Một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ Trần Lê Nam.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN LÊ NAM
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG
KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62. 46. 10. 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2015
0
Công trình được hoàn thành tại: Đại học Vinh
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS Đoàn Thế Hiếu
2. TS Nguyễn Duy Bình
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp
tại vào hồi giờ 00 phút, ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào – Trường Đại học Vinh
2. Thư viện quốc gia Việt Nam
1
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M
n
, g) với một hàm
trơn, dương, thường được dùng là e
−f

ở đó f là một hàm trơn, được
sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều (1 ≤ k ≤ n). Trong luận án,
chúng tôi dùng các khái niệm f-thể tích, f -diện tích, f-độ dài, f -độ
cong, f-độ cong trung bình, f-trắc địa, siêu mặt f-cực tiểu, siêu mặt
f-ổn định lần lượt để chỉ thể tích, diện tích, độ dài, độ cong của đường
cong phẳng, độ cong trung bình, đường trắc địa, siêu mặt cực tiểu,
siêu mặt ổn định theo mật độ. Đây là một phạm trù mới, có nhiều ứng
dụng trong Toán học, Vật lý. Đặc biệt, không gian Gauss, tức là R
n
với mật độ
1
(2π)
n/2
e
−|x|
2
/2
, được nhiều nhà xác suất quan tâm. Do đó,
việc tìm hiểu hình học vi phân trên đa tạp với mật độ không chỉ có ý
nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.
Nhận thấy vai trò quan trọng của đa tạp với mật độ, giáo sư F.
Morgan đã đề ra một dự án "rất quan trọng" là "tổng quát hóa toàn
bộ hình học vi phân cổ điển lên đa tạp với mật độ". Trong dự án đó,
ông và các cộng sự đã đạt được nhiều kết quả về bài toán đẳng chu,
tổng quát một số định lý cổ điển của lý thuyết đường lên mặt phẳng
với mật độ. Chẳng hạn, C. Ivan và các đồng nghiệp đã mở rộng Định
lý Gauss-Bonet (xem [40]); F. Morgan đã chứng minh Định lý Myers
với mật độ (xem [50]). Họ cũng chứng minh được nghiệm của bài toán
đẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải
có f-độ cong trung bình hằng (xem [40]). Do đó, việc khảo sát tính

chất hình học của siêu mặt có f-độ cong trung bình hằng, đặc biệt các
siêu mặt f-cực tiểu là cần thiết. Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũng
chỉ ra một số kết quả về lý thuyết đường không còn đúng khi được gia
thêm mật độ. Qua đó, chúng ta thấy rằng có rất nhiều vấn đề về lý
thuyết đường trong không gian với mật độ cần được nghiên cứu như:
Định lý nào của hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳng Ơclit? Các
định lý nào có thể mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại các
đường có f-độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát các
đường f-trắc địa trên đa tạp với mật độ.
2
Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng là một lĩnh vực
nghiên cứu đang rất thời sự. Những năm gần đây, I. Corwin, C. Ivan và
các cộng sự đã cho một số ví dụ và tính chất về các mặt có f-độ cong
trung bình hằng (xem [40]). D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại
các mặt mặt kẻ trụ f-cực tiểu, mặt tịnh tiến f-cực tiểu trong không
gian với mật độ log-tuyến tính (xem [32]). D. T. Hieu đã áp dụng
phương pháp dạng cỡ cho đa tạp với mật độ vào khảo sát tính f -ổn
định của một số lớp siêu mặt đặc biệt (xem [33]). T. H. Colding, W. P.
Minicozzi II và S. J. Kleene đã đưa ra một số tính chất hình học của
mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss (xem [18], [45]),. . . Một số định
lý cổ điển của hình học vi phân về siêu mặt cực tiểu cũng được chứng
minh trong không gian với mật độ cụ thể như: Định lý Bernstein, Định
lý Liouville, bất đẳng thức Simons (xem [8], [36], [57]),. . . Các kết quả
đó cho thấy lý thuyết mặt nói chung, lý thuyết mặt cực tiểu nói riêng
biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ. Do đó, việc khảo sát
các định lý của siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với một số mật
độ quen thuộc là đáng quan tâm và cần thiết.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận
án là "Một số tính chất của đường và mặt trong không gian
với mật độ".

2 Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không
gian với mật độ theo các mục đích sau:
.
(a) Khảo sát Định lý bốn đỉnh và mở rộng Định lý Fenchel trên
các mặt phẳng với mật độ;
(b) Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng
với mật độ log-tuyến tính;
(c) Nghiên cứu các tính chất của đường f-trắc địa cực tiểu trên
đa tạp với mật độ;
(d) Chứng minh một số định lý kiểu Bernstein trên không gian
Gauss, không gian G
n
×R và trên các không gian với mật độ
tổng quát;
(e) Chứng minh định lý kiểu Bernstein cho mặt f-cực tiểu trong
không gian G
2
× R
n−2
, với n ≥ 3.
3
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ.
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
.
• Các định lý cổ điển của lý thuyết đường trên mặt phẳng với mật
độ như: Định lý bốn đỉnh, Định lý Fenchel;

• Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với
mật độ;
• Khảo sát tính chất hình học của các đường f-trắc địa cực tiểu;
• Siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với
mật độ tích;
• Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ
cụ thể.
4 Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực
hiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng 4 phương pháp chính. Đó
là phương pháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa của
các đường cong có f-độ cong hằng, các mặt f-cực tiểu; phương pháp
biến phân để xác định tham số của các đường f-trắc địa cực tiểu, xác
định các biến phân f-diện tích; phương pháp dùng dạng cỡ để chứng
minh các tính chất cực tiểu diện tích; phương pháp dùng các ước lượng
gradient, ma trận của dạng cơ bản thứ hai và dùng nguyên lý cực đại
để chứng minh các định lý kiểu Bernstein.
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Như chúng ta đã thấy, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực nghiên
cứu rất mới và hấp dẫn. Các kết quả mang tính thời sự, có nhiều ứng
dụng trong Toán học và Vật lý. Đặc biệt, các tính chất hình học của
đường và siêu mặt biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ.
Do đó, việc nghiên cứu về lý thuyết đường và lý thuyết mặt trên các
không gian với mật độ là đáng quan tâm và cần thiết. Những kết quả
4
đạt được sẽ góp phần làm phong phú thêm sự hiểu biết về hình học vi
phân của đường và mặt trong không gian với mật độ.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao
học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô.
6 Tổng quan và cấu trúc của luận án

6.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án
Trên đa tạp với mật độ (M
n
, g, e
−f
dV ), D. Barky - M. Émery, M.
Gromov (xem [3], [30]) đề xuất mở rộng độ cong trung bình và độ cong
Ricci của một siêu mặt lần lượt là
H
f
= H +
1
n −1
df
dN
,
và
Ric
f
= Ric + Hessf,
ở đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt. Các mở rộng trên đã
được kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm
hàm diện tích theo mật độ (xem [40], [47], [49], [50]). H
f
, Ric
f
lần lượt
được gọi là độ cong trung bình theo mật độ hay f-độ cong trung bình
và độ cong Ricci theo mật độ hay f-độ cong Ricci.
Khái niệm đa tạp với mật độ đã từng xuất hiện trong Toán học

với các tên gọi khác nhau như: đa tạp với trọng (weighted manifolds),
"không gian của các kiểu thuần nhất" (space of homogeneous type)
(xem [15]), "không gian mêtric-độ đo" (metric-measure space) (xem
[30]). Năm 2004, V. Bayle đã trình bày tổng quan về không gian mêtric-
độ đo và khảo sát biến phân thứ hai của phiếm hàm f-diện tích trong
luận án của ông (xem [4]). Một năm sau đó, F. Morgan đã gọi tên các
lớp đa tạp này là đa tạp với mật độ (manifolds with density) (xem
[49]). Trong bài báo đó, ông trình bày biến phân thứ nhất, thứ hai của
phiếm hàm f-diện tích, các mở rộng của ước lượng thể tích của Heintze
và Karcher, tổng quát bất đẳng thức đẳng chu của Levy và Gromov.
Ông cũng trình bày chi tiết hơn về đa tạp với mật độ, vai trò của mật
độ trong chứng minh giả thuyết Poincaré của Perelman ở cuốn sách Lý
thuyết độ đo hình học (p. 197-201, [51]).
5
Đa tạp với mật độ là một phạm trù tốt để mở rộng các bài toán về
biến phân trong hình học như: bài toán đẳng chu, siêu mặt f-cực tiểu,
f-ổn định. Sau đây là một số kết quả về bài toán đẳng chu trên đa tạp
với mật độ. Năm 1975, C. Borell đã chứng minh một bất đẳng thức
đẳng chu trong không gian Gauss. Ông đã chỉ ra miền đẳng chu trên
không gian này là nửa không gian (xem [7]). Một kết quả hết sức bất
ngờ. Tiếp theo, M. Gromov chứng minh được hình cầu tâm O là miền
đẳng chu trên không gian R
n
với mật độ e
a|x|
2
, a > 0, (xem [29]). S. G.
Bobkov và C. Houdré tìm ra nghiệm của bài toán đẳng chu trên đường
thẳng với mật độ giảm dần (xem [6]); E. A. Carlen và C. Kerce chứng
minh tính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chu trên nửa không gian

Gauss (xem [10]); C. Antonio, F. Morgan, A. Ros và B. Vincent chỉ ra
điều kiện cần cho bài toán đẳng chu tồn tại nghiệm, tính chính quy
của miền nghiệm, chứng minh rằng siêu mặt cầu là nghiệm duy nhất
của bài toán đẳng chu trong không gian R
n
với mật độ e
a|x|
2
, a > 0,
(xem [11], [48], [55]).
Đối với bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với các mật độ cụ thể,
một nhóm sinh viên của trường Williams, dưới sự hướng dẫn của giáo
sư F. Morgan, đã có một số kết quả ban đầu như: biên của miền đẳng
chu trên mặt phẳng với mật độ phải có f-độ cong hằng (xem [12], [40]),
tính chất nghiệm của bài toán bong bóng đôi trong không gian Gauss
(xem [39], [11]), các kết quả về bài toán đẳng chu trong các hình quạt
Gauss (xem [11], [26]), không tồn tại nghiệm bài toán đẳng chu trên
mặt phẳng với mật độ e
x
, tính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chu
trên mặt phẳng với mật độ r
p
, p > 0 (xem [12]).
Theo hướng mở rộng các định lý cổ điển của hình học vi phân lên
không gian và đa tạp với mật độ, nhiều kết quả đã được công bố như:
Định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [20], [40]), tính duy nhất của
đường trắc địa trên mặt phẳng với mật độ có độ cong Gauss suy rộng
âm (xem [12]), Định lý Myers trên mặt phẳng và không gian với mật
độ (xem [50]), Định lý Liouville trên không gian với mật độ (xem [8],
[36]),. . . Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi gia

thêm mật độ. Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật
độ cầu là không đúng (xem [31]).
Ngoài các hướng nghiên cứu trên, việc nghiên cứu lý thuyết về siêu
mặt f-cực tiểu, siêu mặt có f-độ cong hằng, f-độ cong Gauss hằng
6
trong không gian và đa tạp với mật độ cũng nhận được nhiều sự quan
tâm. Các tác giả C. Ivan, H. Stephanie, Ă. Vojislav và Y. Xu đã chỉ
ra một số mặt có f -độ cong trung bình hằng trong không gian Gauss,
khảo sát một số chính chất hình học của các mặt có f -độ cong trung
bình hằng (xem [40]), J. M. Espinar và H. Rosenberg đã khảo sát tính
chất hình học của các mặt đầy đủ và có f -độ cong trung bình hằng
(xem [25]), D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ
f-cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ log-tuyến tính (xem [32]).
Tính chất cực tiểu f-diện tích của các siêu mặt f-cực tiểu cũng được
một số người làm hình học quan tâm. Chẳng hạn, D. T. Hieu đã áp
dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh một số đa tạp
con là f-cực tiểu diện tích (xem [33]). Bên cạnh đó, các tính chất của
siêu mặt f-cực tiểu ổn định cũng được khảo sát bởi một số tác giả (xem
[13], [33], [47]).
Chúng ta có thể xem các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong
trung bình là các trường hợp đặc biệt của các siêu mặt f-cực tiểu
trong các không gian với mật độ. Cho M là một đa tạp Riemann khả
vi n-chiều trong không gian R
n+1
. Một phép nhúng phụ thuộc thời gian
x
t
= x(., t) : M ×[0, T ) −→ R

n+1
,
ở đó [0, T ) ⊂ R, là một nghiệm của dòng độ cong trung bình nếu
∂
∂t
x(p, t) = −H(p, t)N(p, t), p ∈ M, t ∈ [0, T ), (1)
với H(p, t), N(p, t) lần lượt là độ cong trung bình và vectơ pháp đơn
vị của siêu mặt x
t
(M) tại x
t
(p). Trong hệ tọa độ chuẩn tắc, do ∆x =
−HN nên phương trình trên có thể viết lại dạng
∂
∂t
x(p, t) = ∆x. (2)
Đây là phương trình truyền nhiệt.
Trong không gian R
n+1
, xét các nghiệm của dòng độ cong trung
bình dạng x(u, t) = λ(t)x
0
(u), ở đó λ(t) > 0. Khi đó, chúng ta có
λ

(t)x
0
=

H


λ(t), x

, N

λ(t), x

. (3)
7
Từ đó, chúng ta được
H(x
0
) = a x
0
, N(x
0
), (4)
với a = λλ

là một hằng số và λ =

λ
2
0
+ 2at.
Chúng ta xét 2 trường hợp sau:
.
(i) Nếu a < 0 thì λ → 0 khi t →
−λ
0

2a
. Ta gọi x
t
là một tự co rút
(self-shrinker).
(ii) Nếu a > 0 thì λ → ∞ khi t → ∞. Ta gọi x
t
là một tự giãn nở
(self-expander).
Mặt khác, chúng ta xét không gian R
n+1
với mật độ e
a|x|
2
/2
. Khi
đó, f-độ cong trung bình của siêu mặt xác định bởi x
t
được cho bởi
H
f
= H − a x, N. (5)
Từ các đẳng thức (4) và (5), chúng ta thấy rằng các siêu mặt f-cực
tiểu trong không gian R
n+1
với mật độ e
a|x|
2
/2
là các siêu mặt tự co

rút nếu a < 0, là các siêu mặt tự giãn nở nếu a > 0.
Hoàn toàn tương tự, các nghiệm tịnh tiến x
t
= x
0
+ at, ở đó a ∈
R
n+1
là một vectơ hằng, của dòng độ cong trung bình là các siêu mặt
f-cực tiểu trong không gian R
n+1
với mật độ log-tuyến tính e
ax
. Một
số tác giả còn mở rộng việc nghiên cứu nghiệm tịnh tiến của dòng mở
rộng với một lực tác động (with a forcing term) dạng
∂
∂t
x
t
= −(H + b).N, b ∈ R.
Khi đó, f-độ cong trung bình của x
t
trên R
n+1
với mật độ log-tuyến
tính là một hằng số (xem [19], [22], [24], [37], [53]).
Như vậy, các mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss, không gian
R
n

với mật độ e
|x|
2
/4
và không gian với mật độ log-tuyến tính là các
trường hợp đặc biệt của nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung
bình. Đây là một lĩnh vực nghiên cứu đang rất thời sự. Bên cạnh các
kết quả về tính lồi, thời gian tồn tại hữu hạn, hội tụ về điểm tròn, tính
chính qui, phân loại các các kì dị loại I của dòng độ cong trung bình
(xem [27], [28]), việc phân loại các nghiệm tuyến tính với vận tốc hằng
cũng có một số kết quả ban đầu (xem [38], [41], [42], [43]). Đối với các
8
nghiệm tự đồng dạng, N. Kapouleas, S. J. Kleene và N. M. Møller đã
xây dựng thành công một dòng tự co rút không compact (xem [44]).
S. J. Kleene và N. M. Møller đã chỉ ra rằng một tự co rút tròn xoay,
đầy đủ, nhúng trong không gian R
n
hoặc là siêu phẳng, siêu mặt cầu,
siêu mặt trụ hoặc là tích của đường tròn với một (n − 2)-cầu (xem
[45]). Một số tác giả nghiên cứu lĩnh vực này cũng đưa ra các đánh giá
về tăng trọng thể tích, ước lượng gradient, khảo sát tính ổn định và
compact của dòng độ cong trung bình (xem [14], [18], [19], [23], [46]).
K. Ecker và G. Huisken đã chứng minh được định lý kiểu Bernstein
cho các mặt tự co rút với điều kiện tăng trọng thể tích theo đa thức
(xem [23]). Sau đó, điều kiện này được bỏ đi bởi L. Wang (xem [57]).
6.2 Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần Một số ký hiệu thường dùng trong luận án, Mở
đầu, Kết luận chung và Kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trực
tiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án
được trình bày trong 3 chương.

Chương 1 được dành để giới thiệu các kiến thức cơ sở của luận án.
Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản trên đa tạp với mật độ. Mục
1.2 trình bày các định nghĩa và công thức tính độ cong trung bình của
mảnh tham số của siêu mặt trong không gian R
n
. Mục 1.3 trình bày
khái niệm và công thức tính độ cong trung bình và độ cong Ricci của
một đa tạp con định hướng được trong đa tạp Riemann. Mục 1.4 trình
bày 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng trong luận án.
Chương 2 trình bày về lý thuyết đường trên mặt phẳng và đa tạp
với mật độ. Mục 2.1 trình bày về khái niệm f-độ cong của đường cong
phẳng, biến phân thứ nhất của phiếm hàm f-độ dài. Mục 2.2 trình bày
về Định lý Gauss-Bonnet suy rộng. Mục 2.3 trình bày về định lý kiểu
Fenchel trên mặt phẳng với mật độ. Mục 2.4 trình bày về Định lý bốn
đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu. Mục 2.5 phân loại các đường cong
có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính. Mục 2.6
trình bày về đường f-trắc địa cực tiểu trong đa tạp với mật độ. Các kết
quả chính của Chương 2 là Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.7, Hệ quả 2.4.10,
Hệ quả 2.4.11, Định lý 2.5.3, và Mệnh đề 2.6.6. Các nội dung chính của
Chương 2 được trình bày trong 4 bài báo [5], [31], [34] và [52].
9
Chương 3 trình bày về lý thuyết mặt trong không gian với mật độ.
Mục 3.1 trình bày về khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứ
nhất và thứ hai của phiếm hàm f-diện tích, mối quan hệ giữa các f-độ
cong trung bình đối với các mật độ khác nhau. Mục 3.2 trình bày về
nguyên lý dạng cỡ trên đa tạp với mật độ, tính cực tiểu f-diện tích
của đồ thị của một hàm khả vi trong không gian với mật độ. Mục
3.3 trình bày về siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss. Mục 3.4
trình bày về siêu mặt f-cực tiểu trong tích của không gian Gauss với
đường thẳng R. Mục 3.5 trình bày về mặt f-cực tiểu trong không gian

với mật độ. Các kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.4.3 và Định
lý 3.4.5.3. Các nội dung chính của Chương 3 đã được trình bày trong
bài báo [35].
10
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm
và kết quả cơ bản cần sử dụng trong luận án như: đa tạp với
mật độ, đa tạp tích với mật độ tích, f-độ dài, f-diện tích, f -
thể tích, độ cong trung bình của siêu mặt trong không gian
R
n
, vectơ độ cong trung bình và độ cong Ricci của đa tạp
con trong một đa tạp Riemann. Đồng thời, chúng tôi đưa ra
4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng trong các chứng
minh ở Chương 2.
1.1 Đa tạp với mật độ
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm: đa tạp với mật
độ, f -độ dài, f-diện tích, f -thể tích, không gian Gauss, không gian với
mật độ cầu và log-tuyến tính, đa tạp tích với mật độ tích.
1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong R
n
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm: mảnh tham số
của siêu mặt chính qui, đạo hàm theo hướng của một trường vectơ, ánh
xạ Weingarten, dạng cơ bản thứ hai, độ cong chính, phương chính, độ
cong trung bình của mảnh tham số của siêu mặt trong không gian R
n
.
Các công thức tính độ cong trung bình trong hệ tọa độ địa phương, độ
cong trung bình của đồ thị của một hàm trơn.

1.3 Độ cong trung bình và độ cong Ricci trên đa tạp
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm: dạng cơ bản thứ
hai, vectơ độ cong trung bình, độ cong Riemann, độ cong Ricci của
một đa tạp con k-chiều trong một đa tạp Riemann.
1.4 Bất đẳng thức và tích phân cần sử dụng trong
luận án
11
Chương 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA
ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA
TẠP VỚI MẬT ĐỘ
Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh
Định lý Fenchel, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật
độ cầu, phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên
mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính và thiết lập mối quan
hệ giữa các đường f-trắc địa cực tiểu với f-phiếm hàm năng
lượng. Các kết quả chính của Chương 2 được viết dựa trên
bốn bài báo [5], [31], [34] và [52].
2.1 f-độ cong của đường cong phẳng
2.1.1 Định nghĩa ([40]). Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−f
cho
đường tham số α. Độ cong theo mật độ hay f-độ cong, ký hiệu k
f
, của
α được định nghĩa bởi công thức
k
f

= k +
df
dn
, (2.1.1)
trong đó k là độ cong của α và n là trường vectơ pháp đơn vị dọc α.
2.1.2 Mệnh đề (Biến phân thứ nhất [50]). Biến phân thứ nhất của
phiếm hàm f-độ dài thỏa mãn
δ
1
(u) = −

uk
f
ds
f
. (2.1.2)
2.2 Định lý Gauss-Bonnet suy rộng
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm f-độ cong Gauss của
một mặt Riemann với mật độ e
−f
và Định lý Gauss-Bonnet suy rộng.
12
2.3 Định lý kiểu Fenchel
Tương tự như trường hợp cổ điển, chúng ta định nghĩa độ cong
toàn phần theo mật độ của một đường tham số như sau.
2.3.1 Định nghĩa. Cho α : [a, b] −→

R
2
, e

−f

, t −→ α(t) là một
đường tham số trơn. Đại lượng

b
a
|k
f
|dt được gọi là độ cong toàn
phần theo mật độ hay f-độ cong toàn phần của α.
Với khái niệm trên, chúng ta có định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng
với mật độ sau.
2.3.2 Định lý. Trên mặt phẳng R
2
cho mật độ e
−f
với f là một hàm
điều hòa. Khi đó, f-độ cong toàn phần của một đường cong đơn, đóng,
lồi là lớn hơn hoặc bằng 2π.
2.4 Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu
Trong mục này, chúng tôi ký hiệu r =

x
2
+ y
2
.
Chúng ta vẫn định nghĩa đỉnh của đường cong đơn, đóng và lồi
trên mặt phẳng với mật độ là điểm mà tại đó f-độ cong đạt cực trị địa

phương. Theo Định lý 4 đỉnh trên mặt phẳng với mật độ hằng (xem
[9]), số đỉnh ít nhất của một đường cong đơn đóng là 4. Êlíp là một
ví dụ. Do k
f
là một hàm liên tục nên một đường cong đơn, đóng trên
mặt phẳng với mật độ tổng quát có ít nhất 2 đỉnh. Tuy nhiên, chúng
ta có thể chỉ ra một đường cong đơn, đóng có đúng 2 đỉnh không? Một
kết quả bất ngờ là đường tròn trên mặt phẳng Gauss có thể có 2 đỉnh.
2.4.1 Định lý. Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−r
2
/2
, đường tròn (C)
tâm I(a, b), a, b ∈ R, bán kính R > 0 có 2 đỉnh nếu a
2
+ b
2
= 0 và có
vô số đỉnh nếu a = b = 0.
Đến đây, một câu hỏi khác tự nhiên được đặt ra: Có tồn tại mật độ
nào khác mật độ Gauss trên mặt phẳng R
2
để định lý bốn đỉnh không
còn đúng không? Một kết quả khá thú vị về số đỉnh của đường tròn
trên mặt phẳng R
2
với mật độ log-tuyến tính theo r. Trước tiên, chúng
ta cần bổ đề sau.

13
2.4.2 Bổ đề. Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−f(r)
, phép quay tâm O,
góc quay bất kỳ không làm thay đổi hàm f -độ cong của một đường cong.
2.4.3 Định lý. Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
Ar+B
, A, B ∈ R,
đường tròn α : [0, 2Rπ] −→ R
2
, α(t) =

R cos(t/R) + a, R sin(t/R) +
b

, a, b, R ∈ R, R > 0, hoặc có 2 đỉnh, hoặc có 4 đỉnh, hoặc có vô
số đỉnh.
Từ Định lý 2.4.1 và Định lý 2.4.3, hai câu hỏi tự nhiên được nảy sinh.
1. Lớp đường cong nào thỏa mãn định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng
với mật độ cầu tổng quát?
2. Có tồn tại một mật độ cầu nào khác mật độ Ơclít sao cho định
lý bốn đỉnh đúng với mọi đường cong đơn đóng?
Đối với câu hỏi thứ nhất, chúng tôi đã chỉ ra được một số lớp đường
cong đơn giản sau.
2.4.4 Định lý. Trên mặt phẳng với mật độ e
−f(r)

, mọi đường cong bất
biến qua phép quay tâm O, góc quay bất kỳ có ít nhất bốn đỉnh.
2.4.5 Hệ quả. Trên mặt phẳng với mật độ cầu, một đường cong đơn
đóng, đối xứng qua gốc tọa độ có ít nhất bốn đỉnh.
Đối với câu hỏi thứ hai, chúng ta có kết quả sau.
2.4.7 Định lý. Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−f(r)
, mọi đường cong
đơn đóng có ít nhất 4 đỉnh khi và chỉ khi f là một hàm hằng.
Từ chứng minh của định lý, chúng ta rút ra được một số hệ quả
hữu ích sau.
2.4.10 Hệ quả. Với mọi số tự nhiên n cho trước, luôn tồn tại họ mật
độ cầu trên mặt phẳng R
2
sao cho đường tròn (C) tâm I = O, bán kính
ε với d(O, I) < ε, có đúng 2n đỉnh.
2.4.11 Hệ quả. Tồn tại một họ mật độ cầu trên mặt phẳng R
2
sao
cho đường tròn (C) tâm I(0, b), bán kính ε, với 0 < b < ε, có f-độ
cong hằng.
14
2.5 Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng
trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính
2.5.3 Định lý. Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
y

, các đường có f-độ
cong hằng sai khác với các đường sau một phép tịnh tiến.
1. Một đường có f-độ cong bằng 0 hoặc là một đường thẳng song
song với trục Oy hoặc là đường Grim-Reaper được xác định bởi
tham số (xem Hình 2.5.4)

x(s) = 2 arctan(e
s
),
y(s) = ln(e
s
+ e
−s
),
s ∈ R. (2.5.23)
2. Một đường có f-độ cong |k
f
| < 1 hoặc là một đường thẳng hoặc
là được xác định bởi tham số (xem Hình 2.5.3, Hình 2.5.4)







x(s) = 2 arctan

e
√

1−c
2
s
− c
√
1 −c
2

− cs,
y(s) = ln

e
√
1−c
2
s
+ e
−
√
1−c
2
s
− 2c

,
s ∈ R.
3. Một đường có f-độ cong ±1 hoặc là đường thẳng song song trục
Ox hoặc được xác định bởi tham số (xem Hình 2.5.2)

x(s) = 2 arctan s −s,

y(s) = ln(1 + s
2
),
s ∈ R.
4. Một đường có f-độ cong |k
f
| > 1 được xác định bởi tham số (xem
Hình 2.5.1, Hình 2.5.6)






























x(s) = ±2 arctan


c −1
c + 1
tan
√
c
2
− 1
2
s

− cs,
y(s) = −ln






tan
2


√
c
2
− 1
2
s

+ 1
c −1
c + 1
tan
2

√
c
2
− 1
2
s

+ 1






,
s ∈


−
π
√
c
2
− 1
,
π
√
c
2
− 1

.
15
2.5.4 Một số hệ quả
1. Từ hình vẽ các đường có f-độ cong hằng, chúng ta thấy rằng nếu
k
f
dần đến ±∞ thì giới hạn của các đường cong là một điểm. Để
khảo sát hình dạng của các đường cong trong lân cận của điểm
giới hạn, chúng ta có thể dùng kỹ thuật cơ bản trong lý thuyết
dòng độ cong trung bình là phóng to đường cong cần quan sát
bằng một phép vị tự với tỉ số
√
c
2
− 1. Bằng kỹ thuật đó, chúng
ta thấy các đường cong hội tụ về một điểm tròn.

2. Việc nghiên cứu các bề mặt chuyển động của dòng các đường cong
với trường lực mở rộng trong trường hợp đơn giản ∇w = (c
1
, c
2
)
(xem [42]) dẫn đến phương trình
c =
ϕ

(x)
1 + ϕ

(x)
2
+ c
2
− c
1
ϕ

(x). (2.5.24)
Một kết quả chính trong [42] phát biểu rằng: nghiệm của phương
trình (2.5.24) với điều kiện ban đầu hoặc là một đường thẳng hoặc
là đường Grim-Reaper. Theo ngôn ngữ của mật độ, các nghiệm
của phương trình (2.5.24) chính là các đường có f-độ cong bằng
0 trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−c

1
x+(c
2
−c)y
. Do đó, chúng chỉ
là các đường có f-độ cong bằng 0 trên mặt phẳng R
2
với mật độ
e
y
. Từ Định lý 2.5.3, chúng ta lập tức thu được kết quả trên.
3. Mệnh đề 4.8 trong [12] phát biểu rằng: “Mặt phẳng với mật độ
e
x
không chứa miền đẳng chu”. Kết quả này có thể rút ra từ việc
phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với
mật độ e
y
. Từ các tham số và hình vẽ, chúng ta thấy rằng các
đường cong này hoặc có điểm kỳ dị hoặc có f-độ dài vô hạn. Do
đó, chúng không thể là biên của một miền đẳng chu.
16
2.5.5 Hình vẽ các đường có f-độ cong hằng trên mặt
phẳng với mật độ e
y
Hình 2.5.1. Các đường cong có
k
f
< −1.
Hình 2.5.2. Đường cong có k

f
= ±1.
Hình 2.5.3. Các đường cong có
k
f
∈ (−1, 0).
Hình 2.5.4. Đường cong có k
f
= 0
Hình 2.5.5. Các đường cong có
k
f
∈ (0, 1).
Hình 2.5.6. Các đường cong có k
f
> 1.
2.6 Đường f -trắc địa cực tiểu trên đa tạp với mật độ
2.6.1 Định nghĩa. Trên đa tạp Riemann (M, g) với mật độ e
−f
cho
hai điểm p và q. Khoảng cách theo mật độ hay f-khoảng cách giữa 2
điểm p và q là cận dưới của tập tất cả f-độ dài cung của các đường
cong trơn từng khúc trên M nối 2 điểm p và q.
17
Nếu tồn tại một đường cong trơn từng khúc α nối điểm p và q sao
cho f-độ dài của nó bằng f-khoảng cách giữa 2 điểm đó thì đường cong
α được gọi là một đường f-trắc địa cực tiểu.
2.6.4 Định nghĩa. Trên đa tạp Riemann M với mật độ e
−f
cho γ :

[a, b] −→ M là một đường tham số trơn. Phiếm hàm A(γ) :=

b
a



d
f
γ
dt



2
dt
được gọi là f-phiếm hàm năng lượng của đường cong γ.
2.6.6 Mệnh đề. Trên đa tạp Riemann (M, g) với mật độ e
−f
cho 2
điểm p và q. Khi đó, trong các đường cong trên M nối 2 điểm p và q,
đường cong γ
0
: [a, b] −→ M là một điểm cực tiểu của f-phiếm hàm
năng lượng nếu và chỉ nếu γ
0
có f-vận tốc hằng và f-trắc địa cực tiểu.
2.7 Kết luận Chương 2
Trong Chương 2, luận án đã giải quyết được các vấn đề sau:
.

- Trình bày khái niệm f-độ cong của đường cong trên mặt phẳng
với mật độ. Biến phân thứ nhất của phiếm hàm f-độ dài. Định
lý Gauss-Bonnet suy rộng trên mặt với mật độ.
- Phát biểu và chứng minh định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng
với mật độ e
−f
, trong đó f là một hàm điều hòa.
- Chứng minh rằng Định lý bốn đỉnh trong mặt phẳng với mật độ
cầu đúng khi và chỉ khi hàm mật độ là một hàm hằng. Tức là,
Định lý bốn đỉnh có thể dùng đặc trưng cho mật độ Ơclít trong
lớp các mật độ cầu.
- Phân loại triệt để các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt
phẳng với mật độ log-tuyến tính. Từ đó, luận án rút ra một số
hệ quả quan trọng như: tính không tồn tại nghiệm của bài toán
đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ e
x
, phân loại các nghiệm
tịnh tiến với trường lực mở rộng.
- Chứng minh rằng một đường cong là điểm cực tiểu của f-phiếm
hàm năng lượng khi và chỉ khi nó có f-vận tốc hằng và f-trắc
địa cực tiểu.
18
Chương 3
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA MẶT
TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ
Trong chương này, chúng tôi đưa ra tham số hóa của một
số mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss G
3
và không gian
tích G

2
× R, xây dựng một chứng minh ngắn gọn cho định
lý dạng Bernstein trong không gian G
n
× R, n ≥ 2. Các kết
quả chính của Chương 3 được viết dựa trên bài báo [35].
3.1 f-độ cong trung bình của siêu mặt
3.1.1 Định nghĩa ([30]). Trên đa tạp Riemann M
n
với mật độ e
−f
,
độ cong trung bình theo mật độ hay f-độ cong trung bình, ký hiệu
H
f
, của một siêu mặt Σ với trường vectơ pháp đơn vị N được cho bởi
công thức
H
f
= H +
1
n −1
df
dN
, (3.1.1)
ở đó H là độ cong trung bình Riemann của Σ.
3.1.3 Mệnh đề ([49]). Trong đa tạp Riemann n-chiều với mật độ
e
−f
, cho Σ là một siêu mặt có trường vectơ pháp đơn vị N. Xét biến

phân chuẩn tắc uN của Σ. Khi đó, biến phân thứ nhất δ
1
(u) của phiếm
hàm f-diện tích thỏa
δ
1
(u) = −

(n −1)H
f
uds
f
, (3.1.5)
ở đó ds
f
là vi phân theo mật độ của phần tử diện tích.
3.1.4 Định nghĩa ([40]). Trên đa tạp Riemann M với mật độ e
−f
,
siêu mặt Σ được gọi là f-cực tiểu nếu f-độ cong trung bình của nó
bằng 0.
19
3.1.9 Định nghĩa ([33]). Cho Σ là một siêu mặt f-cực tiểu trong đa
tạp Riemann M với mật độ e
−f
, Σ được gọi là f-cực tiểu ổn định hay
f-ổn định nếu biến phân thứ hai của phiếm hàm f-diện tích là không
âm với mọi biến phân chuẩn tắc có giá compact.
3.2 Hình học định cỡ trên đa tạp với mật độ
3.2.1 f-vi phân ngoài của dạng vi phân

3.2.1.1 Định nghĩa ([33]). Cho ω là một k-dạng vi phân trên M với
mật độ e
−f
. Chúng ta định nghĩa f-vi phân ngoài của ω bởi đẳng thức
d
f
ω := e
f
d(e
−f
ω). (3.2.1)
Dạng vi phân ω được gọi là f−đóng nếu d
f
ω = 0, được gọi là f−khớp
nếu tồn tại dạng vi phân η sao cho ω = d
f
η.
3.2.3 Định nghĩa ([33]). 1. Với k-vectơ ξ, k-dạng vi phân ω trên
đa tạp Riemann (M, g), chuẩn mass của ξ và chuẩn comass của
ω lần lượt được định nghĩa bởi
ξ = inf


i

g(β
i
, β
i
) : ξ =


i
β
i
, β
i
đơn

, (3.2.3)
ω = sup {ω
x
(ξ
x
) : x ∈ M, ξ
x
đơn, ξ = 1}. (3.2.4)
2. Dạng vi phân d
f
-đóng ω được gọi là một f-dạng cỡ nếu chuẩn
comass của nó bằng 1.
3. Cho ω là một f-dạng cỡ trên đa tạp M với mật độ e
−f
. Ta nói
đa tạp con N của M được định cỡ bởi ω nếu ω đạt giá trị lớn
nhất trên các không gian tiếp xúc của N hầu khắp nơi.
3.2.6 Định lý ([33]). Cho Σ là đồ thị của hàm khả vi cấp hai u :
R
n
−→ R. Nếu Σ là f-cực tiểu trong R
n+1

= R
n
× R với mật độ
e
−f(x
1
, ,x
n
)
thì Σ là cực tiểu f-diện tích.
3.3 Siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss
Trong mục này, chúng tôi khảo sát một số tính chất hình học đơn
giản của các mặt f-cực tiểu tròn xoay, f-cực tiểu tuyến tính trong
20
không gian R
3
với mật độ e
−a|x|
2
+c
, a, c ∈ R, a > 0. Đồng thời, chúng
tôi rút gọn chứng minh của Lu Wang về định lý kiểu Bernstein trong
không gian Gauss.
3.4 Siêu mặt trong không gian G
n
× R
Chúng ta xét các mặt kẻ trụ f-cực tiểu Σ trong không gian G
2
×R.
Giả sử, mặt Σ được tham số hóa bởi

X(u, v) = α(u) + va, (3.4.1)
ở đó α là đường chuẩn và a là một vectơ hằng.
3.4.3 Định lý. Trong không gian G
2
× R cho Σ là một mặt kẻ trụ
có tham số dạng (3.4.1). Khi đó, Σ là f-cực tiểu khi và chỉ khi α là
một đường trắc địa trên mặt phẳng G
2
hoặc Σ có tham số hóa địa
phương dạng
X(u, v) =


v, u, ±

u
u
0

c
1
e
t
2
1 −c
1
e
t
2
dt + c

2


, u
0
, c
1
, c
2
∈ R, c
1
> 0.
Hình 3.4.1: Mặt kẻ f -cực tiểu trong không gian G
2
× R
Tiếp theo, chúng ta xét định lý kiểu Bernstein trong không gian
G
n
× R.
3.4.4 Tính cực tiểu của siêu phẳng trong G
n
× (R, e
−h
)
Xét không gian tích G
n
× (R, e
−h
) với mật độ tích e
−(f+h)

. Một
điểm trong G
n
× (R, e
−h
) có thể viết dưới dạng (x, x
n+1
), ở đó x =
21
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
. Phương trình của một siêu phẳng không song
Ox
n+1
trong không gian tích G
n
× (R, e
−h
) có dạng
n

i=1
a
i

x
i
+ x
n+1
+ c = 0, c, a
1
, a
2
, . . . , a
n
∈ R. (3.4.3)
Tính toán trực tiếp, chúng ta thấy rằng ∇(f +h), N = 0 khi và chỉ khi
n

i=1
a
i
x
i
+ h

(x
n+1
) = 0.
Do đó, chúng ta được
1. Một siêu phẳng là f-cực tiểu và song song hoặc trùng với siêu
phẳng x
n+1
= 0 khi và chỉ khi h


(−c) = 0.
2. Một siêu phẳng là f-cực tiểu và không song song với siêu phẳng
x
n+1
= 0 khi và chỉ khi h(x
n+1
) = x
2
n+1
/2+ cx
n+1
+b, ở đó b ∈ R
là một hằng số.
Nếu siêu mặt Σ là f-cực tiểu trong không gian G
n+1
thì ảnh của Σ
qua phép tịnh tiến theo vectơ v(0, . . . , 0, −c/2) là một siêu mặt f-cực
tiểu trong không gian G
n
×(R, e
−h
) với h(x
n+1
) = x
2
n+1
/2 + cx
n+1
+ b.
Trong trường hợp này, định lý kiểu Bernstein đã được chứng minh. Ví

dụ sau chỉ ra rằng trong G
2
× (R
+
, e
−h
), ở đó R
+
= {x ∈ R : x ≥ 0}
và h(z) = z
2
− ln
√
1 + 4z, tồn tại đồng thời mặt phẳng và mặt trụ
parabol là các đồ thị toàn phần f-cực tiểu.
Ví dụ. Xét đồ thị của hàm z = u(x, y) = x
2
trên G
2
trong không gian
G
2
× (R
+
, e
−h
). Tính toán trực tiếp, chúng ta có
H
(f+h)
=

1
(1 + 4z)
3/2
−
2z + h

(z)
2
√
1 + 4z
= 0.
Hơn nữa, chúng ta kiểm tra được mặt phẳng z = (1 +
√
17)/8 cũng
f-cực tiểu.
Chúng ta xét trường hợp h

(c) = 0 với mọi c ∈ R. Khi đó, h là một
hàm hằng. Trong trường hợp này, sử dụng nguyên lý dạng cỡ theo mật
độ, chúng tôi thu được một ước lượng cho f-diện tích của một đồ thị
toàn phần. Từ đó, chúng tôi đưa ra một chứng minh đơn giản cho định
lý kiểu Bernstein mà nó không dùng đến đạo hàm cấp 2.
22
3.4.5 Định lý kiểu Bernstein trong không gian G
n
× R
Với mỗi điểm p ∈ R
n+1
và số thực dương R, chúng ta ký hiệu
B

n+1
(p; R) là hình cầu (n + 1)-chiều trong G
n
×R tâm p bán kính R.
Cho Σ là một đồ thị f -cực tiểu của hàm u(x
1
, . . . , x
n
) trên G
n
. Gọi
p là giao điểm của Σ và trục Ox
n+1
. Khi đó, chúng ta có ước lượng
f-diện tích sau cho siêu mặt Σ.
3.4.5.1 Bổ đề.
Vol
f

Σ ∩B
n+1
(p, R)

≤ Vol
f

B
n
(O, R)


+ n(2π)
−n/2
e
−R
2
C
n
R
n
,
(3.4.4)
ở đó C
n
= Vol B
n
(O, 1).
Lấy giới hạn cả 2 vế của bất đẳng thức (3.4.4) khi R dần ra vô
cùng, chúng ta được hệ quả sau.
3.4.5.2 Hệ quả.
Vol
f
(Σ) ≤ 1. (3.4.8)
3.4.5.3 Định lý (Định lý kiểu Bernstein). Đồ thị Σ của một hàm
khả vi u(x
1
, . . . , x
n
) = x
n+1
trên G

n
là f-cực tiểu trong không gian tích
G
n
× R khi và chỉ khi nó là một siêu phẳng x
n+1
= a, a ∈ R, nghĩa là
u là một hàm hằng.
Chứng minh. Rõ ràng, một siêu phẳng x
n+1
= a là f-cực tiểu trong
không gian tích G
n
×R. Ngược lại, giả sử rằng Σ là một siêu mặt f-cực
tiểu. Chúng ta đặt dV = dx
1
∧ dx
2
∧ . . . ∧ dx
n
. Khi đó, Chúng ta có
1 ≥ Vol
f
(Σ) =

G
n
e
−f


1 + |∇u|
2
dV ≥

G
n
e
−f
dV = Vol
f
(G
n
) = 1.
Đẳng thức trên là thỏa mãn khi và chi khi ∇u = (0, . . . , 0), nghĩa là u
là một hàm hằng. 
3.5 Mặt 2-chiều trong không gian với mật độ
3.5.3 Định nghĩa. Cho X : D ⊆ R
2
−→ (R
n
, e
−f
), n ≥ 3, là một
tham số hóa chính qui của Σ. f-vectơ độ cong trung bình của Σ được
23
định nghĩa bởi

H
f
=


H + (∇f)
⊥
, (3.5.1)
ở đó

H là vectơ độ cong trung bình của Σ và (∇f)
⊥
là thành phần
trực giao của ∇f đối với mặt phẳng tiếp xúc của Σ.
Mặt Σ được gọi là f-cực tiểu nếu

H
f
=

0.
3.5.4 Ví dụ. Trong không gian Gauss G
n
, các mặt phẳng qua gốc tọa
độ là các mặt f-cực tiểu.
3.5.5 Định lý (Định lý kiểu Bernstein trong G
2
× R
n−2
). Trong
không gian G
2
×R
n−2

, cho Σ là một mặt f-cực tiểu, được xác định bởi
tham số
X(x
1
, x
2
) =

x
1
, x
2
, u
3
(x
1
, x
2
), . . . , u
n
(x
1
, x
2
)

, (x
1
, x
2

) ∈ R
2
.
Khi đó, nếu tồn tại bộ

x
0
1
, x
0
2

trên R
2
sao cho u
k
đạt cực trị tại

x
0
1
, x
0
2

với mọi k = 3, . . . , n, thì Σ là một mặt phẳng song song hoặc
trùng với mặt phẳng x
k
= 0, k = 3, . . . , n.
3.6 Kết luận Chương 3

Trong Chương 3, luận án đã giải quyết được các vấn đề sau:
.
- Trình bày khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứ nhất
và biến phân thứ hai của phiếm hàm f-diện tích.
- Chứng minh rằng một đa tạp con được định cỡ bởi một f-dạng
cỡ là cực tiểu f-diện tích trong lớp đồng điều của nó.
- Xây dựng một chứng minh ngắn gọn cho định lý kiểu Bernstein
trong không gian Gauss.
- Đưa ra tham số của mặt kẻ trụ đứng f-cực tiểu trong không gian
tích G
2
× R.
- Sử dụng nguyên lý dạng cỡ chứng minh định lý kiểu Bernstein
trên không gian G
n
× R mà nó không sử dụng đến đạo hàm
cấp hai.
- Xây dựng khái niệm f-cực tiểu cho mặt 2-chiều trong không gian
với mật độ. Chứng minh một định lý kiểu Bernstein đơn giản
trong không gian G
2
× R
n−2
, với n ≥ 3.