giải bài 5 toán thi vào 10 Bình Định năm 2013- 2014

Lê Xuân Ngọc GV Trường THCS Phước Hưng
Giải bài toán 1 điểm thi lớp 10 Bình Định ( ngày 30 tháng 06 năm 2013 )
Cách 1: Dành cho HS trung bình
Ta chứng minh bài toán phụ sau:
2 2
2
( )
2
x y x y+ ≥ +
Thật vậy :
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
( ) 0
2
2( ) ( )
( )
( )
2
2
( )
2
x y
x y xy
x y x y
x y
x y
x y x y

− ≥
⇔ + ≥
⇔ + ≥ +
+
⇔ + ≥
⇔ + ≥ +
Áp dụng kết quả bài toán trên ta có :
2 2
2 2
2 2
2
( )
2
2
( )
2
2
( )
2
a b a b
b c b c
c a c a
+ ≥ +
+ ≥ +
+ ≥ +
Cộng 3 BĐT trên lại ta được :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
( )

2
2( )
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b c
+ + + + + ≥ + + + + +
⇔ + + + + + ≥ + +
Cách 2 : Dành cho HS khá giỏi :
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : với các số a, b , x , y bất kì ta có :
2 2 2 2
ax by a b x y+ ≤ + +
Dấu “ = ” xảy ra khi
a b
x y
=
Vì a , b , c là các số thực không âm
Nên :
Lê Xuân Ngọc GV Trường THCS Phước Hưng
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
2 (1)
1 1
2 (2)
1 1
2 (3)
a b a b

a b a b
b c b c
b c b c
c a c a
c a c a
+ ≤ + +
⇔ + ≤ +
+ ≤ + +
⇔ + ≤ +
+ ≤ + +
⇔ + ≤ +
Cộng 3 bất đẳng thức(1) (2) (3) lại ta có :
2 2 2 2 2 2
2( )a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + +