Giai câu kho de A môn Toán Thanh Hóa nam 2013

I
d
A
P
Q
M
C
H
K
B
O
Câu 4 ( 3 điểm)
c. goi (d) là tiếp tuyến của (o) tại A. Lấy P là điểm nằm trên (d) sao cho C, P nằm cùng trên cùng nửa mp
có bờ là AB và AP.MB=MA.OB. Chứng minh đường thăng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
Giải
Gọi I là giao điểm của BP và HK. Q là giao điểm của
BM và (d)
Từ AP.MB= MA.OB
·
·
·
·
·
·
( )
AP MA
va PAM OBM
OB MB
APM OBM cgc
PMA OMB OBM PAM
⇒ = =

⇒ ∆ ∆
⇒ = = =
#
:
APM
⇒ ∆
Cân tại P
Suy ra AP = PM
Lại có
·
·
PMA PQM=
( cùng bù với góc PMA= góc ABQ)
Suy ra
PQM⇒ ∆
cân tại P
Suy ra PM=PQ = PA
Vì
/ / / / / /
HK AB
HK AQ IK APva IH PQ
QA AB
⊥

⇒ ⇒

⊥

#
Suy ra theo hệ quả của ĐL Ta lét ta có:

IK IB IH IB
va
AP BP PQ BP
IK IH
AP PQ
= =
⇒ =
#
mà AP = PQ nên IH = IK hay I là trung điểm của HK
Vậy PB đi qua trung điểm của HK
Câu 5 (1 điểm) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn
xy yz zx 3+ + ≥
Chứng minh rằng:
4 4 4
3
3 3 3 4
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
Giải
Ta có

2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
x +y +z -(xy yz zx)= (x- ) ( ) ( ) 0
2

x +y +z xy yz zx
x +y +z 3 ( ) 3(xy yz zx) 9
x +y +z 3 3
y y z z x
va x y z
va x y z
 
+ + + − + − ≥
 
⇒ ≥ + +
⇒ ≥ + + ≥ + + ≥
⇒ ≥ + + ≥
#
#
Áp dụng BDT Trebưsep ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x +y +z
( )
3 3 3 3 3 3 3
3
( )
3 3 3 3
3 3 3
x y z x y z
M x y z
y z z x x y y z z x x y
x y z

M
y z z x x y
x y z
M
y z z x x y
= + + ≥ + +
+ + + + + +
⇒ ≥ + +
+ + +
⇒ ≥ + +
+ + +
Áp dụng BDT Svacso ta có
2 2 2 2
( )
3 3 3 4( ) 4
3
( 3)
4
x y z x y z x y z
M
y z z x x y x y z
M vi x y z
+ + + +
⇒ ≥ + + ≥ =
+ + + + +
⇒ ≥ + + ≥#
Dấu = xảy ra khi
1
3
x y

y z
x y z
z x
xy yz zx
=


=

⇒ = = =

=


+ + =

Vậy
4 4 4
3
3 3 3 4
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
khi x=y=z=1