ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6 CẤP HUYỆN HOÀI NHƠN NĂM HỌC 2012-2013

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

Đề chính thức
Bài 1 (4 điểm):
a) So sánh hai số:
300
2013
2
và
200
2012
3
b) Cho
2 3 4 5 6 2012 2013
5 5 5 5 5 5 5 5A
= + + + + + + + +
. Chứng tỏ rằng:
155AM
Bài 2 (4 điểm):
a) Ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2013 liền nhau thành một số tự nhiên
A. Hỏi số tự nhiên A có bao nhiêu chữ số.
b) Tìm số nguyên tố p sao cho:
2; 6; 8; 14p p p p
+ + + +
cũng là các số nguyên tố.
Bài 3 (4 điểm):
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết: 4
11
. 25
11

< 2
n
. 5
n

≤
20
12
.5
12
b) Tìm x, biết:
( )
3 2
5 5
10 11
x
x
− = +
Bài 4 (4 điểm): Tìm ba số có tổng bằng 210, biết rằng
6
7
số thứ nhất bằng
9
11
số
thứ hai và bằng
2
3
số thứ ba.
Bài 5 (4 điểm):

a) Trên tia Ox cho bốn điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm
giữa C và D; OA = 5 cm; OD = 2 cm; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD.
Tìm độ dài các đoạn thẳng BD, AC.
b) Trong mặt phẳng cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ
qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng, nếu vẽ được tất cả là 4950 đường thẳng.
thì số n điểm đã cho là bao nhiêu ?
Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN 6
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6
KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2012 - 2013.
Bài Đáp án Điểm
1
4 điểm
a) So sánh hai số:
300
2013
2
và
200
2012
3
2,0đ
Ta có: 2
300
= 2
3.100
= (2
3

)
100
= 8
100

3
200
= 3
2.100
= (3
2
)
100
= 9
100
1,0đ
Ta thấy: 8 < 9
⇒
8
100
< 9
100

⇒

300 200
300 200 300 200 200
1 1 2013 2013 2012
2 3
2 3 2 3 3

< ⇒ > ⇒ > >

Vậy:
300 200
2013 2012
2 3
>
1,0đ
b) Chứng minh rằng:
155AM
2,0đ
+ Vì A có 2013 số hạng nên ta có:
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 2011 2012 2013
5 5 5 5 5 5 5 5 5A
= + + + + + + + + +
0,5đ

( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2 7 2 2011 2
5. 1 5 5 5 . 1 5 5 5 . 1 5 5 5 . 1 5 5= + + + + + + + + + + + +
0,5đ

( )
4 7 2011
31. 5 5 5 5 31A
= + + + + ⇒
M
0,5đ
+ Mặt khác

5AM
mà 5 và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau
Nên
( )
5.31AM
hay
155AM
0,5đ
2
4 điểm
a) Số A có bao nhiêu chữ số: 2,0đ
Các số có 1 chữ số từ 1 đến 9 là: 9 – 1 + 1 = 9 (số)
Các số có 2 chữ số từ 10 đến 99 là: 99 – 10 + 1 = 90 (số)
Các số có 3 chữ số từ 100 đến 999 là: 999 – 100 + 1 = 900 (số)
Các số có 4 chữ số từ 1000 đến 2013 là: 2013 – 1000 + 1 = 1014 (số)
1,0đ
Vậy: Số chữ số của số tự nhiên A là:
9 + 90.2 + 900.3 + 1014.4 = 9 + 180 + 2700 + 4056 = 6945 (chữ số)
1,0đ
b) Tìm số nguyên tố p: 2,0đ
+ Ta có:
6p +
là số nguyên tố nên
6 2; 3 3p p p p
/
⇒ ≠ ≠ ⇒ >M
0,5đ
+ Với
5 2 7; 6 11; 8 13; 14 19p p p p p= ⇒ + = + = + = + =
thoả điều kiện

bài toán.
0,5đ
+ Với
5p >
, p nguyên tố
⇒
5p
/
M
và
2; 6; 8; 14p p p p
+ + + +
đều lớn hơn 5.
- Xét p chia 5 dư 1 thì
( ) ( )
14 5 14p p+ ⇒ +M
không là số nguyên tố.
- Xét p chia 5 dư 2 thì
( ) ( )
8 5 8p p+ ⇒ +M
không là số nguyên tố.
- Xét p chia 5 dư 3 thì
( ) ( )
2 5 2p p+ ⇒ +M
không là số nguyên tố.
- Xét p chia 5 dư 4 thì
( ) ( )
6 5 6p p+ ⇒ +M
không là nguyên tố.
Do đó:

5p >
không thỏa điều kiện bài toán.
Vậy: số nguyên tố cần tìm là
5p =
.
1,0đ
3
4 điểm
a) Tìm các số tự nhiên n: 2,0đ
4
11
. 25
11
< 2
n
. 5
n

≤
20
12
.5
12

⇒

( ) ( )
( )
( )
11 11 12

2 2 2 12
2 . 5 2.5 2 .5 .5
n
< ≤
0,5đ
⇒

22 22 24 12 12 22 24 24 22 24
2 .5 10 2 .5 .5 10 10 2 .5 10 10 10
n n n
< ≤ ⇒ < ≤ ⇒ < ≤
0,5đ
⇒
22 < n
≤
24 0,5đ
⇒
n = 23; 24. Vậy các số tự nhiên n cần tìm là 23; 24 0,5đ
b) Tìm x: 2,0đ
( )
3 2
5 5
10 11
x
x
− = +
⇒

( )
5 .3.11

2 .10 5.10.11 33 165 20 550
10.11 11.10 110 110
x
x x x
−
+ − +
= ⇒ =
1,0đ
33 165 20 550 33 20 550 165 13 715 55x x x x x x
⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =
Vậy x = 55
1,0đ
4
4 điểm
Tìm ba số: 4,0đ
+ Số thứ nhất bằng:
9 6 21
:
11 7 22
=
(số thứ hai) 1,0đ
+ Số thứ ba bằng:
9 2 27
:
11 3 22
=
(số thứ hai) 1,0đ
+ Tổng của ba số bằng:
22 21 27 70
22 22

+ +
=
(số thứ hai) 1,0đ
+ Số thứ hai là:
70
210 : 66
22
=
Số thứ nhất là:
21
.66 63
22
=
Số thứ ba là:
27
.66 81
22
=
1,0đ
5
4 điểm
a) Tính độ dài BD, AC: 2,0đ
+ Vẽ hình đúng:
0,5đ
+ Vì A nằm giữa B và C nên AB + AC = BC = 4 (1)
Trên tia Ox có OD = 2 < OA = 5
⇒
D nằm giữa O và A

⇒

OD + DA = OA
⇒
DA = OA – OD = 5 – 2 = 3
0,5đ
+ Từ A nằm giữa B và C, B nằm giữa C và D
⇒
B nằm giữa A và D
Do đó BD + AB = DA = 3 (2)
0,5đ
+ Từ (1) và (2)
⇒
AC – BD = 1 (3)
+ Từ AC = 2BD, kết hợp (3)
⇒
2BD – BD = 1
⇒
BD = 1

⇒
AC = 2
0,5đ
b) Tìm số n điểm: 2,0đ
+ Với n điểm đã cho, số đường thẳng vẽ được là:
1 + 2 + 3 + . . . + (n – 1) =
( 1).
2
n n−
1,0đ
+ Theo đề cho ta có:
( 1).

4950 ( 1). 9900 100
2
n n
n n n
−
= ⇒ − = ⇒ =
Vậy đã cho 100 điểm.
1,0đ
Ghi chú: Mọi cách giải đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa