Tài liệu toán 10

Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
1

Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
§1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Định nghĩa :
Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai .
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai

2.Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P
Ký hiệu là
P
. Nếu P đúng thì
P
sai, nếu P sai thì
P
đúng
Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì
P
: “ 3

5 ”
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo :
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P  Q. Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P  Q. Khi đó mệnh đề Q  P gọi là mệnh đề đảo của P  Q
4. Mệnh đề tương đương

Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương
đương , ký hiệu P  Q.Mệnh đề P  Q đúng khi cả P và Q cùng đúng
5. Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX,
P(x)
”
Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX,
P(x)
”
Ví dụ:
Cho x là số nguyên dương ;P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3”
Ta có :  P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng

( )P x
: “ x không chia hết cho 6”
 Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) là mệmh đề đúng.
 “x N
*
, P(x)” đúng có phủ định là “x N
*
,
P(x)
” có tính sai
B: BÀI TẬP
Bài 1: Các câu sau dây, câu nào là mệnh đề, và mệnh đề đó đúng hay sai :
a) Ở đây là nơi nào ? b) Phương trình x
2
+ x – 1 = 0 vô nghiệm b) x + 3 = 5 c) 16 không là số nguyên tố
Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau :
a) “Phương trình x
2

–x – 4 = 0 vô nghiệm ” b) “ 6 là số nguyên tố ”
c) “nN ; n
2
– 1 là số lẻ ”
Bài 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề A , B và tìm phủ định của nó :
A = “ x R : x
3
> x
2
” B = “  x N , : x chia hết cho x +1”
Bài 4: Phát biểu mệnh đề P  Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo :
a) P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ Góc B = 45
0
”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P  Q bằng 2 cách và và xét tính đúng sai của nó
a) P : “ABCD là hình bình hành ” và Q : “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P : “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 9
2
+ 1 là số nguyên tố ”
Bài 6:Cho các mệnh đề sau
a) P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc với BD”
b) Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 60
0
là tam giác đều”
c) R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo :
- Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A  B
Tài liệu toán 10

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
2

1
:Trong toán học định lý là 1 mệnh đề đúng
Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng “xX , P(x)  Q(x)”
2: Chứng minh phản chứng đinh lý “xX , P(x)  Q(x)” gồm 2 bước sau:
- Giả sử tồn tại x
0
thỏa P(x
0
)đúng và Q(x
0
) sai
- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn
3: Cho định lý “xX , P(x)  Q(x)” . Khi đó
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
4: Cho định lý “xX , P(x)  Q(x)” (1)
Nếu mệnh đề đảo “xX , Q(x)  P(x)” đúng được gọi là dịnh lý đảo của (1)
Lúc đó (1) được gọi là định lý thuận và khi đó có thể gộp lại
“xX , P(x)  Q(x)” Gọi là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x
2
” , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) P(1) b) P(
1
3
) c) xN ; P(x) d) x N ; P(x)
Bài 8: Phát biểu mệnh đề A  B và A  B của các cặp mệnh đề sau và xét tính đúng sai

a) A : “Tứ giác T là hình bình hành ” B: “Hai cạnh đối diện bằng nhau”
b) A: “Tứ giác ABCD là hình vuông ” B: “ tứ giác có 3 góc vuông”
c) A: “ x > y ” B: “ x
2
> y
2
” ( Với x y là số thực )
d) A: “Điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy ” B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc xOy”
Bài 9: Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập phủ định của nó :
a) xN : x
2
 2x b)x N : x
2
+ x không chia hết cho 2 c)xZ : x
2
–x – 1 = 0
Bài 10 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng
a) A : “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”
b) B: “ Tam giác cân có 1 góc = 60
0
là tam giác đều ”
c) C: “ Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương ”
d) D : “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 11
:
Phát biểu thành lời các mệnh đề

x: P(x) và x : P(x) và xét tính đúng sai của chúng :
a) P(x) : “x
2

< 0” b)P(x) :“
1
x
> x + 1” c) P(x) : “
2
x 4
x 2


= x + 2” x) P(x): “x
2
3x + 2 > 0”

§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

B: BÀI TẬP :
Bài 1: Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ”
a) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có cùng diện tích
b) Số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3
c) Mộthình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân
Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
a) Với n là số nguyên dương, nếu n
2
chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3
b) Chứng minh rằng
2
là số vô tỷ
c) Với n là số nguyên dương , nếu n
2
là số lẻ thì n là số lẻ
Bài 3: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó
song song với nhau
b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c)Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
d)Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
3

Bài 4: Phát biểu các định lý sau đây bang cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó
song song với nhau

b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
c)số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d)Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau
Bài 5: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu abc thì a
2
+b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7
c) Nếu x
2
+ y
2
= 0 thì x = 0 và y = 0
Bài 6 :Cho các đinh lý sau, định lý nào có định lý đảo, hãy phát biểu :
a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền ”
c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n
2
chia 3 dư 1”
§3: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1. Tập hợp là khái niệm của toán học . Có 2 cách trình bày tập hợp
* Liệtkê các phần tử :
VD : A = a; 1; 3; 4; b hoặc N =  0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . 
* Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp ; dạng A = {x/ P(x)

VD : A = x N/ x lẻ và x < 6  A = 1 ; 3; 5
*. Tập con : A B (x, xA  xB)
Cho A ≠  có ít nhất 2 tập con là  và A
2. các phép toán trên tập hợp :
Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp




AB = x /xA và xB




AB = x /xA hoặc xB




A\ B = x /xA và xB
Chú ý: Nếu A  E thì C
E
A = A\ B = x /xE và xA
3. các tập con của tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn

Đoạn [a ; b]

xR/ a  x  b

Khoảng (a ; b )
Khoảng (- ; a)
Khoảng(a ; + )
xR/ a < x < b
xR/ x < a
xR/ a< x 

Nửa khoảng [a ; b)
Nửa khoảng (a ; b]
Nửa khoảng (- ; a]
Nửa khoảng [a ;  )
R/ a  x < b
xR/ a < x  b
xR/ x  a
xR/ a  x 



//////////// [ ] ////////
)/////////////////////
////////////( ) /////////
///////////////////(
////////////[ ) /////////
////////////( ] /////////
]/////////////////////
///////////////////[
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
4

B: BÀI TẬP :
Bài 1: Cho tập hợp A = {x N / x
2
– 10 x +21 = 0 hay x
3
– x = 0}
Hãy liệt kê tất cả các tập con của A chỉ chứa đúng 2 phần tử
Bài 2: Cho A = {x R/ x
2
+x – 12 = 0 và 2x
2
– 7x + 3 = 0}
B = {x R / 3x
2
-13x +12 =0 hay x
2
– 3x = 0 }
Xác định các tập hợp sau : A  B ; A \ B ; B \ A ; AB
Bài 3: Cho A = {xN / x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định AUB ; AB ; A\B ; B\ A
b) CMR : (AUB)\ (AB) = (A\B)U(B\ A)
Bài 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5}
Tìm các giá trị của cặp số (x ; y) để tập hợp A = B = C
Bài 5: Xác định các tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng
A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = {3 ; 9; 27; 81} D = {9 ; 36; 81; 144}
E = Đường trung trực đoạn thẳng AB F = Đường tròn tâm I cố định có bán kính = 5 cm
Bài 6: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C bằng biểu đồ Ven
A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5}
Bài 7 : Hãy liệt kê tập A, B:

A= {(x;x
2
) / x  {-1 ; 0 ; 1}} B= {(x ; y) / x
2
+ y
2
 2 và x ,y Z}
Bài 8: Cho A = {x R/ x  4} ; B = {x R / -5 < x -1  8 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A  B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 9: Cho A = {x R/ x
2
 4} ; B = {x R / -2  x +1 < 3 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A  B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 10: Gọi N(A) là số phần tử của tập A . Cho N(A) = 25; N(B)=29, N(AUB)= 41.
Tính N(AB) ; N(A\B); N(B\A)
Bài 11: a) Xác định các tập hợp X sao cho {a ; b} X  {a ; b ;c ;d ; e}
b) Cho A = (1 ; 2} ; B = {1 ; 2 ; 3; 4; 5} Xác định các tập hợp X sao cho A  X = B
c) Tìm A; B biet A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10}
Bài 12: Cho A = {xR/ x 

3 hoặc x >6 } B={xR / x
2
– 25  0}
a) Tìm các khoảng , doạn, nửa khoảng sau :
A\B ; B\ A ; R \ ( AB); R \ (AB) ; R \(A\B)
b)Cho C={xR / x  a} ; D={xR / x  b }. Xác định a và b biết rằng CB và DB là các
đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9. Tìm CD
Bài 13: Cho A = {x R/ x

2
 4} ; B = {x R / -3  x < 2 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A  B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 14: Viết phần bù trong R của các tập hợp sau :
A= {xR / – 2  x < 1 0} B= {xR / x> 2} C = {xR / 4 < x + 2  5}
Bài 15: Cho Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông T = tập hợp tất cả các tam giác
Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân Tđ = tập hợp tất cả các tam giác đều
Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân
Xác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên
Bài 16: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
A= { xQ / (2x + 1)(x
2
+ x  1)(2x
2
3x + 1) =0} B= { xZ / 6x
2
5x + 1 =0}
C= { xN / (2x + x
2
)(x
2
+ x  2)(x
2
x  12) =0}
D= { xN / x
2
> 2 và x < 4} E= { xZ / x  2 và x > 2}
Bài 17:Cho A = {x Z / x
2

< 4} B = { xZ / (5x - 3x
2
)(x
2
-2 x - 3) = 0}
a) Liệt kê A ; B
b) CMR (A B) \ (A B) = (A \ B)  (B \ A)
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
5

1:
Cho D  R. hàm số f xác định trên D là 1 quy tắc ứng với mỗi xD là 1 và chỉ 1 số
Khi đó f(x) gọi là giá trị hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác định
2: Sự biến thiên hàm số
Cho f(x) xác định trên K
f đồng biến ( tăng) trên K x
1
;x
2
K ; x
1
< x
2
 f(x
1
) < f(x
2
)
f nghịch biến ( giảm) trên K x

1
;x
2
K ; x
1
< x
2
 f(x
1
) > f(x
2
)
3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
f(x) gọi là chẵn trên D nếu xD 

x D và f(

x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

f(x) gọi là lẻ trên D nếu xD 

x D và f(

x) =

f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng
4*: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q

Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
Bài 18: Cho E = { xN / 1  x < 7} A= { xN / (x
2
-9)(x
2
– 5x – 6) = 0 }
B = { xN / x là số nguyên tố  5}
a) Chứng minh rằng A E và B  E
b) Tìm C
E
A ; C
E
B ; C
E
(AB)
c) Chứng minh rằng : E \ (A B)= (E \A)  ( E \B) ; E \ ( AB) = ( E \A)  ( E \ B)
Bài 19 :
a) Cho A  C và B D , chứng minh rằng (AB) (CD)
b) CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
c) CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
Chương
II:
HÀM SỐ
§1: Đại cương về hàm số
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

B. VÍ DỤ :Tìm miền xác định và xét tính tăng , giảm của hàm số
2
( ) 1

3
y f x x
x
   


C:BÀI TẬP
Bài 1:Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
2
1
1
x
y
x



b)
2
2 1
2 1
x
y
x x


 
c)
3 4

( 2) 4
x
y
x x


 
d) y =
x 8 2 x 7  
+
1
1 x

Bài 2: Cho hàm số y =
5 x
+
2x 3a
Định a để tập xác định của hàm số là đoạn thẳng có độ dài = 2
đơn vị
Bài 3:Cho hàm số
 
x
,x 0
x 1
f x
x 1, 1 x 0








   


a) Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).
b) Tính f(0), f(2),f(3),f(1).
Bài 4: Cho hàm số
2
( ) 1f x x x  

a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của f(4),
( 2), ( )
f f

chính xác đến hàng
phần trăm.
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
6

1: Hàm số dạng y = ax = b , a;b

R và a≠ 0.
Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R
a > 0 hàm số đồng biến trên R, a < 0 hàm số nghịch biến trên R
2. Bảng biến thiên :
X

- +

x
- +

y = ax + b
(a > 0)
+
-
y = ax + b
(a < 0)
+
-

Bài 5: Bằng cách xét tỉ số
2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x


, hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập bảng
biến thiên của nó) trên các khỏang đã cho:
a)
1
x
y
x



trên mỗi khỏang
( , 1) 
và
( 1, ) 
b)
2 3
2
x
y
x


 
trên mỗi khỏang
( ,2)
và
(2, )

Bài 6: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a)
4 2
3 3 2
y x x
  
b)
3
2 5y x x 
c)
y x x


d)
1 1
y x x   

e)
1 1
y x x   
f) y =
11
22


xx
xx

Bài 7 : Cho hàm số y = f(x) có miền xác định là R . Tìm công thức của hàm số đó biết rằng hàm số y = f(x) vứa
là hàm số chẵn , vừa lẻ
Bài 8: Giả sử hàm số
2
y
x


có đồ thị là (H)
a) Nếu tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?
b) Nếu tịnh tiến (H) sang phải 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?
c) Nếu tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, rồi sang trái 4 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?
Bài 9: Cho hàm số y = f(x) có miền xác định R thỏa
f(x + y) = f(x) + f(y) , x,y R
a) Tính f(0) b) CMR : y = f(x) là hàm số lẻ

Bài 10: Cho hàm số y = f(x) có miền xác định R thỏa
f(x + y) + f( x – y) = 2f(x).f(y) , x,y R
a) Tính f(0) b) Xét tính chẵn lẻ của hàm số
§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT









B: VÍ DỤ.
Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).
Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số
( ) ( )y g x f x  
.
Giải
Hàm số bậc nhất có dạng
, 0y ax b a  
.
Đồ thị hàm số qua điểm A , B
4 2
2 4
b a
a b b
 
 

 
 
   
 

Vẽ đồ thị hàm
( ) 2 4
g x x
  
, ta vẽ đồ thị hai hàm số y= 2x+4 và y=-2x-4 trên cùng 1 hệ trục tọa độ ,rồi
bỏ đi phần phía trên trục Ox.

Vẽ đồ thị hàm
( ) 2 4
g x x
  


Bảng biến thiên.

Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
7

x
y
o
-2
-4
-4

g(x)
-2x


0



C: BÀI TẬP
Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số y = -2x +k(x+1)
a) Đi qua gốc tọa độ O. b) Đi qua điểm M(2,3) c) Song song với đường thẳng
2y x


Bài 2: Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng y= ax + b
a) Cắt đường thẳng y=2x + 5 tại điểm có hòanh độ bằng -2 và cắt đường thẳng y= 3x+4 tại điểm có tung độ
bằng 2.
b)Song song với đường thẳng
1
2
y x

và đi qua giao điểm của hai đường thẳng
1
1
2
y x  
và y = 3x + 5.
Bài 3: a) Cho điểm

o o
A(x ,y )
, hãy xác định tọa độ của điểm B, biết rằng B đối xứng với A qua trục hoành
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng y = x 2 và y = 2  x đối xứng với nhau qua trục hoành.
c) Tìm biểu thức xác định hàm số y = f(x), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường
thẳng y= 2x + 3 qua trục hoành .
Bài 4: a) Tìm điểm A sao cho đường thẳng y = 2mx +1m luôn đi qua A, dù m lấy bất kỳ giá trị nào.
b) Tìm điểm B sao cho đường thẳng y = mx  3  x luôn đi qua B, dù m lấy bất kỳ giá trị nào.
Bài 5: Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho
a) Ba đường thẳng y = 2x, y= 3x và y = mx + 5 phân biệt và đồng quy.
b) Ba đường thẳng y = 5(x+1), y = mx + 3 và y = 3x + m phân biệt và đồng quy.
Bài 6: Cho Cho 2 đường thẳng 
1
: y = (2m 1)x +4m  5 ; 
2
: y = (m – 2) x + m + 4
a) Tìm 2 điểm cố định của 2 đường thẳng
b) Định m để đồ thị 
1
song song với 
2

Bài 7*: Cho (H) là đồ thị hàm số y = 3x 
a) Khi tịnh tiến (H) sang phải 4 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ?
b) Khi tịnh tiến (H) lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ?
c) Khi tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị,rồi tịnh tiến lên trên 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số nào ?
§3:HÀM SỐ BẬC HAI

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Hàm số có dạng y = ax

2
+ bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0
a > 0 a < 0
 Tập xác định là R
 Đỉnh I (
2
b
a

;
4a

 )
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -;
2
b
a

)
và đồng biến trên khoảng (
2
b
a

; +)
 Tập xác định là R
 Đỉnh I (
2
b
a


;
4a

 )
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -;
2
b
a

)
và đồng biến trên khoảng (
2
b
a

; +)
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
8

 Bảng biến thiên
x
- 
2
b
a

+
y

+ +

4a




 Trục đối xứng là đường x =
2
b
a



 Bảng biến thiên
x
- 
2
b
a

+
y

4a



- -

 Trục đối xứng là đường x =
2
b
a


B .Ví dụ. Xác định hàm số bậc hai
2
2
y x bx c  
biết đồ thị của nó
1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4.
2) Có đỉnh là (-1;-2)
3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2).
C: BÀI TẬP
Bài 1: Xác định phương trình Parabol:
a) y = ax
2
+ bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x =
2
3

b) y = ax
2
+ bx + 3 qua A(1 ; 9) và trục đối xứng x =  2
c) y = ax
2
+ bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3;  4)
d) y = ax
2

+ bx + c qua A(2 ; 3) và đỉnh I ( 1;  4)
e) y = x
2
+ bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh y
I
=  1
Bài 2:Cho hàm số
2
2
y x
3

có đồ thị là parabol(P). Phải tịnh tiến (P) như thế nào để được đồ thị của hàm số

2 2 2
2 2 2
a) y 2x 7 b) y 2x 5 c) y 2(x 3)
d) y 2(x 4) e) y 2(x 2) 5 f ) y 2x 6x 1
     
       


Bài 3:Không vẽ đồ thị, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của mỗi parabol sau đây. Tìm giá trị nhỏ
nhất hay lớn nhất của mỗi hàm số tương ứng
a)
2
2( 3) 5
y x
  
b)

2
(2 1) 4
y x
   
c)
2
2 4y x x  

Bài 4: Vẽ đồ thị của hàm số
2
5 6
y x x
   
. Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung
của parabol
2
5 6
y x x
   
và đường thẳng y=m
Bài 5: Một parabol có đỉnh là điểm I(-2,-2) và đi qua gốc tọa độ
a)Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol, biết rằng nó song song với trục tung.
b) Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trục đối xứng trong câu a).
c) Tìm hàm số có đồ thị là parabol đã cho.
Bài 6: a) Ký hiệu (P) là parabol
2
, 0
y ax bx c a
   
. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng song song với

trục hòanh, cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì trung điểm C của đọan thẳng AB thuộc trục đối xứng của
parabol (P).
b) Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị (P) của một hàm số bậc hai tại hai điểm
M(-3,3) và N(1,3). Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol (P).
Bài 7:Hàm số bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng
3
4
khi
1
2
x

và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1.
a)Xác định các hệ số a,b và c. Khảo sát sự biến thiên ,vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa nhận được .
b) Xét đường thẳng y = mx, ký hiệu bởi (d). Khi (d) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt, hãy xác định tọa
độ trung điểm của đọan thẳng AB.
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
9

1.
Các phép biến đổi tương đương của phương trình
:

 Thực hiện các phép biến đổi trong từng vế nhưng không làm thay đổi tập xác định của phương trình
 Dùng quy tắc chuyển vế
 Nhân hai vế của phương trình với cùng một biểu thức xác định và khác 0 với mọi giá trị của ẩn thuộc

tập xác địnhcủa phương trình


Bình phương hai vế của phương trình có hai vế luôn luôn cùng dấu khi ẩn lấy mọi giá trị thuộc
tập xác định của phương trình
2.Phép biến đổi cho phương trình hệ quả :



Bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
1)
Chứng minh rằng y= 0 là hàm số duy nhất xác định trên R và có đồ thị nhận trục hòanh làm trục đối
xứng.
2)
Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng D (nghĩa là x

D thì x

D).Chứng minh rằng :
a/ Hàm số F(x) =
1
2
[f(x) + f(x)] là hàm số chẵn xác định trên D.
b/ Hàmsố G(x) =
1
2
[f(x)  f(x)}là hàm số lẻ xác định trên D.
3)
Gọi A vàB là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số f(x)=(m-1)x +2 và có hòanh độ lần lượt là


1 và 3.
a/ Xác định tọa độ của hai điểm A và B.
b/ Với điều kiện nào của m thì điểm A nằm ở phía trên trục hòanh ?
c/ Với điều kiện nào của m thì điểm B nằm ở phía trên trục hòanh ?
d/ Với điều kiện nào của m thì hai điểm A và B cùng nằm ở phía trên trục hòanh ? Từ đó hãy trả lời câu hỏi :
Với điều kiện nào của m thì f(x) > 0 với mọi x thuộc đọan [

1,3] ?
4)
Cho hàm số y =
 3x
2
có đồ thị là parabol (P).
a/ Nếu tịnh tiến (P) sang phải 1 đơn vị rồi tịnh tiến parabolvừa nhận được xuống dưới 3 đơn vị thì ta
được đồ thị của hàm số nào?
b/ Nếu tịnh tiến (P) sang trái 2 đơn vị rồi tịnh tiến parabol vừa nhận được lên trên 2 đơn vị thì ta được
đồ thị của hàm số nào?
5)
Tìm hàm số bậc hai có đồ thị là parabol (P), biết rằng đường thẳng y= -2,5 có một điểm chung duy nhất
với (P) và đường thẳng y=2 cắt (P) tại hai điểm có hòanh độ là -1 và 5. Vẽ parabol (P) cùng các đường
thẩng y=-2,5 và y=2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1: Đại cương về phương trình
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

B: BÀI TẬP :
Bài 1: Tìm điều kiện của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm
a) x 
3
x

= 3
x
+ 3 b)
2
4 4
x x
  
= x
2
 4 c)
x
 1
x
= 2
x 

Bài 2:.Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau bằng cách xét điều kiện

a) 4
x
 2 =
x
 x b) 3
2
x

= 2
x
+ 2
2

Bài 3:.Giải các phương trình sau :
a) x +
x
=
x
 1 b) x
2
+ 2
x
= 2
x
+ 9
Bài 4:.Giải phương trình sau bằng cách phép biến đổi phương trình hệ quả
a) 2x + 3  = 1 b) 2 – x  = 2x – 1 c)
3 2
x


= 1  2x d)
5 2x
=
1x 

Bài 5:.Tìm điều kiện xác định của phương trình hai ẩn rồi suy ra tập nghiệm của nó
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
10

1.Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
 a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x =
b
a


 a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm
 a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi xR

2.Giải và biện luận phương trình dạng ax
2
+ bx + c = 0
 a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0
 a ≠ 0 . Lập = b
2
 4ac
Nếu  > 0:phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
b
2a
  

v x =
b
2a
  

Nếu  = 0 : phương trình có nghiệm kép : x =
b
2a


Nếu  < 0 : phương trình vô nghiệm

2 2
( 1)
x y  
+ xy = (x+1)(y+1)
§2:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

B. VÍ DỤ :
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x  m ) = x + m  2 (1)
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình theo tham số m :
(m + 1)x
2
 (2m + 1)x + (m  2) = 0
C:. BÀI TẬP :
Bài 1:. Giải và biện luận các phương trình sau :
a) (m
2
+2)x  2m = x 3 b) m(x m+3) = m(x 2) + 6
c) m
2
(x 1) + m = x(3m 2) d) m
2
x = m(x + 1) 1
e) m
2
(x – 3) +10m = 9x + 3 f) m
3
x – m
2
4 = 4m(x – 1)

g) (m+1)
2
x + 1 – m = (7m – 5)x h) a
2
x = a(x + b) – b
i) (a + b)
2
x + 2a
2
= 2a(a + b) + (a
2
+ b
2
)x
Bài 2:
a) Định m để phương trình (m
2
 3)x = 2mx+ m 1 có tập nghiệm là R
b) Định m để phương trình (mx + 2)(x + 1) = (mx + m
2
)x có nghiệm duy nhất
c)Định a ; b đề phương trình (1 – x)a + (2x + 1) b= x + 2 vô số nghiệm xR
d) Định m để phương trình m
2
x = 9x +m
2
4m + 3 vô số nghiệm xR
Bài 3: Giải và biện luận phương trình theo tham số m:
a)mx
2

+ 2x + 1 = 0
b)2x
2
6x + 3m  5 = 0
c)(m
2
 5m 36)x
2
 2(m + 4)x + 1 = 0
Bài 4: Cho a ; b ; c là 3 cạnh của . Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm a
2
x
2
+ (c
2
– a
2
–b
2
)x +b
2
= 0
Bài 5: Cho a ; b ; c  0 và 3 phương trình ax
2
+2bx + c = 0 bx
2
+2cx + a = 0 cx
2
+2ax + b = 0
CMR ít nhất 1 trong 3 phương trình có nghiệm

Bài 6: Cho phương trình : x
2
+ 2x = a. Bằng đồ thị , tìm các giá trị của a để phương trình
đã cho có nghiệm lớn hơn 1. Khi đó , hãy tìm nghiệm lớn hơn 1 đó
Bài 7: Giả sử x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình : 2x
2
 11x + 13 = 0. Hãy tính :
a) x
1
3
+ x
2
3
b) x
1
4
+ x
2
4
c) x
1
4
- x
2
4
d)

2
1
2
x
x
 
 
 
+
2
2
1
x
x
 
 
 

Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
11

Bài 8:Các hệ số a, b , c của phương trình trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 phải thỏa điều kiện
gì để phương trình đó
a)Vô nghiệm b)Có một nghiệm c)Có hai nghiệm d)Có ba nghiệm e)Có bốn nghiệm

Bài 9: Giải và biện luận:
a) (m2)x
2
2(m1)x +m – 3 = 0 b) (m1)x
2
2mx +m +1 = 0
Bài 10: Cho phương trình : x
2
2(m1)x +m
2
– 3m = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm x
1
= 0. Tính nghiệm x
2
.
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa x
1
2
+x
2
2
= 8
Bài 11: Cho phương trình : mx
2
2(m3)x + m – 6 = 0

a) CMR: phương trình luôn có nghiệm x
1
= 1 ; m. Tính nghiệm x
2
.
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa
1 2
1 1
1  
x x

a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu có giá trị tuyệt đối bằng nhau
Bài 12: Giả sử phương trình ax
2
+bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt x
1
; x
2
.
a) CMR phương trình cx
2
+bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt x
3
; x
4
.
b) CMR x
1
+ x
2

+ x
3
+ x
4
 4
Bài 13: Cho phương trình (m +2)x
2
2(4m – 1)x 2m + 5 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
b) Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm suy ra nghiệm câu a
Bài 14: Cho 2 số x
1
; x
2
thỏa hệ (x
1
+ x
2
)  2 x
1
x
2
= 0 m x
1
x
2
– (x
1
+ x
2

) = 2m + 1 (Với m 2)
a) lập phương trình có 2 nghiệm x
1
; x
2

b) Định m để phương trình có nghiệm
c) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 2 cạnh tam giác vuông có cạnh huyền =
2

Bài 15: Cho 2 phương trình x
2
+b
1
x + c
1
= 0 và x
2
+b
2
x + c
2
= 0 thỏa b
1
b
2
 2(c
1
+ c
2

)
Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình có nghiệm
Bài 16: Cho phương trình x
2
– 2(m – 1)x + m
2
– 3m + 4 = 0
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x
1
2
+ x
2
2
= 20
b) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
c) Tìm hệ thức độc lập giữa 2 nghiệm. Suy ra giá trị nghiệm kép
§3:
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1/ Phương trình dạng: ax + b = cx + d
Cách 1:






d)(cxbax
dcxbax

pt

Cách 2: ax + b = {cx + d{  (ax + b)
2
= (cx + d)
2

2/ Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Phương pháp:
 Đặt điều kiện để mẫu thức khác 0
 Quy đồng mẫu thức. Giải và biện luận phương trình thu được
3/ Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ
Phương pháp:Biến đổi biểu thức có trong phương trình, đặt ẩn số phụ để chuyển phương trình
đã cho về phương trình bâc hai
B: các ví dụ :
Ví du 1: Giải và biện luận phương trình
3
2
1



x
mmx

Ví dụ 2 : Giải phương trình
0712x6xx2x
22

(1)

Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
12

I) Định nghĩa:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:
Tính
ba' - ab'
b'a'
ba
D 
;
bc' - cb'
b'c'
bc
D
x

;
ca' - ac'
c'a'
ca
D
y


 D  0 : Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với










D
D
y
D
D
x
y
x

 D = 0 và





0D
0D
y
x
: Hệ vô nghiệm
 D = D
x
= D
y

= 0 : Hệ có vô số nghiệm (x; y) tính theo công thức








Ry
a
cby
x
(a  0) hoặc








b
cax
y
Rx
(nếu b  0)
C: BÀI TẬP:
Bài 1: Giải và biện luận các phương trình
a) mx - x + 1 = x + 2 b) mx + 2x - 1 = x c) mx - 1 = 5 d) 3x + m = 2x - 2m

Bài 2: Tìm các giá trị tham số m sao cho phương trình mx-2=x+4
có nghiệm duy nhất
Bài 3: Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là những tham số)
a)
1
2ax
1
2x
a




b)
1
1x
3mmx



c)
3x
kx
3x
k3x






d)
1
x m
x


+
x 2
x

= 2
e)
2


x
mx
+
mx
x


2
= 2 f )
1 x
x m


+
mx

x


2
=
2 2
2(x m) 2
m x
 


Bài 4:Giải các phương trình a)
x31xx
2

b)
12x96xx
2


Bài 5: Giải và biện luận các phương trình a)
01x1)(mx 
b)
2a
2x
12a




Bài 6:Giải các phương trình (bằng cách đặt ẩn phụ)
a) 4x
2
 12x  5
01112x4x
2

b) x
2
+ 4x  3 x + 2 + 4 = 0 c) 4x
2
+
06
x
1
2x
x
1
2


d) x
2
– x +
2
x x 9 
=3 e) x
2
+ 2
2

x 3x 11 
=3x + 4 f) x
2
+3 x  10 + 3
x(x 3)
= 0
Câu 7: Định tham số để phương trình
a)
1


x
mx
=
1
1


x
x
có nghiệm duy nhất d)
mx
x


2
+
x
x 1


= 2 vô nghiệm
§4:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT




Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
13

II ) Phương pháp giả hệ phương trìnhbậc nhất ba ẩn :
Dạng
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
  


  


  


 Chọn một phương trình, biểu diễn một ẩn theo hai ẩn còn lại

 Thế ẩn đó vao hai phương trình còn lại ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Giải hệ này tìm giá trị hai ẩn từ đó tìm đươc giá trị ẩn còn lại
B CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ1: Giải và biện luận hệ phương trình sau:





1mymx
0myx

Ví dụ2: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm





m32y6)x(m
m 1my4x

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau









(3) 4xz
(2) 262z3y
(1) 28y2x

C. BÀI TẬP:
Bài 1: Bằng định thức giải các hệ phương trình a)





89y7x
34y5x
b)





0y3x22
1y2x3

Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình sau: a)





32m3mymx
1myx

b)





m1)y(m2x
4m ymx

c)





12)y(3a1)x(a
24)y(a2)x(a
d)
mx y m 1
x my 2
  


 


Bài 3: Tìm m, a, b sao cho hệ phương trình sau có vô số nghiệm
a)






m -1myx
2m ymx
b)





m32y6)x(m
m 1my4x
c)





baybx
abyax
d)





ba)y(1bx
aby1)x(a

Bài 4: Tìm m, a, b sau cho hệ phương trình sau vô nghiệm
a)





4by6x
2yax
b)





32m3mymx
1myx
c)
m 1
2m
x y
1 m
m 1
x y
 
  









Bài 5: Cho hệ phương trình :
4 2
mx y m
x my m
  


 


a) Giải và biện luận b) Định m Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
Bài 6: Cho hệ
2 2
(m+1) x - 2y = m - 1
m x - y = m + 2m




a) Giải và biện luận hệ phương trình b)Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất là
nghiệm nguyên
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
14

.CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP

Dạng 1:





(2) 0FEyDxCxyByAx
(1) cbyax
22

Phương pháp: - Tính x theo y (y theo x)
- Thế vào (2) để được phương trình bậc 2) theo 1 ẩn duy nhất
 Dạng 2: Hệ đối xứng hai ẩn loại 1
Là hệ có tính chất: Khi thay x bởi y thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi.
Phương pháp: Đặt x + y = S, xy = P
 Đưa hệ phương trình về hệ 2 ẩn S, P
 x, y là nghiệm X
2
- SX + P = 0
Chú ý : điều kiện hệ có nghiệm: S
2
- 4P  0
Dạng 3: Hệ đối xứng hai ẩn loại 2
Là hệ phương trình có tính chất khi thay x bởi y thì phương trình này trong hệ sẽ
biến thành phương trình kia
Phương pháp: - Trừ hai vế của phương trình
- Dùng phương pháp thế để giải hệ
Bài 7 : Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nguyên






2mmyxm
1m2y1)x(m
22

Bài 8:: Cho hệ
2x y 3m 3
x +2y = 4 -m

  




a) Giải hệ phương trình b) Tìm tất cả các giá trị của m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 9 : Cho hệ
2y x 10m 5
x +y = 5
2
  



. Với giá trị nào của m thì tích 2 nghiệm x.y đạt giá trị lớn nhất

a) m = 2 b) m = 8 c) m = -
1
8
d) Kết quả khác
Bài 10: Giải a)
28
3 3 100
4 5z 107
x y z
5x y z
2x y
  
  
  





b)
2 2
5 5
4z 8
x-3y z
-2x y z
3x-7y
  
  
 






c)
2
2 8
z 5
-x+5y z
2x-9y z
3x-4y
 
 
 






§5:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 ẨN
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

B CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình






5(2)2xy2yx
(1) 52yx
22

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:






2yxxy
4yxyx
22

(I)
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
15

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình





x2yy
y2xx
2
2

C. BÀI TẬP :

Bài 1: Giải các hệ phương trình
a)






164yx
2yx
22
b)





1y2x
7y5xyx
22
c)





042y2xxy
07y2x
22
d)






03yx6xy3x
69y4x
2

Bài 2: Giải các hệ phương trình
a)
2
2
11
30
x y xy
y x
y
x
  



 


b)
30
35
x y y x
x x y y

 



 


c)
2
2
4
28
xy
y
x




 


d)
2
2
7
2
5
2
x y xy
y x
y
x


  




 




e)
2
2
2
4
x y xy
xy
y
x
  



  


f)
2
2

3
1
x y xy
xy
y
x
  



  


g)
2
2
3
6
xy x y
x y xy
y
x
   



    


h)

2
2
2
164
x y
y
x
 



 




i)
2
2
1 1 2
4
( ) ( )
x x y y y
x y
y
x
    




   


j)
3
3
1
61
x y
y
x
 



 


k)
3
3
2
2
( )
xy x y
y
x
 




 


l)
5
13
6
x y
x y
y x
 



 




m)
2
2
6
2 2( )
x y
xy
y
x
 




  


n)
2
2
5
6
x y xy
y x
y
x
  



 


o)
2
2
1 1 18
65
( )( )x y
y
x

  



 


p)
2
2
2
2
13
3
3
3 1
xy
y
x
xy
y
x

  


   



q)





3
7
22
22
xyyx
xyyx
r)





0
12
22
2
xyyx
xyyx )(
s)






5yxyx
7yxyx
22
t)





160
3
22
yx
xyyx )(

Bài 3: Giải các hệ phương trình
a)
2
2
2x +xy= 3x
2y + xy= 3y



b)
2
2
x -2x=y
y -2y=x




c)
2 2
2 2
x -2y = 2x + y
y -2x =2y + x



d)
2
2
x = 3x+2y
y =3y+2y




Bài 4: Giải và biện luận hệ phương trình





m xy
4yx

Bài 5: Cho hệ phương trình

2
2
4
x y
m
y
x
 



 



a) Giải hệ khi m =10 b) Giải và biện luận
Bài 6: Cho hệ
x y xy m 1
(x y)xy m
   


 


a) Giải hệ khi m =2 b) Định m để hệ có nghiệm

Bài 7: Cho hệ phương trình
2
2 2

1
2
x y m
xy
y
x m
  



   



(I)
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
16

 Định nghĩa: Cho
AB a
 
;
BC b
 
. Khi đó
AC a b 
  

 Tính chất : * Giao hoán :

a b
 
=
b a
 

* Kết hợp (
a b
 
) +
c

=
(a b
 
+
c

)
* Tín h chất vectơ –không
a

+
0

=
a


 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :

AB

+
BC

=
AC


 Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB

+
AD

=
AC


 Quy tắc về hiệu vec tơ : Cho O , B ,C tùy ý ta có :
CBOCOB 

a) Giải hệ khi m = 5 b) Định m để hệ có nghiệm
Bài 8: Cho hệ phương trình
2
2
x y xy m
m
y
x

  



 



a) Giải hệ khi m =5 b) Giải và biện luận
Bài 9: Cho hệ phương trình
2
2
2
4
2 1
(
)
( )
x y
m
y
x

 


  



a). Giải hệ khi m =10 b). Giải và biện luận
Bài 10 : Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất





mx4xxy
my4yyx
232
232

Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA

A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Vectơ là đoạn thẳng có dịnh hướng Ký hiệu :
AB

;
CD

hoặc
a

;
b


 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối : Ký hiệu

0


 Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau
 Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng
 Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
Bài 1: Bài tập SGK : 1, 2, 3, 4, 5 trang 9 SGK nâng cao
Bài 2: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các
điểm đó.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ
AB

;
OB

b) Có độ dài bằng 
OB


Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh :
MQNPQPMN  ;

Bài 5 : Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O .
Chứng minh :
CBAH '

Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD . Dựng

BCPQDCNPDAMNBAAM  ,,,
. Chứng
minh
OAQ 

§2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT












Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
17

B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
B1: TRẮC NGHIỆM
Câu1: Phát biểu nào sau đây là đúng:
a) Hai vectơ không bằng nhau thì có độ dài không bằng nhau
b) Hiệu của 2 vectơ có độ dài bằng nhau là vectơ – không
c) Tổng của hai vectơ khác vectơ –không là 1 vectơ khác vectơ -không
d) Hai vectơ cùng phương với 1 vec tơ khác

0

thì 2 vec tơ đó cùng phương với nhau
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD, goi O là giao điểm của AC và BD, phát biểu nào là đúng
a)
OA =OB =OC =OD
b)
AC =
BD
c) OA +OB +OC +OD = 0 d) AC 
AD
=
AB

Câu 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng
a)
AB
= AC b) GA =GB =GC c) 
AB
+ AC  = 2a d) 
AB
+ AC =
2
3

AB
- AC 
Câu 4: Cho
AB
khác 0 và cho điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa 

AB
=CD 
a) vô số b) 1 điểm c) 2 điểm d) Không có điểm nào
Câu 5: Cho a và b khác 0 thỏa a = b . Phát biểu nào sau đây là đúng:
a) a và b cùng nàm trên 1 đường thằng b) a +b = a +b 
c) a -b = a - b d) a -b = 0
Câu 6: Cho tam giác ABC , trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng
a)
AB
+
BC

= 
AC

 b) GA +GB +GC = 0 c) 
AB
+ BC  = AC d) GA +GB +GC  = 0
B2: TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK cơ bản ;
Bài 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK nâng cao
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt
AO

=
a

;
BO


=
b


Tính
AB

;
BC

;
CD

;
DA

theo
a

và
b


Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính 
BC

+
AB

 ; 

AB

-
AC

 theo a
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
a) 
AO

-
AD

= 
MO

 b) 
AC

-
AD

= 
NB


Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB


+
CD

+
EA

=
CB

+
ED


b)
AD

+
BE

+
CF

=
AE

+
BF

+
CD



c)
AB

+
CD

+
EF

+
GA

=
CB

+
ED

+
GF


d)
AB

-
AF


+
CD

-
CB

+
EF

-
ED

=
0


Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử
ONOBOAOMOBOA  ,
. Khi nào điểm M nằm trên đường phân
giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OOEODOCOBOA 

Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng
với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
''' OCOBOAOCOBOA 

Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA


+
OB

+
OC

+
OD

+
OE

+
OF

=
0

b)
OA

+
OC

+
OE

=
0



c)
AB

+
AO

+
AF

=
AD

d)
MA

+
MC

+
ME

=
MB

+
MD

+

MF

( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
Chứng minh rằng :
RF

+
IQ

+
PS

=
0


Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
18

 Cho kR , k
a
là 1 vectơ được xác định:
* Nếu k  0 thì k
a
cùng hướng với
a
; k < 0 thì k

a
ngược hướng với
a

* Độ dài vectơ k
a
bằng k .
a

 Tính chất : a) k(m
a
) = (km)
a
b) (k + m)
a
= k
a
+ m
a
c) k(
a
+
b
) = k
a
+ k
b

d) k
a

=
0

 k = 0 hoặc
a
=
0



b

cùng phương
a

(
a


0

) khi và chỉ khi có số k thỏa
b

=k
a


 Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho
AB


=k
AC


 Cho
b

không cùngphương
a

, 
x

luôn được biểu diễn
x

= m
a

+ n
b

( m, n duy nhất )
a) Chứng minh rằng
HB

+
HC


=
HD


b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng
HA

+
HB

+
HC

=
HH '


Bài 12: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : 
CA

+
CB

 = 
CA

-
CB



§
3:
TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
Bài 1: Bài tập SGK : Bài 4, 9 trang 17 SGK cơ bản ; bài 21 đến 28 trang 23, 24 SGK nâng cao

Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao
cho AK =
3
1
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
OACNAABOMABC  3;
. Chứng minh MN // AC
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O , điểm M là 1 điểm bất kỳ :
a) Tính
MS

=
MA

+
MB

+
MC


+
MD

theo
MO


Từ đó suy ra đường thẳng MS quay quanh 1 điểm cố định
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa 
MA

+
MB

+
MC

+
MD

= a ( a > 0 cho trước )
c) Tìm tập hợp điểm N thỏa 
NA

+
NB

 = 
NC


+
ND


Bài 5: Cho tam giác ABC ; trên BC lấy D ; E thỏa BD = DE = EC . Gọi I là trung điểm BC. S là 1 điểm thỏa
SA

=
AB

+
AD

+
AE

+
AC

Chứng minh rằng 3 điểm I ; S ; A thẳng hàng
Bài 6 :Cho tam giác ABC. Điểm I nằm trên cạnh AC sao cho CI =
4
1
CA, J là điểm mà
ABACBJ
3
2
2
1


.
a) Chứng minh :
ABACBI 
4
3
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng
c) Hãy dựng điểm J thỏa điều kiện đề bài
Bài 7 : Cho tam giác ABC .
a) Tìm điểm K sao cho
CBKBKA 2
b) Tìm điểm M sao cho
OMCMBMA  2

Bài 8: Cho tam giác ABC.
BI
=
3
1
BC ;CJ =
3
1
CA ;
AK
=
3
1
AB

Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số

19

 Trục là đường thẳng trên đó xác định điểm O và 1 vectơ
i

có độ dài bằng 1.
Ký hiệu trục (O;
i

) hoắc x’Ox
 A,B nằm trên trục (O;
i

) thì
AB
=
AB
i

. Khi đó
AB
gọi là độ dài đại số của
AB


 Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục Ox  Oy. Ký hiệu Oxy hoặc (O;
i

;
j


)
 Đối với hệ trục (O;
i

;
j

), nếu
a

=x
i

+y
j

thì (x;y) là toạ độ của
a

. Ký hiệu
a

= (x;y)
 Cho
a

= (x;y) ;
b


= (x’;y’) ta có

a


b

= (x  x’;y  y’)
k
a

=(kx ; ky) ;  k  R

b

cùng phương
a

(
a


0

) khi và chỉ khi có số k thỏa x’=kx và y’= ky
 Cho M(x
M
; y
M
) và N(x

N
; y
N
) ta có
P là trung điểm MN thì x
p
=
2
M N
x x
và y
P
=
2
M N
y y


MN

= (x
M
– x
N
; y
M
– y
N
)
 Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì x

G
=
3
A B C
x x x 
và y
G
=
2
A B C
y y y 

a) Chứng minh rằng: IC + JA +
KB
= 0

AI
+ BJ + CK = 0 . Suy ra ABC và IJK cùng trọng tâm
b) Tìm tập hợp M thỏa: 
MA
+
MB
+ MC =
2
3

MB
+ MC ; 2
MB
+ MC =2

MA
+
MB

c) Tính
IK
; IJ theo
AB
và AC
Bài 9: Cho tam giac ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB .
G là trọng tâm tam giác ABC
1) Chứng minh rằng
AI
+ BJ + CK = 0 .Suy ra tam giác ABC và IJK cùng trọng tâm
2) Tìm tập hợp điểm M thỏa :
a) 
MA
+
MB
+ MC =
2
3

MB
+ MC  b) 
MB
+ MC  = 
MB
- MC 
3) D, E xác định bởi :

AD
= 2
AB
và
AE
=
5
2
AC . Tính
DE
và DG theo
AB
và AC .
Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng
Bài 10 : Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G , M là 1 điểm nằm trong tam giác.
Vẽ MD ; ME ; MF lần lượt vuông góc với 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng

MD

+
ME

+
MF

=
3
2

MG



§
4 :TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ :
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT







Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
20

B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
Bài 1: Bài tập SGK :29 đến 36 TRANG 30, 31 SGK nâng cao
Bài 2 : Cho tam giác ABC . Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài 3 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 4 : Cho tam giác đều ABC cạnh a . Chọn hệ trục tọa độ (O;
i
;
j
), trong đó O là trung
điểm BC,
i
cùng hướng với
OC

,
j
cùng hướng
OA
.
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5 : Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ trục tọa độ (O;
i
;
j
), trong đó O là tâm lục giác đều ,

i
cùng hướng với
OD
,
j
cùng hướng
EC
.
Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 .
Bài 6:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a)
AD

– 2
BD


+ 3
CD

=
0


b)
AD

– 2
AB

= 2
BD

+
BC


c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
Bài 7 :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
Bài 8: Cho
a

=(2; 1) ;

b

=( 3 ; 4) và
c

=(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ
u

= 2
a

- 3
b

+
c


b) Tìm tọa độ của vectơ
x

thỏa
x

+
a

=
b


-
c


c) Tìm các số m ; n thỏa
c

= m
a

+ n
b



BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I

Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)
ACABACAB 

b) Vectơ
ACAB 
vuông góc với vectơ
CAAB 

Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)

DCBCAC 

b)
DADCmDB 

Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho
CAkBBBCkAA  ','
.
Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA . Chứng minh
hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ
MCMBMAv 2
không phụ thuộc
vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho
vCD 

Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
21

 Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM =  và M( x ; y)
*. sin góc  là y; ký hiệu sin  = y *. cos góc  là x
0
; ký hiệu cos  = y
0

*. tang góc  là
y
x

( x

 0); ký hiệu tan  =
y
x
*. cotang góc  là
x
y
( y  0); ký hiệu cot  =
x
y

 Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
Sin 
0
2
1

2

2

2
3

1
Cos 
1
2
3

2
2

2
1

0
tan 
0
3
3

1
3


Cot 

3

1
3
3

0
 Hai góc bù nhau:
Sin( 180
0
- ) = sin  Cos ( 180
0
-) = - cos 
Tan (180
0
-) = - Tan  (  90
0
) Cot ( 180
0
-) = - Cot  ( 0 << 180
0
)
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của A
qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :
HA HD 2HO ; HA HB HC 2HO ; OA OB OC OH
       
          

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh

OGOH 3
.Từ đó kết luận gì về 3 điểm G, H, O.
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh :
a)
0'''  DDCCBB
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1:
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0
0
đến 180
0
)
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

B.VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc
a. 45
0
b. 120
0

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A = Cos 20
0
+ cos 80
0
+ cos 100
0
+ cos160
0
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
22

 Cho
OA

=
a


và
OB

=
b

. Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ
a

và
b

Ký hiệu (
a

;
b

)
Nếu
a

=
0

hoặc
b

=
0


thì góc (
a

;
b

) tùy ý Nếu (
a

;
b

) = 90
0
ta ký hiệu
a


b



),cos(. bababa =
Bình phương vô hướng
a

2
= 
a



2
.
 Các quy tắc: Cho 
a b c
;  k R
a
.
b
=
b
.
a
( Tính giao hoán) ;
a
.
b
= 0 <=>
a

b
; (k
a
,
b
= k (
a b
)
a (

b
c ) =
a b

a
c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )
C : BÀI TẬP
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a. A=( 2sin 30
0
+ cos 135
0
– 3 tan 150
0
)( cos 180
0
-cot 60
0
)
b. B= sin
2
90
0
+ cos
2
120
0
- cos
2
0

0
- tan
2
60
0
+ cot
2
135
0

Bài 2: Đơn gian các biểu thức:
a) A= Sin 100
0
+ sin 80
0
+ cos 16
0
+ cos 164
0

b) B= 2 Sin (180
0
- ) cot - cos(180
0
- ) tan  cot(180
0
- ) . (Với 0
0
< <90
0

)
Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin
2
x +cos
2
x = 1 ( 0
0
 x  180
0
)
b)Tính sinx khi cosx =
3
5
c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx =
2
3

d) Chứng minh rằng 1 + tan
2
x =
2
1
cos x
( Với x  90
0
)
e) Chứng minh rằng 1 + cot
2
x =
2

1
sin x
( Với 0
0
< x < 1800
0
)
Bài 4 : Tính giá trị biểu thức:
A = cos 0
0
+ cos10
0
+ cos20
0
+ . . . . . . + cos 170
0

B= cos
2
120
0
- sin
2
150
0
+2 tan135
0

Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC

b) cos(A + C) + cos B = 0
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0
Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa
a)
AB

và
AC

b)
AB

và
BC

c)
AG

và
BC

d)
GB

và
GC

c)
GA


và
AC



§2: TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
23

 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng  thay đổi,
luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B
Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu:
P

M/(O)


P

M/(O)
= MO
2
– R
2
=
.MA MB
 

Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì
P

M/(O)
= MT
2

 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho
→
a
= (x, y) ,
→
b
= (x', y') ; M(x
M
, y
M
), N(x
N
, y
N
); ta có

→
a
.
→
b

= x.x' + y.y'
|
→
a
| =
22
+ yx

Cos (
→
a
,
→
b
) =
2222
'+'.+
'+'
yxyx
yyxx

→
a

→
b
 xx' + yy' = 0
MN = |
→
MN

| =
22
)_(+)_(
NMNM
yyxx























B : CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho

→
a
= (1, 2),
→
b
= (-1, m)
a) Tìm m để
→
a
,
→
b
vuông góc
b) Tính độ dài
→
a
,
→
b
; tìm m để |
→
a
| = |
→
b
|
Ví dụ2: cho  đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính
AB
. AC ; AC .CB ; AG .
AB

;GB .GC ; BG . AG ;GA. BC
Ví dụ 3: Trong Mp oxy cho 2 điểm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N M b)Tính cos của góc MON
C. BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1).
a) Chứng minh rằng tam giác vuông
b) Xác định tâm đương tròn ngoại tiếp
c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 2: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6)
a) Tìm M  x’Ox để tam giác ABM cân tại M
b) Tìm N  y’Oy để tam giác ABN vuông tại N
c) Xác định H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm
d) Xác định C thỏa 3
AC

- 4
BC

= 2
AB


e) Tìm G sao cho O là trọng tâm tam giác ABG
f) Xác định I  x’Ox để 
IA

+
IB

+

IN

 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho A(-2;1) và B(4;5)
a) Tìm M  x’Ox để tam giác ABM vuông tại M
b) Tìm C để OACB là hình bình hành
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
24

Bài 4: Cho
a

=(
1
2
; -5) và
b

=( k ; -4). Tìm k để:
a)
a

cùng phương
b

b)
a

vuông góc

b

c) 
a

 = 
b


Bài 5: Cho
a

=(-2; 3) ;
b

=( 4 ; 1)
a) Tính cosin góc hợp bởi
a

và
b

;
a

và
i

;
a


và
j

;
a

+
b

và
a

-
b


b) Tìm số m và n sao cho m
a

+n
b

vuông góc
a

+
b


c) Tìm
d

biết
a

.
d

= 4 và
b

.
d

= -2
Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2).
a) Tam giác ABC là tam giác gì . Tính diện tích tam giác
b) Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Tính G, H , I và CMR
GH

+2
GI

=
0


Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)

a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng b)Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình
hành
c)Tìm điểm M  trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B d) Tam giác ABC là tam giác gì ?
e)Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
Bài 8: Cho  ABC có AB=7, AC=5, Â = 120
0

a) Tính
AB
. AC ,
AB
. BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC)
Bài 9: Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: chứng minh rằng:

DA
BC +
DB
CA + DC
AB
=0
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy”
Bài 10: Cho  ABC có 3 trung tuyến AD, BE,CF; CMR: BC
AD
+CA
BE
+
AB
CF =0
Bài 11 : Cho  ABC có AC= b, AB= c, góc BAC =  và AD là phân giác

của góc BAC ( D thuộc cạnh BC)
a) Hãy biểu thị
AD
qua
AB
, AC b) Tính độ dài đoạn AD
5) Cho 2 điểm M,N nằm trên đường tròn đường kính AB= 2 R, AM
∩
BN =I
a) Chứng minh:
AM
AI
=
AB
AI
; BN
BI
=
BA
BI

b) Tính
AM
AI
+ BN
BI
theo R
Bài 11: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k  IR, Tìm tập hợp điểm M sao cho:
a)
MA

MB
= k b) MA
2
- MB
2
= k
2

Bài 12: Từ điển M ở ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B  (0) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của đường tròn
(0) cắt nhau tại I, IO  AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần lượt cắt AB tại C; cắt
đường tròn (0) tại E, F
Chứng minh :
a. MD.MC=MB.MA b. OF
2
= OM.OH c. IH.IC=FI.IE
d. P
M/(ICD)
+ P
I/(MCH)
= IM
2
( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp:  : ICD, MCH)
Tài liệu toán 10
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (0908079439) Trang số
25

Bài 13:. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một
đường tròn khi và chỉ khi MD.MC=MB.MA
Bài 14:. Cho
→→→

j 5-i
2
1
=u
và
→→→
ik= j4-v
Tìm các giá trị của k để : a.
→→
⊥
vu
b.
→→
v=u

Bài 15:. Cho
→
a = (-2, 3),
→
b = (4,1)
a. Tim côsin của góc giữa mỗi cặp vectơ sau : *
→
a và
→
b ,
→
a và
→
i
,

→
a
+
→
b và
→
a
-
→
b
b. Tìm các số k và l sao cho
→
c
= k
→
a
+ l
→
b Vuông góc với
→
a
+
→
b
c. Tìm vectơ d biết
.
a d 4
b.d 2

 






 
 

Bài 16:. Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ của
a. Điểm M  ox sao cho 

MAB vuông tại M
b. Điểm N  oy sao cho NA = NB
c. Điểm K  oy sao cho3 điểm A,K,B thẳng hàng
d. Điểm C sao cho  ABC vuông cân tại C
Bài 17:. Cho 3 điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4)
a. Tính chu vi và diện tích  ABC
b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm toạ độ A’
c. Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp  ABC; từ đó chứng minh 3
điểm I,H,G thẳng hàng.
Bài 18:. Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn
Bài 19:. Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D.
Bài 20: Cho M cố định ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và 2 tiếp tuyến CT và CT’. Gọi D là giao
điểm của TT’ và AB. H và I lần lượt là trung điểm của của TT’ và AB
a) CMR :
MA
.
MB
= MO
MH

=
MI
MD

b) Cho AB = 8 cm. Gọi (C
1
) là đường tròn tâm A, bán kính = 4 cm, (C
2
) là đường tròn tâm B, bán
kính = 3cm. Tìm tập hợp N thoả
P

N/(C
1
)
+
P

N/(C
2
) = 15


Bài 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11. Qua I vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD
Cho IA = 12, tính IB
Cho CD = 1; tính IC ; ID
Bài 22: Điểm I nằm trong (O;R), qua I vẽ 2 dây AB và CD. Tính IC ; ID
a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
b) IA =12 ; IB = 18 ;
3

8
IC
ID


Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB . Cho AB = 5
a) Tính MT ; MA ; MB
b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO tại E. Tính OE