SKKN xây DỰNG CHUYÊN đề bồi DƯỠNG học SINH GIỎI giải toán trên máy tính cầm tay

Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Đề tài :
XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
“Giải toán trên máy tính cầm tay”
CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Qua nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy rằng: muốn
có Học sinh giỏi phải có Thầy giỏi. Vì thế người thầy phải luôn luôn có ý thức tự rèn
luyện, tích lũy tri thức và kinh nghiệm, trau dồi chuyên môn, luôn xứng đáng là
“người dẫn đường tin cậy” cho học sinh noi theo. Phải thường xuyên tìm tòi các tư
liệu, các kiến thức nâng cao trên các phương tiện, đặc biệt là trên mạng internet. Lựa
chọn trang Web nào hữu ích nhất, tiện dụng nhất, tác giả nào hay có các chuyên đề
hay, khả quan nhất để sưu tầm tài liệu, tích lũy, …
Kiến thức để bồi dưỡng học sinh giỏi rất rộng, phong phú và không dễ đối với
học sinh. Giáo viên dạy bồi dưỡng đều phải tự soạn chương trình dạy, theo kinh
nghiệm của bản thân, theo chủ quan, tự nghiên cứu, tự sưu tầm tài liệu. Mặt khác, cần
tích cực chủ động nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tận dụng công nghệ thông tin để tích
luỹ kiến thức nâng cao trình độ. Lấy nỗ lực của bản thân là chính, coi việc học hỏi vốn
kiến thức, kinh nghiệm của các thế hệ đi trước là quan trọng trong việc định hướng
tìm tòi, xác định trọng tâm kiến thức, kỹ năng, phương pháp để đạt được hiệu quả cao
trong thời gian ngắn nhất.
Chính vì vậy mà không thể thích đâu dạy đó, dạy theo “chuyên đề” là biện pháp
hữu hiệu nhất mà tôi đã sử dụng.
Đặc biệt, bồi dưỡng học sinh giỏi “giải Toán trên máy tính cầm tay”, đây là bộ
môn không có trong chương trình giảng dạy chính khóa, chỉ lồng ghép vào một số bài
để giúp học sinh tính toán, chưa có tài liệu chính thức về bộ môn, đa số các dạng toán
tự tìm tòi, sưu tầm là chính. Vì thế, đòi hỏi người giáo viên cần có niềm đam mê, nhiệt
huyết, có tinh thần trách nhiệm cao. Bên cạnh đó về mặt kiến thức, cần chuẩn bị kĩ
lưỡng các nội dung giảng dạy theo từng dạng toán, không dạy tủ mà phải dạy đủ các
“chuyên đề”. Vì vậy, tôi nhận thấy rằng cần “xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi” thì công tác này mới đạt hiệu quả cao.

II. NHỮNG BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
Trang
1
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Với những lý do nêu trên, để giải quyết vấn đề đặt ra, tôi đã thực hiện các giải
pháp như sau:
- Công việc đầu tiên là xây dựng chương trình, nội dung bồi dưỡng rõ ràng, cụ
thể, chi tiết cho từng khối, lớp, cùng với hệ thống dạng bài tập cụ thể về từng mảng
kiến thức theo số tiết quy định nhất định và nhất thiết phải bồi dưỡng theo quy trình từ
thấp đến cao, từ dễ đến khó để các em học sinh bắt nhịp dần.
- Sưu tầm, tích lũy tài liệu từ mạng internet, từ đề thi các cấp, sắp xếp có chọn
lọc thành các dạng bài tập cụ thể cho mỗi chuyên đề.
- Trong mỗi chuyên đề, tôi xây dựng các dạng toán đầy đủ, rõ ràng. Định hướng,
dẫn dắt học sinh tự tìm ra phương pháp giải cho các dạng toán đó. Để làm được điều
này, tôi luôn hướng các em phải bắt nguồn từ nền tảng toán học mà các em đã được
học trên lớp. Định hướng ôn tập cho học sinh bằng cách cung cấp cho học sinh một hệ
thống các bài tập thuộc dạng toán theo thứ tự từ dễ đến khó. Tôi cũng trích ra các bài
toán liên quan đến đề thi các cấp để học sinh tự phân tích, định dạng bài tập, từ mình
tìm ra lời giải thích hợp, kích thích tư duy phân tích, tổng hợp cũng như tư duy linh
hoạt, sáng tạo của học sinh trong giải toán. Hình thành dạng bài tập từ cơ bản đến nâng
cao, từ riêng lẻ từng dạng đến bài tập tổng hợp.
Sau đây là một số giải pháp cụ thể khi xây dựng chuyên đề “Các bài toán về đa
thức” đây là một trong những dạng trọng tâm, phổ biến thường xuyên có mặt trong các
đề thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính cầm tay” cấp huyện, cấp tỉnh cũng như
cấp khu vực, giúp các em mở rộng hơn, chuyên sâu hơn các kiến thức về đa thức đã
được học trong chương trình Toán trung học cơ sở.
PHẦN I : CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1: Tính giá trị của đa thức
Bài tập1.1 Cho đa thức P(x) = x
5

– 7x
4
+ 2x
3
– 5x
2
+ x – 1
Tính P(
4
2
9
); P(1,2345); P(–5,4321); P(2013)
Hướng dẫn:
a) Cách 1: * Tính P(
4
2
9
)
+ Lưu
4
2
9
vào A:
4
2
9
SHFIT STO A
+ Ghi vào màn hình: A
5
– 7A

4
+ 2A
3
– 5A
2
+ A – 1 =
Kết quả: P(
4
2
9
) = –161,8724619
Trang
2
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
* Thực hiện tương tự để tính: P(1,2345); P(–5,4321); P(2013)
b) Cách 2:
- Nhập đa thức P(x) trên màn hình: X
5
– 7X
4
+ 2X
3
– 5X
2
+ X – 1
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng
CALC
Ấn
CALC
máy hỏi X? . Ta khai báo:

4
2
9
và bấm =
- Máy hiện kết quả: –161,8724619. Vậy: P(
4
2
9
) = –161,8724619
Tiếp tục ấn
CALC
một lần nữa và thực hiện tương tự như trên để tiếp tục
tính các giá trị của biểu thức tại các giá trị biến khác nhau
* Kết quả: P(1,2345) = –17,01335991
P(-5,4321) = –11299,23962
P(2013) = 3,293868394 x 10
16
= 32 938 683 944 522 927
c) Cách 3: Dùng Table:
mode
7
*Chú ý: Trường hợp tràn màn hình khi tính P(2013), ta tìm 8 chữ số cuối cùng của kết
quả như sau: P(2013) = 3,293868394 x 10
16
– 329386839 x 10
8
=
* Nhận xét: Cách 1 dùng để tính đối với các bài toán đơn giản, cách 2 là nhanh nhất,
cách 3 chỉ dùng khi tính các giá trị của x liên tục.
Ta có thể kết hợp cách 1 và 2 như sau:

+ Lưu
4
2
9
vào A:
4
2
9
SHIFT STO A
+ Ghi vào màn hình: A
5
– 7A
4
+ 2A
3
– 5A
2
+ A – 1 =
Kết quả: P(
4
2
9
) = –161,8724619
+ Ấn tiếp
CALC
Máy hỏi: A? , nhập 1,2345 =

Bài tập 1.2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) P(x) = 1 + x + x
2

+ x
3
+ + x
8
+ x
9
tại x = 0,53241
b) Q(x) = x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
+ x
10
tại x = –2,1345
c) R(x) = x
98
+ x
97
+ + x
2
+ x + 1 tại x = 2
d) M(x) = x
32
+ x
28
+ + x

8
+ x
4
+ 1 tại x = 2
- Ban đầu, để HS tự giải (HS có thể dùng một trong ba cách trên tuy nhiên tuy
nhiên tốn nhiều thời gian vì biểu thức có nhiều hạng tử, quá trình nhập máy có thể bị
nhầm, )
→
Còn cách giải nào khác?
- HS có thể dùng phím tính tổng
∑
trên máy để tính như sau:
Trang
3
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
- Câu a: Ghi vào màn hình biểu thức
9
0
(0,53241 )
X
x=
∑
,
Sau đó ấn dấu “=” được kết quả: P(0,53241)
≈
2,134711935
- Thực hiện b,c tương tự.
- Câu d, chú ý bậc cách nhau 4 đơn vị nên:
8
4

0
(2 )
X
x=
∑
Hoặc: Có thể dùng kiến thức toán học để thu gọn biểu thức rồi mới tính giá trị
của biểu thức?
H.Dẫn: Áp dụng hằng đẳng thức: a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
). Ta có:
* P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
=
2 9 10

( 1)(1 ) 1
1 1
x x x x x
x x
− + + + + −
=
− −
Từ đó tính: P(0,53241)
≈
2,134711935
Tương tự:
* Q(x) = x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
+ x
10
= x
2
(1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
) =

9
2
1
1
x
x
x
−
−
Từ đó tính: Q(-2,1345) = 1338,32445
* R(x) = x
98
+ x
97
+ + x
2
+ x + 1 =
99
1
1
x
x
−
−
Từ đó tính: R(2) = 6,338253001
×
10
29
* M(x) = x
32

+ x
28
+ + x
8
+ x
4
+ 1
Đặt: x
4
= t, ta có: M(t) = t
8
+ t
7
+ + t
2
+ t
1
+ 1 =
9 36
4
1 1
1 1
t x
t x
− −
=
− −
Từ đó tính: M(2) = 4581298449
* Bài tập tự luyện:
Bài tập 1.3: Cho đa thức P(x) = x

4
+ 5x
3
– 3x
2
+ x – 1. Tính giá trị của P(1,35627).
Kết quả: P(1,35627) = 10,69558718
Bài tập 1.4: Cho đa thức P(x) = x
8
+ 4x
7
+ 6x
6
+ 4x
5
+ x
4
Tính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị :
–
2
,
π

2
, 1, –
2
1
Kết quả: P(–
2
)

≈
0,1177490061
P(
π
)
≈
583,1188068
P(
2
)
≈
135,882251
P(1) = 16
Trang
4
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
P(–
1
2
) =
1
156
Dạng 2: Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
1. Kiến thức:
a) Nếu tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm là x
1
, x
2

thì nó viết được dưới
dạng ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)(x – x
2
).
Mở rộng: Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x + a
0
có n nghiệm x
1
,
x
2
, ,x
n
thì f(x) = a
n
(x – x

1
)(x – x
2
) (x – x
n
)
b) Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm hữu tỷ
p
q
thì p là
ước của a
0
, q là ước của a
n
.
c) Đặc biệt: Nếu đa thức f(x) = a
n
x

n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có a
n
= 1 thì nghiệm
hữu tỷ là ước của a
0
.
d) Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a).
2. Bài tập:
Bài tập 2.1: Phân tích đa thức f(x) = x
2
+ x – 6 thành nhân tử.
Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x
1
= 2; x
2
= –3.
Khi đó ta viết được: x
2
+ x – 6 = 1.(x – 2)(x + 3) = (x – 2)(x + 3)
Bài tập 2.2: Phân tích đa thức f(x) = x

3
+ 3x
2
– 13 x – 15 thành nhân tử.
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x
1
= 3; x
2
= –5; x
3
= –1.
Khi đó ta viết được: x
3
+ 3x
2
– 13 x –15 = (x – 3)(x + 5)(x + 1).
Bài tập 2.3: Phân tích đa thức f(x) = x
3
– 5x
2
+ 11 x –10 thành nhân tử.
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x
1
= 2.
Nên ta biết được đa thức x
3
– 5x
2

+ 11 x – 10 chia hết cho (x – 2).
Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x
3
– 5x
2
+ 11 x – 10 cho (x –2)
Khi đó bài toán trở về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 2).
Quy trình:
2 → X
1
x
X
+
5−
=
Ghi -3
x
X
+
11
=
Ghi 5
Trang
5
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
x
X
+
10−
=

Ghi 0
Khi đó ta có: f(x) = (x – 2)(x
2
– 3x + 5)
Tam thức bậc hai x
2
– 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa.
Vậy: x
3
– 5x
2
+ 11 x – 10 = ( x – 2)(x
2
– 3x + 5)
Bài tập 2.4: Phân tích đa thức f(x) = x
5
+ 5x
4
– 3x
3
– x
2
+58x – 60 thành nhân tử.
Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).
Ta có Ư(60) = {
±
1;
±
2;
±

3;
±
4;
±
5;
±
6;
±
10;
±
12;
±
15;
±
20;
±
30;
±
60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức: (Nên sử dụng cách 2 của
dạng 1):
- Nhập vào máy đa thức: X
5
+ 5X
4
– 3X
3
–X
2
+58X – 60

- Dùng chức năng
CALC
:
Ấn
CALC
máy hỏi X? . Ta khai báo: –1 và bấm = Máy báo kết quả: –112
Ấn
CALC
máy hỏi X? Ta khai báo: –2 và bấm = Máy báo kết quả: –108
Ấn
CALC
máy hỏi X? Ta khai báo: –3 và bấm = Máy báo kết quả: 0
Do vậy ta biết x = –3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3).
Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 3).
Quy trình:
-3 → X
1
x
X
+
5
=
Ghi 2
x
X
−
3
=
Ghi -9
x

X
−
1
=
Ghi 26
x
X
+
58
=
Ghi -20
x
X
−
60
=
Ghi 0
Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x
4
+ 2x
3
– 9x
2
+ 26x – 20)
* Ta lại xét đa thức g(x) = x
4
+ 2x
3
– 9x
2

+ 26x – 20
Nghiệm nguyên là ước của 20.
Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {
±
1;
±
2;
±
4;
±
5;
±
10;
±
20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):
Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x
3
– 3x
2
+ 6x – 4)
* Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa thức
h(x) = x
3
– 3x
2
+ 6x – 4
→
Ta được: x = 1
Trang

6
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Do đó : h(x) = (x –1)(x
2
– 2x + 4)
Ta thấy đa thức (x
2
– 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.
Vậy: f(x) = (x + 3)(x + 5)(x –1)(x
2
– 2x + 4)
Dạng 3: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
1. Kiến thức: Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
2. Bài tập:
Bài tập 3.1:: Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) x
3
– 11x
2
– 3x + 7 cho x – 3.
b) x
3
– 3,2 x + 7,3 cho x – 1,13
Giải:
a) Đặt: f(x) = x
3
– 11x
2
– 3x + 7.

Số dư trong các phép chia: x
3
– 11x
2
– 3x + 7 cho x – 3 là: r = f(3) = –74
b) Đặt: g(x) = x
3
– 3,2 x + 7,3
Số dư trong các phép chia: x
3
– 3,2 x + 7,3 cho x – 1,13 là: g(1,13) = 5,126897
Bài tập 3.2: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia:
5 3 2
x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319
x 2,318
− + − +
+
Giải: Đặt P(x) = x
5
– 6,723x
3
+ 1,857x
2
– 6,458x + 4,319
Số dư của P(x) chia cho (–2,318) là: P(–2,318) = 46,07910779
Bài tập 3.3: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho
= + − − −
4 3 2
P(x) 2x 3x 4x 5x 10
. Tìm phần

dư r
1
, r
2
khi chia P(x) cho x – 2 và x – 3. Tìm BCNN(r
1
,r
2
)?
Giải: * r
1
= P(2) = 20
* r
2
= P(3) = 182
*Tìm BCNN(r
1
,r
2
): Ấn shift vinacal chọn LCM ấn số 2
BCNN(r
1
,r
2
) = 1820
Bài tập 3.4: Tìm dư trong phép chia P(x) = x
3
– 5x
2
+ 4x – 6 cho (3x – 1)

Giải:
Ta có: P(x) = (3x – 1).Q(x) + r ⇒
1 1 1
0.
3 3 3
P Q r r P
     
= + ⇒ =
 ÷  ÷  ÷
     
=
140
27
−
* Ghi nhớ: Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức ax + b chính là f(
b
a
−
)
Dạng 4: Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
1. Kiến thức:
P(x) + m
M
(ax + b)
⇒
P(x) + m = (ax + b)g(x)
Trang
7
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
⇒

P(
b
a
−
) + m = 0.g(x)
⇒
m = –P(
b
a
−
)
2. Bài tập:
Bài tập 4.1:
a) Tìm m để đa thức
+ + − + + −
5 4 3 2
5 3 5 17 2013x x x x x m
chia hết cho
( )
+ 3x
b) Với giá trị nào của m thì đa thức
+ − + − +
5 4 2
4 9 11 29 4 3x x x x m
chia hết cho 6x + 9
Giải:
a) Đặt f(x) =
+ + − + + −
5 4 3 2
5 3 5 17 2013x x x x x m

g(x) =
+ + − + −
5 4 3 2
5 3 5 17 2013x x x x x
. Ta có: f(x) = g(x) + m
f(x) chia hết cho
( )
+ 3x
khi f(-3) = 0
Hay: g(-3) + m = 0 Suy ra: m = –g(-3) = 2028
b) Với giá trị nào của m thì đa thức
+ − + − +
5 4 2
4 9 11 29 4 3x x x x m
chia hết cho 2x + 3
HD: Đặt: P(x) =
+ − + −
5 4 2
4 9 11 29 4x x x x

⇒
m = –P(
3
2
−
) : 3 =
913
48
−

*Bài tập tự luyện:
Bài tập 4.2: Tìm m để đa thức
+ + − + − −
5 4 3 2
5 3 5 17 1395x x x x x m
chia hết cho
( )
3x −
HD: Đặt: P(x) =
+ + − + −
5 4 3 2
5 3 5 17 1395x x x x x
⇒
m = P(3) = -660
Bài tập 4.3: Cho đa thức
( )
= − + − + +
5 4 3 2
3 4 5 6P x x x x x x m
a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2013
- Nhận xét: dạng? (dạng 3)
→
phương pháp giải?
- Kết quả: r = P(3,5) =
− + − + +
5 4 3 2
3,5 3.3,5 4.3,5 5.3,5 6.3,5 2013
= 2219,28125
b) Tìm giá trị m
1

để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
- Nhận xét: dạng? (dạng 3)
→
phương pháp giải?
- Kết quả: m
1
= –g(3,5) = 206,28125 , với g(x) =
− + − +
5 4 3 2
3 4 5 6x x x x x
c) Tìm giá trị m
2
để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
- HD: (đưa lạ về quen) P(x) có nghiệm x = 3
⇒
P(3) = 0
- Kết quả: m
2
= –g(3) = 81, với g(x) =
− + − +
5 4 3 2
3 4 5 6x x x x x
Bài tập 4.4: Cho đa thức P(x) = x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + m.
a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10.

Kết quả: m = –9090
b) Tìm các nghiệm của đa thức P(x) với giá trị vừa tìm được của m.
Kết quả: x
1
= –10, x
2
≈ 9,49672
Bài tập 4.5: Cho đa thức P(x) = x
4
– 4x
3
– 19x
2
+ 106x + m.
Trang
8
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
a) Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + 5.
Kết quả: m = –120
b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho x – 3.
Kết quả: r = g(3) = 0
Bài tập 4.6: Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625
a) Tính P(2
2
)
- Nhận xét: dạng 1
→
Kết quả: P(2

2
)
≈
–509,0344879
b) Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
HD: P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
⇒
P(–3) + a
2
= 0
⇒
a
2
= – P(–3) = 757
⇒
a =
757 27,51363298± ≈
Dạng 5: Tìm điều kiện tham số của
( )
P x
thỏa mãn một điều kiện nào đó
1. Kiến thức: (Nhắc lại)
P(x)
M
(ax + b)
⇔

P(
b
a
−
) = 0
2. Bài tập:
Bài tập 5.1: Cho biết đa thức P(x) = x
4
+ mx
3
– 55x
2
+ nx – 156 chia hết cho x – 2 và
chia hết cho x – 3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức.
Giải: * Vì P(x) chia hết cho x – 2 và x – 3 , nên ta có:
(2) 0 16 8 55.4 2 156 0 4 180 2
(3) 0 81 27 55.9 3 156 0 9 190 172
P m n m n m
P m n m n n
= + − + − = + = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
= + − + − = + = =
   
Vậy: P(x) = x
4
+ 2x
3
– 55x

2
+ 172x – 156
- Để tìm tất cả các nghiệm của P(x), trước hết ta phân tích P(x) thành nhân tử
(vận dụng dạng 2)
- Vì P(x) chia hết cho (x – 2) nên ta phân tích P(x) theo (x – 2), có thể dùng sơ
đồ Hoocner hoặc:
P(x) = x
3
(x – 2) + 4x
2
(x – 2) – 47x( x – 2) + 78(x – 2)
= (x – 2)(x
3
+ 4x
2
– 47x + 78)
- Ta giải phương trình bậc ba: x
3
+ 4x
2
– 47x + 78 = 0 trên máy, được kết quả.
Vậy: P(x) có nghiệm là: x
1
= 2; x
2
= 3; x
3
≈ 2,684658438; x
4
≈ -9,684658438

Bài tập 5.2: Đa thức P(x) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 1, –2 lần
lượt tại x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giá trị của a, b, c, d, e
Giải: Đa thức P(x) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 1, –2 lần lượt tại x
= 1, 2, 3, 4, 5, nghĩa là ta có:
Trang
9
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
(1) 5 5 (1) 5
(2) 4 16 8 4 2 4 (2) 15 7 3 1
(3) 3 81 27 9 3 3 (3) 80 26 8 2 2
(4) 1 256 64 16 4 1(4) 255 63
(5) 2 625 125 25 5 2(5)
P a b c d e a b c d e
P a b c d e a b c d
P a b c d e a b c d
P a b c d e a b
P a b c d e
= + + + + = + + + + =

 
 
= + + + + = + + + = −
 
 
= ⇔ + + + + = ⇔ + + + = −
 
 
= + + + + = + +
 
= − + + + + = −
 
 
1
24
7
12
59
24
15 3 4
59
624 124 24 4 7
12
8
a
b
c
c d
d
a b c d

e

=




= −




 
⇔ =
 
 
+ = −
 
= −
+ + + = −
 


=



Vậy: a = 1/24 ; b = -7/12; c = 59/24; 9 = -59/12; e = 8
Bài tập 5.3: (Trích bài 5 – đề thi HSG MTCT khu vực năm 2007)
Xác định các hệ số a, b, c của đa thức

2007)(
23
−++= cxbxaxxP
để sao cho P(x) chia
cho (x – 13) có số dư là 1 , chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư
là 3. (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Giải: Vì P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1 , chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho
(x – 14) có số dư là 3, nên:
3 2
3 2
3 2
.13 .13 .13 2008
(13) 1
(3) 2 .3 .3 .3 2009
(14) 3
.14 .14 .14 2010
a b c
f
f a b c
f
a b c

+ + =
=



= ⇔ + + =
 
 

=
+ + =


Giải hệ phương trình này trên máy, ta được a, b, c
Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28
Bài tập 5.4: Cho hai đa thức sau:
f(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
– ax + 3b
g(x) = –3x
4
+ 4x
3
– 3x
2
+ ax + b
Tìm giá trị của a và b để hai đa thức f(x) và g(x) có nghiệm chung x = 2?
Giải: vì f(x) và g(x) có nghiệm chung x = 2, nên ta có:
31
16 5.8 4.4 2 3 0 2 3 40
2
3.16 4.8 3.4 2 0 2 28
3
a b a b
a

a b a b
b

+ − − + = − + = −
=
 

⇔ ⇔
  
− + − + + = + =
 

= −

Vậy: a =-11/2; b = -17
Bài tập tự luyện:
Bài tập 5.5: Biết rằng số dư trong phép chia đa thức:
x
5
+ 4x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
– ax + 7 cho (x + 5) bằng 2007. Tìm a.
HD: Đặt f(x) = x
5
+ 4x
4

+ 3x
3
+ 2x
2
– ax + 7
⇒
f(–5) = 2007
Trang
10
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Dạng 6: Tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức
Bài tập 6.1: Cho đa thức
( )
= + + + + +
5 4 3 2
P x x ax bx cx dx e
và cho biết P(1) = 1 , P(2) =
7, P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49. Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ?
Hướng dẫn:
- Phân tích: Ta cũng có thể chuyển bài tập này về dạng 5 để giải bằng cách từ đề bài ta
lập hệ 5 phương trình 5 ẩn
→
biến đổi về hệ 4 phương trình 4 ẩn rồi dùng máy giải,
thay thế sẽ tìm được a, b, c, d, e. Từ đó tính được P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và
P(11) theo dạng 1. Tuy nhiên khá dài!
→
Còn cách giải nào khác?
- Ta tìm đa thức phụ:
Nhận thấy: P(1) = 1 = 2.1
2

– 1
P(2) = 7 = 2.2
2
– 1
P(3) = 17 = 2.3
2
– 1
P(4) = 31 = 2.4
2
– 1
P(5) = 49 = 2.5
2
– 1
Đặt: g(x) = 2x
2
– 1
Ta có: P(1) – g(1) = 0; P(2) – g(2) = 0; P(3) – g(3) = 0; P(4) – g(4) = 0; P(5) – g(5) = 0
Do đó: 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức: P(x) – g(x)
Nên: P(x) – g(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) (x – 5)
⇒
P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) (x – 5) + g(x)
⇒
P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) (x – 5) + 2x
2
– 1
Vậy: P(6) = (6 – 1) (6 – 2) (6 – 3) (6 – 4) (6 – 5) + 2.6
2
– 1
= 5.4.3.2.1 + 71 = 5! + 71 = 191
P(7) = 817; P(8) = 2647 ; P(9) = 6881; P(10) = 15391; P(11) = 30481

*Bài tập tự luyện:
Bài tập 6.2: (Trích bài 10a – đề thi khu vực 2002, lớp 9)
Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + f.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15.
Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
- HD: Đặt g(x) = x
2
- Kết quả : P(6) = 156; P(7) = 769; P(8) = 2584; P(9) = 6801.
Bài tập 6.3: (Trích bài 10 – đề thi HSG MTCT khu vực năm 2005)
Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + 132005
Biết rằng khi x lần lượt nhận giá trị 1, 2, 3, 4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần
lượt là 8, 11, 14, 17. Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15.
Trang
11

Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
HD: Đặt g(x) = 3x + 5
Đáp số : P(11) = 27775428 ; P(12) = 43655081 ;
P(13) = 65494484 ; P(14) = 94620287 ; P(14) = 132492410
Bài tập 6.4: (Trích bài 6 – đề thi HSG MTCT khu vực năm 2007)
Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức:
Q(x) = x
5
+ ax
4
– bx
3
+ cx
2
+ dx – 2007 tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là
9, 21, 33, 45 (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
HD: Đặt g(x) = 12x – 3
Đáp số : a = –93,5 ; b = –870 ; c =–2972,5 ; d = 4211
Q(1,15)
≈
66,16 ; Q(1,25)
≈
86,22 ; Q(1,35)
≈
94,92 ; Q(1,45)
≈
94,66
Bài tập 6.5: Cho P(x) = x
4

+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11.
a) Tìm a, b, c, d
b) Tính
( ) ( )
15 12
15
20
P P
A
+ −
= +
.
HD Giải:
a) Cách 1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 2x + 3
Suy ra a, b, c, d
Cách 2: Giải hệ phương trình , suy ra a, b, c, d
Đáp số: a = - 10; b = 35; c = - 48; d = 27
b) Nhập P(x) = x
4
- 10x
3
+ 35x
2
- 48x + 27 vào máy
Dùng lệnh CALC nhập 15 Shift Sto A ; CALC nhập –12 shift Sto B;

Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 =
Kết quả: 3400.8000
PHẦN II : BÀI TẬP TỔNG HỢP
(Vận dụng nâng cao)
Bài tập 1: Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c.
Biết P(1) = –15; P(2) = –15; P(3) = –9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?
HD: - Trước hết ta phải làm gì?
→
tìm a, b, c (vận dụng dạng 5)
- Câu a: Tìm số dư
→
vận dụng dạng 3
- Câu b: Tìm số dư
→
vận dụng dạng 3
Trang
12
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Bài tập 2: Biết đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3
– 44x
2

+ nx – 186 chia hết cho x + 2 và nhận
x = 3 là nghiệm. Hãy tính giá trị của m và n rồi tìm tất cả các nghiệm còn lại của Q(x).
HD Giải:
Từ giả thiết
( 2) 0
(3) 0
Q
Q
− =

⇒

=

Ta tìm m, n
Từ giả thiết
⇒
Q(x) có 2 nghiệm nguyên: – 2 và 3
⇒
Q(x) = (x + 2)(x – 3)(x
2
+ 7x – 31)
Dùng máy giải phương trình bậc 2
⇒
2 nghiệm còn lại.
Đáp số: m = 6; n = –11
x
2
= -2; x
3

≈
3,076473219 ; x
4
≈ -10,076473219
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức: A =
98 97 96
32 31 30
1
1
x x x x
x x x x
+ + + + +
+ + + + +
khi x = 2
(Trích bài 1/câu 1 – Đề khu vực năm 2012)
Giải: A =
98 97 96 99 33 66 33
66 33
32 31 30 33 33
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)
1
( 1)( 1) 1 1
x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x
+ + + + + − − − + +
= = = + +
+ + + + + − − −
Tại x = 2, ta có A = 2

66
+ 2
33
+1 = 73 786 976 303 428 141 057
Bài tập 4: Cho đa thức
9 7 5 3
1 1 13 82 32
( )
630 21 30 63 35
P x x x x x x= − + − +
(Bài 9 – Đề dự bị thi khu vực năm 2003- Lớp 9)
a) Tính giá trị của đa thức khi x = –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
HD Giải :
a) Khi x = –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0 (Nên dùng cách 2,
hoặc cách 3 ở bài tập 1.1)
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên
1
( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)
2.5.7.9
P x x x x x x x x x x
= − − − − + + + +
Vì giữa 9 số nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x
nguyên thì tích:
( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)x x x x x x x x x
− − − − + + + +
chia hết cho 2.5.7.9 (tích của
các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
Bài tập 5: Cho đa thức f(x) =
5

1
x
5
+
3
1
x
3
+
15
7
x + 2008
a) Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; –1 ; 3; –
2
1
;
2
.
b) Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
HD giải:
Trang
13
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
a) Vận dụng dạng 1
b) f(x) =
5
1
x
5
+

3
1
x
3
+
15
7
x + 2008
Đặt A =
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+
15
7
x
Ta chứng minh:
A là một số nguyên với mọi x nguyên dương từ đó f(x) là một số nguyên.
Thật vậy: A =
5
1
x
5
+

3
1
x
3
+
15
7
x =
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+ x –
15
8x
=
5
1
x
5
+
3
1
x
3

+ x –
5
1
x –
3
1
x
=
5
5
xx −
–
3
3
xx −
+ x
Ta chứng minh: x
5
– x chia hết cho 5; x
3
– x chia hết cho 3.
Thật vậy: x
5
– x = x(x
4
– 1) = x(x
2
– 1)(x
2
+ 1)

= x(x
2
– 1)(x
2
– 4 + 5)
= x(x
2
– 1)(x
2
– 4) + 5x(x
2
– 1)
= (x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2) + 5(x – 1)x(x + 1)
Vì: * (x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5.
và 5(x – 1)x(x + 1) chia hết cho 5. Nên
5
5
xx −
nguyên
* x
3
– x = x(x
2
– 1) = (x – 1)x(x + 1) chia hết cho 3. Nên
3
3
xx −
nguyên
Vậy: Bài toán chứng minh xong
Bài tập 6: (Trích bài 4 – đề thi khu vực 2001, lớp 8)

Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2
– 16x + m.
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b) Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2, phân tích P(x)
ra tích các thừa số bậc nhất
c) Tìm m và n để Q(x) = 2x
3
– 5x
2
– 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d) Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
HD giải:
- Câu a: dạng 4
→
Kết quả: m = 12
- Câu b: dạng 3;2
→
Kết quả: r = 0 và P(x) = (3x – 2)(2x + 3)(x – 2)
- Câu c: dạng 5
→
Kết quả: m = 12; n = 30
- Câu d: dạng 2
→
Kết quả: Q(x) = (x – 2)(2x + 5)(x – 3)
Trang
14
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Bài tập 7: (Trích bài 4 – đề thi khu vực 2002, lớp 9)
Cho P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x
3
– 3x
2
+ 2x + n.
a) Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b) Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một
nghiệm duy nhất.
HD giải:
- Câu a: dạng 4
→
Kết quả: m = 46; n = -40
- Câu b: R(x) = P(x) – Q(x) = x
3
– x
2
+ x – 6 = (x – 2)(x
2
+ x + 3)
Mà: phương trình x
2

+ x + 3 = 0 vô nghiệm.
Nên: R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm: x = 2
Bài tập 8: (Trích bài 8 – đề thi khu vực 2003, lớp 9)
a) Cho P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x + m.
1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b) Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+bx
3
+ cx
2
+ dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) =
33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
HD giải:
- Câu a: 1. dạng 3
→
Kết quả: r = 2144,40625
2. dạng 4

→
Kết quả: m = -141,40625
3. dạng 4
→
Kết quả: m = -46
- Câu b: 1. dạng 6
→
Đặt g(x) = 2x
2
+ 1
Kết quả: P(6) = 193; P(7) = 819; P(8) = 2649;
P(9) = 6883; P(10) = 15321; P(11) = 30483
Bài tập 9: (Trích câu 1/bài 5 – đề thi khu vực 2012, lớp 9)
Khi chia P(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx
19
+ 2x + 1 cho (x – 1) được số dư là 5 và
khi chia P(x) cho (x – 2) được số dư là – 4.
a) Hãy tìm các số thực A, B biết đa thức Q(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx

19
+ Ax +
B chia hết cho đa thức x
2
– 3x + 2
b) Với giá trị của A và B vừa tìm được, hãy tính giá trị của đa thức:
R(x) = Q(x) – P(x) + x
81
+ x
57
– 2x
41
+ 2x
19
+ 2x + 1 tại x = 1,032012
HD giải:
a) * P(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx
19
+ 2x + 1 cho (x – 1) được số dư là 5
⇒
P(1) = 1
81
+ a.1
57

+ b.1
41
+ c.1
19
+ 2.1 + 1 = 5
⇒
a + b + c = 1
* P(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx
19
+ 2x + 1 cho (x – 2) được số dư là –4
Trang
15
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
⇒
P(2) = 2
81
+ a.2
57
+ b.2
41
+ c.2
19
+ 2.2 + 1 = – 4 (vận dụng dạng 3)
⇒

2
81
+ a.2
57
+ b.2
41
+ c.2
19
= – 9
Mặt khác, ta có: x
2
– 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) (vận dụng dạng 2)
Q(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx
19
+ Ax + B chia hết cho đa thức x
2
– 3x + 2
⇒
Q(x) = (x – 1)(x – 2).f(x)
(1) 0
(2) 0
Q
Q
=


⇒

=

2 11
2 9 13
A B A
A B B
+ = − =
 
⇒ ⇒
 
+ = = −
 
(vận dụng dạng 5)
Vậy: A = 11; B = -13
b) Ta có: R(x) = x
81
+ x
57
– 2x
41
+ 2x
19
+ 11x – 13
Dùng máy tính tính được: R(1,032012)
≈
13,57512 (vận dụng dạng 1)
Bài tập 10: (Trích bài 5 – đề thi MTCT Long An – năm 2011, lớp 9)

Cho hàm số f (x) = x
2
+ ax + b. Khi chia f(x) cho x –
2
có dư là 35. Khi chia
f(x) cho x –
3
có dư là 50. Tìm số dư khi chia f(x) cho x – 2010
HD Giải: (vận dụng dạng 3)
2
2
14
( 2) 0 ( 2) 2 35 2 33
3 2
14
( 3) 0 ( 3) 3 50 3 47
33 2.
3 2
a
f a b a b
f a b a b
b

=

  
= + + = + =
−
   
⇔ ⇔ ⇔

   
 
= + + = + =
  

  
= −
 ÷

−
 


2
14 14
(2010) 2010 .2010 33 2.
3 2 3 2
f
 
= + + −
 ÷
− −
 

Kết quả: 4128606,587
Bài tập 11: Cho đa thức Q(x) = ( 3x
2
+ 2x – 7 )
64
.

Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải: Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.
Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2–7)
64
= 2
64
.
(vận dụng sáng tạo dạng 1)
Để ý rằng : 2
64
=
( )
2
32
2
=
2
4294967296
.
Đặt
42949 = X
;
67296 = Y
Ta có : A =
5 2 2 10 5 2
( X.10 +Y) = X .10 + 2XY.10 + Y

Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:
X
2

.10
10
= 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2XY.10
5
= 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0
Y
2
= 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6
A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6
Vậy: A = 18446744073709551616
Trang
16
Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
* Từ bài toán này, ta có thể mở rộng cho bài toán: tính tổng các hệ số của lũy thừa
bậc chẵn ( hoặc bậc lẻ) của đa thức.
(Lưu ý: Các quy trình bấm máy trình bày trong chuyên đề là sử dụng với máy
tính VINACAL 570ES PLUS)
III. KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ PHỔ BIẾN ỨNG DỤNG NỘI DUNG VÀO
THỰC TIỄN:
1) Kết quả: Những giải pháp trên đã giúp tôi thành công trong công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay”. Qua quá trình triển khai và
thực hiện từ năm học 2010 – 2011 đến nay cùng với sự cố gắng của bản thân và sự nỗ
lực phấn đấu học tập không ngừng của học sinh, nhiều năm liền những học sinh được
tôi bồi dưỡng đều đạt kết quả khá tốt. Đặc biệt trong ba năm gần đây, sau khi “xây
dựng chuyên đề bồi dưỡng HSG” áp dụng vào việc dạy học theo “chuyên đề” trong bồi
dưỡng học sinh giỏi thì số lượng học sinh đạt giải các cấp tăng đều và ổn định theo
từng năm. Cụ thể như sau:
Năm học 2010 – 2011 2011 – 2012 2012 – 2013
HS dự thi cấp huyện 5 4 6

HSG đạt giải Huyện
4(1 giải ba, ba
giải KK)
4(1 giải nhất, 2 giải
nhì, 1 giải ba)
6(1 giải nhất, 4 giải
nhì, 1 giải ba)
HS dự thi cấp Tỉnh 4 3 6
HSG đạt giải Tỉnh
3(1 giải nhất, 2
giải nhì)
3 (2 giải nhì, 1 giải
ba)
6 (1 giải nhất, 2
giải nhì, 3 giải ba)
HSG cấp khu vực / / 1(KK)
2) Ý nghĩa:
- Khai thác thế mạnh của MTCT, là công cụ hỗ trợ đắc lực không chỉ cho việc
dạy học Toán mà giúp ich rất nhiều cho các bộ môn khác nữa.
- Kích thích sự tò mò ham tìm hiểu của học sinh, biết khai thác triệt để các tính
năng của máy.
- GV trang bị kiến thức cho mình để có thể tự tin giúp các em vượt qua các kì
thi học sinh giỏi các cấp.
3) Khả năng ứng dụng, triển khai:
- Hiện nay, máy tính Casio, Vinacal rất phổ biến trên thị trường, hầu như học
sinh nào cũng có cho nên việc ứng dụng chuyên đề rất dễ dàng, vừa tạo sân chơi cho
các em, vừa tiếp thu, lĩnh hội được rất nhiều kiến thức toán học, mở rộng hơn, chuyên
sâu hơn kiến thức toán đã được học trong nhà trường.
Trang
17

Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
- Trên cơ sơ chuyên đề đã minh họa, có thể tiếp tục xây dựng các chuyên đề
khác rất bổ ích cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nếu được sự ủng hộ, góp ý chân
tình của các đồng nghiệp.
4) Kết luận:
Trên đây, chỉ là những kinh nghiệm thực tế qua nhiều năm làm công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi “giải toán trên máy tính cầm tay” mà tôi muốn chia sẻ với đồng
nghiệp.
Qua đề tài này, tôi mong muốn được giao lưu trao đổi kinh nghiệm bồi dưỡng
học sinh giỏi “giải toán trên MTCT” với tất cả quý thầy cô và học sinh, góp phần làm
cho phong trào này ngày càng phát triển, ngày càng thu hút được nhiều giáo viên, học
sinh tham gia học tập và nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nhơn Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2013
Người viết
Trần Thị Loan
Nhận xét của hội đồng Sáng kiến cơ sở trường THCS Trần Quốc Toản
Chủ tịch
Trang
18