Bài tập ôn thi HK2 cho hs ngán học toán

Bài 1: Giải các phương trình sau :
a) 2x
2
– 8x = 0 b) 5x
2
– 125 = 0 c) 5x
2
+ 125 = 0 d) 2x
2
– 3x + 1 = 0
2x( … – 4) = 0 5x
2
= ……….  5x
2
= - 125 Vì a + b+ c = 2 +(-3) +1 =
2x = 0 hoặc …. = 0  x
2
= ……  x
2
= -25<0(Vô lí) Nên pt có 2 nghiệm :
x = … hoặc x = … x = ± … Vậy phương trình trên x
1
= … ; x
2
=


=
Vậy phương trình trên có Vậy phương trình trên có 2 ……………………….
2 nghiệm là :x
1

= …; x
2
= … nghiệm là :x
1
= …; x
2
= …
e) 3x
2
+ 2x – 1 = 0 f ) x
2
+ 2x – 15 = 0 g) x
2
– 3x – 10 = 0 h) 3x
2
– 4x – 4 = 0
Vì a – b+ c = 3 – 2 – 1 = ∆’ = b’
2
– ac ∆ = b
2
– 4ac ∆’ = 4 + 12 = 16
Nên pt có 2 nghiệm: = 1 – 1.(-15)=… = 9 – 4.1.(-10) = 49 =>
' 16∆ =
= 4
x
1
= …; x
2
=

=
=>
' ∆ =
= …
49∆ =
= 7 Vậy pt có 2 n
o
phân biệt là:
Vậy pt có 2 n
o
phân biệt là : Vậy pt có 2 n
o
phân biệt là x
1
=

=
;x
2
=

=
…
x
1
=

=
…; x

2
=

=
… x
1
=

=
…; x
2
=

=
…
Bài 2:Không giải phương trình, hãy tính x
1
+ x
2
; x
1
.x
2
; x
1
2
+ x
2
2
;

1 2
1 2 2 1
1 1
;
x x
x x x x
+ +
của các phương trình sau :
a) 2x
2
– 8x + 7 = 0 b) x
2
– 5x – 12 = 0
Vì ∆’= 4
2
– 2.7 = 2 > 0 . Nên pt trên có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có :
*) x
1
+ x
2
=
b
a
−
=
; *) x
1
. x
2

=
c
a
=
; *) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2. x
1
. x
2

=
2

 
 ÷
 
- 2.

=

*)
1 2
1 2 1 2
1 1
.
x x
x x x x
+
+ = =
(x
1
+ x
2
) : x
1
.x
2
=

:

=

; *)
2 2
1 2 1 2
2 1 1 2

.
x x x x

x x x x
+
+ = =
Bài 3:Cho hai hàm số:
( )
2
1
:
3
P y x=
và
( )
: 2 3d y x= −
a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên bằng phép tính.
Giải :
a)
x -6 -3 0 3 6
2
1
3
y x=
12 3 0 3 12
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
( )
2
2 2 2 2
1 1
2 3 6 9 6 9 0 3 0 3 0 3 =>y= .3 3
3 3

x x x x x x x x x= − <=> = − <=> − + = <=> − = <=> − = <=> = =
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là : (3;3)
Bài 4:Với giá trị nào của m thì phương trình x
2
-2(m +1)x + m
2
= 0 có hai nghiệm phân biệt
Ta có :∆’= (m + 1)
2
– 1.m
2
= m
2
+ 2m + 1 – m
2
= 2m + 1
Để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0  2m + 1>0  2m > -1  m > -1/2
1
Bài 5:Cho phương trình:
2
2( 1) 8 8 0x m x m− + + − =
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm .
c) Khi m = 0, không giải phương trình. Tính A =
2 2
1 2
x x+
a) Khi m = 1 thì pt(1) x
2

– 2(1+1)x + 8. 1 – 8 = 0
x
2
– 4x = 0
 x. ( …– … ) = 0
……………………………………………………
b) Ta có : ∆’ = (m + 1)
2
– 8m + 8 = m
2
+ 2m + 1 – 8m + 8 = m
2
– 6m + 9 = (… – …)
2
≥ 0 với mọi m.
Vậy pt(1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Khi m = 0 ( thỏa đk), pt(1)  x
2
– 2x – 8 = 0.
Theo Vi – et, ta có : x
1
+ x
2
= ………………. ; x
1
. x
2
= ………….
A =
2 2

1 2
x x+
= (……….)
…
- 2. …… = ……………………………………………………………………………
Bài 6:Cho hàm số: y = ax
2
(a≠0)
a) Xác định hệ số a biết đồ thị của hàm số đi qua điểm M(2;4).
b) Vẽ đồ thị hàm số trên.
c) Tìm a để đồ thị hàm số: y = ax
2
(a≠0) và đường thẳng y = 2x + 1 có 2 điểm chung.
a) Vì đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm M(2; 4)
Nên, ta có : 4 = a. 2
2
 = a. 4 Vậy a =
b)
x -2 -1 0 1 2
2
y x=
Bài 7:Cho hàm số (P): y = ax
2
và đường thẳng
( ) : 4 4d y x= +
a) Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( -1:-1) .
b) Với a vừa tìm được ở câu a), tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phương pháp đại số.
a) Vì đồ thị hàm số y = ax

2
đi qua điểm
Nên, ta có : = a.

 = a. Vậy a =
b) (P) : y = …x
2
; (d) : y = 4x + 4
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
Bài 8:Cho phương trình
( ) ( )
2
2 1 4 3 0 *x m x m
− + + − =

a) Giải phương trình (*) khi m = 0. b) Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi m.
Hướng dẫn ( câu a, làm giống bài 5a. Câu b, giống bài 5b)
2
Bài 9:Giải hệ phương trình và phương trình sau:
a)
y x
x y
= −


+ =

2
2 3 9
b)

3 10
4
x y
x y
+ =


+ =

c)
15 9
4 29
x y
x y
− = −


+ = −

d)
4 5
3 2 12
x y
x y
+ = −


− = −

⇔

− =


+ =

x y
x y
2
2 3 9
⇔
− =


+ =

x y
x y
2 2 4
2 3 9
⇔
=


+ =

y
x y
5 5
2 3 9
⇔

=


+ =

y
x .
1
2 3 1 9
⇔
=


=

y
x
1
3
Vậy hệ phương trình trên
có nghiệm là : (3; 1)
Lưu ý : Nghiệm phải ghi theo thứ tự là (x; y)
e) 2x
2
+ 5x + 3 = 0. f) 2x
2
– 5x + 3 = 0. g) x
2
- 3x

– 4 = 0
i)
4 2
3 4 0x x+ − =
j) x
4
– 5x
2
+ 4 = 0. k)
4 2
8 9 0x x− − =
Đặt y = x
2
≥ 0
Pt(i) ⇔y
2
+ 3y – 4 = 0 ( 1)
Vì a b + c = = 0
Nên phương trình (1) có 2 nghiệm
y
1
= > 0 ( nhận) ; y
2
= 0( )
Khi y = thì x
2
= ⇔ x = ±
Vậy pt(i) có nghiệm là :
Bài 10:Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 19. Tìm hai số đó
Gọi x là số bé ( x ∈ N

*
)
Theo đề bài, ta có phương trình : ( …………) – ( ………….) = 19
Suy ra :
⇔
Số lớn : x + …
⇔
Tổng 2 số : x + (… + 1) = 2x + …
Tích của 2 số : x. (… + 1) = x
2
+ ….
Bài 11:Hai ô tô xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10 km nên đến B sớm hơn
ô tô thứ hai 1 giờ. Biết quãng đường AB dài 300km. Tính vận tốc mỗi ô tô ?
Gọi x(km/h) là vận tốc xe 2 ( x >0)
Theo đề bài, ta có phương trình :
300

+ 1 =
300

Suy ra :
⇔
Vận tốc xe 1 : x + ….
⇔
Thời gian xe 1 đi:
300

Thời gian xe 2 đi:
300

Bài 12:Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết trong 2 giờ xe thứ nhất nhanh hơn xe thứ hai là 20km nên xe thứ
nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
3
Trong 2 giờ xe thứ nhất nhanh hơn xe thứ hai là 20km .
Suy ra, Trong 1 giờ xe thứ nhất nhanh hơn xe thứ hai là …km
Gọi x(km/h) là vận tốc xe 2 ( x >0)
Theo đề bài, ta có phương trình :
200

+ 1 =
200

Suy ra : ⇔
Vận tốc xe 1 : x + …. ⇔
Thời gian xe 1 đi:
200

Thời gian xe 2 đi:
200

Bài 13:Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa
đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By
lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng tứ giác AOMC nội tiếp.
b) Khi
·
BAM
= 60
0
. Chứng tỏ

BDM∆
là tam giác đều.
c) Tính diện tích hình quạt tròn OMB của nửa đường tròn đã cho khi R = 3cm.
Bài 14:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF
vuông góc với AD tại F. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh: Tứ giác DCEF nội tiếp được b) Chứng minh: Tia CA là tia phân giác của
ˆ
BCF
.
Bài 15:Cho đường tròn tâm (O), đường kính AC. Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K (K nằm giữa A và O). Lấy
điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng với C và D), AE cắt BD tại H. Chứng minh:
a) CBD cân. b) Tứ giác CEHK nội tiếp. c) AD
2
=AH.AE.
Bài 16:Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, A = 45
0
. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H
là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh: HD = DC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE.
Bài 17:Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, A = 45
0
. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H
là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh: HD = DC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE.
Bài 18:Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6cm, chiều cao 9cm. Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của hình trụ. b) Thể tích của hình trụ.

Bài 19:Diện tích một mặt cầu là 1256 (
2
cm
). Hãy tính thể tích hình cầu.
4