tiểu luận xử lý ảnh số nâng cao hình ảnh trong miền tần số

Tiểu luận xử lý ảnh số
Nâng cao hình ảnh trong miền tần số
4.1 Mở đầu
4.2 Giới thiệu về biến đổi Fourier và miền tần số
4.2.1 Biến đổi Fourier 1 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi
4.2.2 Biến đổi Fourier 2 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi
4.2.3 lọc trong miền tần số
4.2.4 Tương ứng giữa các bộ lọc trong miền không gian và miền tần số
4.3 Bộ lọc làm mịn trong miền tần số
4.3.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng
4.3.2 Bộ lọc thông thấp Butterworth
4.3.3 Bộ lọc thông thấp Gaussians
4.3.4 Bổ sung ví dụ về bộ lọc thông thấp
4.4 Bộ lọc làm sắc nét trong miền tần số
4.4.1 Bộ lọc thông cao lý tưởng
4.4.2 Bộ lọc thông cao Butterworth
4.4.3 Bộ lọc thông cao Gaussians
4.4.4 Toán tử laplace trong miền tần số
4.4.5 mặt nạ Unsharp, lọc nâng cao và nhấn mạnh về bộ lọc tần số cao
4.5 Lọc Homomorphic
4.6 Phần bổ sung
4.6.1 Một số thuộc tính bổ sung của biến đổi Fourier 2 chiều
4.6.2 Tính toán Fourier ngược sử dụng thuật toán chuyển đổi chuyển
tiếp
4.6.3 Thông tin thêm về chu kỳ: sự cần thiết bởi đệm
4.6.4 Phép nhân chập và các định lý tương quan
4.6.5 Tóm tắt các tính chất của biến đổi Fourier 2 chiều
4.6.6 Biến đổi Fourier nhanh
4.6.7 Một số ý kiến về thiết kế bộ lọc
4.1 Mở đầu:
Với nỗ lực đáng kể đã được thể hiện trong các chương trước về kỹ thuật

nâng cao hình ảnh trong miền không gian, và với một sự hiểu biết nhất định về lĩnh
vực này, làm thể nào để biến đổi Fourier trong miền tần số để xử lý nâng cao hình
ảnh. Một sự hiểu biết vững chắc về các vấn đề này ,chúng ta có thể thực hiện mà
không cần phải trở thành một chuyên gia về xử lý tín hiệu . Chìa khóa nằm ở việc
tập trung vào các nguyên tắc cơ bản và sự phù hợp của chúng để xử lý hình ảnh kỹ
thuật số. Các ký hiệu , thường là một nguyên nhân làm cho người mới bắt đầu cảm
thấy khó khăn, nhưng sẽ được làm sáng tỏ trong chương này bằng cách nhấn mạnh
mối liên hệ giữa đặc điểm hình ảnh và các công cụ toán học được sử dụng để thay
thế cho các ký hiệu .Chương này chủ yếu giúp người đọc phát triển một sự hiểu
biết cơ bản về biến đổi Fourier trong miền tần số, và họ áp dụng như thế nào để
nâng cao hình ảnh . Sau đó, trong chương 5, 8, 10, và 11, chúng ta thảo luận về các
ứng dụng khác của biến đổi Fourier .
Chúng ta bắt đầu các cuộc thảo luận với một phác thảo ngắn gọn về nguồn
gốc của biến đổi Fourier và tác động của nó trên vô số các ứng dụng của toán học ,
khoa học và kỹ thuật. Tiếp theo, chúng ta cung cấp một số định nghĩa về biến đổi
Fourier trong miền tần số và thiết lập các ký hiệu, lý do tại sao những công cụ này
rất hữu ích cho việc nâng cao hình ảnh . Tiếp theo nữa là phần giới thiệu vấn đề
làm mịn và kỹ thuật lọc sắc nét đã được thảo luận trong Chương 3 ,và tất cả bộ lọc
được thực hiện trong miền tần số. Sau khi thảo luận về công dụng của biến đổi
Fourier để nâng cao hình ảnh , chúng ta kết luận chương này với việc thảo luận về
các vấn đề liên quan khác đến việc thực hiện các biến đổi Fourier trong việc xử lý
hình ảnh .
Giới thiệu
Nhà toán học người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier sinh vào năm 1768
tại thị trấn Auxerre, nằm giữa Paris và Dijon . Sự đóng góp đáng nhớ nhất của ông
trong một cuốn hồi ký vào năm 1807 và được công bố vào năm 1822, đó là cuốn
sách La Théorie Analitique de la Chaleur ( Lý thuyết phân tích nhiệt ). Cuốn sách này
đã được dịch sang tiếng Anh 55 năm sau đó bởi Freeman (1878) . Về cơ bản , đóng
góp của Fourier trong này nói rằng bất kỳ một hàm cụ thể có chu kỳ lặp lại có thể
được thể hiện dưới dạng tổng của sin và/hoặc cosines với các tần số khác nhau,

nhân với một hệ số khác nhau ( chúng ta hay gọi là một chuỗi Fourier ) . Nó không
quan trọng là hàm phức tạp hay không, miễn là nó có chu kỳ và đáp ứng một số
điều kiện về toán học, nó có thể được đại diện bởi một hàm như vậy. Cuốn sách
này hiện đang dùng cho các cấp học, nhưng khái niệm của nó lần đầu tiên xuất
hiện đã mang tính cách mạng mà các nhà toán học trên toàn thế giới phải mất hơn
một thế kỷ để "điều chỉnh . Ngay cả hàm không có chu kỳ (nhưng có diện tích mặt
cong là hữu hạn) có thể được biểu diễn tách rời của sin và/hoặc cos nhân với một
hàm. Trong trường hợp này, việc xây dựng là biến đổi Fourier , và tiện ích của nó
thậm chí còn lớn hơn chuỗi Fourier trong hầu hết các vấn đề thực tế . Cả hai cùng
mang đặc điểm quan trọng là một hàm biểu diễn bằng một chuỗi biến đổi Fourier,
có thể được xây dựng lại ( phục hồi ) hoàn toàn thông qua một quá trình ngược lại,
không bị mất thông tin. Đây là một trong những đặc điểm quan trọng nhất bởi vì
chúng cho phép chúng ta làm việc trong " miền Fourier " và sau đó trở về miền ban
đầu của các hàm mà không bị mất bất kỳ thông tin nào. Việc áp dụng các ý tưởng
ban đầu của Fourier là trong lĩnh vực khuếch tán nhiệt , nơi lần đầu tiên họ đã có
thể cho phép xây dựng các phương trình vi phân đại diện cho dòng nhiệt. Trong
suốt thế kỷ qua, và đặc biệt là trong 50 năm qua , toàn bộ các ngành công nghiệp
và lĩnh vực khoa học đã phát triển mạnh mẽ như là kết quả những ý tưởng của
Fourier . Sự ra đời của tính toán kỹ thuật số và "khám phá" thuật toán biến đổi
Fourier nhanh ( FFT ) trong những năm 1950 ( sẽ nói thêm về thuật toán này) cách
mạng hóa lĩnh vực xử lý tín hiệu số. Hai công nghệ cốt lõi cho phép điều chế thời
gian thực đầu tiên và giải thích ý nghĩa của một loạt các phép toán xử lý tín hiệu
quan trọng của con người và đặc biệt là ngành công nghiệp, từ màn hình y tế và
máy quét để truyền tải thông tin điện tử một cách hiện đại. Chúng ta sẽ nghiên cứu
với các hàm( hình ảnh) trong khoảng thời gian hữu hạn , do đó biến đổi Fourier là
công cụ mà chúng ta cần quan tâm. trong các phần sau đây sẽ giới thiệu về các
biến đổi Fourier và miền tần số. Nó cho thấy rằng kỹ thuật biến đổi Fourier cung
cấp các tính chất có ý nghĩa và thiết thực để nghiên cứu và thực hiện một loạt các
phương pháp tiếp việc xử lý nâng cao hình ảnh . Trong một số trường hợp, các
phương pháp tiếp cận tương tự như những tính chất chúng ta đã xây dựng trong

Chương 3 .
4.2 Giới thiệu về Biến đổi Fourier và miền tần số
Phần này giới thiệu các biến đổi Fourier trong một và hai chiều. Tập trung
chủ yếu trên một công thức riêng biệt của biến đổi liên tục và một số thuộc tính
của nó.
4.2.1 Biến đổi Fourier 1 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi
Biến đổi Fourier, F(u), với một biến duy nhất của hàm liên tục, f(x), được
xác định bởi phương trình:
trong đó j =
1−
. Ngược lại, cho F(u), chúng ta có thể tính được f(x) bằng cách sử
dụng định nghĩa của Biến đổi Fourier ngược

Hai phương trình trên bao gồm các biến đổi Fourier. Nó chỉ ra một thực tế
quan trọng được đề cập trong phần trước rằng một hàm có thể được phục hồi từ
biến đổi của nó. Những phương trình này dễ dàng mở rộng đến hai biến, u và v:

và tương tự cho các biến đổi nghịch đảo,

Quan tâm của chúng ta là trong các hàm riêng biệt, vì vậy chúng ta sẽ không
dừng lại ở các phương trình này. Trong một số trường hợp, người đọc có thể tìm
thấy chúng dễ dàng hơn để thao tác tương đương như hàm rời rạc trong việc chứng
minh giá trị của biến đổi Fourier hai chiều. Biến đổi Fourier của hàm một biến, f(x)
với x = 0,1, 2, , M-1 , được cho bởi phương trình

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là nền tảng cho hầu hết các thuật toán trong
chương này. Tương tự như vậy, cho F(u), chúng ta có thể có được những hàm ban
đầu bằng cách sử dụng DFT ngược:
Một tính chất quan trọng của các cặp biến đổi rời rạc là không giống như
trường hợp tiếp theo, chúng ta không cần phải quan tâm về sự tồn tại của DFT hay

nghịch đảo của nó . Biến đổi rời rạc và biến đổi Fourier nghịch đảo luôn luôn tồn
tại. Chúng ta sẽ nhận được một tính chất, cho thấy sự tồn tại của hai chức năng. Tất
nhiên, khi đó luôn luôn có những câu hỏi về những gì sẽ xảy ra nếu f(x) có giá trị
vô hạn , nhưng trong cuốn sách này, chúng ta chỉ xử lý với số lượng hữu hạn.
Những điều kiện được áp dụng trực tiếp vào các hàm hai chiều ( và cao hơn). Vì
vậy, để xử lý hình ảnh kỹ thuật số, sự tồn tại của một trong hai biến đổi rời rạc
hoặc nghịch đảo của nó không phải là một vấn đề lớn. Các khái niệm về lĩnh vực
tần số , đã đề cập nhiều lần trong chương này và trong Chương 3, lấy trực tiếp từ
công thức Euler :

Thay biểu thức này vào phương trình (pt) (4.2-5), và sử dụng cos (-θ) = cos (θ) ,
chúng ta có:

Với u = 0,1,2 , , M ~ 1, chúng ta thấy rằng mỗi đoạn của biến đổi Fourier [ đó là,
giá trị của F(u) với mỗi giá trị của u bao gồm tổng của tất cả các giá trị hàm f(x) ].
Các giá trị của f(x), được nhân lần lượt với sin và cos của các tần số khác nhau .
Miền (giá trị của u) mà ở đó có giá trị thích hợp của F(u) được gọi là miền tần số,
vì u sẽ xác định tần số của các thành phần có sự thay đổi. (Các biến x cũng đã ảnh
hưởng đến tần số , nhưng chúng được lược bỏ và tất cả đều có những đóng góp
như nhau với mỗi giá trị của u). Sử dụng các thuật ngữ miền tần số và các thành
phần tần số thực sự là không khác nhau từ định nghĩa miền thời gian và các thành
phần thời gian , mà chúng ta sẽ sử dụng để thể hiện các tên miền và các giá trị của
f(x) nếu x là một biến thời gian. Một so sánh tương tự là các biến đổi Fourier với
một lăng kính thủy tinh , lăng kính là một thiết bị vật lý tách ánh sáng thành các
thành phần màu sắc khác nhau, mỗi ánh sáng phụ thuộc vào bước sóng (hoặc tần
số) của nó. Biến đổi Fourier có thể được xem như một " lăng kính toán học " mà
tách một hàm thành các thành phần khác nhau , cũng dựa trên điều kiện tần số. Khi
chúng ta xem xét ánh sáng , chúng ta nói về quang phổ của nó hoặc điều kiện về
tần số, tương tự như vậy , biến đổi Fourier cho phép chúng ta mô tả một hàm với
miền tần số của nó. Đây là một khái niệm tốt nhât nằm ở trung tâm của bộ lọc

tuyến tính . Nói chung, chúng ta thấy từ pt(4.2-5) hoặc pt(4.2-8) mà các thành phần
của biến đổi Fourier là số lượng phức tạp .Trong việc phân tích các hàm phức tạp ,
chúng ta thấy nó thuận tiện đôi khi F(u) được thể hiện trong tọa độ cực :

khi

được gọi là độ lớn hoặc phổ của biến đổi Fourier, và

được gọi là góc pha hoặc phổ của sự thay đổi. Trong các pt(4.2-10) và (4.2-11),
R(u) và I(u) là phần thực và phần ảo của F(u). Về vấn đề nâng cao hình ảnh chúng
ta quan tâm chủ yếu với tính chất của quang phổ. Một đại lượng được sử dụng
trong chương này là phổ năng lượng, định nghĩa là phổ Fourier:

Trước khi tiếp tục, xem xét một ví dụ biến đổi Fourier một chiều sẽ rất có
ích. Hình 4.2(a) biểu diễn một hàm và hình 4.2(b) cho thấy phổ Fourier của nó . Cả
hai f (x) và F ( u ) là các hàm rời rạc , nhưng các điểm ở các ô được liên kết để làm
cho chúng được theo dõi dễ dàng hơn. Trong ví dụ này , M = 1024, A = 1, và K chỉ
có 8 điểm. Cũng lưu ý rằng phổ trung tâm tại u = 0 . Như trình bày trong phần sau,
điều này được thực hiện bằng cách trước khi biến đổi nhân f(x) với (-1)
x
. Hai hình
tiếp theo mô tả về cơ bản là giống nhau, nhưng với K = 16 điểm . Các điểm quan
trọng cần lưu ý là (1): chiều cao của phổ tăng gấp đôi như khu vực dưới đường
cong khi x tăng gấp đôi, và (2): số lượng điểm không ở trong phổ trong cùng một
khoảng thời gian tăng gấp đôi khi chiều dài của hàm tăng gấp đôi. Bản chất của
biến đổi cặp Fourier là hữu ích nhất trong việc giải thích kết quả xử lý hình ảnh
trong miền tần số .
Trong trường hợp rời rạc, khi chúng ta viết f(k), nó được hiểu rằng chúng ta
đang sử dụng ký hiệu viết tắt mà nghĩa thực sự là f(x
0

+ kΔx). Về các ký hiệu
chúng ta đã sử dụng cho đến nay, f(x) được hiểu là
f(x) = f (x
0
+xΔx) (4.2-13)
khi thực hiện với các biến rời rạc. Biến u có một giải thích tương tự, nhưng trình tự
luôn luôn bắt đầu ở tần số 0. Do đó, trình tự cho các giá trị của u là 0, Δu, 2Δu , ,
[M - l] Δu. F(u) được hiểu như sau:

cho u = 0, 1, 2 , M - 1. Đây là loại ký hiệu viết tắt giúp các phương trình đơn
giản hoá đáng kể và dễ dàng hơn nhiều. Mối quan hệ nghịch đảo giữa một hàm và
biến đổi của nó minh họa trong hình 4.2, Δx và Δu tỉ lệ nghịch theo biểu thức

Mối quan hệ này rất có ích khi đó là một vấn đề trong việc xử lý các hình ảnh. Ví
dụ, trong một ứng dụng của kính hiển vi điện tử các mẫu hình ảnh có thể cách nhau
1 micron , và có đặc điểm trong miền tần số (như các thành phần chu kỳ) là có thể
có những tác động liên quan đến cấu trúc của mẫu vật lý.
4.2.2 Biến đổi Fourier 2 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi
a b
c d
FIGURE 4.2 (a)
chức năng riêng biệt của M
điểm, và (b) phổ Fourier
của nó, (c) Một chức năng
rời rạc với gấp đôi số điểm
khác không, và (d) phổ
Fourier của nó.
Mở rộng của biến đổi Fourier rời rạc một chiều và nghịch đảo của nó là biến
đổi Fourier hai chiều là khá đơn giản. Biến đổi Fourier rời rạc của một hàm (hình
ảnh) f(x, y) có diện tích MxN được cho bởi phương trình

Như trong trường hợp một chiều, biểu thức được tính toán cho các giá trị u = 0, 1,
2, , M - l, và cũng cho v = 0, 1, 2, , N - 1. Tương tự như vậy, cho F(u,v) chúng
ta có được f (x, y) thông qua Biến đổi Fourier ngược, thể hiện ở biểu thức

Với x = 0, 1, 2, , M - 1 và y = 0, 1, 2, , N – 1, pt(4.2-16) và pt(4.2-17) là cặp
biến đổi Fourier rời rạc (DFT) hai chiều. Các biến u và v là biến số hoặc biến tần
số, và x và y là các biến không gian hoặc hình ảnh. Như trong trường hợp một
chiều, vị trí của các hằng số 1/MN là không quan trọng. Đôi khi nó nằm ở phía
trước của biến đổi ngược. Chúng ta xác định phổ Fourier, góc pha, và phổ năng
lượng như trong phần trước:

và

trong đó R(u,v) và I(u,v) tương ứng là phần thực và phần ảo của F(u,v). Thực tế
nhân hàm ảnh chụp đầu vào với (- 1)
x+y
trước khi tính toán biến đổi Fourier. Do
tính chất của hàm mũ, nó được hiển thị (xem phần 4.6)
với ζ [.] biểu diễn biến đổi Fourier của các đối số. Phương trình này nói rằng gốc
của biến đổi Fourier của f(x, y) (-1)
x+y
[có nghĩa là, F(0,0)] được đặt tại u = M / 2
và v = N/2. Nói cách khác, nhân f (x, y) với (-1)
x+y
sẽ làm thay đổi gốc của F(u,v)
với tọa độ tần số (M/2, N/2). Chúng ta nói đến khu vực này của miền tần số như
phổ hình chữ nhật. Nó trải dài từ u = 0 đến u = M - 1, và từ v = 0 đến v = N - 1
(nhớ rằng u và v là các số nguyên). Để đảm bảo rằng các tọa độ là số nguyên,
chúng ta có M và N là số chẵn. Khi thực hiện các biến đổi Fourier trong một máy

tính, các giới hạn là từ u = 1 đến M và v = 1 đến N. Các trung tâm thực tế của biến
đổi sau đó sẽ có mặt tại u = (M / 2)+1 và v = (N / 2)+1. Giá trị của các biến số (u,
v) = (0, 0) là từ biểu thức. (4.2-16)

mà chúng ta thấy là mức trung bình của f(x, y). Nói cách khác, nếu f(x, y) là một
hình ảnh, giá trị biến đổi Fourier tại gốc là bằng mức xám trung bình của hình ảnh.
Bởi vì cả hai tần số là số 0 tại gốc, F(0,0) đôi khi được gọi là thành phần dc của
phổ. Thuật ngữ này là từ kỹ thuật điện, trong đó "dc" nghĩa là dòng (ví dụ, dòng
của tần số 0), Nếu f (x, y) là phần thực, biến đổi Fourier của nó là liên hợp đối
xứng, đó là,

mà “*” nghĩa là liên hợp phức. Từ đó
nói rằng phổ của biến đổi Fourier là đối xứng. Liên hợp đối xứng và các thảo luận
trước đó thực sự đơn giản hóa các đặc tính kỹ thuật của các bộ lọc tròn đối xứng
trong miền tần số, như trong phần sau. Cuối cùng, như trong trường hợp một chiều
chúng ta có mối quan hệ sau đây giữa các biến trong miền không gian và tần số:

Và

Ý nghĩa
của các
biến này
là giống
hệt nhau
cho lời
giải
thích
được
đưa ra
trong

mục 4.2.1 cho các biến một chiều.
Hình 4.3(a) cho thấy một hình chữ nhật màu trắng kích thước 20 x 40 điểm
ảnh chồng trên một nền đen có kích thước 512 x 512 điểm ảnh. Hình ảnh này đã
được nhân (-1)
x+y
trước khi tính toán biến đổi Fourier để phổ được thể hiện trong
hình 4.3(b). (Lưu ý vị trí, tên, gốc của các trục trong cả hai số. Chúng ta tuân theo
quy ước này trong tất cả các thảo luận về hình ảnh và phổ Fourier tương ứng của
chúng ). Phổ đã được xử lý trước khi biểu diễn bằng cách sử dụng chuyển đổi
trong pt(3.2-2) để tăng cường chi tiết mức xám. Giá trị của c = 0,5 được sử dụng
trong việc chuyển đổi để giảm cường độ tổng thể.
a b
Hình 4.3 (a) hình chữ nhật màu trắng kích thước 20 x 40 điểm ảnh chồng trên một
nền đen có kích thước 512 x 512 điểm ảnh (b) Phổ đã được xử lý trước khi biểu
diễn bằng cách sử dụng chuyển đổi trong pt(3.2-2) . So sánh với hình 4.2
4.2.3 lọc trong miền tần số
Như đã đề cập trong hai phần trước , miền tần số khác với miền không gian
bởi giá trị của các biến đổi Fourier và biến tần số của nó (u,v). Trong phần này ,
chúng ta chú trọng đến miền tần số , vì nó liên quan đến xử lý hình ảnh .
Một số thuộc tính cơ bản của miền tần số
chúng ta bắt đầu bằng cách quan sát pt(4.2-16) mà mỗi điểm của F(u,v) có
chứa tất cả các giá trị của f(x,y). Một số báo cáo nói rằng có thể tìm ra được mối
quan hệ giữa các thành phần tần số của biến đổi Fourier và thuộc tính trong miền
không gian của một hình ảnh. Chúng ta đã thấy trong phần trước rằng thành phần
tần số thấp nhất khác nhau (u = v = 0) tương ứng với các mức xám trung bình của
một hình ảnh. Trong hình ảnh của một căn phòng, ví dụ, những bức tường và sàn
nhà có thể tương ứng với các màu xám mịn. Một minh họa sẽ giúp làm rõ những ý
tưởng trên. Hình 4.4(a) là một hình ảnh quét điện tử miscrocope của một mạch tích
hợp , phóng đại khoảng 2500 lần. Bên cạnh việc xây dựng thú vị của itsell thiết bị ,
chúng ta lưu ý hai đặc điểm chính : cạnh đậm ở khoảng ± 45

o
và hai phần oxit
trắng nhô ra do nhiệt gây ra đã bị lỗi. phổ của biến đổi Fourier trong hình 4.4(b)
cho thấy thành phần nổi bật ở ±45
o
tương ứng với các cạnh được đề cập đến.
Ví dụ này là điển hình của mối quan hệ giữa miền tần số và miền không gian . Như
chúng ta thấy trong chương này, cùng với các mối quan hệ giữa nội dung đã được
đề cập trước đó, thay đổi tần số và tốc độ của mức xám trong một hình ảnh , có thể
dẫn đến một số kết quả nâng cao rất hữu ích.
Cơ bản của lọc trong miền tần số
Lọc trong miền tần số là đơn giản. Nó bao gồm các bước sau:
1. Nhân các hình ảnh đầu vào với (-1)
x+y
trước khi biến đổi Fourier, được chỉ
ra trong pt(4.2-21).
2. Tính F (u,v), các DFT của hình ảnh từ (1).
3. Nhân F(u, v) với một hàm lọc H(u,v).
4. Tính toán DFT ngược của (3).
5. Tính toán phần thực của kết quả (4).
6. Nhân kết quả của (5) với (-1)
x+y
.
Lý do mà H (u, v) được gọi là một hàm lọc là bởi vì nó ngăn chặn tần số nhất
định trong các biến đổi trong khi những thứ khác lại không thay đổi được. Ở dạng
a
b
Hình 4.4(a) ảnh SEM của
một mạch tích hợp hỏng, (b)
Fourier quang phổ của (a).

(Hình ảnh gốc được cung
cấp bởi Tiến sĩ JM
Hudak, Viện Nghiên cứu vật
liệu Brockhouse, Đại học
MeMaster, Hamilton,
Ontario, Canada.)
phương trình, cho f(x,y) đại diện cho hình ảnh đầu vào ở bước 1 và F(u, v) biến đổi
Fourier của nó. Sau đó biến đổi Fourier của hình ảnh đầu ra được cho bởi

phép nhân của H và F liên quan đến hàm hai chiều và được xác định trên cơ sở
biến theo biến. Đó là, các biến đầu tiên của H nhân các biến đầu tiên của F, biến
thứ hai của H nhân các biến thứ hai của F, và cứ tiếp tục như vậy. Nhìn chung, các
thành phần với số lượng phức tạp, nhưng các bộ lọc mà chúng ta dùng trong cuốn
sách này thường là có thế giải quyết. Trong trường hợp này, mỗi thành phần của H
nhân cả hai phần thực và phần ảo của các thành phần tương ứng trong F. Bộ lọc
như vậy được gọi là bộ lọc dịch pha 0. Như tên của nó, các bộ lọc này không làm
thay đổi đoạn của biến đổi, một thực tế là có thể được nhìn thấy trong pt(4.2-19)
bằng cách cho rằng số nhân trong những phần thực và phần ảo sẽ bị hủy bỏ vì
chúng có cùng giá trị. Những hình ảnh được lọc thu được bằng cách lấy Fourier
ngược G (u, v):

Hình ảnh cuối cùng thu được bằng cách lấy phần thực của kết quả này và nhân
nó với (-1)
x+y
. Biến đổi Fourier ngược, nói chung khá phức tạp . Tuy nhiên , khi đã
có hình ảnh đầu vào và hàm lọc, các thành phần ảo của biến đổi ngược là 0, các
thành phần này được bỏ qua. Quy trình lọc được tóm tắt trong hình 4.5 trong một
hình thức tổng quát hơn, bao gồm các giai đoạn trước và sau khi xử lý. Ngoài quá
trình nhân với (-1)
x+y

, còn có các quá trình khác bao gồm như cắt kích thước hình
ảnh đầu vào( cần thiết cho phù hợp biến đổi định tâm ) , mở rộng giá trị mức xám ,
chuyển đổi dấu chấm trên đầu vào, và chuyển đổi sang một định dạng số nguyên 8-
bit trên đầu ra. Nhiều giai đoạn lọc trước và sau xử lý và các hàm khác là có thể.
Có rất nhiều biến thể của chủ đề cơ bản này. Điểm quan trọng cần lưu ý là quá
trình lọc dựa trên sửa đổi biến đổi của một hình ảnh trong một cách nào đó thông
qua một chức năng lọc, rồi kéo ngược của kết quả để có được những hình ảnh đầu
ra được xử lý.
Hình 4.5 Các bước cơ bản để lọc trong miền tần số.
Một số bộ lọc cơ bản và thuộc tính của nó
Tại thời điểm này, chúng ta đã thiết lập nền tảng cho việc lọc trong miền tần
số và bước đi tiếp theo là xem xét một số các bộ lọc cụ thể và xem cách chúng ảnh
hưởng đến hình ảnh như thế nào. Các cuộc thảo luận trước đó về pt(4.2-22) cho
chúng ta một chỉ dẫn hoàn hảo một ví dụ giới thiệu về các bộ lọc. Theo pt(4.2-22),
giá trị trung bình của một hình ảnh được cho bởi F(0,0). Nếu chúng ta đặt thuật
ngữ này trong miền tần số và có những biến đổi nghịch đảo, thì kết quả của giá trị
trung bình của ảnh sẽ bằng không. Giả định rằng các biến đổi đã thảo luận trong
pt(4.2-21), chúng ta có thể thực hiện hành động này bằng cách nhân tất cả các giá
trị của F(u,v) với một hàm lọc:

Tất cả các bộ lọc này là thiết lập F(0,0) bằng 0 và để lại tất cả các thành phần tần
số khác của biến đổi Fourier bị ảnh hưởng. Hình ảnh điều chế (với giá trị trung
bình 0) sau đó có thể thu được bằng cách lấy nghịch đảo biến đổi Fourier của H(u,
v)F(u,v) , như được chỉ ra trong pt(4.2-28). Như đã nói ở trên, cả hai phần thực và
phần ảo của F (u, v) được nhân với hàm lọc f(u,v). Bộ lọc được thảo luận được gọi
là bộ lọc Notch ( bộ lọc lõm) bởi vì nó là một hàm thường xuyên có một lỗ ( khe )
tại gốc. Kết quả của việc xử lý hình ảnh trong hình 4.4(a) với bộ lọc này được thể
hiện trong hình 4.6 . Lưu ý giảm mức xám trung bình tổng thể do buộc các giá trị
trung bình bằng không. Như trình bày trong mục 5.4.3 , bộ lọc sắc nét là công cụ
đặc biệt hữu ích khi nó có thể xác định hiệu ứng hình ảnh không gian cho các

thành phần miền tần số . Tần số thấp trong biến đổi Fourier chịu trách nhiệm về sự
xuất hiện mức xám của một hình ảnh trên khu vực trơn, trong khi tần số cao chịu
trách nhiệm về các chi tiết , chẳng hạn như các cạnh và điểm mờ. Những ý tưởng
này sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong các phần tiếp theo, nhưng nó sẽ là bài học
để bổ sung minh họa cho chúng ta về bộ lọc Notch với một ví dụ về các bộ lọc
trong hai thể loại khác. Một bộ lọc làm suy giảm tần số cao trong khi " đi qua '' tần
số thấp được gọi là một bộ lọc thông thấp . Một bộ lọc có đặc tính ngược lại là
được gọi là một bộ lọc thông cao. Chúng ta mong muốn một hình ảnh lọc thông
thấp để giảm chi tiết sắc nét hơn so với bản gốc bởi vì các tần số cao đã suy giảm.
Tương tự như vậy , một hình ảnh của lọc thông cao sẽ có sự thay đổi mức xám
trong khu vực trơn tru và nhấn mạnh các chi tiết ( ví dụ như cạnh) về mức xám.
Những hình ảnh này sẽ xuất hiện sắc nét hơn . Hình 4.7 minh họa ảnh hưởng của
lọc thông thấp và lọc thông cao của hình 4.4( a). Phần bên trái của hình cho thấy
các bộ lọc và phần bên phải là kết quả của bộ lọc bằng cách sử dụng quy trình tóm
tắt trong hình 4.5 . Sau khi thay đổi gốc của chúng đến trung tâm của phổ hình chữ
nhật bị chiếm bởi F(u,v) ,chúng đã được nhân với hàm biến đổi chính, như được
nêu trong cuộc thảo luận của chúng ta tại các pt(4.2-27 ), pt(4.2-28), và hình 4.5 .
Lấy một phần thực của mỗi kết quả và nhân nó với (-1)
x+y
mang lại những hình ảnh
bên phải. Theo dự kiến, các hình ảnh trong hình 4.7(b) bị mờ , và hình ảnh trong
hình 4.7 ( d ) là sắc nét , mịn màng bởi các mức xám của chi tiết nhỏ vì F(0,0) đã
được thiết lập về 0 . Đây là điển hình của kết quả lọc thông cao , và một thủ tục
theo sau là thêm một thuật toán để các bộ lọc sẽ không hoàn toàn loại bỏ F(0,0).
Kết quả của việc sử dụng thủ tục này được thể hiện trong hình 4.8. Việc cải thiện
hình 4.7(d) là điều hiển nhiên .
a b
c d
Hình 4.7 (a) hàm lọc thông thấp hai chiều, (b) Kết quả hình ảnh lọc thông thấp của
hình 4.4(a), (c) hàm lọc thông cao hai chiều , (d) Kết quả hình ảnh lọc thông cao

của hình. 4.4 (a).
Tương ứng giữa các bộ lọc trong miền không gian và tần số
Trong chương trước, chúng ta đã đề cập đến các hình thức cho các bộ lọc
trong miền không gian khác nhau sử dụng phép toán “và / hoặc” chẳng hạn như
toán tử Laplace. Trong phần này, chúng ta thiết lập một liên kết trực tiếp giữa một
số các bộ lọc trong miền không gian và miền tần số của chúng. Mối quan hệ cơ bản
nhất giữa miền không gian và tần số được thành lập bởi một kết quả nổi tiếng được
Hình 4.8
Kết quả của hình ảnh lọc
thông cao trong hình 4.4
(a) với các bộ lọc trong
hình. 4.7 (c). sửa đổi bằng
cách thêm một hằng số
của một nửa chiều cao bộ
lọc với hàm lọc. so sánh
với hình 4.4(a).
gọi là định lý chập. Người đọc đã quen thuộc với các khái niệm cơ bản và cơ chế
chập trong miền không gian, đã được giới thiệu và minh họa trong phần 3.5.


Quá trình mà chúng tôi di chuyển một mặt nạ từ
điểm ảnh đến điểm ảnh trong một hình ảnh, và tính
toán số lượng được xác định trước tại mỗi điểm ảnh
là nền tảng của quá trình chập. Các phép chập rời rạc
của hai hàm f(x, y) và h(x, y) có diện tích MxN được
ký hiệu là f (x, y) * h (x, y) và được xác định bởi biểu thức

Với ngoại lệ là các hằng số hàng đầu, các dấu trừ, và các giới hạn của tổng , biểu
thức này có dạng tương tự như pt(3,5-1). Các dấu trừ, đặc biệt, chỉ đơn giản có
nghĩa là hàm h được đưa về gốc. Đây là điều vốn có trong định nghĩa của chập.

Pt(4.2-30) nghĩa là thực hiện (1) đưa một hàm về gốc, (2) chuyển hàm bằng cách
thay đổi các giá trị của (x, y), và (3 ) tính toán một số giá trị của hàm trên tất cả các
giá trị của m và n, cho mỗi lần thay đổi (x, y). Để cho F(u, v) và H(u, v) biểu thị
biến đổi Fourier của f(x, v) và h(x, y) tương ứng, một nửa của định lý chập chỉ đơn
giản nói rằng f (x, y ) * h (x, y) và F(u, v)H(u, v) là một cặp biến đổi Fourier. Kết
quả này được biểu diễn như sau

Mũi tên đôi được sử dụng để chỉ ra rằng những biểu thức bên trái (chập trong miền
không gian) có thể thu được bằng cách lấy Fourier nghịch đảo của biểu thức bên
phải [giá trị của F(u,v)H(u,v) trong miền tần số ]. Ngược lại, những biểu thức bên
phải có thể thu được bằng cách lấy ra biến đổi Fourier của biểu thức bên trái. Kết
quả tương tự là phép chập trong miền tần số là phép nhân trong miền không gian,
và ngược lại, đó là.

Hai pt trên bao gồm toán bộ các định lý chập. Điều quan trọng cần lưu ý rằng
không có gì là phức tạp về những gì vừa được tuyên bố là. Chúng ta cần một khái
niệm hơn trước khi hoàn tất mối quan hệ giữa miền không gian và tần số. Một hàm
có biến số A, nằm ở tọa độ (x
0
, y
0
), được ký hiệu là Aδ (x – x
0
, y – y
0
) và được xác
định bởi biểu thức
Phương trình này nói rằng tổng của một hàm s(x,y) nhân với một xung đơn giản là
giá trị của hàm tại vị trí của xung. Chúng ta chỉ ra rằng Aδ(x - x
0

, y - y
0
) cũng là
hình ảnh có kích M x N. Nó bao gồm tất cả các số 0, ngoại trừ tại tọa độ (x
0
, y
0
),
trong đó giá trị của hình ảnh là A. Bằng cách cho phép hoặc f hoặc h trong pt(4.2-
30) là một hàm thúc, và sử dụng định nghĩa trong pt(4.2-33). Đặc biệt quan trọng
vào lúc này là trường hợp của một xung đơn vị nằm ở gốc, được ký hiệu là δ(x, y).
trong trường hợp này,

Trang bị những công cụ đơn giản, chúng ta đang thiết lập một biểu thức thú vị và
hữu ích giữa bộ lọc trong miền không gian và tần số. Từ pt(4.2-16), chúng ta có thể
tính toán biến đổi Fourier của một xung đơn vị tại gốc,
nơi mà các bước tiếp theo thứ hai là từ phương trình (4,2-34). Do đó, chúng ta thấy
rằng biến đổi Fourier của một xung vào trên miền không gian là một hằng số thực
(điều này có nghĩa là góc pha là không). Nếu xung được đặt ở những nơi khác,
biến đổi sẽ có thành phần phức. Độ lớn sẽ là như nhau, với bản dịch của xung được
phản ánh trong một góc pha khác 0 trong sự thay đổi.
Bây giờ giả sử chúng ta cho f(x,y) = δ(x,y) và thực hiện phép chập được định
nghĩa trong pt(4.2-30). Sử dụng pt(4.2-34) một lần nữa cho chúng ta
bước cuối cùng từ pt(4,2-34) bằng cách cho rằng các biến trong phép tính tổng là
m và n. Bằng cách kết hợp các kết quả của các pt(4.2-35) và pt(4.2-36) với pt(4.2-
31), chúng ta có được

Chỉ sử dụng các thuộc tính của hàm thúc và định lý chập, chúng ta đã thiết
lập được các bộ lọc trong các miền không gian và miền tần số, biến đổi tạo thành
một cặp Fourier. Như vậy, cho một bộ lọc trong miền tần số, chúng ta có thể có

được những bộ lọc tương ứng trong miền không gian bằng cách biến đổi nghịch
đảo Fourier của các hàm. Điều ngược lại cũng đúng.
Lưu ý rằng tất cả các hàm phát triển trước đó là có cùng kích thước , M x N.
Chính vì vậy , trong thực tế, quy định cụ thể một bộ lọc trong miền tần số và sau
đó dùng các phép nghịch đảo để tính toán một bộ lọc trong miền không gian tương
đương với kích thước tương tự không thực sự tốt về các vấn đề từ một quan điểm
tính toán . Như đã thảo luận trong phần 4.6 , nếu cả hai bộ lọc có cùng kích thước ,
nó thường là hiệu quả hơn trong việc tính toán cho bộ lọc trong miền tần số .
Nhưng chúng ta sử dụng các bộ lọc nhỏ hơn trong miền không gian. Đây chính là
kết nối mà chúng ta đang quan tâm. Lọc thường thấy trực quan hơn trong miền tần
số. Tuy nhiên, bất cứ khi nào có thể, nó có thể tốt hơn để lọc trong miền không
gian sử dụng mặt nạ lọc. Pt(4.2-37) nói với chúng ta rằng chúng ta có thể chỉ định
các bộ lọc trong miền tần số , và biến đổi ngược của chúng, và sau đó sử dụng các
kết quả của bộ lọc trong miền không gian như một hướng dẫn để xây dựng mặt nạ
bộ lọc trong miền không gian nhỏ hơn ( phương pháp tiếp cận chính thức hơn sẽ
được thảo luận trong mục 4.6.7 ). Lưu ý trong các cuộc thảo luận sau đó biến đổi
Fourier và nghịch đảo của nó là quá trình tuyến tính ( vấn đề 4.2) , vì vậy các cuộc
thảo luận dựa trên giới hạn lọc tuyến tính.
Các bộ lọc dựa trên hàm Gaussian là đặc biệt quan trọng bởi vì hình dạng
của chúng có thể dễ dàng xác định và bởi vì cả hai biến đổi Fourier thuận và ngược
của hàm Gauss là các hàm thực Gaussian. Chúng ta sẽ dừng các cuộc thảo luận ở
một biến để đơn giản hóa các ký hiệu. Hàm hai chiều sẽ được thảo luận sau trong
chương này.
Cho H(u) được biểu diễn miền tần số, hàm của bộ lọc Gaussian cho bởi
phương trình

Với δ là độ lệch chuẩn của đường cong Gauss. Nó có thể được hiển thị (vấn đề 4.4)
ở bộ lọc tương ứng trong miền không gian là

Hai phương trình đại diện cho một kết quả quan trọng vì hai lý do: (1) chúng tạo

thành một cặp biến đổi Fourier, cả hai thành phần trong số đó là Gaussian và thành
phần thực. Điều này tạo điều kiện đáng kể cho việc phân tích bởi vì chúng ta
không cần phải quan tâm tới số phức. Ngoài ra, đường cong Gauss là trực quan và
dễ thao tác. (2) Các hàm tương hỗ với nhau. Nói cách khác, khi H(u) có một giá trị
rộng (giá trị lớn của δ, h(x) có một giá trị hẹp, và ngược lại. Trong thực tế, khi δ
tiệm cận vô cùng, H(u) có xu hướng là hàm liên tục và h(x) có xu hướng hướng tới
một xung. Hai thuộc tính giúp đáng kể trong việc phát triển một sự hiểu biết vững
chắc về các tính chất của bộ lọc trong cả hai miền không gian và miền tần số.
a b
c d
Hình 4.9
(a) lọc thông thấp Gaussian trong miền tần số.
(b) lọc thông cao Gaussian trong miền tần số.
(c) lọc thông thấp tương ứng trong miền không gian.
(d) lọc thông cao tương ứng trong miền không gian. Mặt nạ lọc được sử dụng trong
Chương 3 của bộ lọc thông thấp và thông cao
Biểu đồ của bộ lọc Gaussian trong lĩnh vực tần số được hiển thị trong hình .
4.9(a). Người đọc sẽ nhận ra hình dạng này của H(u) như một bộ lọc thông thấp.
Tương ứng với bộ lọc thông thấp trong miền không gian được thể hiện trong hình
4.9(c). Quan tâm của chúng ta là trong hình dạng chung mà chúng ta thường muốn
sử dụng như một hướng dẫn để xác định các hệ số của một bộ lọc nhỏ hơn trong
miền không gian . Sự giống nhau rõ ràng giữa hai bộ lọc là tất cả các giá trị tích
cực trong cả hai miền. Do đó, chúng ta đi đến kết luận rằng chúng ta có thể thực
hiện lọc thông thấp trong miền không gian bằng cách sử dụng một mặt nạ với tất cả
các hệ số tích cực , giống như chúng ta đã làm trong phần 3.6.1 . Hai trong số các
mặt nạ từ phần được hiển thị trong hình 4.9(c) được dùng để tham khảo. Một đặc
điểm quan trọng là mối quan hệ tương hỗ thảo luận trong đoạn trước. Trong miền
không gian này có nghĩa là một bộ lọc rộng lớn hơn , do đó hàm ý một mặt nạ lớn
hơn, như được minh họa trong ví dụ 3.9. Bộ lọc phức tạp hơn có thể được xây
dựng từ hàm Gaussian cơ bản của pt(4.2-38).

Ví dụ, chúng ta có thể xây dựng một bộ lọc thông cao với một sự khác biệt
của Gaussian như sau:

với A > B và δ
1
> δ
2
. Các bộ lọc tương ứng trong miền không gian là

Đồ thị của hai chức năng này được hiển thị trong hình 4.9(b) và (d) tương
ứng. Trong thực tế, nó khá thú vị để lưu ý rằng khi các biến có giá trị âm, chúng
không bao giờ trở lại thành biến dương . Ở hai trong số những mặt nạ, chúng ta sử
dụng trong Chương 3 để lọc thông cao được hiển thị trong hình 4.9(d). Sự giống
nhau trong hình thức giữa các đường cong không gian và các bộ lọc là không thể
nhầm lẫn.
4.3 Làm mịn các bộ lọc trong miền tần số
Như đã trình bày trong phần 4.2.3, các cạnh sắc nét và hiệu ứng khác (như
điểm mờ) ở các mức xám của một hình ảnh ảnh hưởng đáng kể đến nội dung tần số
cao của biến đổi Fourier của nó. Do đó làm mịn (mờ) được thực hiện trong miền
tần số suy giảm một loạt các thuộc tính của các thành phần tần số cao trong các
biến đổi của một hình ảnh nhất định. "Mô hình" cơ bản của chúng ta dùng để lọc
trong miền tần số được cho bởi pt(4.2-27), mà chúng ta nhắc lại ở đây cho thuận
tiện:

Trong đó F(u, v) là biến đổi Fourier của ảnh. Mục tiêu là chọn một hàm truyền phụ
H(u, v) để giá trị của G(u,v) suy giảm các thành phần tần số cao của F (u, v). Tất
cả các bộ lọc thực hiện trong phần này dựa trên các bước nêu tại mục 4.2.3, bao
gồm cả việc sử dụng các bộ lọc pha 0. Chúng ta xem xét ba loại bộ lọc thông thấp:
lý tưởng, Butterworth, và bộ lọc Gaussian. Ba bộ lọc bao gồm các phạm vi từ rất
sắc nét (lý tưởng) đến rất trơn tru của hàm lọc (Gaussian). Các bộ lọc Butterworth

có một tham số, được gọi là bậc bộ lọc. Cho bậc có giá trị cao, bộ lọc Butterworth
có hình thức tương tự bộ lọc lý tưởng. Đối với bậc có giá trị thấp hơn, lọc
Butterworth có một hình thức mịn tương tự như bộ lọc Gaussian. Như vậy, bộ lọc
Butterworth có thể được xem như một sự chuyển tiếp giữa hai bộ lọc lý tưởng và
bộ lọc Gaussian.
4.3.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng
Bộ lọc thông thấp đơn giản nhất chúng ta có thể hình dung là một bộ lọc
"cắt" tất cả các thành phần tần số cao của biến đổi Fourier ở một khoảng cách lớn
hơn một khoảng cách xác định D
0
từ gốc (trung tâm) của biến đổi. Một bộ lọc như
vậy được gọi là một bộ lọc thông thấp lý tưởng hai chiều (2-D) (ILPF) và có hàm
truyền

Với D
0
là một số không âm được chỉ định, và D(u, v) là khoảng cách từ điểm (u,
v) đến trung tâm của phổ hình chữ nhật. Nếu hình ảnh trong câu hỏi là kích thước
M x N, chúng ta biết rằng biến đổi của nó cũng có kích thước này, do đó, tâm của
phổ hình chữ nhật là (u,v) - (M / 2, N / 2) do thực tế biến đổi đã được tập trung,
như đã thảo luận trong kết nối với các pt(4.2-21). Trong trường hợp này, khoảng
cách từ bất kỳ điểm nào (u, v) đến tâm ( gốc) của biến đổi Fourier được cho bởi