Tải bản đầy đủ (.pdf) (19 trang)

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (148.63 KB, 19 trang )

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh Hoá
Gmail:
Điện thoại: 097744 2256
Bài 1. Nếu trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với
cạnh ấy bằng 30

.
Lời giải. Xét △ABC vu ô ng tại A có AC =
1
2
BC. Trên tia đối của tia AC lấy
A
D A
C
điểm D sao cho AD = AC.
△ABD = △ABC(c.g.c) ⇒ BD = BC.
Do AC =
1
2
BC,AC =
1
2
DC nên BC = DC.
Tam giác BDC có BD = BC = DC nên là tam giác đều, do đó

C = 60

. Suy
ra


ABC = 30

.
Bài 2. Tính các góc của tam giác ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia góc

BAC
thành ba góc bằng nhau.
Lời giải.
Vẽ MK⊥AC thì △KAM = △HAM(cạnh h uyền-góc nhọn) nên MK =
A
B H M
K
C
MH.
Do đó MK =
MB
2
=
MC
2
.
△MKC vuông có MK =
MC
2
nên

C = 30

.
Suy ra


HAC = 60

,

BAC = 90

,

B = 60

.
Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài t am giác ấy các tam
giác đều ABE,ACF. Gọi I là trung điểm của BC,H là trực tâm của
tam giác ABE. Tính các góc của tam giác FIH.
Hướng dẫn. Đối với bài tập này cần xét ba trường hợp:
+ Trường hợp 1:

BAC < 90

.
A
E
H
B
F
C
K
I
Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK thì

△IBH = △ICK(c.g.c)
⇒ CK = BH = HA. Chú ý rằng:

FAH = 60

+ 30

+

A < 180

.

KCI =

HBI =

B+ 30

. Suy ra

FCK = 360




KCN +

ACB+


ACF

= 360



90

+

B+

ACB

= 90

+

A =

FAH.
và AF = CF.
Do đó △AHF = △CKF(c.g.c). Suy ra FH = FK nên tam giác FHK cân tại đỉnh F.
Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên

AFH =

CFK, mà

AFC = 60


nên

HFK =
60

.
Vậy tam giác FHK đều. Suy ra

HIF = 90

,

IHF = 60

,

IFH = 30

.
Chú ý. Ta cũng có th ể vẽ điểm K s ao cho I là trung điểm KF thì
△BIK = △CIF(c.g.c) ⇒ BK = CF = AF (1)
Vì H là trực t âm của tam giác đều ABE nên AH = BH (2)
1
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lại có

HBK = 360




HBA−

ABC−

IBG = 360

− 30



ABC−


BCA+ 60


= 270




ABC+

BCA

= 90

+


BAC =

HAF (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra △BHK = △ AHF(c.g.c) ⇒ HK = HF.
Tam giác HKF cân tại H, có HI là đường trung tuyến
A
E
H
B
F
C
I
đồng thời là đường cao nên HI⊥KF. Vậy

HIF = 90

.
+ Trường hợp 2:

BAC = 90

. Ta thấy H,A,F thẳng h àng ;
E,H,I thẳng hàng và EI//AC đồng thời IF//AB.
Do đó EI⊥IF suy ra

HIF = 90

,

IHF = 60


,

IFH = 30

.
+ Trường hợp 3:

BAC > 90

chứng minh tươ ng tự trường
hợp

BAC < 90

.
Chú ý. Trực tâm H của t am giác ABE (gi ao của ba đường
cao) có thể thay bằng trọng tâm G hoặc g iao của ba đường phân giác (t âm đường tròn nộ i tiếp tam
giác ABE) hoặc gi ao của ba đường trung trực (đường tròn đi qua ba điểm A,B,E) là như nhau.
Bài 4. Cho tam giác ABC có

ABC = 45

,

ACB = 120

. Trên tia
A
H

B
C
D
1
1
1
2
2
đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính số đo góc

ADB.
Lời giải. Vì

C
1


C
2
là hai góc kề bù, mà

C
1
= 120

nên

C
2
= 60


.
Vẽ DH⊥CA ta được tam giác CDH vuông tại H có

CDH = 30

nên CH =
1
2
CD, mà BC =
1
2
CD (giả thiết, CD = 2BC) nên CH =
BC hay tam gi ác BCH cân tại H suy ra HB = HD. (1)
Ta có

B
1
= 15



A
1
= 15

nên tam giác HAB cân tại H. Do đó
HB = HA. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác HAD cân tại H, mà


AHD = 90

. Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H.
Từ đó tính được

ADB = 30

+ 45

= 75

.
Bài 5. Cho tam giác ABC có

BAC tù, đường cao AH, đường phân giác BD thoả mãn

AHD = 45

.
Tính

ADB.
Lời giải.
Cách 1. Vẽ BK⊥AC. Xét tam gi ác ABH có
A
K
B
H
D
C

1
1
1
2
2
x
BD là đườ ng phân giác trong; HD là đường
phân giác ngoài đỉnh H nên AD là đường phân
giác ngoài đỉnh A, suy ra

A
1
=

A
2
.


A
1
=

KBH (cùng phụ với

C) nên

A
1
=


KBD+

B
1
. (1)
Mặt khác

A
2
=

D
1
+

B
2
. (2)


A
1
=

A
2
;

B

1
=

B
2
nên từ (1) và (2) suy ra

KBD =

D
1
. Do đó tam giác KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra

KBD =

ADB = 45

.
Cách 2. Để vẽ hình chính xác, ta vẽ tam g iác BHD có

BHD = 135

, rồi vẽ điểm A sau đó vẽ điểm C.
Xét △ABH ta có:

HAx =

ABH + 90

= 2


B
2
+ 90

.
2
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Ta lại có

HAx = 2

A
2
. Do đó
2

A
2
= 2

B
2
+ 90



A
2
=


B
2
+ 45

(1)
Mặt khác, xét △ABD ta có

A
2
=

B
2
+

D
1
(2)
Từ (1) và (2) s uy ra

D
1
= 45

.
Chú ý. Trước khi làm bài tập này, ta giải bài toán phụ dưới đây: Cho
E
A
D

B
C
F
I
tam giác ABC. Chứng minh rằng hai tia phân g iác ngoài của hai góc
tại hai đỉ nh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một
điểm (xem một số bài tập liên qua đến b ài t oán này sau bài tập này).
Lời giải. Thật vậy, gọi I là giao điểm hai tia ph ân giác ngoài của góc
B và C.
Từ I kẻ IE⊥AB;IF⊥AC theo tính chất tia phân giác ta có IE = IF và
ID = IF.
Điều đó chứng tỏ I nằm trên ti a phân gi ác của góc A. Nói cách khác hai t ia phân giác của hai góc
ngoài ở đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm.
Bài 5.1. Cho tam giác ABC có

A = 120

, các đường phân giác AD và BE. Tính số đo của

BED.
Lời giải. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB, ta có

BAD =

CAD =
A
B D
C
E
1 1

2
2
x
60

nên

CAx = 60

.
Xét tam giác ABD có AE là phân giác ngoài tại đỉnh A,BD
là phân giác trong tại đỉnh B. Do đó DE là phân giác ngoài
tại đỉnh D. Do đó

BED =

D
1


B
1
=

ADC−

ABC
2
=


BAD
2
=
60

2
= 30

.
Bài 5.2. Cho tam giác ABC có

ACB và

A tù. Kẻ tia BD cắt tia đối của tiaCA ở D sao cho

CBD =

ABC.
Kẻ AH vuông góc với BD tại H. Tính

CHD.
Lời giải. Gọi tia đối của tia AB là tia Ax.
A
B
H D
C
1
1
1
2

2
x
Xét tam giác ABH, theo tính chất góc ngoài của tam
giác ta có

HAx = 90

+ 2

B
1
(hình vẽ bài 5).
Xét tam giác ABC có

A
2
=

C
1
+

B
1
= 45

+

B
1

=
1
2

HAx.
Suy ra AC là tia phân giác của

HAx.
Kết hợ p với giả th iết BC là tia phân g iác của

ABH, suy
ra HC là tia phân giác của

AHD. Vậy

CHD = 45

.
Bài 5.3.
Cho tam giác ABC,

B = 120

, phân gi ác BD và CE.
Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của
tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh
rằng.
a)

ADF =


BDF.
b) Ba điểm D,E,F thẳng hàng.
Lời giải.
3
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
a) Vẽ tia đố i của tia phân giác BD là By. Khi đó dễ thấy

ABD =

ABF =

FBy = 60

.
Xét tam giác ABD có hai tia phân giác ngoài của góc A và B cắt nhau tại F suy ra DF là tia phân giác
trong của góc D. Vậy

ADF =

BDF.
b) Xét tam giác BCD có tia phân giác của góc C và tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt nhau tại E, suy
ra DE là ti a phân giác của

ADB.
Ta có DE,DF đều là tia phân giác của góc

ADB nên ba điểm D,E,F thẳng hàng.
Bài 5.4. Cho tam giác ABC,


B = 45

, ph ân giác BD, đườn g cao AH. Cho biết

BDA = 45

. Chứng
minh rằng HD//AB.
Lời giải. Xét tam giác BCD có

ADB là góc ngoài của
A
B
H
D
C
1
1
1
2
2
x
tam giác BCD nên

ADB =

B
2
+


C suy ra

C =

ADB−

B
2
hay

C = 45



B
2
.
Xét tam giác ABC có

A
1
là góc ngoài tại đỉnh A nên

A
1
=

B+

C =


B+ 45



B
2


A
1
= 45

+

B
2
(1)
Xét tam giác AHC vuông tại H có

A
2
= 90



C = 45

+


B
2
(2)
Từ (1), (2) suy ra

A
1
=

A
2
.
Xét tam giác ABH có D là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không
kề nên tia HD là t ia phân giác ngoài tại điểm H do đó

DHC = 45

, suy ra HD//AB (vì có cặp góc
đồng vị bằng nhau).
Bài 5.5. Cho tam giác ABC,

A = 120

, các đường phân giác AD,BE,CF.
a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB.
b) Tính

EDF.
Lời giải. a) Vẽ Ax là tia đối của AB. Khi đó


BAC và CAx là
A
B D
C
E
1 2
x
3
F
hai góc kề bù nên

BAD =

CAD =

CAx = 60

.
Xét tam giác ABD có AE là tia phân giác ngoài tại đỉnh A;BE
là tia phân giác trong tại B nên DE là tia phân giác ngoài tại
đỉnh D của tam giác ADB.
b) Chứng minh tương tự DF là tia phân giác ngoài tại đỉnh
D của tam giác ACD.
Mặt khác,

ADC và ADB là hai góc kề bù nên

EDF = 90

.

Bài 5.6. Cho tam giác ABC có các đường p hân giác BD,CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh
rằng

B =

C hoặc

B+

C = 120

.
Lời giải.
Cách 1. Kẻ IH⊥AB,IK⊥AC, ta có △HIE = △KID (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra

IEH =

IDK
(1)
Xét bốn trường hợ p sau:
a) H thuộc BE;K thuộc CD.
Từ (1) suy ra

A+

C
2
=

A+


B
2
. Do đó

C =

B.
b) H thuộc AE;K thu ộc AD.
Chứng minh tương tự phần a) ta được

B =

C.
c) H thuộc BE;K thuộc AD.
4
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Từ (1) ta có

A+

C
2
=

C +

B
2



A =

B
2
+

C
2
⇒2

A =

B+

C ⇒ 3

A =

A+

B+

C = 180



A = 60

,


B+

C = 120

.
d) H thuộc AE;K thu ộc CD. Chứng minh tương tự phần c), ta đượ c

B+

C = 120

.
Cách 2. Kh ô ng mất tính tổng quát, giả sử AD ≥ AE, xét hai trường hợp:
a) AD = AE.
A
A
E
E
D
D
I
I
F
B
B
C
C
1
1

1
1
2
2
1
△ADI = △AEI(c.c.c) ⇒

ADI =

AEI.
△ADB và △AEC có

A chung,

ADI =

AEI nên

B
1
=

C
1
. Do đó

B =

C.
b) AD > AE. Lấy F trên AD sao cho AF = AE.

△AFI = △AEI(c.g.c) ⇒ IF = IE,

F
1
=

E
1
.
Do IE = ID nên IF = ID, do đó

F
1
=

D
1
. Suy
ra

D
1
=

E
1
, tức là

A+


B
2
=

B+

C
2
.
Biến đổi như cách 1, ta được

B+

C = 120

.
Bài 5.7. Tam giác ABC có

A = 90

,B và C là các góc nhọn, các đường trung trực của AB và AC cắt
nhau tại O và cắt BC thứ tự tại E và F. Chứng m inh rằng AO là tia phân giác của

EAF.
Lời giải. Ta xét hai trường hợp:
A
O
B F
E
C

Trường hợp 1:

A < 90

.
Ta có EA = EB nên EO là tia phân g iác của

AEB.
Chứng minh tương tự FO là tia phân giác của

AFE.
Vì EO và FO là các tia phân giác trong tại đỉnh E và đỉnh F của
tam giác AEF nên AO là tia phân giác của

EAF.
Trường hợp 2:

A > 90

.
Vì O là giao đi ểm của các đường trung tr ực AB và AC nên OA = OB = OC.
Điểm E nằm trên đườn g t rung trực của AB nên EA = EB.
Điểm F nằm trên đường trung trực của AC nên FA = FB.
△AOE = △BOM(c.c.c) ⇒

A
1
=

B

1
.
EB F
C
O
A
1
1
1
2
Tương tự △AOF = △COF(c.c.c) ⇒

A
1
=

C
1
.
Mặt khác

B
1
=

C
1
(vì △BOC cân tại O).
Suy ra


A
1
=

A
2
suy ra AO là tia phân giác của

EAF.
Chú ý.
Từ bài toán trên ta thấy nếu

B > 90

khi đó AO là tia phân giác
ngoài tại đỉnh A. Thật vậy, xét △AEF,EO là tia phân giác trong
của

E, FO là tia phân giác ngoài tại đ ỉnh F. Khi đó AO là tia
phân giác ngoài tại đỉnh A (hình vẽ bên).
Bài 5.8. Tam giác ABC có

B = 60

,

C = 30

. Lấy đ iểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao
cho


ABD = 20

,

ACE = 10

. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của tam giác KDE.
Lời giải. Gọi I l à giao điểm của các tia phân giác

KBC và

KCB. Khi đó KI là tia phân g iác của

BKC.
Mặt khác, t am giác KBC có

BKC = 120

(vì

KBC = 40

,

KCB = 20

), do đó

BKI =


CKI =

BKE =

CKD = 60

(dễ dàng tính được điều này).
5
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
+ Xét △BKI và △BKE có








B
2
=

B
3
(giả thiết)
BK (chung)

BKI =


BKE = 60

Suy ra △BKI = △BKE(g.c.g) ⇒ KE = KI (1)
+ Chứng min h tương tự KD = KI (2)
Từ (1), (2) suy ra KE = KD hay △KED cân tại K.
Mặt khác,

EKD = 120

=

BKC (đối đỉnh).
Do đó

KED =

KDE =
180

− 120

2
= 30

.
Bài 5.9. Cho tam giác ABC


A = 90


,

B,

C < 90


, kẻ AH vuông góc với BC vẽ các điểm D và E
sao cho AB là đường tru n g trực của HD,AC là đường trung trực của HE. Gọi I,K thứ tự là giao điểm
của DE với AB và AC. Tính

AIC,

AKB.
Hướng dẫn. Ta xét hai trường hợp:
a) Nếu

A < 90

.
b) Nếu

A > 90

.
Chú ý. 1) Ở bài tập này ta đã sử dụng hai kết quả sau:
+ Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau (ở kết quả này ta cần dùng đến bài toán
sau: Nếu Ox,Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đ ối nhau bờ chứa tia Oz sao cho

zOx +


zOy = 180

thì Ox
và Oy đối nhau).
+ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông.
2) + Trong trường hợp

B > 90

, tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác trong, IC,KC là các
tia phân giác ng oài.
+ Trong trường hợp

C > 90

, tam gi ác HIK có IB và KB là các tia phân giác ngoài, IC,KC là các tia
phân giác trong. Các trường hợp này ta vẫn có

AIC =

AKB = 90

.
Bài 5.10. Cho tam giác ABC có

B = 75

,


C = 45

. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho

BAD = 45

.
Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của

ADC tại E. Tính

CBE.
Bài 6. Cho tam giác ABC cân có

B =

C = 50

. Gọi K là điểm trong của tam giác sao cho

KBC =
10

,

KCB = 30

. Chứng minh rằng tam giác ABK cân và tín h

BAK.

Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều EBC sao cho E và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC.
Cách 2. Vẽ tam giác đều ACE sao cho E và A khác phía đối với BC.
Cách 3. Vẽ tia phân giác của

ABK.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân có

A = 20

. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính

ACD.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều BCE sao cho A và E cùng ph ía đ ối với BC.
Cách 2. Vẽ tam giác đều ADE sao cho C và E nằm trên h ai nửa mặt phẳng đối nh au bờ AB.
Cách 3. Vẽ tam giác đều ACE sao cho D và E khác phía đố i với AC.
Cách 4. Vẽ tam giác đều ABE sao cho C và E cùng phía đối với AB.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm E nằm trong tam giác, tam giác EAC cân ở E và
góc ở đáy bằng 15

. Tính

AEB.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ về phía trong tam giác ABC sao cho tam giác AED đều.
Cách 2. Về phía trong t am giác ABC lấy điểm D sao cho tam giác ABD cân ở D và có góc ở đáy bằng
6
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
15


.
Cách 3. Vẽ tam giác đều ACD sao cho E và D khác phía đối với AC.
Cách 4. Vẽ tam giác CDE đều sao cho E và D khác phía đối với BC.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M,N lần lượt là t rung điểm của AB và AC. Kẻ
NH vuông góc với CM tại H. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và
HM l à tia phân giác của

BHE.
Bài 10. Cho t am giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC,G là điểm thuộc cạnh AB
sao cho AG =
1
3
AB,E là chân đườn g vuông góc hạ từ M xuống CG. Các đường thẳng MG và AC cắt
nhau tại D. So sánh độ dài DE và BC.
Bài 11. Cho t am giác ABC cân tại A với

BAC = 80

. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho

MAC = 20



MCA = 30

. Tính

MBC.

Hướng dẫn. Trên đường cao AH lấy điểm P sao cho AP = AB = AC.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và

ABC = 60

. Lấy đ iểm M thuộc cạnh BC sao cho AB +
BM = AC+CM. Tính

CAM.
Bài 13. Cho tam giác ABC có

BAC = 55

,

ABC = 115

. Trên tia phân giác của

ACB lấy điểm M sao
cho

MAC = 25

. Tính BMC.
Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọ i E là điểm tuỳ ý nằm giữa B và C. Đường thẳng qua E
vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi K là trung đi ểm của
BE. Tính độ lớn của

AKD.

Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đ ườ ng thẳng AC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông
góc với BC qua M cắt đ ườ ng thẳng BC tại H. Gọi I là trung điểm của BM. Tính

HAI.
Bài 16. Cho tam g iác ABC cân tại A với

BAC < 90

và các đườn g cao BD,AH. Trên tia BD lấy đi ểm
K sao cho BK = BA. Tính

HAK.
Chú ý. Nếu

BAC > 90

ta có kết quả

HAK = 135

.
Bài 17. Cho tam giác ABC vuông t ại A với

ACB = 15

. Đặt BC = a,AC = b,AB = c. Chứng minh
rằng a
2
= 4bc.
Hướng dẫn.

Cách 1. + Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho

CBD = 15

.
+ Sử dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác ABD và tam giác ABC ta có đpcm.
Cách 2. Kẻ đường cao AH và gọi M là trung điểm BC để làm.
Bài 18. Cho t am giác ABC cân t ại A có

BAC ≥ 90

. Lấy điểm M nằm giữa A và C, h ạ AH và CK
cùng vuông góc với BM (H,K thuộc BM) sao cho BH = HK + KC. Tính

BAC.
Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại C có

ACB = 100

. Điểm M thuộc tia CA sao cho CM = AB. Tính

CMB.
Bài 20. Trong hình vuông ABCD lấy hai điểm P,Q sao cho BP song song với DQ với BP
2
+ DQ
2
=
PQ
2
. Tính


PAQ.
Bài 21. Cho tam giác ABC có AB = AC và

BAC = 80

. Lấy điểm I ở trong t am giác sao cho

IAC = 10

,

ICA = 20

. Tính

CBI.
Bài 22. Cho tam giác ABC có

BAC = 45

,AM là tru n g tuyến, AD là phân giác trong của tam giác
MAC, kẻ DK vuông góc với AB (K ∈ AB). Gọi giao điểm của AM và DK là I. Chứng minh rằng nếu
AM là tia phân giác của

BAD thì BI là tia phân giác của

ABD.
Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E s ao cho


DAE =

ABD.
Chứng minh rằng

DAE =

ECB.
7
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Bài 24. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho

MAC =

MBA =

MCB.
Hãy so sánh diện tích hai t am giác ABM và CBM.
Bài 25. Cho tam g iác ABC vuông tại A có

B = 75

. Trên t ia đối của tia AB lấy điểm H sao cho
BH = 2AC. Tính

BHC.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều BCD sao cho A và D cùng phía đối với BC, lấy E là trung điểm của BH.
Cách 2. Vẽ tam giác đều HBD sao cho D và B thuộc h ai nửa m ặt phẳng đối nhau b ờ HC, sau đó gọi
M là trung điểm BD và chứng minh cho C,M,H th ẳng hàng từ đó suy ra đpcm.

Cách 3. Trên cùng một nửa mặt ph ẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy sao cho

BCy = 75

. Gọi H


giao điểm của tia Cy và BA, sau đó tìm cách chứng minh H ≡ H

.
Cách 4. Gọi D là giao điểm của đường trun g trực của BC với AB, khi đó t am giác DBC cân tại D, cuối
cùng tìm cách chứng minh D ≡ H.
Bài 26. Cho tam giác ABC cân tại A có

BAC = 20

. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ các
tia Ax,Cy s ao cho

CAx = 20

,

CAy = 130

. Gọi D là giao điểm của hai ti a Ax và Cy. Tính

ABD.
Hướng dẫn. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B vẽ tam giác đ ều ADE.
Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A có


BAC = 40

, đường cao AH. Các điểm E,F thứ tự thuộc các
đoạn thẳng AH,AC s ao cho

EBA =

FBC = 30

. Chứng minh rằng AE = AF.
Bài 28. Cho tam giác ABC cân có

B =

C = 50

. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho

CAD = 30

. Trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho

ABE = 30

. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng tam
giác IDE cân và tính các góc của tam giác đ ó.
Hướng dẫn. Trên n ửa mặt phẳng bờ BC vẽ tam giác ABH đều sao cho A và H thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ BC.

Bài 29. Cho tam giác ABC cân tại A có

A = 40

. Trên nửa mặt bờ BC không chứa điểm A, vẽ ti a Bx
sao cho

CBx = 10

. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính

BDC.
Hướng dẫn
Cách 1. Vẽ tam giác ABE đều sao cho E và C cùng phía đối với AB.
Cách 2. Vẽ tam giác ACM đều sao cho B và M cùng phía đối với AC.
Cách 3. Vẽ tam giác BCE đều sao cho E và A cùng ph ía đối với BC.
Bài 30. Điểm M nằm trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5. Tính

AMB.
Hướng dẫn. Đặt MA = 3a,MB = 4a,MC = 5a, sau đó ta có thể chọn một trong hai cách sau:
Cách 1. Vẽ tam giác MBK đều sao cho K và C khác phía đối với BM.
Cách 2. Vẽ tam giác AME đều sao cho E và C khác phía đối với AM.
Bài 31. Điểm M nằm b ên trong tam giác vuông cân tại B sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3. Tính

AMB.
SỬ DỤNG MỘT TÍNH CHẤT
CỦA TAM GIÁC CÂN ĐỂ GIẢI TOÁN
Tính chất. Trong tam g iác cân ABC
(
AB = AC

)
thì

ABC =

ACB =
180



BAC
2

=

B+

C
2

.
Sau đây là một s ố ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ba cạnh BC,CA,AB.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng

BAH =

OAC.
8
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7

Lời giải
A
B H
C
O
Gọi O là giao điểm các đườn g trung trực của tam giác
A
E
K
D
I
B
C
1
2
3
ABC nên OA = OB = OC.
Tam giác OBC cân tại O nên

OBC =
180



BOC
2
.
Tam giác OAC cân tại O nên

OAC =

180



AOC
2
.
Tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác đó, suy
ra

BAH = 90



ABC = 90




OBC+

OBA

= 90



180




BOC
2
+
180



AOB
2

= 90



AOC
2
=
180



AOC
2
=

OAC

=


OCA

.
Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BE,CF. Chứng minh rằng

BEF =

BCF.
Lời giải
A
B
C
F
E
M
Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho

MFB =

MBF.
Lại có

MFB+

MFC = 90

;

MBF +


MCF = 90

nên

MFC =

MCF,
suy ra MC = MF = MB.
Tương tự ME = MB = MC.
9
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Do các tam giác MBF,MEF và MCE cân tại M nên

MBF =
180



BMF
2
;

MEF =
180



EMF
2
;


MEC =
180



CME
2
.
Vậy

CBF +

CEF =

MBF +

MEC +

MEF
=
180



BMF
2
+
180




CME
2
+
180



EMF
2
= 90

.
nên

BEF =

BCF.
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm D sao cho

ADB =

ACB. Chứng minh rằng

BAC =

BDC.
Lời giải. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC thì O nằm trong tam giác ABC và
OA= OB = OC. Do các tam giác OBC,OAC cân tại O nên


OCB =
180



BOC
2
;

OCA =
180



AOC
2
.
Suy ra

ACB =

OCA+

OCB =
180



AOC

2
+
180



BOC
2
=

AOB
2


ADB =

AOB
2
(1)
A
D ≡ H
O
B
C
Trên ti a OD lấy điểm H sao cho OH = OA. Khi đó

AHB =

AHO−


BHO =
180



AOH
2

180



BOH
2
=

AOB
2
(2)
Từ (1) và (2) s uy ra

ADB =

AHB nên H ≡ D. Từ đó OD = OA = OB = OC.
Tương tự ta có

BAC =

BOC
2

;

BDC =

BOC
2


BAC =

BDC.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đườn g tròn tâm O. Tia phân giác của góc

BAC cắt BC tại
D, cắt đường tròn tại E khác A. Chứng minh rằng BE l à ti ếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ADB.
Lời giải
10
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
A
K
O
B
D
C
E
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB. Trong tam giác KBD cân tại K ta có

KBD =
180




BKD
2
=
180

− 2

BAD
2


KBD = 90



BAD.
Lại có

EAB =

EAC ⇒ EB

= EC



EAB =


EBC


KBE =

KBD+

EBC = 90



BAD+

BAD = 90

hay BE⊥KB,
suy ra BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADB.
Ví dụ 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt p hẳng chứa nửa đường tròn bờ AB
kẻ các tiếp tuyến Ax,By.C là điểm nằm giữa A và O.M là điểm nằm trên nửa đường tròn (M khác A
và B). Đường thẳng qua M v uông góc với MC cắt Ax tại P, đường thẳng qua C vuôn g góc với CP cắt
By tại Q. Gọi D là g iao điểm của CP và MA,E là giao điểm của CQ và MB. Chứng minh rằng đ ườ ng
tròn ngoại tiếp tam giác MDP và đường tròn ngoại tiếp tam giác MEQ tiếp xúc với nhau.
Lời giải
x
y
P
I
D
M

K
E
A
C O
B
Gọi I,K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác MDP và MEQ.
Tam giác MKE cân tại K nên

KME =
180



MKE
2
=
180

− 2

MQE
2
= 90



MQE.
11
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Tam giác MID cân tại I nên


IMD =
180



MID
2
=
180

− 2

MPD
2
= 90



MPD.
Tứ giác MPAC nội tiếp nên

MCD =

MAP, mà

MBC =

MAP (cùng chắn cung


MA) suy ra

MCD =

MBC ⇒

MCQ =

MBQ.
Do đó tứ giác MCBQ nội tiếp, dẫn đến

MQE =

MBC. Từ đó

IMD+

DME +

KME = 90



MPD + 90

+ 90



MQE

=270




MAC+

MBC

= 180



IMK = 180

.
Do đó ba đi ểm I,M,K thẳng hàng.
Vậy đường tròn tâm I và đường tròn tâm K tiếp xúc nhau tại M.
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của

ABC và

ACB cắt AC,AB theo thứ tự tại
F,E. Chứng minh rằng EF//BC.
Bài 2. Cho tam g iác ABC. Trên nửa mặt p hẳng bờ BC không chứa A lấy điểm D sao cho

BFC +

BAC = 180


. Chứng minh rằng

BCA =

BDA.
Bài 3. Cho góc

xOy nhọn. Vẽ tia Oz nằm trong góc

xOy sao cho

xOz =

yOz
2
. Qua A trên tia Ox kẻ
AH vuông góc với Ox tại H.AH cắt Oz tại B. Trên tia Bz lấy điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh
rằng tam giác AOD cân.
Bài 4. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB,BC thứ tự lấy các điểm E,F sao cho AE =
1
2
EB,BF =
1
2
FC. AF cắt CE tại I.BI cắt EF tại H. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Bài 5. Cho hình thang ABCD(AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng mi nh
rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB và OCD tiếp xúc nhau.
BÀI TOÁN TÍNH GÓC TỔNG QUÁT
Bài toán 1.

Cho △ABC có

BAC =

ABC =
α
(30

<
α
< 60

). M là điểm trong tam giác sao cho

MAB =
30

,

MBA = 60


α
. Tính số đo

CMB.
Lời giải (h.1a)
D
A
M

C
B
A
B
M
C
D
a)
b)
12
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Về cùng phí a với △ABC vẽ △ABD đều. Khi đó

CDB = 30

=

MAB,

CBD = 60


α
=

MAB
nên ta có △BAM = △BDC (g.c.g) suy ra BC = BM, mà

CBM = 2
α

− 60

nên suy ra

CMB =
(
180

− 2
α
+ 60

)
: 2 = 120


α
Hãy giải bài toán đã cho trong t rường hợp
α
= 50

Bài toán 2.
Cho △ABC có

ABC =

ACB =
α
> 60


. M là điểm nằm khác phía A so với BC sao cho

BCM =
150

,

CBM =
α
− 60

. Tính số đ o

AMC.
Lời giải (h.1b)
Về phía tron g △ABC, vẽ △BCD đều. Kh i đó ta có

ADB = 150

=

BCM,

ABD =
α
− 60

=

MBC

nên △BDA = △BCM (g.c.g) ⇒ BA = BM, mà

ABM =
α
+
(
α
− 60

)
= 2
α
− 60

nên suy ra

AMB =
[
180


(
2
α
− 60

)]
: 2 = 120



α
(1)
Mặt khác

BMC = 180



MBC −

MCB = 180


(
α
− 60

)
− 120

= 90


α
(2)
Từ (1), (2) có

AMC =
(
120



α
)

(
90


α
)
= 30

Chú ý:
Với mọi giá trị của góc
α
> 60

thì giá trị của

AMC luôn khô ng đổi và bằng 30

, mặt khác hai bài
toán trên có quan hệ với n hau.
Bài toán 3.
Cho △ABC có

BAC =
α
(30


<
α
< 60

),

ABC = 60

+
α
. Trên tia ph ân giác của

ACB lấy đ iểm M
sao cho

BAM = 30

. Tính số đo của

BMC.
13
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lời giải (h.2a)
A E
C
B
D
M
A

B
C
F
D
E
a)
b)
Kéo dài CM cắt AB ở D. Khi đó ta có

BDC =

BAC+

ACB
2
=
α
+
180


α
− 60


α
2
= 60




DAM = 30

nên △DAM cân tại D.
Vẽ DE vuông góc với AM (E ∈ AC), suy ra

ADE =

EDM =

MDB = 60

Do đó ta có △CDB = △CDE (g.c.g) ⇒ DB = DE.
Từ đó dễ thấy ba tam g iác ADE, MDE, MDB bằng nhau theo trường hợp (c.g.c).
Vì vậy

BMD =

BAC =
α
, hay

BMC = 180


α
.
Với
α
= 40


hãy giải bài toán: Cho △ABC cân tại B, có

ABC = 100

. Trong tam giác lấy điểm M
sao cho

MAC = 10

,

MCA = 20

. Tính số đo

BMC.
Bài toán 4.
Cho △ABC có

ABC =
α
,

ACB = 60

+
α
(
α

< 60

). Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các đi ểm
D và E sao cho

ACD = 30

+
α
,

CAE = 90


3
α
2
. Tính số đo của

CDE.
Lời giải (h.2b)
Dễ thấy

BAC = 120

− 2
α
. Do đó

ADC = 180




BAC−

ACD
= 180


(
120

− 2
α
)

(
30

+
α
)
= 30

+
α
=

ACD
Vậy △ACD cân tại A. Vẽ AF vuông góc với CD (F ∈ BC). Khi đó ta có


AFC =

AFD = 180



FCA−

FAC = 180

− (60

+
α
) − (60


α
) = 60

.
Do đó

DFE = 60

. Suy ra FE là phân giác ngoài của △AFD (1)
Mặt khác có

EAB =


BAC−

CAE = 120

− 2
α


90


3
α
2

= 30


α
2
=

FAB
2
nên AE là phân giác của

FAD (2)
Từ (1), (2) suy ra DE là phân giác của


FDB (3)
14
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7


ADF =

ACF = 60

+
α
nên

FDB = 120


α
, do đó

BDE = 60


α
2
.
Vậy

CDE = 180




ADC−

BDE = 180


(
30

+
α
)


60


α
2

= 90


α
2
.
Với
α
= 20


ta có bài toán quen thuộc sau:
Cho △ ABC cân tại B, có

ABC = 20

. Trên các cạnh BA và BC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho

ACD = 50

,

CAE = 60

. Tính số đo của

AED.
Bài toán 5.
Cho △ABC cân tại A có

BAC =
α
, (60

<
α
< 120

). Trong tam gi ác lấy điểm M sao cho

MCB =

120


α
,

MBC = 90


α
2
. Tính số đ o của

MAB.
Lời giải (h.3)
A
B
C
M
P
N
Trong △ABC ta lấy các điểm N và P sao cho các tam giác ANB và APC tương ứng cân tại N và P, và
có các góc ở đáy bằng
α
2
− 30

. Ta sẽ chứng minh P ≡ M.
Thật vậy, vì


ABC =

ACB = 90


α
2
, nên

BCP =

ACB−

ACP = 90


α
2


α
2
− 30


= 120


α
=


MCB
do đó tia CM trùng với tia CP (1)
Mặt khác

NAP =

BAC−

NAB−

PAC =
α


α
2
− 30




α
2
− 30


= 60

và có AN = AP, nên △ANP đều.Suy ra

AP = AN = NP = BN = CP.
Dễ thấy MN và BC có chung trục đối xứng là tia phân giác của

BAC nên NM//BC, suy ra

NPB =

PBC =

NBP


NBC =

ABC−

ABN = 90


α
2


α
2
− 30


= 120



α
Vì vậy

PBC =

NBC
2
= 60


α
2
=

MBC.
do đó tia BP trùng với tia BM (2)
Từ (1), (2) suy ra P ≡ M.
Vậy

MAB =

PAB = 60

+

α
2
− 30



= 30

+
α
2
.
TÍNH SỐ ĐO GÓC
15
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
1. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền.
Bài toán 1. Tính các góc của △ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia

ABC thành ba
góc bằng nhau.
Lời giải (h.4a)
A
B H M
C
K
1
2
3
A
B
C
H
E
F

N
1
2
3
K
b)
a)
Vẽ MK⊥AC. △ABM cân tại đỉnh A (đường cao AH đồng thờ i là đ ườ ng phân giác) nên H là t rung
điểm của BM.
HM =
1
2
BM =
1
4
BC
Từ △AHM = △AKM suy ra HM = MK.
Vậy MK =
1
4
BC, hay MK =
1
2
MC.
Ta có MKC l à tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền nên

C = 30

.
Từ đó tính được


A = 90

,

B = 60

.
△ABC đã cho có ba góc

A = 90

,

B = 60

,

C = 30

.
Bài toán 2. Cho △ABC có ba góc nhọn. Về phía ngoài của △ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và
ACF. Gọi H là trực tâm của △ABE, N là trung điểm của BC. Tính số đo

FNH.
Lời giải (h.4b)
Trên ti a đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH = NK thì
△NBH = △NCK (c.g.c) ⇒ CK = BH = HA
Chú ý rằng


FAH = 60

+ 30

+

A < 180


C
3
=

HBN =

B+ 30

.
16
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Suy ra

FCK = 360




C
3
+


C
2
+

C
1

= 360



90

+

B+

C
2

= 90

+

A =

FAH;
AF = CF
Do đó △AHF = △CKF (c.g.c) ⇒ FH = FK nên △FHK cân tại đỉnh F.

Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên

AFH =

CFK, mà

AFC = 60

nên

HFK =
60

.
Vậy △FHK đều. Suy ra

HNF = 90

,

NHF = 60

,

NFH = 30

.
2. Tính số đo góc thông qua v iệc phát hiện ra tam giác vuông cân
Bài toán 3. Cho △ABC có


ABC = 45

,

ACB = 120

. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
CD = 2CB. Tính số đo

ADB.
Lời giải (h.5a)
A
A
B
B
C
C
H
D
D
K
2
2
2
2
1
1
1
1
1

a)
b)
H
1

C
1


C
2
là hai góc kề bù , mà

C
1
= 120

nên

C
2
= 60

.
Vẽ DH⊥AC ta được △HCD có

CDH = 30

nên CH =
1

2
CD; mà BC =
1
2
CD nên △CBH cân tại đỉnh
C.
Suy ra

B
2
= 30

. Vậy △HBD cân tại đỉnh H.
Ta có

B
1
= 15



A
1
= 15

nên △HBA cân tại đỉnh H. Vậy △HAD vuông cân ở H.
Từ đó ta tính được

ADB = 45


+ 30

= 75

.
Bài toán 4. Cho △ABC có

BAC t ù, đường cao AH, đường phân giác BD thỏa mãn

AHD = 45

. Tính
số đo

ADB.
Lời giải (h.5b). Vẽ BK⊥AC. Xét △ABH có BD là đường p hân giác trong; HD là đường ph ân giác góc
ngoài tại đỉnh H nên AD là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, suy ra

A
1
=

A
2
.


A
1
=


KBH (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên

A
1
=

KBD+

B
1
(1)
Mặt khác

A
2
=

D
1
+

B
2
(2)


A
1
=


A
2
,

B
1
=

B
2
nên từ (1), (2) suy ra

KBD =

D
1
.
Do đó △KBD vuông cân tại đ ỉnh K, suy ra

KBD =

ADB = 45

.
3. Tính số đo góc thông qua v iệc phát hiện ra tam giác đều
Bài toán 5. Cho △ABC vuông ở A và

BAC = 75


. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho
BH = 2AC. Tính số đo

BHC.
Lời giải (h.6a)
17
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
H
E
K
A
B
C
a)
A
B
C
K
E
b)
Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ △EBC thì E ở miền trong △HBC.
Gọi K là trung điểm của BH. Ta có









KBE = 75

− 60

= 15

=

ACB
KB = AC
EB = BC
Suy ra △ABC = △KEB (c.g.c) n ên

EKB =

BAC = 90

.
Vì K l à trung điểm của BH nên △EHB cân tại E.


EHB =

EBH = 15

nên

BEH = 150

.

Ta có △EHC = △EHB (c.g.c) vì







EH chung

BEH =

CEH = 150

EB = EC
Suy ra

BHE =

CHE = 15

hay

BHC = 30

.
Bài toán 6. Cho △ABC vuông cân ở đỉnh. Điểm E nằm trong tam g iác sao cho

EAC =


ECA = 15

.
Tính số đo

AEB.
Lời giải (h.6b)
Trong △ABC lấy điểm K sao cho

KBA =

KAB = 15

thì
△KAB = △ EAC (c.g.c) ⇒ AK = AE
Lại có

KAE = 90

− 2· 15

= 60

.
Vậy △KAE đều. Suy ra

KAB = 150

=


EKB.
Ta có △BAK = △BEK (c.g.c) nên

BEK =

BAK = 15

. Vậy

BEA = 75

.
4. Tính số đo góc thông qua v iệc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đo
Bài toán 7. Cho △ABC có

BAC = 50

,

ABC = 20

. Trên đường ph ân giác BE của tam giác ta l ấy
điểm F s ao cho

FAB = 20

. Gọi N là trung điểm AF, EN cắt AB tại K. Tính số đo

KCB.
Lời giải (h.7a)

18
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
2
C
A
K
B
F
M
E
N
3
1
1
2
1
2
A
B
C
H
N
K
J
O
a)
b)
Giả sử CK cắt BE tại M. Ta có

F

2
=

A
1
+

B
1
= 30

(góc ngoài của △FAB).
Từ

A
2
= 30



F
2
=

A
2
. Suy ra △EAF cân tại đỉnh E nên

AEF = 120


.
Trung tuyến EN là đường phân g iác của △EAF nên

E
1
=

E
2
= 60

từ đó

E
3
= 60

Ta có △BEK = △BEC (g.c.g) vì







EB chung

E
3
=


E
2
= 60


B
1
=

B
2
= 10

⇒ △BCK cân tại đỉnh B mà

CBK = 20

. Vậy

CKB = 80

.
Bài toán 8. Cho △ABC với

ABC =

ACB = 50

, N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa mãn


NBC = 10

,

NCB = 20

. Tính số đo

ANB.
Lời giải (h.7b). Đường cao AH của △ABC cắt BN tại O; vẽ AK⊥BN và AK cắt CN tại J.

OBH =

HAK = 10

(góc có cạnh tương ứng vuông góc).

HAC = 40



KAC = 30

, mà

NCA = 30

nên △JAC cân tại đỉnh J, suy ra JA = JC (1)
△OBC cân tại O vì OH là đường trung trực, do đ ó


OCB =

OBC = 10

suy ra

OCA =

OAC = 40

.
Vậy △OAC cân tại đỉnh O nên OA = OC (2)
Từ (1), (2) suy ra OJ là đường trung trực của AC và cũng là phân giác của

AOC nên

AOJ =

JOC = 50

(3)


NOC là góc ngoài của △OBC nên

NOC = 20

. Từ đó và (3) có


NOJ = 30

Do đó

AON = 80

, mà

BNJ là góc ngo ài của △NBC nên

BNJ = 30

.
Vậy △NOJ cân tại đỉnh J, mà JK là đường cao nên JK là đường trung trực của ON, hay AK là tru ng
tr ực của ON.
Do đó △AON cân ở đỉnh A và

ANB =

AON = 80

.
Bài tập
1. Cho △ABC nhọn, ở miền ngoài của tam gi ác t a vẽ các tam giác đều ABC

và ACB

. Gọi K và L theo
thứ tự là trung điểm của C


A và B

C. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 3MC. Tính số đ o các góc
của △KLM.
2. Cho △ABD và △ CBD, hai điểm A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD. Biết

BAC =
50

,

ABD = 60

,

CBD = 20

,

CDB = 30

. Tính số đ o các góc

DAC và

ADB.
3. Cho △ABC cân ở đỉnh A,

BAC = 20


. Lấy các điểm M, N theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao
cho

BCM = 50

,

CBN = 60

. Tính số đo góc

MNA.
19

×