bài giải đề thi tuyển sinh toán THPT - Đồng Tháp

Câu 1 (1,0 điểm)
Cho biểu thức A =
3x −
và B =
9 4−

a/ Tính giá trị của biểu thức B
B =
9 4
−
= 3 – 2 = 1
b/ Với giá trị nào của x thì A = B
A = B
⇔

3x −
= 1
⇔
x – 3 = 1
⇔
x = 4
Câu 2: (1,0 điểm)
Chứng minh đẳng thức sau:
1
2
1 1
x x
x
x x x
 
 

− − =
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 
( )
0, 1x x
> ≠
VT =
1
1 1
x x
x
x x x
 
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 

=
( ) ( )
1 1
1

1
x x x x
x
x
x
 
+ − −
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
 
=
1
1
x x x x x
x
x
 
+ − + −
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
 

=
2
2
x
x
=

Câu 3: (2,5 điểm)
a/ Giải hệ phương trình
5 19
5
x y
x y
− =


+ =


5 19
5
x y
x y
− =


+ =

⇔

6 24
5
x
x y
=


+ =

⇔

4
4 5
x
y
=


+ =

⇔

4
1
x
y
=


=


b/ Giải phương trình: x
2
+ 2x – 3 = 0
ta có a + b + c = 1 + 2 -3 = 0
vậy pt có nghiệm x
1
= 1; x
2
= -3
c/ Giải bài toán sau:
Hai đội công nhân cùng làm xong công việc trong 12 ngày. Nhưng họ chỉ làm cùng
nhau được 6 ngày thì đội II phải đi làm việc khác, còn đội I tiếp tục làm một mình
với năng suất tăng gấp đôi so với lúc đầu nên đã hoàn thành nốt phần việc còn lại
sau đó 7 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong công việc đó trong mấy
ngày.
Gọi x (ngày ) là thời gian đội I làm một mình xong công việc
Y (ngày) là thời gian đội II làm một mình xong công việc
Do hai đội làm xong công việc trong 12 ngày nên ta có pt:
1 1 1
12x y
+ =
(1)
Hai đội làm chung 6 ngày thì đội II làm việc khác, đội I tăng năng suất gấp đôi nên
làm công việc còn lại trong 7 ngày nên ta có pt:
6 6
x y
+
+
7

2.
x
= 1
⇔

20 6
x y
+
= 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
1 1 1
12
20 6
1
x y
x y

+ =




+ =



⇔

6 6 1
2

20 6
1
x y
x y

+ =




+ =


⇔

1 1 1
12
14 1
2
x y
x

+ =




=



⇔

1 1 1
28 12
28
y
x

+ =



=

⇔

1 1 1
12 28
28
y
x

= −



=

⇔

1 1
21
28
y
x

=



=

⇔

21
28
y
x
=


=

Vậy đội 1 làm xong công việc trong 28 ngày, đội II làm xong công việc trong 21
ngày
Câu 4: (1,5 điểm)
Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là (P) và hàm số y = x + b có đồ thị là (d)
a/ Xác định hệ số b, biết (d) đi qua điểm M (1;3)

Thay x = 1; y = 3 vào hàm số ta được 3 = 1 + b
⇔
b = 2
b/ Với b = 2 hãy vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
với b = 2 thì hàm số đã cho là y = x + 2
* y = x
2
Cho x = -1
⇔
y = 1 A’(-1;1)
Cho x = 1
⇔
y = 1 A(1;1)
Cho x = -2
⇔
y = 4 A’(-2;4)
Cho x = 2
⇔
y = 4 A(2;4)
* y = x + 2
Cho x = 0
⇔
y = 2 P(0;2)
Cho y = 0
⇔
x = -2 Q(-2;0)
Đồ thị
Câu 5 (1.5 điểm)
Một tòa nhà có bóng in trên mặt đất dài 16m, cùng thời điểm đó một chiếc cọc
(được cắm thẳng đứng trên mặt đất) cao 1 mét có bóng in trên mặt đất dài 1,6 mét.

a/ Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến
độ).
Tam giác ABC là đại diện cho tòa nhà có chiều cao AC, bóng trên mặt đất là AB
Tam giác A’B’C’ là đại diện cho cọc
Do tia nắng chiếu song song nên
µ µ
'C C
=

Ta có tan
µ µ
0
' ' 1,6
' 1,6 , 58
' ' 1
A B
C C
A C
= = = ⇒ ≈
=
µ
C
b/ Tính chiều cao tòa nhà (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Ta có tan
µ
C
=
AB
AC

⇒
AC =
µ
tan
AB
C

≈
10m
Câu 6 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB
cắt cạnh BC tại D.
a/ Tính số đo cung nhỏ AD
Tam giác ABC vuông cân tại A
Nên
µ
µ
B C=
= 45
0
Góc ABC là góc nội tiếp chắn cung AD
Nên sđ
»
AD
= 90
0
b/ Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AC tại E. Tứ
giác AODE là hình gì? Giải thích vì sao?
Ta có:
·

AOD
= 90
0
(góc ở tâm chắn cung AD)
Xét tứ giác AODE có
µ
µ
µ
0
90A O D
= = =

Nên AODE là hình chữ nhật
Mà OA = OD (bán kính đường tròn (O))
Nên tứ giác AODE là hình vuông
c/ Chứng minh OE // BC
Tứ giác AODE là hình vuông nên DE vuông
Góc AC
Ta có tam giác ADE vuông cân tại D (vì
µ
D
= 90
0
,
AD = DC ) (vì tam giác ABC vuông cân có AD là đường
Cao thì AD cũng là đường trung tuyến)
Nên DE là đường trung tuyến hay E là trung điểm của AC
Xét tam giác ABC có E là trung điểm của AC, O là trung điểm của AB nên
OE là đường trung bình của tam giác ABC nên OE // BC
d/ Gọi F là giao điểm của BE với đường tròn (O). Chứng

minh CDFE là tứ giác nội tiếp
Ta có góc ACB là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn nên
·
ACB
= ½ sđ
»
AB
- ½ sđ
»
AD
= ½ sđ
»
BD

·
BFD
= ½ sđ
»
BD
Nên
·
ACB
=
·
BFD

Tứ giác CDFE có góc ngoài tại đỉnh F là
·
BFD
bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh

F là góc
·
ACB
nên tứ giác CDFE nội tiếp
Hoặc chứng minh:
·
ACB
= ½ sđ
»
AB
- ½ sđ
»
AD
= ½ sđ
»
BD

·
BFD
= ½ sđ
»
BD
Nên
·
ACB
=
·
BFD

Ta có

·
ACB
+
·
DFE
=
·
BFD
+
·
DFE
= 180
0
Nên tứ giác CDFE nội tiếp