Kinh nghiệm dạy môn hình học THCS

KINH NGHIỆM DẠY HÌNH HỌC CẤP THCS
( ĐẶNG HẢI GIANG – THCS thị trấn Cẩm Xuyên)
NỘI DUNG:
- Dạy học khái niệm hình học
- Dạy học định lí hình học
- Dạy học sinh giải bài tập hình học
I. Dạy học khái niệm Hình học:
Trong môn Toán nói chung và Hình học nói riêng, việc dạy học các
khái niệm Toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Việc hình thành một
hệ thống các khái nệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán, là
tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng
thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật
biện thứng cho HS.
1. Yêu cầu của việc dạy học khái niệm:
- Hiểu được các tính chất đặc trưng của khái niệm đó.
- Biết nhận dạng khái niệm, đồng thời biết thể hiện khái niệm.
- Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt
động giải toán cũng như trong ứng dụng thực tiễn.
- Hiểu được mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong
một hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Tuy nhiên, trên thực tế
dạy học không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với
từng loại khái niệm. Chẳng hạn khái niệm “ Hình bình hành ” được định
nghĩa một cách tường minh: “ Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối
song song ”. Nhưng có một số khái niệm chỉ được mô tả bằng trực quan dựa
vào kinh nghiệm của HS như ( Điểm ; Đường thẳng ; Mặt phẳng …).
2. Các con đường hình thành khái niệm:
a) Con đường quy nạp
Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình,
hình vẽ, thí dụ cụ thể, ) giáo viên dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tượng

hóa và khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở
những trường hợp cụ thể, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như
sau:
- Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại của
một loạt đối tượng nào đó.
- Giáo viên dẫn dẫn học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc
điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.
- Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng
cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Để hình thành khái niệm “ Tứ giác ” theo con đường quy nạp, ta có
thể làm như sau:
Hoạt động 1: Cho HS quan sát các hình vẽ sau:

1d)

1c)

1b)

1a)

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A
Hoạt động 2: GV cho HS rút ra những đặc điểm giống nhau ( mỗi hình đều
có 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA) và khác nhau ( các đoạn thẳng ở các hình
1a, 1b, 1c không cùng nằm trên một đường thẳng; hình 1d có hai đoạn BC,
CD cùng nằm trên một đường thẳng ). Từ đó GV giới thiệu mỗi hình 1a, 1b,
1c cho ta một tứ giác và yêu cầu HS nêu định nghĩa về tứ giác.
Ví dụ 2: Để hình thành khái niệm “ Tam giác cân ” theo con đường quy nạp

ta có thể làm như sau:
Hoạt động 1: Cho HS quan sát các hình vẽ sau:

b)

c)

a)

9, 5

7

4, 5

4

2

4

4

3

5

5

Q

K

H

N

P

M

C

B

A
Hoạt động 2: GV tổ chức cho HS rút ra những đặc điểm giống nhau và khác
nhau rồi giới thiệu các tam giác ở hình a) và hình b) là tam giác cân và cho
HS nêu định nghĩa tam giác cân.
Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác dụng
phát triển những năng lực trí tuện như trừu tượng hóa, khái quá hóa, so sánh
thuận lợi cho hoạt động tích cực của học sinh. Vì thế cần chú trọng khai thác
con đường này trong dạy học Toán ở trường THCS.
b) Con đường suy diễn:
Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm
mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như
sau:
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm
đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.

- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa
nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn
chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
- Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa
Con đường này nên thực hiện khi: Trình độ nhận thức của học sinh đã khá
hơn, vốn kiến thức đã nhiều lên và được sử dụng khi đã phát hiện ra một
khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
Ví dụ:
“ Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song” (Hình bình hành
được định nghĩa thông qua khái niệm của hình thang )

H

G

F

E

D

C

B

A
“ Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông”. (Hình chữ nhật được
định nghĩa thông khái niệm của hình bình hành)
c) Trình tự dạy học khái niệm Hình học ở THCS:
Việc dạy học khái niệm Hình học ở THCS thường bao gồm các hoạt động

sau:
- Hoạt động 1: Tiếp cận khái niệm
- Hoạt động 2: Hình thành khái niệm
- Hoạt động 3: Củng cố khái niệm
- Hoạt động 4: Vận dụng khái niệm
Ví dụ 1: Dạy khái niệm đoạn thẳng tỉ lệ:
- HĐ 1: Tiếp cận khái niệm:
+ GV cho HS làm bài tập sau: Cho các đoạn thẳng AB, CD, EF, GH (hình
vẽ). So sánh các tỉ số
AB
CD
và
EF
GH
?
+ GV gợi ý cho HS chọn một đoạn nhỏ làm đơn vị để tính từng tỉ số rồi so
sánh.
- HĐ 2: Hình thành khái niệm:
+ Từ bài tập trên GV giới thiệu: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn
thẳng EF và GH.
+ GV nêu câu hỏi: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/
và C
/
D
/
khi có điều kiện nào ?
+ GV chốt lại vấn đề bằng cách nêu định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ

lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/
và C
/
D
/
nếu có tỉ lệ thức:
/ /
/ /
AB A B
CD C D
=
hay
/ / / /
AB CD
A B C D
=
.
- HĐ 3: Củng cố khái niệm:
+ HĐ 3.1: Cho HS nhắc lại khái niệm đoạn thẳng tỉ lệ.
+ HĐ 3.2: Hai đoạn thẳng a và b có tỉ lệ với hai đoạn thẳng c và d hay không
nếu a = 1cm; b = 2cm; c = 3cm; d = 5,5 cm (phản ví dụ).
+ HĐ 3.3: Cho các đoạn thẳng AB = 2cm; CD = 4cm; EF = 5cm; MN =
6cm; PQ = 3cm. Hãy chỉ ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
( AB và CD tỉ lệ với PQ và MN; AB và PQ tỉ lệ với CD và MN )
- HĐ 4: Vận dụng khái niệm:
GV có thể cho HS làm bài toán sau:
“Cho tam giác ABC có M, N thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng

minh rằng các cặp đoạn thẳng: AM và AB; AN và AC; MN và BC tỉ lệ với
nhau”.
Ví dụ 2: Dạy học khái niệm tam giác đồng dạng:
- HĐ 1: Tiếp cận khái niệm:
+ HĐTP 1: Hình đồng dạng
GV treo các bức tranh có hình dạng giống nhau nhưng kích thước khác nhau
rồi cho HS nhận xét, mỗi em một ý kiến.
+ GV chốt lại: Trong thực tế ta thường gặp những hình có hình dạng giống
nhau nhưng kích thước có thể khác nhau. Những cặp hình như thế gọi là
những hình đồng dạng.
+ HĐTP 2: Cho hai tam giác ABC và A
/
B
/
C
/
(hình vẽ)

2, 5

3

2

6

5

4

C

/

B

/

A

/

C

B

A
• GV cho HS nêu nhận xét về hai tam giác trong hình vẽ.
• Cho HS viết các cặp góc bằng nhau và so sánh các tỉ số:
/ / / / / /
A B B C C A
; ;
AB BC CA
.
- HĐ 2: Hình thành khái niệm:
+ GV giới thiệu hai tam giác ở ví dụ trên đồng dạng với nhau và yêu cầu HS
phát biểu định nghĩa.
- HĐ 3: Củng cố khái niệm:
+ Cho HS diễn đạt nội dung của định nghĩa theo các cách khác nhau, chẳng
hạn: “ Hai tam giác đồng dạng với nhau nếu các góc tương ứng bằng nhau

và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau”.
+ Cho HS làm các bài tập để củng cố:
Bài 1: Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? mệnh đề nào sai?
a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.
b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.
Bài 2: Khi nói ABC đồng dạng với tam giác MPQ theo tỉ số đồng dạng k = 2
thì ta suy ra được điều gì ?
- HĐ 4: Vận dụng khái niệm:
GV có thể cho HS vận dụng khái niệm tam giác đồng dạng để làm các bài
tập sau:
Bài 1: Cho ABC đồng dạng với tam giác MPQ theo tỉ số đồng dạng k = 2.
Biết AB = 2 cm; AC = 3 cm; PQ = 4 cm. Tính độ dài các cạnh MP, MQ, BC.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác
ABC theo tỉ số
1
2
.
Lưu ý :
- Tùy vào chất lượng của HS mà GV có thể đưa ra các bài tập với
mức độ khác nhau.
- Không phải khái niệm nào khi dạy cũng được tiến hành đầy đủ các
bước nêu trên, phần củng cố và vận dụng đôi khi được đặt ở cuối
tiết học.
II. Dạy định lí Hình học:
1. Vị trí và yêu cầu của dạy học định lí Hình học:
Việc dạy học các định lí toán học nhằm cung cấp cho HS một hệ thống kiến
thức cơ bản của bộ môn, là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở HS khả năng
suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Việc dạy các định lí toán học cần đạt các yêu cầu sau:
- Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ

đó có khả năng vận dụng các định lí vào hoạt động giải toán.
- Làm cho HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy
luận chính xác (tuy nhiên phù hợp với HS THCS).
- Phát triển năng lực chứng minh toán học.
2. Các con đường dạy học định lí:
a) Con đường có khâu suy đoán:
Gồm các hoạt động: tạo động cơ ; phát hiện định lí ; phát biểu định lí ;
chứng minh định lí (hoặc thừa nhận đối với các định lí không yêu cầu chứng
minh hoặc đối tượng HS có năng lực hạn chế) ; vận dụng định lí.
Ví dụ 1: Khi dạy định lí về góc nội tiếp theo con đường có khâu suy đoán
GV có thể tiến hành như sau:
- GV cho HS tính số đo góc nội tiếp (BAC) và cung bị chắn (BC) trong các
trường hợp sau và tìm quan hệ giữa chúng.

b)

a)

C

A

B

O

O

C

B

A
+ HS nhận thấy số đo của góc BAC bằng một nửa số đo của cung BC.
+ GV chốt lại vấn đề: Kết quả trên cũng đúng với góc nội tiếp BAC tùy ý và
đó là nội dung của định lí sau: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội
tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn”.
- Chứng minh định lí (Dựa vào vị trí tương đối của tâm O và các cạnh của
góc thì ta phải xét ba trường hợp. Tuy nhiên GV chỉ cần chứng minh một
trường hợp hai trường hợp còn lại giao về nhà cho HS).
- Bài tập củng cố và vận dụng định lí nên gắn với việc hình thành các hệ quả
của định lí.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí tổng ba góc của một tam giác theo con đường có
khâu suy đoán GV có thể tiến hành như sau:

b)

a)

C

B

A
- Vẽ một tam giác bất kì, dùng thước đo góc đo ba góc của mỗi tam giác rồi
tính tổng của chúng (hình a).
- Cắt một tấm bìa hình tam giác, cắt rời hai góc rồi đặt chúng kề với góc còn
lại. Hãy nêu dự đoán về tổng ba góc của tam giác (hình b).
- HS sinh nhận thấy tổng ba góc của một tam giác bằng 180
0

.
- GV chốt lại vấn đề bằng định lí về tổng ba góc của một tam giác.
- Tổ chức cho HS chứng minh định lí (lấy ý tưởng từ hoạt động cắt bìa tam
giác để vẽ đường phụ).
- Củng cố và vận dụng định lí.
b) Con đường suy diễn:
Gồm các hoạt động: tạo động cơ ; suy luận lôgic dẫn tới định lí; phát biểu
định lí ; củng cố định lí.
Ví dụ 1: Khi dạy định lí tổng ba góc của một tam giác theo con đường suy
diễn GV có thể tiến hành như sau:
- Cho HS làm bài toán: Hãy tính tổng ba góc của tam giác ABC cho trước.
- GV gợi ý chuyển các góc B và C về kề với góc A để sử dụng được tính
chất cộng góc (học ở lớp 6). Để thực hiện điều đó HS cần vẽ đường thẳng xy
qua A và song song với BC để tạo các cặp góc so le trong bằng nhau.
- Sau khi tính được A + B + C = 180
0
bằng suy luận lôgic thì GV tổ chức
cho HS phát biểu định lí: “ Tổng ba góc của một tam giác bằng 180
0
”
- Cuối cùng tổ chức cho HS củng cố và vận dụng định lí.

y

x

2

1

C

B

A

x

C

B

A
Ví dụ 2: Khi dạy định lí về góc ngoài
của tam giác theo con đường suy diễn
GV tổ chức cho HS suy luận để đi đến
các khẳng định sau:
+ Tổng ba góc của tam giác ABC
bằng 180
0
nên:
µ
µ µ
0
A B 180 C+ = −
(1)
+ Vì ACx là góc ngoài của tam giác
ABC nên
·
µ

0
ACx 180 C= −
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra
·
µ
µ
ACx A B= +
- Từ kết quả trên GV tổ chức cho HS phát biểu định lí về góc ngoài của tam
giác:“Góc ngoài của mỗi tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với
nó”.
- Cuối cùng GV tổ chức cho HS củng cố và vận dụng định lí.
Lưu ý :
Việc chọn con đường nào không phải là tùy tiện mà phụ thuộc vào nội dung
định lí và điều kiện cụ thể về HS. Ban đầu, ở mức độ thấp dạy học định lí
nên theo con đường có khâu suy đoán, về sau ở trình độ cao hơn, có thể dạy
định lí theo con đường suy diễn.
3. Trình tự dạy học định lí:
Dạy định lí hình học thường theo ba giai đoạn sau:
+ Phát hiện, tiếp cận định lí.
+ Chứng minh định lí (hoặc thừa nhận đối với những định lí không yêu cầu
chứng minh).
+ Củng cố và vận dụng định lí.
Ví dụ 1: Khi dạy định lí về tính chất đường phân giác của tam giác ta có thể
tiến hành như sau:
HĐ 1: Tiếp cận định lí:
Tạo động cơ: Chỉ dùng thước đo chiều dài và bằng phép tính có thể nhận
biết được tia phân giác của tam giác hay không ?
- Cho HS làm ?1 ở SGK
+ Vẽ ∆ABC biết: AB = 3cm;

AC = 6cm;
+ Dựng phân giác AD
+ Đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi
so sánh các tỉ số:
AB
AC
và
DB
DC
.

6

3

D

C

B

A
(Khi thực hiện ?1 cần lưu ý: Để tiết kiệm thời gian và đảm bảo được độ
chính xác thì GV nên cho HS đo trực tiếp hình vẽ ở SGK. Ngoài ra có thể sử
dụng phần mền Geometer
/
s Sketchpad để hổ trợ cho việc dựng hình, đo đạc
và tính toán).
- Sau khi thực hiện xong ?1 và có được kết quả
AB DB

AC DC
=
thì GV cho HS
biết kết quả trên đúng với tất cả các tam giác và đi đến định lí:
“ Trong một tam giác , đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện
thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy”.
HĐ 2: Chứng minh định lí:
GV tổ chức cho HS chứng minh định lí theo các bước sau:
- Vẽ hình, điền các kí hiệu thích hợp
- Xác định giả thiết và kết luận của định lí
( HS phải thật sự hiểu rõ nội dung của định lí GV mới tổ chức cho HS chứng
minh).
- Chứng minh:
GV tổ chức phân tích GT, KL để tìm cách
chứng minh:
+ Vì nội dung của định lí liên quan đến đoạn
thẳng tỉ lệ và ở bài trước HS đã được học định
lí Ta-lét nên GV định hướng cho HS sử dụng
định lí Ta-lét để chứng minh.
+ Muốn sử dụng định lí Ta-lét thì phải tạo ra
các đường thẳng song song. Từ giả thiết AD
là phân giác nếu vẽ BE // AC thì AB được
chuyển thành EB rất thuận lợi cho việc sử
dụng định lí Ta-lét. Khi đó ta có:
DB BE AB
DC AC AC
= =
(do BE = AB).
+ Cách chứng minh trên được trình bày trong SGK , đối với lớp chọn có thể
yêu cầu HS tìm thêm cách chứng minh khác, chẳng hạn: Vẽ BF // AD ta

được:
DB AF AB
DC AC AC
= =
(do AF = AB);
hoặc cho HS sử dụng phương pháp diện tích
để chứng minh: Ta có:

E

D

C

B

A

F

D

C

B

A
DB S AB.DH AB
DC S AC.DK AC
ABD

ACD
= = =
(với DH, DK là khoảng cách từ D tới AB, AC
và DH = DK).
+ Đối với lớp đại trà chất lượng HS hạn chế GV chỉ cần giúp HS nắm được
định lí để vận dụng làm bài tập là chính, đừng mất quá nhiều thời gian cho
chứng minh.
HĐ 3: Củng cố và vận dụng định lí:
- Nhận dạng và thể hiện:
Bài 1: a) Tính tỉ số
x
y
trong các hình vẽ sau:
b) Trong hình thứ nhất cho biết x + y = 5. Hãy tính các độ dài x, y.
Bài 2: Trong hình vẽ sau AD có phải là phân giác của góc A hay không ?

4

3, 5

A

B

C

D

6

8
(Hướng dẫn: Nếu AD là phân giác thì 3,5 và 4 tỉ lệ với 6 và 8, điều này là vô
lí. Vậy AD không phải là phân giác của góc A).
- Hoạt động ngôn ngữ:
Khuyến khích HS thay đổi hình thức phát biểu định lí, ví dụ: “Nếu AD là
phân giác của tam giác ABC (D thuộc cạnh BC) thì
DB AB
DC AC
=
”.
- Các hoạt động củng cố khác: như đặc biệt hóa, khái quát hóa, hệ thống
hóa, phát biểu mệnh đề đảo, chẳng hạn cho HS thực hiện các công việc
sau:
+ Phát biểu mệnh đề đảo và kiểm tra xem mệnh đề đảo có đúng không ?

A

B

C

D

4

2, 5

x

y

y

x

3, 5

2, 5

D

C

B

A
+ Nếu thay phân giác trong bởi phân giác
ngoài thì kết quả sẽ thế nào ?
* Ở tình huống thứ nhất, ta có:
Nếu
DB AB
DC AC
=
( với D thuộc cạnh BC)
thì AD là phân giác của góc A.
+ GV hướng dẫn HS về nhà chứng minh
khẳng định trên bằng cách vẽ phân giác AE
khi đó ta có
EB AB
EC AC

=
. Suy ra
EB DB
EC DC
=
;
do đó E trùng với D.
* Ở tình huống thứ hai GV dùng để chuyển tiếp sang mục 2) ( tính chất phân
giác ngoài của tam giác). Tuy nhiên cần lưu ý rằng trường hợp AD là phân
giác ngoài thì tính chất trên chỉ đúng trong trường hợp tam giác ABC không
cân tại A.
III. Dạy HS giải bài tập Hình học:
Ở trường THCS dạy Toán là dạy hoạt động toán học, trong đó giải
toán là hình thức chủ yếu. Để giúp HS vận dụng các kiến thức đã học vào
làm bài tập, GV phải biết lựa chọn các bài toán phù hợp, sắp xếp theo thứ tự
tăng dần về độ khó, lời giải được diễn ra một cách tự nhiên, vừa củng cố
khắc sâu được kiến thức, đồng thời có bài tập tương tự để HS rèn luyện kĩ
năng giải toán ( Hạn chế những bài không mẫu mực, có cách giải đặc biệt,
lắt léo, khó “ bắt chước” được phương pháp giải ).
Ví dụ: Cho HS lớp 7 làm chuổi bài tập được sắp xếp như sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân
tại A. H, K thứ tự là hình chiếu của B, C
trên một đường thẳng bất kì qua A và
không cắt cạnh BC.
CMR:
a) BH = AK
b) BH + CK = HK.
Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ
về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD vuông cân tại B và ACE
vuông cân tại C. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của D, E trên BC.

CMR: DM + EN = BC

E

D

C

B

A

K

H

C

B

A
HD: Vẽ AH vuông góc với BC và áp dụng bài toán 1.
Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một
nửa mặt phẳng bờ là AB, vẽ các tia Ax, By
cùng vuông góc với AB. Vẽ tam giác CDE
vuông cân tại C, trong đó C thuộc đoạn AB, D
thuộc tia Ax, E thuộc tia By.
CMR: AD + BE có giá trị không đổi khi C, D,
E thay đổi.
( Áp dụng bài toán 1 ta được AD + BE = AB)

Bài toán 4: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các
tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE.
CMR: Đường thẳng qua A và vuông góc BC đi
qua trung điểm của DE.
( Vẽ DP và EQ cùng vuông góc với AH và áp
dụng bài toán 1)
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Lấy M, N, P thứ tự thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho tam giác MNP
vuông cân tại M. Chứng minh rằng tổng 2AM + AN không phụ thuộc vào vị
trí của M, N, P.

Q

P

M

A

B

C

H

D

E

N

M

E

D

H

C

B

A

H

P

N

M

C

B

A

E

D

C

y

x

B

A
HD: Vẽ PH vuông góc với AB và áp dụng bài toán 1
Với các bài tập trên thì bài toán 1 là chìa khóa để giải những bài còn
lại. Tuy nhiên không phải lúc nào HS cũng được giải quyết các bài toán
được sắp xếp một cách thuận lợi như vậy. Chẳng hạn HS cần phải làm bài
toán 2 khi chưa một lần làm bài toán 1. Để giúp HS giải quyết được những
tình huống như thế GV cần rèn luyện cho HS một số kĩ năng cần thiết trong
việc phân tích bài toán để tìm lời giải. Muốn vậy, khi dạy HS giải các bài
toán hình học GV nên đi theo trình tự sau:
a) Tìm hiểu nội dung bài toán
b) Thực hiện lời giải
c) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Ví dụ 1: Tổ chức cho HS giải bài toán 2:
Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các
tam giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại C. Gọi M, N thứ tự là
hình chiếu của D, E trên BC. CMR: DM + EN = BC
a. Tìm hiểu nội dung bài toán
- Đọc kĩ đề, vẽ hình, xác định GT, KL:
( GV cho HS nhìn vào hình vẽ

và diễn đạt nội dung bài toán
theo cách hiểu của HS cho đến
khi các em thực sự hiểu rõ nội
dung bài toán ).
- Phân tích GT, KL để tìm
hướng giải quyết:
+ Bài toán yêu cầu gì ? Chứng
minh: DM + EN = BC (1)
+ Em có biết bài toán nào gần giống với bài toán đang xét hay không ?
Nếu HS nào đó rất quen với bài toán 1 (nêu ở trên) thì sẽ nhìn ra cách giải
quyết bài toán 2 (bằng cách vẽ AH vuông góc với BC). Trường hợp HS
không có được liên hệ gì về bài toán 1 thì GV nên định hướng HS chuyển
bài toán về chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau (rất quen thuộc với HS lớp
7).
+ Em có thể diễn đạt kết luận của bài toán dạng khác được không ?
Cho HS nhìn kết luận của bài toán theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, ta
có thể hiểu kết luận (1) như sau:
• CMR: Tồn tại điểm H thuộc cạnh BC sao cho HB = DM và HC = EN.
• CMR: HB = DM
⇔
HC = EN (với H thuộc cạnh BC)

N

M

E

D

C

B

A
+ Giả thiết của bài toán cho biết gì ?
GV cho HS kiểm tra lại GT xem đã giúp chúng ta giải quyết được bài toán
theo hướng đã phân tích ở trên hay chưa ?
b. Thực hiện chương trình giải:
Lấy H thuộc cạnh BC sao cho
HB = DM (1)
Xét ∆ABH và ∆BDM có:
BH = DM (theo (1))
BA = DB (gt)
·
·
ABH BDM=
(cùng phụ với
·
MBD
)
⇒
∆ABH = ∆BDM (cgc)
⇒
µ
µ
µ
0 0
1 2
H M 90 H 90= = ⇒ =

(2)
Từ (2) suy ra ∆ACH = ∆CEN (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒
HC = EN
Do đó BC = BH + CH = DM + EN (đpcm)
c. Kiểm tra nghiên cứu lời giải
- Cho HS kiểm tra lại lời giải.
- Tìm các cách giải khác: Từ cách làm trên ta nhận thấy điểm phụ H là hình
chiếu của A trên BC nên ta có thể giải theo cách khác đó là vẽ AH vuông
góc với BC. Ngoài ra chúng ta có thể tiếp cận bài toán theo hướng khác là
thay thế tổng DM + EN bằng một đoạn thẳng XY nào đó rồi chứng minh
XY = BC.
- Cách giải trên có thể áp dụng giải các bài toán chứng minh đẳng thức dạng
a + b = c.
Ví dụ: 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy M, N, P thứ tự thuộc các
cạnh AB, AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M. Chứng minh
rằng AM + AN = BM.
2) Cho hình vuông ABCD. Lấy M, N thứ tự thuộc các cạnh BC và CD
sao cho góc MAN bằng 45
0
. CMR: MN = BM + DN.
Ví dụ 2: Tổ chức cho HS lớp 8 giải bài toán sau:
“ Cho tam giác ABC có góc A bằng 120
0
và AD là phân giác trong của góc
A. Chứng minh rằng:
1 1 1
AB AC AD
+ =
”.

a) Tìm hiểu nội dung bài toán:

2

1

A

B

C

H

D

E

M

N

D

C

B

A
- Yêu cầu HS vẽ hình, xác định GT, KL của bài toán

- Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì ? (c/m:
1 1 1
AB AC AD
+ =
)
- Em có thể viết đẳng thức
1 1 1
AB AC AD
+ =
về dạng khác không ?
GV: Để sử dụng được định lí Ta-lét (hoặc tam giác đồng dạng) ta nên
chuyển về chứng minh đẳng thức liên quan tới tỉ số của hai đoạn thẳng,
chẳng hạn ta sẽ chứng minh
AD AD
1
AB AC
+ =
; hoặc đi chứng minh
a b c
AB AC AD
+ =
với các đoạn thẳng a, b, c bằng nhau mà ta cần tìm.
- Trong hình học, để tính các tổng dạng
AD AD
AB AC
+
(hoặc
a b
AB AC
+

) ta
thường làm thế nào ?
GV: Ta cần chuyển các tổng trên về dạng cùng mẫu
a b
;
AB AC
x z
y y
= =
nhờ
vào định lí Ta-lét hoặc tam giác đồng dạng (lưu ý trong hình học rất hạn chế
việc quy đồng mẫu bằng cách nhân chéo).
- Theo định hướng trên ta cần vẽ thêm đường phụ như thế nào ?
(Vẽ thêm đường song song nếu dung định lí Ta-lét hoặc vẽ tam giác đồng
dạng nếu dùng tam giác đồng dạng).
- Giả thiết bài toán cho biết gì ?

E

D

C

B

A
- Với giả thiết
· ·
0
BAD CAD 60= =

thì vẽ DE // AB ta được tam giác ADE
đều. Sử dụng định lí Ta-lét, kết hợp với AD = AE = DE ta sẽ có được lời
giải.
b) Thực hiện chương trình giải:
- Vẽ DE // AB
- Chứng minh được AD = AE = DE
- Áp dụng định lí Ta-lét cho DE // AB ta được:
DE CD AE BD
;
AB CB AC BC
= =
DE AE CD BD
1
AB AC CB BC
⇒ + = + =

⇒
AD AD
1
AB AC
+ =
⇒
1 1 1
AB AC AD
+ =
Nếu sử dụng kiến thức về tam giác đồng dạng thì GV định hướng cho HS
giải theo cách sau:
Cách 2:
- Vẽ góc DCE bằng 60
0

⇒
∆CDE
”
∆ADB (g.g)
AD CD
AB CE
⇒ =
- Từ ∆CDE
”
∆ADB
⇒
∆BDE
”
∆ADC(c.g.c)
AD BD
AC BE
⇒ =
và
·
·
0
DBE DAC 60= =
- ∆BCE là tam giác đều nên CE = BE = BC
AD AD CD BD
1
AB AC BC BC
⇒ + = + =
c) Kiểm tra nghiên cứu lời giải:
- Trong 2 cách giải trên thì cách 1 ngắn gọn và hợp lí hơn. Tuy nhiên cách 2

cũng có tác dụng khi cung cấp cho HS một số kĩ năng vận dụng tam giác
đồng dạng vào giải toán.
- Nếu thay góc A bằng 90
0
; bằng 60
0
thì ta được các bài toán sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90
0
và AD là phân giác trong của
góc A. Chứng minh rằng:
1 1 2
AB AC AD
+ =
.
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60
0
và AD là phân giác trong của
góc A. Chứng minh rằng:
1 1 3
AB AC AD
+ =
.
(việc giải 2 bài toán trên hoàn toàn tương tự)
Tổng quát: Nếu AD là phân giác của tam giác ABC thì
A
2cos
1 1
2
AB AC AD

+ =
- Áp dụng kinh nghiệm tìm lời giải (như ở ví dụ 2) HS làm được các bài sau:

E

D

C

B

A
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = m. Một đường thẳng đi qua trọng
tâm G của tam giác cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
Chứng minh rằng:
1 1 3
AM AN m
+ =
.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam
giác cắt tia BC và các cạnh AC, AB lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
1 1 1
GM GN GP
+ =
.
 Một số lưu ý đối với GV:
- Không nên nhầm giữa dạy HS giải bài tập với việc chữa bài tập.
Chữa bài tập mới chỉ cung cấp cho HS lời giải đúng chứ chưa hướng dẫn HS
tìm lời giải đó.

- Không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến thời gian
cho bài tập trọng tâm, rồi lựa chọn bài có cách giải tương tự để HS tự luyện
tập.
- Để hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán được tốt thì trước hết GV phải đóng
vai trò người học, tự mình tìm ra các cách giải. Trên cơ sở đó, GV phân bậc
hoạt động phù hợp với đối tượng HS cụ thể của mình, dự kiến các câu hỏi
dẫn dắt, gợi mở, sao cho thông qua hoạt động HS không những tìm được lời
giải bài toán mà còn học được cả tri thức về phương pháp giải toán.
III. BÀI TẬP:
1. Bạn hãy chỉ ra các khái niệm hình học nào trong chương trình THCS
có thể dạy theo con đường qui nạp, con đường suy diễn ?
2. Bạn hãy chỉ ra những định lí nào có thể dạy theo con đường suy diễn,
những định lí nào có thể dạy theo con đường có khâu suy đoán ?
3. Tổ chức cho HS tìm lời giải các bài toán sau:
Bài 2 (Lớp 7): Cho hình vuông ABCD. M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD
sao cho góc MAN bằng 45
0
. Chứng minh MN = BM + CN.
Bài 1 (Lớp 8): Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: BH. BE + CH. CF = BC
2
.
Bài 3 (Lớp 8): Cho hình thang ABCD có
µ
µ
0
1
A B 90 ,AD = BC
2
= =

. Gọi H là
trung điểm của BC, K là hình chiếu của H trên AC. Chứng minh BK vuông
góc với DK.
Bài 4 (Lớp 9): Cho hình vuông ABCD. M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD
sao cho góc MAN bằng 45
0
. Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường
tròn cố định.
Bài 5 (Lớp 9): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). D là một điểm
di động trên cung BC (cung BC không chứa A). Gọi M, N lần lượt là hình
chiếu của D trên AB, AC. Xác định vị trí của D để MN lớn nhất.
Trong các bài toán trên GV vừa hướng dẫn cho HS tìm lời giải vừa
đưa ra các bài tập tương tự để HS luyện tập.
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG THƯỜNG XUYÊN NỘI DUNG 2
TRAO ĐỔI VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HÌNH HỌC
Ở TRƯỜNG THCS
( ĐẶNG HẢI GIANG – THCS thị trấn Cẩm Xuyên)
A. Giới thiệu đôi nét về chương trình Hình học THCS:
1. Hình học ở THCS tiếp nối Chương trình Hình học ở tiểu học, nhưng có
dự chuyển từ quan sát, thực nghiệm sang giai đoạn tiếp thu kiến thức bằng
suy diễn.
2. Hình học ở trường THCS được xây dựng theo lối quy nạp, cung cấp các
biểu tượng ban đầu, cần thiết để hiểu thấu một số khái niệm mở đầu hình
học phẳng, tiến tới suy diễn ở các lớp tiếp theo. Hình học ở trường THCS
giảm nhẹ chứng minh (đặc biệt ở các lớp 6, 7) và tăng dần yêu cầu suy luận
chứng minh từ lớp 7 đến lớp 9.
3. Hình học ở THCS cung cấp cho HS những kiến thức mở đầu về hình học
phẳng, quan hệ bằng nhau và quan hệ đồng dạng giữa hai hình phẳng, một
số kiến thức về lượng giác, một số vật thể không gian. Những hiểu biết ban
đầu về một số phương pháp toán học: dự đoán và chứng minh, quy nạp và

suy diễn, phân tích tổng hợp, …
B. Các hoạt động dạy học chủ yếu mà giáo viên thường gặp khi dạy môn
Hình học ở THCS:
I. Dạy học khái niệm Hình học:
Trong môn Toán nói chung và Hình học nói riêng, việc dạy học các khái
niệm Toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Việc hình thành một hệ
thống các khái nệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán, là tiền
đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời
có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện
thứng cho HS.
1. Yêu cầu của việc dạy học khái niệm:
- Hiểu được các tính chất đặc trưng của khái niệm đó.
- Biết nhận dạng khái niệm, đồng thời biết thể hiện khái niệm.
- Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt
động giải toán cũng như trong ứng dụng thực tiễn.
- Hiểu được mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong
một hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Tuy nhiên, trên thực tế
dạy học không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với
từng loại khái niệm. Chẳng hạn khái niệm “ Hình bình hành ” được định
nghĩa một cách tường minh: “ Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối
song song ”. Nhưng có một số khái niệm chỉ được mô tả bằng trực quan dựa
vào kinh nghiệm của HS như ( Điểm ; Đường thẳng ; Mặt phẳng …).
2. Các con đường hình thành khái niệm:
a) Con đường quy nạp
Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình,
hình vẽ, thí dụ cụ thể, ) giáo viên dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tượng
hóa và khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở
những trường hợp cụ thể, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm.

Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể,
trong đó dấu hiệu đặc cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn những
thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như
sau:
- Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại của
một loạt đối tượng nào đó.
- Giáo viên dẫn dẫn học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc
điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.
- Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng
cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm
Con đường này nên thực hiện khi trình độ nhận thức của học sinh còn thấp,
vốn kiến thức còn chưa nhiều và thường được sử dụng trong điều kiện: chưa
phát hiện được một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đường suy
diễn ; đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm
cần hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
Ví dụ minh họa:
VD1: Để hình thành khái niệm “ Tứ giác ” theo con đường quy nạp, ta có
thể làm như sau:
Hoạt động 1: Cho HS quan sát các hình vẽ sau:

1d)

1c)

1b)

1a)

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

Hoạt động 2: GV cho HS rút ra những đặc điểm giống nhau ( mỗi hình đều
có 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA) và khác nhau ( các đoạn thẳng ở các hình
1a, 1b, 1c không cùng nằm trên một đường thẳng; hình 1d có hai đoạn BC,
CD cùng nằm trên một đường thẳng ). Từ đó GV giới thiệu mỗi hình 1a, 1b,
1c cho ta một tứ giác và yêu cầu HS nêu định nghĩa về tứ giác.
VD2: Để hình thành khái niệm “ Tam giác cân ” theo con đường quy nạp ta
có thể làm như sau:
Hoạt động 1: Cho HS quan sát các hình vẽ sau:

b)

c)

a)

9, 5

7

4, 5

4

2

4

4

3

5

5

Q

K

H

N

P

M

C

B

A
Hoạt động 2: GV tổ chức cho HS rút ra những đặc điểm giống nhau và khác
nhau rồi giới thiệu các tam giác ở hình a) và hình b) là tam giác cân và cho
HS nêu định nghĩa tam giác cân.
Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác dụng
phát triển những năng lực trí tuện như trừu tượng hóa, khái quá hóa, so sánh
thuận lợi cho hoạt động tích cực của học sinh. Vì thế cần chú trọng khai thác
con đường này trong dạy học Toán ở trường THCS. Tuy nhiên, con đường
này đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian và cần có các điều kiện đã nói trên.

b) Con đường suy diễn
Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm
mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như
sau:
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm
đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.

H

G

F

E

D

C

B

A
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa
nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn
chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
- Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa
Con đường này nên thực hiện khi: Trình độ nhận thức của học sinh đã khá
hơn, vốn kiến thức đã nhiều lên và được sử dụng khi đã phát hiện ra một
khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.

Ví dụ:
+ Hình bình hành có thể được định nghĩa thông qua khái niệm của hình
thang như sau: “ Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song”.
+ Tương tự: “ Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông”.
Việc hình thành khái niệm mới bằng con đường suy diễn ( có minh họa
sự tồn tại của khái niệm thông qua ví dụ ) tiềm tàng khả năng phát huy tính
chủ động sáng tạo của HS trong học tập môn Toán, tiết kiệm thời gian. Tuy
nhiên con đường này hạn chế phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích,
tổng hợp, so sánh, …
c) Trình tự dạy học khái niệm Hình học ở THCS:
Việc dạy học khái niệm Hình học ở THCS thường bao gồm các hoạt động
sau:
- Hoạt động 1: Tiếp cận khái niệm
- Hoạt động 2: Hình thành khái niệm
- Hoạt động 3: Củng cố khái niệm
- Hoạt động 4: Vận dụng khái niệm
Ví dụ 1: Dạy khái niệm đoạn thẳng tỉ lệ:
- HĐ 1: Tiếp cận khái niệm:
+ GV cho HS làm bài tập sau: Cho các đoạn thẳng AB, CD, EF, GH (hình
vẽ). So sánh các tỉ số
AB
CD
và
EF
GH
?
+ GV gợi ý cho HS chọn một đoạn nhỏ làm đơn vị để tính từng tỉ số rồi so
sánh.
- HĐ 2: Hình thành khái niệm:
+ Từ bài tập trên GV giới thiệu: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn

thẳng EF và GH.
+ GV nêu câu hỏi: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/
và C
/
D
/
khi có điều kiện nào ?
+ GV chốt lại vấn đề bằng cách nêu định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ
lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/
và C
/
D
/
nếu có tỉ lệ thức:
/ /
/ /
AB A B
CD C D
=
hay
/ / / /
AB CD
A B C D
=

.
- HĐ 3: Củng cố khái niệm:
+ HĐ 3.1: Cho HS nhắc lại khái niệm đoạn thẳng tỉ lệ.
+ HĐ 3.2: Hai đoạn thẳng a và b có tỉ lệ với hai đoạn thẳng c và d hay không
nếu a = 1cm; b = 2cm; c = 3cm; d = 5,5 cm (phản ví dụ).
+ HĐ 3.3: Cho các đoạn thẳng AB = 2cm; CD = 4cm; EF = 5cm; MN =
6cm; PQ = 3cm. Hãy chỉ ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
( AB và CD tỉ lệ với PQ và MN; AB và PQ tỉ lệ với CD và MN )
- HĐ 4: Vận dụng khái niệm:
GV có thể cho HS làm bài toán sau:
“Cho tam giác ABC có M, N thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng
minh rằng các cặp đoạn thẳng: AM và AB; AN và AC; MN và BC tỉ lệ với
nhau”.
Ví dụ 2: Dạy học khái niệm tam giác đồng dạng:
- HĐ 1: Tiếp cận khái niệm:
+ HĐTP 1: Hình đồng dạng
GV treo các bức tranh có hình dạng giống nhau nhưng kích thước khác nhau
rồi cho HS nhận xét, mỗi em một ý kiến.
+ GV chốt lại: Trong thực tế ta thường gặp những hình có hình dạng giống
nhau nhưng kích thước có thể khác nhau. Những cặp hình như thế gọi là
những hình đồng dạng.
+ HĐTP 2: Cho hai tam giác ABC và A
/
B
/
C
/
(hình vẽ)

2, 5

3

2

6

5

4

C

/

B

/

A

/

C

B

A
• GV cho HS nêu nhận xét về hai tam giác trong hình vẽ.
• Cho HS viết các cặp góc bằng nhau và so sánh các tỉ số:

/ / / / / /
A B B C C A
; ;
AB BC CA
.
- HĐ 2: Hình thành khái niệm:
+ GV giới thiệu hai tam giác ở ví dụ trên đồng dạng với nhau và yêu cầu HS
phát biểu định nghĩa.
- HĐ 3: Củng cố khái niệm:
+ Cho HS diễn đạt nội dung của định nghĩa theo các cách khác nhau, chẳng
hạn: “ Hai tam giác đồng dạng với nhau nếu các góc tương ứng bằng nhau
và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau”.
+ Cho HS làm các bài tập để củng cố:
Bài 1: Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? mệnh đề nào sai?
c) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.