so phuc thay thành

Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
Dạng 1 : Tập hợp điểm
câu 1:Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho
2 3z i
u
z i
+ +
=
−
là một số thuần ảo.
Giải: Đặt z= x+ yi (x, y
R∈
), khi đó:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2
2 3 1
2 3
1
1
2 2 3 2 2 1

1
x y i x y i
x y i
u
x y i
x y
x y x y x y i
x y
   
+ + + − −
+ + +
   
= =
+ −
+ −
+ + + − + − +
=
+ −
u là số thuần ảo khi và chỉ khi
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2 2 3 0
1 1 5
1 0
; 0;1

x y x y
x y
x y
x y


+ + + − =
+ + + =
 
⇔
 
+ − >
≠




Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính
5
trừ điểm (0;1).
Câu2:Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 3
1 2 3 4 1
4
2 3 4 1 3 1 0
z i
x y i x y i

z i
x y x y x y
+ −
= ⇔ + + − = − − −
− +
⇔ + + − = − + − ⇔ − − =
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình
3x-y-1=0.
Câu 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:\
a)
3
z
z i
=
−
b)
3 4z z i= − +
c)
4z i z i− + + =
Giải:
a) Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
)
Ta có:
( )
2
2
2 2 2 2
9 9
3 9 1

8 64
z z i x y x y x y
 
 
= − ⇔ + = + − ⇔ + − =
 ÷
 
 
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I
9
0;
8
 
 ÷
 
bán kính
3
8
R =
b) Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
)
Ta có
( ) ( )
2 2
2 2
3 4 3 4z z i x y x y= − + ⇔ + = − + −
6 8 25x y⇔ + =
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x+ 8y= 25
c) Đặt z=x+yi (x,y
R∈
)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
4 1 1 4
1 4
1 16 8 1 1
1 16
1 16
4 4 8 4 8 16
2 1 4

4
z i z i x y x y
x y
x y x y x y
x y
x y
x y y y y
x y y
y
− + + = ⇔ + − + + + =

+ − ≤

⇔


+ − = − + + + + +


+ + ≤

+ + ≤ 
 
⇔ ⇔ + + + = + +
 
+ + = +
 
≥ −




( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
1 16 1
1 2
3 4
4 3
x y
x y
y

+ + ≤


⇔ + =



≥ −

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và elip (2) và tung độ các điểm nằm trên elip luôn thỏa mãn điều
kiện
4y ≥ −
. Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình
2 2
1

3 4
x y
+ =
câu 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
( )
w 1 3 2i z= + +
biết rằng số phức z thỏa mãn
1 2z − ≤
Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b
R∈
), w= x+ yi (x, y
R∈
)
Ta có

( ) ( )
( )
( )
w 1 3 2 1 3 2
3 1 3
3 2
3 3 1
3
i z x yi i a bi
x a b
x a b
y a b
y a b
= + + ⇔ + = + + +



− = − +
= − +
 
⇔ ⇔
 
− = − +
= +




Từ đó
( )
( )
( )
2
2 2
2
3 3 4 1 16x y a b
 
− + − ≤ − + ≤
 
do (1)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn
( )
( )
2
2

3 3 16x y− + − ≤
có tâm I
( )
3; 3
bán kính R=4.
Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
3 4 2z i− − =
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
)
( ) ( )
3 4 3 4z i x y i⇒ − + = − + +
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
Từ
( )
3 4 2z i− − =
ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 4 2 3 4 4x y x y− + + = ⇔ − + + =
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R=2.
Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
( )
1z i i z− = +
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
R∈

)
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1
1
z i i z x y i x y x y i
x y x y x y
− = + ⇔ + − = − + +
⇔ + − = − + +
( )
2
2 2 2
2 1 0 1 2x y xy x y⇔ + + − = ⇔ + + =
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình
( )
2
2
1 2x y+ + =
Dạng 2. Tính mô đun của số phức
Câu 1:: Giả sử z
1
; z
2
là hai số phức thỏa mãn
6 2 3z i iz− = +
và
1 2

1
3
z z− =
Tính mô đun
1 2
z z+
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
6 2 3 6 6 1 2 3 3
1 1
6 6 1 2 3 3
9 3
z i iz x y i y xi
x y y x x y z
⇒ − = + ⇔ + − = − +
⇔ + − = − + ⇔ + = ⇔ =
Suy ra
1 2
1
3
z z= =
Ta lại có:
( )
( ) ( ) ( )

2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
1 2
9 9
z z z z z z z z z z z z z z z z= − = − − = − − + = − +
Suy ra
1 2 2 1
1
9
z z z z+ =
Khi đó:
( )
( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1
3
z z z z z z z z z z z z+ = + + = − + + =
1 2
1
3
z z⇒ + =
Chú ý: có thể đặt z
1
; z
2
dạng đại số để tính.
Câu 2: Gọi z
1
và z

2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 10 0z z+ + =
Tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
A z z= +
Giải:
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 10 0 1 9 1 3
1 3
1 3
z z z z i
z i
z i
+ + = ⇔ + = − ⇔ + =
= − +

⇔

= − −

( )
2

2
1 1
2 2
1 3 1 3 10
1 3 10
z i z
z i z
= − + ⇒ = − + =
= − − ⇒ =
Vậy
2 2
1 2
20A z z= + =
Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn
2
6 13 0z z− + =
Tính
6
z
z i
+
+
Giải:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
6 13 0 3 4 3 2
3 2
3 2
z z z z i

z i
z i
− + = ⇔ − = − ⇔ − =
= +

⇔

= −

Với
3 2z i
= +
ta có
6 6
3 2 4 17
3 3
z i i
z i i
+ = + + = + =
+ +
Với
3 2z i
= −
ta có
6 6 1
3 2 24 7 5
3 5
z i i
z i i
+ = − + = − =

+ −
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn
( )
3
1 3
1
i
z
i
−
=
−
Tìm Mô dun của số phức
z iz+
Giải:
Ta có
( )
3
1 3 8− = −

Do đó
8
4 4
1
z i
i
= − = − −
−
Suy ra
4 4z i

= − +
( )
4 4 4 4 8 8z iz i i i i⇒ + = − − + − + = − −
Vậy
8 2z iz+ =
Câu 5: Tính mô đun của số phức z biết rằng:
( ) ( )
( )
( )
2 1 1 1 1 2 2z i z i i− + + + − = −
Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b
R∈
)
Ta có
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 1 1 1 2 2
2 1 2 1 1 1 2 2
2 2 1 2 2 1 1 1 2 2
1
3 3 2
3
3 3 2 2 2

2 2 1
3
z i z i i
a bi i a bi i i
a b a b i a b a b i i
a
a b
a b a b i i
a b
b
− + + + − = −
   
⇔ − + + + + − − = −
   
⇔ − − + + − + − + − + + = −

=

− =


⇔ − + + − = − ⇔ ⇔
 
+ − = −


= −


Suy ra mô đun:

2 2
2
3
z a b= + =
Câu 6:: Cho hai số phức z
1
; z
2
thỏa mãn điều kiện:
1 1
2 2
2 2 1
2 3 1
z i iz
z i iz

− = +


− = +


Tính
1 2
P z z= +
biết
1 2
1z z− =
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y

R∈
)
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2
2 2 1 2 2 1 2 2
2
z i iz x y y x x y
z z
− = + ⇔ + − = − + ⇔ + =
⇒ = =
Đặt
( )
2 2 2 2
1 2
; , , , 2; 2z a bi z c di a b c d R a b c d= + = + ∈ ⇔ + = + =
Từ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 2
2 2
2 2 2 2 2
1 2
1 1 2 3
2 7
z z a c b d ac bd
P z z P a c b d a b c d ac bd
− = ⇔ − + − = ⇔ + =

= + ⇒ = + + + = + + + + + =
Vậy
7P =
Câu 7:: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
1
2 1
1
i z
i
+
+ =
−
Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn
nhất.
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
) thì
( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2
1
2 1 2 1
1
2 1 1 4 3
4 3

i z
y xi
i
x y x y y
z x y y
+
+ = ⇔ − + =
−
⇔ + − = ⇔ + = −
⇔ = + = −
Từ (1) ta có:
( )
2
2 1 1 3 1 4 3 9y y y− ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤
Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
Câu 8: Biết rằng số phức z thỏa mãn
( )
( )
3 1 3u z i z i= + − + +
là một số thực.Tìm giá trị nhỏ nhất của
z
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2

3 1 1 3
4 4 6 2 4
u x y i x y i
x y x y x y i
   
= + + − + − −
   
= + + − + + − − −
Ta có:
4 0u R x y∈ ⇔ − − =
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun
của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất
OM d
⇔ ⊥
Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.
Câu 9: Biết rằng số phức z thỏa mãn
2
2
1
z i
z i
+ −
=
+ −
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
z
Giải:
Gọi z= x+ yi (x,y
R∈
) ta có

( ) ( )
2
2 2 1 2 1 1
1
z i
x y i x y i
z i
+ −
= ⇔ + + − = + − +
+ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 1 2 1 1 3 10x y x y x y
 
+ + − = + + + ⇔ + + =
 
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính
10R =
M là điểm biểu diễn của z thì
z
nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất,
z
lớn nhất khi và chỉ khi OM
lớn nhất.
Tìm được Min
3 10z = − +
khi
( )
3 10z i= − +

và Max
3 10z = +
khi
( )
3 10z i= − +
câu 10: Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn
3
3
8
9z
z
+ ≤
thì
2
3z
z
+ ≤
Giải:
Đặt
( )
2
0a z a
z
= + ≥
Ta có:

3
3
3
3

3 3
3
2 8 2
6
2 8 2
6 9 6
z z z
z z z
a z z z a
z z z
   
+ = + + +
 ÷  ÷
   
⇒ = + ≤ + + + ≤ +
Ta được
( )
( )
3 2
6 9 0 3 3 3 0a a a a a− − ≤ ⇔ − + + ≤
vì
2
3 3a a+ +
>0 nên
2
3a z
z
= + ≤
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522

Dạng 3. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước
Câu 1 : Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện:
1 2 3 4z i z i+ − = + +
và
2z i
z i
−
+
là một số thuần ảo.
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
)
Theo bài ra ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 4
1 2 3 4 5
x y i x y i
x y x y y x
+ + − = + + −
⇔ + + − = + + − ⇔ = +
Số phức
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2

2
2 2 1 2 3
2
w
1
1
x y i x y y x y i
z i
x y i
z i
x y
+ − − − − + −
−
= = =
+ −
+
+ −
w là một số ảo khi và chỉ khi
( ) ( )
( )
2
2
2
12
2 1 0
7
1 0
23
5
7

x y y
x
x y
y
y x

− − − =

= −


 
+ − > ⇔
 
 
=
= +




Vậy
12 23
7 7
z i= − +
Câu 2: Tìm tất cả các số phức z biết
2
2
z z z= +
Giải:

Gọi z= a+ bi (a,b
R∈
) ta có:
( )
( )
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
0
2
1 1
;
2 2
2 1 0
2
1 1
;
2 2
z z z a bi a b a bi
a b abi a b a bi
a b
a b
a b a b a
a b
b a
ab b

a b
+ + ⇔ + = + + −
⇔ − + = + + −


= =


= −

− = + +


⇔ ⇔ ⇔ = − =
 

+ =
= −




−

= − =

Vậy z=0;
1 1 1 1
;
2 2 2 2

z i z i= − + = − −
Câu 3: Tìm số phức z biết
( )
2 3 1 9z i z i− + = −
Giải:
Gọi z= a+ bi (a,b
R∈
) ta có:
( ) ( ) ( )
2 3 1 9 2 3 1 9z i z i a bi i a bi i− + = − ⇔ + − + − = −
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522

( )
3 1 2
3 3 3 1 9
3 3 9 1
a b a
a b a b i i
a b b
− − = =
 
⇔ − − − − = − ⇔ ⇔
 
− = = −
 
Vậy z= 2-i
Câu 4: Tìm phần ảo của số phức z biết
( ) ( )
2

2 1 2z i i= + −
Giải:

( ) ( )
1 2 2 1 2 5 2z i i i= + − = +
Suy ra
5 2z i= −
Phần ảo của số phức
2z = −
Câu 5: Tìm số phức z thỏa mãn
2z =
và z
2
là số thuần ảo.
Giải:
Gọi z= a+ bi (a,b
R∈
) Ta có
2 2
z a b= +
và
2 2 2
2z a b abi= − +
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 2 2
2 2 2
2 1 1
1
0 1
a b a a

b
a b b
 
+ = = = ±

 
⇔ ⇔
  
= ±
− = =
 

 
Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
Câu 6: TÌm số phức z biết
5 3
1 0
i
z
z
+
− − =
Giải:
Gọi z= a+ bi (a,b
R∈
) và
2 2
0a b+ ≠
ta có
( )

( )
2 2
2 2
2 2
2
5 3 5 3
1 0 1 0 5 3 0
5 0
5 3 0
3 0
2 0
1; 3
3
2 2; 3
i i
z a bi a b i a bi
z a bi
a b a
a b a b i
b
a a
a b
b
a b
+ +
− − = ⇔ − − − = ⇔ + − − − − =
+

+ − − =


⇔ + − − − + = ⇔

+ =




− − =
= − = −

⇔ ⇔


= −
= = = −




Vậy
1 3z i= − −
hoặc
2 3z i= +
Câu 7: Tìm số phức z thỏa mãn
2z i− =
và
( )
( )
1z z i− +
là số thực

Giải:
Giả sử z= x+ yi (x,y
R∈
)
Khi đó:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
z i x y
z z i x yi x y i x x y y x y i
− = ⇔ + − =
− + = − + − − = − + − + + −
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
( )
( )
( )
1 1 0 2z z i R x y− + ∈ ⇔ + − =
Từ (1) và (2) ta có x=1; y=0 hoặc x=-1; y=2
Vậy z=1; z=-1+ 2i
Câu 8: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau:
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20

1 1 1 1 1i i i i+ + + + + + + + +
Giải:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
21
2 20
20
21 2 10
10
10
10 10
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 1 2 1
2 1 1
2 2 1
i
P i i i
i
i i i i i i
i
P i
i
+ −
= + + + + + + + =
 
+ = + + = + = − +

 
− + −
⇒ = = − + +
Vậy phần thực là
10
2−
và phần ảo là
10
2 1+
Câu 9 : tìm phần thực và phần ảo của số phức
Z =
9896
100
)1()1(
)1(
iii
i
+−−
+
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
Dạng 4. Giải phương trình trong tập hợp số phức
Câu 1: Giải phương trình
( ) ( )
3 2
3 2 16 2 0z i z i z i− − − − + − =
biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực.
Giải:
Gọi nghiệm thực là z
0

ta có:
( ) ( )
3 2
0 0 0
3 2
0 0 0
0
2
0
3 2 16 2 0
3 2 16 0
2
2 0
o
z i z i z i
z z z
z
z z
− − − − + − =

− − + =

⇔ ⇔ = −

+ − =


Khi đó ta có phương trình
( ) ( )
( )

2
2 5 8 0z z i z i+ − − + − =
Tìm được các nghiệm của phương trình là z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i
Câu 2: Giải phương trình
( ) ( )
3 2
2 3 3 1 2 9 0z i z i z i− − + − + =
biết rằng phương trình có một nghiệm
thuần ảo.
Giải:
Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b
R∈
Thay vào phương trình ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2
2 3 2
3 2
2 3 3 1 2 9 0
2 6 0
2 6 3 3 9 0 3
3 3 9 0
3
bi i bi i bi i
b b
b b b b b i b
b b b
z i
− − + − + =


+ =

⇔ + + − − + + = ⇔ ⇔ = −

− − + + =


⇒ = −
2
Phương trình có thể phân tích thành
( )
( )
2
3 2 3 0z i z z+ − + =
Các nghiệm của phương trình là z= -3i;
1 2z i= ±
Câu 3: Giải phương trình trên tập hợp số phức:
4 3 2
6 6 16 0z z z z− + − − =
Giải:
Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2
Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
( )
2
2 1 8 0z z z− + + =
Giải ra ta được bốn nghiệm:
1; 2; 2 2z z z i= − = = ±
Dạng 5 . Số phức trong việc giải hệ phương trình, phương trình

Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
Câu 1: Giải hệ phương trình:
1
3 1 2
1
1 4 2
x
x y
xy
x y

 
+ =

 ÷
+

 

 

− =
 ÷

+
 

Giải:
Điều kiện x>0, y>0

Đặt
,u x v y= =
hệ phương trình trở thành
2 2
1 2
1
3
1 4 2
7 1
7
u
u v
y
x y

 
+ =

 ÷
+
 


 

− =
 ÷

+
 


Do
2 2
u v+
là bình phương modul số phức z= u+ iv nên nhân phương trình thứ hai với i rồi cộng với
phương trình thứ nhất ta được phương trình :
( )
2 2
2 4 2
1
3 7
u iv
u iv i
u v
−
+ = = +
+
Vì
2 2 2
1u iv z z
z
u v
z z
z
−
= = =
+
nên phương trình (1) được viết dưới dạng
2
1 2 4 2 2 4 2

1 0
3 7 3 7
1 2 2 2
2
3 21 7
z i z i z
z
z i
 
+ = + ⇔ − + + =
 ÷
 ÷
 
 
 
⇔ = ± + ±
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Suy ra
( )
1 2 2 2
, ; 2
3 2 1 7
u v
 
= ± ±
 ÷

 ÷
 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
( )
2
2
1 2 2 2
, ; 2
3 21 7
x y
 
 
 
 ÷
= ± ±
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
Câu 2: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
16 11
7
11 16
1
x y

x
x y
x y
y
x y

−
+ =

+


+

− = −

+

Giải :
Điều kiện
2 2
0x y+ ≠
Tài liệu ôn thi đại học GV : Phạm Quang Thành
SĐT : 01649574522
Đặt
( )
2 2
1
,
x iy

z x yi x y R
z
x y
−
= + ∈ ⇒ =
+
Từ hệ phương trình ta có
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2
16 11 16 11
7
16 11 7
16 11
7 7 16 11 0
2 3
5 2
x y x y
x iy i i
x y x y
x iy x iy
x iy i i
x y x y
i
z i z i z i
z
z i
z i
− −

+ + − = −
+ +
− −
⇔ + + − = −
+ +
−
⇔ + = − ⇔ − − + − =

= −
⇔

= +

Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) là (2, -3) và (5, 2)
Câu 3: Giải hệ phương trình
( )
3
10 1 3
5
,
3
1 1
5
x
x y
x y R
y
x y

 

+ =

 ÷
+

 
∈

 

− = −
 ÷

+
 

Giải :
Điều kiện x> 0, y> 0
Đặt
( )
5
, 0
u x
u v
v y

=

>


=


ta có hệ phương trình
2 2
2 2
3 3
1
2
3
1 1
u
u v
v
u v

 
+ =

 ÷
+

 

 

− = −
 ÷

+

 

Đặt
2 2
1 u iv
z u iv
z
u v
−
= + ⇒ =
−
Từ hệ phương trình ta có
( )
2 2 2 2
2
3 3 3
1 1
2
2 3 2 2 6 0
2 2
2
2
u iv i
u v u v
z i z
z i
z i
   
+ + − = −
 ÷  ÷

+ +
   
⇔ − − + =

= −

⇔

= +


Do u, v > 0 nên
2
; 1
2
u v= =
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là
1
;1
10
 
 ÷
 