nghiên cứu
về phƣơng pháp tái tạo và xử lý ảnh trong công nghiệp ngày càng đƣợc quan tâm. Vì
vậy, việc nghiên cứu phƣơng pháp tái tạo và xử lý ảnh cắt lớp trong công nghiệp là một
vấn đề cần thiết.
1.2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
Chính vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu kỹ thuật dựng ảnh chụp cắt
lớp gamma cho hệ đo thùng thải phóng xạ chứa nguồn điểm” cho khóa luận tốt
nghiệp của mình. Mục đích của chúng tôi khi thực hiện đề tài này trƣớc hết là tìm hiểu
các phƣơng pháp tái tạo ảnh phù hợp để dựng ảnh cắt lớp từ các số liệu thu đƣợc từ hệ
đo thùng thải phóng xạ chứa nguồn điểm tại bộ môn Vật Lý Hạt Nhân, Trƣờng Đại
3

Học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM. Tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu các kỹ thuật xử
lý ảnh để làm tăng chất lƣợng ảnh cắt lớp đƣợc tái tạo và xác định vị trí nguồn điểm.

Tất cả các kỹ thuật tái tạo và xử lý ảnh đƣợc thực hiện bằng ngôn ngữ lập trình
MATLAB. Sau đó, chúng tôi khảo sát giới hạn thời gian đo mà tại đó ta vẫn tái tạo
đƣợc ảnh cắt lớp và biết đƣợc thông tin vị trí nguồn. Hơn nữa, đây là bƣớc khởi đầu
cho một lĩnh vực nghiên cứu lý thú và mang tính ứng dụng cao, góp phần tạo điều kiện
cho những ai muốn tìm hiểu về lĩnh vực này trong tƣơng lai.
1.3. Nội dung khóa luận
Nội dung khóa luận này đƣợc chia làm 5 chƣơng với những nội dung chính nhƣ
sau:
Chƣơng 1 – Giới thiệu tổng quan: trình bày khái quát đề tài, mục đích, nhiệm vụ
thực hiện đề tài này, và tóm tắt kết quả đạt đƣợc của khóa luận.
Chƣơng 2 – Giới thiệu hệ đo thùng thải phóng xạ: mô tả cấu hình của hệ đo
thùng thải phóng xạ tại bộ môn Vật Lý Hạt Nhân, Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự
Nhiên TP. HCM. Sau đó, chúng tôi trình bày phƣơng thức ghi nhận các hình chiếu của
hệ đo.
Chƣơng 3 – Phƣơng pháp tái tạo và xử lý ảnh cắt lớp: trình bày cơ sở lý thuyết
của một số phƣơng pháp tái tạo và xử lý ảnh. Ở đây, chúng tôi sử dụng phƣơng pháp
chiếu ngƣợc có lọc để tái tạo ảnh. Thông qua mô hình toán học, việc tạo ra các hình
chiếu và nguyên lý thực hiện phƣơng pháp sẽ đƣợc làm rõ. Sau đó, chúng tôi trình bày
các kỹ thuật xử lý ảnh tái tạo đƣợc sử dụng trong khóa luận này nhƣ phép lọc, biến đổi
cƣờng độ ảnh, hồi phục ảnh.
Chƣơng 4 – Dựng ảnh cắt lớp cho hệ đo thùng thải phóng xạ: trình bày kết quả
đạt đƣợc dựa trên các phƣơng pháp tái tạo và xử lý ảnh trong chƣơng 3. Từ số liệu thực
4

nghiệm với nguồn đặt tại tâm, ảnh cắt lớp đƣợc tái tạo và xử lý để xác định vị trí nguồn
điểm bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB. Cũng trong chƣơng này, chúng tôi khảo sát
giới hạn thời gian tối thiểu để dựng đƣợc ảnh với các bộ dữ liệu có thời gian đo khác
nhau. Sau đó chúng tôi dựng ảnh cắt lớp cho vị trí nguồn đặt xa tâm thùng, và so sánh
vị trí xác định từ ảnh với vị trí thực.
Chƣơng 5 – Kết luận và kiến nghị: trình bày những kết quả mà chúng tôi đạt

đƣợc trong suốt quá trình làm khóa luận và đƣa ra những kiến nghị để tiếp tục phát
triển hƣớng nghiên cứu này.
1.4. Tóm tắt kết quả
Sau khi tìm hiểu các phƣơng pháp tái tạo và xử lý ảnh, chúng tôi xác định vị trí
nguồn phóng xạ trong thùng thải dựa trên ảnh tái tạo. Chúng tôi dựng đƣợc ảnh gamma
cắt lớp khi nguồn đặt tại tâm. Từ đó, chúng tôi xác định đƣợc hàm độ nhòe điểm (PSF)
của hệ đo. Đây là thông số quan trọng giúp xác định chất lƣợng kỹ thuật của hệ chụp
ảnh. PSF cũng đƣợc dùng để hồi phục ảnh thực. Sau đó, chúng tôi xác định đƣợc vị trí
nguồn khi đƣợc đặt tại tâm và khác tâm. Ngoài ra, kết quả khảo sát cho thấy rằng khi
dùng số đếm tổng, ta có thể dựng đƣợc ảnh với thời gian 2 giây cho mỗi vị trí đo.



5

CHƢƠNG 2
GIỚI THIỆU HỆ ĐO THÙNG THẢI PHÓNG XẠ
2.1. Cấu hình hệ đo thùng thải phóng xạ
Hệ đo thùng thải phóng xạ tại bộ môn Vật Lý Hạt Nhân, Trƣờng Đại Học Khoa
Học Tự Nhiên TP. HCM, đƣợc thiết kế nhằm mục đích khảo sát và dựng ảnh phân bố
nguồn phóng xạ bên trong thùng. Đây là một cấu hình đơn giản, bao gồm một thùng
thải kim loại nằm trên hệ xoay và một đầu dò NaI(Tl). Cấu hình hệ đo đƣợc mô tả nhƣ
hình 2.1 và hình 2.2.

Hình 2.1. Hệ đo thùng thải phóng xạ
6


Hình 2.2. Mặt cắt dọc của hệ đo thùng thải phóng xạ
Thùng thải đƣợc làm từ thép, có đƣờng kính ngoài là 57,3 cm, cao 85 cm. Nhằm

mục đích cố định nguồn phóng xạ bên trong thùng, các ống nhựa có đƣờng kính 3 cm
đƣợc đặt thẳng đứng vào thùng và cố định bằng một miếng mút (EPS). Hình ảnh bên
trong thùng thải và vị trí các ống nhựa lần lƣợt đƣợc mô tả trên hình 2.3a và 2.3b. Bên
trong thùng thải chứa cát khô. Thùng đƣợc đặt trên một hệ quay, để thực hiện phép
quay từ  đến  trong quá trình đo. Theo chiều cao, thùng đƣợc chia làm 11 phân
đoạn. Mƣời phân đoạn đầu cao 8 cm, còn phân đoạn dƣới cùng cao 5 cm.
7


Hình 2.3. Cấu hình bên trong thùng thải, (a) hình ảnh bên trong thùng thải, (b) vị trí
các ống theo mặt cắt ngang
Đầu dò đƣợc sử dụng là NaI(Tl)    , nằm bên trong một ống chuẩn
trực. Nhiệm vụ của nó là thu nhận những bức xạ gamma phát ra từ thùng thải. Ở đây, ta
kết nối đầu dò với máy tính có cài đặt phần mềm Geine 2000 để ghi nhận và xử lý phổ
số đếm theo các kênh năng lƣợng. Đầu dò đƣợc đặt trên một hệ nâng, để di chuyển
theo chiều thẳng đứng, giúp xác định vị trí nguồn phóng xạ tại các phân đoạn của
thùng. Chân hệ nâng đƣợc gắn với các bánh xe để dịch chuyển đầu dò theo phƣơng
ngang của thùng thải.
Ống chuẩn trực là một ống thẳng có nhiệm vụ ngăn tia tán xạ từ nhiều phía và
định hƣớng cho các chùm tia tùy vào các kỹ thuật chụp ảnh khác nhau. Ở đây, ống
chuẩn trực đƣợc thiết kế để ghi nhận những chùm tia gamma song song đến từ nguồn
phóng xạ bên trong thùng thải. Chúng tôi sử dụng ống có độ rộng 3 cm, cao 0,5 cm, và
8

sâu 2,3 cm nhƣ trong hình 2.4, với hình 2.4a và hình 2.4b lần lƣợt là hình chiếu ngang
và hình chiếu đứng của ống chuẩn trực. Việc lựa chọn cấu hình của ống chuẩn trực ảnh
hƣởng lớn tới độ phân giải không gian của ảnh tái tạo.

Hình 2.4. Ống chuẩn trực của đầu dò, (a) hình chiếu ngang, (b) hình chiếu đứng
2.2. Phƣơng thức ghi nhận các hình chiếu

Nguồn phóng xạ đƣợc sử dụng là nguồn Co
60
, hoạt độ khoảng 15,76 . Ở đây,
ta sử dụng một thanh gỗ có chiều dài bằng chiều cao ống nhựa trong thùng, rộng 2,8
cm, dày 0,9 cm nhƣ đƣợc mô tả trên hình 2.5. Nguồn đƣợc cố định trên thanh gỗ tại vị
trí đƣợc xác định, sao cho khi đƣa vào thùng, nguồn sẽ nằm trên phân đoạn mong
muốn.
Số liệu ghi nhận đƣợc theo phƣơng ngang của thùng ứng với một góc quay đƣợc
gọi là hình chiếu. Do hệ đo chỉ có một đầu dò nên để ghi nhận một hình chiếu thì hệ
nâng sẽ phải di chuyển theo phƣơng ngang với bƣớc nhảy xác định. Do độ rộng ống
chuẩn trực là 3 cm nên bƣớc nhảy mịn nhất có thể dịch chuyển là 3 cm. Bƣớc nhảy nhỏ
9

hơn sẽ dẫn tới số đếm bị chồng chập giữa hai vị trí đặt đầu dò liên tiếp. Vì thế, số dữ
liệu đo đƣợc trên một hình chiếu của thùng thải tối đa là 20.
Để tái tạo đƣợc ảnh cắt lớp, ta cần một tập hợp các hình chiếu ứng với những
góc quay khác nhau. Vì thế, sau khi di chuyển đầu dò theo phƣơng ngang để ghi nhận
một hình chiếu, ta quay thùng theo một góc  để ghi nhận hình chiếu tiếp theo. Ta thực
hiện các phép đo nhƣ vậy để ghi nhận hình chiếu từ  cho tới . Phƣơng thức ghi
nhận hình chiếu đƣợc mô tả trên hình 2.6. Hình 2.6a mô tả phƣơng dịch chuyển thẳng
đứng của đầu dò, hình 2.6b mô tả phƣơng dịch chuyển ngang của đầu dò và chiều quay
của thùng thải. Sau khi có đƣợc các dữ liệu hình chiếu, ta có thể dựng ảnh cắt lớp xác
định vị trí nguồn phóng xạ.

Hình 2.5. Thanh gỗ đƣợc sử dụng để cố định nguồn phóng xạ
10



Hình 2.6. Mô tả phƣơng thức ghi nhận dữ liệu, (a) mô tả phƣơng dịch chuyển thẳng

đứng của đầu dò, (b) mô tả phƣơng dịch chuyển ngang của đầu dò và chiều
quay của thùng thải




11

CHƢƠNG 3
PHƢƠNG PHÁP TÁI TẠO VÀ XỬ LÝ ẢNH CẮT LỚP
3.1. Ảnh kỹ thuật số
Hình ảnh kỹ thuật số là hình ảnh đƣợc số hóa nhờ quá trình xử lý bởi kỹ thuật
máy tính. Nó là một ma trận tạo bởi các phần tử ảnh, hoặc pixel (picture element). Mỗi
pixel trong ma trận mang một giá trị biểu diễn độ xám. Khi chuyển từ dữ liệu số sang
dữ liệu hình ảnh, mỗi pixel tƣơng ứng với một ô vuông nhỏ và mang một độ xám
tƣơng ứng với giá trị của pixel đó trong dữ liệu số. Những bức ảnh kỹ thuật số mà ta có
thể thấy đƣợc chính là một tập hợp những ô vuông nhỏ này xếp kề nhau tạo nên, nhƣ
đƣợc mô tả trong hình 3.1.

Hình 3.1. Pixel trong ảnh kỹ thuật số (hình đƣợc vẽ bằng MATLAB)
12

Hình ảnh kỹ thuật số đƣợc đặc trƣng bởi kích thƣớc ma trận ảnh và độ sâu ảnh.
Kích thƣớc ma trận ảnh là số dòng và số cột của các pixel trong ảnh, nó liên quan tới
độ phân giải của ảnh, ma trận càng lớn thì ảnh càng rõ nét. Độ sâu ảnh là số bit cần để
lƣu trữ cho giá trị của mỗi pixel, hay dung lƣợng của pixel. Độ sâu ảnh liên quan tới độ
tƣơng phản của ảnh.
Ví dụ: một bức ảnh kỹ thuật số có dung lƣợng 8 bit/pixel thì mỗi phần tử ma
trận ảnh có thể nhận 256 giá trị khác nhau. Điều đó nghĩa là mỗi pixel có thể nhận 256
độ xám khác nhau. Dung lƣợng pixel càng lớn thì độ tƣơng phản của ảnh càng tốt.

3.2. Phép biến đổi Radon
Ở đây, ta chỉ xét trƣờng hợp các hình chiếu ghi nhận là song song, đầu dò chỉ
ghi nhận các tia tới cùng phƣơng với trục đầu dò. Để mô tả điều đó bằng một mô hình
toán học đơn giản, ta gọi hàm 



là hàm phân bố cƣờng độ phóng xạ ghi nhận
đƣợc ứng với một lớp cắt, với ,  là biến của một hệ tọa độ vuông góc. Nếu chúng ta
gọi  là hệ trục tọa độ vuông góc có đƣợc bằng cách quay hệ trục tọa độ  theo
một góc , thì tổng số đếm ghi nhận tại mỗi vị trí đặt đầu dò đƣợc mô tả bằng một hàm




. Hàm này còn đƣợc gọi là phép biến đổi Radon của hàm 



, đƣợc mô tả
trong hình 3.2. Ta có thể thấy rằng  là khoảng cách từ chùm tia tới tâm gốc tọa độ, 
là góc quay của hệ trục tọa độ.
Phép biến đổi Radon là một tích phân đƣờng dọc theo đƣờng chiếu của những
tia song song theo các phƣơng khác nhau, đƣợc định nghĩa nhƣ sau [5]:

 















(3.1)
với
13







(3.2)





  
(3.3)
Từ công thức (3.2) và (3.3), phép biến đổi Radon có thể đƣợc biểu diễn theo hệ tọa độ




nhƣ sau:





 




  



   



(3.4)
Phép biến đổi Radon đã chuyển từ miền không gian



thành miền




. Mỗi điểm
trong không gian



tƣơng ứng với một đƣờng thẳng trong không gian .

Hình 3.2. Phép biến đổi Radon
14

Sau khi tia gamma đƣợc phát ra từ các đồng vị phóng xạ, cƣờng độ của chùm tia
bị suy giảm trong quá trình đi tới đầu dò. Do tƣơng tác của chùm tia với môi trƣờng
xung quanh nên phép biến đổi Radon đƣợc viết dƣới dạng phƣơng trình (3.5)





 





 









 







(3.5)
với  là biến giả của  và L là miền lấy tích phân từ vị trí nguồn phát tới đầu dò, song
song với trục tọa độ . Trong phƣơng trình (3.5), 



, 



lần lƣợt là hệ số suy
giảm tuyến tính trong môi trƣờng và hàm phân bố nguồn phóng xạ mà đầu dò thật sự
ghi nhận đƣợc tại vị trí



.
Do các thông tin đều đƣợc xử lý dƣới dạng kỹ thuật số nên các tọa độ




,



đều là những tọa độ rời rạc. Giả sử ta chuyển đổi một ảnh liên tục thành một
mảng hai chiều, , chứa  dòng và  cột, với



là hệ trục tọa độ rời rạc, khi
đó  và  . Những biến tọa độ rời rạc này không
mang giá trị của hệ tọa độ vật lý khi ảnh đƣợc số hóa, công thức (3.5) có thể đƣợc viết
lại dƣới dạng phƣơng trình (3.6).







  


(3.6)
Nhƣ vậy, số đếm ghi nhận đƣợc của một cặp tọa độ




là ). Tập hợp
các giá trị  đƣợc gọi là ma trận hình chiếu, hay còn đƣợc gọi là sinogram. Đây
là ma trận hai chiều, chứa các thông tin ghi nhận đƣợc sau một vòng quay của các đầu
dò. Mỗi một dòng trong ma trận hình chiếu chính là một hình chiếu ứng với một góc
quay. Mỗi cột tƣơng ứng vị trí các đầu dò ghi nhận số đếm từ lớp cắt. Ma trận hình
chiếu này sẽ đƣợc sử dụng để tái tạo ảnh cắt lớp thông qua các phƣơng pháp tái tạo ảnh
khác nhau. Hình 3.3b cho thấy ma trận hình chiếu của hình 3.3a tƣơng ứng.
15


Hình 3.3. Ma trận hình chiếu của một ảnh cắt lớp, (a) ảnh cắt lớp, (b) ma trận hình
chiếu của hình (a) với  là góc quay hình chiếu (hình đƣợc vẽ bằng
MATLAB)
3.3. Phƣơng pháp chiếu ngƣợc đơn giản
Có nhiều phƣơng pháp khác nhau để tái tạo ảnh cắt lớp từ ma trận hình chiếu.
Chúng thƣờng đƣợc chia thành hai loại phƣơng pháp chính, gồm phƣơng pháp giải tích
và phƣơng pháp lặp. Mỗi loại phƣơng pháp nhƣ thế lại bao gồm nhiều phƣơng pháp
khác nhau nhƣ đƣợc mô tả trong hình 3.4. Trong phạm vi khóa luận này, chúng tôi chỉ
16

trình bày phƣơng pháp chiếu ngƣợc trong phƣơng pháp giải tích để tái tạo ảnh cắt lớp
trong trƣờng hợp các hình chiếu ghi nhận đƣợc từ các tia song song.

Hình 3.4. Sơ đồ mô tả các phƣơng pháp tái tạo ảnh cắt lớp
Trong phƣơng pháp chiếu ngƣợc, các hình chiếu thu đƣợc ở các góc khác nhau
đƣợc chiếu lần lƣợt lên một mặt phẳng theo phƣơng mà hình chiếu đó đƣợc ghi nhận.
Giá trị mỗi pixel trong ảnh đƣợc tính bằng tổng giá trị các hình chiếu giao nhau. Các
ảnh chiếu khi chiếu ngƣợc sẽ đƣợc tổng hợp lại trên một mặt phẳng ảnh đƣợc mô tả
17

trong hình 3.5. Hình 3.5a mô tả việc ghi nhận các hình chiếu với những góc khác nhau,
hình 3.5b mô tả phép chiếu ngƣợc để tái tạo ảnh từ các hình chiếu.

Hình 3.5. Quá trình ghi nhận hình chiếu và tái tạo ảnh, (a) mô tả việc ghi nhận các
hình chiếu với những góc khác nhau, (b) mô tả phép chiếu ngƣợc để tái tạo
ảnh từ các hình chiếu [20]
Giá trị của pixel sẽ tăng dần tại những vị trí có sự giao nhau giữa các hình chiếu.
Ta có thể mô tả dƣới dạng toán học nhƣ phƣơng trình (3.7) [17]. Ở đây miền lấy tích
phân từ 0 đến , nghĩa là ta đang xét trong trƣờng hợp các đầu dò quay từ góc 0
0
đến
180
0
để ghi nhận các hình chiếu.













(3.7)
Phƣơng trình (3.7) có thể viết lại dƣới dạng rời rạc hóa nhƣ sau

















(3.8)
18

với  là số hình chiếu đạt đƣợc khi quay một góc , 

là vị trí các đầu dò tại góc thứ
,  là góc quay giữa hai hình chiếu liên tiếp (), 

là vị trí dọc theo các
đầu dò. Từ hình 3.2, ta có thể tính đƣợc 

nhƣ phƣơng trình (3.9)




 

 


(3.9)


Hình 3.6. Sự nhòe ảnh trong phép chiếu ngƣợc, hình A là ảnh gốc, các hình từ B tới G
có số hình chiếu lần lƣợt là 1, 3, 4, 16, 32 [17]
Phƣơng pháp chiếu ngƣợc tuy đơn giản nhƣng lại có một số hạn chế. Nếu nhƣ
số hình chiếu ghi nhận quá nhỏ thì có thể tạo ra các ảnh giả hình sao hoặc đƣờng sọc
khi chiếu ngƣợc. Nếu số hình chiếu tăng lên các ảnh giả sẽ giảm nhƣng xuất hiện sự
nhòe ảnh tại vùng biên những vị trí giao nhau. Hình 3.6 cho ta thấy đƣợc sự thay đổi
chất lƣợng ảnh theo sự tăng lên của số hình chiếu. Để khắc phục hạn chế này, ta phải
sử dụng kỹ thuật lọc ảnh khi chiếu ngƣợc.
19

3.4. Phƣơng pháp xử lý ảnh
3.4.1. Kỹ thuật lọc ảnh trong miền không gian
Trong phƣơng pháp chiếu ngƣợc đơn giản, ảnh tái tạo luôn bị nhòe và có chất
lƣợng kém. Để giảm đi những hạn chế này, ta sử dụng một hàm lọc thích hợp tác dụng
lên ảnh tái tạo. Kỹ thuật này đƣợc gọi là lọc ảnh nhằm loại bỏ nhiễu và hiện tƣợng
nhòe trong quá trình tái tạo ảnh.
Lọc ảnh là một trong những kỹ thuật thƣờng đƣợc sử dụng trong xử lý ảnh kỹ
thuật số nhằm làm tăng độ tƣơng phản, độ mịn của ảnh. “Lọc” là từ đƣợc mƣợn từ
miền tần số, đề cập tới việc loại bỏ những tần số không mong muốn để cải thiện tín
hiệu đầu ra trong lĩnh vực xử lý tín hiệu. Tƣơng tự nhƣ vậy, lọc trong xử lý ảnh kỹ
thuật số sẽ làm thay đổi ảnh đầu vào dựa trên phép toán tích chập để loại bỏ nhiễu trên

ảnh nhằm cải thiện chất lƣợng ảnh.
Trong nhiều lĩnh vực, tích chập là một toán tử rất thông dụng, ta ký hiệu bằng
toán tử “*”. Trong miền liên tục một chiều, việc tác dụng toán tử này lên một hàm
 bởi một hàm  sẽ tạo ra một hàm mới. Kết quả thu đƣợc sau khi tích chập
hàm  phụ thuộc vào việc ta chọn lựa hàm chập nhƣ thế nào. Điều đó tùy theo mục
đích đầu ra. Tích chập đƣợc định nghĩa nhƣ sau [14]











 





 





(3.10)

với  là hàm sau khi tích chập, 

là biến giả của . Trong xử lý ảnh kỹ thuật số, ta
sử dụng công thức tích chập có dạng rời rạc nhƣ sau












 


(3.11)
Trong trƣờng hợp ảnh hai chiều ta có:
20


















 

 





 


  










(3.12)
Trong đó, ,  ,  là ảnh muốn thực hiện tích chập,  còn
đƣợc gọi là mặt nạ. Nếu ,  lần lƣợt là số dòng và số cột của mặt nạ thì  ,
 . Dựa trên công thức (3.12), kỹ thuật lọc ảnh đƣợc mô tả trên hình 3.7 và
hình 3.8.

Hình 3.7. Phƣơng pháp tích chập [11]