BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh Hoá
Gmail:
Điện thoại: 097744 2256
Bài 1. Nếu trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với
cạnh ấy bằng 30
◦
.
Lời giải. Xét △ABC vu ô ng tại A có AC =
1
2
BC. Trên tia đối của tia AC lấy
A
D A
C
điểm D sao cho AD = AC.
△ABD = △ABC(c.g.c) ⇒ BD = BC.
Do AC =
1
2
BC,AC =
1
2
DC nên BC = DC.
Tam giác BDC có BD = BC = DC nên là tam giác đều, do đó
C = 60
◦
. Suy
ra
ABC = 30
◦
.
Bài 2. Tính các góc của tam giác ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia góc
BAC
thành ba góc bằng nhau.
Lời giải.
Vẽ MK⊥AC thì △KAM = △HAM(cạnh h uyền-góc nhọn) nên MK =
A
B H M
K
C
MH.
Do đó MK =
MB
2
=
MC
2
.
△MKC vuông có MK =
MC
2
nên
C = 30
◦
.
Suy ra
HAC = 60
◦
,
BAC = 90
◦
,
B = 60
◦
.
Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài t am giác ấy các tam
giác đều ABE,ACF. Gọi I là trung điểm của BC,H là trực tâm của
tam giác ABE. Tính các góc của tam giác FIH.
Hướng dẫn. Đối với bài tập này cần xét ba trường hợp:
+ Trường hợp 1:
BAC < 90
◦
.
A
E
H
B
F
C
K
I
Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK thì
△IBH = △ICK(c.g.c)
⇒ CK = BH = HA. Chú ý rằng:
FAH = 60
◦
+ 30
◦
+
A < 180
◦
.
KCI =
HBI =
B+ 30
◦
. Suy ra
FCK = 360
◦
−
KCN +
ACB+
ACF
= 360
◦
−
90
◦
+
B+
ACB
= 90
◦
+
A =
FAH.
và AF = CF.
Do đó △AHF = △CKF(c.g.c). Suy ra FH = FK nên tam giác FHK cân tại đỉnh F.
Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên
AFH =
CFK, mà
AFC = 60
◦
nên
HFK =
60
◦
.
Vậy tam giác FHK đều. Suy ra
HIF = 90
◦
,
IHF = 60
◦
,
IFH = 30
◦
.
Chú ý. Ta cũng có th ể vẽ điểm K s ao cho I là trung điểm KF thì
△BIK = △CIF(c.g.c) ⇒ BK = CF = AF (1)
Vì H là trực t âm của tam giác đều ABE nên AH = BH (2)
1
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lại có
HBK = 360
◦
−
HBA−
ABC−
IBG = 360
◦
− 30
◦
−
ABC−
BCA+ 60
◦
= 270
◦
−
ABC+
BCA
= 90
◦
+
BAC =
HAF (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra △BHK = △ AHF(c.g.c) ⇒ HK = HF.
Tam giác HKF cân tại H, có HI là đường trung tuyến
A
E
H
B
F
C
I
đồng thời là đường cao nên HI⊥KF. Vậy
HIF = 90
◦
.
+ Trường hợp 2:
BAC = 90
◦
. Ta thấy H,A,F thẳng h àng ;
E,H,I thẳng hàng và EI//AC đồng thời IF//AB.
Do đó EI⊥IF suy ra
HIF = 90
◦
,
IHF = 60
◦
,
IFH = 30
◦
.
+ Trường hợp 3:
BAC > 90
◦
chứng minh tươ ng tự trường
hợp
BAC < 90
◦
.
Chú ý. Trực tâm H của t am giác ABE (gi ao của ba đường
cao) có thể thay bằng trọng tâm G hoặc g iao của ba đường phân giác (t âm đường tròn nộ i tiếp tam
giác ABE) hoặc gi ao của ba đường trung trực (đường tròn đi qua ba điểm A,B,E) là như nhau.
Bài 4. Cho tam giác ABC có
ABC = 45
◦
,
ACB = 120
◦
. Trên tia
A
H
B
C
D
1
1
1
2
2
đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính số đo góc
ADB.
Lời giải. Vì
C
1
và
C
2
là hai góc kề bù, mà
C
1
= 120
◦
nên
C
2
= 60
◦
.
Vẽ DH⊥CA ta được tam giác CDH vuông tại H có
CDH = 30
◦
nên CH =
1
2
CD, mà BC =
1
2
CD (giả thiết, CD = 2BC) nên CH =
BC hay tam gi ác BCH cân tại H suy ra HB = HD. (1)
Ta có
B
1
= 15
◦
và
A
1
= 15
◦
nên tam giác HAB cân tại H. Do đó
HB = HA. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác HAD cân tại H, mà
AHD = 90
◦
. Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H.
Từ đó tính được
ADB = 30
◦
+ 45
◦
= 75
◦
.
Bài 5. Cho tam giác ABC có
BAC tù, đường cao AH, đường phân giác BD thoả mãn
AHD = 45
◦
.
Tính
ADB.
Lời giải.
Cách 1. Vẽ BK⊥AC. Xét tam gi ác ABH có
A
K
B
H
D
C
1
1
1
2
2
x
BD là đườ ng phân giác trong; HD là đường
phân giác ngoài đỉnh H nên AD là đường phân
giác ngoài đỉnh A, suy ra
A
1
=
A
2
.
Mà
A
1
=
KBH (cùng phụ với
C) nên
A
1
=
KBD+
B
1
. (1)
Mặt khác
A
2
=
D
1
+
B
2
. (2)
Vì
A
1
=
A
2
;
B
1
=
B
2
nên từ (1) và (2) suy ra
KBD =
D
1
. Do đó tam giác KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra
KBD =
ADB = 45
◦
.
Cách 2. Để vẽ hình chính xác, ta vẽ tam g iác BHD có
BHD = 135
◦
, rồi vẽ điểm A sau đó vẽ điểm C.
Xét △ABH ta có:
HAx =
ABH + 90
◦
= 2
B
2
+ 90
◦
.
2
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Ta lại có
HAx = 2
A
2
. Do đó
2
A
2
= 2
B
2
+ 90
◦
⇒
A
2
=
B
2
+ 45
◦
(1)
Mặt khác, xét △ABD ta có
A
2
=
B
2
+
D
1
(2)
Từ (1) và (2) s uy ra
D
1
= 45
◦
.
Chú ý. Trước khi làm bài tập này, ta giải bài toán phụ dưới đây: Cho
E
A
D
B
C
F
I
tam giác ABC. Chứng minh rằng hai tia phân g iác ngoài của hai góc
tại hai đỉ nh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một
điểm (xem một số bài tập liên qua đến b ài t oán này sau bài tập này).
Lời giải. Thật vậy, gọi I là giao điểm hai tia ph ân giác ngoài của góc
B và C.
Từ I kẻ IE⊥AB;IF⊥AC theo tính chất tia phân giác ta có IE = IF và
ID = IF.
Điều đó chứng tỏ I nằm trên ti a phân gi ác của góc A. Nói cách khác hai t ia phân giác của hai góc
ngoài ở đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm.
Bài 5.1. Cho tam giác ABC có
A = 120
◦
, các đường phân giác AD và BE. Tính số đo của
BED.
Lời giải. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB, ta có
BAD =
CAD =
A
B D
C
E
1 1
2
2
x
60
◦
nên
CAx = 60
◦
.
Xét tam giác ABD có AE là phân giác ngoài tại đỉnh A,BD
là phân giác trong tại đỉnh B. Do đó DE là phân giác ngoài
tại đỉnh D. Do đó
BED =
D
1
−
B
1
=
ADC−
ABC
2
=
BAD
2
=
60
◦
2
= 30
◦
.
Bài 5.2. Cho tam giác ABC có
ACB và
A tù. Kẻ tia BD cắt tia đối của tiaCA ở D sao cho
CBD =
ABC.
Kẻ AH vuông góc với BD tại H. Tính
CHD.
Lời giải. Gọi tia đối của tia AB là tia Ax.
A
B
H D
C
1
1
1
2
2
x
Xét tam giác ABH, theo tính chất góc ngoài của tam
giác ta có
HAx = 90
◦
+ 2
B
1
(hình vẽ bài 5).
Xét tam giác ABC có
A
2
=
C
1
+
B
1
= 45
◦
+
B
1
=
1
2
HAx.
Suy ra AC là tia phân giác của
HAx.
Kết hợ p với giả th iết BC là tia phân g iác của
ABH, suy
ra HC là tia phân giác của
AHD. Vậy
CHD = 45
◦
.
Bài 5.3.
Cho tam giác ABC,
B = 120
◦
, phân gi ác BD và CE.
Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của
tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh
rằng.
a)
ADF =
BDF.
b) Ba điểm D,E,F thẳng hàng.
Lời giải.
3
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
a) Vẽ tia đố i của tia phân giác BD là By. Khi đó dễ thấy
ABD =
ABF =
FBy = 60
◦
.
Xét tam giác ABD có hai tia phân giác ngoài của góc A và B cắt nhau tại F suy ra DF là tia phân giác
trong của góc D. Vậy
ADF =
BDF.
b) Xét tam giác BCD có tia phân giác của góc C và tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt nhau tại E, suy
ra DE là ti a phân giác của
ADB.
Ta có DE,DF đều là tia phân giác của góc
ADB nên ba điểm D,E,F thẳng hàng.
Bài 5.4. Cho tam giác ABC,
B = 45
◦
, ph ân giác BD, đườn g cao AH. Cho biết
BDA = 45
◦
. Chứng
minh rằng HD//AB.
Lời giải. Xét tam giác BCD có
ADB là góc ngoài của
A
B
H
D
C
1
1
1
2
2
x
tam giác BCD nên
ADB =
B
2
+
C suy ra
C =
ADB−
B
2
hay
C = 45
◦
−
B
2
.
Xét tam giác ABC có
A
1
là góc ngoài tại đỉnh A nên
A
1
=
B+
C =
B+ 45
◦
−
B
2
⇒
A
1
= 45
◦
+
B
2
(1)
Xét tam giác AHC vuông tại H có
A
2
= 90
◦
−
C = 45
◦
+
B
2
(2)
Từ (1), (2) suy ra
A
1
=
A
2
.
Xét tam giác ABH có D là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không
kề nên tia HD là t ia phân giác ngoài tại điểm H do đó
DHC = 45
◦
, suy ra HD//AB (vì có cặp góc
đồng vị bằng nhau).
Bài 5.5. Cho tam giác ABC,
A = 120
◦
, các đường phân giác AD,BE,CF.
a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB.
b) Tính
EDF.
Lời giải. a) Vẽ Ax là tia đối của AB. Khi đó
BAC và CAx là
A
B D
C
E
1 2
x
3
F
hai góc kề bù nên
BAD =
CAD =
CAx = 60
◦
.
Xét tam giác ABD có AE là tia phân giác ngoài tại đỉnh A;BE
là tia phân giác trong tại B nên DE là tia phân giác ngoài tại
đỉnh D của tam giác ADB.
b) Chứng minh tương tự DF là tia phân giác ngoài tại đỉnh
D của tam giác ACD.
Mặt khác,
ADC và ADB là hai góc kề bù nên
EDF = 90
◦
.
Bài 5.6. Cho tam giác ABC có các đường p hân giác BD,CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh
rằng
B =
C hoặc
B+
C = 120
◦
.
Lời giải.
Cách 1. Kẻ IH⊥AB,IK⊥AC, ta có △HIE = △KID (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra
IEH =
IDK
(1)
Xét bốn trường hợ p sau:
a) H thuộc BE;K thuộc CD.
Từ (1) suy ra
A+
C
2
=
A+
B
2
. Do đó
C =
B.
b) H thuộc AE;K thu ộc AD.
Chứng minh tương tự phần a) ta được
B =
C.
c) H thuộc BE;K thuộc AD.
4
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Từ (1) ta có
A+
C
2
=
C +
B
2
⇒
A =
B
2
+
C
2
⇒2
A =
B+
C ⇒ 3
A =
A+
B+
C = 180
◦
⇒
A = 60
◦
,
B+
C = 120
◦
.
d) H thuộc AE;K thu ộc CD. Chứng minh tương tự phần c), ta đượ c
B+
C = 120
◦
.
Cách 2. Kh ô ng mất tính tổng quát, giả sử AD ≥ AE, xét hai trường hợp:
a) AD = AE.
A
A
E
E
D
D
I
I
F
B
B
C
C
1
1
1
1
2
2
1
△ADI = △AEI(c.c.c) ⇒
ADI =
AEI.
△ADB và △AEC có
A chung,
ADI =
AEI nên
B
1
=
C
1
. Do đó
B =
C.
b) AD > AE. Lấy F trên AD sao cho AF = AE.
△AFI = △AEI(c.g.c) ⇒ IF = IE,
F
1
=
E
1
.
Do IE = ID nên IF = ID, do đó
F
1
=
D
1
. Suy
ra
D
1
=
E
1
, tức là
A+
B
2
=
B+
C
2
.
Biến đổi như cách 1, ta được
B+
C = 120
◦
.
Bài 5.7. Tam giác ABC có
A = 90
◦
,B và C là các góc nhọn, các đường trung trực của AB và AC cắt
nhau tại O và cắt BC thứ tự tại E và F. Chứng m inh rằng AO là tia phân giác của
EAF.
Lời giải. Ta xét hai trường hợp:
A
O
B F
E
C
Trường hợp 1:
A < 90
◦
.
Ta có EA = EB nên EO là tia phân g iác của
AEB.
Chứng minh tương tự FO là tia phân giác của
AFE.
Vì EO và FO là các tia phân giác trong tại đỉnh E và đỉnh F của
tam giác AEF nên AO là tia phân giác của
EAF.
Trường hợp 2:
A > 90
◦
.
Vì O là giao đi ểm của các đường trung tr ực AB và AC nên OA = OB = OC.
Điểm E nằm trên đườn g t rung trực của AB nên EA = EB.
Điểm F nằm trên đường trung trực của AC nên FA = FB.
△AOE = △BOM(c.c.c) ⇒
A
1
=
B
1
.
EB F
C
O
A
1
1
1
2
Tương tự △AOF = △COF(c.c.c) ⇒
A
1
=
C
1
.
Mặt khác
B
1
=
C
1
(vì △BOC cân tại O).
Suy ra
A
1
=
A
2
suy ra AO là tia phân giác của
EAF.
Chú ý.
Từ bài toán trên ta thấy nếu
B > 90
◦
khi đó AO là tia phân giác
ngoài tại đỉnh A. Thật vậy, xét △AEF,EO là tia phân giác trong
của
E, FO là tia phân giác ngoài tại đ ỉnh F. Khi đó AO là tia
phân giác ngoài tại đỉnh A (hình vẽ bên).
Bài 5.8. Tam giác ABC có
B = 60
◦
,
C = 30
◦
. Lấy đ iểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao
cho
ABD = 20
◦
,
ACE = 10
◦
. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của tam giác KDE.
Lời giải. Gọi I l à giao điểm của các tia phân giác
KBC và
KCB. Khi đó KI là tia phân g iác của
BKC.
Mặt khác, t am giác KBC có
BKC = 120
◦
(vì
KBC = 40
◦
,
KCB = 20
◦
), do đó
BKI =
CKI =
BKE =
CKD = 60
◦
(dễ dàng tính được điều này).
5
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
+ Xét △BKI và △BKE có
B
2
=
B
3
(giả thiết)
BK (chung)
BKI =
BKE = 60
◦
Suy ra △BKI = △BKE(g.c.g) ⇒ KE = KI (1)
+ Chứng min h tương tự KD = KI (2)
Từ (1), (2) suy ra KE = KD hay △KED cân tại K.
Mặt khác,
EKD = 120
◦
=
BKC (đối đỉnh).
Do đó
KED =
KDE =
180
◦
− 120
◦
2
= 30
◦
.
Bài 5.9. Cho tam giác ABC
A = 90
◦
,
B,
C < 90
◦
, kẻ AH vuông góc với BC vẽ các điểm D và E
sao cho AB là đường tru n g trực của HD,AC là đường trung trực của HE. Gọi I,K thứ tự là giao điểm
của DE với AB và AC. Tính
AIC,
AKB.
Hướng dẫn. Ta xét hai trường hợp:
a) Nếu
A < 90
◦
.
b) Nếu
A > 90
◦
.
Chú ý. 1) Ở bài tập này ta đã sử dụng hai kết quả sau:
+ Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau (ở kết quả này ta cần dùng đến bài toán
sau: Nếu Ox,Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đ ối nhau bờ chứa tia Oz sao cho
zOx +
zOy = 180
◦
thì Ox
và Oy đối nhau).
+ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông.
2) + Trong trường hợp
B > 90
◦
, tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác trong, IC,KC là các
tia phân giác ng oài.
+ Trong trường hợp
C > 90
◦
, tam gi ác HIK có IB và KB là các tia phân giác ngoài, IC,KC là các tia
phân giác trong. Các trường hợp này ta vẫn có
AIC =
AKB = 90
◦
.
Bài 5.10. Cho tam giác ABC có
B = 75
◦
,
C = 45
◦
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
BAD = 45
◦
.
Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của
ADC tại E. Tính
CBE.
Bài 6. Cho tam giác ABC cân có
B =
C = 50
◦
. Gọi K là điểm trong của tam giác sao cho
KBC =
10
◦
,
KCB = 30
◦
. Chứng minh rằng tam giác ABK cân và tín h
BAK.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều EBC sao cho E và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC.
Cách 2. Vẽ tam giác đều ACE sao cho E và A khác phía đối với BC.
Cách 3. Vẽ tia phân giác của
ABK.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân có
A = 20
◦
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính
ACD.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều BCE sao cho A và E cùng ph ía đ ối với BC.
Cách 2. Vẽ tam giác đều ADE sao cho C và E nằm trên h ai nửa mặt phẳng đối nh au bờ AB.
Cách 3. Vẽ tam giác đều ACE sao cho D và E khác phía đố i với AC.
Cách 4. Vẽ tam giác đều ABE sao cho C và E cùng phía đối với AB.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm E nằm trong tam giác, tam giác EAC cân ở E và
góc ở đáy bằng 15
◦
. Tính
AEB.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ về phía trong tam giác ABC sao cho tam giác AED đều.
Cách 2. Về phía trong t am giác ABC lấy điểm D sao cho tam giác ABD cân ở D và có góc ở đáy bằng
6
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
15
◦
.
Cách 3. Vẽ tam giác đều ACD sao cho E và D khác phía đối với AC.
Cách 4. Vẽ tam giác CDE đều sao cho E và D khác phía đối với BC.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M,N lần lượt là t rung điểm của AB và AC. Kẻ
NH vuông góc với CM tại H. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và
HM l à tia phân giác của
BHE.
Bài 10. Cho t am giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC,G là điểm thuộc cạnh AB
sao cho AG =
1
3
AB,E là chân đườn g vuông góc hạ từ M xuống CG. Các đường thẳng MG và AC cắt
nhau tại D. So sánh độ dài DE và BC.
Bài 11. Cho t am giác ABC cân tại A với
BAC = 80
◦
. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho
MAC = 20
◦
và
MCA = 30
◦
. Tính
MBC.
Hướng dẫn. Trên đường cao AH lấy điểm P sao cho AP = AB = AC.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và
ABC = 60
◦
. Lấy đ iểm M thuộc cạnh BC sao cho AB +
BM = AC+CM. Tính
CAM.
Bài 13. Cho tam giác ABC có
BAC = 55
◦
,
ABC = 115
◦
. Trên tia phân giác của
ACB lấy điểm M sao
cho
MAC = 25
◦
. Tính BMC.
Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọ i E là điểm tuỳ ý nằm giữa B và C. Đường thẳng qua E
vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi K là trung đi ểm của
BE. Tính độ lớn của
AKD.
Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đ ườ ng thẳng AC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông
góc với BC qua M cắt đ ườ ng thẳng BC tại H. Gọi I là trung điểm của BM. Tính
HAI.
Bài 16. Cho tam g iác ABC cân tại A với
BAC < 90
◦
và các đườn g cao BD,AH. Trên tia BD lấy đi ểm
K sao cho BK = BA. Tính
HAK.
Chú ý. Nếu
BAC > 90
◦
ta có kết quả
HAK = 135
◦
.
Bài 17. Cho tam giác ABC vuông t ại A với
ACB = 15
◦
. Đặt BC = a,AC = b,AB = c. Chứng minh
rằng a
2
= 4bc.
Hướng dẫn.
Cách 1. + Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho
CBD = 15
◦
.
+ Sử dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác ABD và tam giác ABC ta có đpcm.
Cách 2. Kẻ đường cao AH và gọi M là trung điểm BC để làm.
Bài 18. Cho t am giác ABC cân t ại A có
BAC ≥ 90
◦
. Lấy điểm M nằm giữa A và C, h ạ AH và CK
cùng vuông góc với BM (H,K thuộc BM) sao cho BH = HK + KC. Tính
BAC.
Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại C có
ACB = 100
◦
. Điểm M thuộc tia CA sao cho CM = AB. Tính
CMB.
Bài 20. Trong hình vuông ABCD lấy hai điểm P,Q sao cho BP song song với DQ với BP
2
+ DQ
2
=
PQ
2
. Tính
PAQ.
Bài 21. Cho tam giác ABC có AB = AC và
BAC = 80
◦
. Lấy điểm I ở trong t am giác sao cho
IAC = 10
◦
,
ICA = 20
◦
. Tính
CBI.
Bài 22. Cho tam giác ABC có
BAC = 45
◦
,AM là tru n g tuyến, AD là phân giác trong của tam giác
MAC, kẻ DK vuông góc với AB (K ∈ AB). Gọi giao điểm của AM và DK là I. Chứng minh rằng nếu
AM là tia phân giác của
BAD thì BI là tia phân giác của
ABD.
Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E s ao cho
DAE =
ABD.
Chứng minh rằng
DAE =
ECB.
7
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Bài 24. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho
MAC =
MBA =
MCB.
Hãy so sánh diện tích hai t am giác ABM và CBM.
Bài 25. Cho tam g iác ABC vuông tại A có
B = 75
◦
. Trên t ia đối của tia AB lấy điểm H sao cho
BH = 2AC. Tính
BHC.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều BCD sao cho A và D cùng phía đối với BC, lấy E là trung điểm của BH.
Cách 2. Vẽ tam giác đều HBD sao cho D và B thuộc h ai nửa m ặt phẳng đối nhau b ờ HC, sau đó gọi
M là trung điểm BD và chứng minh cho C,M,H th ẳng hàng từ đó suy ra đpcm.
Cách 3. Trên cùng một nửa mặt ph ẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy sao cho
BCy = 75
◦
. Gọi H
′
là
giao điểm của tia Cy và BA, sau đó tìm cách chứng minh H ≡ H
′
.
Cách 4. Gọi D là giao điểm của đường trun g trực của BC với AB, khi đó t am giác DBC cân tại D, cuối
cùng tìm cách chứng minh D ≡ H.
Bài 26. Cho tam giác ABC cân tại A có
BAC = 20
◦
. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ các
tia Ax,Cy s ao cho
CAx = 20
◦
,
CAy = 130
◦
. Gọi D là giao điểm của hai ti a Ax và Cy. Tính
ABD.
Hướng dẫn. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B vẽ tam giác đ ều ADE.
Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A có
BAC = 40
◦
, đường cao AH. Các điểm E,F thứ tự thuộc các
đoạn thẳng AH,AC s ao cho
EBA =
FBC = 30
◦
. Chứng minh rằng AE = AF.
Bài 28. Cho tam giác ABC cân có
B =
C = 50
◦
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
CAD = 30
◦
. Trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho
ABE = 30
◦
. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng tam
giác IDE cân và tính các góc của tam giác đ ó.
Hướng dẫn. Trên n ửa mặt phẳng bờ BC vẽ tam giác ABH đều sao cho A và H thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ BC.
Bài 29. Cho tam giác ABC cân tại A có
A = 40
◦
. Trên nửa mặt bờ BC không chứa điểm A, vẽ ti a Bx
sao cho
CBx = 10
◦
. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính
BDC.
Hướng dẫn
Cách 1. Vẽ tam giác ABE đều sao cho E và C cùng phía đối với AB.
Cách 2. Vẽ tam giác ACM đều sao cho B và M cùng phía đối với AC.
Cách 3. Vẽ tam giác BCE đều sao cho E và A cùng ph ía đối với BC.
Bài 30. Điểm M nằm trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5. Tính
AMB.
Hướng dẫn. Đặt MA = 3a,MB = 4a,MC = 5a, sau đó ta có thể chọn một trong hai cách sau:
Cách 1. Vẽ tam giác MBK đều sao cho K và C khác phía đối với BM.
Cách 2. Vẽ tam giác AME đều sao cho E và C khác phía đối với AM.
Bài 31. Điểm M nằm b ên trong tam giác vuông cân tại B sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3. Tính
AMB.
SỬ DỤNG MỘT TÍNH CHẤT
CỦA TAM GIÁC CÂN ĐỂ GIẢI TOÁN
Tính chất. Trong tam g iác cân ABC
(
AB = AC
)
thì
ABC =
ACB =
180
◦
−
BAC
2
=
B+
C
2
.
Sau đây là một s ố ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ba cạnh BC,CA,AB.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng
BAH =
OAC.
8
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lời giải
A
B H
C
O
Gọi O là giao điểm các đườn g trung trực của tam giác
A
E
K
D
I
B
C
1
2
3
ABC nên OA = OB = OC.
Tam giác OBC cân tại O nên
OBC =
180
◦
−
BOC
2
.
Tam giác OAC cân tại O nên
OAC =
180
◦
−
AOC
2
.
Tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác đó, suy
ra
BAH = 90
◦
−
ABC = 90
◦
−
OBC+
OBA
= 90
◦
−
180
◦
−
BOC
2
+
180
◦
−
AOB
2
= 90
◦
−
AOC
2
=
180
◦
−
AOC
2
=
OAC
=
OCA
.
Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BE,CF. Chứng minh rằng
BEF =
BCF.
Lời giải
A
B
C
F
E
M
Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho
MFB =
MBF.
Lại có
MFB+
MFC = 90
◦
;
MBF +
MCF = 90
◦
nên
MFC =
MCF,
suy ra MC = MF = MB.
Tương tự ME = MB = MC.
9
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Do các tam giác MBF,MEF và MCE cân tại M nên
MBF =
180
◦
−
BMF
2
;
MEF =
180
◦
−
EMF
2
;
MEC =
180
◦
−
CME
2
.
Vậy
CBF +
CEF =
MBF +
MEC +
MEF
=
180
◦
−
BMF
2
+
180
◦
−
CME
2
+
180
◦
−
EMF
2
= 90
◦
.
nên
BEF =
BCF.
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm D sao cho
ADB =
ACB. Chứng minh rằng
BAC =
BDC.
Lời giải. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC thì O nằm trong tam giác ABC và
OA= OB = OC. Do các tam giác OBC,OAC cân tại O nên
OCB =
180
◦
−
BOC
2
;
OCA =
180
◦
−
AOC
2
.
Suy ra
ACB =
OCA+
OCB =
180
◦
−
AOC
2
+
180
◦
−
BOC
2
=
AOB
2
⇒
ADB =
AOB
2
(1)
A
D ≡ H
O
B
C
Trên ti a OD lấy điểm H sao cho OH = OA. Khi đó
AHB =
AHO−
BHO =
180
◦
−
AOH
2
−
180
◦
−
BOH
2
=
AOB
2
(2)
Từ (1) và (2) s uy ra
ADB =
AHB nên H ≡ D. Từ đó OD = OA = OB = OC.
Tương tự ta có
BAC =
BOC
2
;
BDC =
BOC
2
⇒
BAC =
BDC.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đườn g tròn tâm O. Tia phân giác của góc
BAC cắt BC tại
D, cắt đường tròn tại E khác A. Chứng minh rằng BE l à ti ếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ADB.
Lời giải
10
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
A
K
O
B
D
C
E
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB. Trong tam giác KBD cân tại K ta có
KBD =
180
◦
−
BKD
2
=
180
◦
− 2
BAD
2
⇒
KBD = 90
◦
−
BAD.
Lại có
EAB =
EAC ⇒ EB
⌢
= EC
⌢
⇒
EAB =
EBC
⇒
KBE =
KBD+
EBC = 90
◦
−
BAD+
BAD = 90
◦
hay BE⊥KB,
suy ra BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADB.
Ví dụ 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt p hẳng chứa nửa đường tròn bờ AB
kẻ các tiếp tuyến Ax,By.C là điểm nằm giữa A và O.M là điểm nằm trên nửa đường tròn (M khác A
và B). Đường thẳng qua M v uông góc với MC cắt Ax tại P, đường thẳng qua C vuôn g góc với CP cắt
By tại Q. Gọi D là g iao điểm của CP và MA,E là giao điểm của CQ và MB. Chứng minh rằng đ ườ ng
tròn ngoại tiếp tam giác MDP và đường tròn ngoại tiếp tam giác MEQ tiếp xúc với nhau.
Lời giải
x
y
P
I
D
M
K
E
A
C O
B
Gọi I,K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác MDP và MEQ.
Tam giác MKE cân tại K nên
KME =
180
◦
−
MKE
2
=
180
◦
− 2
MQE
2
= 90
◦
−
MQE.
11
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Tam giác MID cân tại I nên
IMD =
180
◦
−
MID
2
=
180
◦
− 2
MPD
2
= 90
◦
−
MPD.
Tứ giác MPAC nội tiếp nên
MCD =
MAP, mà
MBC =
MAP (cùng chắn cung
⌢
MA) suy ra
MCD =
MBC ⇒
MCQ =
MBQ.
Do đó tứ giác MCBQ nội tiếp, dẫn đến
MQE =
MBC. Từ đó
IMD+
DME +
KME = 90
◦
−
MPD + 90
◦
+ 90
◦
−
MQE
=270
◦
−
MAC+
MBC
= 180
◦
⇒
IMK = 180
◦
.
Do đó ba đi ểm I,M,K thẳng hàng.
Vậy đường tròn tâm I và đường tròn tâm K tiếp xúc nhau tại M.
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của
ABC và
ACB cắt AC,AB theo thứ tự tại
F,E. Chứng minh rằng EF//BC.
Bài 2. Cho tam g iác ABC. Trên nửa mặt p hẳng bờ BC không chứa A lấy điểm D sao cho
BFC +
BAC = 180
◦
. Chứng minh rằng
BCA =
BDA.
Bài 3. Cho góc
xOy nhọn. Vẽ tia Oz nằm trong góc
xOy sao cho
xOz =
yOz
2
. Qua A trên tia Ox kẻ
AH vuông góc với Ox tại H.AH cắt Oz tại B. Trên tia Bz lấy điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh
rằng tam giác AOD cân.
Bài 4. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB,BC thứ tự lấy các điểm E,F sao cho AE =
1
2
EB,BF =
1
2
FC. AF cắt CE tại I.BI cắt EF tại H. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Bài 5. Cho hình thang ABCD(AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng mi nh
rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB và OCD tiếp xúc nhau.
BÀI TOÁN TÍNH GÓC TỔNG QUÁT
Bài toán 1.
Cho △ABC có
BAC =
ABC =
α
(30
◦
<
α
< 60
◦
). M là điểm trong tam giác sao cho
MAB =
30
◦
,
MBA = 60
◦
−
α
. Tính số đo
CMB.
Lời giải (h.1a)
D
A
M
C
B
A
B
M
C
D
a)
b)
12
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Về cùng phí a với △ABC vẽ △ABD đều. Khi đó
CDB = 30
◦
=
MAB,
CBD = 60
◦
−
α
=
MAB
nên ta có △BAM = △BDC (g.c.g) suy ra BC = BM, mà
CBM = 2
α
− 60
◦
nên suy ra
CMB =
(
180
◦
− 2
α
+ 60
◦
)
: 2 = 120
◦
−
α
Hãy giải bài toán đã cho trong t rường hợp
α
= 50
◦
Bài toán 2.
Cho △ABC có
ABC =
ACB =
α
> 60
◦
. M là điểm nằm khác phía A so với BC sao cho
BCM =
150
◦
,
CBM =
α
− 60
◦
. Tính số đ o
AMC.
Lời giải (h.1b)
Về phía tron g △ABC, vẽ △BCD đều. Kh i đó ta có
ADB = 150
◦
=
BCM,
ABD =
α
− 60
◦
=
MBC
nên △BDA = △BCM (g.c.g) ⇒ BA = BM, mà
ABM =
α
+
(
α
− 60
◦
)
= 2
α
− 60
◦
nên suy ra
AMB =
[
180
◦
−
(
2
α
− 60
◦
)]
: 2 = 120
◦
−
α
(1)
Mặt khác
BMC = 180
◦
−
MBC −
MCB = 180
◦
−
(
α
− 60
◦
)
− 120
◦
= 90
◦
−
α
(2)
Từ (1), (2) có
AMC =
(
120
◦
−
α
)
−
(
90
◦
−
α
)
= 30
◦
Chú ý:
Với mọi giá trị của góc
α
> 60
◦
thì giá trị của
AMC luôn khô ng đổi và bằng 30
◦
, mặt khác hai bài
toán trên có quan hệ với n hau.
Bài toán 3.
Cho △ABC có
BAC =
α
(30
◦
<
α
< 60
◦
),
ABC = 60
◦
+
α
. Trên tia ph ân giác của
ACB lấy đ iểm M
sao cho
BAM = 30
◦
. Tính số đo của
BMC.
13
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lời giải (h.2a)
A E
C
B
D
M
A
B
C
F
D
E
a)
b)
Kéo dài CM cắt AB ở D. Khi đó ta có
BDC =
BAC+
ACB
2
=
α
+
180
◦
−
α
− 60
◦
−
α
2
= 60
◦
Mà
DAM = 30
◦
nên △DAM cân tại D.
Vẽ DE vuông góc với AM (E ∈ AC), suy ra
ADE =
EDM =
MDB = 60
◦
Do đó ta có △CDB = △CDE (g.c.g) ⇒ DB = DE.
Từ đó dễ thấy ba tam g iác ADE, MDE, MDB bằng nhau theo trường hợp (c.g.c).
Vì vậy
BMD =
BAC =
α
, hay
BMC = 180
◦
−
α
.
Với
α
= 40
◦
hãy giải bài toán: Cho △ABC cân tại B, có
ABC = 100
◦
. Trong tam giác lấy điểm M
sao cho
MAC = 10
◦
,
MCA = 20
◦
. Tính số đo
BMC.
Bài toán 4.
Cho △ABC có
ABC =
α
,
ACB = 60
◦
+
α
(
α
< 60
◦
). Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các đi ểm
D và E sao cho
ACD = 30
◦
+
α
,
CAE = 90
◦
−
3
α
2
. Tính số đo của
CDE.
Lời giải (h.2b)
Dễ thấy
BAC = 120
◦
− 2
α
. Do đó
ADC = 180
◦
−
BAC−
ACD
= 180
◦
−
(
120
◦
− 2
α
)
−
(
30
◦
+
α
)
= 30
◦
+
α
=
ACD
Vậy △ACD cân tại A. Vẽ AF vuông góc với CD (F ∈ BC). Khi đó ta có
AFC =
AFD = 180
◦
−
FCA−
FAC = 180
◦
− (60
◦
+
α
) − (60
◦
−
α
) = 60
◦
.
Do đó
DFE = 60
◦
. Suy ra FE là phân giác ngoài của △AFD (1)
Mặt khác có
EAB =
BAC−
CAE = 120
◦
− 2
α
−
90
◦
−
3
α
2
= 30
◦
−
α
2
=
FAB
2
nên AE là phân giác của
FAD (2)
Từ (1), (2) suy ra DE là phân giác của
FDB (3)
14
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Vì
ADF =
ACF = 60
◦
+
α
nên
FDB = 120
◦
−
α
, do đó
BDE = 60
◦
−
α
2
.
Vậy
CDE = 180
◦
−
ADC−
BDE = 180
◦
−
(
30
◦
+
α
)
−
60
◦
−
α
2
= 90
◦
−
α
2
.
Với
α
= 20
◦
ta có bài toán quen thuộc sau:
Cho △ ABC cân tại B, có
ABC = 20
◦
. Trên các cạnh BA và BC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho
ACD = 50
◦
,
CAE = 60
◦
. Tính số đo của
AED.
Bài toán 5.
Cho △ABC cân tại A có
BAC =
α
, (60
◦
<
α
< 120
◦
). Trong tam gi ác lấy điểm M sao cho
MCB =
120
◦
−
α
,
MBC = 90
◦
−
α
2
. Tính số đ o của
MAB.
Lời giải (h.3)
A
B
C
M
P
N
Trong △ABC ta lấy các điểm N và P sao cho các tam giác ANB và APC tương ứng cân tại N và P, và
có các góc ở đáy bằng
α
2
− 30
◦
. Ta sẽ chứng minh P ≡ M.
Thật vậy, vì
ABC =
ACB = 90
◦
−
α
2
, nên
BCP =
ACB−
ACP = 90
◦
−
α
2
−
α
2
− 30
◦
= 120
◦
−
α
=
MCB
do đó tia CM trùng với tia CP (1)
Mặt khác
NAP =
BAC−
NAB−
PAC =
α
−
α
2
− 30
◦
−
α
2
− 30
◦
= 60
◦
và có AN = AP, nên △ANP đều.Suy ra
AP = AN = NP = BN = CP.
Dễ thấy MN và BC có chung trục đối xứng là tia phân giác của
BAC nên NM//BC, suy ra
NPB =
PBC =
NBP
mà
NBC =
ABC−
ABN = 90
◦
−
α
2
−
α
2
− 30
◦
= 120
◦
−
α
Vì vậy
PBC =
NBC
2
= 60
◦
−
α
2
=
MBC.
do đó tia BP trùng với tia BM (2)
Từ (1), (2) suy ra P ≡ M.
Vậy
MAB =
PAB = 60
◦
+
α
2
− 30
◦
= 30
◦
+
α
2
.
TÍNH SỐ ĐO GÓC
15
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
1. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền.
Bài toán 1. Tính các góc của △ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia
ABC thành ba
góc bằng nhau.
Lời giải (h.4a)
A
B H M
C
K
1
2
3
A
B
C
H
E
F
N
1
2
3
K
b)
a)
Vẽ MK⊥AC. △ABM cân tại đỉnh A (đường cao AH đồng thờ i là đ ườ ng phân giác) nên H là t rung
điểm của BM.
HM =
1
2
BM =
1
4
BC
Từ △AHM = △AKM suy ra HM = MK.
Vậy MK =
1
4
BC, hay MK =
1
2
MC.
Ta có MKC l à tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền nên
C = 30
◦
.
Từ đó tính được
A = 90
◦
,
B = 60
◦
.
△ABC đã cho có ba góc
A = 90
◦
,
B = 60
◦
,
C = 30
◦
.
Bài toán 2. Cho △ABC có ba góc nhọn. Về phía ngoài của △ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và
ACF. Gọi H là trực tâm của △ABE, N là trung điểm của BC. Tính số đo
FNH.
Lời giải (h.4b)
Trên ti a đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH = NK thì
△NBH = △NCK (c.g.c) ⇒ CK = BH = HA
Chú ý rằng
FAH = 60
◦
+ 30
◦
+
A < 180
◦
C
3
=
HBN =
B+ 30
◦
.
16
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Suy ra
FCK = 360
◦
−
C
3
+
C
2
+
C
1
= 360
◦
−
90
◦
+
B+
C
2
= 90
◦
+
A =
FAH;
AF = CF
Do đó △AHF = △CKF (c.g.c) ⇒ FH = FK nên △FHK cân tại đỉnh F.
Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên
AFH =
CFK, mà
AFC = 60
◦
nên
HFK =
60
◦
.
Vậy △FHK đều. Suy ra
HNF = 90
◦
,
NHF = 60
◦
,
NFH = 30
◦
.
2. Tính số đo góc thông qua v iệc phát hiện ra tam giác vuông cân
Bài toán 3. Cho △ABC có
ABC = 45
◦
,
ACB = 120
◦
. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
CD = 2CB. Tính số đo
ADB.
Lời giải (h.5a)
A
A
B
B
C
C
H
D
D
K
2
2
2
2
1
1
1
1
1
a)
b)
H
1
C
1
và
C
2
là hai góc kề bù , mà
C
1
= 120
◦
nên
C
2
= 60
◦
.
Vẽ DH⊥AC ta được △HCD có
CDH = 30
◦
nên CH =
1
2
CD; mà BC =
1
2
CD nên △CBH cân tại đỉnh
C.
Suy ra
B
2
= 30
◦
. Vậy △HBD cân tại đỉnh H.
Ta có
B
1
= 15
◦
và
A
1
= 15
◦
nên △HBA cân tại đỉnh H. Vậy △HAD vuông cân ở H.
Từ đó ta tính được
ADB = 45
◦
+ 30
◦
= 75
◦
.
Bài toán 4. Cho △ABC có
BAC t ù, đường cao AH, đường phân giác BD thỏa mãn
AHD = 45
◦
. Tính
số đo
ADB.
Lời giải (h.5b). Vẽ BK⊥AC. Xét △ABH có BD là đường p hân giác trong; HD là đường ph ân giác góc
ngoài tại đỉnh H nên AD là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, suy ra
A
1
=
A
2
.
Mà
A
1
=
KBH (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên
A
1
=
KBD+
B
1
(1)
Mặt khác
A
2
=
D
1
+
B
2
(2)
Vì
A
1
=
A
2
,
B
1
=
B
2
nên từ (1), (2) suy ra
KBD =
D
1
.
Do đó △KBD vuông cân tại đ ỉnh K, suy ra
KBD =
ADB = 45
◦
.
3. Tính số đo góc thông qua v iệc phát hiện ra tam giác đều
Bài toán 5. Cho △ABC vuông ở A và
BAC = 75
◦
. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho
BH = 2AC. Tính số đo
BHC.
Lời giải (h.6a)
17
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
H
E
K
A
B
C
a)
A
B
C
K
E
b)
Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ △EBC thì E ở miền trong △HBC.
Gọi K là trung điểm của BH. Ta có
KBE = 75
◦
− 60
◦
= 15
◦
=
ACB
KB = AC
EB = BC
Suy ra △ABC = △KEB (c.g.c) n ên
EKB =
BAC = 90
◦
.
Vì K l à trung điểm của BH nên △EHB cân tại E.
Vì
EHB =
EBH = 15
◦
nên
BEH = 150
◦
.
Ta có △EHC = △EHB (c.g.c) vì
EH chung
BEH =
CEH = 150
◦
EB = EC
Suy ra
BHE =
CHE = 15
◦
hay
BHC = 30
◦
.
Bài toán 6. Cho △ABC vuông cân ở đỉnh. Điểm E nằm trong tam g iác sao cho
EAC =
ECA = 15
◦
.
Tính số đo
AEB.
Lời giải (h.6b)
Trong △ABC lấy điểm K sao cho
KBA =
KAB = 15
◦
thì
△KAB = △ EAC (c.g.c) ⇒ AK = AE
Lại có
KAE = 90
◦
− 2· 15
◦
= 60
◦
.
Vậy △KAE đều. Suy ra
KAB = 150
◦
=
EKB.
Ta có △BAK = △BEK (c.g.c) nên
BEK =
BAK = 15
◦
. Vậy
BEA = 75
◦
.
4. Tính số đo góc thông qua v iệc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đo
Bài toán 7. Cho △ABC có
BAC = 50
◦
,
ABC = 20
◦
. Trên đường ph ân giác BE của tam giác ta l ấy
điểm F s ao cho
FAB = 20
◦
. Gọi N là trung điểm AF, EN cắt AB tại K. Tính số đo
KCB.
Lời giải (h.7a)
18
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
2
C
A
K
B
F
M
E
N
3
1
1
2
1
2
A
B
C
H
N
K
J
O
a)
b)
Giả sử CK cắt BE tại M. Ta có
F
2
=
A
1
+
B
1
= 30
◦
(góc ngoài của △FAB).
Từ
A
2
= 30
◦
⇒
F
2
=
A
2
. Suy ra △EAF cân tại đỉnh E nên
AEF = 120
◦
.
Trung tuyến EN là đường phân g iác của △EAF nên
E
1
=
E
2
= 60
◦
từ đó
E
3
= 60
◦
Ta có △BEK = △BEC (g.c.g) vì
EB chung
E
3
=
E
2
= 60
◦
B
1
=
B
2
= 10
◦
⇒ △BCK cân tại đỉnh B mà
CBK = 20
◦
. Vậy
CKB = 80
◦
.
Bài toán 8. Cho △ABC với
ABC =
ACB = 50
◦
, N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa mãn
NBC = 10
◦
,
NCB = 20
◦
. Tính số đo
ANB.
Lời giải (h.7b). Đường cao AH của △ABC cắt BN tại O; vẽ AK⊥BN và AK cắt CN tại J.
OBH =
HAK = 10
◦
(góc có cạnh tương ứng vuông góc).
HAC = 40
◦
⇒
KAC = 30
◦
, mà
NCA = 30
◦
nên △JAC cân tại đỉnh J, suy ra JA = JC (1)
△OBC cân tại O vì OH là đường trung trực, do đ ó
OCB =
OBC = 10
◦
suy ra
OCA =
OAC = 40
◦
.
Vậy △OAC cân tại đỉnh O nên OA = OC (2)
Từ (1), (2) suy ra OJ là đường trung trực của AC và cũng là phân giác của
AOC nên
AOJ =
JOC = 50
◦
(3)
Vì
NOC là góc ngoài của △OBC nên
NOC = 20
◦
. Từ đó và (3) có
NOJ = 30
◦
Do đó
AON = 80
◦
, mà
BNJ là góc ngo ài của △NBC nên
BNJ = 30
◦
.
Vậy △NOJ cân tại đỉnh J, mà JK là đường cao nên JK là đường trung trực của ON, hay AK là tru ng
tr ực của ON.
Do đó △AON cân ở đỉnh A và
ANB =
AON = 80
◦
.
Bài tập
1. Cho △ABC nhọn, ở miền ngoài của tam gi ác t a vẽ các tam giác đều ABC
′
và ACB
′
. Gọi K và L theo
thứ tự là trung điểm của C
′
A và B
′
C. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 3MC. Tính số đ o các góc
của △KLM.
2. Cho △ABD và △ CBD, hai điểm A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD. Biết
BAC =
50
◦
,
ABD = 60
◦
,
CBD = 20
◦
,
CDB = 30
◦
. Tính số đ o các góc
DAC và
ADB.
3. Cho △ABC cân ở đỉnh A,
BAC = 20
◦
. Lấy các điểm M, N theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao
cho
BCM = 50
◦
,
CBN = 60
◦
. Tính số đo góc
MNA.
19